第二十四章 圆的综合计算压轴突破7个专题（60题）（必考点分类集训）-2025-2026学年九年级数学上册必考点分类集训系列（人教版）

第二十四章 圆的综合计算压轴突破7个专题（60题） 【人教版2024】 压轴突破1 圆的计算（一）求角度 1 压轴突破2 圆的计算（二）求半径 3 压轴突破3 圆的计算（三）求长度 4 压轴突破4 圆的计算（四）求阴影部分面积 6 压轴突破5 圆的计算（五）求路径长 8 压轴突破6 圆的计算（六）最值问题 9 压轴突破7 圆的计算（七）折叠圆问题 13 压轴突破1 圆的计算（一）求角度 1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且BC＝CD，连接OD并延长交⊙O的切线CE于点E，若∠BCD＝130°，则∠E的度数为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 2．如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，B，D为⊙O上的点，∠CBD＝38°，，则∠AOB的度数为（　　） A．28° B．30° C．32° D．40° 3．如图，△ABC内接于⊙O，点A是的中点，连接BO，并延长交⊙O于点D，连接AD．若∠ABC＝40°，则∠CBD的度数为（　　） A．20° B．15° C．10° D．5° 4．如图，BD是圆O的直径，点A、C在圆O上，，AC与BD交于G，∠BOC＝54°，则∠AGB的度数为（　　） A．99° B．108° C．110° D．117° 5．已知△ABC的边，且△ABC内接于半径为2的⊙O，则∠A的度数为（　　） A．60° B．45° C．45°或135° D．60°或120° 6．如图，AB为⊙O的直径，C为弧BD的中点，弦BE∥AD，CE与AB相交于点F．若∠D＝115°，则∠CFB的度数是（　　） A．50° B．65° C．75° D．80° 7．如图，AB为⊙O的直径，DE、BE为⊙O的两条弦，DE交AB于点C，若DC＝CO，且∠ACD＝68°，则∠B的度数为（　　） A．34° B．39° C．73° D．146° 压轴突破2 圆的计算（二）求半径 8．如图，在圆O中，点C是弧AB的中点，CD垂直平分半径OA，，则该圆的半径为（　　） A．4 B．2 C． D． 9．如图，AB为⊙O的直径，PB，PC分别与⊙O相切于点B，C，过点C作AB的垂线，垂足为E，交⊙O于点D．若，则⊙O的半径长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．边长分别等于6cm、8cm、10cm的三角形的内切圆的半径为（　　） A．cm B．2cm C．cm D．6cm 11．如图，点A是优弧BC的中点，过点B作AC的垂线交AC于点E，与圆交于点D．若∠BDC＝60°，且AE＝3，则圆的半径为（　　） A． B．3 C． D． 12．如图，在⊙O中，2且BD⊥OC，垂足为D．若AB＝8，CD＝2，则⊙O的半径为 　 　 ． 13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝4，AD＝5，则⊙O的半径为　　 ． 14．如图，△ABC是等边三角形，⊙O为△ABC的外接圆，点D在劣弧BC上，连结AD，BD，CD，并在AD上取点E，使得CD＝DE，连结CE．若CD＝1，BD＝2，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 压轴突破3 圆的计算（三）求长度 15．如图，△BCD内接于⊙O，点B是的中点，CD是⊙O的直径，若∠ABC＝30°，AC＝3，则BC的长为（　　） A．4 B． C． D． 16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，AE＝DE，BC＝CE，过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，若DE＝4，EG＝2，则AB的长为（　　） A． B． C．8 D． 17．如图，射线AB和射线AC分别与半径为的⊙O相切于点B和点C，点D为⊙O上一点且∠BDC＝60°，则线段AC的长为（　　） A．3 B．6 C． D． 18．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB＝22.5°，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点D．若DE＝DA，CD＝5，连接OE，则OE的长为 　 　 ． 19．如图，已知⊙O的直径AD＝10cm，∠B＝∠DAC，则AC的长为 　 　 cm． 20．如图，已知AD为⊙O的直径，点C，E在⊙O上，且∠CED＝30°，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点B，连接AC．若，则弦AC的长为　 　 ． 21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝3∠ADB，∠BDC＝2∠ADB，BC＝3，则⊙O的直径长为　 　 ． 压轴突破4 圆的计算（四）求阴影部分面积 22．如图，正六边形ABCDEF的边长为4，以点B为圆心，以BF长为半径作弧，连接BF，BD，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 23．如图，C是以AB为直径的半圆上一点，过B，C两点作与弦AC相切．已知AB＝4，∠ABC＝30°，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 24．如图，将半径为4，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O、B的对应点分别为O′、B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 25．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若∠BED＝45°，AB＝2，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D．π 26．如图，在扇形MON中，∠MON＝105°，P为OM边上一点且OP＝2，连接PN，将△OPN沿PN折叠，点O恰好落在上的点Q处，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 27．如图，点D是优弧BC上一点，且∠BDC＝60°，以弦BC的长为直径在BC的下方作半圆．若，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 28．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，点E是BC的中点，以C为圆心，CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF、EF，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 压轴突破5 圆的计算（五）求路径长 29．如图，点A，B，C，D在⊙O上，，∠A＝82°，∠B＝58°．若⊙O的半径为5，则的长为（　　） A． B． C．π D． 30．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝6，以AB为直径作⊙O，与AC，BC分别相交于点D，E，点F是⊙O上一点，∠F＝20°，则的长度为（　　） A． B． C． D． 31．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝4，以BC为直径作⊙O（圆心为点O），交AB于点D，点F是AB上一点，连接CF并延长，交⊙O于点E．若，∠AFC＝70°，则的长为（　　） A． B． C． D． 32．如图，已知△ABC中，∠B＝70°，BC＝6，以BC为直径作半圆（圆心为点O），分别交AB，AC于点D，E．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 33．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点C是上半圆的中点，点D是下半圆上一点，点E是的中点，连接AE、CD交于点F．当点D从点A运动到点B的过程中，点F运动的路径长是（　　） A． B． C．π D． 34．如图，A在半径为3的⊙O上，B为⊙O上一动点，将射线BA绕B逆时针旋转120°交⊙O于C，取BC的中点D，求在B的运动过程中D的路径长为（　　） A．2π B． C．π D． 35．正六边形ABCDEF和⊙O的位置如图所示，其中点A，B在⊙O上，且∠AOB＝90°，，将正六边形ABCDEF绕点A顺时针旋转，当点F第一次落在⊙O上时，点E的运动轨迹长是（　　） A． B． C． D． 压轴突破6 圆的计算（六）最值问题 36．如图，半径为5的⊙M圆心M的坐标为（9，12），点P是⊙M上任意一点，PA，PB与x轴分别交于A，B两点，且PA⊥PB，若点A，点B关于原点O对称，则AB的最大值为（　　） A．60 B．40 C．34 D．20 37．如图，在平面直角坐标系中，点M坐标为（2，0），点A坐标为（0，2），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与y轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，当线段OD取得最大值时，点D的坐标为（　　） A． B． C．（2，2） D．（2，4） 38．如图，⊙O的半径为2，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝30°，若点E是线段AC上一动点，连接OE，过点C作CF⊥OE于点F，则AF的最小值是（　　） A．2 B． C．1 D． 39．如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A，OD交⊙O于点C，AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD＝4，则PE+PF的最小值是（　　） A．4 B． C．6 D． 40．如图，△ABC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，点D，E分别为⊙O上的动点（不与点A，点B，点C重合），且DE＝BC，F为DE的中点，分别连结OF，AF，若AB＝3，BC＝4，则AF的最大值为（　　） A．3 B．4 C．4.5 D．5 41．如图，点A的坐标为（﹣3，3），点P的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣1，0），⊙A的半径为1，C为圆上一动点，Q为BC的中点，连接PC，OQ，则OQ长的最大值为（　　） A．5 B．2.5 C．6 D．3 42．如图所示，M是x轴的正半轴上一点，⊙M与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，A（﹣2，0），C（0，6），点N是⊙M上任意一点，点P是ON的中点，则CP的最小值为（　　） A． B． C． D． 43．如图，在⊙O中，弦AB的长为2，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为（　　） A．4 B．2 C． D．1 44．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE最小值为（　　） A．8 B．10 C．12 D．6 45．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是（　　） A．6 B．12 C． D． 46．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E是对角线BD上的一个动点，且不与端点B、D重合连接AE，过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接DF．则DF的最小值是（　　） A． B．3 C． D． 47．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，且AB⊥OC，P为圆上一动点，M为AP的中点，连接CM．若⊙O的半径为2，则CM长的最大值是（　　） A． B． C．4 D． 48．如图，AB是⊙O的直径，AB＝3，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为弧BC的中点，P是直径AB上一动点，则PC+PD的最小值为　 　 ． 49．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC且AC＝10，点D在BC上，点P是线段AC上一个动点，以PD为直径作⊙O，点Q为直径PD上方半圆的中点，连接AQ，则AQ的最小值为　 　 ． 50．如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点．连接AB，AP，BP，若MN＝2，AB1，则△PAB的周长的最小值是 　 　 ． 压轴突破7 圆的计算（七）折叠圆问题 51．如图1为一圆形纸片，A、B、C为圆周上三点，其中AC为直径，以AB为折线将纸片向右折叠，纸片盖住部分的AC，且弧AB交AC于点D，如图2所示，若∠BAC的度数为21°，则∠ABD的度数为（　　） A．96° B．69° C．48° D．42° 52．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D（不与O重合），连结CD．若∠A＝22°，则∠ACD的度数为（　　） A．46° B．44° C．48° D．68° 53．如图，将弧AB沿弦AB翻折恰好过圆心O点，点C为弧AB的中点，⊙O的半径为3，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B．π C． D．2π 54．如图，BD是⊙O的弦，把BD沿翻折，点A在翻折后的上，点C在⊙O上．若∠BCD＝80°，则∠DAB的度数是（　　） A．80° B．100° C．120° D．140° 55．如图，⊙O的半径OA＝1，D是半径OA上一点（不与点O重合），过点D作弦BC⊥OA，沿BC把翻折得到，连接OB、OC，当弦BC的长是整数时，的长为（　　） A．π B． C． D． 56．如图，△ABC内接于⊙O，将弧BC沿弦BC翻折到⊙O内，点D是翻折后所得弧上一点，若∠A＝65°，则∠BDC的大小为（　　） A．115° B．130° C．120° D．140° 57．如图，已知⊙O的直径AB为10，将⊙O沿CD折叠，使弧CED与直径AB相切于点E，则折痕CD的取值范围为（　　） A． B． C． D． 58．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝105°，OA＝8，点C在半径OA上，将△BOC沿着BC翻折，点O的对称点D恰好落在弧AB上，再将弧AD沿着CD翻折至弧A1D（点A1是点A的对称点），那么OA1的长为 　 　 ． 59．如图，扇形纸片OAB所在圆的圆心角∠AOB＝90°，半径为4．将扇形纸片折叠，使点B落在点B′处，折痕与AB，OB分别交于点M，N．若B′M与半径OA相切于点C，且C是OA的中点，则BN的长为 　　 ． 60．如图，AB是半圆O的直径，C为半圆O上一点，将半圆O沿AC翻折，点O的对应点O′落在上，点B的对应点为B′，若AB＝6，则图中阴影部分的面积为　 　 ．（结果保留π） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十四章 圆的综合计算压轴突破7个专题（60题） 【人教版2024】 压轴突破1 圆的计算（一）求角度 1 压轴突破2 圆的计算（二）求半径 7 压轴突破3 圆的计算（三）求长度 15 压轴突破4 圆的计算（四）求阴影部分面积 22 压轴突破5 圆的计算（五）求路径长 30 压轴突破6 圆的计算（六）最值问题 38 压轴突破7 圆的计算（七）折叠圆问题 53 压轴突破1 圆的计算（一）求角度 1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且BC＝CD，连接OD并延长交⊙O的切线CE于点E，若∠BCD＝130°，则∠E的度数为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 【分析】连接OB，OC，利用圆的性质，连接圆心O到圆上的点B和C，形成三角形OBC和OCD．根据圆周角定理得出∠BOD＝2∠A，然后根据圆内接四边形的性质求出∠A，进而求出∠BOD，再利用等腰三角形的性质得出∠BOC＝∠COD，最后求出∠E的度数即可． 【解答】解：连接OB，OC，则∠OCE＝90°． ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠BCD＝180°（圆内接四边形的对角互补）， ∴∠A＝180°﹣∠BCD＝50°， ∴∠BOD＝2∠A＝100°． ∵BC＝CD， ∴， ∴∠E＝90°﹣∠COD＝90°﹣50°＝40°． 故选：C． 2．如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，B，D为⊙O上的点，∠CBD＝38°，，则∠AOB的度数为（　　） A．28° B．30° C．32° D．40° 【分析】连接OD，根据圆周角定理得∠COD＝76°，根据圆周角定理的推论得∠COD＝∠BOD＝76°，最后利用平角的性质即可得解． 【解答】解：如图所示，连接OD， ∵AC为⊙O的直径，B，D为⊙O上的点，∠CBD＝38°， ∴∠COD＝2∠CBD＝76°， ∵， ∴∠COD＝∠BOD＝76°， ∴∠AOB＝180°﹣∠COD﹣∠BOD＝180°﹣76°﹣76°＝28°， 故选：A． 3．如图，△ABC内接于⊙O，点A是的中点，连接BO，并延长交⊙O于点D，连接AD．若∠ABC＝40°，则∠CBD的度数为（　　） A．20° B．15° C．10° D．5° 【分析】根据题意可得AB＝AC则∠ACB＝40°，进而根据同弧所对的圆周角相等得出∠ADB＝∠ACD＝40°，求得∠ABD＝90°﹣∠ADB＝50°，根据∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC即可求解． 【解答】解：∵点A是的中点， ∴， ∴AB＝AC（等弧所对的弦相等）， ∵∠ABC＝40°， ∴∠ACB＝∠ABC＝40°（等边对等角）， ∵， ∴∠ADB＝∠ACD＝40°， ∵BD是直径， ∴∠BAD＝90°， ∴∠ABD＝90°﹣∠ADB＝50°， ∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝10°， 故选：C． 4．如图，BD是圆O的直径，点A、C在圆O上，，AC与BD交于G，∠BOC＝54°，则∠AGB的度数为（　　） A．99° B．108° C．110° D．117° 【分析】根据直径所对的圆周角为 90 度可知∠DAB＝90°，根据，可知AB＝AD，进而可得∠ADB＝∠ABD＝45°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得，最后根据三角形外角的定义和性质即可求出∠AGB的度数． 【解答】解：∵BD是圆O的直径， ∴∠DAB＝90°， ∵， ∴AB＝AD， ∴∠ADB＝∠ABD＝45°， ∵∠BOC＝54°， ∴∠COD＝180°﹣∠BOC＝180°﹣54°＝126°， ∴， ∴∠AGB＝∠CAD+∠ADB＝63°+45°＝108°， 故选：B． 5．已知△ABC的边，且△ABC内接于半径为2的⊙O，则∠A的度数为（　　） A．60° B．45° C．45°或135° D．60°或120° 【分析】连接OB、OC，则OB＝OC＝2，由OB2+OC2＝BC2＝8，证明∠BOC＝90°，再分两种情况讨论，一是顶点A与圆心O在直线BC的同侧，则∠A∠BOC＝45°；二是顶点A与圆心O在直线BC的异侧，在⊙O上取一点D，使点D与圆心O在直线BC的同侧，连接BD、CD，则∠D∠BOC＝45°，所以∠A＝180°﹣∠D＝135°，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接OB、OC， ∵BC＝2，⊙O的半径长为2， ∴OB＝OC＝2， ∵OB2+OC2＝22+22＝8，BC28， ∴OB2+OC2＝BC2， ∴△BOC是直角三角形，且∠BOC＝90°， 如图1，顶点A与圆心O在直线BC的同侧，则∠A∠BOC＝45°； 如图2，顶点A与圆心O在直线BC的异侧，在⊙O上取一点D，使点D与圆心O在直线BC的同侧，连接BD、CD， ∵∠A+∠D＝180°，且∠D∠BOC＝45°， ∴∠A＝180°﹣∠D＝180°﹣45°＝135°， 综上所述，∠A的度数为45°或135°， 故选：C． 6．如图，AB为⊙O的直径，C为弧BD的中点，弦BE∥AD，CE与AB相交于点F．若∠D＝115°，则∠CFB的度数是（　　） A．50° B．65° C．75° D．80° 【分析】连接OC，BD，交于点G，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，从而可得∠CDB＝25°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CDB＝∠E＝25°，然后利用圆周角定理可得∠COB＝50°，再根据垂径定理可得：OC⊥BD，从而可得∠ADB＝∠OGB＝90°，进而可得AD∥OC，最后根据平行于同一条直线的两条直线平行可得OC∥BE，从而可得∠OCF＝∠E＝25°，再利用三角形的外角性质进行计算，即可解答． 【解答】解：连接OC，BD，交于点G， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ADC＝115°， ∴∠CDB＝∠ADC﹣∠ADB＝25°， ∴∠CDB＝∠E＝25°， ∴∠COB＝2∠E＝50°， ∵C为弧BD的中点， ∴OC⊥BD， ∴∠OGB＝90°， ∴∠ADB＝∠OGB＝90°， ∴AD∥OC， ∵AD∥BE， ∴OC∥BE， ∴∠OCF＝∠E＝25°， ∵∠CFB是△OCF的外角， ∴∠CFB＝∠COB+∠OCF＝75°， 故选：C． 7．如图，AB为⊙O的直径，DE、BE为⊙O的两条弦，DE交AB于点C，若DC＝CO，且∠ACD＝68°，则∠B的度数为（　　） A．34° B．39° C．73° D．146° 【分析】连接AD，先利用等腰三角形的性质以及三角形的外角性质可得∠OCD＝∠CDO＝34°，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠OAD＝∠ODA＝73°，从而可得∠ADE＝39°，然后利用同弧所对的圆周角相等可得∠ADE＝∠ABE＝39°，即可解答． 【解答】解：连接AD， ∵DC＝CO， ∴∠OCD＝∠CDO， ∵∠ACD是△COD的一个外角， ∴∠ACD＝∠OCD+∠CDO＝68°， ∴∠OCD＝∠CDO＝34°， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA73°， ∴∠ADE＝∠ODA﹣∠CDO＝39°， ∴∠ADE＝∠ABE＝39°， 故选：B． 压轴突破2 圆的计算（二）求半径 8．如图，在圆O中，点C是弧AB的中点，CD垂直平分半径OA，，则该圆的半径为（　　） A．4 B．2 C． D． 【分析】连接AC，OC，OB，过B作BH⊥AO交AO的延长线于H，设圆的半径是r，判定△OAC是等边三角形，由圆心角、弧、弦的关系定理推出∠BOC＝∠AOC＝60°，求出∠BOH＝60°，得到∠OBH＝30°，由含30度角的直角三角形的性质得到OHr，求出BHr，由勾股定理得到r2，求出r＝4． 【解答】解：连接AC，OC，OB，过B作BH⊥AO交AO的延长线于H， 设圆的半径是r， ∵CD垂直平分半径OA， ∴AC＝OC，ODOAr， ∵OA＝OC， ∴△OAC是等边三角形， ∴∠AOC＝60°， ∵C是弧AB的中点， ∴∠BOC＝∠AOC＝60°， ∴∠BOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠OBH＝90°﹣60°＝30°， ∴OHOBr， ∴BHOHr，DH＝OD+OH＝r， ∵BH2+DH2＝BD2， ∴r2， ∴r＝4， ∴该圆的半径为4． 故选：A． 9．如图，AB为⊙O的直径，PB，PC分别与⊙O相切于点B，C，过点C作AB的垂线，垂足为E，交⊙O于点D．若，则⊙O的半径长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】连接OD、BD，根据切线的性质得到PC＝PB＝2，AB⊥PB，根据平行四边形的性质求出BD，根据勾股定理求出BE，再根据勾股定理计算即可． 【解答】解：如图，连接OD、BD， ∵PB，PC分别与⊙O相切于点B，C， ∴PC＝PB＝2，AB⊥PB， ∵AB⊥CD， ∴CD∥PB， ∵CD＝PB， ∴四边形CPBD为平行四边形， ∴BD＝PC＝2， ∵AB⊥CD， ∴DECD， 由勾股定理得：BE3， 在Rt△DOE中，OD2＝OE2+DE2，即OD2＝（3﹣OD）2+（）2， 解得：OD＝2， 故选：B． 10．边长分别等于6cm、8cm、10cm的三角形的内切圆的半径为（　　） A．cm B．2cm C．cm D．6cm 【分析】设△ABC的内切圆为⊙O，与三边的切点分别为D、E、F，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，由AC2+BC2＝AB2＝100，证明△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，连接OD、OE，则四边形ODCE是正方形，由切线长定理得AD＝AF，BE＝BF，CD＝CE，则2CD＝AC+BC﹣AB＝4cm，所以OD＝CD＝2cm，于是得到问题的答案． 【解答】解：如图，△ABC的内切圆为⊙O，与三边的切点分别为D、E、F，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm， ∵AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠C＝90°， 连接OD、OE，则AC⊥OD，BC⊥OE， ∴∠ODC＝∠OEC＝∠C＝90°， ∴四边形ODCE是矩形， ∵OD＝OE， ∴四边形ODCE是正方形， ∵AD＝AF，BE＝BF，CD＝CE， ∴CD+CE＝2CD＝AC﹣AD+BC﹣BE＝AC+BC﹣（AF+BF）＝AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（cm）， ∴OD＝CD＝2cm， ∴⊙O的半径为2cm， 故选：B． 11．如图，点A是优弧BC的中点，过点B作AC的垂线交AC于点E，与圆交于点D．若∠BDC＝60°，且AE＝3，则圆的半径为（　　） A． B．3 C． D． 【分析】连接BC，首先根据圆周角定理得到∠A＝∠D＝60°，然后得到∠ABE＝30°，AC＝AB＝2AE＝6，证明出△ABE≌△CBE（SAS），BD是圆的直径，最后利用勾股定理求解即可． 【解答】解：如图所示，连接BC， ∴∠A＝∠D＝60°， ∵BD⊥AC， ∴∠ABE＝30°， ∴AB＝2AE＝6， ∵点A是优弧BC的中点， ∴AB＝AC， ∴AC＝2AE＝6， ∴AE＝CE， ∵∠AEB＝∠CEB＝90°，BE＝BE， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴∠ABE＝∠CBE＝30°，BC＝AB＝6， ∵∠BDC＝60°， ∴∠BCD＝90°， ∴BD是圆的直径， ∵BD＝2CD，BC2+CD2＝BD2， ∴62+CD2＝（2CD）2， ∴， ∴， ∴圆的直径为， ∴圆的半径为． 故选：A． 12．如图，在⊙O中，2且BD⊥OC，垂足为D．若AB＝8，CD＝2，则⊙O的半径为 　 　 ． 【分析】过点O作AB的垂线交AB于点E，交于点F，连接OB．根据垂径定理得，AE＝BEAB8＝4，由圆心角、弧、弦的关系和2得∠BOC＝∠BOF，由角平分线的性质得BD＝BE＝4；设⊙O的半径为r，则OB＝OC＝r，将OD用含r的代数式表示出来，在Rt△BOD中利用勾股定理列关于r的方程并求解即可． 【解答】解：如图，过点O作AB的垂线交AB于点E，交于点F，连接OB． ∵OF⊥AB，AB＝8， ∴，AE＝BEAB8＝4， ∵2， ∴AB， ∴∠BOC＝∠BOF， ∴OB是∠COF的平分线， ∵BD⊥OC， ∴BD＝BE＝4， 设⊙O的半径为r，则OB＝OC＝r， ∵CD＝2， ∴OD＝OC﹣CD＝r﹣2， 在Rt△BOD中利用勾股定理，得BD2+OD2＝OB2， ∴42+（r﹣2）2＝r2， ∴r＝5， ∴⊙O的半径为5． 故答案为：5． 13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝4，AD＝5，则⊙O的半径为　　 ． 【分析】延长BC，AD交于点E，根据圆内接四边形的性质可得∠A＝60°，∠ADC＝90°，由含30度角的直角三角形的性质得AE＝2AB＝8，CE＝2CD，由勾股定理得，求出，再由勾股定理求出即可求解． 【解答】解：如图，延长BC，AD交于点E，连接AC， 由条件可知∠BAD＝60°，∠ADC＝90°，AC是直径， ∴∠CDE＝90°，∠E＝30°， ∵AB＝4， ∴AE＝2AB＝8，CE＝2CD， ∵AD＝5， ∴DE＝3， ∵， ∴， ∴， ∴⊙O的半径为． 故答案为：． 14．如图，△ABC是等边三角形，⊙O为△ABC的外接圆，点D在劣弧BC上，连结AD，BD，CD，并在AD上取点E，使得CD＝DE，连结CE．若CD＝1，BD＝2，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据△ABC是等边三角形，以及圆周角定理得出∠ADC＝∠ABC＝60°，从而证明△CDE是等边三角形，求出CD＝CE＝DE＝1，再证明△ACE≌△BCD（SAS），证出AE＝BD＝2，过点C作CM⊥DE，算出，，连接AO，BO，过点O作OF⊥AB，得出，再用勾股定理即可解答． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，CA＝CB ∴， ∴∠ADC＝∠ABC＝60°， ∵CD＝DE， ∴△CDE是等边三角形， ∴∠DCE＝60°，CD＝CE＝DE＝1， ∵∠ACE+∠BCE＝60°，∠BCE+∠BCD＝60°， ∴∠ACE＝∠BCD， 在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE＝BD＝2， 过点C作CM⊥DE， 则， ∴， ∴， 连接AO，BO，过点O作OF⊥AB， 则， ∵∠AOB＝2∠ACB＝120°， ∴∠OAB＝30°， ∴， 解得：． 故选：B． 压轴突破3 圆的计算（三）求长度 15．如图，△BCD内接于⊙O，点B是的中点，CD是⊙O的直径，若∠ABC＝30°，AC＝3，则BC的长为（　　） A．4 B． C． D． 【分析】连接AD，则∠ADC＝∠ABC＝30°，由CD是⊙O的直径，得∠CAD＝∠CBD＝90°，而AC＝3，则CD＝2AC＝6，由点B是的中点，得，则BC＝BD，由CDBC＝6，求得BC＝3，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接AD，则∠ADC＝∠ABC＝30°， ∵CD是⊙O的直径，AC＝3， ∴∠CAD＝∠CBD＝90°， ∴CD＝2AC＝6， ∵点B是的中点， ∴， ∴BC＝BD， ∵CDBC＝6， ∴BC＝3， 故选：C． 16．如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，AE＝DE，BC＝CE，过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，若DE＝4，EG＝2，则AB的长为（　　） A． B． C．8 D． 【分析】作BM⊥AC于点M，由题意可得出△AEB≌△DEC，从而可得出△EBC为等边三角形，从而得到∠GEF＝60°，∠EGF＝30°，再由已知得出EF，BC的长，进而得出CM，BM的长，再求出AM的长，再由勾股定理求出AB的长． 【解答】解：作BM⊥AC于点M， 在△AEB和△DEC中， ， ∴△AEB≌△DEC（ASA）， ∴EB＝EC， 又∵BC＝CE， ∴BE＝CE＝BC， ∴∠GEF＝60°，BC＝EC， ∵OF⊥AC ∴∠EGF＝30°， ∵EG＝2，∠EGF＝30°， ∴， 又∵AE＝ED＝4，OF⊥AC ∴CF＝AF＝AE+EF＝5， ∴AC＝2AF＝10，EC＝EF+CF＝6， ∴BC＝EC＝6， ∴∠MBC＝30°， ∴CM＝3，， ∴AM＝AC﹣CM＝7， ∴． 故选：B． 17．如图，射线AB和射线AC分别与半径为的⊙O相切于点B和点C，点D为⊙O上一点且∠BDC＝60°，则线段AC的长为（　　） A．3 B．6 C． D． 【分析】连接OA，OB，OC，首先根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠D＝120°，然后由切线长定理得到AB＝AC，OB⊥AB，OC⊥AC，然后证明出Rt△AOB≌△Rt△AOC（HL），得到，然后利用勾股定理求解即可． 【解答】解：如图所示，连接OA，OB，OC， ∵∠BDC＝60°， ∴∠BOC＝2∠D＝120°， ∵射线AB和射线AC分别与半径为的⊙O相切于点B和点C， ∴AB＝AC，OB⊥AB，OC⊥AC， 又∵AO＝AO， ∴Rt△AOB≌△Rt△AOC（HL）， ∴， ∴∠OAC＝90°﹣60°＝30°， ∵⊙O的半径为， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 18．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB＝22.5°，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点D．若DE＝DA，CD＝5，连接OE，则OE的长为 　 　 ． 【分析】连接OC，根据切线的性质得到OC⊥DE，根据圆周角定理得到∠COB＝2∠CAB＝45°，根据勾股定理求出OD，再根据勾股定理求出OE． 【解答】解：如图，连接OC， ∵DE是⊙O的切线， ∴OC⊥DE， ∵∠CAB＝22.5°， ∴∠COB＝2∠CAB＝45°， ∴OC＝CD＝5， 由勾股定理得：OD5， ∵DE＝DA，OA＝OC＝CD， ∴CE＝OD＝5， ∴OE5， 故答案为：5． 19．如图，已知⊙O的直径AD＝10cm，∠B＝∠DAC，则AC的长为 　 　 cm． 【分析】连接CD，由圆周角定理推出∠ACD＝90°，∠B＝∠ADC，得到∠DAC＝∠ADC，判定△ADC是等腰直角三角形，求出ACAD＝5（cm）． 【解答】解：连接CD， ∵AD是圆的直径， ∴∠ACD＝90°， ∵∠B＝∠DAC，∠B＝∠ADC， ∴∠DAC＝∠ADC， ∴△ADC是等腰直角三角形， ∴ACAD10＝5（cm）， 故答案为：． 20．如图，已知AD为⊙O的直径，点C，E在⊙O上，且∠CED＝30°，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点B，连接AC．若，则弦AC的长为　 　 ． 【分析】如图所示，连接OC，CD，由圆周角定理得到△COD是等边三角形，∠OCD＝∠ODC＝60°，根据直径所对圆周角为直角，切线的性质可得∠BCD＝∠OCB﹣∠OCD＝30°＝∠OCA，∠B＝30°＝∠A，再证明△ACO≌△BCD（AAS），即可求解． 【解答】解：如图所示，连接OC，CD， 由题意可得：∠CAD＝∠CED＝30°， ∴∠COD＝2∠CED＝60°， ∵OC＝OD＝OA， ∴△COD是等边三角形，∠OCD＝∠ODC＝60°， ∵AD是直径， ∴∠ACD＝90°， ∴∠OAC＝∠OCA＝30°， ∵BC是切线， ∴∠OCB＝90°， ∴∠BCD＝∠OCB﹣∠OCD＝30°＝∠OCA，∠B＝30°＝∠A， 在△ACO和△BCD中， ， ∴△ACO≌△BCD（AAS）， ∴， 故答案为：． 21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝3∠ADB，∠BDC＝2∠ADB，BC＝3，则⊙O的直径长为　 　 ． 【分析】由四边形ABCD是圆内接四边形得∠ABC+∠ADC＝180°，由∠ABC＝3∠ADB，∠BDC＝2∠ADB可求出∠ADB＝30°，得出∠BDC＝60°，连接OB，OC，得∠BOC＝120°，过点O作OE⊥BC于点E，得，∠BOE＝60°，∠OBE＝30°，根据勾股定理求出OB＝3，从而可得结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∵∠BDC＝2∠ADB， ∴∠ADC＝3∠ADB， 又∵∠ABC＝3∠ADB， ∴3∠ADB+3∠ADB＝180°， ∴∠ADB＝30°， ∴∠BDC＝60°； 连接OB，OC，如图， ∴∠BOC＝120°， ∵OB＝OC， ∴， 过点O作OE⊥BC于点E，则，， 在Rt△OBE中，BE2+OE2＝OB2， ∴， 解得OB＝3， ∴⊙O的直径长为6． 故答案为：6． 压轴突破4 圆的计算（四）求阴影部分面积 22．如图，正六边形ABCDEF的边长为4，以点B为圆心，以BF长为半径作弧，连接BF，BD，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正六边形的性质得到AB＝AF＝4，∠ABC＝∠BAF＝∠AFE＝120°，求得∠ABF＝∠AFB＝30°，得到∠BFE＝90°，过B作BH⊥AF于H，根据含30度角的直角三角形得到BH＝2，求得BF＝BD＝4，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：∵正六边形ABCDEF的边长为4， ∴AB＝AF＝4，∠ABC＝∠BAF＝∠AFE120°， ∴∠ABF＝∠AFB（180°﹣∠BAF）（180°﹣120°）＝30°， ∴∠BFE＝90°， 过B作BH⊥AF于H， ∴BH＝FH，AHAB4＝2， ∴BHAH＝2， ∴BF＝BD＝4， 同理可证，∠CBD＝30°， ∴∠DBF＝60°， 连接BE， ∴图中阴影部分的面积为S四边形BDEF﹣S扇形BDF＝44168π， 故选：B． 23．如图，C是以AB为直径的半圆上一点，过B，C两点作与弦AC相切．已知AB＝4，∠ABC＝30°，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】设与AB交于点D，的圆心为O，连接OD，CD，利用圆周角定理和圆的切线的性质得到BC经过圆心O，利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求得OC，CD，再利用阴影部分的面积＝S△ACD+S△OCD﹣S扇形OCD解答即可得出结论． 【解答】解：设与AB交于点D，的圆心为O，连接OD，CD，如图， ∵AB为半圆的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC， ∵过B，C两点作与弦AC相切， ∴BC经过圆心O， 即BC为直径， ∴∠CDB＝90°， ∵∠ABC＝30°， ∴ACAB＝2，CDBC，∠COD＝60°， ∵BC2， ∴OC＝OB＝CD， ∴AD1， ∴BD＝AB﹣AD＝3， ∵OB＝OC， ∴， ∴阴影部分的面积＝S△ACD+S△OCD﹣S扇形OCD ． 故选：D． 24．如图，将半径为4，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O、B的对应点分别为O′、B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【分析】连接OO′，O'B，证明△OBB′是含30°角的直角三角形，根据S阴影部分＝S△BB′O﹣S扇形OO′B即可求解． 【解答】解：连接OO′，O'B， ∵将半径为4，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°， ∴∠OAO′＝60°，OA＝O′A，∠AOB＝∠AO′B′＝120°， ∴△AOO′是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）， ∴∠AOO′＝60°＝∠AO′O， ∴∠O′OB＝∠AOB﹣∠AOO′＝60°，∠AO′O+∠AO′B′＝180°， ∴O，O′，B′三点共线， ∵∠AOO′＝60°，∠AOB＝120°，OO′＝OB， ∴△OBO′是等边三角形， ∵O′B＝O′B′， ∴∠O′B′B＝∠O′BB′， 又∠O′B′B+∠O′BB′＝∠OO′B＝60°， ∴∠B′BO＝90°， ∴， ． 故选：D． 25．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若∠BED＝45°，AB＝2，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D．π 【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到∠AEC＝90°，再根据等腰三角形三线合一得出点E是BC的中点，从而得出OE是△ABC的中位线，于是OE∥AB，根据同底等高得到△AOD和△AED的面积相等，从而阴影部分的面积转化为扇形AOD的面积，根据扇形面积公式计算出扇形AOD的面积即可得出阴影部分的面积． 【解答】解：连接OE，OD， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠AEC＝90°， ∵AB＝AC， ∴BE＝CE， 即点E是BC的中点， ∵点O是AC的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OE∥AB， ∴S△AOD＝S△AED， ∴S阴影＝S扇形OAD， ∵∠AEC＝90°， ∴∠AEB＝90°， ∵∠BED＝45°， ∴∠AED＝45°， ∴∠AOD＝90°， ∴， ∴， 故选：A． 26．如图，在扇形MON中，∠MON＝105°，P为OM边上一点且OP＝2，连接PN，将△OPN沿PN折叠，点O恰好落在上的点Q处，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】连结OQ，如图，先根据折叠的性质得到PQ＝PO＝2，NQ＝NO，再证明△OQN为等边三角形得到∠QON＝60°，接着证明△POQ为等腰直角三角形得到OQ＝2，然后根据等边三角形的面积公式和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积＝S扇形QON﹣S△QON进行计算． 【解答】解：连结OQ，如图， ∵△OPN沿PN折叠，点O恰好落在上的点Q处， ∴PQ＝PO＝2，NQ＝NO， ∵OQ＝ON， ∴OQ＝ON＝QN， ∴△OQN为等边三角形， ∴∠QON＝60°， ∵∠MON＝105°， ∴∠POQ＝105°﹣60°＝45°， 而PQ＝PO， ∴∠PQO＝45°， ∴OQOP＝2， ∴阴影部分的面积＝S扇形QON﹣S△QON （2）2 π﹣2． 故选：B． 27．如图，点D是优弧BC上一点，且∠BDC＝60°，以弦BC的长为直径在BC的下方作半圆．若，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接OB，OC，过O作OA⊥BC于A，根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠BDC＝120°，再根据等腰三角形得到OB＝2OA，再由勾股定理得OA＝1，OB＝2，分别计算出，，，再根据S阴影＝S半圆﹣（S扇形BOC﹣S△OBC）即可解答． 【解答】解：连接OB，OC，过O作OA⊥BC于A， 由条件可知∠BOC＝2∠BDC＝2×60°＝120°， ∵OB＝OC， ∴，， ∴∠OBA＝90°﹣60°＝30°， ∴OB＝2OA， ∵BA2+OA2＝OB2即， ∴3+OA2＝4•OA2， ∴3•OA2＝3， ∴OA2＝1， ∴OA＝1， ∴OB＝2×1＝2， ∴，， ∵， ∴． 故选：A． 28．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，点E是BC的中点，以C为圆心，CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF、EF，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接AC，将阴影部分的面积转化为四边形AECF与中间空白部分两边形面积的差即可解决问题． 【解答】解：连接AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AB＝BC＝4． 又∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝120°． ∵点E是BC的中点， ∴AE⊥BC． ∵BE， ∴AE， ∴， 同理可得，， ∴． ∵，， ∴中间空白部分两边形的面积为， ∴阴影部分的面积为． 故选：A． 压轴突破5 圆的计算（五）求路径长 29．如图，点A，B，C，D在⊙O上，，∠A＝82°，∠B＝58°．若⊙O的半径为5，则的长为（　　） A． B． C．π D． 【分析】连接AC、OA、OC、OD，由可得AB＝AC，进而得∠ACB＝∠B＝58°，即得∠BAC＝64°，得到∠CAD＝18°，再根据圆周角定理可得∠COD＝2∠CAD＝36°，∠AOC＝2∠B＝116°，即可得∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝80°，最后根据弧长公式计算即可求解． 【解答】解：连接AC、OA、OC、OD， ∵， ∴AB＝AC， ∴∠ACB＝∠B＝58°， ∴∠BAC＝180°﹣58°×2＝64°， ∴∠CAD＝∠BAD﹣∠BAC＝82°﹣64°＝18°， ∴∠COD＝2∠CAD＝36°， ∵∠B＝58°， ∴∠AOC＝2∠B＝116°， ∴∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝116°﹣36°＝80°， ∴的长为， 故选：A． 30．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝6，以AB为直径作⊙O，与AC，BC分别相交于点D，E，点F是⊙O上一点，∠F＝20°，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接OD、OE，根据圆周角定理定理、等腰三角形的性质求出∠DOE的度数，再根据弧长公式计算即可． 【解答】解：如图，连接OD、OE， ∵∠F＝20°， ∴∠BOE＝2∠F＝40°， ∵OB＝OE， ∴∠OBE＝∠OEB＝70°， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠OBE＝70°， ∴∠A＝40°， ∴∠BOD＝2∠A＝80°， ∴∠DOE＝80°﹣40°＝40°， ∴的长为：． 故选：C． 31．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝4，以BC为直径作⊙O（圆心为点O），交AB于点D，点F是AB上一点，连接CF并延长，交⊙O于点E．若，∠AFC＝70°，则的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接BE，OE，根据三角形外角的性质结合圆周角定理的推论求出∠CBD＝∠EBD＝20°，即可求出∠COE＝80°，再根据弧长公式计算即可． 【解答】解：如图，连接BE，OE， ∵， ∴∠CBD＝∠EBD， ∵BC为直径， ∴∠BEC＝90°， ∴∠BCE+∠EBC＝90°， ∵∠AFC＝70°， ∴∠BCE+∠CBD＝70°， ∴∠EBD＝20°， ∴∠CBD＝∠EBD＝20°， ∴∠EBC＝40°， ∴∠COE＝80°， ∵BC＝4， ∴OC＝2， ∴的长为， 故选：B． 32．如图，已知△ABC中，∠B＝70°，BC＝6，以BC为直径作半圆（圆心为点O），分别交AB，AC于点D，E．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】连结OE、CD，如图，先根据圆周角定理得到∠BDC＝90°，则可计算出∠BCD＝20°，再根据得到∠ECD＝∠BCD＝20°，接着根据等腰三角形的性质和三角形内角定理计算出∠COE＝100°，然后根据弧长公式求解． 【解答】解：连结OE、CD，如图， ∵BC为直径， ∴∠BDC＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°， ∵， ∴∠ECD＝∠BCD＝20°， ∴∠OCE＝40°， ∵OE＝OC， ∴∠OCE＝∠OEC＝40°， ∴∠COE＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∴的长度为π． 故选：B． 33．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点C是上半圆的中点，点D是下半圆上一点，点E是的中点，连接AE、CD交于点F．当点D从点A运动到点B的过程中，点F运动的路径长是（　　） A． B． C．π D． 【分析】连接AC，BC，BD，OE，DE圆周角定理，推出CA＝CF，进而得到点F只在上运动，求解即可． 【解答】解：连接AC，BC，BD，OE，DE， ∵AB是⊙O的直径，点C是上半圆的中点， ∴，∠ACB＝90°， ∴， ∴∠BCD＝∠CAB＝45°， 设∠BAE＝α，则：∠BOE＝2α，∠BDE＝α，∠CAF＝45°+α， ∴的度数为2α，∠CDE＝45°+α， ∵点E是的中点， ∴的度数为4α， ∴的度数为180°﹣4α， ∴∠DEF＝90°﹣2α， ∴∠AFC＝∠DFE＝180°﹣∠DEA﹣∠CDE＝45°+α， ∴∠CAF＝∠AFC， ∴AC＝CF＝BC ∴点F在以点C为圆心，以CA长为半径的圆上，且只在⊙C的上运动， ∴点F的轨迹为的长． 故选：B． 34．如图，A在半径为3的⊙O上，B为⊙O上一动点，将射线BA绕B逆时针旋转120°交⊙O于C，取BC的中点D，求在B的运动过程中D的路径长为（　　） A．2π B． C．π D． 【分析】当点A、B重合时，∠AOC＝120°，由D为BC中点，则OD⊥AC，当点B在运动过程中，D在以F为圆心，为半径的上运动，然后根据弧长公式即可求解． 【解答】解：如图，取圆上一点E， ∵∠B+∠E＝180°，∠B＝120°， ∴∠E＝60°， ∴∠AOC＝120°， 如图，当点A、B重合时， ∵∠AOC＝120°， ∵D为BC中点， ∴OD⊥AC， ∴∠BDO＝∠CDO＝90°， ∴OC为直径， 当点B在运动过程中，D在以F为圆心，长度为半径的上运动， ∵D为BC中点，F为OC中点， ∴DF∥OA， ∴∠DFC＝∠AOC＝120°， ∴在B的运动过程中D的路径长为， 故选：C． 35．正六边形ABCDEF和⊙O的位置如图所示，其中点A，B在⊙O上，且∠AOB＝90°，，将正六边形ABCDEF绕点A顺时针旋转，当点F第一次落在⊙O上时，点E的运动轨迹长是（　　） A． B． C． D． 【分析】延长EF、BA交于点H，连接AE交⊙O于点G，连接BG，由正六边形的性质得EF＝AF＝AB，∠AFE＝∠BAF＝120°，求得∠FAE＝∠FEA＝30°，∠HAF＝∠HFA＝60°，则△HAF是等边三角形，所以AH＝FH＝AB，则EH＝2，求得AE＝3，由∠BAG＝90°，证明BG是⊙O的直径，则BG经过点O，所以∠AOG＝∠AOB＝90°，则AG＝AB＝AF，可知在旋转过程中，点F第一次落在⊙O上的点G处，旋转角为30°，所以点E的运动轨迹为以点A为圆心，AE长为半径，且圆心角等于30°的一段弧，由弧长公式求得点E的运动轨迹长为，于是得到问题的答案． 【解答】解：延长EF、BA交于点H，连接AE交⊙O于点G，连接BG， ∵六边形ABCDEF是正六边形，AB， ∴EF＝AF＝AB，∠AFE＝∠BAF（6﹣2）×180°＝120°， ∴∠FAE＝∠FEA（180°﹣120°）＝30°，∠HAF＝∠HFA＝180°﹣120°＝60°， ∴AH＝FH， ∴△HAF是等边三角形， ∴AH＝FH＝AB， ∴EH＝EF+FH＝2， ∵∠EAH＝∠FAE+∠HAF＝90°， ∴AE3， ∵∠BAG＝180°﹣∠EAH＝90°， ∴BG是⊙O的直径， ∴BG经过点O， ∴∠AOG＝∠AOB＝90°， ∴AG＝AB， ∴AG＝AF， ∴将正六边形ABCDEF绕点A顺时针旋转，则点F第一次落在⊙O上的点G处，旋转角为30°， ∴点E的运动轨迹为以点A为圆心，AE长为半径，且圆心角等于30°的一段弧， ∴点E的运动轨迹长， 故选：A． 压轴突破6 圆的计算（六）最值问题 36．如图，半径为5的⊙M圆心M的坐标为（9，12），点P是⊙M上任意一点，PA，PB与x轴分别交于A，B两点，且PA⊥PB，若点A，点B关于原点O对称，则AB的最大值为（　　） A．60 B．40 C．34 D．20 【分析】连接OP，由直角三角形斜边中线的性质推出AB＝2PO，当P在OM的延长线时，PO最大，此时AB最大，由勾股定理求出OM＝15，得到PO＝OM+PM＝20，即可求出AB的最大值． 【解答】解：连接OP， ∵AO＝BO，∠APB＝90°， ∴AB＝2PO， ∴当PO取最大值时，AB的值最大，当P在OM的延长线时，PO最大， ∵M的坐标是（9，12）， ∴OM15， ∵圆的半径是5， ∴PM＝5， ∴PO＝OM+PM＝15+5＝20， ∴AB＝2PO＝40， ∴AB的最大值是40． 故选：B． 37．如图，在平面直角坐标系中，点M坐标为（2，0），点A坐标为（0，2），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与y轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，当线段OD取得最大值时，点D的坐标为（　　） A． B． C．（2，2） D．（2，4） 【分析】先根据三角形中位线的性质得到当BC为直径（过圆心M）时，OD最大；然后延长BM与圆交于C′点，连接AC′；再由圆周角定理可得∠BAC′＝90°，然后由垂径定理得到OA＝OB、求解、AC′＝4，最后求出线段AC′的中点坐标即可． 【解答】解：在平面直角坐标系中，点M坐标为（2，0），点A坐标为（0，2），如图，连接MA，延长BM与圆交于C′点，连接AC′， ∴OA＝OB＝2， 在直角三角形AOM中，由勾股定理得：， ∵点D是AC的中点， ∴OD∥BC且， ∴BC最大时，即当BC为直径（过圆心M）时，OD最大； ∵BC′是直径， ∴∠BAC′＝90°， ∵， ∴， ∴， ∴点C′（4，2）， ∵AC′的中点D′，A（0，2）， ∴D′的坐标为（2，2）． 故选：C． 38．如图，⊙O的半径为2，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝30°，若点E是线段AC上一动点，连接OE，过点C作CF⊥OE于点F，则AF的最小值是（　　） A．2 B． C．1 D． 【分析】连接OA，OC，设OC的中点为P，以点P为圆心，以PO为半径作⊙P，连接AP，FP，根据CF⊥OE得当点E在AC上运动时，点P在⊙P上运动，再根据点与圆的位置关系得当A，F，P在同一条直线上时，AF为最小，最小值为AP﹣PF，然后分别求出PF＝1，AP，则可得AF的最小值是1 【解答】解：连接OA，OC，设OC的中点为P，以点P为圆心，以PO为半径作⊙P，连接AP，FP，如图3所示： ∵CF⊥OE， ∴∠OFC＝90°， ∴当点E在AC上运动时，点P在⊙P上运动， 根据点与圆的位置关系得：当A，F，P在同一条直线上时，AF为最小，最小值为AP﹣PF， ∵△OAC是等边三角形且边长为2，点P是OC的中点， ∵PO＝PC＝PFOC＝1，AP⊥OC， 在Rt△OAP中，由勾股定理得：AP， ∴AP＝PF1， ∴AF的最小值是1． 故选：D． 39．如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A，OD交⊙O于点C，AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD＝4，则PE+PF的最小值是（　　） A．4 B． C．6 D． 【分析】如图，延长DO交⊙O于点M，连接PM，PF，OF，由垂径定理得，进而得∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°，∠BOM＝∠AOC＝60°＝∠BOF，点F关于AB的对称点为点M，根据两点之间线段最短得当E，P，M三点共线时，PE+PF最小，最小值为EM的长，在利用直角三角形的性质即可求解． 【解答】解：如图，延长DO交⊙O于点M，连接PM，PF，OF，EP， ∵AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点， ∴， ∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF， ∵∠AOC+∠COF+∠BOF＝180°， ∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°， ∴∠BOM＝∠AOC＝60°＝∠BOF， ∴点F关于AB的对称点为点M， ∴PM＝PF， ∴PE+PF＝PE+PM≥EM， 当E，P，M三点共线时，PE+PF最小，最小值为EM的长， ∵∠AOC＝60°，AD⊥AB， ∴∠D＝30°， ∴OD＝2OA， ∵CD＝4， ∴OD＝OC+4＝2OA＝2OC，即OC＝4， ∴OC＝OA＝OB＝OM＝OF＝4， ∵AF⊥OC，∠AOC＝60°， ∴∠OAE＝30°， ∴， ∴PE+PF的最小值EM＝OE+OM＝2+4＝6． 故选：C． 40．如图，△ABC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，点D，E分别为⊙O上的动点（不与点A，点B，点C重合），且DE＝BC，F为DE的中点，分别连结OF，AF，若AB＝3，BC＝4，则AF的最大值为（　　） A．3 B．4 C．4.5 D．5 【分析】如图1，过点O作OH⊥BC于H，以点O为圆心，以OH为半径作圆，由勾股定理得：，OH为△ABC的中位线，当点D，E在⊙O上运动时，点F在以点O为圆心，以为半径的圆上运动，根据“两点之间线段最短”得：AF≤OA+OF，如图2：此时，即AF的最大值为4，由此即可求解． 【解答】解：AB为⊙O的直径，如图1，过点O作OH⊥BC于H，以点O为圆心，以OH为半径作圆， ∴∠ABC＝90°， 在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4， 由勾股定理得：， ∴， ∵OH⊥BC，∠ABC＝90°， ∴OH为△ABC的中位线，点F为DE的中点， ∴，即弦BC的弦心距，OF为弦DE的弦心距， ∵DE＝BC， ∴， ∴当点D，E在⊙O上运动时，点F在以点O为圆心，以为半径的圆上运动，根据“两点之间线段最短”得：AF≤OA+OF， ∴当点F在AO的延长线上时，AF为最大， 如图2：此时，即AF的最大值为4， 故选：B． 41．如图，点A的坐标为（﹣3，3），点P的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣1，0），⊙A的半径为1，C为圆上一动点，Q为BC的中点，连接PC，OQ，则OQ长的最大值为（　　） A．5 B．2.5 C．6 D．3 【分析】由点P、点B的坐标得O是BP的中点，则OQ是△CBP的中位线，OQPC，当PC的长最大时，OQ的长最大，根据点与圆的位置关系可得PC长的最大值为AP+1，求出AP5，即可求解． 【解答】解：∵点P的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣1，0）， ∴O是BP的中点， ∵Q为BC的中点， ∴OQ是△CBP的中位线， ∴OQPC， ∴当PC的长最大时，OQ的长最大，如图， ∵点A的坐标为（﹣3，3），点P的坐标为（1，0）， ∴AP5， ∴PC长的最大值为AP+1＝6， ∴OQ长的最大值为OQPC＝3， 故选：D． 42．如图所示，M是x轴的正半轴上一点，⊙M与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，A（﹣2，0），C（0，6），点N是⊙M上任意一点，点P是ON的中点，则CP的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】取OM中点D，连接CD，PD，CM，MN，由点P是ON的中点，得 ，由A（﹣2，0），C（0，6），得OA＝2，OC＝6，进而可得CM＝10，OM＝8，，，由勾股定理求得，由PC+PD≥CD，得C、P、D三点共线时，CP+PD＝CD，CP最小，即可求解． 【解答】解：取OM中点D，连接CD，PD，CM，MN， 由条件可知， 由条件可知OA＝2，OC＝6， ∴CM2＝OC2+OM2， ∴CM2＝62+（CM﹣2）2， ∴CM＝10，OM＝8， ∴，， ∴Rt△COD中，， ∵△CDP中，PC+PD≥CD， ∴C、P、D三点共线时，CP+PD＝CD，CP最小， 此时， 故答案为：B． 43．如图，在⊙O中，弦AB的长为2，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为（　　） A．4 B．2 C． D．1 【分析】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出CD即可． 【解答】解：连接OD，如图， ∵CD⊥OC， ∴∠DCO＝90°， ∴CD， 当OC的值最小时，CD的值最大， 而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合， ∴CD＝CBAB2＝1， 即CD的最大值为1， 故选：D． 44．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE最小值为（　　） A．8 B．10 C．12 D．6 【分析】由AE⊥BE，得到E在以AB为直径的⊙O上，连接OC交圆于E′，当E与E′重合时，线段CE的长最小，由勾股定理求出，即可得到CE′＝OC﹣OE′＝8，于是得到线段CE的最小值为8． 【解答】解：如图，连接OC交圆于E′，当E与E′重合时，线段CE的长最小， ∵AE⊥BE， ∴∠AEB＝90°， ∴E在以AB为直径的⊙O上， ∵AB＝10， ∴OB＝OA＝OE′＝5， ∵BC＝12， ∴， ∴CE′＝OC﹣OE′＝13﹣5＝8， ∴线段CE的最小值为8． 故选答案为：A． 45．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是（　　） A．6 B．12 C． D． 【分析】过O作OM⊥AC于M，延长MO交⊙O于P，则此时，点P到AC距离的最大，且点P到AC距离的最大值＝PM，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：过O作OM⊥AC于M，延长MO交⊙O于P， 则此时，点P到AC的距离最大，且点P到AC距离的最大值＝PM， ∵OM⊥AC，∠A＝∠BPC＝60°，⊙O的半径为6， ∴OP＝OA＝6， ∴OMOA6＝3， ∴PM＝OP+OM＝6+3， ∴则点P到AC距离的最大值是6+3． 故选：C． 46．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E是对角线BD上的一个动点，且不与端点B、D重合连接AE，过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接DF．则DF的最小值是（　　） A． B．3 C． D． 【分析】由∠AFB＝90°可得出点F的运动轨迹，进而解决问题． 【解答】解：∵BF⊥AE， ∴∠AFB＝90° ∴点F在以AB为直径的圆上． 取AB的中点M，连接DM与⊙M交于点F'，则当点F在F'处时，DF取得最小值． 在Rt△ADM中，由勾股定理得：， ∴， 即DF的最小值为， 故选：C． 47．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，且AB⊥OC，P为圆上一动点，M为AP的中点，连接CM．若⊙O的半径为2，则CM长的最大值是（　　） A． B． C．4 D． 【分析】根据题意得出点M的移动轨迹，再根据圆外一点到圆上一点最大距离进行计算即可． 【解答】解：如图，当点P在⊙O上移动时，AP的中点M的轨迹是以OA为直径的⊙O′， 因此CO′交⊙O′于点M，此时CM的值最大， 由题意得，OA＝OB＝OC＝2，OO′OA＝1＝O′M， 在Rt△O′OC中，OC＝2，OO′＝1， ∴O′C， ∴CM＝CO′+O′M1， 故选：B． 48．如图，AB是⊙O的直径，AB＝3，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为弧BC的中点，P是直径AB上一动点，则PC+PD的最小值为　 　 ． 【分析】作D关于AB的对称点D′，连接OC，OD′，CD′，CD′交AB于点P′．则PC+PD的最小值就是CD′的长度，在△COD′中根据边角关系即可求解． 【解答】解：作D关于AB的对称点D′，连接OC，OD′，CD′，CD′交AB于点P′． 则P′D＝P′D′， ∴当P，C，D′共线时，PC+PD＝P′C+P′D＝CD′时，PC+PD的最小值， 由条件可知， ∴． ∴∠CAD′＝45°． ∴∠COD′＝90°． 则△COD′是等腰直角三角形． ∵， ∴． 故答案为：． 49．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC且AC＝10，点D在BC上，点P是线段AC上一个动点，以PD为直径作⊙O，点Q为直径PD上方半圆的中点，连接AQ，则AQ的最小值为　 　 ． 【分析】连接OQ，CQ，过点A作AT⊥CQ交CQ的延长线于T，根据圆周角定义知∠ACQ＝45°，确定点Q的运动路径，从而解决问题． 【解答】解：如图，连接OQ，CQ，过点A作AT⊥CQ交CQ的延长线于T， ∵， ∴OQ⊥PD， ∴∠QOD＝90°， ∴∠QCD∠QOD＝45°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACT＝45°， ∵AT⊥CT， ∴∠ATC＝90°， ∵AC＝10， ∴AT5， ∵AQ≥AT， ∴AQ≥5， ∴AQ的最小值为：5， 故答案为：5． 50．如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点．连接AB，AP，BP，若MN＝2，AB1，则△PAB的周长的最小值是 　 　 ． 【分析】作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，PA，AA′，此时PA+PB＝A′B是最小值，再证△OA′B是等腰直角三角形，从而得出结果． 【解答】解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，PA，AA′， 此时PA+PB＝A′B是最小值， ∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点， ∴∠A′ON＝∠AON＝60°，PA＝PA′， ∵点B是的中点， ∴∠BON＝30°， ∴∠A′OB＝∠A′ON+∠BON＝60°+30°＝90°， ∵MN是⊙O的直径，MN＝2， ∴OB＝OA′， ∴△OA′B是等腰直角三角形， ∴A′BOB2， ∴PA+PB＝PA′+PB＝A′B＝2， ∴△PAB周长的最小值是211， 故答案为：1． 压轴突破7 圆的计算（七）折叠圆问题 51．如图1为一圆形纸片，A、B、C为圆周上三点，其中AC为直径，以AB为折线将纸片向右折叠，纸片盖住部分的AC，且弧AB交AC于点D，如图2所示，若∠BAC的度数为21°，则∠ABD的度数为（　　） A．96° B．69° C．48° D．42° 【分析】设D折叠前在M点，连接MB、MD，由折叠的性质得到：，，∠BAC＝∠BAM，又AC是圆的直径，则∠ABC＝90°，由等腰三角形的性质得∠ACB＝∠BDC＝69°，从而求出∠ADB＝111°，然后根据三角形的内角和定理即可求解． 【解答】解：设D折叠前在M点，连接MB、MD， 由折叠的性质得到：，，∠BAC＝∠BAM， ∴， ∴BC＝BD＝BM， 由直径所对的圆周角是直角可知∠ABC＝90°， ∴∠ACB＝∠BDC＝90°﹣21°＝69°， ∴∠ADB＝180°﹣69°＝111°， ∴∠ABD＝180°﹣∠BAC﹣∠ADB＝180°﹣21°﹣111°＝48°， 故选：C． 52．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D（不与O重合），连结CD．若∠A＝22°，则∠ACD的度数为（　　） A．46° B．44° C．48° D．68° 【分析】先连接BC，根据圆周角定理求得∠ACB的度数，从而利用直角三角形的性质求得∠B的度数；再由翻折的性质可得，弧AC所对的圆周角为∠B，弧ABC所对的圆周角为∠ADC，从而得到∠ADC+∠B＝180°，从而利用三角形内角和的性质得∠ADC即可． 【解答】解：连接BC， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣22°＝68°． 根据翻折的性质，弧AC所对的圆周角为∠B，弧ABC所对的圆周角为∠ADC， ∴∠ADC+∠B＝180°， ∴∠ADC＝180°﹣68°＝112°， ∴∠ACD＝180°﹣∠ADC﹣∠A， ＝180°﹣112°﹣22°， ＝46． 故选：A． 53．如图，将弧AB沿弦AB翻折恰好过圆心O点，点C为弧AB的中点，⊙O的半径为3，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B．π C． D．2π 【分析】连接OC，OA，OB，且OC与AB相交于点D，根据折叠的性质以及垂径定理可得出△AOC和△BOC是全等的等边三角形，且S阴影＝S扇形OCB，然后由扇形面积公式求出扇形OBC的面积即可． 【解答】解：连接OC，OA，OB，且OC与AB相交于点D，如图： ∵将弧AB沿弦AB翻折恰好过圆心O点， ∴AC＝AO，BC＝BO，CD＝DO， ∴△AOC和△BOC是全等的等边三角形， ∵点C为弧AB的中点， ∴OC⊥AB， ∴△ACD、△AOD、△BCD、△BOD是四个全等的直角三角形， ∴S△ACD＝S△BOD， ∴S阴影＝S扇形OCB， ∵∠COB＝60°， ∴S扇形OCB， ∴阴影部分的面积为． 故选：C． 54．如图，BD是⊙O的弦，把BD沿翻折，点A在翻折后的上，点C在⊙O上．若∠BCD＝80°，则∠DAB的度数是（　　） A．80° B．100° C．120° D．140° 【分析】利用圆内接四边形对角互补以及翻折后角的等量关系求解． 【解答】解：如图： BD是⊙O的弦，把BD沿翻折，点A在翻折后的上， 展开可得：四边形A′BCD是⊙O的内接四边形， ∴∠DA′B+∠BCD＝180°， ∴∠DA′B＝180°﹣80°＝100°， 即∠DAB＝100°， 故选：B． 55．如图，⊙O的半径OA＝1，D是半径OA上一点（不与点O重合），过点D作弦BC⊥OA，沿BC把翻折得到，连接OB、OC，当弦BC的长是整数时，的长为（　　） A．π B． C． D． 【分析】根据不过原点的弦小于直径，得到0＜BC＜2，再根据弦BC的长是整数，得到BC＝1，则△BOC是等边三角形，得到∠BOC＝60°，再利用弧长公式求解即可． 【解答】解：由条件可知OB＝OC＝OA＝1， ∵D是半径OA上一点（不与点O重合）， ∴0＜BC＜2， ∵弦BC的长是整数， ∴弦BC＝1， ∴△BOC是等边三角形， ∴∠BOC＝60°， ∴的长， ∴的长为， 故选：B． 56．如图，△ABC内接于⊙O，将弧BC沿弦BC翻折到⊙O内，点D是翻折后所得弧上一点，若∠A＝65°，则∠BDC的大小为（　　） A．115° B．130° C．120° D．140° 【分析】过点D作DE⊥BC于点E，交⊙O于点F，由翻折的性质得DE＝FE，则BC是线段DF的垂直平分线，进而得BD＝BF，CD＝CF，据此可依据“SSS”判定△BCD和△BFC全等，则∠BDC＝∠BFC，然后根据圆内接四边形的性质求出∠BFC即可得出答案． 【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E，交⊙O于点F，如图所示： 由翻折的性质得：DE＝FE， ∴BC是线段DF的垂直平分线， ∴BD＝BF，CD＝CF， 在△BCD和△BFC中， ， ∴△BCD≌△BFC（SSS）， ∴∠BDC＝∠BFC， ∵四边形ABFC是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠BFC＝180°， ∵∠A＝65°， ∴∠BFC＝180°﹣∠A＝115°， ∴∠BDC＝∠BFC＝115°． 故选：A． 57．如图，已知⊙O的直径AB为10，将⊙O沿CD折叠，使弧CED与直径AB相切于点E，则折痕CD的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【分析】如图，设AE＝x．CD＝y，设弧CED的圆心为O′，连接OO′交CD于F，连接O′E，OD，根据垂径定理以及勾股定理即可求解． 【解答】解：如图，设AE＝x．CD＝y，设弧CED的圆心为O′，连接OO′交CD于F，连接O′E，OD， 由折叠得OO′⊥CD，OF＝O′F，⊙O′的半径为5， ∴CF＝DF＝CD， ∴OF， ∴OO′＝2， ∵弧CE'D与AB相切于点E'， ∴O′E′⊥AB， ∴OO′2＝OE′2+O′E′2， ∵OE＝OB﹣BE′＝1﹣x， ∴（2）2＝（5﹣x）2+52， ∴（x﹣5）2+y2＝75， 当x＝5时，y的值最大，最大值为5， 当x＝10时，y的值最小，最小值为5， ∴5CD≤5． 故选：C． 58．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝105°，OA＝8，点C在半径OA上，将△BOC沿着BC翻折，点O的对称点D恰好落在弧AB上，再将弧AD沿着CD翻折至弧A1D（点A1是点A的对称点），那么OA1的长为 　 　 ． 【分析】根据翻折的性质，等边三角形的判定和性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【解答】解：如图，连接OD，由翻折的性质可知，OB＝BD，OC＝DC，AC＝A1C，∠BOC＝∠BDC＝105°， ∵OB＝OD， ∴OB＝OD＝BD， ∴△BOD是正三角形，∠OBD＝60°， ∴∠OCD＝360°﹣105°﹣105°﹣60°＝90°， 设AC＝a，则OC＝8﹣a＝CD，A1O＝8﹣2a， 在Rt△COD中，OC＝CD＝8﹣a，OD＝8，由勾股定理得， OC2+CD2＝OD2， 即（8﹣a）2+（8﹣a）2＝82， 解得a＝8﹣4或a＝8+48（舍去）， ∴OA1＝OA﹣2AC ＝8﹣2（8﹣4） ＝8﹣16+8 ＝88． 故答案为：88． 59．如图，扇形纸片OAB所在圆的圆心角∠AOB＝90°，半径为4．将扇形纸片折叠，使点B落在点B′处，折痕与AB，OB分别交于点M，N．若B′M与半径OA相切于点C，且C是OA的中点，则BN的长为 　　 ． 【分析】作O点关于MN的对称点O′，连接O′C、O′B、O′N，如图，设BN＝x，则ON＝O′N＝4﹣x，根据切线的性质得到O′C⊥AC，O′C＝OB＝4，再证明四边形OBO′C为矩形得到∠OBO′＝90°，O′B＝OC＝2，接着在Rt△O′BN中利用勾股定理得到x2+22＝（4﹣x）2，然后解方程求出x即可． 【解答】解：作O点关于MN的对称点O′，连接O′C、O′B、O′N，如图，则ON＝O′N， 设BN＝x，则ON＝O′N＝4﹣x， ∵弧B′M与半径OA相切于点C， ∴O′C⊥AC，O′C＝OB＝4， ∵∠AOB＝90°， ∴O′C∥OB， ∴四边形OBO′C为矩形， ∴∠OBO′＝90°，O′B＝OC， ∵C是OA的中点， ∴O′B＝OC＝2， 在Rt△O′BN中，x2+22＝（4﹣x）2， 解得x， 即BN的长为． 故答案为：． 60．如图，AB是半圆O的直径，C为半圆O上一点，将半圆O沿AC翻折，点O的对应点O′落在上，点B的对应点为B′，若AB＝6，则图中阴影部分的面积为　 　 ．（结果保留π） 【分析】先连接OO′，利用翻折和圆半径相等的性质，判定△AOO′为等边三角形；接着作辅助线O′D⊥OA，结合等边三角形和勾股定理，求出其高与面积；再根据圆心角为60°，用扇形面积公式算出扇形面积；最后用扇形面积减去等边三角形面积，得到阴影部分面积． 【解答】解：连接OO′， 根据翻折的性质得OA＝O′A． 由条件可知OA＝OO′． ∴OA＝O′A＝OO′， ∴△AOO′是等边三角形． ∵AB＝6， ∴，即等边三角形△AOO′的边长为3． 过点O′作O′D⊥OA于点D． 在等边三角形△AOO′中，O′D是底边OA上的高， 所以D为OA的中点，即． O′D2+OD2＝OO′2， ， ， 对于△AOO′，底为OA＝3，高为，代入公式得： ； ∴∠AOO′＝60°，这个角就是扇形AOO′的圆心角． ； ∴S阴影＝S扇形AOO′﹣S△AOO′ ． 故答案为：． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $