精品解析：安徽省皖豫名校联盟2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

安徽省皖豫名校联盟2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定可解. 【详解】命题“”的否定是：. 故选：D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据分式不等式求解出集合，然后根据集合交集的定义进行求解即可. 【详解】由，解得：或，即：或. 又，可得：. 故选：C 3. 已知偶函数的图象过点，则（ ） A. -3 B. -2 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的图象过点，可得或.代入检验即可求解. 【详解】∵函数的图象过点，∴，解得或. 当时，，是偶函数，符合题意； 当时，，是奇函数，不符合题意，舍去. 综上，. 故选：C. 4. 已知函数与的图象在处的切线重合，则（ ） A. B. e C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据切点处斜率相等，切点的纵坐标相等，列出方程求解即可. 【详解】由，， 所以切线斜率， 又， 解得， 所以. 故选：A 5. 设函数，则“”是“有三个不同的零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先证是有三个不同零点的必要条件，再举特例说明不是有三个不同零点的充分条件. 【详解】因为所以， 因为有三个不同的零点，必有两个极值点， 所以有两个不同的根， 所以，所以， 又因为有两个极值点，但的两个极值不一定异号， 例如时，，，此时只有两个不同零点， 所以是有三个不同零点的必要不充分条件； 故选：B. 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数单调性计算判断，再结合基本不等式及对数运算判断. 【详解】，则， 因为，所以且不能取等号， 所以， 所以，所以， 所以. 故选：A. 7. 如图为函数的图象，则的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值排除法可得答案. 【详解】当时，，由原图可得， 所以的图象经过点，结合选项可排除A，B，C. 故选：D. 8. 已知实数a，b，c满足，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】灵活应用基本不等式即可求解. 【详解】由基本不等式可得 ： ， 当且仅当 时等号成立，可取 ， 所以 的最大值为 2 ． 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用不等式的性质对各个选项逐一验证即可求解. 【详解】对于 A ，由 ，得 ，所以 ，故 A 错误； 对于 B，由 ，得 ，故 B 正确； 对于 C ，由 ，得 ，当 时， ，故 C 错误； 对于 D，由 ，可得 ，得 ，故 D 正确． 故选：BD. 10. 已知函数的极小值点为，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 当时， D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意结合极值点可得或，并代入结合单调性检验，即可判断AB；根据题意结合函数单调性求函数值的取值范围即可判断C；利用作差法判断D. 【详解】因为函数的定义域为，且， 若函数的极小值点为，则，解得或， 若，则， 令，解得或；令，解得； 可知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以为函数的极大值点，不合题意； 若，则， 令，解得或；令，解得； 可知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以为函数的极小值点，符合题意； 综上所述：，且在上单调递增，故A错误，B正确； 对于选项C：因为，令， 可知在上单调递减，在上单调递增， 则，且， 可得，即，故C正确； 对于选项D：因为， 若，则， 可得，所以，故D正确； 故选：BCD. 11. 已知函数的定义域为，满足，且，则（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 是奇函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】分别赋值可求出，判断AB，利用换元法求出的解析式，根据奇偶函数定义判断CD. 【详解】令，代入可得，解得或； 若，代入，可得，即， 而，矛盾，故， 令，则，即， 由可知，故A正确； 令，，代入，可得，即，故B正确； 再令，则，即， 令，则，所以，即， 令，则，所以不是偶函数，故C错误； 令，则定义域为，且，所以为奇函数，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 定义集合与的差集为，且，已知集合，，若，则实数的取值范围是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】先求得集合P，根据差集的定义及得，根据包含关系，列出不等式组，即可得答案. 【详解】由，解得，即集合， 由差集的定义及得， 所以，解得，则实数的取值范围是. 故答案为： 13. 若函数且的图象关于直线对称，则的最大值为_______________. 【答案】4 【解析】 【分析】先求出过点，所以也过点，解得，则，，由基本不等式求出最大值. 【详解】由，且过点， 函数的图象关于直线对称，故也过点，故， 解得，则， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：4 14. 已知函数存在零点，则的最小值为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据的几何意义，将函数在上有零点的问题，转化成原点到直线的距离，一定小于等于点到原点的距离问题，再通过构造函数，借助导数，求出在上的最小值，即可求出的最小值. 【详解】函数的定义域为. 设是在上的零点， 可得，即， 即点在直线上. 可理解为点到原点的距离的平方. 所以原点到直线的距离一定小于等于点到原点的距离， 即在上能成立， 即在上能成立. 令，，则， 因为，，，所以， 所以在上单调递增， 所以当时，， 即的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）判断在上的单调性，并求其在上的最大值与最小值； （2）若对任意的，总存在，满足，求的取值范围. 【答案】（1）在上单调递增；最大值为，最小值为； （2）. 【解析】 【分析】（1）分离常数可得，并利用不等式的性质以及单调性的定义证明，结合单调性分析最值； （2）根据的单调性以及存在性问题可得，再结合对勾函数性质以及恒成立问题分析求解. 【小问1详解】 因为，可知在上单调递增， 证明如下：任取，且，则， 可得，即，则， 即，可知函数在上单调递增， 所以在上的最大值为，最小值为. 【小问2详解】 若存在，满足，则， 因为函数在上单调递增，则， 可得对任意的，满足，得恒成立， 又因为函数在单调递减，在单调递增， 且，可知的最大值为5，即，解得， 所以实数的取值范围. 16. 为支撑新能源汽车产业发展，我国充电基础设施近年来快速发展.某省充电桩数量（单位：万个）与时间（单位：年，对应2020年）的函数关系式为其中a，k，m，n为非零常数，假设该函数的图象为连续的曲线，且已知该省2020年的充电桩数量为10万个，2023年的充电桩数量为30万个. （1）求a，k的值； （2）根据此模型，预计该省2026年的充电桩数量将增长到40万个，请你预测该省充电桩数量增长到50万个的年份. 【答案】（1）. （2）2032年 【解析】 【分析】（1）由题可知：当时，；当时，.代入函数关系式可求得a，k的值； （2）由题意得，.解出.列出对应的方程，并求解，可预测该省充电桩数量增长到50万个的年份. 【小问1详解】 由题可知：当时，；当时，. 所以，解得：. 所以. 【小问2详解】 因为函数（a，k，m，n为非零常数）的图象为连续的曲线，所以 由题可知：当时，；所以. 由，得 令，则，即. 所以，所以. 因为. 故可预测该省充电桩数量增长到50万个的年份为2032年. 17. 已知函数. （1）若，求的极值； （2）若当时，，求实数的取值范围. 【答案】（1）极小值，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）由题已知，可得函数解析式，先求函数的导数，得出单调区间，再判断出极值． （2）当和时，由导数可知在上单调递增，知，满足题意；当时，可知在上单调递减，可知，不合题意；由此可得的取值范围； 【小问1详解】 当时，故. 当时；当时 所以函数的单调增区间为，单调减区间为； ∴当时有极小值，无极大值. 【小问2详解】 因为，所以 令 ， 令，则； （i）当，即时，恒成立，， 则在上单调递增，又，恒成立，满足题意； （ii）当，即或时， 令，解得：，； 当时，，在上恒成立， 则在上单调递增，又，恒成立，满足题意； 当时，，又，，； 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， 则当时，，不合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 18. 已知函数． （1）当时，证明：有且仅有一个零点； （2）若曲线与相切． （ⅰ）求a； （ⅱ）当时，证明：． 【答案】（1） 当时，，显然是增函数， 而，故在区间上有零点， 结合的单调性可知，在R上有且仅有一个零点． （2）（ⅰ）； （ⅱ）设，则， 由可知，设， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增，故， 于是． 【解析】 【分析】（1）根据已知，根据其单调性结合零点存在性定理，即可证； （2）（i）利用导数几何意义求切线方程，由切线重合列方程求参数；（ii）设并应用导数研究函数值符号，即可证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）不妨记切点为，则， 由， 故切线方程为， 即， 令其与重合，故， 则， 若，显然有，这与题设条件矛盾， 若，由可知二者不在处相切，矛盾， 故，于是，经验证符合题意， 综上，； （ⅱ）略 19. 已知函数. （1）当时，求在上的最大值； （2）若是上的单调函数，求实数的取值范围； （3）证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出导函数，根据余弦函数图象与性质求出单调区间，即可求解最大值； （2）求出导函数，结合，按照和分类讨论，分别研究函数的单调性，利用单调性求得的范围； （3）由（1）知，又，所以，，累加证明左边；由（2）可知，令，累加可得，将其变形结合等比数列求和公式利用放缩法证明右边，即可得证. 【小问1详解】 若，则，， 当时，，仅当时等号成立， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 所以； 【小问2详解】 ，则，， ，仅当时等号成立， 当时，， 此时恒成立，在上单调递减，符合题意； 当时，，要使为单调函数， 则必须，即恒成立，所以，得， 所以； 综上，实数的取值范围为； 【小问3详解】 先证明左边： 由（1）知时，在上单调递增， 所以当时，，即， 又，所以，， 累加得； 再证明右边： 由（2）可知，时，在上单调递减， 所以当时，，可得，令， 累加可得 ， 所以， 所以； 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省皖豫名校联盟2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知偶函数的图象过点，则（ ） A. -3 B. -2 C. 2 D. 3 4. 已知函数与的图象在处的切线重合，则（ ） A. B. e C. D. 5. 设函数，则“”是“有三个不同的零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图为函数的图象，则的图象是（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数a，b，c满足，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的极小值点为，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 当时， D. 当时， 11. 已知函数的定义域为，满足，且，则（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 是奇函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 定义集合与的差集为，且，已知集合，，若，则实数的取值范围是_______________. 13. 若函数且的图象关于直线对称，则的最大值为_______________. 14. 已知函数存在零点，则的最小值为_______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）判断在上的单调性，并求其在上的最大值与最小值； （2）若对任意的，总存在，满足，求的取值范围. 16. 为支撑新能源汽车产业发展，我国充电基础设施近年来快速发展.某省充电桩数量（单位：万个）与时间（单位：年，对应2020年）的函数关系式为其中a，k，m，n为非零常数，假设该函数的图象为连续的曲线，且已知该省2020年的充电桩数量为10万个，2023年的充电桩数量为30万个. （1）求a，k的值； （2）根据此模型，预计该省2026年的充电桩数量将增长到40万个，请你预测该省充电桩数量增长到50万个的年份. 17. 已知函数. （1）若，求的极值； （2）若当时，，求实数的取值范围. 18. 已知函数． （1）当时，证明：有且仅有一个零点； （2）若曲线与相切． （ⅰ）求a； （ⅱ）当时，证明：． 19. 已知函数. （1）当时，求在上的最大值； （2）若是上的单调函数，求实数的取值范围； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $