专题3.2图形的旋转重难点题型专训（3个知识点+16大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升讲练（浙教版2012）

专题3.2图形的旋转重难点题型专训 （3个知识点+16大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 判断生活中的旋转现象 题型二 判断由一个图形旋转而成的图案 题型三 找旋转中心、旋转角、对应点 题型四 求旋转中心的个数 题型五 旋转中的规律性问题 题型六 根据旋转的性质求解 题型七 根据旋转的性质说明线段或角相等 题型八 旋转的性质及辨析 题型九 画旋转图形 题型十 利用旋转设计图案 题型十一 旋转对称图形的识别 题型十二 求旋转对称图形的旋转角度 题型十三 求绕原点旋转90度的点的坐标 题型十四 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 题型十五 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 题型十六 坐标与旋转规律问题 拓展训练一 旋转的识别判定及求解 拓展训练二 旋转的性质及应用 拓展训练三 坐标与旋转的相关问题求解 知识点一：旋转的相关概念 1. 把一个平面图形绕着平面内某一O转动一个角度，叫做图形的旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．如果图形上的点P经过旋转变为点P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点． 2. 旋转三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·广东广州·期末）下面四幅图都是由线分别按箭头所示方向平移或者绕点旋转，得到相应的平面图形，其中对应错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形的平移和旋转，解题关键在于要有丰富的空间想象能力． 根据平移和旋转的性质逐项求解判断即可． 【详解】解：选项A中图形通过平移可以得到，不符合题意； 选项B中图形通过平移可以得到，不符合题意． 选项C中图形通过平移可以得到，不符合题意； 选项D中图形通过旋转无法得到，故选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24七年级下·河南周口·期末）如图，线段可以看成是线段先绕点C 旋转，再向 平移 小格得到的． 【答案】 逆时针 左 1 【分析】本题考查了线段的旋转，平移，根据题意和旋转的相关知识即可得；掌握旋转角度，旋转方向，平移是解题的关键． 【详解】解：由图可知，线段可以看成是线段先绕点C逆时针旋转，再向左平移1小格得到的， 故答案为：逆时针；左；1． 知识点二：旋转的性质 1. 对应点到旋转中心的距离相等． 2. 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 3. 旋转前、后的图形全等． 【即时训练】 1．（2024·浙江嘉兴·一模）若存在一条线段把一个图形分钢成两个部分，使其中一个部分绕该线段中点旋转后能与另一个部分重合，则我们把这个图形叫做旋转重合图形．下列图形中，属于旋转重合图形的是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．正五边形 【答案】C 【分析】根据旋转重合图形的定义进行一一判断即可． 【详解】A. ∵直角三角形不存在一条线段把一个图形分成两个部分，使其中一个部分绕该线段中点旋转后能与另一个部分重合，故选项A不符合题意； B. ∵等边三角形是轴对称图形，不存在一条线段把一个图形分钢成两个部分，使其中一个部分绕该线段中点旋转后能与另一个部分重合，故选项B不符合题意； C. ∵平行四边形过对角线交点的一条线段把一个图形分钢成两个部分，使其中一个部分绕该线段中点旋转后能与另一个部分重合，故选项C符合题意； D. ∵正五边形是旋转重合图形但不存在一条线段把一个图形分钢成两个部分，使其中一个部分绕该线段中点旋转后能与另一个部分重合，故选项D不符合题意． 故选择C． 【点睛】本题考查旋转重合图形的新定义，掌握旋转重合图形的新定义，能找到一条线段把一个图形分钢成两个部分，使其中一个部分绕该线段中点旋转后能与另一个部分重合是解题关键． 2．（23-24八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，如果△ABC和△DEF关于点G成中心对称，那么△ABC绕点G旋转 °后能与△DEF重合． 【答案】180 【分析】根据中心对称的定义进行填空即可. 【详解】根据中心对称的定义可知：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，这个点叫做它的对称中心，据此因为△ABC和△DEF关于点G成中心对称，所以△ABC绕点G旋转180°后能与△DEF重合，故答案为180. 【点睛】本题考查的是中心对称的定义，熟知中心对称的定义是解题的关键. 知识点三：旋转作图 将△ABC绕点M顺时针旋转120°后，得到△DEF的步骤： （1）定：确定旋转中心为点M，旋转方向为顺时针，旋转角为120°． （2）找：寻找构成图形的关键点A，B，C，连接关键点A和旋转中心M，即线段AM． （3）转：以旋转中心M为顶点，过关键点A的射线MA为一边，按顺时针方向作一个120°的角． （4）截：在角的另一边上取一点D,使MD＝MA，得到点A的对应点D，以此作法，可得点B的对应点E，点C的对应点F． （5）连：按原图顺序连接D，E，F，得到△DEF，如图所示． 【即时训练】 1．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）如图，三角形乙是三角形甲经过旋转变换得到的，则说法正确的是（    ）    A．绕点逆时针旋转 B．绕点顺时针旋转 C．绕点逆时针旋转 D．绕点顺时针旋转 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质作出图形，由图形可得出结论．熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，    由图形可知，三角形乙是三角形甲绕点逆时针旋转得到的， 故说法正确的是：， 故选：． 2．（2024·湖南永州·中考真题）如图，图中网格由边长为1的小正方形组成，点为网格线的交点.若线段绕原点顺时针旋转90°后，端点的坐标变为 ． 【答案】 【分析】根据题意作出旋转后的图形，然后读出坐标系中点的坐标即可． 【详解】解：线段OA绕原点O顺时针旋转90°后的位置如图所示， ∴旋转后的点A的坐标为（2，-2）， 故答案为：（2，-2）． 【点睛】题目主要考查图形的旋转，点的坐标，理解题意，作出旋转后的图形读出点的坐标是解题关键． 【经典例题一 判断生活中的旋转现象】 【例1】（25-26九年级上·河北邢台·期中）下列情境属于旋转的是（  ） A．电流表指针来回摆动 B．滑动变阻器的滑片来回移动 C．热气球缓慢上升 D．打针时推动针管 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，根据旋转的定义（在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转），逐一判断即可解答． 【详解】解：A、电流表指针来回摆动可看作是平面图形绕一个点转动，是旋转，故A符合题意； B、滑动变阻器的滑片来回移动，不属于旋转，故B不符合题意； C、热气球缓慢上升，不属于旋转，故C不符合题意； D、打针时推动针管，不属于旋转，故D不符合题意； 故选：A． 【例2】（23-24九年级上·广东珠海·期中）下列现象中属于旋转的有 （填序号） ①火车在笔直行驶；②荡秋千运动；③地下水位下降；④钟摆的运动；⑤圆规画圆． 【答案】②④⑤ 【分析】旋转变换：把一个图形绕着某个点旋转一定的角度，得到另一个图形，即为旋转变换；平移变换：把一个图形沿着一定的方向移动一定的距离，即为平移变换． 【详解】解：①火车在笔直行驶，③地下水位下降；是平移； ②荡秋千运动；④钟摆的运动；⑤圆规画圆,属于旋转， 故答案为：②④⑤． 【点睛】本题考查旋转和平移的概念，熟练掌握这两个基础概念是解题的关键． 1．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）小华在电脑上查看一张图片（如图），他想把这张图片放正，应点击（   ）图标． A．（放大） B．（缩小） C．（逆时针旋转） D．（顺时针旋转） 【答案】D 【分析】本题考查了旋转，根据所给图形进行分析即可． 【详解】解：因为想把这张图片放正， 所以应点击（顺时针旋转）． 故选：D． 2．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）在常见的扑克牌中，“红桃J”如下图这样放置，把它倒过来放，看它还是和原来一样的，这主要是利用数学中的（    ） A．旋转 B．平移 C．轴对称 D．以上都对 【答案】A 【分析】本题主要考旋转，根据把图形倒过来放，看它还是和原来一样可判断出是图形是旋转变换即可． 【详解】解：“红桃J”如下图这样放置，把它倒过来放，看它还是和原来一样的，这主要是利用数学中的旋转， 故选：A． 3．（24-25七年级上·上海·期末）在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以 （填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着 （填“顺”或“逆”）时针方向旋转 度． 【答案】 脚跟 顺 90 【分析】本题考查了旋转的相关概念，掌握旋转的相关概念，结合生活经验解决问题是解题的关键．根据旋转的相关概念，结合生活经验即可解答． 【详解】解：在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以脚跟为旋转中心，沿着顺时针方向旋转90度． 故答案为：脚跟；顺；90． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）我们在日常生活中有许多行为动作：如①拉抽屉；②拧水龙头；③划小船；④调钟表；⑤推动推拉门；⑥转动方向盘；⑦乘电梯.我们用数学的眼光来看，其中属于旋转的有 .（填序号） 【答案】②④⑥ 【分析】根据平移的定义，旋转的定义判断即可． 【详解】①拉抽屉，平移运动；②拧水龙头，旋转运动；③划小船，不是旋转运动；④调钟表，旋转运动；⑤推动推拉门，平移运动；⑥转动方向盘，旋转运动；⑦乘电梯，平移运动， 故答案为②④⑥. 【点睛】本题考查了生活中的平移现象，生活中的旋转现象，熟练掌握平移的定义，旋转的定义是解题的关键． 【经典例题二 判断由一个图形旋转而成的图案】 【例1】（23-24七年级上·上海·单元测试）以下生活用品中，不属于旋转图形的是（          ） A．大红“双喜字” B．三张叶片电风扇 C．四叶风车 D．红五星 【答案】A 【分析】本题考查了平移和旋转的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平移和旋转的性质依次分析选项，即可得选出答案． 【详解】解：A.大红“双喜字”是平移，不是旋转图形，故选项符合题意； B. 三张叶片电风扇旋转可与原图形重合，是旋转图形，故选项不符合题意； C. 四叶风车旋转可与原图形重合，是旋转图形，故选项不符合题意； D. 红五星旋转可与原图形重合，是旋转图形，故选项不符合题意； 故选A． 【例2】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图所示，香港特别行政区区徽是由五个同样的花瓣组成的， 它可以看作是什么“基本图案”通过怎样的旋转而得到的？ 【答案】见详解 【分析】根据旋转的性质求解即可． 【详解】解：观察图形可知，中心角是由五个相同的角组成， ∴旋转角度是360°÷5=72°， ∴ 它可以看作以一个花瓣为“基本图案”通过连续四次旋转所组成，这四次旋转中，每次旋转角度为72°． 【点睛】本题把旋转的性质和一个周角是360°结合求解．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．注意结合图形解题的思想． 1．（2024八年级下·全国·专题练习）若自行车的车轮形如正方形，使车轮能平稳行驶，则地面形状大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，根据旋转定义解答即可． 【详解】解：使车轮能平稳行驶，需使正方形的中心都在一个平面内，才能使自行车平稳行驶． 如图所示，弧为正方形车轮的轴心移动的部分轨迹， 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）神舟十三号载人飞船于北京时间10月16日0时23分发射成功．如图是神舟十三号载人飞行任务标识，下列选项中是该标识经过旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质：旋转前后的图形全等，即旋转前后图形的大小和形状不发生变化，进行求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可知，只有B选项符合题意，A、C、D三个选项都改变了图形的形状， 故选B． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，熟知性质是解题的关键． 3．（2024八年级下·江苏·专题练习）与电子显示的四位数不相等，但为全等图形的四位数是 ． 【答案】5269 【分析】本题考查全等图形的概念，根据全等的性质把这四位数旋转所得图形与原来的图形全等，翻转过来所得四位数是5269． 【详解】解：四位数6925旋转得到5269， 与电子显示的四位数6925不相等，但为全等图形的四位数是5269， 故答案为：5269． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）将一张纸对折，剪出两个全等的三角形，把这两个三角形一起放到下列图中△ABC的位置上，试一试，如果其中一个三角形不动，怎样移动另一个三角形，能够得到下列图形呢？ 通过实际操作请回答下列问题： （1）这些图形中的两个三角形之间有什么样的关系？ （2）在由△ABC变成△A′B′C′的过程中 ①经过轴对称的是______； ②经过平移的是______； ③经过旋转的是______； ④经过平移和旋转的是______. 【答案】（1）全等；（2）①乙；②甲；③丙，丁；④戊 【详解】试题分析：根据平移、旋转及轴对称的定义及特点结合图形即可得出答案． （1）根据平移、旋转及轴对称的性质可得：这些图形中的两个三角形之间有全等的关系； （2）①乙；②甲；③丙，丁；④戊． 考点：本题考查平移、旋转及轴对称的知识 点评：解答本题的关键是仔细阅读题目，分清题意所问，同时熟练掌握平移、旋转及轴对称的定义. 【经典例题三 找旋转中心、旋转角、对应点】 【例1】（23-24九年级上·河南驻马店·期中）如图，可由旋转而成，点的对应点是，点的对应点是，在平面直角坐标系中，三点坐标为，，，则旋转中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质，线段垂直平分线的性质．连接，分别作和的线段垂直平分线，且它们的交点即为旋转中心，由图写出其坐标即可．理解两线段垂直平分线的交点即为旋转中心是解答本题的关键． 【详解】如图，连接，分别作和的线段垂直平分线，且交于点P．则P点即为旋转中心． 由图可知P点坐标为，即旋转中心的坐标为． 故选：A． 【例2】（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，方格纸中的每个小正方形的边长都为1，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． (1)画出关于原点O成中心对称的 (2)以点A为旋转中心，将绕点A顺时针旋转得到，画出． (3)若可看作是由绕点P顺时针旋转得到的，则点P的坐标为___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了旋转作图，掌握旋转的性质是解题的关键． (1) 先求出中三个点关于原点对称的点坐标，再依次连接即可画出关于原点对称的； (2) 先利用旋转性质求出的坐标，再依次连接即可画出； (3)根据旋转中心即为对应点连线的垂直平分线的交点，即可确定旋转中心． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，若可看作是由绕点P顺时针旋转得到的，则点P的坐标为， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，由两个正方形组合成一个长方形，若将正方形绕旋某一点旋转一定角度与正方形重合，则这样的旋转点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了找旋转中心，根据正方形的性质，旋转的性质，可得C，D以及的中点，可以作为旋转中心，据此即可求解． 【详解】解：把正方形绕点C顺时针旋转90度可使得正方形与正方形重合， 把正方形绕点D逆时针旋转90度可使得正方形与正方形重合， 把正方形绕的中点逆时针旋转180度可使得正方形与正方形重合， ∴一共有3个旋转点， 故选：C． 2．（23-24七年级上·河北秦皇岛·期末）如图，点A、B、C、D、O都在网格的格点上，三角形绕某点逆时针旋转到三角形的位置，下列说法正确的是（   ） A．旋转中心是O，旋转角是 B．旋转中心是O，旋转角是 C．旋转中心是C，旋转角是 D．旋转中心是C，旋转角是 【答案】A 【分析】本题考查三角形的旋转，解题的关键是掌握网格的特征和旋转的性质．观察图形，根据网格的特征可得答案． 【详解】解：由图可知，点B绕点O逆时针旋转90°可得点C，点A绕点O逆时针旋转可得点D， ∴旋转中心是点O，旋转角是； 故选：A． 3．（24-25八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在正方形网格中，图②是由图①绕点、、、中的某一点逆时针旋转得到，其旋转角度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，连接对应点，作对应点连线的垂直平分线，交点即为旋转中心，结合网格即可求得旋转角，即可求解． 【详解】解：如图， 旋转中心为点，旋转角为 故答案为：． 4．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，在三角形中，，D是边上的一点，三角形经过旋转后到达三角形的位置． (1)旋转中心是哪一点？ (2)旋转了多少度？ (3)如果M是的中点，那么经过上述的旋转后，点M到了什么位置？ 【答案】(1)旋转中心是点A． (2)逆时针旋转了． (3)点M到了的中点处． 【分析】本题主要考查的是旋转变换后图形所具有的性质，等边三角形的性质和判定，关键在于明确旋转中心，旋转角度和旋转位置． （1）观察图形，经旋转后到达的位置，可得出旋转中心； （2）观察图形，线段旋转后，对应边是就是旋转角，可得出旋转角； （3）因为旋转前后是对应边，故的中点，旋转后就是的中点． 【详解】（1）解：∵经旋转后到达，它们的公共顶点为， ∴旋转中心是点； （2）解：∵ ∴是等边三角形 ∴ 线段旋转后，对应边是就是旋转角，也是等边三角形的内角，是， ∴逆时针旋转了； （3）解：旋转前后是对应边，故的中点，旋转后就是的中点， ∴点转到了的中点． 【经典例题四 求旋转中心的个数】 【例1】（23-24七年级上·上海宝山·期末）如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题主要考查了找旋转中心，旋转的性质，旋转前后的两个图形大小形状完全相同，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等； 分别以C、D、的中点为旋转中心进行旋转，都能使正方形旋转后能与正方形重合，即可求解． 【详解】以点C为旋转中心，把正方形逆时针旋转，可得到正方形； 以点D为旋转中心，把正方形顺时针旋转，可得到正方形； 以的中点为旋转中心，把正方形旋转，可得到正方形； 所以旋转中心有3个． 故选：C． 【例2】（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在4×4的网格纸中，ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点M，N，P，Q中找一点作为旋转中心．将ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有（　　） A．点M，点N B．点M，点Q C．点N，点P D．点P，点Q 【答案】C 【分析】画出中心对称图形即可判断 【详解】解：观察图象可知，点P．点N满足条件． 故选：C． 【点睛】本题考查利用旋转设计图案，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 1．（23-24九年级上·四川南充·期末）如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，即可得出，分别以A,B,C为旋转中心即可从正方形甲旋转到正方形乙的位置． 【详解】解：如图， 绕A点逆时针旋转90°，可到正方乙的位置； 绕C点顺时针旋转90°，可到正方乙的位置； 绕AC的中点B旋转180°，可到正方乙的位置； 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等；特别注意容易忽略点B． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（　　） A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C 【答案】A 【详解】试题分析：若以M为旋转中心，把正方形ABCD顺时针旋转90°，A点对应点为H，B点对应点为E，C点对应点为F，D点对应点为G，则可得到正方形EFGH； 若以O为旋转中心，把正方形ABCD旋转180°，A点对应点为G，B点对应点为H，C点对应点为E，D点对应点为F，则可得到正方形EFGH； 若以N为旋转中心，把正方形ABCD逆时针旋转90°，A点对应点为F，B点对应点为G，C点对应点为H，D点对应点为E，则可得到正方形EFGH． 故选A． 3．（24-25七年级·全国·单元测试）如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么点，，，中，可以作为旋转中心的有 个． 【答案】2． 【分析】根据旋转的性质，分类讨论确定旋转中心． 【详解】解：把正方形ABCD绕点D逆时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点D； 把正方形ABCD绕点C顺时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点C； 综上，可以作为旋转中心的有2个． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质． 4．（24-25七年级·全国·单元测试）如图，和都是等边三角形. （1）沿着______所在的直线翻折能与重合； （2）如果旋转后能与重合，则在图形所在的平面上可以作为旋转中心的点是______； （3）请说出2中一种旋转的旋转角的度数______. 【答案】（1）；（2）.点、点或者线段的中点；（3） 【分析】(1) 因为和有公共边AC，翻折后重合，所以沿着直线AC翻折即可；（2）将△ABC旋转后与重合，可以以点A、点C或AC的中点为旋转中心；（3）以点A 、点C为旋转中心时都旋转，以AC中点旋转时旋转180. 【详解】(1)∵和都是等边三角形， ∴和是全等三角形， ∴△ABC沿着AC所在的直线翻折能与△ADC重合. 故填AC; (2)将△ABC旋转后与重合，则可以以点A为旋转中心逆时针旋转60或以点C为旋转中心顺时针旋转60，或以AC的中点为旋转中心旋转180即可； （3）以点A 、点C为旋转中心时都旋转，以AC中点旋转时旋转180. 【点睛】此题考查平移的对称轴确定的方法、旋转中心确定的方法，依照平移、旋转的性质来确定即可. 【经典例题五 旋转中的规律性问题】 【例1】（2023九年级下·湖南益阳·竞赛）如下图，将图形以点为旋转中心，每次按顺时针方向旋转，依次得到其他图形，则第次旋转后得到的图形是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转规律探究，仔细观察图形的变化，找到图形旋转的规律，每四次旋转一周，利用规律求解即可． 【详解】解：观察图形发现：每四次旋转一周， ∵， ∴第次旋转后和开始时一样， 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图1、图2中的三角形①～⑤的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)如图1，三角形②可以看成由三角形①经过一次 得到；三角形③可以看成由三角形①经过一次 得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）． (2)如图2，三角形⑤可以看成由三角形④经过怎样的图形运动得到？下列结论： A. 1次轴对称   B. 1次旋转    C． 1次平移和1次旋转  D. 1次旋转和1次轴对称 其中，所有正确结论是 ． 【答案】(1)旋转，轴对称 (2)BC 【分析】本题考查几何变换的类型，轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称变换，平移变换，旋转变换的性质． （1）根据轴对称变换，旋转变换的性质判断即可； （2）三角形⑤可以看成由三角形④绕点O顺时针旋转得到或先向右平移一个单位，再绕点A顺时针旋转得到． 【详解】（1）解：如图1，三角形②可以看成由三角形①经过一次旋转得到；三角形③可以看成由三角形①经过一次轴对称得到． 故答案为：旋转，轴对称； （2）三角形⑤可以看成由三角形④经过绕点O顺时针旋转得到或先向右平移一个单位，再绕点A顺时针旋转得到． 故答案为：BC． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上，如图①．在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，则按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，叫做一次变换，据此可得连续3次变换是一个循环，然后根据10被3整除后余数为1，即可确定骰子朝上一面的点数． 【详解】解：根据题意可知， 骰子第一次向右翻滚，上面的点数为5，逆时针旋转前面的点数为4， 骰子第二次向右翻滚，上面的点数为6，逆时针旋转前面的点数为2， 骰子第三次向右翻滚，上面的点数为3，逆时针旋转前面的点数为1， 骰子第四次向右翻滚，上面的点数为5，逆时针旋转前面的点数为4， ， 以此类推可知连续3次变换是一循环． ． 得到第1次变换后的图形，即按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是5． 故选：C． 2．（2023·河南许昌·二模）如图，等腰的顶点在轴上，顶点在轴上，已知，将绕点顺时针旋转，每次旋转，若旋转后点的对应点的坐标为，则旋转的次数可能是（    ）    A．71 B．72 C．73 D．74 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，规律探索，循环节的计算，根据题意，第一次旋转落在第一象限，第二次旋转落在第四象限，第三次旋转落在第三象限，第四次回到启动点，由此得到旋转的图形按照循环节为4进行规律旋转，除以4看余数即可． 【详解】根据题意，第一次旋转落在第一象限，第二次旋转落在第四象限，第三次旋转落在第三象限，第四次回到启动点，由此得到旋转的图形按照循环节为4进行规律旋转，除以4看余数即可， ∵在第四象限， ∴除以4后的余数为2， ∵， 故选D． 3．（23-24七年级上·福建三明·阶段练习）有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子按如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2024次后骰子朝下一面的点数是 ．    【答案】5 【分析】观察图形知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，从而确定答案． 【详解】解：观察图形知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且滚动四次一循环， ∵2024÷4=504…3， ∴滚动第2024次后与第三次相同， ∴朝下的数字是2的对面5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字及图形的变化类问题，解题的关键是发现规律． 4．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3+；…按此规律继续旋转，直到点P2020为止，则AP2020等于 ．    【答案】 【分析】根据题意，发现将Rt△ABC绕点A顺时针旋转，每旋转一次，AP的长度依次增加2，，1，且三次一循环，按此规律即可求解． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1， ∴AB＝2，BC＝， ∴将Rt△ABC绕点A顺时针旋转，每旋转一次，AP的长度依次增加2，，1，且三次一循环， ∵2020÷3＝673…1， ∴AP2020＝673（2＋＋1）＋2＝2024＋673， 故答案为：2024＋673. 【点睛】本题考查了图形类规律探索，旋转的性质及直角三角形的性质，得到AP的长度依次增加2，，1，且三次一循环是解题的关键． 【经典例题六 根据旋转的性质求解】 【例1】（2025·上海·模拟预测）一个三角形纸片围绕某个顶点旋转一定角度，得到一个新的三角形纸片． 下列说法正确的是（    ） 【说法一】两个三角形纸片不可能拼成一个平行四边形； 【说法二】两个三角形纸片不可能拼成一个正方形． A．说法一、二 B．说法一 C．说法二 D．无 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质以及特殊四边形的性质，熟记相关结论是解题关键． 【详解】解：一个等边三角形纸片绕着任一顶点旋转即可得到一个菱形，菱形是特殊的平行四边形，故说法一错误； 无论怎样的三角形，围绕某个顶点旋转一定角度，得到一个新的三角形，两个三角形纸片不可能拼成一个正方形．故说法二正确； 故选：C 【例2】（2024七年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，是由绕点O逆时针旋转后得到的图形，若点D恰好落在上，且的度数为，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质得，然后利用角的和差求解即可． 【详解】解：∵是由绕点O逆时针旋转后得到的图形， ∴， ∵， ∴． 1．（24-25九年级上·河南安阳·期末）如图，在方格纸中，将绕点按顺时针方向旋转后得到，则下列四个图形中正确的是（   ） A． B． B． C． C． D． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，解题的关键是读懂题意，掌握旋转的性质． 观察图形可知，将绕点按顺时针方向旋转，旋转到下方格处，据此可得答案． 【详解】解：将绕点A按顺时针方向旋转后得： 故选：C． 2．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图,旋转到，点A与点C是对应点，下列说法错误的是(   ) A． B． C．平分 D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，掌握旋转的性质是本题的关键． 由旋转的性质可得，可得平分，利用排除法可求解． 【详解】解：∵旋转到， ∴，平分， 故选项B、选项D、选项C说法正确，但都不合题意， 由旋转的对应角相等知：，但依此不能判断，因此选项A错误． 故选：A． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，若把绕点A旋转一定的角度得到，则 ，的对应角为 ，的对应边为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，根据把绕点A旋转一定的角度得到得出，的对应角为，的对应边为，即可作答． 【详解】解：∵把绕点A旋转一定的角度得到， ∴， ∴的对应角为，的对应边为， 故答案为：，，． 4．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，绕A点顺时针旋转得，求． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质， 先根据旋转的性质得，再结合求出，进而得出答案. 【详解】解：将绕点A顺时针旋转得， ∴. ∵， ∴， ∴. 【经典例题七 根据旋转的性质说明线段或角相等】 【例1】（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，把绕点O旋转得到，旋转后点A与点重合，点B与点重合，点C与点重合，则下列结论中，不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转后得到的图形与原图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心组成的夹角为旋转角，进行判断即可． 【详解】解：∵把绕点O旋转得到， ∴，，，， 故只有选项C不一定成立； 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·吉林·期末）如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，作的平分线交于点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，由旋转可得，，即得为等边三角形，进而根据等边三角形的性质即可求证，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】证明：由旋转可得，，， ∴为等边三角形， ∵平分， ∴． 1．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）如图，将三角形绕点C逆时针旋转一定的角度得到三角形，此时点A在边上．若，，则的长为（   ）    A．4 B．3 C．2.5 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的旋转，线段的和差，根据图形旋转的性质可得，即可求解．熟练掌握图形旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将绕点C逆时针旋转一定的角度得到，此点A在边上， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 2．（23-24九年级上·江西南昌·期中）如图，将绕点D顺时针旋转，旋转角为，得到，则下列说法错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质即可解答． 【详解】解：∵绕点D顺时针旋转，旋转角为，得到， ∴，，，， ∵， ∴， ∴和不平行． 故A不正确，符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转前后对应角相等，对应边相等． 3．（24-25七年级下·江苏·期末）如图，将绕点逆时针方向旋转到的位置，点落在边上的点处，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转得，，而点落在边上的点处，由，即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针方向旋转到， ∴，， ∵点落在边上的点处， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转得到，点A的对应点为D，点B的对应点E恰好落在上，延长交于点F． (1)写出相等的角：________，________________； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)，证明见解析 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键： （1）根据旋转前后，对应角相等，结合对顶角相等，即可得出结果； （2）根据角度之间的关系，结合三角形的内角和定理，推出，即可． 【详解】（1）解：∵旋转， ∴，， ∵， ∴； （2）． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 【经典例题八 旋转的性质及辨析】 【例1】（23-24七年级上·上海闵行·期末）下列说法中正确的有（    ） （1）如果把一个图形绕着一定点旋转后和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称； （2）如果两个图形关于一点成中心对称，那么其对应点之间的距离相等； （3）如果一个旋转对称图形有一个旋转角为，那么它不是中心对称图形； （4）如果一个旋转对称图形有一个旋转角为，那么它是中心对称图形． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据中心对称图形定义及性质依次判断即可． 【详解】（1）只有旋转后重合才是中心对称，故此说法错误； （2）对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，但是距离不一定相等，故此说法错误； （3）如果一个旋转对称图形，有一个旋转角为，那么它有可能是中心对称图形，此说法错误； （4）如果一个旋转对称图形有一个旋转角为，那么它是中心对称图形，故此说法正确； 说法正确的只有1个， 故选：B． 【点睛】此题考查中心对称图形，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【例2】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图所示图案可以看做是哪个基本图形通过几次旋转得到的？