精品解析：江苏省南京市第五高级中学2025-2026学年高二上学期10月学情调研数学试卷

南京市第五高级中学高二数学10月学情调研（第6周） 满分：150分时间·120分钟 命题人，高二数学备课组 学校：_____姓名：______班级：_______考号：______ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得其斜率，即可得倾斜角. 【详解】. 设其倾斜角为，则，又， 则，即倾斜角为150°. 故选：D 2. 设为实数，已知直线，，若，则（ ） A. 6 B. C. 6或 D. 或3 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线一般形式下的平行条件计算即可. 【详解】因为，所以，解得或． 当时，，满足与平行； 当时，，可判断此时与重合，舍去； 所以. 故选：A． 3. 设sin，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：，两边平方后得，整理为，即，故选A. 考点：三角函数 4. 过圆x2+y2＝5上一点M（1，﹣2）作圆的切线l，则l的方程是（　　） A. x+2y﹣3＝0 B. x﹣2y﹣5＝0 C. 2x﹣y﹣5＝0 D. 2x+y﹣5＝0 【答案】B 【解析】 【分析】本题先根据圆的切线的几何意义建立方程求切线的斜率，再求切线方程即可. 【详解】解：由题意：点M（1，﹣2）为切点，则，， 解得：， ∴l的方程：，整理得：， 故选：B. 【点睛】本题考查圆的切线的几何意义，点斜式直线方程，两线垂直其斜率相乘等于，是基础题. 5. 已知圆与圆0相外切，则m的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由两圆外切,则两圆心间的距离等于两半径之和可得答案. 【详解】由圆可得 则，所以 所以圆的圆心为 ，半径 圆的圆心为 ，半径 圆与圆相外切，则 解得 故选：A 6. 直线经过点，斜率为k，在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率k的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线的点斜式方程求出直线的方程，再由给定条件列式求出斜率范围. 【详解】依题意，直线的方程为，由，得， 因此，即，解得或， 所以斜率k的取值范围是或. 故选：D 7. 已知圆锥的母线长为2，轴截面面积为，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件求出圆锥的底面半径和高，再利用公式求侧面积即可. 【详解】已知圆锥的母线长，设圆锥的底面半径为，高为， 由已知得 解得或， 由于圆锥的侧面积为：， 所以，或， 故选：D. 8. 已知圆和圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标，以及半径，然后求解圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出的最小值. 【详解】圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，圆的圆心坐标为，半径为3， ∴若与关于x轴对称，则，即， 由图易知，当三点共线时取得最小值， ∴的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和， ∴. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在方向上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用数量积的坐标运算求得，即可判断B；代入向量夹角的余弦公式求夹角判断C；由投影向量定义计算求解即可判断D，对于A，先求出的坐标，然后由垂直关系的向量表示即可判断A. 【详解】因为，， 所以， 所以向量与的夹角的余弦值为， 因为，所以向量与的夹角为，， 向量在方向上的投影向量为， ，所以，所以， 故ABD正确；C错误. 故选：ABD 10. 若复数，则（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 复数满足，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数的性质和运算法则求出复数，进而利用共轭复数的定义，复数的模的计算公式，复平面坐标及几何意义分析判断选项． 【详解】， ， ，故A错误； ，故B正确； 在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故C正确； 复数满足， 复数在复平面内对应的点在以原点为圆心的单位圆上， ，故的最大值为，故D正确． 故选：BCD． 11. 点在圆上，点，点，则下列结论正确的是（ ） A. 过点可以作出圆的两条切线 B. 点到直线距离的最大值为 C. 圆关于直线对称的圆的方程为 D. 当最大时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，判断得点在圆外即可； 对于B，利用圆上动点到直线的最大距离为即可判断； 对于C，求得圆心关于直线对称的点即可得解； 对于D，判断得最大时直线与圆相切，再利用两点距离公式与勾股定理即可得解. 【详解】对于A，因为， 所以点在圆外，则过点可以作出圆的两条切线，故A正确； 对于B，由题意可得，直线的方程为，即， 因为圆，所以，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 所以点到直线距离的最大值为，故B正确； 对于C，设圆心关于直线对称的点为， 则，解得， 所以圆关于直线对称的圆的方程为，故C错误； 对于D，当最大时，易得直线与圆相切，如图， 在中，，， 所以，故D正确. 故选：ABD . 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 点到直线l：（为任意实数）的距离的最大值为____________． 【答案】. 【解析】 【分析】将直线方程变形为，得直线系恒过点，由此得到P到直线l的最远距离为，再利用两点间的距离公式计算可得． 【详解】∵直线， ∴可将直线方程变形为， ∴，解得， 由此可得直线系恒过点， P到直线l的最远距离为，此时直线垂直于PA， ∴． 故答案为：. 13. 从分别写有的五张卡片中任取两张，则抽到的两张卡片上的数字之和是3的倍数的概率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由古典概型概率计算公式直接求解. 【详解】从五张卡片中任取两张共有， 两张卡片上的数字之和是3的倍数有，共4种， 所以概率. 故答案为： 14. 已知点，若圆上存在点使得，则实数的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】先把圆上存在点使得，转化为圆与圆相交，利用，解不等式即可. 【详解】因为直径所对的圆周角为90°，而， 所以以AB为直径的圆与圆存在公共点， 故两圆相交或相切， 所以 解得. 故答案为： 【点睛】圆C1和圆C2 的半径分别为R和r，圆心距为d，圆与圆的位置关系由5种： （1）相离；（2）相外切；（3）相交；（4）相内切；（5）相内含； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式求解即得. （2）由面积公式求出，再利用余弦定理求出，即可求出周长. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 而，则，即， 化简得，又，所以. 【小问2详解】 由（1）及三角形面积公式，得，解得， 由余弦定理得， 所以的周长为. 16. 已知直线经过点. （1）若直线在x轴和y轴上的截距互为相反数，求直线的方程（写成一般式）； （2）若直线与两坐标轴的正半轴能够围成三角形，求该三角形面积最小时直线的方程（写成斜截式）. 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）按直线的截距为0及不为0分类，结合直线的截距式方程求解. （2）设出直线的截距式方程，结合均值不等式得到面积最小时参数满足的条件，从而得到直线的方程. 【小问1详解】 当直线的截距为0时，该直线方程为； 当直线的截距不为0时，设该直线方程为：， 则，解得，因此直线方程为：. 所以直线的方程为或. 【小问2详解】 依题意，设直线方程为：，则， ，解得，当且仅当，即时取等号， 因此三角形面积，即当时，三角形面积取得最小值4，直线方程为， 所以所求直线方程为. 17. 如图，在正三棱柱中，D是棱BC上的点（不与点C重合），. （1）证明：平面平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明： 在正三棱柱中，平面， 因为平面，所以. 又，，，平面， 所以平面. 又因为面， 所以面面. （2）. 【解析】 【分析】（1）首先由垂直底面得到，又因为，则由线面垂直的判定定理得到平面，而面，最终证明面面； （2）在平面中，作于点E，由平面得，又因为，可得平面，故为与平面所成的角，再利用等边三角形三线合一、勾股定理得到的值，最终计算出其正弦值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 在平面中，作于点E. 由（1）可知平面， 因为平面，所以， 又，，平面， 所以平面. 因此为与平面所成的角. 因为在正三棱柱中，为正三角形， 由平面，平面，得， 所以D为BC的中点，. 在Rt中，，即， 所以与平面所成角的正弦值为. 18. 在平面直角坐标系中，设顶点坐标分别为，，，，，圆M为的外接圆． （1）求圆M的方程； （2）直线过点与圆M相交于两点，，求直线的方程； （3）若圆M上存在点P，满足，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）设圆的一般方程，利用待定系数法即可求解； （2）根据和圆M的半径解出圆心到直线的距离，再分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合点到直线距离公式列出方程即可求解； （3）设的坐标，根据，分析出P点满足另一圆的方程，结合两圆存在交点即可求解． 【小问1详解】 设圆的一般方程为， 将A、B、C三点坐标分别代入方程可得， 解得，所以圆的一般方程为，整理为标准方程为． 【小问2详解】 已知圆的方程为，则圆心，半径， 设圆心到直线的距离为，所以，解得， 分两种情况讨论直线的斜率， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，满足，所以是直线的一个方程； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离， 解得，所以直线的方程为，整理得； 综上，直线的方程为或． 【小问3详解】 设的坐标，因为， 所以， 整理得，， 所以点在以为圆心，为半径的圆上， 又因为点在圆，所以两个圆有公共点， 故有， 解得． 19. 已知圆：与直线交于M、N两点，点P为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为. （1）求的值及的面积； （2）若圆C与x轴交于A、B两点，点Q是圆C上异于A、B的任意一点，直线、分别交：于R、S两点.当点Q变化时，以为直径的圆是否过圆C内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）， （2）过定点， 【解析】 【分析】（1） 先确定直线的方程，联立直线方程求得点坐标，利用垂径定理及两直线垂直的斜率关系计算可得；根据点到直线的距离公式、弦长公式计算求面积即可； （2）设直线方程，含参表示直线方程，求出坐标，从而求出以为直径的圆的方程，利用待定系数法计算即可. 【小问1详解】 由题意可知直线的方程为， 则联立与可求出点坐标为， 又因点P为线段的中点，所以可得， 即，所以可得， 由可知圆心，所以到直线的距离， 又因圆半径为，根据勾股定理可求得， 所以线段， 又因原点到直线距离为，所以线段上的高为， 所以. 【小问2详解】 由圆与轴交于两点，得， 不妨设直线的方程为，其中， 在直线的方程中，令，可得， 因为，则直线的方程为， 在直线的方程中，令，可得，即点， 则线段的中点为，圆的半径平方为， 所以以线段为直径的圆的方程为， 即，由，解得， 因此当点变化时，以为直径的圆恒过圆内的定点. 【点睛】解题的关键是设直线的方程为，则直线的方程为，由表示的中点为，圆的半径平方为，得以线段为直径的圆的方程，可得以线段为直径的圆过圆内的一定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市第五高级中学高二数学10月学情调研（第6周） 满分：150分时间·120分钟 命题人，高二数学备课组 学校：_____姓名：______班级：_______考号：______ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 设为实数，已知直线，，若，则（ ） A. 6 B. C. 6或 D. 或3 3. 设sin，则 A. B. C. D. 4. 过圆x2+y2＝5上一点M（1，﹣2）作圆的切线l，则l的方程是（　　） A. x+2y﹣3＝0 B. x﹣2y﹣5＝0 C. 2x﹣y﹣5＝0 D. 2x+y﹣5＝0 5. 已知圆与圆0相外切，则m的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 直线经过点，斜率为k，在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率k的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 7. 已知圆锥的母线长为2，轴截面面积为，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 已知圆和圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在方向上的投影向量为 10. 若复数，则（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 复数满足，则的最大值为 11. 点在圆上，点，点，则下列结论正确的是（ ） A. 过点可以作出圆的两条切线 B. 点到直线距离的最大值为 C. 圆关于直线对称的圆的方程为 D. 当最大时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 点到直线l：（为任意实数）的距离的最大值为____________． 13. 从分别写有的五张卡片中任取两张，则抽到的两张卡片上的数字之和是3的倍数的概率为______. 14. 已知点，若圆上存在点使得，则实数的取值范围是____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长. 16. 已知直线经过点. （1）若直线在x轴和y轴上的截距互为相反数，求直线的方程（写成一般式）； （2）若直线与两坐标轴的正半轴能够围成三角形，求该三角形面积最小时直线的方程（写成斜截式）. 17. 如图，在正三棱柱中，D是棱BC上的点（不与点C重合），. （1）证明：平面平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值. 18. 在平面直角坐标系中，设顶点坐标分别为，，，，，圆M为的外接圆． （1）求圆M的方程； （2）直线过点与圆M相交于两点，，求直线的方程； （3）若圆M上存在点P，满足，求实数m的取值范围． 19. 已知圆：与直线交于M、N两点，点P为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为. （1）求的值及的面积； （2）若圆C与x轴交于A、B两点，点Q是圆C上异于A、B的任意一点，直线、分别交：于R、S两点.当点Q变化时，以为直径的圆是否过圆C内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $