福建省三明第一中学2025-2026学年高三下学期校模拟考数学试题

三明一中2025-2026学年高三下学期校模拟考 数学试题 一、单选题 1.已知集合A={01,2,3},B={xr2-4x+3≤0}，则AnB中元素的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知复数z满足i=2+i,则z的虚部为 A.-1 B、-2 C.1 D.2 3.设a,6是夹角为120°的两个单位向量，若c=2a+6,则日= A.5 B.2 C.万 D.3 4.如图，某社区为墙面A、B、C、D四块区域宣传标语进行涂色装饰，每个区域涂一种 颜色，相邻区域（共边）不能用同一颜色，若只有4种颜色可供使用，则恰好使用了3 种颜色的涂法有 D A.12种 B.24种 C.48种 D.144种 17 5.已知等比数列{an}为递增数列，若a4g=2a4,43+a,= ，则4= A.君 B.寻 C.4 D.8 6. 己知曲线y=f(x)向右平移严个单位长度得到曲线y=cosx,则∫(x)= Aeor(x-)B.eos(x-君)c.sm(x-到 D.m-到 7设取上的可号品数满足兴>0，且(c+引是偶肠数者&=02. b=f(1og23),c=f(2),则a,b,c的大小关系为 A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.b>c>a 8.在直三棱柱ABC-ABC中，点P满足3AD=AB+AC,若经过P,B,C三点的平面 将棱柱分为T,T2两部分(T,的体积较小)，则T与T2的体积之比为 A.4:5 B.5:7 C.10:17 D.8:19 二、多选题 9.设事件A、B满足P(A)=0.2,P(B)=0.5,则下列结论正确的是 A.P(A<P(⑧ B.若A、B互斥，则P(A+B)=0.7 C.若A、B独立，则P(AB)=0.1 D.若P(B|A)=O.2,则A、B独立 10.若抛物线y2=4x上仅存在两个点到直线y=x+a的距离为√2，则实数a的值可以是 A.0 B.1 C.2 D.3 11.已知数列{an}满足a=e-1（e是自然对数的底数)，且a=-1,则 A.a<an+ B.a,<0 c. 244>-2 D.am-an<aman k 三、填空题 12.已知双曲线c:x2- =1的左、右焦点分别为F,F,P是C右支上一点，PF⊥FF, 3 则PF=· 13.在△ABC中，若anA=2,tanB=3,则角C= 14.某种病毒在特定环境下可通过空气传播，其病毒载量2(t)(单位：拷贝数升)与时间t (小时)的关系为2()=2，·2”“，其中k>1,Q,为初始病毒载量，则病毒载量在 1=小时达到峰值，之后病毒载量每经过1小时衰减为原来的三倍，当低于品时 16 不具传染性，则从t=0起，该病毒具有传染性的总时长为小时. 四、解答题 15.(13分) 记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,且， sinB sinC 1+cosB 2-cosC (1)证明：4，b,c成等差数列： (2)若B=60°，延长BC至D,使得BC=2CD,求42 16.(15分) 如图，在三棱柱ABC-4B,C中，平面AAC⊥平面AB,C,AC⊥AB,AC=25, 1B=从=2，∠C8-君 B A B (I)证明：AB⊥平面AB,C: (2)求BC,的长； (3)求平面LAB与平面ABC夹角的余弦值. 17.(15分) 已知aeR,函数f(y=号x-am2+x. (1)若x=2是函数f(x)的极小值点，求a: (2)若函数∫(x)存在两个极值点名，x2(:<x2) (i)求a的取值范围， ()设点A(,f(x),B(x2,∫(2)，证明：存在为，x∈(，2)，且≠4，使 得曲线y=f(x)在x=3和x=x4处的切线都与直线AB平行. 18.（17分) 已知椭圆c子+ +京=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，焦距为25. (1)求C的标准方程； (2)设A,B是C上关于y轴对称的两点，P是C上一点，直线PA,PB与y轴分别交于 M,N两点、 (i)设O为坐标原点，证明：OMOW为定值； (i)若AM⊥AN,求△PAB的面积的最大值。 19.（17分) 某从业资格考试共分3级，考生必须从第1级考试开始，每级考试次数不限，通过后即 进入下一级考试，直至第3级考试通过，考试终止并取得从业资格.已知甲参加一次第1， 2,3级考试通过的概率分别为。，片，，且每次考试相互独立。记甲第次考试后取得从业 资格为事件An(n23). (1)求P(A),P(A): 2)求P(An)的表达式； (3)甲第n次考试恰通过2级为事件Bn,比较P(Bn|A+1)与P(An1|Bn)的大小，并根据 你的理解说明其含义， 5月校模拟考参考答案 题号 2 3 4 6」 6 7 6 9 10 答案 c B A D B D BC ABC 题号 11 答案 ABD 12.5 14. 4 32 15.【详解】(1)因为 sinB sinC 1+cosB 2-cosC 所以2sinB-sinBcosC=sinC+cosBsinC, 2sinB-sinC=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C) 因为A+B+C=180°，所以sin(B+C)=sin(180°-A)=sinA, 所以2sinB=sinA+sinC, 由正弦定理得，2b=a+c,所以a,b,c成等差数列. (2)因为B=60°，代入，sinB `1+cosB2-cosC,可得si血(C+30)=1 sinC 因为0<C<120°，所以C=60°，所以△ABC是等边三角形， 设AB=2k(k>0),则CD=k, 在△ACD中，由余弦定理， 得AD=VAC'+CD2-2AC.CD.cos∠ACD=√7k 所以D、厅 AB 2 16.【详解】(1)证明：因为AB=A4,所以四边形ABBA是菱形， 所以AB⊥AB,又4C⊥AB,且AC/1AC, 所以AC⊥AB,因为AC门AB=A,ACc平面AB,C,ABC平面ABC, 所以AB⊥平面AB,C; 2)在△BC中，由4C=25,4B=2,∠C1B=若 BC=4CAB-24C:AB C0SZCAB=12+4-2x 22x 如图，取AC的中点O,连接OA，OB, 因为AB=BC,所以OB⊥AC, 因为平面AAC⊥平面ABC,平面AAC∩平面ABC=AC, 所以OB⊥平面AAC, 因为OAc平面AAC, 所以OB⊥OA,因为AC⊥AB,AC⊥OB,AB,OBC平面OB4, 且AB∩OB=B,所以AC⊥平面OBA 因为OAc平面OBA,所以AC⊥OA因为AC的中点为O, 所以AC=AA=2,在Rt△AOA和Rt△ABO中，可知AO=OB=1, 在Rt△BOA中，可知AB=√2， 因为4C⊥AB,所以AC2+AB2=BC, 解得：BC=V4; (3)由(2)，以O为坐标原点，直线OB,OC,OA所在方向分别为x轴，y轴，z轴建 立空间直角坐标系， C1 B X 则A0,-5,0),C(0,V5,0),B(1,0,0),A(0,0,1), 所以48=1,0，-1)，4=(0,5,1)，4C=0,V5,-1), 设平面A4B的法向量为%=(，，Z), 则 4=%+=0'令=5，得=5，-1， 乃·4B=x-名=0 设平面ABC的法向量为m=(a,b,c), 「a-c=0 m4c=0'即 则 m·AB=0 即{56-c=0'令b=1,则a=c=5, 所以平面ABC的一个法向量为m=(√5,1，√5)， 设平面AAB与平面ABC的夹角为O, m列 3-1+35 则cos8曰cos<,m>片 网V7×万7' 所以平面A4B与平面4BC夹角的余弦值为 17. 【详解】(1)依题意，f'(x)=x2-2ax+1. 因为x=2是/的极小值点，所以了2)=4-4如+1=0，得a=子 此时f-（--2,当分x<2时，了<0：当x>2时f创>0， 所以x=2是函数()的极小值点，所以a=子 (2)()因为x,x(:<x)是f(x)的两个极值点， 所以f'(x)=x2-2ax+1=0的判别式△=4a2-4>0, 解得a<-1或a>1,故a的取值范围是(-o,-1U(1,+o). (ii)由（i)可得为+x2=2a,xx2=1, 依题意，知)1).-)片-k-5) X1-x2 为1-x2 [(+x+)-3a(3+3)+3]=[(+x}-x-3(+)+3】 [(2a-13a2a)+3]=-a2-, 令2-2ax+1=引女2-，设函数g=-2x1+号(e2-), 此时a=42-4e2-刂=g2-少0， 对称轴x=a=当+五， 2 而名<，放<五<， 2 又g()=f(s)+3(a2-小>0， 8s)=(,)+(a2-小>0， 故g(x)在(x,x2)存在两个不同的零点x3,x4,且为≠x4, 综上，存在3，x4∈(，x2),且x≠x4, 使得曲线y=f(x)在x=x和x=x,处的切线都与直线AB平行. 18. 【详解】(1)依题意，2a=2×2b,即a=2b, 又焦距为25，所以a2-b2=3, 解得a2=4,2=1,所以C的标准方程为 4+y2=1. (2)(i)证明：由椭圆的对称性，不妨设A(x0,6),B(-xo,%),0≤%<1， 设P(名，y),x≠±，则直线PA方程为y=-(-x+y, 为-x0 令x=0得，%=的少，同理可得，w=+型， 大1-x 为+0 因为疗=1-手：坊=1草 4 所以 为1-x0x1+0 x2-x02 2-x02 所以OMON=yMyw=1为定值. (i)法1：因为AM⊥A,所以PA.AN=0, 又因为PA=(x。-名y0-y),瓜=(-xyw-y), 所以(x-,-)(-0yw-%）=-x(x-x)+(-yw-%)=0, 所0列小565 所以=为-x,-), x +xo 因为≠0，所以(y-y)2=子-始， 所以（以-）》2=4(-)，显然片≠%， 所以%-为4%+，所以男=-号， 所以5m4kb,小kkh-y.Fw5(手}g (当且仅当今=%，即%=5时，等号成立)， 2 所以aPAB的面积的最大值为号 法2：设AN与C交于点2，由椭圆的对称性知Q(-,y), 因为AM⊥AW,所以BP·QB=0, 又因为BF=(x+04-),丽=(-x+x0y,-y), 所以(：+04-%)(-x+x,y-%)=场-x足+（以-y%)2=0 所以(y-%}=-x,所以（以-%）=4（疗-），显然y≠%， 所以5%男=40+，所以%=子x, 所以m--小kywt5{年yg (当且仅当=%，即%=时，等号成立)， 2 2 所以APAB的面积的最大值为 8 19. 【详解】(1)依题意，P(4)-2×乞×行立' 1111 P)-**号*行22分分56 222336 (2)事件A发生分两步： 第一步，第k(2≤k≤n-)次考试后恰好通过第2级考试，概率为 2 第二步，第k+1次至n-1次参加第3级考试没有通过，第n次通过，概率为 -) 由全概率公式得，P(a)-()这k 设s-目+2×+…(a-习得： 则-(+2+a-2 两式相减得， =[++…+(-2习到 =-a+2列(， 所以5=9-4a+2得，所以P6)=3x自-+2周。 6)依题藏Pa)-司 方a-P0号 所以P6小-pa)归-+周-6-周固周2-2 ◆7=3)-2-2，则7。-t--2. 因为n≥3，所以T1-T,>0, 故数列化}在a≥3时谴增，又=3x)-0<0,乃=3x(-12>0, 故当n=3,4时，P(An)-P(Bn)<0: #国I)小>Pa)即P(a,A小>号 说明甲取得从业资格的前一次考试2级刚过的概率较大， 当m≥5时，P(4-P(B)>0,故P(B,IA)P4B),即P(B,4)<分 说明甲取得从业资格的前一次考试2级刚过的概率较小.