每次旋转了多少度？旋转中心是哪个？ 【答案】由一个菱形通过6次旋转得到的，每次旋转60°，旋转中心在图形的中心． 【分析】根据旋转的性质求解即可． 【详解】本题图案可以看作由一个菱形通过6次旋转得到的，每次旋转60°，旋转中心在图形的中心． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，注意结合图形解题． 1．（2024·陕西西安·一模）下列图形不能由旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键，据此解答即可． 【详解】解：A、正方体不能由旋转得到，故此选项正确，符合题意； B、圆柱能由旋转得到，故此选项错误，不符合题意； C、圆锥能由旋转得到，故此选项错误，不符合题意； D、球能由旋转得到，故此选项错误，不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、性质都不改变． 2．（24-25九年级上·河北唐山·期中）在图形的旋转中，下列说法不正确的是（    ） A．旋转前和旋转后的图形全等 B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等 C．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 D．图形上可能存在不动的点 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可对A、B、C进行判断；利用旋转中心为图形上一点的情况可对D进行判断． 【详解】解：A、旋转前和旋转后的图形全等，故A选项正确，不符合题意； B、在图形上的对应点到旋转中心的距离相等，故B选项错误，符合题意； C、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，故C选项正确，不符合题意； D、图形上可能存在不动的点，故D选项正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 3．（24-25七年级下·湖南怀化·期末）如图，三角形乙是三角形甲经过旋转变换得到的，则其旋转中心是点 ，逆时针方向旋转了 度. 【答案】 N 90 【分析】根据对应点到旋转中心的距离相等可确定旋转中心，对应点与旋转中心的连线所形成的角为旋转角进行解答即可． 【详解】解：如图，连接N与两个三角形的对应点，发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，且对应点与N的连线所成的角是直角，故旋转中心是点N，逆时针方向旋转了90°， 故答案为：N，90． 【点睛】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答的关键． 4．（2024七年级下·河南开封·期末）如图，正方形中，点为边上的一点，将顺时针旋转后得到．    (1)指出旋转中心及旋转角的度数； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)若正方形的面积为的面积为，求四边形的面积． 【答案】(1)旋转中心是，旋转角是 (2) (3) 【分析】（1）将旋转后得到，要确定旋转中心及旋转的角度，首先确定哪个点是对应点，即可确定； （2）根据旋转的性质可知，旋转前后两个图形一定全等，根据全等三角形的对应角相等，即可作出判断； （3）根据得出的面积，可得四边形的面积就是正方形的面积与的面积的差． 【详解】（1）解：旋转中心是，旋转角是； （2）延长交于点．    由旋转可知：， ，． 又，， ， ． （3）， 的面积是， 四边形的面积是． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，旋转只是改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，旋转前后的两个图形一定全等． 【经典例题九 画旋转图形】 【例1】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，将方格纸中的图形绕点逆时针旋转后得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知将图形绕点逆时针旋转得出符合题意的图形即可．本题考查了生活中的旋转现象，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：如图所示：将方格纸中的图形绕点逆时针旋转后得到的图形是 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·湖北十堰·期中）画出下面图形绕点O顺时针旋转90度后的图形． 【答案】画图见解析 【分析】本题考查图形绕点顺时针旋转的知识，解答关键是找出原图形的关键点，将各关键点绕点顺时针旋转得到对应点，再顺次连接对应点得到旋转后的图形． 【详解】画图如下： 1．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）将如图所示原图中的三角形绕点O旋转后，不能得到的图形是图（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的意义解答即可． 本题考查了旋转的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：逆时针旋转可得到A； 顺时针旋转可得到B； 顺时针旋转可得到C； 无法旋转得到D， 故选：D． 2．（2024·山西晋城·三模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，，将绕点按逆时针方向旋转，得到，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转作图的知识及旋转后坐标的变化，解答本题的关键是根据题意所述的旋转三要素画出图形，然后结合直角坐标系解答． 【详解】根据题意作图如下：    则点的坐标为， 故选：A 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知．将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，画出和旋转中心P，并直接写出旋转中心P的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转作图，先画出旋转的，连接，作的垂直平分线，连接，作的垂直平分线，两直线交于一点即为点P，并写出坐标． 【详解】如图所示． 点P的坐标是． 故答案为：． 4．（23-24七年级上·福建福州·期中）画出平行四边形绕B点逆时针转 后的图形． 【答案】作图见解析 【分析】本题主要考查了图形旋转的概念，即图形绕某一点旋转一定角度后，图形的大小和形状不变，但位置发生了改变，准确理解作图是解题的关键．分别将线段、、、绕点旋转，分别得到、、、，即可得到图形． 【详解】如图，先画出绕点逆时针旋转后的线段，再依次画出、、． 【经典例题十 利用旋转设计图案】 【例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的四个图案，能通过基本图形旋转得到的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查的是图形变换中旋转的知识，解题的关键是掌握旋转的定义． 根据旋转的定义，逐一分析给出的四个图案是否可以通过基本图形旋转得到即可． 【详解】解：在平面内，将一个图形沿某一个定点方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转； 图案①可由一个基本图形三角形，绕其中心经过旋转得到； 图案②可由一个基本图形类似于花的花瓣绕其中心经过旋转得到； 图案③可由一个基本图形绕其中心经过旋转得到； 图案④可由一个基本图形绕其中心经过旋转得到． 故选：D． 【例2】（23-24八年级下·全国·课后作业）在日常生产生活中，我们常会见到一些由旋转形成的美丽的图案．观察下列的两幅图（图（1）和图（2）），你能说出他们是由什么基本图形绕中心旋转180°设计出来的吗？    【答案】见解析 【分析】根据题意要求，找出基本图形即可． 【详解】解：图（1）和图（2）可分别看成是由基本图形（3）和基本图形（4）绕中心旋旋转180°得到的．    【点睛】本题考查了运用几何变换设计图案的知识，属于开放型题目，掌握旋转变换的性质是关键． 1．（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）图中是北京十一晋元中学的，将它顺时针旋转后的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题图形的旋转，根据旋转的特征结合题意即可得解，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键． 【详解】解：将它顺时针旋转后，只有C选项符合题意． 故选：C． 2．（23-24七年级下·广西贵港·期末）冰墩墩是2024年北京冬奥会的吉祥物，如图，通过旋转后得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的定义判断即可. 【详解】解：选项A是旋转吉祥物“冰墩墩”可以得到的图形. 故选：A 【点睛】本题考查利用旋转设计图案，解题的关键是掌握旋转的定义，属于中考常考题型. 3．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，△ABC纸片的面积为12cm2，其中一边BC的长为6cm，将其经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙无重叠的长方形BCDE，则长方形的周长为 cm． 【答案】16 【分析】延长AT交BC于点P，利用三角形的面积公式求出AP，求出BE，CD，DE，可得结论． 【详解】解：延长AT交BC于点P， ∵AP⊥BC， ∴•BC•AP=12， ∴×6×AP=12， ∴AP=4（cm）， 由题意，AT=PT=2（cm）， ∴BE=CD=PT=2（cm）， ∵DE=BC=6cm， ∴长方形BCDE的周长为6+6+2+2=16（cm）． 故答案为：16． 【点睛】本题考查图形的拼剪，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型． 4．（2024七年级下·重庆·阶段练习）分析图①，②，④中阴影部分的分布规律，按此规律在图③中画出其中的阴影部分． 【答案】见解析 【分析】从图中可以观察变化规律是，正方形每次绕其中心顺时针旋转，每个阴影部分也随之旋转，据此即可解答． 【详解】解：按规律在图③中画出其中的阴影部分是： 【点睛】本题考查了作图-旋转变换，找准规律是解题的关键． 【经典例题十一 旋转对称图形的识别】 【例1】（24-25九年级下·安徽合肥·期中）下列图形中，旋转对称图形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转对称图形，如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．根据所给图形，结合旋转对称图形的定义，依次进行判断即可． 【详解】解：第1个图形至少旋转120度与原图形重合； 第2个图形至少旋转90度与原图形重合； 第3个图形至少旋转72度与原图形重合； 第4个图形至少旋转60度与原图形重合，故4个图形都是旋转对称图形． 故选：D． 【例2】（2023八年级下·江苏·专题练习）如图，在四边形中，，，垂足为点C，E是的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)图中可以由△______绕着点______旋转______度后得到； (2)写出图中的一对全等三角形______； (3)若，，．求的面积． 【答案】(1)，E， (2) (3)25 【分析】（1）通过证明即可得到可以由绕点E旋转后得到； （2）根据（1）可直接得到答案； （3）利用可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵E是的中点， ∴， 在和中， , ∴（AAS）， ∴可以由绕点E旋转后得到， 故答案为：，E，； （2）解：由（1）可知 故答案为：； （3）解：∵，， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定、梯形的面积公式运用以及中心对称的知识，解题的关键证得． 1．（2025·江苏苏州·二模）下列图形中是旋转对称图形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 根据旋转对称图形的定义对四个图形进行分析即可． 【详解】解：第一个旋转后与初始位置重合，是旋转对称图形； 第二个旋转后与初始位置重合，是旋转对称图形； 第三个不是旋转对称图形． 第四个旋转后与初始位置重合，是旋转对称图形． ∴是旋转对称图形有3个． 故选：C． 2．（24-25八年级上·山东烟台·期末）观察如图所示的图案（考虑阴影），它可以看作图案的______通过______（方式）得到的（   ） A．二分之一，轴对称 B．四分之一，平移 C．三分之一，旋转 D．四分之一，旋转 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的旋转和平移，在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫做旋转，在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．结合图形特征得出图案阴影可以看作图案的四分之一通过旋转得到的，即可作答． 【详解】解：观察图形可知，它可以看做图案的四分之一通过每次旋转90度得到的， 故选：D． 3．（24-25七年级·全国·单元测试）如图，平行四边形中点为对角线交点，那么关于点对称的三角形有 对. 【答案】4 【分析】根据旋转对称图形的定义和平行四边形的性质即可得. 【详解】四边形ABCD是平行四边形，点O为对角线交点， ∴AB=CD，AD=BC，AO=CO，BO=DO， 围绕旋转中心O，旋转后，可发现： 与重合，与重合，与重合，与重合， 故答案为4. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和旋转对称图形的定义，找出三角形和旋转角是解题关键. 4．（24-25九年级上·山东青岛·单元测试）观察图形由的变化过程，写出每一步图形中各顶点的坐标是如何变化的，图形是如何变化的． 【答案】见解析. 【分析】解题的关键是观察图形，找出图中图形坐标的变化情况，总结出规律． 【详解】解：根据图形和坐标的变化规律可知： 由：纵坐标没变，横坐标变为原来的倍，因此图形做了横向拉伸变化； 由：点横坐标没变，纵坐标变为原来的相反数，因此图形关于轴对称； 由：图形中三个顶点的横坐标没变，纵坐标都增加了，即点、点、点向下平移一个单位．因此图形做了平移变化． 【点睛】本题主要考查了图形的平移和轴对称变换，解题的关键是要掌握坐标的变化和图形之间对应的变化规律，根据坐标的变化特点可推出图形的变化． 【经典例题十二 求旋转对称图形的旋转角度】 【例1】（25-26九年级上·全国·阶段练习）在我国，普遍将生活垃圾分为可回收物、有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾四类．其中，可回收物指生活垃圾中未经污染、适宜回收循环利用的废物，它的图标如图1所示，是国际通用的“循环再生标志”．在设计该图案时可以由图2中的基本图案以某点为旋转中心，顺时针旋转，依次旋转若干次，由基本图案和每次旋转后的图形组成，则旋转角的值可能是（   ） A．60° B．90° C．120° D．180° 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用旋转对称图形的性质，解题的关键是观察图形，得出旋转度数．根据图形可得这个图形可以由一个基本图形绕中心依次旋转四次得到，即可求解． 【详解】解：根据题意，顺时针旋转角度，依次旋转三次而组成， ∴每次旋转的度数为，即旋转角是， 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为的中点． (1)指出旋转中心，并求出旋转的度数； (2)求的长． 【答案】(1)旋转中心为点A，旋转角的度数为； (2)． 【分析】本题考查的是旋转的三要素，旋转的性质． （1）先求解，由点A旋转后与自身重合可得旋转中心，由B，D是旋转前后的对应点，可得旋转角的大小； （2）由旋转的性质，，再根据为的中点，据此求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∴， ∵当逆时针旋转一定角度后与重合， ∴旋转中心为点A，旋转角的度数为； （2）解：由旋转得，，， ∵为的中点， ∴， ∴． 1．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）等边三角形绕其中心点旋转一定角度后，可以与自身重合，旋转角最小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转对称图形的概念，根据等边三角形的性质，求出等边三角形的旋转对称角即可． 【详解】解：， ∴旋转角最小为． 故选：B 2．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图是一个正五角星，将这个正五角星绕着它的中心旋转与自身重合，至少应旋转的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是，因而旋转的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】解：， 因而一个正五角星绕着它的中心至少旋转能与自身重合． 故选：D． 3．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 度． 【答案】60 【分析】本题考查旋转的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 观察图形可得，图形由六个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度． 【详解】解：， ∴图形可看作由一个基本图形每次旋转，旋转次所组成，故最小旋转角为． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，正方形边长为2，以各边中心为圆心，1为半径依次作圆，将正方形分成四部分． (1)这个图形______（填“是”或“不是”）旋转对称图形；若是，则旋转中心是点______，最小旋转角是______； (2)求图形的周长和面积． 【答案】(1)是；； (2)周长；面积 【分析】本题考查的是旋转对称图形的含义，正方形的性质； （1）根据旋转对称图形的定义可得答案； （2）根据图形的周长为边长与圆周长的一半的和，面积是正方形的面积的，从而可得答案； 【详解】（1）解：这个图形是旋转对称图形；旋转中心是点，最小旋转角是； （2）解：图形的周长为边长与圆周长的一半的和，即； ， 图形的面积为． 【经典例题十三 求绕原点旋转90度的点的坐标】 【例1】（2024八年级下·西藏·期末）在平面直角坐标系中，已知点，若将线段绕原点逆时针旋转得到，则点在平面直角坐标系中的位置是在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转．利用旋转的性质画出旋转前后的图形，即可判断点在平面直角坐标系中的位置． 【详解】解：如图， 则点在平面直角坐标系中的位置是在第二象限． 故选：B 【例2】（25-26九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，将绕原点顺时针旋转得到（，分别是，的对应点）． (1)点的坐标是___________，点的坐标是____________； (2)若点位于内（不含边界），点为点绕原点顺时针旋转的对应点，直接写出的纵坐标的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了旋转作图，旋转的性质．熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质解答即可； （2）由旋转的性质可确定点旋转后对应点在线段上，且不与点重合，如图，然后作答即可． 【详解】（1）解：由旋转作图可知，点的坐标为，点的坐标是， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴旋转后对应点在线段上，且不与点重合，如图， ． 1．（2025·四川攀枝花·中考真题）已知直角坐标系，点在该坐标系中的坐标为，现将直角坐标系绕点按逆时针方向旋转到的位置，则点在新坐标系中的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查旋转，点的坐标；根据题意得到点在新坐标系中的第一象限，且与原来横纵坐标互换，均为正数，即可求出． 【详解】解：将直角坐标系绕点按逆时针方向旋转到的位置， ∴此时点在新坐标系中的第一象限，且原来横纵坐标互换均为正数， ∴点在新坐标系中的坐标为， 故选：B． 2．（2025·辽宁盘锦·二模）以原点为中心，将点按逆时针方向旋转，得到的点Q的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了坐标与图形变换旋转．建立平面直角坐标系，作出旋转后的图形，然后根据图形写出点Q的坐标即可． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，点Q的坐标为．    故选：B． 3．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，将绕点O按顺时针方向旋转，得，则点的对应点的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转． 根据旋转的性质可得答案． 【详解】解：∵绕点O按顺时针方向旋转得到，， ∴点的坐标为． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)将绕坐标原点O逆时针旋转，得到，请在图中画出； (2)直接写出（1）中点的坐标：___________． 【答案】(1)图形见解析 (2) 【分析】本题考查作图﹣旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质． （1）根据图形旋转的性质，先分别作三个顶点绕原点旋转得到的对应点，再将三个对应点连结成三角形即可； （2）根据图形即可写出坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由图可知点的坐标． 故答案为：． 【经典例题十四 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标】 【例1】（2025·贵州遵义·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，将线段绕点逆时针旋转后，点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形的旋转．画出将线段绕点逆时针旋转后，得到的线段，借助网格图写出点的坐标即可． 【详解】解：如下图所示， 将线段绕点逆时针旋转后，点的对应点的坐标是． 故选：A． 【例2】（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标，将绕点逆时针旋转得到，点对应点分别是，请在图中画出，并写出点的坐标． 【答案】见解析，点的坐标是，点的坐标是． 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—旋转．根据旋转的性质得到点A，O，B的对应点，即可得到． 【详解】解：如图，即为所求； 由图可知，点的坐标是，点的坐标是． 1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，将绕点P旋转，得到，则点，，的坐标分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，根据题意可得和关于点P成中心对称，则点P分别为的中点，据此根据两点中点坐标公式求解即可． 【详解】解：∵将绕点P旋转，得到， ∴和关于点P成中心对称， ∴点P分别为的中点， ∵，， ∴，，， 故选：A． 2．（2025·浙江舟山·一模）如图，在平面直角坐标系中，，将绕点A顺时针旋转，则点C的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，根据题意画出图象即可得到答案．解题的关键是正确作出图形． 【详解】解：如图，观察图象，点C的对应点的坐标是 故选：B． 3．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）在平面直角坐标系中，已知点和，将线段绕点旋转至，则的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查坐标与旋转，根据旋转的性质，利用数形结合的思想进行求解即可．熟练掌握旋转的性质，数形结合，是解题的关键． 【详解】解：由题意，作图如下： ∴当将线段绕点顺时针旋转至时，； 当将线段绕点逆时针旋转至时，； 故答案为：或． 4．（24-25九年级上·四川自贡·期末）如图，顶点坐标分别为，，． (1)若与关于轴对称，则的坐标是______； (2)若与关于坐标原点中心对称，则的坐标是______； (3)请在下图中画出将绕点沿顺时针方向旋转得到的，并写出的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查作图-旋转变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，也考查了轴对称的性质． （1）根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数即可求解； （2）根据关于原点对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数即可求解； （3）分别作出A，B，C的对应点，即可写出的坐标． 【详解】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征可知：点关于轴对称的点的坐标是 故答案为： （2）根据关于原点对称的点的坐标特征可知：点关于坐标原点对称的点的坐标是 故答案为： （3）如图所示，即为所求作的三角形， 由图可知： 【经典例题十五 求绕原点旋转一定角度的点的坐标】 【例1】（2023·四川绵阳·一模）以原点为中心，把点逆时针旋转，得到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一个点绕原点旋转后对应的点的坐标，根据以原点为中心逆时针旋转，得到的点与该点关于原点对称，即可求得答案． 【详解】解：依题意，点关于原点的对称点为， 即把点逆时针旋转，得到点B，点B的坐标为， 故选：B． 【例2】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，的顶点坐标分别为，将绕点O顺时针旋转得到，点A旋转后的对应点为．    (1)画出旋转后的图形： (2)点的坐标是 (3)的形状是 【答案】(1)图见解析 (2) (3)等腰直角三角形 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可； （2）由图可得答案； （3）由旋转可得，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，将点分别绕点O顺时针旋转得点，依次连接点， 即为所求；    （2）解：如图：    由旋转得：，，， ， 点的坐标是； （3）解：如图：    由旋转可得，， 是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 1．（23-24九年级上·山东临沂·期中）将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形变化和旋转求出旋转后与轴夹角为，然后求出点的横坐标与纵坐标，从而得解． 【详解】如图， 三角板绕原点顺时针旋转， 旋转后与轴夹角为， ， ， 点的横坐标为， 纵坐标为， 所以，点的坐标为． 故选：C． 2．（23-24九年级上·河南商丘·期中）如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，将绕点O按逆时针方向旋转得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，,根据旋转的性质，得到，计算选择即可． 【详解】∵,根据旋转的性质， ∴点的坐标为， 故选D． 3．（24-25九年级上·内蒙古兴安盟·期中）在平面直角坐标系中，点A坐标是，当把坐标系绕点O顺时针旋转时，点A在旋转后的坐标系中的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转．根据题意画出图形，连接，作轴于点B，当把坐标系绕点O顺时针旋转时，相当于把绕点O逆时针旋转，可得点A在旋转后的坐标系中的坐标是． 【详解】解：如图所示：连接，作轴于点B， ∵点A坐标是． ∴，， ∴， ∴， 当把坐标系绕点O顺时针旋转时，相当于把绕点O逆时针旋转， ∴点A在旋转后的坐标系中的坐标是． 故答案为：． 4．（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． (1)将绕点E逆时针旋转得到，画出． (2)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为　　． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）分别作出点D、F绕点E逆时针旋转得到的对应点，再首尾顺次连接即可； （2）根据旋转变换的性质可确定旋转中心，即可确定点的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：根据旋转的性质可得，旋转中心为和垂直平分线的交点, 如图所示，交点P即为旋转中心，根据点P在平面直角坐标系的位置可得坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图−旋转变换和旋转的性质及平面直角坐标系中点的坐标，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【经典例题十六 坐标与旋转规律问题】 【例1】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）已知：如图，等边三角形的边长为2，边在x轴正半轴上，现将等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束后，等边三角形中的点A坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转，根据图形的旋转寻找规律，总结规律是解决本题的关键．由每次旋转可知，旋转6次为一个循环，即可确定第2025次旋转结束后A所在位置，即可得解． 【详解】解： ∵等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转， ∴旋转6次为一个循环， ， 第2025次旋转结束后，等边三角形中的点A落在x轴的负半轴， 点A坐标为， 故选：． 【例2】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，在方格纸中，已知顶点在格点处的△ABC，请画出将△ABC绕点C旋转180°得到的△A'B'C'．（需写出△A'B'C'各顶点的坐标）． 【答案】A'（-1，-3），B'（1，-1），C'（-2,0），画图见解析． 【分析】先画出点A，B关于点C中心对称的点A'，B'，再连接A'，B'，C即可解题． 【详解】解： A关于点C中心对称的点A'（-1，-3），B关于点C中心对称的点B'（1，-1），C关于点C中心对称的点C'（-2,0），如图，△A'B'C'即为所求作图形． 【点睛】本题考查中心对称图形，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 1．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点的坐标为，将线段绕点O按顺时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段，又将线段绕点O按顺时针方向旋转长度伸长为的2倍，得到线段，如此进行下去，得到线段（n为正整数），则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与旋转的规律性问题．理解题意，掌握探究规律的方法是解题的关键． 根据题意得出，如此下去即可得出，即可求出的底和高．再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意得出，…，． ∴的底为，高为． ∴． 故选：C 2．（24-25九年级上·云南·期末）如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，每次旋转，那么经过第2025次旋转后，顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面直角坐标内坐标的变化规律，旋转的性质；连接，先求出点D的坐标，根据变化特点可知6次一个循环，由，推导出经过2025次旋转后，顶点D的坐标与第三次旋转得到的的坐标相同，由此可解答． 【详解】解：连接， 在正六边形中，， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴点． ∵将正六边形绕原点O顺时针旋转，每次旋转， ∴6次一个循环． ∵， ∴经过第2025次循环后，顶点D的坐标与第三次旋转得到的的坐标相同． ∵点D与关于原点对称， ∴， ∴经过2025次旋转后，顶点D的坐标是． 故选：A． 3．（2023九年级上·黑龙江哈尔滨·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，有一个矩形，边在x轴上，边在y轴上，，．将矩形绕着点O顺时针旋转90度，得到矩形再将矩形绕着点顺时针旋转得到矩形，依次旋转下去，则经过第113次旋转，点O的对应点的横坐标是 【答案】168 【分析】本题考查了坐标与旋转结合的找规律，根据旋转依次找出所求点的对应坐标，分析得到规律即可找到其相应的坐标． 【详解】解：在矩形中，，， 由旋转可知，，， ∴第1次旋转后，点O的对应点， 第2次旋转后，点O的对应点， 第3次旋转后，点O的对应点， 第4次旋转后，点O的对应点， 然后再重复以上过程，旋转4次一个循环，每一个循环结束，点O的对应点横坐标增加6个单位，在一个循环中纵坐标依次为0，1，2，0，横坐标依次为0，1，4，6，……， ， ∴经过113次旋转，点O的对应点横坐标为． 故答案为：168． 4．（23-24九年级上·广西百色·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(﹣1，1)、B(0，﹣2)、C(1,0)，点P(0，2)绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3， （1）在图中画出点P1、P2、P3； （2）继续将点P3绕点A旋转180°得到点P4，点P4绕点B旋转180°得到点P5，…，按此作法进行下去，则点P2020的坐标为　　． 【答案】（1）见解析；（2） (﹣2，﹣2) 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点P1、P2、P3即可； （2）画出P1～P6，寻找规律后即可解决问题． 【详解】解：（1）点P1、P2、P3如图所示， （2）（﹣2，﹣2） 解析： 如图所示：P1（﹣2，0），P2（2，﹣4），P3（0，4），P4（﹣2，﹣2）P5（2，﹣2），P6（0，2） ∵6次一个循环 ∴2020 ÷ 6 = 336... 4 ∴P2020（﹣2，﹣2） 【点睛】本题考查坐标与图形的性质、点的坐标等知识，解题的关键是循环探究问题的方法，属于中考常考题型． 【拓展训练一 旋转的识别判定及求解】 【例1】（23-24七年级上·河北石家庄·期中）摩天轮上以等间隔的方式设置36个车厢，车厢依顺时针方向分别编号为1号到36号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费30分钟，若图2表示21号车厢运行到最高点的情形，则此时经过多少分钟后，3号车厢才会运行到最高点？（    ） A．14分钟 B．20分钟 C．15分钟 D．分钟 【答案】C 【分析】先求出从21号旋转到3号旋转的角度占圆大小比例，再根据旋转一圈花费30分钟解答即可． 【详解】解：（分钟）． 所以经过20分钟后，3号车厢才会运行到最高点． 故选C． 【点睛】本题主要考查了生活中的旋转现象，理清题意，得出从21号旋转到3号旋转的角度占圆大小比例是解答本题的关键． 【例2】（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，，解答下列问题． (1)将向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，请画出； (2)已知是由旋转得到的，的三个顶点的坐标分别为，，，则旋转中心的坐标是_____，旋转角是_____度． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了平移作图，旋转性质的理解，旋转中心，正确作图是解题的关键． （1）根据题意，，，，向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，，，描点，画图即可； （2）先确定旋转中心在对应点连线垂直平分线的交点处，画图解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，，，，向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，，，画图如下：    则即为所求． （2）解：根据题意，旋转中心在对应点连线垂直平分线的交点处，画图如下：    此时坐标为，旋转角为，且为逆时针旋转， 故答案为：，． 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，三角形是由三角形绕点旋转得到的，则下列结论不成立的是（    ） A．点与点是对应点 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．同时要注意旋转的三要素：①定点——旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．旋转后，对应点与旋转中心共线，对应线段平行且相等，对应点到旋转中心的距离相等，对应角相等，其中与不是对应角，不能判断相等． 【详解】解：根据旋转的性质可知， 点与点是对应点，，，． 故选：C． 2．（23-24九年级下·山东青岛·自主招生）如下图左图，P点在O点正北方．一只机器狗从P点按逆时针方向绕着O点作匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如下图右图所示．那么经过101分钟，机器狗的位置会是下列图形中的（    ） A． B． B． C． C． D． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转中的规律问题，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；由周角的定义可知机器狗从P出发，按逆时针方向绕点O作匀速圆周运动，经过一周所需的时间为8分钟，然后根据可进行求解． 【详解】解：由图可得：机器狗走一分钟，所转的度数为， ∴机器狗经过一周所需的时间为（分钟）， ∵， ∴， ∴经过101分钟后，机器狗回到出发点P后还走了， 即选项D符合题意； 故选D． 3．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）如图，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是点 ． 【答案】M 【分析】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在． 判断哪个点到两个三角形的对应点的距离相等，且夹角也相等，即可求解． 【详解】解：如图，连接M和两个三角形的对应点； 发现两个三角形的对应点到点M的距离相等，且夹角都是， 因此格点M就是所求的旋转中心． 故答案为：M． 4．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，点E、F在AB上，且∠ECF＝60°． （1）①在图1中画出；点A关于直线CF的对称点G；②若EF＝AF，求证：BE＝EF； （2）如图2，∠ABP＝120°，射线BP交CE的延长线于点P，求证：PB+AF＝PF． 【答案】（1）①见解析，②见解析；（2）见解析. 【分析】（1）根据对称的性质画出点G，根据对称的性质和全等三角形的性质可求证BE＝EF.（2）将△ACF绕C点逆时针旋转至AC与BC重合，根据全等三角形的性质可求证PB+AF＝PF. 【详解】解：（1）①如解图（1）：G为点A关于直线CF的对称点； ②连接FG、CG、EG， ∵G为点A关于直线CF的对称点； ∴△ACF≌△GCF， ∴AC＝CG，∠ACF＝∠GCF，∠FGC＝∠A．   又∵AC＝BC， ∴CG＝CB， ∵∠ACB＝120°，∠ECF＝60°， ∴∠ECG＝60°﹣∠GCF＝60°﹣∠ACF，∠BCE＝60°﹣∠ACF， ∴∠ECG＝∠ECB， 在△GCE和△BCE中 ∴△GCE≌△BCE（SAS）， ∴EG＝BE，∠B＝∠EGC， ∵∠ACB＝120°， ∴∠A+∠B＝60°， ∴∠EGC+∠FGC＝60°， 又∵AF＝EF＝FG， ∴△FEG为等边三角形， ∴EF＝EG＝BE，即BE＝EF． （2）证明：由AC＝BC，∠ACB＝120°，故可将△ACF绕C点逆时针旋转120°到△BCF′位置，如解图2， ∵△ACF≌△BCF′， ∴∠A＝∠CBA＝∠CBF′＝30°，AF＝BF’，∠ACF＝∠BCF′ 又∵∠FBP＝120°， ∴∠FBP+∠ABC+∠CBF′＝180°， ∴B、P、F′在同一直线上， 又∵∠ACF+∠BCE＝∠BCF′+∠BCE＝60°，即∠PCF’＝60°． 在△CFP和△CF′P中， ， ∴△CFP≌△CF′P（SAS） ∴FP＝F′P， ∵PB+BF′＝BP+AF， ∴PB+AF＝PF 【点睛】本题综合考查图形对称、图形旋转和全等三角形的性质和判定. 【拓展训练二 旋转的性质及应用】 【例1】（25-26九年级上·河北邢台·期中）如图，绕点C逆时针旋转得到，若与互补，则n的值为（  ） A．60 B．90 C．100 D．120 【答案】B 【分析】本题主要考查旋转的性质，设，由旋转的性质可知，，，，由与互补可得，从而查得结论． 【详解】解：设， 由旋转的性质可知，， ∴，． ∵与互补， ∴，即， ∴， ∴． 故选：B． 【例2】（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接、相交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查的是旋转的性质、全等三角形的性质和判定，依据旋转的性质得到相等的边或角是解题的关键． 由旋转的性质可得到，，，依据等式的性质可得到，依据可证明，依据全等三角形的性质进行证明即可． 【详解】证明：是由绕点按逆时针方向旋转得到的， ∴，，， ∵ ， ，即． 在和中， ， ， ． 1．（2025·湖南邵阳·三模）如图，两张相同的宽为的矩形纸片叠放在一起，点是纸片中的任意一点．将一张纸片绕着点逆时针旋转，则旋转过程中，两张纸片重叠部分（即四边形）面积的最小值是（    ） A．8 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，过点D作，，连接、交于点O．根据题意先证出四边形是平行四边形，再由，，得，即有平行四边形是菱形，结合图形得出旋转过程中，菱形的高不变，底变化，当两张纸片垂直时，即时，底边最短，即可求出面积最小值． 【详解】解：过点D作，，连接、交于点O．    由题意知：，， ∴四边形是平行四边形， ∵两个矩形等宽， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， 旋转过程中，菱形的高不变，底变化， 当两张纸片垂直时，即时，底边最短，此时面积为：， 故选：C． 2．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，是锐角三角形内一点，，是内不同于的另一点；、分别由、逆时针旋转而得，旋转角都为，则下列结论： ①． ②、、、在一条直线上． ③． ④． 其中正确的有（           ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由于△A′BO′，△A′BP′分别由△AOB，△APB旋转而得，旋转角都为60°，得到BO′=BO，BP′=BP，∠OBO′=∠PBP′=60°，∠A′O′B=∠AOB，O′A′=OA，P′A′=PA，则△BOO′和△BPP′都是等边三角形，得到∠BOO′=∠BO′O=60°，OO′=OB，而∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，即可得到四个结论都正确． 【详解】连PP′，如图， ∵△A′BO′，△A′BP′分别由△AOB，△APB旋转而得，旋转角都为60°， ∴BO′=BO，BP′=BP，∠OBO′=∠PBP′=60°，∠A′O′B=∠AOB，O′A′=OA，P′A′=PA， ∴△BOO′和△BPP′都是等边三角形， ∴∠BOO′=∠BO′O=60°，OO′=OB， ∴A′O′+O′O=AO+BO，所以①正确； 而∠AOB=∠BOC=∠COA=120°， ∴∠A′O′O=∠O′OC=180°， 即△O′BO为等边三角形，且A′，O′，O，C在一条直线上，所以②正确； A′P′+P′P=PA+PB，所以③正确； 又∵CP+PP′+P′A′＞CA′=CO+OO′+O′A′， ∴PA+PB+PC＞AO+BO+CO，所以④正确． 故选D． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质以及两点之间线段最短． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）观察下列图象，与图A中的三角形相比，图B、图C、图D的三角形都发生了一些变化，若图A中P点的坐标为（a，b），则这个点在图B、图C、图D对应的P1、P2、P3对应的坐标分别为： ， ， ． 【答案】 （a，b﹣1）； （a，﹣b）； （12a，b）　 【详解】若图A中P点的坐标为（a，b），则这个点在图B、图C、图D对应的P1、P2、P3对应的坐标分别为：（a，b﹣1），（a，﹣b），（12a，b）． 故答案为（a，b﹣1），（a，﹣b），（12a，b）． 点睛：本题考查了几何变换的类型，平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋旋一定角度得得新图形，轴对称是沿某条直线翻折得到新图形，观察时要紧扣图形变换特点，认真判断． 4．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图，在由边长为1的正方形组成的网格中，将格点绕某点顺时针旋转（）得到格点，点与点，点与点，点与点是对应点． (1)请通过画图找到旋转中心，将其标记为点； (2)旋转角的度数是______； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)90° (3) 【分析】（1）连接CC1、AA1，再分别作两线段的中垂线，两中垂线的交点即为所求； （2）连接CO、C1O，结合网格特点可得旋转角∠COC1=α=90°； （3）利用割补法即可求面积． 【详解】（1）如图所示，连接CC1、AA1，再分别作两线段的中垂线，两中垂线的交点O即为所求； （2）如图所示，连接CO、C1O，结合网格特点可得∠COC1=α=90°， 故答案为； （3） ． 【点睛】本题主要考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质． 【拓展训练三 坐标与旋转的相关问题求解】 【例1】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将绕点O顺时针旋转，则点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的旋转规律，掌握点绕原点顺时针旋转的坐标变化规律是解题的关键．本题涉及平面直角坐标系中点的旋转，核心是掌握点绕原点顺时针旋转后的坐标变换规律为，利用该规律可直接推导旋转后点的坐标．根据点绕原点顺时针旋转的坐标变换规律：点绕原点顺时针旋转后得到的点的坐标为，来确定点对应点的坐标． 【详解】已知点的坐标为，根据点绕原点顺时针旋转的坐标变换规律：点绕原点顺时针旋转后，横坐标变为原来的纵坐标，纵坐标变为原来横坐标的相反数，即变换后坐标为． 对于点，，，所以旋转后点的坐标为 ． A．，不符合计算结果，错误； B．，不符合计算结果，错误； C．，符合计算结果，正确； D．，不符合计算结果，错误． 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中的顶点坐标分别是，，，以点为旋转中心，将顺时针转动，得到，在坐标系中画出，并写出、、的坐标． 【答案】图见解析， 【分析】本题考查了画旋转图形、点坐标的旋转变换，熟练掌握画旋转图形是解题关键．先根据旋转的定义画出旋转图形，再据此写出点的坐标即可得． 【详解】解：由题意，画出如下： 则． 1．（2025·湖北·一模）如图，点坐标为，点坐标为，将线段绕点顺时针旋转90°至，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，求平面直角坐标系内点的坐标， 先作轴，轴，根据题意可知，可得，再证明，可得，即可得出答案． 【详解】解：如图所示， 过点A，B作轴，轴，交x轴于点D，E， ∵点， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点． 故选：A． 2．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）如图，小星利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕原点O逆时针转动至，称为第一次转动，然后将绕原点O逆时针转动至，称为第二次转动，……那么按照这种转动方式，转动2025次后，点A的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形的旋转及性质，找出第4次旋转后回到初始位置是解题的关键． 依题意不难发现第4次旋转后回到初始位置，而，据此可得当旋转2025次后的位置与旋转第1次后的位置重合，据此即可解答． 【详解】解：∵每次绕点O逆时针旋转， ∴第4次旋转后回到初始位置， 又∵， ∴当旋转2025次后的位置与旋转第1次后的位置重合， 即此时点A与点重合， ∵点， ∴点 ∴转动2025次后，点A的坐标为． 故选：A． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，四边形是矩形，且，，，若将此矩形绕点按顺时针方向旋转，则点的坐标是 ，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题考查了矩形的性质，旋转的性质，坐标与图形，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据矩形得到，然后求出，然后根据旋转的性质得到点C落在x轴上，点A落在y轴上，然后根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴ ∵ ∴ ∵将此矩形绕点按顺时针方向旋转， ∴如图所示，点C落在x轴上，点A落在y轴上 ∵，， ∴ ∴点的坐标是，点的坐标是． 故答案为：，． 4．（2023·安徽淮北·三模）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点的对称中心的坐标为． 观察应用：    (1)如图，若点、的对称中心是点A，则点A的坐标为：　　． (2)在（1）的基础上另取两点、．有一电子青蛙从点处开始依次关于点、、作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，，则、的坐标分别为：　　、　　． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】（1）设，利用题中公式分别计算出和的值即可； （2）利用中心对称的性质画图可得到点、，从而得到它们的坐标． 【详解】（1）设， 点、的对称中心是点， ，， 点坐标为， 故答案为：； （2）点、的坐标分别为，．   故答案为：，． 【点睛】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 1．（25-26六年级上·黑龙江绥化·期中）下面物体的运动不是旋转现象的是（    ） A．风车的转动 B．国旗的升降 C．钟表分针的运动 D．拧瓶盖 【答案】B 【分析】此题考查了旋转的意义及在实际当中的运用． 根据在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一定的角度，这样的运动叫做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角．旋转前后图形的位置和方向改变，形状、大小不变．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、风车的转动是旋转，故此选项不符合题意； B、国旗的升降是平移不是旋转，故此选项符合题意； C、钟表分针的运动是旋转，故此选项不符合题意； D、拧瓶盖是旋转，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）图中的宸宸是杭州第19届亚运会的吉祥物，将它逆时针旋转后的图形是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题主要考查旋转，找到旋转中心，旋转方向以及旋转角度即可得到答案． 【详解】 解：逆时针旋转后的图形是  ， 故选A． 3．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）中国传统的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，它蕴含着丰富的哲学思想和数学文化．从数学角度看，太极图可以看作是由一个圆形的一部分经过旋转等变换得到另一部分．如果把黑色部分看作是由白色部分绕着圆心旋转得到的，那么旋转的角度可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求旋转角，根据题意可得旋转的角度一定是180度的倍数，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，黑色部分看作是由白色部分绕着圆心旋转得到的，那么旋转的角度一定是180度的倍数， 故选：C． 4．（24-25七年级下·陕西西安·自主招生）小王正在玩“俄罗斯方块”游戏，现在屏幕上出现的图形（见下图），每按一下旋转键，图形就会逆时针旋转，小王趁它未“落地”之前，连续按了15次后出现的图案是（    ） A． B． B． C． C． D． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的旋转变换，熟练掌握图形旋转的知识是解题的关键，根据题意找到图形旋转后变换的规律即可求解． 【详解】解：由题意得图形每按一次旋转键，图形就会逆时针旋转， 那么连续按4次旋转键后，图形会旋转， 即旋转一周后图形会回到原来的位置， 由此可知，该图形的旋转是以4次为一个循环周期， ， 则第15次逆时针旋转变为： 故选：D． 5．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）如图中，①②是两个完全相同的长方形，将①（   ）后，恰好拼成一个长方形，这个长方形的面积恰好是①的2倍． A．绕点顺时针旋转 B．绕点逆时针旋转 C．绕点顺时针旋转 D．绕点逆时针旋转 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质．由旋转的性质进行分析即可得到正确答案． 【详解】解：如图， 把图形①绕点顺时针旋转或逆时针旋转后，即可拼成一个长方形，这个长方形的面积恰好是①的2倍． 故选：B． 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，将三角形绕点A旋转到三角形，下列说法正确的个数有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】图形旋转前后的对应边相等，对应角相等，根据旋转的性质解答． 【详解】解：据旋转的性质，可知：，故（1）错误； ，故（2）正确； ，故（3）正确； ，故（4）正确． 故选：C． 【点睛】此题考查旋转的性质：图形旋转前后的对应边相等，对应角相等，熟记性质是解题的关键． 7．（23-24七年级上·上海·单元测试）平移和旋转前后的两个图形是（　　） A．形状不变，但大小不等 B．大小不变，但形状不同 C．形状不变，且大小相等 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了旋转变换与平移变换，根据旋转变换与平移变换都是只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小即可求解，掌握旋转变换与平移变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵平移和旋转都不改变图形的形状和大小， ∴平移和旋转前后的两个图形形状不变，且大小相等， 故选：． 8．（23-24九年级上·河北保定·期末）“易有太极，始生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，太极图是我国古代文化关于太极思想的图示，内含表示一阴一阳的图形（一黑一白）．如图，在正方形的内切圆中画出太极图，然后在正方形内随机取一点，则此点取自太极图中黑色部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】为了方便求解令正方形的边长为1，那么圆的直径也就是1，可以表示出正方形和圆的面积，利用图形的对称性可以得到太极图黑色和白色部分各占圆的一半，这样就能得出最后结果． 【详解】设正方形边长为1， 正方形面积， 圆的直径为1，则半径为， 圆的面积， 太极图是旋转对称图形，所以黑色和白色部分各占圆面积的一半， 太极图黑色部分面积， 所求概率为． 故选B． 【点睛】本题考查了内切圆的知识，圆和正方形的面积，以及旋转图形的对称性，利用对称性得出黑色部分占太极图的一半是解答本题的关键． 9．（24-25七年级下·上海宝山·期末）直角坐标平面内，若点M绕原点逆时针旋转到点．点M绕原点顺时针旋转到点Q，则点Q坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是绕原点旋转或后点的坐标特点，由点M绕原点逆时针旋转到点，点M绕原点顺时针旋转到点Q，可得关于原点对称，从而可得答案． 【详解】解：如图， ∵点M绕原点逆时针旋转到点，点M绕原点顺时针旋转到点Q， ∴关于原点对称， ∴点Q坐标为. 故选：D 10．（23-24七年级上·上海·期末）如图，方格纸上的直线m与直线n交于点O，对分别作下列运动： ①先以点A为中心顺时针方向旋转，再向右平移6格、向下平移3格； ②先以点B为中心逆时针方向旋转，再向下平移3个单位，再沿直线n翻折； ③先以点O为中心顺时针方向旋转，再向下平移4格、向右平移2格． 其中，能将变换成的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据图形的平移、旋转的性质，画出图形，即可一一判定． 【详解】解：①先以点A为中心顺时针方向旋转，得到的图形如下： 再向右平移6格、向下平移3格，即可得到， 故①符合题意； ②先以点B为中心逆时针方向旋转，得到的图形如下： 再向下平移3个单位，再沿直线n翻折，即可得到， 故②符合题意； ③先以点O为中心顺时针方向旋转，得到的图形如下： 再向下平移4格、向右平移1格，即可得到， 故③不符合题意． 故其中，能将变换成的是①②， 故选：A． 【点睛】本题考查了图形的变化，熟练掌握平移、旋转变化的性质与运用是解决本题的关键． 11．（24-25九年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在轴上，且．将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，……，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了坐标与图形、点的坐标变化规律等知识．根据题意分析得出点位置规律和长度的变化规律，进而得出答案． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， 将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形， 再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形， ……， ∴依此规律，可知，，，依次在轴的负半轴，轴的负半轴，轴的正半轴和轴的正半轴上，每4次一个循环， ∵， ∴在轴的负半轴上， 又∵，，，…， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，格点三角形①经过旋转后得到格点三角形②，则其旋转中心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；先确定点A与点E为对应点，点B和点F为对应点，则根据旋转的性质得旋转中心在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上，所以作的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点即为旋转中心． 【详解】解：∵经过旋转后得到， ∴点A与点E为对应点，点B和点F为对应点， ∴旋转中心在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上， 作的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点为M点，如图， 即旋转中心为M点． ∵， ∴其旋转中心的坐标为， 故答案为：． 13．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，将线段AB绕点B顺时针旋转，得到线段，则点A的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转、旋转的性质，根据旋转的性质作图即可． 【详解】解：将线段AB绕点B顺时针旋转得到线段如图所示， 点A的对应点的坐标是 故答案为： 14．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知点，将线段OA绕点O旋转90度得到线段，则点A的对应点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转、旋转的性质，根据旋转的性质作图求解即可． 【详解】解：如图， ∴点A的对应点的坐标是或； 故答案为：或 15．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，该图案可以看作是1个菱形通过 次旋转得到的，每次旋转的度数为 ． 【答案】 5 【分析】此题考查旋转对称图形，关键是根据旋转的定义判断. 根据旋转的定义判断即可. 【详解】解：观察图形可知，共有6个菱形， 因此可以看作是1个菱形旋转5次得到的，且每次旋转的度数为． 16．（23-24七年级上·上海嘉定·期末）在正方形、长方形、线段、等边三角形和平行四边形这五种图形中，是旋转对称图形不是中心对称图形的是 . 【答案】等边三角形 【分析】根据中心对称图形的定义以及旋转图形的性质分别判断得出即可． 【详解】正方形、长方形、线段、等边三角形和平行四边形这五种图形中、线段和平行四边形和正方形和长方形都是中心对称图形，只有等边三角形是旋转对称图形但不是中心对称图形；故答案为：等边三角形． 【点睛】此题主要考查了旋转图形的性质，注意中心对称图形也属于旋转图形，但要按要求答题 17．（23-24九年级上·湖南湘西·期末）如图，正方形中，经顺时针旋转后与重合． (1)旋转中心是点 ，旋转了 ； (2)如果正方形的边长为，求四边形的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了正方形旋转．熟练掌握正方形性质，旋转中心定义，旋转角定义，旋转性质，是解决问题的关键． （1）由旋转知，旋转中心是点A，旋转角是， （2）根据，得到． 【详解】（1）解：∵正方形中，，经顺时针旋转后与重合， ∴旋转中心是点，旋转角是， 故答案为：， （2）解：∵经顺时针旋转后与重合， ∴． ∴， ∴． 18．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为． (1)在图中画出将绕点A逆时针旋转后得到的； (2)在图中画出与关于原点O对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作旋转图形，作中心对称图形． （1）先根据旋转额性质确定点的位置，然后连线即可； （2）先根据中心对称的性质确定点的位置，然后连线即可． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求． 19．（2024九年级上·广东广州·期中）已知的顶点均在网格点上，如图所示． (1)将绕原点O按顺时针方向旋转后得到，画出； (2)作出关于原点O中心对称的图形，并写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和关于原点对称，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据网格的特点和旋转方式找到的位置，描出并顺次连接即可； （2）关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，据此可得的坐标，描出并顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求，． 20．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在方格纸上按要求完成作业． (1)将图A向左平移5格． (2)将图B按点O顺时针方向旋转． (3)以直线L为对称轴，画出已知图形C的轴对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了画平移图形，画轴对称图形和画旋转图形，正确找到对应图形的位置是解题的关键． （1）根据所给平移方式作图即可； （2）根据网格的特点和所给旋转方式作图即可； （3）根据轴对称图形的特点作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，图D即为所求； （2）解：如图所示，图E即为所求； （3）解：如图所示，图F即为所求． 【点睛】 21．（2024九年级上·江西赣州·期中）如图，在中，，，D是边上一点（点D与A，B不重合），连接，将线段绕点C按逆时针方向旋转得到线段，连接交于点F，连接． (1)求证； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质、三角形内角和及全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，然后可得，进而问题可求证； （2）由（1）可知，，则有，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和可进行求解． 【详解】（1）证明：∵将线段绕点C按逆时针方向旋转得到线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 22．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题： (1)作出绕点A逆时针旋转的． (2)作出关于原点O成中心对称的． (3)请直接写出以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 (3)以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标或或 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、图形与坐标及旋转的性质，熟练掌握平行四边形的性质、图形与坐标及旋转的性质是解题的关键； （1）根据旋转的性质可进行作图； （2）先得出点关于原点O的对称点，然后作图即可； （3）根据平行四边形的性质可分别以为对角线，然后得出点D的坐标即可． 【详解】（1）解：所作如图所示： （2）解：所作如图所示； （3）解：当分别以为对角线，作平行四边形，如图所示： 由图可知：以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标或或． 23．（25-26九年级上·北京东城·阶段练习）如图， Rt中， 点A 为 内一点， ． (1)画出将 绕点O逆时针旋转 得到的三角形； (2)求 的度数． 【答案】(1)画图见解析 (2)的度数为 【分析】本题考查了旋转的性质（旋转前后对应边相等、对应角相等）、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理与逆定理的应用．解题关键：通过将绕点O逆时针旋转构造全等三角形，将分散的线段、、和角集中到相关三角形中，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理逆定理求解角度． （1）依据且，确定旋转后的对应边为；保持旋转中心O不变，将点A绕O逆时针旋转得到对应点B，连接、，即得的旋转图形）． （2）连接；由旋转性质得，故、，且，判定为等腰直角三角形，得、；利用勾股定理的逆定理可推得为直角，最后可计算出的度数． 【详解】（1）解：由于， ∴旋转即在的位置上， ∴绕点O逆时针旋转得到的如图所示： （2）连接， ∵是由绕点O逆时针旋转得到的， ∴， ∴， 又∵， ∴ , 则, ∴, ∴． 24．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在等腰三角形中，，，点P为平面内一点． (1)如图1，，P在上，，若，且，则 ； ； (2)如图2，P为中点，连接，过B点的直线分别交，于E，F两点，若，求证：． (3)如图3，，P为外一点，且满足，求证：． 【答案】(1)2；4 (2)详见解析 (3)详见解析 【分析】（1）过点B作交的延长线于点H，根据等腰三角形的性质直接得出，证明，得出，根据三角形面积公式求出结果即可； （2）取的中点N，连接，根据中位线性质得出，根据平行线的性质得出，，根据等腰三角形性质得出，证明，得出，根据线段间的数量关系，即可得出答案； （3）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，，证明是等边三角形，得出，，证明，得出，，证明，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点B作交的延长线于点H，如图1所示： ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2；4； （2）证明：取的中点N，连接，如图2所示： ∵点P为中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）证明：将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，，如图3所示： 则，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，中位线的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2图形的旋转重难点题型专训 （3个知识点+16大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 判断生活中的旋转现象 题型二 判断由一个图形旋转而成的图案 题型三 找旋转中心、旋转角、对应点 题型四 求旋转中心的个数 题型五 旋转中的规律性问题 题型六 根据旋转的性质求解 题型七 根据旋转的性质说明线段或角相等 题型八 旋转的性质及辨析 题型九 画旋转图形 题型十 利用旋转设计图案 题型十一 旋转对称图形的识别 题型十二 求旋转对称图形的旋转角度 题型十三 求绕原点旋转90度的点的坐标 题型十四 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 题型十五 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 题型十六 坐标与旋转规律问题 拓展训练一 旋转的识别判定及求解 拓展训练二 旋转的性质及应用 拓展训练三 坐标与旋转的相关问题求解 知识点一：旋转的相关概念 1. 把一个平面图形绕着平面内某一O转动一个角度，叫做图形的旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．如果图形上的点P经过旋转变为点P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点． 2. 旋转三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·广东广州·期末）下面四幅图都是由线分别按箭头所示方向平移或者绕点旋转，得到相应的平面图形，其中对应错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河南周口·期末）如图，线段可以看成是线段先绕点C 旋转，再向 平移 小格得到的． 知识点二：旋转的性质 1. 对应点到旋转中心的距离相等． 2. 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 3. 旋转前、后的图形全等． 【即时训练】 1．（2024·浙江嘉兴·一模）若存在一条线段把一个图形分钢成两个部分，使其中一个部分绕该线段中点旋转后能与另一个部分重合，则我们把这个图形叫做旋转重合图形．下列图形中，属于旋转重合图形的是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．正五边形 2．（23-24八年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，如果△ABC和△DEF关于点G成中心对称，那么△ABC绕点G旋转 °后能与△DEF重合． 知识点三：旋转作图 将△ABC绕点M顺时针旋转120°后，得到△DEF的步骤： （1）定：确定旋转中心为点M，旋转方向为顺时针，旋转角为120°． （2）找：寻找构成图形的关键点A，B，C，连接关键点A和旋转中心M，即线段AM． （3）转：以旋转中心M为顶点，过关键点A的射线MA为一边，按顺时针方向作一个120°的角． （4）截：在角的另一边上取一点D,使MD＝MA，得到点A的对应点D，以此作法，可得点B的对应点E，点C的对应点F． （5）连：按原图顺序连接D，E，F，得到△DEF，如图所示． 【即时训练】 1．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）如图，三角形乙是三角形甲经过旋转变换得到的，则说法正确的是（    ）    A．绕点逆时针旋转 B．绕点顺时针旋转 C．绕点逆时针旋转 D．绕点顺时针旋转 2．（2024·湖南永州·中考真题）如图，图中网格由边长为1的小正方形组成，点为网格线的交点.若线段绕原点顺时针旋转90°后，端点的坐标变为 ． 【经典例题一 判断生活中的旋转现象】 【例1】（25-26九年级上·河北邢台·期中）下列情境属于旋转的是（  ） A．电流表指针来回摆动 B．滑动变阻器的滑片来回移动 C．热气球缓慢上升 D．打针时推动针管 【例2】（23-24九年级上·广东珠海·期中）下列现象中属于旋转的有 （填序号） ①火车在笔直行驶；②荡秋千运动；③地下水位下降；④钟摆的运动；⑤圆规画圆． 1．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）小华在电脑上查看一张图片（如图），他想把这张图片放正，应点击（   ）图标． A．（放大） B．（缩小） C．（逆时针旋转） D．（顺时针旋转） 2．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）在常见的扑克牌中，“红桃J”如下图这样放置，把它倒过来放，看它还是和原来一样的，这主要是利用数学中的（    ） A．旋转 B．平移 C．轴对称 D．以上都对 3．（24-25七年级上·上海·期末）在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以 （填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着 （填“顺”或“逆”）时针方向旋转 度． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）我们在日常生活中有许多行为动作：如①拉抽屉；②拧水龙头；③划小船；④调钟表；⑤推动推拉门；⑥转动方向盘；⑦乘电梯.我们用数学的眼光来看，其中属于旋转的有 .（填序号） 【经典例题二 判断由一个图形旋转而成的图案】 【例1】（23-24七年级上·上海·单元测试）以下生活用品中，不属于旋转图形的是（          ） A．大红“双喜字” B．三张叶片电风扇 C．四叶风车 D．红五星 【例2】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图所示，香港特别行政区区徽是由五个同样的花瓣组成的， 它可以看作是什么“基本图案”通过怎样的旋转而得到的？ 1．（2024八年级下·全国·专题练习）若自行车的车轮形如正方形，使车轮能平稳行驶，则地面形状大致为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）神舟十三号载人飞船于北京时间10月16日0时23分发射成功．如图是神舟十三号载人飞行任务标识，下列选项中是该标识经过旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024八年级下·江苏·专题练习）与电子显示的四位数不相等，但为全等图形的四位数是 ． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）将一张纸对折，剪出两个全等的三角形，把这两个三角形一起放到下列图中△ABC的位置上，试一试，如果其中一个三角形不动，怎样移动另一个三角形，能够得到下列图形呢？ 通过实际操作请回答下列问题： （1）这些图形中的两个三角形之间有什么样的关系？ （2）在由△ABC变成△A′B′C′的过程中 ①经过轴对称的是______； ②经过平移的是______； ③经过旋转的是______； ④经过平移和旋转的是______. 【经典例题三 找旋转中心、旋转角、对应点】 【例1】（23-24九年级上·河南驻马店·期中）如图，可由旋转而成，点的对应点是，点的对应点是，在平面直角坐标系中，三点坐标为，，，则旋转中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，方格纸中的每个小正方形的边长都为1，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上． (1)画出关于原点O成中心对称的 (2)以点A为旋转中心，将绕点A顺时针旋转得到，画出． (3)若可看作是由绕点P顺时针旋转得到的，则点P的坐标为___________． 1．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，由两个正方形组合成一个长方形，若将正方形绕旋某一点旋转一定角度与正方形重合，则这样的旋转点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级上·河北秦皇岛·期末）如图，点A、B、C、D、O都在网格的格点上，三角形绕某点逆时针旋转到三角形的位置，下列说法正确的是（   ） A．旋转中心是O，旋转角是 B．旋转中心是O，旋转角是 C．旋转中心是C，旋转角是 D．旋转中心是C，旋转角是 3．（24-25八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在正方形网格中，图②是由图①绕点、、、中的某一点逆时针旋转得到，其旋转角度是 ． 4．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，在三角形中，，D是边上的一点，三角形经过旋转后到达三角形的位置． (1)旋转中心是哪一点？ (2)旋转了多少度？ (3)如果M是的中点，那么经过上述的旋转后，点M到了什么位置？ 【经典例题四 求旋转中心的个数】 【例1】（23-24七年级上·上海宝山·期末）如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【例2】（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在4×4的网格纸中，ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点M，N，P，Q中找一点作为旋转中心．将ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有（　　） A．点M，点N B．点M，点Q C．点N，点P D．点P，点Q 1．（23-24九年级上·四川南充·期末）如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（　　） A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C 3．（24-25七年级·全国·单元测试）如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么点，，，中，可以作为旋转中心的有 个． 4．（24-25七年级·全国·单元测试）如图，和都是等边三角形. （1）沿着______所在的直线翻折能与重合； （2）如果旋转后能与重合，则在图形所在的平面上可以作为旋转中心的点是______； （3）请说出2中一种旋转的旋转角的度数______. 【经典例题五 旋转中的规律性问题】 【例1】（2023九年级下·湖南益阳·竞赛）如下图，将图形以点为旋转中心，每次按顺时针方向旋转，依次得到其他图形，则第次旋转后得到的图形是(    ) A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图1、图2中的三角形①～⑤的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)如图1，三角形②可以看成由三角形①经过一次 得到；三角形③可以看成由三角形①经过一次 得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）． (2)如图2，三角形⑤可以看成由三角形④经过怎样的图形运动得到？下列结论： A. 1次轴对称   B. 1次旋转    C． 1次平移和1次旋转  D. 1次旋转和1次轴对称 其中，所有正确结论是 ． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上，如图①．在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，则按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2023·河南许昌·二模）如图，等腰的顶点在轴上，顶点在轴上，已知，将绕点顺时针旋转，每次旋转，若旋转后点的对应点的坐标为，则旋转的次数可能是（    ）    A．71 B．72 C．73 D．74 3．（23-24七年级上·福建三明·阶段练习）有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子按如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2024次后骰子朝下一面的点数是 ．    4．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3+；…按此规律继续旋转，直到点P2020为止，则AP2020等于 ．    【经典例题六 根据旋转的性质求解】 【例1】（2025·上海·模拟预测）一个三角形纸片围绕某个顶点旋转一定角度，得到一个新的三角形纸片． 下列说法正确的是（    ） 【说法一】两个三角形纸片不可能拼成一个平行四边形； 【说法二】两个三角形纸片不可能拼成一个正方形． A．说法一、二 B．说法一 C．说法二 D．无 【例2】（2024七年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，是由绕点O逆时针旋转后得到的图形，若点D恰好落在上，且的度数为，求的度数． 1．（24-25九年级上·河南安阳·期末）如图，在方格纸中，将绕点按顺时针方向旋转后得到，则下列四个图形中正确的是（   ） A． B． B． C． C． D． D． 2．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图,旋转到，点A与点C是对应点，下列说法错误的是(   ) A． B． C．平分 D． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，若把绕点A旋转一定的角度得到，则 ，的对应角为 ，的对应边为 ． 4．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，绕A点顺时针旋转得，求． 【经典例题七 根据旋转的性质说明线段或角相等】 【例1】（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，把绕点O旋转得到，旋转后点A与点重合，点B与点重合，点C与点重合，则下列结论中，不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·吉林·期末）如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，作的平分线交于点．求证：． 1．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）如图，将三角形绕点C逆时针旋转一定的角度得到三角形，此时点A在边上．若，，则的长为（   ）    A．4 B．3 C．2.5 D．2 2．（23-24九年级上·江西南昌·期中）如图，将绕点D顺时针旋转，旋转角为，得到，则下列说法错误的是（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏·期末）如图，将绕点逆时针方向旋转到的位置，点落在边上的点处，若，，则 ． 4．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转得到，点A的对应点为D，点B的对应点E恰好落在上，延长交于点F． (1)写出相等的角：________，________________； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【经典例题八 旋转的性质及辨析】 【例1】（23-24七年级上·上海闵行·期末）下列说法中正确的有（    ） （1）如果把一个图形绕着一定点旋转后和另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称； （2）如果两个图形关于一点成中心对称，那么其对应点之间的距离相等； （3）如果一个旋转对称图形有一个旋转角为，那么它不是中心对称图形； （4）如果一个旋转对称图形有一个旋转角为，那么它是中心对称图形． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例2】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图所示图案可以看做是哪个基本图形通过几次旋转得到的？每次旋转了多少度？旋转中心是哪个？ 1．（2024·陕西西安·一模）下列图形不能由旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北唐山·期中）在图形的旋转中，下列说法不正确的是（    ） A．旋转前和旋转后的图形全等 B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等 C．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 D．图形上可能存在不动的点 3．（24-25七年级下·湖南怀化·期末）如图，三角形乙是三角形甲经过旋转变换得到的，则其旋转中心是点 ，逆时针方向旋转了 度. 4．（2024七年级下·河南开封·期末）如图，正方形中，点为边上的一点，将顺时针旋转后得到．    (1)指出旋转中心及旋转角的度数； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)若正方形的面积为的面积为，求四边形的面积． 【经典例题九 画旋转图形】 【例1】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，将方格纸中的图形绕点逆时针旋转后得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·湖北十堰·期中）画出下面图形绕点O顺时针旋转90度后的图形． 1．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）将如图所示原图中的三角形绕点O旋转后，不能得到的图形是图（   ） A． B． C． D． 2．（2024·山西晋城·三模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，，将绕点按逆时针方向旋转，得到，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知．将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，画出和旋转中心P，并直接写出旋转中心P的坐标为_______． 4．（23-24七年级上·福建福州·期中）画出平行四边形绕B点逆时针转 后的图形． 【经典例题十 利用旋转设计图案】 【例1】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的四个图案，能通过基本图形旋转得到的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（23-24八年级下·全国·课后作业）在日常生产生活中，我们常会见到一些由旋转形成的美丽的图案．观察下列的两幅图（图（1）和图（2）），你能说出他们是由什么基本图形绕中心旋转180°设计出来的吗？    1．（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）图中是北京十一晋元中学的，将它顺时针旋转后的图形是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·广西贵港·期末）冰墩墩是2024年北京冬奥会的吉祥物，如图，通过旋转后得到的图形是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，△ABC纸片的面积为12cm2，其中一边BC的长为6cm，将其经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙无重叠的长方形BCDE，则长方形的周长为 cm． 4．（2024七年级下·重庆·阶段练习）分析图①，②，④中阴影部分的分布规律，按此规律在图③中画出其中的阴影部分． 【经典例题十一 旋转对称图形的识别】 【例1】（24-25九年级下·安徽合肥·期中）下列图形中，旋转对称图形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（2023八年级下·江苏·专题练习）如图，在四边形中，，，垂足为点C，E是的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)图中可以由△______绕着点______旋转______度后得到； (2)写出图中的一对全等三角形______； (3)若，，．求的面积． 1．（2025·江苏苏州·二模）下列图形中是旋转对称图形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级上·山东烟台·期末）观察如图所示的图案（考虑阴影），它可以看作图案的______通过______（方式）得到的（   ） A．二分之一，轴对称 B．四分之一，平移 C．三分之一，旋转 D．四分之一，旋转 3．（24-25七年级·全国·单元测试）如图，平行四边形中点为对角线交点，那么关于点对称的三角形有 对. 4．（24-25九年级上·山东青岛·单元测试）观察图形由的变化过程，写出每一步图形中各顶点的坐标是如何变化的，图形是如何变化的． 【经典例题十二 求旋转对称图形的旋转角度】 【例1】（25-26九年级上·全国·阶段练习）在我国，普遍将生活垃圾分为可回收物、有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾四类．其中，可回收物指生活垃圾中未经污染、适宜回收循环利用的废物，它的图标如图1所示，是国际通用的“循环再生标志”．在设计该图案时可以由图2中的基本图案以某点为旋转中心，顺时针旋转，依次旋转若干次，由基本图案和每次旋转后的图形组成，则旋转角的值可能是（   ） A．60° B．90° C．120° D．180° 【例2】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为的中点． (1)指出旋转中心，并求出旋转的度数； (2)求的长． 1．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）等边三角形绕其中心点旋转一定角度后，可以与自身重合，旋转角最小为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图是一个正五角星，将这个正五角星绕着它的中心旋转与自身重合，至少应旋转的度数为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 度． 4．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，正方形边长为2，以各边中心为圆心，1为半径依次作圆，将正方形分成四部分． (1)这个图形______（填“是”或“不是”）旋转对称图形；若是，则旋转中心是点______，最小旋转角是______； (2)求图形的周长和面积． 【经典例题十三 求绕原点旋转90度的点的坐标】 【例1】（2024八年级下·西藏·期末）在平面直角坐标系中，已知点，若将线段绕原点逆时针旋转得到，则点在平面直角坐标系中的位置是在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例2】（25-26九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，将绕原点顺时针旋转得到（，分别是，的对应点）． (1)点的坐标是___________，点的坐标是____________； (2)若点位于内（不含边界），点为点绕原点顺时针旋转的对应点，直接写出的纵坐标的取值范围． 1．（2025·四川攀枝花·中考真题）已知直角坐标系，点在该坐标系中的坐标为，现将直角坐标系绕点按逆时针方向旋转到的位置，则点在新坐标系中的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁盘锦·二模）以原点为中心，将点按逆时针方向旋转，得到的点Q的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，将绕点O按顺时针方向旋转，得，则点的对应点的坐标为 ．    4．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)将绕坐标原点O逆时针旋转，得到，请在图中画出； (2)直接写出（1）中点的坐标：___________． 【经典例题十四 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标】 【例1】（2025·贵州遵义·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，将线段绕点逆时针旋转后，点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标，将绕点逆时针旋转得到，点对应点分别是，请在图中画出，并写出点的坐标． 1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，将绕点P旋转，得到，则点，，的坐标分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（2025·浙江舟山·一模）如图，在平面直角坐标系中，，将绕点A顺时针旋转，则点C的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）在平面直角坐标系中，已知点和，将线段绕点旋转至，则的坐标是 ． 4．（24-25九年级上·四川自贡·期末）如图，顶点坐标分别为，，． (1)若与关于轴对称，则的坐标是______； (2)若与关于坐标原点中心对称，则的坐标是______； (3)请在下图中画出将绕点沿顺时针方向旋转得到的，并写出的坐标． 【经典例题十五 求绕原点旋转一定角度的点的坐标】 【例1】（2023·四川绵阳·一模）以原点为中心，把点逆时针旋转，得到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，的顶点坐标分别为，将绕点O顺时针旋转得到，点A旋转后的对应点为．    (1)画出旋转后的图形： (2)点的坐标是 (3)的形状是 1．（23-24九年级上·山东临沂·期中）将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河南商丘·期中）如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，将绕点O按逆时针方向旋转得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·内蒙古兴安盟·期中）在平面直角坐标系中，点A坐标是，当把坐标系绕点O顺时针旋转时，点A在旋转后的坐标系中的坐标是 ． 4．（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． (1)将绕点E逆时针旋转得到，画出． (2)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为　　． 【经典例题十六 坐标与旋转规律问题】 【例1】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）已知：如图，等边三角形的边长为2，边在x轴正半轴上，现将等边三角形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束后，等边三角形中的点A坐标为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，在方格纸中，已知顶点在格点处的△ABC，请画出将△ABC绕点C旋转180°得到的△A'B'C'．（需写出△A'B'C'各顶点的坐标）． 1．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点的坐标为，将线段绕点O按顺时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段，又将线段绕点O按顺时针方向旋转长度伸长为的2倍，得到线段，如此进行下去，得到线段（n为正整数），则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·云南·期末）如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，每次旋转，那么经过第2025次旋转后，顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2023九年级上·黑龙江哈尔滨·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，有一个矩形，边在x轴上，边在y轴上，，．将矩形绕着点O顺时针旋转90度，得到矩形再将矩形绕着点顺时针旋转得到矩形，依次旋转下去，则经过第113次旋转，点O的对应点的横坐标是 4．（23-24九年级上·广西百色·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(﹣1，1)、B(0，﹣2)、C(1,0)，点P(0，2)绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3， （1）在图中画出点P1、P2、P3； （2）继续将点P3绕点A旋转180°得到点P4，点P4绕点B旋转180°得到点P5，…，按此作法进行下去，则点P2020的坐标为　　． 【拓展训练一 旋转的识别判定及求解】 【例1】（23-24七年级上·河北石家庄·期中）摩天轮上以等间隔的方式设置36个车厢，车厢依顺时针方向分别编号为1号到36号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费30分钟，若图2表示21号车厢运行到最高点的情形，则此时经过多少分钟后，3号车厢才会运行到最高点？（    ） A．14分钟 B．20分钟 C．15分钟 D．分钟 【例2】（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，，解答下列问题． (1)将向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，请画出； (2)已知是由旋转得到的，的三个顶点的坐标分别为，，，则旋转中心的坐标是_____，旋转角是_____度． 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，三角形是由三角形绕点旋转得到的，则下列结论不成立的是（    ） A．点与点是对应点 B． C． D． 2．（23-24九年级下·山东青岛·自主招生）如下图左图，P点在O点正北方．一只机器狗从P点按逆时针方向绕着O点作匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如下图右图所示．那么经过101分钟，机器狗的位置会是下列图形中的（    ） A． B． B． C． C． D． D． 3．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）如图，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是点 ． 4．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，点E、F在AB上，且∠ECF＝60°． （1）①在图1中画出；点A关于直线CF的对称点G；②若EF＝AF，求证：BE＝EF； （2）如图2，∠ABP＝120°，射线BP交CE的延长线于点P，求证：PB+AF＝PF． 【拓展训练二 旋转的性质及应用】 【例1】（25-26九年级上·河北邢台·期中）如图，绕点C逆时针旋转得到，若与互补，则n的值为（  ） A．60 B．90 C．100 D．120 【例2】（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接、相交于点．求证：． 1．（2025·湖南邵阳·三模）如图，两张相同的宽为的矩形纸片叠放在一起，点是纸片中的任意一点．将一张纸片绕着点逆时针旋转，则旋转过程中，两张纸片重叠部分（即四边形）面积的最小值是（    ） A．8 B．8 C． D． 2．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，是锐角三角形内一点，，是内不同于的另一点；、分别由、逆时针旋转而得，旋转角都为，则下列结论： ①． ②、、、在一条直线上． ③． ④． 其中正确的有（           ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）观察下列图象，与图A中的三角形相比，图B、图C、图D的三角形都发生了一些变化，若图A中P点的坐标为（a，b），则这个点在图B、图C、图D对应的P1、P2、P3对应的坐标分别为： ， ， ． 4．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图，在由边长为1的正方形组成的网格中，将格点绕某点顺时针旋转（）得到格点，点与点，点与点，点与点是对应点． (1)请通过画图找到旋转中心，将其标记为点； (2)旋转角的度数是______； (3)求的面积． 【拓展训练三 坐标与旋转的相关问题求解】 【例1】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将绕点O顺时针旋转，则点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中的顶点坐标分别是，，，以点为旋转中心，将顺时针转动，得到，在坐标系中画出，并写出、、的坐标． 1．（2025·湖北·一模）如图，点坐标为，点坐标为，将线段绕点顺时针旋转90°至，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）如图，小星利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕原点O逆时针转动至，称为第一次转动，然后将绕原点O逆时针转动至，称为第二次转动，……那么按照这种转动方式，转动2025次后，点A的坐标为（    ）    A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，四边形是矩形，且，，，若将此矩形绕点按顺时针方向旋转，则点的坐标是 ，点的坐标是 ． 4．（2023·安徽淮北·三模）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点的对称中心的坐标为． 观察应用：    (1)如图，若点、的对称中心是点A，则点A的坐标为：　　． (2)在（1）的基础上另取两点、．有一电子青蛙从点处开始依次关于点、、作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，，则、的坐标分别为：　　、　　． 1．（25-26六年级上·黑龙江绥化·期中）下面物体的运动不是旋转现象的是（    ） A．风车的转动 B．国旗的升降 C．钟表分针的运动 D．拧瓶盖 2．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）图中的宸宸是杭州第19届亚运会的吉祥物，将它逆时针旋转后的图形是（   ）    A．   B．   C．   D．   3．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）中国传统的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，它蕴含着丰富的哲学思想和数学文化．从数学角度看，太极图可以看作是由一个圆形的一部分经过旋转等变换得到另一部分．如果把黑色部分看作是由白色部分绕着圆心旋转得到的，那么旋转的角度可能是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·陕西西安·自主招生）小王正在玩“俄罗斯方块”游戏，现在屏幕上出现的图形（见下图），每按一下旋转键，图形就会逆时针旋转，小王趁它未“落地”之前，连续按了15次后出现的图案是（    ） A． B． B． C． C． D． D． 5．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）如图中，①②是两个完全相同的长方形，将①（   ）后，恰好拼成一个长方形，这个长方形的面积恰好是①的2倍． A．绕点顺时针旋转 B．绕点逆时针旋转 C．绕点顺时针旋转 D．绕点逆时针旋转 6．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，将三角形绕点A旋转到三角形，下列说法正确的个数有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（23-24七年级上·上海·单元测试）平移和旋转前后的两个图形是（　　） A．形状不变，但大小不等 B．大小不变，但形状不同 C．形状不变，且大小相等 D．以上都不对 8．（23-24九年级上·河北保定·期末）“易有太极，始生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，太极图是我国古代文化关于太极思想的图示，内含表示一阴一阳的图形（一黑一白）．如图，在正方形的内切圆中画出太极图，然后在正方形内随机取一点，则此点取自太极图中黑色部分的概率是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·上海宝山·期末）直角坐标平面内，若点M绕原点逆时针旋转到点．点M绕原点顺时针旋转到点Q，则点Q坐标为（   ） A． B． C． D． 10．（23-24七年级上·上海·期末）如图，方格纸上的直线m与直线n交于点O，对分别作下列运动： ①先以点A为中心顺时针方向旋转，再向右平移6格、向下平移3格； ②先以点B为中心逆时针方向旋转，再向下平移3个单位，再沿直线n翻折； ③先以点O为中心顺时针方向旋转，再向下平移4格、向右平移2格． 其中，能将变换成的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 11．（24-25九年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在轴上，且．将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，……，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是 ． 12．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，格点三角形①经过旋转后得到格点三角形②，则其旋转中心的坐标为 ． 13．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，将线段AB绕点B顺时针旋转，得到线段，则点A的对应点的坐标是 ． 14．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知点，将线段OA绕点O旋转90度得到线段，则点A的对应点的坐标是 ． 15．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，该图案可以看作是1个菱形通过 次旋转得到的，每次旋转的度数为 ． 16．（23-24七年级上·上海嘉定·期末）在正方形、长方形、线段、等边三角形和平行四边形这五种图形中，是旋转对称图形不是中心对称图形的是 . 17．（23-24九年级上·湖南湘西·期末）如图，正方形中，经顺时针旋转后与重合． (1)旋转中心是点 ，旋转了 ； (2)如果正方形的边长为，求四边形的面积． 18．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为． (1)在图中画出将绕点A逆时针旋转后得到的； (2)在图中画出与关于原点O对称的． 19．（2024九年级上·广东广州·期中）已知的顶点均在网格点上，如图所示． (1)将绕原点O按顺时针方向旋转后得到，画出； (2)作出关于原点O中心对称的图形，并写出点的坐标． 20．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在方格纸上按要求完成作业． (1)将图A向左平移5格． (2)将图B按点O顺时针方向旋转． (3)以直线L为对称轴，画出已知图形C的轴对称图形． 21．（2024九年级上·江西赣州·期中）如图，在中，，，D是边上一点（点D与A，B不重合），连接，将线段绕点C按逆时针方向旋转得到线段，连接交于点F，连接． (1)求证； (2)当时，求的度数． 22．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题： (1)作出绕点A逆时针旋转的． (2)作出关于原点O成中心对称的． (3)请直接写出以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标． 23．（25-26九年级上·北京东城·阶段练习）如图， Rt中， 点A 为 内一点， ． (1)画出将 绕点O逆时针旋转 得到的三角形； (2)求 的度数． 24．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在等腰三角形中，，，点P为平面内一点． (1)如图1，，P在上，，若，且，则 ； ； (2)如图2，P为中点，连接，过B点的直线分别交，于E，F两点，若，求证：． (3)如图3，，P为外一点，且满足，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $