第二十三章 旋转综合压轴题精选60题（必考点分类集训）-2025-2026学年九年级数学上册必考点分类集训系列（人教版）

第二十三章 旋转综合压轴题精选60题 【人教版九上期中真题】 1．如图，△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，点D为AB上一动点（不与A，B重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，EF∥AC，AF⊥EF，连接AE． （1）求的值； （2）若△CDE的面积为5，时，求AE的长； （3）G为△ABC所在平面内一点，且CG＝6，AG＝9，BG＝3，请画出草图并直接写出∠BGC的度数． 2．如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A、B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D、E． （1）探究模型：求证：△AEC≌△CDB； （2）类比模型；如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，连接B′C，求△AB′C的面积； （3）应用模型：如图3，△ABC中，AC＝AB，BC＝6，将AB绕点B顺时针旋转90°，得BD，连接CD，求△CBD的面积． 3．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D，E分别在边AC，BC上，CD＝CE，连接BD，点F，P，G分别为AB，BD，DE的中点． （1）如图1中，线段PF与PG的数量关系是 　 　 ，位置关系是 　 　 ； （2）若把△CDE绕点C逆时针方向旋转到图2的位置，连接AD，BE，GF，判断△FGP的形状，并说明理由； （3）若把△CDE绕点C在平面内自由旋转，AC＝8，CD＝3，请求出△FGP面积的最大值． 4．问题解决 一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，点P是等边△ABC内的一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．你能求出∠APB的度数和等边△ABC的面积吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 如图①将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A，连接PP′，可得△BPP′是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得△AP′P是直角三角形，从而使问题得到解决． （1）结合小明的思路完成填空：PP′＝　 　 ，∠APP′＝　 　 ，∠APB＝　 　 ； （2）类比探究 ①如图②，若点P是正方形ABCD内一点，PA＝2，PB＝4，PC＝6，求∠APB的度数； ②如图③，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝6，PB＝2，，求∠APB的度数． 5．（1）【问题背景】如图1，在△ABC中，AB＝AC，P为△ABC外一点，点M为BP延长线上一点，点N为线段PC上一点，AM⊥BP于点M，AN⊥CP于点N，且∠ACP＝∠ABP． 求证：AM＝AN； （2）【类比探究】如图2，在△ABC中，AB＝AC，Q为△ABC外一点，当∠BAC＝60°，∠AQB＝150°，AQ＝2，时，求CQ的长度； （3）【拓展应用】如图3，在△ABC中，∠B＝60°，点D，E分别在边BC，AB上，BD＝BE，AE＝BC，连结AD、DE，点F是DE延长线上一点，且∠FAC＝60°，连接CF．求证：∠ACF＝∠ADF． 6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BC＝1，将△ABC绕点A逆时针旋转得△AED． （1）如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转30°得△AED，求∠BED的大小； （2）如图2，CD交BE于点F，求证：点F是BE中点； （3）△AED在绕点A旋转一周的过程中，线段DF长度的最大值为 　 　 ． 7．问题情境 CD是等边△ABC的中线，点P在线段CD上运动（不包括端点C，D），将线段PA绕点P顺时针旋转，点A的对应点E落在射线BC上，探究∠APE的大小．记∠CAP＝α． 问题探究 （1）如图1，将问题特殊化，当α＝30°时，直接写出∠APE的大小； （2）如图2，将问题一般化，当0°＜α＜30°时，求证：是定值． 问题拓展 当30°＜α＜60°时，若，直接写出的值． 8．问题背景及探索：（1）已知在△ABC中，AB＝AC，E、D都在边BC上． ①如图1，若将△ADC绕点A顺时针旋转，当AC与AB重合时，点D旋转到D'，且D′E＝DE，求出∠EAD，∠BAE，∠CAD数量关系； ②如图2，若AB⊥AC，ED2＝BE2+DC2，求∠EAD的度数； 问题拓展：（2）如图3，等边△ABC边长为6，AE绕点A逆时针旋转120°得AE'，N为AC与BE′的交点，M为AB的中点，当E在BC边上运动时，请直接写出MN的最小值 　 　 ． 9．【问题背景】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，求证：BD＝CE； 【尝试运用】如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝150°，边AC绕点C逆时针旋转90°到DC，E为边BC上不与点C重合的点，且DE＝DC，M为BE的中点，连接AM，DM．求∠DAM的度数； 【拓展创新】如图3，在△ABC和△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝90°，BA＝BC＝a，DA＝DE＝b，连接BD，CE，点F，G分别为CE，BD的中点，若∠CAE＝30°，请直接写出线段FG的长（用含a和b的式子表示）． 10．（1）如图1，△ABC和△ADB为等边三角形，点D为BC边上一点，求证：AB∥CE； （2）如图2，△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝DE，∠BAC＝∠ADE，点D为BC边上一点，求证：AB∥CE； （3）如图3，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D为△ABC内一点，过点D作DE⊥AD交BC边于点E（点D在直线AE左侧），连接BD并延长交AC于点F，若ADDE，则AF、DE、CE的数量关系为 　 　 ． 11．问题背景 如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接DB和EC．求证：DB＝EC． 尝试应用 如图2，在（1）的条件下，DE与BC交于点F，若F为BC中点，求∠ADB的大小． 拓展应用 如图3，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，ED的延长线交BC于点F，连接BD，若∠ADB＝90°，EF＝6，，直接写出AE的长. 12．在等边△ABC中，D为BA延长线上一点，F为BC上一点，过B作BE∥AC，连接DE，EF，且∠DEF＝60°． （1）如图1，若BE＝2，BD＝5，求BF的长． （2）如图2，若F为CB延长线上一点，试探究BD、BE、BF的关系，并说明理由． （3）如图3，若F为BC延长线上一点，且AD：BE：AC＝1：2：3，请直接写出CF：BE的值． 13．（1）如图1，E为等边△ABC内一点，CE平分∠ACB，D为BC边上一点，且DE＝CD，连接BE，取BE中点P，连接AP，PD，AD，直接写出AP与PD的位置关系，并直接用等式表示AP与PD的数量关系； （2）如图2，把图1中的△CDE绕点C顺时针旋转α（60°＜α＜90°），其它条件不变，连接BE，点P为BE中点，连接AP，PD，AD，试问（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）在（2）的条件下，若CD＝1，AB＝6，△CDE绕点C顺时针旋转a（0°≤α≤360°），则AP的最大值为 　 　 ． 14．在△ABC和△ADE中，AD＜AB，AB＝AC，∠DAE∠BAC＝α，∠AED＝90°，点F是线段DC的中点，连接EF． （1）如图1，当α＝30°，且D为BC的中点时，请探究线段EF与BD的数量关系； （2）如图2，点D在BC上，试探究线段EF与BD的数量关系； （3）如图3，α＝30°，点D不在BC上，∠DBC＝15°，EF，AE，求△ABC的面积． 15．已知等腰直角△ABC与△ADE有公共顶点A，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝8，AD＝AE＝4．现将△ADE绕点A旋转． （1）如图①，当点B，A，D在同一直线上时，点F为DE的中点，求BF的长； （2）如图②，连接BE，DC．点G为DC的中点，连接AG交BE于点P，求证：AG⊥BE； （3）如图③，点F为DE的中点，以BF为直角边构造等腰Rt△FBN，连接CN，在△ADE绕点A旋转过程中，当BN最小时，直接写出△BCN的面积． 16．已知正方形ABCD和正方形CEFG． （1）如图1，当正方形CEFG在正方形ABCD在外部时，连接BG，DE．求证：△BCG≌△DCE； （2）如图2，将（1）中正方形CEFG绕点C旋转，使点G落在DE上． ①若，，求线段BG的长； ②如图3，连接AC，若点O是AC的中点，连接OG．判断线段OG与AB的数量关系并说明理由． 17．如图1，点D为等边△ABC的边BC上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE． （1）猜想BD与CE的数量关系，并加以证明； （2）如图2，点D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE，若B、D、E三点共线，求证：EB平分∠AEC； （3）如图3，若△ABC是边长为1的等边三角形，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接CE．点D在运动过程中，△DEC的周长最小值＝　 　 （直接写答案）． 18．【问题背景】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，BE，点P为DC的中点． 【观察猜想】观察图1，猜想线段AP与BE的数量关系是 　 ，位置关系是 　 ． （2）【拓展探究】把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明：否则写出新的结论并说明理由． （3）【问题解决】把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若DE＝4，BC＝8，请直接写出线段AP长的取值范围． 19．正方形ABCD，点 E、F在CB、DC延长线上，且BE＝CF，AE与BF延长线交于点G． （1）如图1，求证AE⊥BF； （2）如图2，点M是FG延长线上一点，MG＝BG，∠MAD的平分线交BF于点N，连接CN．试探究AN、CN、BN三条线段的数量关系，并证明； （3）如图3，E为AB上一点，∠BCE＝30°，F是BC的中点，G为BE上一动点，以FG为边在正方形内作等边△FGH，若BE＝4，则CH的最小值是 　 　 ． 20．半角模型探究 如图，正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°．将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM． （1）求证：EF＝AE+CF； （2）当AE＝1时，求CF的长． （3）探究延伸：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，BC+CD＝8．E、F分别是边BC、CD上的点，且．求△CEF的周长． 21．在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，直线DE与直线BC相交于点P． （1）如图1，当点P落在线段BC上时，求证：PC＝PE； （2）如图2，当C的对应点E落在AB上时，连接BD．若BC＝4，AC＝3，求△PBD的周长． （3）如图3，当点P落在CB的延长线上，且DE∥AB时，连接BD，AP，判断线段BD与AP的数量关系并说明理由． 22．四边形ABCD和四边形BEFG均为正方形，连接AE、CG． （1）如图1，E在BC上，G在AB延长线上，求证：△ABE≌△CBG； （2）正方形BEFG绕点B旋转，请仅就图2的情形探究AE和CG之间的位置关系和数量关系； （3）已知AB＝10，BE＝2，连接AG，在正方形BEFG绕点B旋转一周的过程中，当C、E、G三点共线时，求AG的长． 23．如图1，在边长为8的正方形ABCD中，连接AC，点E在BC上，且BE＝EC，将点C绕点B逆时针旋转至F点，旋转角的度数为α，连接BF，与AC相交于点G，连接EF，交AC于点H，当点C旋转到与点A重合时旋转停止． （1）如图2，当α＝60°时， ①求证：EF⊥BC； ②点H在线段AC的什么位置？请说明理由； （2）在旋转的过程中，是否存在△CEF为等腰三角形的情况？如果存在，请求出EF的长；如果不存在，请说明理由． 24．如图，△ABC 和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°． （1）【猜想】如图1，点E在BC上，点D在AC上，线段BE与AD的数量关系是 　 　 ，位置关系是 　 　 ； （2）【探究】：把△DCE绕点C旋转到如图2的位置，连接AD，BE，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）【拓展】：把△DCE绕点C在平面内自由旋转，若AC＝6.，当A，E，D三点在同一直线上时，直接写出BE的长． 25．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°． （1）如图1，点D在边BC上，∠ADB＝2∠C，求的值； （2）如图2，点E在△ABC的外部，且AF＝AE，∠EAF＝120°，若2∠BEC﹣∠AEB＝270°，求证：． 26．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝θ（0°＜θ＜90°）．连接DE，过B作BF⊥DE于F，连接AF，CF． （1）若θ＝60°，求∠BED的度数； （2）当θ变化时，∠BED的大小会发生变化吗？请说明理由； （3）试用等式表示线段DE与CF之间的数量关系，并证明． 27．如图1，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D是边AB上一点，将线段CD绕点C逆时针旋转120°得到CE，连接BE． （1）求证：△CAD≌△CBE； （2）连接AE，若AD＝4，∠ACD＝30°，求线段AE的长； （3）如图2，若AD＝AC，BD＝2，点M为CD中点，AM的延长线与BC交于点P，与BE交于点N，求线段BN的长． 28．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB′C′，B′C′与AB交于点D，AC′与BC交于点E，B′C′与BC交于点F，当B、D、F重合时停止旋转． （1）如图1． ①求证：∠BFD＝∠C′AC； ②当AB平分∠B′AC′时，求证：AE+BD＝AB′； （2）如图2，若BC＝10，AC＝8，在旋转过程中，当△ABE是等腰三角形时，则该等腰三角形底边的长为　 　 ． 29．【问题情景】综合与实践课上，陈老师让同学们以“共顶点的等腰三角形的旋转”为主题开展数学探究活动． 【实践操作】陈老师让同学们先画出两个等腰直角△AOB和△MON，∠AOB＝∠MON＝90°，将△MON绕点O旋转到某一位置，要求同学们观察图形，提出问题并加以解决． （1）如图①，“慎思组”的同学们连接AM，BN，则AM与BN有何数量关系？∠OAM与∠OBN有何数量关系？请你探究后直接写出结论； （2）如图②，得知“慎思组”的结论后，“博学组”的同学们认为，当点N恰好在AB边上时，若AN＝6，BN＝8，就可以求出ON的长，请你写出求解过程； 【类比探究】 （3）“智慧组”的同学们认为，当点A，M，N在同一条直线上时，ON，OB，BN之间一定存在某种数量关系，若ON＝4，OB＝6，请你探究后直接写出BN的长． 30．如图1，正方形ABCD，E为平面内一点，且∠BEC＝90°，把△BCE绕点B逆时针旋转90°得△BAG，直线AG和直线CE交于点F． （1）证明：四边形BEFG是正方形； （2）若∠AGD＝135°，猜测CE和CF的数量关系，并说明理由； （3）如图2，连接DF，若AB＝13，CF＝17，求DF的长． 31．如图所示，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°． （1）如图1所示，若D是△ABC内一点，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连结AD，BE，求证：AD＝BE； （2）如图2所示，若D是△ABC外一点，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，且AE＝AB，求证：BDCD； （3）如图3所示，若O是斜边AB的中点，M为BC下方一点，且OM，CM＝7，∠BMC＝45°，则BM＝　 　 ． 32．已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°． （1）如图1，D是直角边AB上一点，过D作DE⊥BC于E，点F为CD中点，连接AF，EF，请写出此时线段AF与EF的关系（不用证明）． （2）在（1）的条件下将△BDE绕点B逆时针旋转45°到如图2的位置时，请证明此时（1）中的结论仍然成立； （3）在（1）的条件下将△BDE绕点B顺时针旋转90°，请画出图形；若AB＝6，BE＝2，直接写出此时AF的长． 33．【操作判定】 （1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E在BC上（且不与点 B、C重合），在△ABC的外部作△BED，使∠BED＝90°，BE＝DE，连接CD，过点A作AF∥CD，过点D作DF‖AC，DF交AF于点F，连接CF． 根据以上操作，判断：四边形ACDF的形状是 　 　 ，　 　 ； 【变换探究】 （2）如图2，将图1中的△BED绕点B逆时针旋转，使点E落在AB边上，过点A作AF∥CD，过点D作DF‖AC，DF交AF于点F，连接CE、CF．若CE＝4，求CF的长． 【拓展应用】 （3）将图1中的△BED绕点B顺时针旋转，使点D在BC的右侧，过点A作AF∥CD，过点D作DF∥AC，DF交AF于点F，连接CF，若BE＝2，BC＝6，当四边形ACDF为菱形时． ①求CF的长； ②当点D在BC左侧时，请直接写出CF的长． 34．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点． （1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是 　 　 ，位置关系是 　 　 ； （2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10．请直接写出△PMN面积的最大值． 35．已知，点P为等边三角形ABC所在平面内一点， （1）如图①，点P在△ABC外，∠BPC＝120°，∠ABP＝90°，求证：BP＝CP； （2）如图②，点P在△ABC内，AP＝3，BP＝4，CP＝5，求∠APB的度数； （3）如图③，点P在△ABC内，且∠BPC＝120°，M为BC上一点，连接PM，若∠BPM+∠APC＝180°，求证：BM＝CM． 36．已知正方形ABCD，将线段BA绕点B旋转α（0°＜α＜90°）得到线段BE，连接EA，EC． （1）如图1，当点E在正方形ABCD的内部时，若BE平分∠ABC，则∠AEC＝ 　 　 °； （2）当点E在正方形ABCD的外部时， ①在图2中依题意补全图形，并求∠AEC的度数； ②作∠EBC的平分线BF交EC于点G．交EA的延长线于点F，连接CF．用等式表示线段AE，FB，FC之间的数量关系，并证明． 37．（1）如图1，四边形ABCD是正方形，E，F分别在边BC和CD上，且∠EAF＝45°，请直接写出线段EF，BE，DF之间的关系：　 　 ． （2）如图2，等腰直角三角形ABD，∠BAD＝90°，AB＝AD，点E，F在边BD上，且∠EAF＝45°，请写出EF，BE，DF之间的关系，并说明理由． （3）如图3，△ABC在中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D，E在边BC上，且∠DAE＝60°，当BD＝10，EC＝16时，求DE的长． 38．在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC． （1）如图1，点E为△ABC内部一点，连接BE，将线段BE绕点B顺时针方向旋转90°得到BF，连接AE，CF，线段AE与CF的位置关系是 　 　 ； （2）如图2，若将问题（1）中的点E改为△ABC外部一点，其余条件不变，AE与CF交于点G，证明A、B、C、G四点在同一个圆上； （3）如图3，点D为△ABC外一点，且∠BDC＝45°，点O为AC的中点，连接OD，BD，CD，若OD＝13，BD＝7，求CD的长． 39．如图，在正方形ABCD中，DF＝EB． （1）求证：∠ADE＝∠FBC； （2）如图2，点P、Q分别是线段DE、FB上的动点，∠PCQ＝45°，连接PQ，探究三条线段DP、PQ、BQ之间满足的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，在（2）的条件下，DE＝8，在P、Q运动过程中，若PQ∥CD，当PQ最小时，AD＝ 　 　 ． 40．【问题提出】如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，△CDE是等边三角形，点D在边AB上，探究DE与EB的数量关系． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化如图1，当点E在边BC上时，猜想ED和EB数量关系，并加以证明； （2）再探究一般情形．如图2，当点E在△ABC内部时，证明（1）中的结论仍然成立． 【问题拓展】 如图3，当点E在△ABC外部时，EH⊥AB于点H，过点E作GE∥AB，交线段AC的延长线于点G，AG＝5CG，BH＝3．直接写出CG的长 　 　 ． 41．在△ABC中．∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为线段AB上一点，连接CD． （1）如图1，若，，求线段BD的长； （2）如图2，将线段CD绕D逆时针旋转90°得到线段DE，连接CE，BE，点F是线段DE中点，连接BF与CD延长线交于点G，当∠EBF＝30°时，求证：； （3）在（2）的条件下，将线段BE绕B顺时行旋转60°得到线段BP，连接CP，求． 42．问题：如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为 　 　 ． 探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论； 应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD的长． 43．如图1，已知△ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，连接EF． （1）证明：△CEF是等边三角形； （2）证明：AB＝DB+AF； （3）如图2，如果点E在线段AB的延长线上，其它条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由． 44．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°． （1）如图1，点D在BC边上，且∠ADB＝2∠C．求的值； （2）如图2，点E在△ABC的外部，且2∠BEC﹣∠AEB＝270°．求证：； （3）若P是平面内一点，且∠APB＝90°，∠BPC＝150°，求的值． 45．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D，E是边AB，AC的中点，连接DE，DC，点M，N分别是DE和DC的中点，连接MN． （1）如图1，MN与BD的数量关系是 　 　 ； （2）如图2，将△ADE绕点A顺时针旋转，连接BD，请写出MN和BD的数量关系并就图2的情形说明理由； （3）在△ADE的旋转过程中，当B，D，E三点共线时，求线段MN的长． 46．已知E在△ABC内部（如图①），等边三角形ABC的边长为6，等边三角形BDE的边长为4，连结AE和DC． （1）求证：AE＝DC； （2）当AE⊥BD时，求CD的长； （3）将△BDE绕点B旋转一周，F为DC的中点（如图②），求旋转过程中EF的取值范围． 47．综合与实践 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，将线段AC绕点A逆时针旋转至AD，旋转角记为α，连接CD，BD，过点C作CE⊥BD，交直线BD于点E，连接AE． 特例感知 （1）如图1，当α＝60°时，∠ACE的度数为　 　 ． 类比迁移 （2）如图2，当0°＜α＜90°时． ①求证：CE＝DE． ②求证：． 拓展延伸 （3）如图3，当270°＜α＜360°，S△ABE＝2S△ACE，且BE＝8时，求AE的长． 48．已知∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB＝10，OC＝OD＝8． （1）如图1，连接AC、BD，求证：AC＝BD． （2）若将△OCD绕点O逆时针旋转，如图2，当点C恰好在AB边上时，请写出AC、BC、CD之间关系，并说明理由． （3）若△OCD绕点O旋转，当∠AOC＝15°时，直线CD与直线AO交于点F，求AF的长． 49．如图，在等腰Rt△ABC中，AB＝BC，∠ACB＝90°，M为AB的中点，将△ABC绕点C逆时针方向旋转α（45°＜α＜90°），得到△DEC，点A的对应点为D，连接AD、EB并延长交于点N． （1）求证：△ACD≌△BCE； （2）求∠BDN的度数； （3）若BE＝kDN，且，求k的值． 50．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC上一点，连接DA，将线段DA绕点D顺时针旋转60°得到线段DE．（1）如图1，当点D与点B重合时，连接AE，交BC于点H，求证：AE⊥BC； （2）当BD≠CD时（图2中BD＜CD，图3中BD＞CD），F为线段AC的中点，连接EF．在图2，图3中任选一种情况，完成下列问题： ①依题意，补全图形； ②猜想∠AFE的大小，并证明． 51．如图1，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在AC边上，点E在BC延长线上，且CD＝CE，连接DE，将△DCE绕点C逆时针旋转，连接BD，AE，直线BD与直线AE交于点F． （1）如图2，求证：AE＝BD； （2）在图2中，连接CF，求证：BF﹣AFCF； （3）若AC＝3，CD＝2， ①如图3，当点F与点D重合时，求△ACD的面积； ②如图4，当点F与点E重合时，直接写出△ACD的面积． 52．已知在三角形ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，点D是平面内一动点（不与点C重合），连接CD，将线段CD绕D点顺时针旋转60°，得到线段DE（点E不与点B重合）．连接BE．取CD的中点P，连接AP． （1）如图（1），当点E落在线段AC上时，取BE的中点G，BC的中点H，连接AH，AG，GH， ①求证：△AGH≌△BGH； ②求证：BE＝2AP． （2）当AC＝4，CP＝2，当点B，D，E在同一条直线上时，请直接写出线段BE的长． 53．在等腰Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°． （1）如图1，若E是△ABC内部一点，以CE为腰向外作等腰Rt△CDE，即CE＝CD，∠DCE＝90°，连接AE，BD，求证：AE＝BD． （2）如图2，点E是AC边上一点，点F是BE上一点，若∠CFE＝45°，EF＝4，△ABE面积为30，求BF的长． （3）如图3，M是等腰Rt△ABC外一点，若∠AMC＝75°，AM＝2，，请直接写出MB的长． 54．已知∠MAN＝α（0°＜α＜45°），点B，C分别在射线AN，AM上，将线段BC绕点B顺时针旋转180°﹣2α得到线段BD，过点D作AN的垂线交射线AM于点E． （1）如图1，当点D在射线AN上时，求证：C是AE的中点； （2）如图2，当点D在∠MAN内部时，作DF∥AN，交射线AM于点F，用等式表示线段EF与AC的数量关系，并证明． 55．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点P为△ABC内一点，连接AP，BP，CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段CP′，连接PP′，AP′． （1）用等式表示AP′与BP的数量关系，并证明； （2）当∠APB＝135°时， ①直接写出∠P′AP的度数为 　 　 ； ②若M为AB的中点，连接PM，依题意补全图形，用等式表示PM与PP′的数量关系，并证明． 56．在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，将线段CA绕点C旋转α（0°＜α＜90°），得到线段CD，连接AD、BD． （1）如图1，将线段CA绕点C逆时针旋转α，则∠ADB＝　 　 °； （2）如图2，将线段CA绕点C顺时针旋转α时， ①求证：∠ADB＝45°； ②若∠BCD的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连结BE，如图3，用等式表示线段AD、CE、BE之间的数量关系，并证明． 57．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点E为边AC上一点，以AE为斜边，在△ABC外作△ADE，使得∠ADE＝90°，且DE＝DA．现将△ADE绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接BE，与AC交于点F． （1）如图2，若∠AFB＝60°，且BE∥AD， ①求α的值； ②求线段BE的长． （2）如图3，连接CE，点G为CE的中点，连接DG，求证：DG⊥BE． 58．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ANM，点B，C的对应点分别为N，M． （1）如图1，当点N落在BC的延长线上时，且∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，求BN的长； （2）如图2，△ABC绕点A顺时针旋转60°转得到△ANM，延长BC交AN于点D，连接BN并延长BN至点F，使得FN＝AD，连接DF，连接AF交MN于点H，猜想线段HN，MH，CD之间存在的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，连接BN，CM，直线CM交BN于点G，点R为BC的中点，连接RG．若∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，在旋转过程中，GR是否存在最小值？若存在，求出GR的最小值；若不存在，请说明理由． 59．问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形ABCD的边BC上任意取一点G，以BG为边长向外作正方形BEFG，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转． 特例感知：（1）当BG在BC上时，连接DF，AC相交于点P，小红发现点P恰为DF的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明； （2）小红继续连接EG，并延长与DF相交，发现交点恰好也是DF中点P，如图②．根据小红发现的结论，请判断△APE的形状，并说明理由； 规律探究： （3）如图③，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转α，连接DF，点P是DF中点，连接AP，EP，AE，△APE的形状是否发生改变？请说明理由． 60．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，MN是过点A的直线，过点C作CD⊥直线MN于点D，连接BD． （1）求∠ADB的度数； （2）如图1，可得线段AD，BD，CD的数量关系为 　 　 ；将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置，线段AD，BD，CD的数量关系是否发生变化，请说明理由． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十三章 旋转综合压轴题精选60题 【人教版九上期中真题】 1．如图，△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，点D为AB上一动点（不与A，B重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，EF∥AC，AF⊥EF，连接AE． （1）求的值； （2）若△CDE的面积为5，时，求AE的长； （3）G为△ABC所在平面内一点，且CG＝6，AG＝9，BG＝3，请画出草图并直接写出∠BGC的度数． 【解答】解：（1）∵由旋转的性质可知，CD＝CE，∠DCE＝90°， 又∵∠ACB＝90°，CA＝CB， ∴∠ECA+∠ACD＝∠ACD+∠DCB＝90°，∠CAB＝∠CBA＝45°， ∴∠ECA＝∠DCB， 在△ECA和△DCB中， ， ∴△ECA≌△DCB（SAS）， ∴EA＝DB，∠EAC＝∠DBC＝45°， ∴∠EAD＝90°， 又∵EF∥AC，AF⊥EF， ∴∠F＝90°＝∠EAB， ∴∠EAF＝45°， ∴在Rt△EFA中，EF＝AF，， ∴， ∴． （2）连接ED，如图所示， ∵CE＝CD，∠ECD＝90°， ∴， ∴， ∴， 在Rt△ABC中，， 由（1）可知，∠CAE＝45°，∠CAB＝45°，得到∠EAD＝90°， 设AE＝x，即BD＝x，AD＝AB﹣BD＝6﹣x， 在Rt△EAD中，ED2＝AE2+AD2， ∴， 解得x1＝2，x2＝4， ∴AE为2或4； （3）G为△ABC所在平面内一点，且CG＝6，AG＝9，BG＝3，分两种情况讨论： 当G点在△ABC的内部时，将△ACG逆时针绕C点旋转90°与△BCH重合，连接GH，如图2， ∴CH＝CG＝6，BH＝AG＝9，∠GCH＝90°， ∴∠CGH＝∠CHG＝45°， ∴， 在△BGH中，BH＝9，GB＝3，， ∴BH2＝GH2+GB2， ∴∠HGB＝90°， ∴∠BGC＝135°； 当G点在△ABC的外部时，将△ACG逆时针旋转90°与△BCH重合，连接BH，如图， ∴BH＝AG＝9，CH＝CG＝6，∠HCG＝90°， ∴HG，∴∠CGH＝∠CHG＝45°， 在△BGH中，BH＝9，GB＝3，， ∴BH2＝GH2+GB2， ∴∠HGB＝90°， ∴∠BGC＝∠HGB﹣∠CGH＝45°． ∴∠BGC＝135°或45°． 2．如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A、B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D、E． （1）探究模型：求证：△AEC≌△CDB； （2）类比模型；如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，连接B′C，求△AB′C的面积； （3）应用模型：如图3，△ABC中，AC＝AB，BC＝6，将AB绕点B顺时针旋转90°，得BD，连接CD，求△CBD的面积． 【解答】（1）证明：∠AEC＝∠CDB＝90°， ∴∠CAE+∠ACE＝90°， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠BCD+∠ACE＝90°， ∴∠CAE＝∠BCD， 又∵AC＝BC， 在△AEC和△CDB中， ， ∴△AEC≌△CDB（AAS）； （2）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，如图2，过B′作B′E⊥AC于E，则∠AEB′＝90°， ∴AB＝AB′，∠BAB′＝90°， ∴∠B′AE+∠AB′E＝90°，∠BAC+∠B′AE＝90°， ∴∠AB′E＝∠BAC， 在△AEB′和△BCA中， ， ∴△AEB′≌△BCA（AAS）， ∴AC＝B′E＝4， ∴； （3）解：如图3，过点A作AF⊥BC，交BC于点F，过点D作DE⊥CB，交CB的延长线于点E，则∠AFB＝∠BED＝90°， ∵AC＝AB，AF⊥BC， ∴， 由旋转得，AB＝BD，∠ABD＝90°， ∵∠BAF+∠ABF＝90°，∠ABF+∠DBE＝180°﹣∠ABD＝90°， ∴∠ABF＝∠DBE， 在△ABF和△BDE中， ， ∴△ABF≌△BDE（AAS）， ∴DE＝BF＝3， ∴． 3．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D，E分别在边AC，BC上，CD＝CE，连接BD，点F，P，G分别为AB，BD，DE的中点． （1）如图1中，线段PF与PG的数量关系是 　PF＝PG　 ，位置关系是 　PF⊥PG　 ； （2）若把△CDE绕点C逆时针方向旋转到图2的位置，连接AD，BE，GF，判断△FGP的形状，并说明理由； （3）若把△CDE绕点C在平面内自由旋转，AC＝8，CD＝3，请求出△FGP面积的最大值． 【解答】解：（1）∵如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，CD＝CE， ∴BC⊥AC，AD＝BE． ∵点F，P分别为AB，BD的中点． ∴PF是△BAD的中位线， ∴PF∥AD，PFAD． 同理，PG∥BE，PGBE． ∴PF＝PG PF⊥PG． 故答案为：PF＝PG PF⊥PG； （2）△FGP是等腰直角三角形 理由：由旋转知，∠ACD＝∠BCE， ∵AC＝BC，CD＝CE， ∴△CAD≌△CBE（SAS）， ∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE， 利用三角形的中位线得，PGBE，PFAD， ∴PG＝PF， ∴△FGP是等腰三角形，利用三角形的中位线得，PG∥CE， ∴∠DPG＝∠DBE， 利用三角形的中位线得，PF∥AD， ∴∠PFB＝∠DAB， ∵∠DPF＝∠DBA+∠PFB＝∠DBA+∠DAB， ∴∠GPF＝∠DPG+∠DPF＝∠DBE+∠DBA+∠DAB ＝∠ABE+∠DAB＝∠CBA+∠CBE+∠DAB ＝∠CBA+∠CAD+∠DAB＝∠CBA+∠CAB， ∵∠ACB＝90°， ∴∠CBA+∠CAB＝90°， ∴∠GPF＝90°， ∴△FGP是等腰直角三角形； （3）由（2）知，△FGP是等腰直角三角形，PG＝PFAD， ∴PG最大时，△FGP面积最大， ∴点D在AC的延长线上， ∴AD＝AC+CD＝11， ∴PG． ∴S△PGF最大PG2． 4．问题解决 一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，点P是等边△ABC内的一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．你能求出∠APB的度数和等边△ABC的面积吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 如图①将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A，连接PP′，可得△BPP′是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得△AP′P是直角三角形，从而使问题得到解决． （1）结合小明的思路完成填空：PP′＝　4　 ，∠APP′＝　90˚　 ，∠APB＝　150˚　 ； （2）类比探究 ①如图②，若点P是正方形ABCD内一点，PA＝2，PB＝4，PC＝6，求∠APB的度数； ②如图③，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝6，PB＝2，，求∠APB的度数． 【解答】解：（1）∵点P是等边△ABC内的一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A， ∴BP＝BP′＝4，PC＝P′A＝5，∠PBP′＝60°， ∴△BPP′是等边三角形， ∴BP＝PP′＝4，∠BPP′＝60°， ∵P′A2＝25，AP2+P'P2＝9+16＝25， ∴P′A2＝AP2+P′P2， ∴△AP′P是直角三角形，∠APP′＝90°， ∴∠APB＝∠APP′+∠BPP′＝150°， 故答案为：4，90˚，150˚； （2）①点P是正方形ABCD内一点，PA＝2，PB＝4，PC＝6，如图②，将△ABP绕点B逆时针旋转90°，使AB与BC重合，得到△BP′C， 则∠PBP′＝90°，BP′＝BP＝4，P′C＝PA＝2，∠BP′C＝∠APB， ∴∠BP′P＝∠BPP′＝∠45°， 由勾股定理得：PC2＝PP′2+P′C2， ∵P′C2＝22＝4，PC2＝62＝36， ∴PC2＝PP′2+P′C2， ∴∠PP′C＝90°， 又∵∠BP′P＝45°， ∴∠BP′C＝135°， ∴∠APB＝∠BP′C＝135°； ②点P是正方形ABCD外一点，PA＝6，PB＝2，，如图③，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′， ∴△ABP′≌△CBP， ∴∠PBP′＝90°，BP′＝BP＝2，， 在Rt△PBP′中，BP＝BP′＝2， ∴∠BPP′＝45°， 根据勾股定理得：， ∵AP＝6， ∴AP2+PP′2＝36+8＝44， ∵， ∴AP2+PP′2＝AP′2， ∴△APP′是直角三角形，且∠APP′＝90°， ∴∠APB＝∠APP′﹣∠BPP′＝90°﹣45°＝45°． 5．（1）【问题背景】如图1，在△ABC中，AB＝AC，P为△ABC外一点，点M为BP延长线上一点，点N为线段PC上一点，AM⊥BP于点M，AN⊥CP于点N，且∠ACP＝∠ABP． 求证：AM＝AN； （2）【类比探究】如图2，在△ABC中，AB＝AC，Q为△ABC外一点，当∠BAC＝60°，∠AQB＝150°，AQ＝2，时，求CQ的长度； （3）【拓展应用】如图3，在△ABC中，∠B＝60°，点D，E分别在边BC，AB上，BD＝BE，AE＝BC，连结AD、DE，点F是DE延长线上一点，且∠FAC＝60°，连接CF．求证：∠ACF＝∠ADF． 【解答】（1）证明：如图1，∵AM⊥BP，AN⊥CP， ∴∠AMB＝∠ANC＝90°， ∵AB＝AC，∠ACP＝∠ABP， ∴△ACN≌△ABM（AAS）， ∴AM＝AN； （2）解：如图2，过点A作AD⊥BQ于D，过点C作CE⊥AQ于E，则∠D＝∠AEC＝90°， ∵∠AQB＝150°， ∴∠AQD＝30°，∠DAQ＝60°， ∴ADAQ2＝1，DQ， ∵BQ， ∴BD＝2， ∵∠BAC＝∠DAQ＝60°， ∴∠CAE＝∠BAD， ∵AB＝AC， ∴△ADB≌△AEC（AAS）， ∴CE＝BD＝2，AE＝AD＝1， ∴EQ＝2﹣1＝1， ∴CQ； （3）证明：法一：∵∠B＝60°，BD＝BE， ∴△BDE是等边三角形， ∴∠EDC＝120°， ∵∠FAC＝60°， ∴∠EDC+∠FAC＝60°+120°＝180°， ∴A，F，D，C四点共圆， ∴∠ACF＝∠ADF． 法二：如图3，过点A作AH∥DF，交BC的延长线于H，过点B作BG∥DF，交AF的延长线于G，连接CG交AB于P，连接FP，EG， ∵∠ABC＝60°，BD＝BE， ∴△BDE是等边三角形， ∴∠BED＝∠BDE＝60°＝∠AEF， ∵DE∥AH， ∴∠H＝∠BDE＝60°，∠BAH＝∠BED＝60°， ∴△ABH是等边三角形， ∴AB＝BH＝AH， ∴AE＝DH＝BC， ∴BD＝CH， ∵AB＝AH，∠ABD＝∠H＝60°，BD＝CH， ∴△ABD≌△AHC（SAS）， ∴∠BAD＝∠CAH， 设∠BAD＝α，则∠ADC＝60°+α， ∴∠ADF＝180°﹣60°﹣（60°+α）＝60°﹣α， ∵∠BAH＝∠FAC＝60°， ∴∠FAB＝∠CAH， ∵DF∥BG，DF∥AH ∴BG∥AH， ∴∠ABG＝∠BAH＝60°， ∴△AGB≌△ACH（ASA）， ∴BG＝CH＝BD，AG＝AC， ∵∠FAC＝60°， ∴△GAC是等边三角形， ∴∠ACG＝∠AGC＝60°，CG＝AG，即∠PGF＝60°， ∵BG＝BE＝BD，∠GBE＝60°， ∴△GBE是等边三角形， ∴∠BGE＝60°＝∠PGF，EG＝BG， ∴∠BGP＝∠EGF，∠GEF＝180°﹣60°﹣60°＝60°＝∠GBP， ∴△GEF≌△GBP（ASA）， ∴GP＝GF， ∵∠AGP＝∠CGF， ∴△AGP≌△CGF（SAS）， ∴∠FCG＝∠GAP＝α， ∴∠ACF＝60°﹣α， ∴∠ACF＝∠ADF． 6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BC＝1，将△ABC绕点A逆时针旋转得△AED． （1）如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转30°得△AED，求∠BED的大小； （2）如图2，CD交BE于点F，求证：点F是BE中点； （3）△AED在绕点A旋转一周的过程中，线段DF长度的最大值为 　2　 ． 【解答】（1）解：∵∠C＝90°，∠ABC＝60°， ∴∠CAB＝30°， 由旋转得AE＝AB，∠DAE＝∠CAB＝30°，∠AED＝∠ABC＝60°， ∴， ∴∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝75°﹣60°＝15°； （2）证明：过点E作EN//BC，交CF的延长线于点N， ∴∠N＝∠FCB，∠FEN＝∠FBC， ∵∠ADE＝∠ACB＝90°， ∴∠ADC+∠EDN＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°， ∴AD＝AC， ∴∠ADC＝∠ACD， ∴∠EDN＝∠DCB， ∴∠N＝∠EDN， ∴ED＝EN， ∴DE＝BC，EN＝BC， ∴△FNE≌△FCB（ASA）， ∴EF＝BF， ∴点F是BE中点； （3）解：在Rt△ABC中，BC＝1，∠CAB＝30°， ∴AB＝2BC＝2， ∴AE＝AB＝2， 如图，取AE的中点为M，连接FM、DM， 在Rt△ADE中，∠ADE＝90°， ∴， ∵点M为AE的中点，点F为BE的中点， ∴， ∴MF+DM≥DF，（仅当点M、F、D三点共线时相等）， ∴DF≤MF+DM＝1+1＝2， ∴线段DF长度的最大值为2， 故答案为：2． 7．问题情境 CD是等边△ABC的中线，点P在线段CD上运动（不包括端点C，D），将线段PA绕点P顺时针旋转，点A的对应点E落在射线BC上，探究∠APE的大小．记∠CAP＝α． 问题探究 （1）如图1，将问题特殊化，当α＝30°时，直接写出∠APE的大小； （2）如图2，将问题一般化，当0°＜α＜30°时，求证：是定值． 问题拓展 当30°＜α＜60°时，若，直接写出的值． 【解答】问题探究 （1）解：∵CD是等边△ABC的中线， ∴∠ACE＝60°，∠ACD＝∠BCD， ∵∠CAP＝α＝30°， ∴∠CAP＝∠ACD， ∴AP＝CP， ∵线段PA绕点P顺时针旋转，点A的对应点E落在射线BC上， ∴AP＝PE， ∴点E和点C重合， ∴∠APE＝∠APC＝120°； （2）证明：如图1， ，理由如下： 作PF⊥BC于F，作PG⊥AC于点G，在AG上截取GH＝CG， ∴∠AGP＝∠PFE＝90°，PC＝PH， ∴∠PHC＝∠PCA， 由（1）知， CD平分∠ACB， ∴PF＝PG，∠PHC＝∠PCA＝∠BCD＝30°， ∴∠AHP＝∠PCE＝150°， ∵线段PA绕点P顺时针旋转，点A的对应点E落在射线BC上， ∴AP＝PE， ∴Rt△AGP≌Rt△EFP（HL）， ∴∠PAC＝∠PEC， ∴△APH≌△EPC（AAS）， ∴AH＝CE， ∵∠ACD＝30°， ∴CGCP， ∴CH＝2CGCH， ∴； 问题拓展 解：如图2， 作PF⊥BC于F，作PG⊥AC于点G，在AG上截取GH＝CG， 由上知：AH＝CE，PH＝PC，∠PHA＝∠ACD＝30°， 设AH＝CE＝a，则PH＝PC＝2a， ∴GHPH，PG， ∴CH＝2GH＝6a，AG＝GH﹣AH＝3a﹣a＝2a， ∴AC＝CH﹣AH＝6a﹣a＝5a，AP， ∴． 8．问题背景及探索：（1）已知在△ABC中，AB＝AC，E、D都在边BC上． ①如图1，若将△ADC绕点A顺时针旋转，当AC与AB重合时，点D旋转到D'，且D′E＝DE，求出∠EAD，∠BAE，∠CAD数量关系； ②如图2，若AB⊥AC，ED2＝BE2+DC2，求∠EAD的度数； 问题拓展：（2）如图3，等边△ABC边长为6，AE绕点A逆时针旋转120°得AE'，N为AC与BE′的交点，M为AB的中点，当E在BC边上运动时，请直接写出MN的最小值 　　 ． 【解答】解：（1）①由旋转可知，AD'＝AD∠D′AB＝∠CAD， 在△AD′E和△ADE中， ， ∴△AD′E≌△ADE（SSS）， ∴∠D′AE＝∠EAD ∵∠D′AE＝∠DAB+∠BAE＝∠CAD+∠BAE＝∠EAD ∴∠EAD＝∠CAD+∠BAE； ②若将△ADC绕点A顺时针旋转至AB与AC重合，点D旋转到 D'连接D′E，如图， 由旋转可知，AD'＝AD，DB＝DC，∠D′AB＝∠CAD，∠D'BA＝∠DCA， ∵AB⊥AC且AB＝AC， ∴∠D'BA＝∠DCA＝45°， ∴∠D'BE＝∠D'BA+∠ABE＝90°， 由勾股定理ED'＝BE2+D'B2＝BE2+DC2＝ED2， ∴ED＝ED'， 由（1）①可知∠EAD＝∠CAD+∠BAE， ∵∠EAD+∠CAD+∠BAE＝90°， ∴∠EAD＝45°； （2）将AB绕点A逆时针旋转120°得到AB'，连接CB'，连接BB'交AC于点G，则∠BAB'＝120°， 由题可知∠EAE'＝120°， ∴∠BAE＝∠B'AE'， ∵AB＝AB'，AE＝AE'， ∴△ABE≌△AB'E'（SAS）， ∴∠ABE＝∠AB'E′＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC＝6， ∴∠B'AC＝60°＝∠AB'E'，AC＝AB'， ∴E'B'∥AC，△AB'C为等边三角形， ∴∠ACB'＝60°＝∠ACB， ∴BG＝B'G，且AC⊥BB'， 过E'作E'H⊥AC，则E'H＝B'G＝BG， ∵∠BNG＝∠E'NH，∠BGN＝∠E'HN＝90°， ∴△BGN≌△E'HN（AAS）， ∴BN＝E'N，即N为BE'中点， ∵M是AB中点， ∴MN是△BAE'中位线， ∴MNAE'， 当AE⊥BC时，AE最短， 此时AEAB＝3， ∴MNAE， 即MN最小值为， 故答案为：． 9．【问题背景】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，求证：BD＝CE； 【尝试运用】如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝150°，边AC绕点C逆时针旋转90°到DC，E为边BC上不与点C重合的点，且DE＝DC，M为BE的中点，连接AM，DM．求∠DAM的度数； 【拓展创新】如图3，在△ABC和△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝90°，BA＝BC＝a，DA＝DE＝b，连接BD，CE，点F，G分别为CE，BD的中点，若∠CAE＝30°，请直接写出线段FG的长（用含a和b的式子表示）． 【解答】【问题背景】解：∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE； 【尝试运用】解：延长AM至点A'，使得A'M＝AM，连接AE，AD． ∵AB＝AC，∠BAC＝150°， ∴∠ABC＝∠ACB＝15°， ∵边AC绕点C逆时针旋转90°到DC，DE＝DC， ∴∠DCE＝∠DEC＝75°，∠EDC＝30°，DE＝DC＝AC＝AB，∠ACD＝90°， ∵点M为BE的中点，即EM＝BM， 又∵∠A'ME＝∠AMB，A'M＝AM， ∴△AME≌△AMB（SAS）， ∴AE＝AB＝AC，∠A'EM＝∠ABC＝15°， ∴∠A'ED＝180°﹣∠A'EM﹣∠DEC＝90°＝∠ACD， 又∵DC＝AC＝DE＝A'E， ∴A'DAD，∠A'DE＝∠ADC＝45°， ∴∠A'DA＝∠CDE＝30°， ∴∠DAM＝∠DA'M＝75°； 【拓展创新】解：连接BF、DF，延长BF到点Q，使QF＝BF，连接EQ、DQ， ∵F是CE中点， ∴EF＝CF， ∵∠BFC＝∠EFQ，BF＝QF， ∴△BFC≌△QFE（SAS）， ∴BC＝EQ，∠BCF＝∠QEF， ∴EQ∥BC， ∵AB＝BC， ∴AB＝EQ， 延长DE交BC于点H，则∠DEQ＝∠DHC， ∵∠ABC＝∠ADE＝90°， ∴在四边形ABHD中，∠BAD+∠BHD＝360°﹣（∠ABC+∠ADE）＝180°， ∵∠BHD+∠DHC＝180°， ∴∠BAD＝∠DHC， ∴∠BAD＝∠DEQ， ∵AD＝DE， ∴△ABD≌△EDQ（SAS）， ∴BD＝DQ，∠ADB＝∠EDQ， ∴∠BDQ＝∠EDQ+∠BDE＝∠ADB+∠BDE＝∠ADE＝90°， ∴△BDQ是等腰直角三角形， ∵BF＝FQ， ∴DF⊥BF，即∠BFD＝90°，DF＝BF， ∴△BDF是等腰直角三角形， ∵G是BD中点， ∴FGBD， ∵∠CAE＝30°， ∴∠BAE＝15°， ∴∠BAD＝60°， 如图，过D作DK⊥AB于点K，则∠ADK＝30°， 在Rt△ADK中，AD＝b，∠ADK＝30°， ∴，DKb， ∵AB＝a， ∴BK＝ab， 在Rt△DBK中，BD， ∴FGBD． 10．（1）如图1，△ABC和△ADB为等边三角形，点D为BC边上一点，求证：AB∥CE； （2）如图2，△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝DE，∠BAC＝∠ADE，点D为BC边上一点，求证：AB∥CE； （3）如图3，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D为△ABC内一点，过点D作DE⊥AD交BC边于点E（点D在直线AE左侧），连接BD并延长交AC于点F，若ADDE，则AF、DE、CE的数量关系为 　CE2+AF2＝16DE2　 ． 【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADB为等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠ABC＝∠ACB＝60°，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE＝60°， ∴∠BCE＝60°+60°＝120°， ∴∠ABC+∠BCE＝60°+120°＝180°， ∴AB∥CE； （2）证明：如图2，在直线AC上取一点F，连接DF使得DF＝DC， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 设∠B＝∠C＝x，则∠BAC＝180°﹣2x， ∴∠ADE＝∠BAC＝180°﹣2x， ∵DF＝DC， ∴∠F＝∠DCF＝x， ∴∠FDC＝180°﹣2x， ∴∠FDC＝∠ADE＝180°﹣2x， ∴∠ADF＝∠EDC＝180°﹣2x﹣∠ADC， 又∵AD＝ED， ∴△ADF≌△EDC（SAS）， ∴∠DCE＝∠F＝x， ∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝2x， ∴∠BAC+∠ACE＝180°﹣2x+2x＝180°， ∴AB∥CE； （3）解：如图3，延长AD到H，使得DA＝DH，连接BH，取AE中点N，连接DN， ∵AD⊥DE，点N为AE中点， ∴， 在Rt△ADE中，由勾股定理得， ∴， ∴△DEN是等边三角形， ∴∠ABD＝60°， ∵DE⊥AH， ∴∠ADE＝∠HDE＝90°， 又∵DE＝DE， ∴△ADE≌△HDE（SAS）， ∴HED＝∠AED＝60°，AE＝HE， ∴∠AEH＝120°＝∠BAC， ∴由（2）的结论可知AC∥BH， ∴∠DAF＝∠DHB，∠DFA＝∠DBH， ∴△DBH≌△DFA（AAS）， ∴BH＝AF； ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠ACB＝∠ABC＝30°， ∵AC∥BH， ∴∠HBE＝∠ACB＝30°， ∴∠ABH＝60°， ∴∠ABH+∠AEH＝180°， ∴∠BHE＝∠BAE＝180°； 如图3，将△AEB绕点E逆时针旋转120度得到△HET， ∴BE＝TE，∠BET＝120°，∠EHT＝∠EAB，AB＝TH， ∴∠EHT+∠HBE＝180°， ∴B、H、T三点共线， ∴； 如图所示，过点E作EM⊥BT于M，则， 在Rt△BEM中，由勾股定理得， ∴， ∵BT＝BH+HT＝BH+AB， ∴； 设，则， ∴， ∴， ∴BE＝2x+y； 同理可得， ∴CE＝x+2y； 如图3，过点H作HG⊥AB于G，则∠HGB＝90°， ∴∠BHG＝30°， ∴， ∴，； 在Rt△AGH中，由勾股定理得：， 同理可得， ∴3AE2＝3x2+3xy+3y2， ∴3•4DE2＝3x2+3xy+3y2， ∴4DE2＝x2+xy+y2； ∵CE2＝（x+2y）2＝x2+4xy+4y2，AF2＝3x2， ∴CE2+AF2＝4x2+4xy+4y2， ∴CE2+AF2＝16DE2． 故答案为：CE2+AF2＝16DE2． 11．问题背景 如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接DB和EC．求证：DB＝EC． 尝试应用 如图2，在（1）的条件下，DE与BC交于点F，若F为BC中点，求∠ADB的大小． 拓展应用 如图3，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，ED的延长线交BC于点F，连接BD，若∠ADB＝90°，EF＝6，，直接写出AE的长. 【解答】问题背景： 证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴DB＝EC； 尝试应用： 解：如图2，连接AF， ∵AB＝AC，F是BC的中点， ∴AF⊥BC， ∴∠AFB＝90°， ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED，∠ABC＝∠ACB， ∵∠DAE＝∠BAC， ∴∠ADE＝∠ABC， ∴A，D，B，F四点共圆， ∴∠ADB+∠AFB＝180°， ∴∠ADB＝90°； 拓展应用： 解：如图3，连接CE，过点C作CH⊥EF于H， 由问题背景同理得：△CEA≌△BDA（SAS）， ∴∠CEA＝∠ADB＝90°， ∵AD＝AE，∠EAD＝90°， ∴∠AED＝45°， ∴∠CED＝90°﹣45°＝45°， ∵∠EHC＝90°， ∴△CHE是等腰直角三角形， ∴CH＝EH， ∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝2， ∴BC＝4， 连接AF， ∵∠AED＝∠ACB＝45°， ∴C，E，A，F四点共圆， ∴∠AFC+∠AEC＝180°， ∴∠AFC＝90°， ∵AC＝AB， ∴CF＝BF＝2， 设FH＝x，则EH＝CH＝6﹣x， 由勾股定理得：CF2＝CH2+FH2， 即（6﹣x）2+x2＝（2）2， 解得：x＝2或4， 当x＝2时，EH＝CH＝4， ∴CE＝BD＝4， ∴AE2； 当x＝4时，EH＝CH＝2， ∴CE＝BD＝2， ∴AE4； 综上，AE的长为2或4． 12．在等边△ABC中，D为BA延长线上一点，F为BC上一点，过B作BE∥AC，连接DE，EF，且∠DEF＝60°． （1）如图1，若BE＝2，BD＝5，求BF的长． （2）如图2，若F为CB延长线上一点，试探究BD、BE、BF的关系，并说明理由． （3）如图3，若F为BC延长线上一点，且AD：BE：AC＝1：2：3，请直接写出CF：BE的值． 【解答】解：（1）在FB的延长线上取点M，使BM＝BE，连接ME， ∵三角形ABC是等边三角形， ∴∠C＝60°， ∵BE∥AC， ∴∠EBM＝60°， ∴△EBM是等边三角形， ∴∠M＝∠BEM＝60°，ME＝BE， ∵∠DEF＝60°， ∴∠DEF+∠BEF＝∠BEM+∠BEF， ∴∠DEB＝∠FEM， ∵∠MBE＝∠ABC＝60°， ∴∠EBD＝∠M＝60°， ∴△EMF≌△EBD（ASA）， ∴MF＝DB， ∵MF＝MB+BF， ∴BD＝BE+BF， ∵BE＝2，BD＝5， ∴BF＝5﹣2＝3； （2）BE＝BD+BF． 理由：在BF的延长线上取点M，使BM＝BE，连接ME， ∵AC∥BE， ∴∠C＝∠EBM＝60°， ∵BM＝BE， ∴△BEM为等边三角形， ∴ME＝BE，∠M＝∠MEB＝60°， ∴∠M＝∠EBD， ∵∠DEF＝60°， ∴∠MEF＝∠BED， ∴△EMF≌△EBD（ASA）， ∴MF＝BD， ∵BM＝MF+BF， ∴BE＝BD+BF； （3）在BC上取点M，使BM＝BE，连接ME， 同理可证△EMF≌△EBD（ASA）， ∴MF＝BD， 设AD＝x，BE＝2x，AC＝3x， ∴BD＝AB+AD＝3x+x＝4x， ∴BF＝BM+MF＝2x+4x＝6x， ∴CF＝BF﹣BC＝6x﹣3x＝3x， ∴CF：BE＝3x：2x＝3：2． 13．（1）如图1，E为等边△ABC内一点，CE平分∠ACB，D为BC边上一点，且DE＝CD，连接BE，取BE中点P，连接AP，PD，AD，直接写出AP与PD的位置关系，并直接用等式表示AP与PD的数量关系； （2）如图2，把图1中的△CDE绕点C顺时针旋转α（60°＜α＜90°），其它条件不变，连接BE，点P为BE中点，连接AP，PD，AD，试问（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）在（2）的条件下，若CD＝1，AB＝6，△CDE绕点C顺时针旋转a（0°≤α≤360°），则AP的最大值为 　　 ． 【解答】解：（1）如图1中，延长DP至G，使PG＝PD，连接BG、AG， ∵DE＝DC， ∴∠DEC＝∠ECD＝∠ECA＝30°， ∴DE∥AC， ∵PG＝PD，PB＝PE， ∴四边形BDEG是平行四边形， ∴BG∥DE∥AC， ∴∠ABG＝∠BAC＝∠ACD，BG＝ED＝CD， 在△ABG和△ACD中， ， ∴△ABG≌△ACD（SAS）， ∴AG＝AD，∠BAG＝∠CAD， ∴∠DAG＝∠BAG+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝∠BAC＝60°， ∴△ADG是等边三角形， ∴AP⊥PD，APPD． （2）结论成立， 理由如下：如图2中，延长DP至G，使PG＝PD，连接BG、AG、EG、BD， 由（1）可知∠BGD＝∠EDG，∠CDE＝120°， ∴∠BGD+∠CDG＝∠EDG+∠CDG＝360°﹣∠CDE＝240°， ∴∠CBG+∠BCD＝120°＝∠ABC+∠ACB， ∴∠ABC﹣∠CBG＝∠BCD﹣∠ACB， 即∠ABG＝∠ACD， ∵PG＝PD，PB＝PE， ∴四边形BDEG是平行四边形， ∴BG＝DE＝CD， 在△ABG和△ACD中， ， ∴△ABG≌△ACD（SAS）， ∴AG＝AD，∠BAG＝∠CAD， ∴∠DAG＝∠BAG+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝∠BAC＝60°， ∴△ADG是等边三角形， ∴AP⊥PD，APPD； （3）由（2）可知△ADG是等边三角形，AP⊥PD， ∴AD＝2PD，APPD， ∴APAD， ∴当AD有最大值时，AP有最大值， ∵CD＝1，AB＝6， ∴AD的最大值为7， ∴AP的最大值为， 故答案为：． 14．在△ABC和△ADE中，AD＜AB，AB＝AC，∠DAE∠BAC＝α，∠AED＝90°，点F是线段DC的中点，连接EF． （1）如图1，当α＝30°，且D为BC的中点时，请探究线段EF与BD的数量关系； （2）如图2，点D在BC上，试探究线段EF与BD的数量关系； （3）如图3，α＝30°，点D不在BC上，∠DBC＝15°，EF，AE，求△ABC的面积． 【解答】解：（1）∵α＝30°， ∴∠DAE∠BAC＝30°， ∴∠BAC＝60°， ∵AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴AD⊥BC，BD＝CD， ∵∠AED＝90°， ∴∠ADE＝60°， ∴∠EDC＝30°， 在Rt△DEC中，CE， ∵F是中点， ∴CFCD， ∴CE＝CF， ∵∠ACB＝60°， ∴△CEF是等边三角形， ∴CF＝EFCD， ∵CD＝BD， ∴EF； （2）如图，延长DE到S，使ES＝DE，连接AS、CS， ∵F是DC中点， ∴EF是△DCS的中位线， ∴EF， ∵∠AED＝90°， ∴∠AES＝90°＝∠AED， ∴AE垂直平分DS， ∴AD＝AS， ∴∠DAE＝∠EAS， ∵∠DAE∠BAC， ∴∠BAC＝∠DAS， ∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAS﹣∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAS， 又∵AB＝AC，AD＝AS， ∴△ABD≌△ACS（SAS）， ∴BD＝CS， ∴EFBD； （3）如图，延长DE到S，使ES＝DE，连接AS、CS，过D作DT⊥AB于点T， ∵F是DC中点， ∴EF是△DCS的中位线， ∴EF， 同（2）中方法可得△ABD≌△ACS（SAS）， ∴BD＝CS， ∴BD＝2EF， 在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，AE， ∴DE，AD＝2DE， ∵∠BAC＝2α＝60°，AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABD＝60°， ∵∠DBC＝15°， ∴∠ABD＝45°， ∴BT＝DTBD＝1， 在Rt△ADT中，AT， ∴AB＝BT+AT＝1， ∵△ABC是等边三角形， ∴S△ABCAB2． 15．已知等腰直角△ABC与△ADE有公共顶点A，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝8，AD＝AE＝4．现将△ADE绕点A旋转． （1）如图①，当点B，A，D在同一直线上时，点F为DE的中点，求BF的长； （2）如图②，连接BE，DC．点G为DC的中点，连接AG交BE于点P，求证：AG⊥BE； （3）如图③，点F为DE的中点，以BF为直角边构造等腰Rt△FBN，连接CN，在△ADE绕点A旋转过程中，当BN最小时，直接写出△BCN的面积． 【解答】（1）解：如图①中，连接FA并延长交BC于H， ∵AD＝AE，点F是DE的中点， ∴AF⊥DE， ∵△ABC与△ADE都是等腰直角三角形， ∴∠D＝∠ABC＝45°， ∴DE∥BC， ∴FH⊥BC， 又∵AB＝AC， ∴BH＝HC， 由已知可得，， ∴， ∴； （2）证明：如图②中，延长DA到Q，使AQ＝AD，连接CQ， ∵AD＝AE， ∴AQ＝AE， ∵∠DAE＝90°， ∴∠EAQ＝90°， 又∵∠BAC＝90°， ∴∠BAC＝∠EAQ， ∴∠BAC+∠CAE＝∠EAQ+∠CAE．即∠BAE＝∠CAQ， 又∵AB＝AC， ∴△ABE≌△ACQ（SAS）， ∴∠AEB＝∠Q， ∵G，A分别是DC，DQ的中点， ∴AG∥CQ， ∴∠Q＝∠DAP＝∠AEP， ∵∠DAP+∠PAE＝90°， ∴∠AEP+∠PAE＝90°， ∴∠APE＝90°， ∴AG⊥BE； （3）解：∵AE＝AD＝4，∠EAF＝90°， ∴DE＝4， ∵点F是DE的中点， ∴， ∴点F在以A为圆心，为半径的⊙A上移动，如图③， 当点F在AB上时，BF最小， ∵△FBN是等腰直角三角形， ∴BF最小时，BN也最小， ∴BN的最小值为：， 此时，， ∵∠ABC＝45°， ∴∠NBC＝45°， ∴， ∵△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝8， ∴， ∴S△BCN的最小值为：， 16．已知正方形ABCD和正方形CEFG． （1）如图1，当正方形CEFG在正方形ABCD在外部时，连接BG，DE．求证：△BCG≌△DCE； （2）如图2，将（1）中正方形CEFG绕点C旋转，使点G落在DE上． ①若，，求线段BG的长； ②如图3，连接AC，若点O是AC的中点，连接OG．判断线段OG与AB的数量关系并说明理由． 【解答】（1）证明：在正方形ABCD和正方形CEFG中， ∠BCD＝∠ECG＝90°，BC＝CD，CE＝CG， ∴∠BCD+∠DCG＝∠ECG+∠DCG， 即∠BCG＝∠DCE， 在△BCG和△DCE中， ， ∴△BCG≌△DCE（SAS）； （2）解：①如图2，作CP⊥DE于点P， 在正方形ABCD和正方形CEFG中，，， ∴， ∵CP⊥DE，， ∴，∠CPD＝90°， ∴， ∴DE＝PD+PE＝4， 由（1）可得△BCG≌△DCE， ∴BG＝DE＝4； ②，理由如下： 如图3，连接BD， 在正方形ABCD和正方形CEFG中，∠CGE＝∠CEG＝∠ABD＝∠ADB＝45°，AB＝AD， ∴， ∵点O是AC的中点， ∴点O是BD的中点． 由（1）可得△BCG≌△DCE， ∴∠CGB＝∠CEG＝45°， ∴∠BGE＝∠CGB+∠CGE＝90°， ∴∠BGD＝180°﹣∠BGE＝90°， ∴， ∴． 17．如图1，点D为等边△ABC的边BC上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE． （1）猜想BD与CE的数量关系，并加以证明； （2）如图2，点D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE，若B、D、E三点共线，求证：EB平分∠AEC； （3）如图3，若△ABC是边长为1的等边三角形，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接CE．点D在运动过程中，△DEC的周长最小值＝　　 （直接写答案）． 【解答】（1）解：BD＝CE，理由如下： ∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE， ∴AD＝AE，∠DAE＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）证明：∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE， ∴AD＝AE，∠DAE＝60°， ∴∠ADE＝∠AED＝60°， ∵B、D、E三点共线， ∴∠ADB＝120°， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ADB＝∠AEC＝120°， ∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AEB＝120°﹣60°＝60°， ∴∠BEC＝∠AED＝60°， ∴EB平分∠AEC； （3）解：连接AE，如图3， ∵将线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE， ∴AD＝DE，∠ADE＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴∠DAE＝60°，AD＝AE＝DE， ∵△ABC是边长为1的等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝1，∠BAC＝60°＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE； ∴△DEC的周长＝DE+CE+DC＝BD+CD+DE＝BC+DE＝1+AD， ∴当AD⊥BC时，AD长最小，此时△DEC的周长最小， 此时，， ∴△DEC的周长的最小值为． 故答案为：． 18．【问题背景】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，BE，点P为DC的中点． 【观察猜想】观察图1，猜想线段AP与BE的数量关系是 　APBE　 ，位置关系是 　PA⊥BE　 ． （2）【拓展探究】把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明：否则写出新的结论并说明理由． （3）【问题解决】把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若DE＝4，BC＝8，请直接写出线段AP长的取值范围． 【解答】解：（1）如图1中，设PA交BE于点O． ∵AD＝AE，AC＝AB，∠DAC＝∠EAB， ∴△DAC≌△EAB（SAS）， ∴BE＝CD，∠ACD＝∠ABE， ∵∠DAC＝90°，DP＝PC， ∴PACD＝PC＝PD， ∴PABE．∠C＝∠PAE， ∵∠CAP+∠BAO＝90°， ∴∠ABO+∠BAO＝90°， ∴∠AOB＝90°， ∴PA⊥BE， 故答案为：APBE，PA⊥BE． （2）结论成立． 理由：如图2中，延长AP到J，使得PJ＝PA，连接JC．延长PA交BE于O． ∵PA＝PJ，PD＝PC，∠APD＝∠CPJ， ∴△APD≌△JPC（SAS）， ∴AD＝CJ，∠ADP＝∠JCP， ∴AD∥CJ， ∴∠DAC+∠ACJ＝180°， ∵∠BAC＝∠EAD＝90°， ∴∠EAB+∠DAC＝180°， ∴∠EAB＝∠ACJ， ∵AB＝AC，AE＝AD＝CJ， ∴△EAB≌△JCA（SAS）， ∴BE＝AJ，∠CAJ＝∠ABE， ∵PAAJ， ∴PABE， ∵∠CAJ+∠BAO＝90°， ∴∠ABE+∠BAO＝90°， ∴∠AOB＝90°， ∴PA⊥BE． （3）∵△AED，△ABC都是等腰三角形，DE＝4，BC＝8， ∴AD＝AE＝2，AC＝AB＝4 由（2）可知CJ＝AD＝2，∵AC＝4， ∴42AJ≤42， ∴2AJ≤6， ∵AJ＝2AP， ∴PA≤3． 19．正方形ABCD，点 E、F在CB、DC延长线上，且BE＝CF，AE与BF延长线交于点G． （1）如图1，求证AE⊥BF； （2）如图2，点M是FG延长线上一点，MG＝BG，∠MAD的平分线交BF于点N，连接CN．试探究AN、CN、BN三条线段的数量关系，并证明； （3）如图3，E为AB上一点，∠BCE＝30°，F是BC的中点，G为BE上一动点，以FG为边在正方形内作等边△FGH，若BE＝4，则CH的最小值是 　　 ． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝∠BAD＝90°，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠BCD＝90°，∠BCF＝∠ABC＝90°， ∴∠ABE＝∠BCF， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴∠BAE＝∠CBF， ∴∠BAE+∠ABG＝∠CBF+∠ABG＝90°， ∴∠AGB＝90°， ∴AE⊥BF． （2）解：AN＝CNBN； 证明：如图2，连接AC，作BP⊥BN交AN于点P，令AN与BC交于点Q， ∵∠ABC＝∠PBN＝90°，AB＝CB， ∴∠ABP＝∠CBN＝90°﹣∠PBC，∠BAC＝∠BCA＝45°， ∵BM⊥AE，MG＝BG， ∴AM＝AB， ∴， ∵， ∴， ∵∠BAE＝∠CAQ＝45°﹣∠BAQ，∠CBN＝∠BAE， ∴∠CBN＝∠CAQ， ∴∠BPN＝∠ABP+∠BAQ＝∠CBN+∠BAQ＝∠CAQ+∠BAQ＝∠BAC＝45°， ∴∠BNP＝∠BPN＝45°， ∴BP＝BN， 在△ABP和△CBN中， ， ∴△ABP≌△CBN（SAS）， ∴AP＝CN， ∵， ∴． （3）解：在正方形ABCD中，∠ABC＝90°， ∵∠BCE＝30°，BE＝4， ∴CE＝2BE，则， 过点B作BT⊥CE于T，连接TF，TH， 则，∠CBT＝60°，， ∵点F为BC的中点， ∴，则BT＝BF， ∴△BTF为等边三角形，则BF＝TF，∠BFT＝∠BTF＝60°，∠CTF＝30°， 又∵△FGH是等边三角形， ∴GF＝HF，∠GFH＝60°， ∴∠BFG＝∠TFH， ∴△BFG≌△TFH（SAS）， ∴∠GBF＝∠HTF＝90°， ∴点H的轨迹在过点T垂直于TF的直线是上， ∴∠CTH＝90°﹣∠CTF＝30°， 由垂线段最短可知，当CH⊥TH时，CH取得最小值， 此时，∠TCH＝30°，则，， 即：CH的最小值为． 故答案为：． 20．半角模型探究 如图，正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°．将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM． （1）求证：EF＝AE+CF； （2）当AE＝1时，求CF的长． （3）探究延伸：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，BC+CD＝8．E、F分别是边BC、CD上的点，且．求△CEF的周长． 【解答】（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM， ∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，AE＝CM， ∴F、C、M三点共线， ∴DE＝DM，∠EDM＝90°， ∴∠EDF+∠FDM＝90°， ∵∠EDF＝45°， ∴∠FDM＝∠EDF＝45°， 在△DEF和△DMF中， ， ∴△DEF≌△DMF（SAS）， ∴EF＝MF， ∴EF＝CF+AE； （2）解：设EF＝MF＝x， ∵正方形ABCD的边长为3， ∴BC＝3， ∵将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM，AE＝1， ∴CM＝1， ∴BM＝BC+CM＝3+1＝4， ∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝4﹣x， ∴EB＝AB﹣AE＝3﹣1＝2， 在Rt△EBF中，由勾股定理得，EB2+BF2＝EF2， ∴22+（4﹣x）2＝x2， 解得， 则EF＝MF＝x． ∴； （3）解：如图②，将△ADF绕点A顺时针旋转角度为∠BAD的度数，得到△ABH， 由旋转可得AH＝AF，BH＝DF，∠DAF＝∠BAH，∠D＝∠ABH， ∵， ∴， ∴∠HAE＝∠EAF， ∵∠ABH+∠ABE＝∠D+∠ABE＝180°， ∴点H、B、E三点共线， 在△AEH和△AEF中， ， ∴△AEH≌△AEF（SAS）， ∴EF＝HE， ∵HE＝BH+BE， ∴EF＝DF+BE； ∵BC+CD＝8， ∴BE+EC+CF+DF＝8，（BE+DF）+EC+CF＝8， 则（BE+HB）+EC+CF＝8， ∴EH+EC+CF＝8， ∴EF+EC+CF＝8， 则△CEF的周长为8． 21．在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，直线DE与直线BC相交于点P． （1）如图1，当点P落在线段BC上时，求证：PC＝PE； （2）如图2，当C的对应点E落在AB上时，连接BD．若BC＝4，AC＝3，求△PBD的周长． （3）如图3，当点P落在CB的延长线上，且DE∥AB时，连接BD，AP，判断线段BD与AP的数量关系并说明理由． 【解答】（1）证明：连接AP，如图1， ∵将△ABC绕点A旋转得到△ADE， ∴△ABC≌△ADE， ∴∠AED＝∠ACB＝90°，AC＝AE， ∴∠AEP＝∠ACB＝90°． 又∵AP＝AP， 在Rt△ACP和Rt△AEP中， ， ∴Rt△ACP≌Rt△AEP（HL）． ∴PC＝PE． （2）解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：． ∵△ABC≌△ADE， ∴AE＝AC＝3，DE＝BC＝4， ∴BE＝AB﹣AE＝2． 在直角三角形BDE中，由勾股定理得：， ∴， 即△PBD的周长为； （3）解：AP＝BD，理由如下： 由（1）的方法可证，Rt△ACP≌Rt△AEP， ∴∠APC＝∠APE． ∵AB∥DE， ∴∠BAP＝∠APE，∠ABC＝∠CPE， ∴∠BAP＝∠APC， ∴AB＝BP． ∵△ABC≌△ADE， ∴∠ADE＝∠ABC，AD＝AB， ∴∠ADE＝∠CPE，AD＝BP， 又∵PD＝DP， ∴△APD≌△BDP（SAS）． ∴AP＝BD． 22．四边形ABCD和四边形BEFG均为正方形，连接AE、CG． （1）如图1，E在BC上，G在AB延长线上，求证：△ABE≌△CBG； （2）正方形BEFG绕点B旋转，请仅就图2的情形探究AE和CG之间的位置关系和数量关系； （3）已知AB＝10，BE＝2，连接AG，在正方形BEFG绕点B旋转一周的过程中，当C、E、G三点共线时，求AG的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形BEFG均为正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠GBC＝90°，BE＝BG， 在△ABE和△CBG中， ， ∴△ABE≌△CBG（ASA）； （2）解：AE⊥CG，AE＝CG；理由如下： ∵四边形ABCD和四边形BEFG均为正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠GBE＝90°，BE＝BG， ∴∠ABE＝∠CBG， 在△ABE和△CBG中， ， ∴△ABE≌△CBG（SAS）， ∴AE＝CG，∠BAE＝∠BCG， 设AE，CG交于点H，AE，CG交于点O，如图2， ∵∠AHB+∠BAE＝90°， ∵∠AHB＝∠CHE，∠BAE＝∠BCG， ∴∠GCB+∠CHE＝90°， ∴∠HOC＝90°，即AE⊥CG； （3）解：如图3，当G在正方形ABCD内部时，连接AC， ∵AB＝BC＝10， ∴， ∵BE＝BG，∠EBG＝90°， ∴△BEG是等腰直角三角形， ∴∠BGE＝45°，， ∴∠CGB＝135°， ∵∠ABC＝∠EBG＝90°， ∴∠ABE＝∠CBG， 又∵BE＝BG，BA＝BC， ∴△ABE≌△CBG（SAS）， ∴AE＝CG，∠AEB＝∠CGB＝135°， ∴∠AEC＝90°， 设AE＝CG＝x， 在Rt△AEC中，AE2+EC2＝AC2， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 在Rt△AEG中，； 当G在正方形ABCD外部时，连接AC，如图4， 同理可得，△ABE≌△CBG， 设AE＝CG＝x， 在Rt△AEC中，AE2+EC2＝AC2， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 在Rt△AEG中，， 综上所述，当C、E、G三点共线时，AG的长为或． 23．如图1，在边长为8的正方形ABCD中，连接AC，点E在BC上，且BE＝EC，将点C绕点B逆时针旋转至F点，旋转角的度数为α，连接BF，与AC相交于点G，连接EF，交AC于点H，当点C旋转到与点A重合时旋转停止． （1）如图2，当α＝60°时， ①求证：EF⊥BC； ②点H在线段AC的什么位置？请说明理由； （2）在旋转的过程中，是否存在△CEF为等腰三角形的情况？如果存在，请求出EF的长；如果不存在，请说明理由． 【解答】（1）①证明：∵BC绕点B逆时针旋转得到BF， ∴BF＝BC， ∵α＝60°， 即∠FBC＝60°， ∴△BCF为等边三角形， ∵E为BC的中点， ∴EF⊥BC， ②解：H在AC中点的位置．理由如下： 由（1）知EF⊥BC， ∴∠FEB＝∠FEC＝90°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ABC＝90°，∠BAC＝∠BCA＝45°， 如图2，过点H作HP⊥AB于点P， 则∠HPB＝90°， ∴四边形HPBE是矩形，∠AHP＝90°﹣∠BAC＝45°， ∴HP＝BE＝EC， ∴△AHP≌△HCE（ASA）， ∴AH＝HC， ∴H在AC中点的位置． （2）解：存在．EF的长为4或． 根据△CEF为等腰三角形，分情况讨论： 第一种情况：当EF＝EC时， ∵EB＝EC，FB＝BC， ∴BE+EF＝BE+EC＝BC＝BF， ∴BE+EF＝BF，这与BE+EF＞BF相矛盾，故此种情况不存在； 第二种情况：当EF＝FC时，过F点作FQ⊥BC于Q点，如图， ∵EF＝FC，FQ⊥BC， ∴EQ＝QCEC， ∵EB＝EC，BC＝8，BC＝BF， ∴EB＝EC＝4，BF＝8，EQ＝QC＝2， ∴BQ＝6， ∴在Rt△BFQ 中，FQ2， ∴在Rt△EFQ中，FE4； 第三种情况：当EC＝FC时，过F点作FT⊥BC于T点，过B点作BS⊥FC于S点，如图， ∵EC＝FC，EB＝EC＝4， ∴EC＝FC＝4， ∵BC＝BF＝8，BS⊥FC， ∴FS＝SCFC＝2， ∴在Rt△BFS 中，BS2， ∵FT⊥BC， ∴S△BFCBS•FCBC•FT， ∴FT， ∴在Rt△TFC中，TC1， ∴ET＝EC﹣TC＝3， ∴在Rt△TFE中，EF2， 综上：EF的长为4或2． 24．如图，△ABC 和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°． （1）【猜想】如图1，点E在BC上，点D在AC上，线段BE与AD的数量关系是 　BE＝AD　 ，位置关系是 　BE⊥AD　 ； （2）【探究】：把△DCE绕点C旋转到如图2的位置，连接AD，BE，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）【拓展】：把△DCE绕点C在平面内自由旋转，若AC＝6.，当A，E，D三点在同一直线上时，直接写出BE的长． 【解答】解：（1）∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形， ∴AC＝BC，EC＝DC， ∴AC﹣DC＝BC﹣EC， ∴BE＝AD， 点E在BC上，点D在AC上，且∠ACB＝90°， ∴BE⊥AD， 故答案为：BE＝AD，BE⊥AD； （2）（1）中的结论还成立．理由如下： 如图2，AC与BE交于M，AD与BE交于N， 由题意可知：∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠CE， ∴∠BCE＝∠ACD， 在△BCE与△ACD中， ， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴BE＝AD，∠CAD＝∠CBE， 又∵∠ACB＝90°，∠BMC＝∠AMN， 在△ANM中， ∴∠MAN+∠AMN＝∠CBE+∠BMC＝90°， ∴∠ANM＝90°， ∴BE⊥AD， 所以结论成立； （3）分两种情况讨论： ①当点E在线段AD上时，如图3，过点C作CM⊥AD于M， ∵△DCE是等腰直角三角形，且CE＝2， ∴4， ∵CM⊥AD， ∴2， 在Rt△ACM中，AC＝6， ∴4， ∴AE＝AM﹣EM＝42； 在Rt△ABC中，AC＝6， ∴AB6， 在Rt△ABE中， BE42； ②当点D在线段AE上时，如图4，过点C作CN⊥AE于N， ∵△DCE是等腰直角三角形，且CE＝2， ∴4， ∵CN⊥AD， ∴DE＝2， 在Rt△ACN中，AC＝6， ∴4， ∴AE＝AN+NE＝42， 在Rt△ABC中，AC＝6， ∴AB6， 在Rt△ABE中， BE42； 综上，BE的长为42或42． 25．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°． （1）如图1，点D在边BC上，∠ADB＝2∠C，求的值； （2）如图2，点E在△ABC的外部，且AF＝AE，∠EAF＝120°，若2∠BEC﹣∠AEB＝270°，求证：． 【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∵∠ADB＝2∠C， ∴∠ADB＝60°， ∴∠BAD＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∠DAC＝∠ADB﹣∠C＝30°＝∠C， ∴AD＝CD， ∵∠ABC＝30°，∠BAD＝90°， ∴BD＝2AD＝2CD， ∴； （2）证明：如图2，将AE绕点A逆时针旋转120°，得到AF，连接CF，EF，过点A作AH⊥EF于H， ∴AE＝AF，∠EAF＝120°， ∴∠AEF＝∠AFE＝30°， ∵AH⊥EF， ∴AHAE，FH＝EH，EHAH， ∴EFAE， ∵∠BAC＝∠EAF＝120°， ∴∠BAE＝∠CAF， 又∵AB＝AC，AE＝AF， ∴△BAE≌△CAF（SAS）， ∴∠BEA＝∠AFC，BE＝CF， 设∠BEA＝∠AFC＝x， ∴∠FEC＝∠BEC﹣x﹣30°， ∵2∠BEC﹣∠AEB＝270°， ∴∠BEC＝135°， ∴∠FEC＝105， ∵∠EFC＝∠AFC﹣∠AFE＝x﹣30°， ∴∠FEC＝180°﹣（x﹣30°）﹣（105）＝105°， ∴∠FEC＝∠FCE， ∴EF＝CF＝BEAE． 26．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝θ（0°＜θ＜90°）．连接DE，过B作BF⊥DE于F，连接AF，CF． （1）若θ＝60°，求∠BED的度数； （2）当θ变化时，∠BED的大小会发生变化吗？请说明理由； （3）试用等式表示线段DE与CF之间的数量关系，并证明． 【解答】解：（1）θ＝60°时，如图： ∵AB＝AE， ∴△ABE是等边三角形， ∴∠AEB＝60°＝∠EAB， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∴∠EAD＝∠EAB+∠BAD＝60°+90°＝150°，AE＝AD， ∴∠AED＝∠ADE＝（180°﹣∠EAD）÷2＝15°， ∴∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝60°﹣15°＝45°； （2）当θ变化时，∠BED的大小不会发生变化，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD， ∵∠EAB＝θ，AB＝AE， ∴AE＝AD，∠EAD＝90°+θ， ∴∠AED45°θ， ∵AE＝AB，∠EAB＝θ， ∴∠AEB90°θ， ∴∠DEB＝∠AEB﹣∠AED＝（90°θ）﹣（45°θ）＝45°； （3）线段DE与CF的数量关系为：DECF，证明如下： 过C作CG⊥CF交FD延长线于G，如图： ∵BF⊥DE， ∴∠BFC+∠CFD＝90°， ∵CG⊥CF， ∴∠CFD+∠G＝90°， ∴∠BFC＝∠G， ∵∠BCD＝∠FCG＝90°， ∴∠BCF＝∠DCG， ∵BC＝CD， ∴△BCF≌△DCG（AAS）， ∴BF＝DG，CF＝CG， ∴△FCG是等腰直角三角形， ∴FGCF， 由（2）知，∠DEB＝45°， ∴△BEF是等腰直角三角形， ∴EF＝BF， ∴EF＝DG， ∴EF+FD＝DG+FD，即DE＝FG， ∴DECF． 27．如图1，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D是边AB上一点，将线段CD绕点C逆时针旋转120°得到CE，连接BE． （1）求证：△CAD≌△CBE； （2）连接AE，若AD＝4，∠ACD＝30°，求线段AE的长； （3）如图2，若AD＝AC，BD＝2，点M为CD中点，AM的延长线与BC交于点P，与BE交于点N，求线段BN的长． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝120°，点D是边AB上一点，将线段CD绕点C逆时针旋转120°得到CE， 由旋转的性质得：CD＝CE，∠DCE＝∠ACB＝120°， ∴∠ACD+∠BCD＝∠BCE+∠BCD， ∴∠ACD＝∠BCE． 在△ACD与△CBE中， ， ∴△CAD≌△CBE（SAS）； （2）解：在△ACB中，∠ACB＝120°，且∠ACD＝30°，AD＝4， ∴∠CAD＝∠ABC＝∠ACD＝30°， ∴CD＝AD＝4， ∵∠BDC＝∠ACD+∠CAD＝60°， ∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣60°﹣30°＝90°， ∴△BCD是直角三角形， ∵∠ABC＝30°， ∴BD＝2CD＝2AD＝8， 由（1）可知：△CAD≌△CBE， ∴∠CBE＝∠CAD＝30°，BE＝AD＝4， 过点E作EF⊥AB，垂足为点F．如图1， ∠EBF＝∠CBE+∠ABC＝30°+30°＝60°， 则∠EBF＝∠CBE+∠ABC＝30°+30°＝60°，∠BEF＝90°﹣60°＝30°， ∴， 在直角三角形BEF中，由勾股定理得：， ∴AF＝AD+BD﹣BF＝4+8﹣2＝10， 在Rt△EAF中，由勾股定理得：； （3）解：过点N作NH⊥BC，垂足H．连接NH⊥BC．如图2， ∵AC＝BC，∠ACB＝120°， ∴∠CAD＝∠CBD＝30°， ∵AD＝AC，点M为CD中点， ∴AM⊥CD， ∴∠CMP＝90°，， ∴∠PCM＝∠ACB﹣∠ACD＝120°﹣75°＝45°， ∴∠CPM＝45°， ∴CM＝PM， 又∵CM＝DM， ∴PM＝DM， ∴△DMP为等腰直角三角形， 故△CMP也为等腰直角三角形， ∴DP⊥BC， 在Rt△BDP中，∠CBD＝30°， ∴， 由勾股定理得：， 在Rt△PNH与Rt△BNH中，∠CBE＝30°，∠BPN＝∠CPM＝45°， ∴PH＝NH，BN＝2NH， 由勾股定理得：， ∵BP＝PH+BH， ∴， ∴， ∴． 28．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB′C′，B′C′与AB交于点D，AC′与BC交于点E，B′C′与BC交于点F，当B、D、F重合时停止旋转． （1）如图1． ①求证：∠BFD＝∠C′AC； ②当AB平分∠B′AC′时，求证：AE+BD＝AB′； （2）如图2，若BC＝10，AC＝8，在旋转过程中，当△ABE是等腰三角形时，则该等腰三角形底边的长为　6或或　 ． 【解答】（1）①证明：∵将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB′C′， ∴∠C＝∠C′， ∵∠AEC＝∠C′EF， ∴∠C′FE＝∠CAC′， ∵∠C′FE＝∠BFD， ∴∠BFD＝∠CAC′； ②证明：∵将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB′C′， ∴∠C′＝∠C，∠CAE＝∠BAB′，AC＝AC′，AB＝AB′， ∵AB平分∠B′AC′， ∴∠C′AD＝∠BAB′， ∴∠C′AD＝∠CAE， 在△C′AD和△CAE中， ， ∴△C′AD≌△CAE（ASA）， ∴AD＝AE， ∴AE+BD＝AD+BD＝AB＝AB′； （2）解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝10，AC＝8， ∴， 作AG⊥BC，垂足为G，如图2， ∵S△ABCAC•ABBC•AG， 解得：， ∴BG， 当AB＝AE时，则BG＝EG， ∴BE＝2BG； 当AB＝BE＝6时，如图3，则EG＝6﹣BG＝6， ∴AE； 当AE＝BE时，如图4，则AB＝6， 综上，该等腰三角形底边的长度为6或或， 故答案为：6或或． 29．【问题情景】综合与实践课上，陈老师让同学们以“共顶点的等腰三角形的旋转”为主题开展数学探究活动． 【实践操作】陈老师让同学们先画出两个等腰直角△AOB和△MON，∠AOB＝∠MON＝90°，将△MON绕点O旋转到某一位置，要求同学们观察图形，提出问题并加以解决． （1）如图①，“慎思组”的同学们连接AM，BN，则AM与BN有何数量关系？∠OAM与∠OBN有何数量关系？请你探究后直接写出结论； （2）如图②，得知“慎思组”的结论后，“博学组”的同学们认为，当点N恰好在AB边上时，若AN＝6，BN＝8，就可以求出ON的长，请你写出求解过程； 【类比探究】 （3）“智慧组”的同学们认为，当点A，M，N在同一条直线上时，ON，OB，BN之间一定存在某种数量关系，若ON＝4，OB＝6，请你探究后直接写出BN的长． 【解答】解：（1）AM＝BN，∠OAM＝∠OBN；理由如下： ∵△AOB和△MON是等腰直角三角形， ∴OA＝OB，OM＝ON， ∵∠AOB＝∠MON＝90°， ∴∠AOB+∠AON＝∠MON+∠AON， ∴∠AOM＝∠BON， 在△AOM和△BON中， ， ∴△AOM≌△BON（SAS）， ∴AM＝BN，∠OAM＝∠OBN； （2）如图②，连接AM， ∵∠AOB＝∠MON＝90°， ∴∠MON﹣∠AON＝∠AOB﹣∠AON，即∠AOM＝∠BON， ∵△MON和△AOB是等腰直角三角形， ∴OM＝ON，OA＝OB，∠OAB＝∠OBA＝45°， ∴△AOM≌△BON（SAS）， ∴∠MAO＝∠OBA＝45°，AM＝BN， ∴∠MAN＝∠MAO+∠OAB＝90°， ∴， ∵△MON是等腰直角三角形， ∴2ON2＝MN2＝100， ∴； （3）BN的长为2或；理由如下： ①如图③，当点N在线段AM上时，连接BN，过点O作OH⊥MN于H， ∵∠AOB＝∠MON＝90°， ∴∠MON﹣∠AON＝∠AOB﹣∠AON， ∴∠AOM＝∠BON， ∵△MON和△AOB是等腰直角三角形， ∴OM＝ON＝4，OA＝OB＝6，∠OAB＝∠OBA＝45°， ∴△AOM≌△BON（SAS）， ∴∠MAO＝∠OBA＝45°，AM＝BN， ∵OH⊥MN，△MON是等腰直角三角形， ∴OH＝MHMN2， 在Rt△AOH中，AH2， ∴BN＝AM＝AH+MH＝2； ②如图④，当点M在线段AN上时，连接BN，过点O作OH⊥MN于H， 同理可得OH＝MHMN，AH， ∴BN＝AM＝AH﹣MH， 综上所述：BN的长为2或． 30．如图1，正方形ABCD，E为平面内一点，且∠BEC＝90°，把△BCE绕点B逆时针旋转90°得△BAG，直线AG和直线CE交于点F． （1）证明：四边形BEFG是正方形； （2）若∠AGD＝135°，猜测CE和CF的数量关系，并说明理由； （3）如图2，连接DF，若AB＝13，CF＝17，求DF的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝AD， ∵把△BCE绕点B逆时针旋转90°得△BAG， ∴∠GBE＝90°，∠BEC＝∠AGB＝90°＝∠BGF，BG＝BE， ∴四边形BEFG是矩形， 又∵BE＝BG， ∴四边形BEFG是正方形； （2）解：CE＝CF，理由如下： 过点D作DH⊥AF于H， ∵四边形BEFG是正方形， ∴EF＝GF＝BG， ∵∠AGD＝135°， ∴∠DGH＝45°， ∴△DGH是等腰直角三角形， ∴GH＝DH， ∵∠BAG+∠DAG＝90°，∠BAG+∠ABG＝90°， ∴∠DAG＝∠ABG， 在△ABG和△DAH中， ， ∴△ABG≌△DAH（AAS）， ∴AG＝DH，AH＝BG， ∴AG＝DH＝GH，AH＝BG＝EF＝2AG＝2CE， ∴CE＝CF； （3）设BE＝a，则EF＝a，CE＝17﹣a， 在Rt△BEC中，BE2+CE2＝BC2， ∴a2+（17﹣a）2＝132， 解得：a1＝12，a2＝5， 当a＝12时，如图3，过点D作DP⊥CF于P， 由（2）同理得：△BCE≌△CDP（AAS）， ∴PD＝CE＝17﹣12＝5，BE＝CP＝12， ∴PF＝17﹣12＝5， 在Rt△DFP中，DF5； 当a＝5时，如图4，过点D作DP⊥CF于P， 同理得：△BCE≌△CDP（AAS）， ∴PD＝CE＝17﹣5＝12，BE＝CP＝5， ∴PF＝17﹣5＝12， 在Rt△DFP中，DF12； 综上所述，DF的长为5或12． 31．如图所示，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°． （1）如图1所示，若D是△ABC内一点，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连结AD，BE，求证：AD＝BE； （2）如图2所示，若D是△ABC外一点，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，且AE＝AB，求证：BDCD； （3）如图3所示，若O是斜边AB的中点，M为BC下方一点，且OM，CM＝7，∠BMC＝45°，则BM＝　5　 ． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°， ∴AC＝BC， 由旋转的性质得：CD＝CE，∠DCE＝90°， ∵∠ACD+∠DCB＝90°，∠BCE+∠DCB＝90°， ∴∠ACD＝∠BCE， 又∵AC＝BC，CD＝CE， ∴△∠ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE； （2）证明：如图2，连接AD、BE，AD交BE于点O，AD交BC于点N，连接DE， 由旋转的性质得：CD＝CE，∠DCE＝90°， ∴△DCE是等腰直角三角形， ∴DECD， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACB+∠DCB＝∠DCE+∠DCB， 即∠ACD＝∠BCE， 又∵AC＝BC，CD＝CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠DAC＝∠EBC， ∵∠ANC＝∠BNO， ∴∠ACN＝∠BON， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BOA＝90°， 即AD⊥BE， ∵AE＝AB， ∴OE＝OB， ∴DE＝BD， ∴BDCD； （3）解：如图3，过点O作OP⊥OM，且OP＝OM，连接PM、PC，并延长PC交BM于点Q，交QM于点H，连接OC， 则∠POM＝90°， ∵△ABC是等腰直角三角形，O是斜边AB的中点， ∴CO⊥AB，COAB＝OB， ∴∠COB＝∠POM＝90°， ∴∠POC＝∠MOB， ∴△POC≌△MOB（SAS）， ∴CP＝BM，∠OPC＝∠OMB， 又∵∠OHP＝∠QHM， ∴∠PQM＝∠POM＝90°， ∠BMC＝45°， ∴△CMQ是等腰直角三角形， ∴CQ＝MQCM， 在Rt△POM中，PMOM13， 设PC＝x，则PQ＝（x）， 在Rt△PQM中，由勾股定理得：（）2+（x）2＝132， 解得：x＝5（负值已舍去）， ∴PC＝5， ∴BM＝PC＝5， 故答案为：5． 32．已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°． （1）如图1，D是直角边AB上一点，过D作DE⊥BC于E，点F为CD中点，连接AF，EF，请写出此时线段AF与EF的关系（不用证明）． （2）在（1）的条件下将△BDE绕点B逆时针旋转45°到如图2的位置时，请证明此时（1）中的结论仍然成立； （3）在（1）的条件下将△BDE绕点B顺时针旋转90°，请画出图形；若AB＝6，BE＝2，直接写出此时AF的长． 【解答】解：（1）AF＝EF且AF⊥EF， ∵∠DEC＝∠BAC＝90°，点F为CD的中点， ∴AF＝CF，EF＝CF， ∴AF＝EF，∠AFD＝2∠ACD，∠EFD＝2∠ECD， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ACB＝45°， ∴∠ACD+∠ECD＝∠ACB＝45°， ∴∠AFD+∠EFD＝2（∠ACD+∠ECD） ＝2×45° ＝90°， ∴∠AFE＝90°， ∴AF＝EF且AF⊥EF； （2）如图，延长EF交AC于G， ∵∠DEA＝∠BAC＝90°， ∴DE∥AC， ∴∠EDF＝∠GCF， ∵∠DFE＝∠GFC，F为CD的中点， ∴DF＝CF， ∴DE＝CG，EF＝FG， ∵BE＝DE， ∴BE＝CG， ∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°， ∴AB＝AC， ∴AB﹣BE＝AC﹣CG， ∴AE＝AG， ∵∠BAC＝90°， ∴△AEG是等腰直角三角形， ∵EF＝FG， ∴AF＝EF，AF⊥EF； ∴此时（1）中的结论仍然成立； （3）延长EF交BC的延长线于H，连接AE，AH， ∵BH∥DE， ∴∠BHF＝∠FED，∠HCF＝∠EDF， 又∵DF＝CF， ∴△HCF≌△EDF（AAS）， ∴ED＝CH，EF＝FH， ∴BE＝CH， ∵∠ABE＝∠ACH＝135°，AB＝AC， ∴△ABE≌△ACH（SAS）， ∴∠BAE＝∠CAH，AE＝AH， ∴∠EAH＝90°， ∴AFEH， ∵AB＝6， ∴BC＝6， ∴BH＝8， 由勾股定理得EH＝2， ∴AF． 33．【操作判定】 （1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E在BC上（且不与点 B、C重合），在△ABC的外部作△BED，使∠BED＝90°，BE＝DE，连接CD，过点A作AF∥CD，过点D作DF‖AC，DF交AF于点F，连接CF． 根据以上操作，判断：四边形ACDF的形状是 　平行四边形　 ，　　 ； 【变换探究】 （2）如图2，将图1中的△BED绕点B逆时针旋转，使点E落在AB边上，过点A作AF∥CD，过点D作DF‖AC，DF交AF于点F，连接CE、CF．若CE＝4，求CF的长． 【拓展应用】 （3）将图1中的△BED绕点B顺时针旋转，使点D在BC的右侧，过点A作AF∥CD，过点D作DF∥AC，DF交AF于点F，连接CF，若BE＝2，BC＝6，当四边形ACDF为菱形时． ①求CF的长； ②当点D在BC左侧时，请直接写出CF的长． 【解答】解：（1）∵AF∥CD，AC∥DF， ∴四边形ACDF是平行四边形， ∴AC＝DF， ∵AC＝BC， ∴BC＝EF， 又∵DE＝BE， ∴DF﹣DE＝BC﹣BE，即EF＝CE， ∵∠CEF＝∠BED＝90°， ∴△CEF是等腰直角三角形， ∴． 故答案为：平行四边形，． （2）如图，连接EF． ∵AF∥CD，AC∥DF， ∴四边形ACDF是平行四边形， ∵∠ACD＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴AC＝DF，∠CDF＝90°， ∵AC＝BC， ∴BC＝DF， ∵DE＝BE，∠BED＝90°， ∴∠B＝∠EDB＝45°， ∴∠FDE＝45°，即∠B＝∠FDE， ∴△CBE≌△FDE（SAS）， ∴CE＝EF，∠CEB＝∠FED， ∴∠CEB﹣∠CED＝∠FED﹣∠CED， 即∠CEF＝∠DEB＝90°， ∴△CEF为等腰直角三角形， ∴CFCE＝4． （3）①如图a，连接CE并延长交BD于点K，连接EF． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC＝CD＝DF，AC∥DF， ∵AC＝BC， ∴BC＝CD＝DF， 设DF交BC于点N，交BE于点M，EF交BC于点O． ∵∠ACB＝90°， ∴∠DNB＝90°， ∵∠BED＝90°， ∴∠BNM＝∠BED，∠BMN＝∠DME， ∴∠CBE＝∠FDE， ∴△CBE≌△FDE（SAS）， ∴CF＝EF，∠BCE＝∠DFE， 又∵∠COE＝∠BOF， ∴∠CEF＝∠CNF＝90°， ∴△CEF是等腰直角三角形， ∴CFCE， ∵CD＝CB，ED＝EB， ∴CK是BD的中垂线， ∵BC＝6，BE＝2， ∴BK＝EK， CK， ∴CE＝CK﹣EK， ∴CFCE＝22． ②22． 如图b，连接CE交BD于点K，延长FD交BC于点Q，连接EF． ∵AC∥DF，∠ACB＝90°， ∴∠FQB＝90°， ∵∠DEB＝90°， ∴∠FQB+∠DEB＝180°， ∴∠QDE+∠QBE＝180°， ∴∠FDE＝∠QBE， 同理△FED≌△CEB（SAS）， ∴∠FED＝∠CEB， ∴∠FEC＝∠DEB＝90°， ∴△CEF为等腰直角三角形， ∴CFCE 由①知BK＝DK＝EK，CK， ∴CE＝CK+EK， ∴CFCE＝22． 34．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点． （1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是 　PM＝PN　 ，位置关系是 　PM⊥PN　 ； （2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10．请直接写出△PMN面积的最大值． 【解答】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点， ∴PN∥BD，PNBD， ∵点P，M是CD，DE的中点， ∴PM∥CE，PMCE， ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BD＝CE， ∴PM＝PN， ∵PN∥BD， ∴∠DPN＝∠ADC， ∵PM∥CE， ∴∠DPM＝∠DCA， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ADC+∠ACD＝90°， ∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°， ∴PM⊥PN， 故答案为：PM＝PN，PM⊥PN； （2）△PMN是等腰直角三角形．理由如下： 由旋转知，∠BAD＝∠CAE， ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE， 利用三角形的中位线得，PNBD，PMCE， ∴PM＝PN， ∴△PMN是等腰三角形， 同（1）的方法得，PM∥CE， ∴∠DPM＝∠DCE， 同（1）的方法得，PN∥BD， ∴∠PNC＝∠DBC， ∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC， ∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC ＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC ＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ACB+∠ABC＝90°， ∴∠MPN＝90°， ∴△PMN是等腰直角三角形； （3）方法1：如图2同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形， ∴MN最大时，△PMN的面积最大， ∴DE∥BC且DE在顶点A上面， ∴MN最大＝AM+AN， 连接AM，AN， 在△ADE中，AD＝AE＝4，∠DAE＝90°， ∴AM＝2， 在Rt△ABC中，AB＝AC＝10，AN＝5， ∴MN最大＝257， ∴S△PMN最大PM2MN2（7）2． 方法2：由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PNBD， ∴PM最大时，△PMN面积最大， ∴点D在BA的延长线上， ∴BD＝AB+AD＝14， ∴PM＝7， ∴S△PMN最大PM272． 35．已知，点P为等边三角形ABC所在平面内一点， （1）如图①，点P在△ABC外，∠BPC＝120°，∠ABP＝90°，求证：BP＝CP； （2）如图②，点P在△ABC内，AP＝3，BP＝4，CP＝5，求∠APB的度数； （3）如图③，点P在△ABC内，且∠BPC＝120°，M为BC上一点，连接PM，若∠BPM+∠APC＝180°，求证：BM＝CM． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°， ∵∠ABP＝90°， ∴∠PBC＝90°﹣∠ABP﹣∠ABC＝90°﹣60°＝30°， ∵∠BPC＝120°，∠PBC+∠BPC+∠BCP＝180°， ∴∠PCB＝180°﹣∠BPC﹣∠PBC＝180°﹣120°﹣30°＝30°， ∴∠PBC＝∠BCP， ∴BP＝CP； （2）解：∵△ABC为等边三角形， ∴BA＝BC， 将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连接EP，如图②， ∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°， ∴△BPE为等边三角形， ∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°， 在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4， ∴AE2＝PE2+PA2， ∴△APE为直角三角形，且∠APE＝90°， ∴∠APB＝90°+60°＝150°； （3）证明：将△ABP绕A逆时针旋转60°，得到△ACE，点P的对应点为E，连接PE，如图③， 同理可知，△EAP是等边三角形， ∴∠APE＝∠AEP＝60°， ∵∠APC+∠BPM＝180° ∴∠APE+∠EPC+∠BPM＝180°， ∴∠EPC+∠BPM＝120°， 又∠BPC＝∠CPM+∠BPM＝120°， ∴∠EPC＝∠CPM， 过点C作CN∥BP，交PM的延长线于点N，则∠PBC＝∠NCB， ∵∠BPC＝120°， ∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣120°＝60°， 又∠ACP+∠PCB＝60°，∠ABP+∠PBC＝60°， ∴∠ACP＝∠PBC， 由旋转可知，∠ACE＝∠ABP，BP＝CE， ∴∠ACE+∠ACP＝∠PBC+∠ABP＝60°， 又∠NCB+∠BCP＝∠PBC+∠BCP＝60°， ∴∠PCE＝∠PCN＝60°， 在△PCE和△PCN中， ， ∴△PCE≌△PCN（ASA）， ∴CE＝CN， ∴BP＝CN， 在△BPM和△CNM中， ， ∴△BPM≌△CNM（AAS）， ∴BM＝CM． 36．已知正方形ABCD，将线段BA绕点B旋转α（0°＜α＜90°）得到线段BE，连接EA，EC． （1）如图1，当点E在正方形ABCD的内部时，若BE平分∠ABC，则∠AEC＝ 　135°　 °； （2）当点E在正方形ABCD的外部时， ①在图2中依题意补全图形，并求∠AEC的度数； ②作∠EBC的平分线BF交EC于点G．交EA的延长线于点F，连接CF．用等式表示线段AE，FB，FC之间的数量关系，并证明． 【解答】解：（1）∵将线段BA绕点B旋转α，得到线段BE， ∴AB＝BE， ∴∠BAE＝∠BEA， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE＝45°， ∵BE＝BE， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴∠AEC＝∠EB+∠CEB＝180°﹣∠45°＝135°， 故答案为：135°； （2）①补全图形如图2， ∵将线段BA绕点B旋转 α（0°＜α＜90°），得到线段BE， ∴BE＝BA＝BC，∠ABC＝90°，∠ABE＝α， ∴ ， ∴∠AEC＝∠BEA﹣∠BEC＝45°，∠BEC＝45°； ②FB＝2FC﹣AE； 证明：过点B作BH∥EC交FC的延长线于点H，如图3， ∵BE＝BC，BF平分∠EBC， ∴BF垂直平分EC， ∴FE＝FC， ∴∠FEC＝∠FCE， 由①知，∠AEC＝45°， ∴∠FEC＝∠FCE＝45°， ∴∠GFC＝45°， ∵BH∥EC， 当∠FBH＝∠FGC＝90°，∠H＝∠FCG＝45°， ∴∠H＝∠BFH＝45°， ∴BF＝BH，， ∵∠ABF＝90°﹣∠FBC，∠CBH＝90°﹣∠FBC， ∴∠ABF＝∠CBH， 在△ABF和]CBH中， ， ∴△ABF≌△CBH（SAS）， ∴AF＝CH， ∵FH＝FC+CH＝FC+AF＝FC+FE﹣AE＝2CF﹣AE， ∴． 37．（1）如图1，四边形ABCD是正方形，E，F分别在边BC和CD上，且∠EAF＝45°，请直接写出线段EF，BE，DF之间的关系：　EF＝BE+DF　 ． （2）如图2，等腰直角三角形ABD，∠BAD＝90°，AB＝AD，点E，F在边BD上，且∠EAF＝45°，请写出EF，BE，DF之间的关系，并说明理由． （3）如图3，△ABC在中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D，E在边BC上，且∠DAE＝60°，当BD＝10，EC＝16时，求DE的长． 【解答】解：（1）EF＝BE+DF，理由如下： 如图，把△ADE绕着点A顺时针旋转90°得到△ABG， 由旋转可得GB＝DF，AF＝AG，∠BAG＝∠DAF，∠D＝∠ABG＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABG+∠D＝180°， ∴点G，B，C共线， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAD＝90°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠DAF＝45°， ∴∠BAG+∠BAE＝45°， ∴∠GAE＝∠EAF， 在△AGE和△AFE中， ， ∴△AGE≌△AFE（SAS）， ∴GE＝EF， ∵GE＝GB+BE＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF； （2）EF2＝BE2+DF2，理由如下： 把△AFD绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，连接EE′，如图3， ∴BE′＝FD，AE′＝AF，∠D＝∠ABE′，∠FAD＝∠E′AB， ∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB＝45°， ∴∠ABD+∠ABE′＝90°，即∠E′BD＝90°， ∴E′B2+BE2＝E′E2， 又∵∠FAE＝45°， ∴∠BAE+∠FAD＝45°， ∴∠E′AB+∠BAE＝45°，即∠E′AE＝45°， 在△AEE′和△AEF中 ， ∴△AEE′≌△AEF（SAS）， ∴EE′＝FE， ∴EF2＝BE2+DF2． （3）把△ACE绕点A顺时针旋转120°得到△ABP，连接PD，如图4， ∴AP＝AE，PB＝CE＝16，∠PBA＝∠C，∠EAP＝∠BAC＝120°， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠ABD＝∠C＝∠ABP＝30°， ∴∠ABD+∠ABP＝60°，即∠PBD＝60°， 又∵∠DAE＝60°， ∴∠PAD＝∠EAP﹣∠DAE＝120°﹣60°＝60°， 在△AED和△APD中 ， ∴△AED≌△APD（SAS）， ∴ED＝PD， 过点D作DH⊥BP，垂足为H， ∵∠PBD＝60°， ∴∠HDB＝30°， ∴BH10＝5， HD5， ∴HP＝BP﹣BH＝16﹣5＝11． ∴PD14， ∴DE＝PD＝14． 38．在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC． （1）如图1，点E为△ABC内部一点，连接BE，将线段BE绕点B顺时针方向旋转90°得到BF，连接AE，CF，线段AE与CF的位置关系是 　AE⊥CF　 ； （2）如图2，若将问题（1）中的点E改为△ABC外部一点，其余条件不变，AE与CF交于点G，证明A、B、C、G四点在同一个圆上； （3）如图3，点D为△ABC外一点，且∠BDC＝45°，点O为AC的中点，连接OD，BD，CD，若OD＝13，BD＝7，求CD的长． 【解答】（1）解：AE⊥CF；理由如下： 由旋转的性质得：BE＝BF，∠EBF＝90°， ∵AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠ABE＝∠CBF＝90°﹣∠CBE， ∴△ABE≌△CBF（SAS）， ∴∠BAE＝∠BCF， 如图1，延长AE交CF于H，交BC于G， ∵∠AGB＝∠CGH， ∴∠ABG＝∠CHG＝90°， ∴AE⊥CF； 故答案为：AE⊥CF； （2）证明：如图2，设BE交CF于点H， 由旋转的性质得：BE＝BF，∠EBF＝90°， ∵AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠ABE＝∠CBF＝90°+∠CBE， ∴△ABE≌△CBF（SAS）， ∴∠E＝∠F，∠BAE＝∠BCF， ∵∠EGF＝∠BEA+∠EHG＝∠F+∠FBE， ∴∠EGH＝∠EBF＝90°， ∴∠AGC＝∠ABC＝90°， ∵∠BAE＝∠BCF， ∴A、B、C、G四点在同一个圆上； （3）解：过B作BE⊥BD交DC延长线于E，连接AE，取CE中点H，连接OH，如图3， ∵点O为AC的中点， ∴OHAE，OH∥AE， ∵∠BDC＝45°，BE⊥BD， ∴∠BED＝45°＝∠BDC， ∴BE＝BD＝7， ∴DEBD＝14， ∵BE⊥BD，∠ABC＝90°， ∴∠ABE＝∠CBD＝90°﹣∠CBE， 在△ABE和△CBD中， ， ∴△ABE≌△CBD（SAS）， ∴AE＝CD＝2OH，∠AEB＝∠BDC＝45°， ∴CE＝DE﹣CD＝14﹣2OH，∠AED＝90°， ∵H为CE中点， ∴CH＝EHCE＝7﹣OH， ∴HD＝CD+HC＝2OH+7﹣OH＝7+OH， ∵∠AED＝90°，OH∥AE， ∴∠OHD＝90°， 在Rt△OHD中，OD2＝OH2+HD2， ∴132＝OH2+（7+OH）2， 解得OH＝5或OH＝﹣12（舍去）， ∴CD＝AE＝2OH＝10． 39．如图，在正方形ABCD中，DF＝EB． （1）求证：∠ADE＝∠FBC； （2）如图2，点P、Q分别是线段DE、FB上的动点，∠PCQ＝45°，连接PQ，探究三条线段DP、PQ、BQ之间满足的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，在（2）的条件下，DE＝8，在P、Q运动过程中，若PQ∥CD，当PQ最小时，AD＝ 　　 ． 【解答】（1）证明：∵正方形ABCD， ∴AB＝CD，AB∥CD，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°， ∵DF＝EB， ∴四边形DFEB是平行四边形， ∴∠EDF＝∠EBF， ∴90°﹣∠EDF＝90°﹣∠EBF， ∴∠ADE＝∠FBC． （2）解：三条线段DP、PQ、BQ之间满足的数量关系为PQ2＝DP2+BQ2．理由如下： 如图，将△PCD绕点C逆时针旋转90°得到△MCB， 则△CPD≌△CMB， ∴PD＝MB，∠PDC＝∠MBC，PC＝MC，∠PCD＝∠MCB， ∵正方形ABCD， ∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°， ∴∠EBF+∠FBC＝90°，∠BCQ+∠PCQ+∠PCD＝90°， ∵∠EDF＝∠EBF，∠PDC＝∠MBC，∠PCQ＝45°， ∴∠MBC+∠FBC＝90°，∠BCQ+∠PCD＝45°＝∠PCQ， ∴∠QBM＝90°，∠MCQ＝∠PCQ， ∴BQ2+BM2＝PQ2， ∵， ∴△PCQ≌△MCQ（SAS）， ∴PQ＝MQ， ∴BQ2+PD2＝PQ2． （3）解：如图，将△PCD绕点C逆时针旋转90°得到△MCB， 则△CPD≌△CMB， ∴PD＝MB，∠PDC＝∠MBC，PC＝MC，∠PCD＝∠MCB， ∵正方形ABCD， ∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°， ∴∠EBF+∠FBC＝90°，∠BCQ+∠PCQ+∠PCD＝90°， ∵∠EDF＝∠EBF，∠PDC＝∠MBC，∠PCQ＝45°， ∴∠MBC+∠FBC＝90°，∠BCQ+∠PCD＝45°＝∠PCQ， ∴∠QBM＝90°，∠MCQ＝∠PCQ， ∴BQ2+BM2＝PQ2， ∵， ∴△PCQ≌△MCQ（SAS）， ∴PQ＝MQ， ∴BQ2+PD2＝PQ2． ∵正方形ABCD， ∴AB＝CD，AB∥CD，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°， ∵DF＝EB， ∴四边形DFEB是平行四边形， ∴DE∥BF， ∵PQ∥CD，AB∥CD， ∴PQ∥AB， ∴四边形BEPQ是平行四边形，四边形FDPQ是平行四边形， ∴BQ＝EP， 设BQ＝EP＝x， ∵DE＝8， 则PD＝DE﹣EP＝8﹣x ∴PQ2＝x2+（8﹣x）2＝2x2﹣16x+64＝2（x﹣4）2+32， 故当x＝4时，PQ2取得最小值32，故PQ也取得最小值， ∵四边形BEPQ是平行四边形， ∴， 设AD＝y，则， ∵AE2+AD2＝DE2， ∴， 整理，得， 解得（舍去）． 故， 故答案为：． 40．【问题提出】如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，△CDE是等边三角形，点D在边AB上，探究DE与EB的数量关系． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化如图1，当点E在边BC上时，猜想ED和EB数量关系，并加以证明； （2）再探究一般情形．如图2，当点E在△ABC内部时，证明（1）中的结论仍然成立． 【问题拓展】 如图3，当点E在△ABC外部时，EH⊥AB于点H，过点E作GE∥AB，交线段AC的延长线于点G，AG＝5CG，BH＝3．直接写出CG的长 　2　 ． 【解答】解：【问题探究】（1）ED＝EB，理由如下： ∵△CDE是等边三角形， ∴∠CED＝60°， ∵∠ABC＝30°，∠CED＝∠B+∠EDB， ∴∠EDB＝60°﹣∠B＝30°， ∴∠EDB＝∠B， ∴DE＝EB； （2）如图2，取AB的中点O，连接CO、EO， ∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°， ∴∠A＝60°，OC＝OA， ∴△ACO为等边三角形， ∴CA＝CO， ∵△CDE是等边三角形， ∴CD＝CE，∠DCE＝60°＝∠ACO， ∴∠ACD＝∠OCE， 在△ACD和△OCE中， ， ∴△ACD≌△OCE（SAS）， ∴∠COE＝∠A＝60°， ∴∠BOE＝180°﹣60°﹣60°＝60°， 在△COE和△BOE中， ， ∴△COE≌△BOE（SAS）， ∴EC＝EB， ∴ED＝EB； 【问题拓展】 如图3，取AB的中点O，连接CO、EO、EB， 与（2）同理，△ACD≌△OCE，△OAC是为等边三角形， ∴∠COE＝∠A＝60°， ∴∠BOE＝60°＝∠COE， 又∵OC＝OB，OE＝OE， ∴△COE≌△BOE（SAS）， ∴EC＝EB， ∴ED＝EB， ∵EH⊥AB， ∴DH＝BH＝3， ∵GE∥AB， ∴∠G＝180°﹣∠A＝120°， ∵∠GCD＝∠GCE+60°＝∠CDA+60°， ∴∠GCE＝∠CDA， 在△CEG和△DCO中， ， ∴△CEG≌△DCO（AAS）， ∴CG＝OD， 设CG＝a，则AG＝5a，OD＝a， ∴AC＝OC＝4a， ∵OC＝OB， ∴4a＝a+3+3， 解得，a＝2， 即CG＝2， 故答案为：2． 41．在△ABC中．∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为线段AB上一点，连接CD． （1）如图1，若，，求线段BD的长； （2）如图2，将线段CD绕D逆时针旋转90°得到线段DE，连接CE，BE，点F是线段DE中点，连接BF与CD延长线交于点G，当∠EBF＝30°时，求证：； （3）在（2）的条件下，将线段BE绕B顺时行旋转60°得到线段BP，连接CP，求． 【解答】（1）解：如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC1， ∴AB， ∵AD， ∴BD＝AB﹣AD＝（）； （2）证明：如图2，过点D作DK∥BE交BG的延长线于H，交BC于K，作DL⊥AC于L，连接FK，作△BCD的外接圆， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC＝∠A＝45°， ∵将线段CD绕D逆时针旋转90°得到线段DE， ∴DE＝DC，∠CDE＝90°， ∴∠CED＝∠ECD＝45°， ∴∠CED＝∠CBD， ∴四边形BCDE是圆内接四边形， ∴∠CBE＝180°﹣∠CDE＝90°， ∵∠EBF＝30°， ∴∠HBK＝90°﹣30°＝60°， ∵DK∥BE， ∴∠H＝∠EBF，∠BKH＝∠ACB＝90°， ∵点F是线段DE中点， ∴DF＝EF， 在△HDF和△BEF中， ， ∴△HDF≌△BEF（AAS）， ∴BF＝FH， ∴FK＝BF＝FH， ∵∠HBK＝60°， ∴△BFK是等边三角形， ∴BK＝BF， ∵DL⊥AC，∠A＝45°， ∴DLAD， ∵∠DLC＝∠ACB＝∠CKD＝90°， ∴四边形CKDL是矩形， ∴CK＝DL， ∵BK＝BC﹣CK， ∴BF＝BCAD， ∴2BF＝2BCAD； （3）解：如图3，过点D作AC的平行线交BC于K，交BG的延长线于H，作DL⊥AC于L，交BE的延长线于N，过点P作PQ⊥BC交CB的延长线于Q， 设AC＝BC＝a，AD＝x，则AL＝DLx，BK＝CL＝DK＝ax， 由（2）可得：△HDF≌△BEF， ∴HD＝BE， 由旋转得：CD＝DE，∠CDE＝90°， ∴∠CDL+∠EDN＝90°， ∵∠DNE＝∠CLD＝90°， ∴∠DEN+∠EDN＝90°， ∴∠CDL＝∠DEN， ∴△CDL≌△DEN（AAS）， ∴EN＝DL， ∴BE＝BN﹣EN＝a﹣x， ∵HK∥BE， ∴∠H＝∠EBF＝30°， ∴HKBK， 即ax+ax（ax）， ∴xa， ∴ADa，BE＝ax＝aaa， ∵将线段BE绕B顺时针旋转60°得到线段BP， ∴∠EBP＝60°，BP＝BE， ∴∠PBQ＝180°﹣90°﹣60°＝30°， ∵PQ⊥BC， ∴∠Q＝90°， ∴PQBPa，BQBPa， ∴CQ＝BC+BQ＝aaa， 在Rt△CPQ中，CPa， ∴． 42．问题：如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为 　BC＝DC+CE　 ． 探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论； 应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD的长． 【解答】解：（1）BC＝DC+EC， 理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE， ∴BC＝BD+CD＝EC+CD， 故答案为：BC＝DC+EC； （2）BD2+CD2＝2AD2， 理由如下：连接CE， 由（1）得，△BAD≌△CAE， ∴BD＝CE，∠ACE＝∠B， ∴∠DCE＝90°， ∴CE2+CD2＝ED2， 在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2，又AD＝AE， ∴BD2+CD2＝2AD2； （3）过点A作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE， ∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD与△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE＝9， ∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°， ∴∠EDC＝90°， ∴DE6， ∵∠DAE＝90°， ∴AD＝AEDE＝6． 43．如图1，已知△ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，连接EF． （1）证明：△CEF是等边三角形； （2）证明：AB＝DB+AF； （3）如图2，如果点E在线段AB的延长线上，其它条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°， ∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF， ∴AF＝BE，∠CAF＝∠CBE＝60°，CE＝CF，∠ECF＝60°， ∴△CEF为等边三角形； （2）证明：∵△CEF为等边三角形， ∴EF＝EC，∠CEF＝60°， ∵∠AEC＝∠EBC+∠ECB， 即∠AEF+∠CED＝∠EBC+∠ECB， ∴∠AEF＝∠ECB， ∵ED＝EC， ∴∠D＝∠ECB，ED＝EF， ∴∠D＝∠AEF， ∵∠EBD＝180°﹣∠EBC＝120°，∠EAF＝∠EAC+∠CAF＝60°+60°＝120°， ∴∠DBE＝∠EAF， 在△BDE和△AEF中， ， ∴△BDE≌△AEF（AAS）， ∴BD＝AE，BE＝AF， ∴AB＝AE+EB＝BD+AF； （3）解：AB＝BD﹣AF． 理由如下：∵∠ABC＝60°， ∴∠CBE＝120°， ∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF， ∴AF＝BE，∠CAF＝∠CBE＝120°，CE＝CF，∠ECF＝60°， ∴△CEF为等边三角形， ∴EF＝EC，∠CEF＝60°， ∵∠ABC＝∠BEC+∠ECB， ∴∠ECB＝60°﹣∠BEC， ∵∠AEF＝∠CEF﹣∠AEC＝60°﹣∠AEC ∴∠AEF＝∠ECB， ∵ED＝EC， ∴∠D＝∠ECB，ED＝EF， ∴∠D＝∠AEF， ∵∠EBD＝∠ABC＝60°，∠EAF＝∠CAF﹣∠CAB＝120°﹣60°＝60°， ∴∠DBE＝∠EAF， 在△BDE和△AEF中， ， ∴△BDE≌△AEF（AAS）， ∴BD＝AE，BE＝AF， ∴AE＝AB+BE＝AB+AF， ∴BD＝AB+AF， 即AB＝BD﹣AF． 44．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°． （1）如图1，点D在BC边上，且∠ADB＝2∠C．求的值； （2）如图2，点E在△ABC的外部，且2∠BEC﹣∠AEB＝270°．求证：； （3）若P是平面内一点，且∠APB＝90°，∠BPC＝150°，求的值． 【解答】解：（1）由条件可知∠B＝∠C＝30°， ∵∠ADB＝2∠C， ∴∠ADB＝60°， ∴∠BAD＝90°，∠DAC＝30°＝∠C， ∴AD＝CD， ∵∠ABC＝30°，∠BAD＝90°， ∴BD＝2AD＝2CD， ∴； （2）如图2，将AE绕点A逆时针旋转120°，得到AF，连接CF，EF，过点A作AH⊥EF于H， ∴AE＝AF，∠EAF＝120°， ∴∠AEF＝∠AFE＝30°， ∴，FH＝EH，， ∴， ∵∠BAC＝∠EAF＝120°， ∴∠BAE＝∠CAF， 又∵AB＝AC，AE＝AF， ∴△BAE≌△CAF（SAS）， ∴∠BEA＝∠AFC，BE＝CF， 设∠BEA＝∠AFC＝x， ∴∠FEC＝∠BEC﹣x﹣30°， ∵2∠BEC﹣∠AEB＝270°， ∴， ∴， ∵∠EFC＝∠AFC﹣∠AFE＝x﹣30°， ∴， ∴∠FEC＝∠FCE， ∴； （3）如图3，当点P在△ABC内时，将△APC绕点A顺时针旋转120°，得到△AHB，连接HP， 由条件可知∠APC＝120°，∠PBC+∠PCB＝30°， ∴∠ABP+∠ACP＝30°， ∵将△APC绕点A顺时针旋转120°，得到△AHB， ∴AP＝AH，∠HAP＝120°，BH＝PC，∠ACP＝∠ABH，∠APC＝∠AHB＝120°， ∴∠AHP＝∠APH＝30°，∠ABP+∠ABH＝30°， ∴∠PHB＝90°，∠PBH＝30°， ∴BP＝2HP，， ∴， ∴； 如图4，当点P在△ABC外时，将△APC绕点A顺时针旋转120°，得到△AHB，连接HP， 由条件可知∠APC＝60°，∠PBC+∠PCB＝30°， ∴∠ABP+∠ACP＝90°， ∵将△APC绕点A顺时针旋转120°，得到△AHB， ∴AP＝AH，∠HAP＝120°，BH＝PC，∠ACP＝∠ABH，∠APC＝∠AHB＝60°， ∴∠AHP＝∠APH＝30°，∠ABP+∠ABH＝90°， ∴∠PHB＝30°，∠PBH＝90°， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或， 故答案为或． 45．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D，E是边AB，AC的中点，连接DE，DC，点M，N分别是DE和DC的中点，连接MN． （1）如图1，MN与BD的数量关系是 　MNBD　 ； （2）如图2，将△ADE绕点A顺时针旋转，连接BD，请写出MN和BD的数量关系并就图2的情形说明理由； （3）在△ADE的旋转过程中，当B，D，E三点共线时，求线段MN的长． 【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝4， ∴BC＝8， ∵点D，E是边AB，AC的中点， ∴AE＝AD＝2BD＝CE，DEBC＝4， ∵点M，N分别是DE和DC的中点， ∴MNCE， ∴MNBD， 故答案为：MNBD； （2）MNBD，理由如下： 如图2，∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠CAE＝∠BAD， 又∵AE＝AD，AB＝AC， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE， ∵点M，N分别是DE和DC的中点， ∴MNCE， ∴MNBD； （3）当点E在线段BD上时，如图3，连接CE， ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠CAE＝∠BAD， 又∵AE＝AD，AB＝AC， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABD， ∴∠ABD+∠ABC+∠BCE＝∠ABC+∠BCE+∠ACE＝90°， ∴∠BEC＝90°， ∵BE2+EC2＝BC2， ∴（EC﹣4）2+EC2＝64， ∴EC＝2+2（负值舍去）， ∵点M，N分别是DE和DC的中点， ∴MNCE1， 当点D在线段BE上时，如图4，连接CE， 同理可求：MN1， 综上所述：MN的长为1或1． 46．已知E在△ABC内部（如图①），等边三角形ABC的边长为6，等边三角形BDE的边长为4，连结AE和DC． （1）求证：AE＝DC； （2）当AE⊥BD时，求CD的长； （3）将△BDE绕点B旋转一周，F为DC的中点（如图②），求旋转过程中EF的取值范围． 【解答】（1）证明：如图1中，∵△ABC，△BDE都是等边三角形， ∴BA＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠EBD＝60°， ∴∠ABE＝∠CBD， 在△ABE和△CBD中， ， ∴△ABE≌△CBD（SAS）， ∴AE＝CD； （2）解：延长AE交BD于点J． ∵EJ⊥BD，EB＝ED， ∴BJ＝JD＝2， ∴EJ2，AJ4， ∴AE＝AJ﹣EJ＝42， 由（1）可知CD＝AE， ∴CD＝42； （3）解：延长DE到P，使得EP＝DE＝4，连接BP，CP． ∵PE＝DE，DF＝CF， ∴EFPC， ∵BE＝DE＝PE， ∴∠DBP＝90°， ∴BP4， ∵BC＝6， ∴46≤PC≤46， ∴23≤EF≤23． 47．综合与实践 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，将线段AC绕点A逆时针旋转至AD，旋转角记为α，连接CD，BD，过点C作CE⊥BD，交直线BD于点E，连接AE． 特例感知 （1）如图1，当α＝60°时，∠ACE的度数为　15°　 ． 类比迁移 （2）如图2，当0°＜α＜90°时． ①求证：CE＝DE． ②求证：． 拓展延伸 （3）如图3，当270°＜α＜360°，S△ABE＝2S△ACE，且BE＝8时，求AE的长． 【解答】（1）解：将线段AC绕点A逆时针旋转至AD，旋转角记为α，α＝60°， ∴AC＝AD，∠CAD＝60°， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ACD＝∠ADC＝60°， ∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°+60°＝150°， ∵AB＝AC， ∴AB＝AD， ∴， ∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝60°﹣15°＝45°， ∵CE⊥BD， ∴∠ECD＝90°﹣∠BDC＝90°﹣45°＝45°， ∴∠ACE＝∠ACD﹣∠ECD＝60°﹣45°＝15°， 故答案为：15°； （2）证明：①∵将线段AC绕点A逆时针旋转至AD，旋转角记为α， ∴AC＝AD，， ∵AB＝AC， ∴AB＝AD， ∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°+α， 在等腰△ABD中，， ∴， ∵CE⊥BD，即∠CED＝90°， ∴∠ECD＝90°﹣∠EDC＝90°﹣45°＝45°， ∴△CDE是等腰直角三角形， ∴CE＝DE； ②如图2，过点A作AF⊥AE，交BD于点F， ∴∠EAF＝90°， ∴∠EAC+∠CAF＝∠CAF+∠FAB＝90°， ∴∠EAC＝∠FAB， 由①可知，∠ADC＝∠ACD，∠EAC＝∠ECD， ∴∠ADE＝∠ACE， ∵∠ADE＝∠ABF， ∴∠ACE＝∠ABF，且AB＝AC， 在△ACE和△ABF中， ， ∴△ACE≌△ABF（ASA）， ∴BF＝CE，AF＝AE， ∴DE＝CE＝BF， 在等腰直角△AEF中，， ∵BD＝DE+EF+BF， ∴； （3）解：如图所示，过点A作AM⊥EB延长线于点M， ∴∠EAM＝∠CAB＝90°， ∴∠CAE+∠EAB＝∠EAB+∠BAM＝90°， ∴∠CAE＝∠BAM， 在四边形ABEC中，CE⊥BD，即∠CEB＝90°＝∠CAB， ∴∠ACE+∠ABD＝360°﹣∠CAB﹣∠CEB＝360°﹣90°﹣90°＝180°， ∵∠ABD+∠ABM＝180°， ∴∠ACE＝∠ABM，且AB＝AC， 在△ACE和△ABM中， ， ∴△ACE≌△ABM（ASA）， ∴AE＝AM，S△ACE＝S△ABM， ∴△AEM是等腰直角三角形， ∴，则， ∵S△ABE＝2S△ACE，BE＝8，设点A到BE的高为h， ∴，， ∴，即， ∴EM＝BE+BM＝8+4＝12， ∴． 48．已知∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB＝10，OC＝OD＝8． （1）如图1，连接AC、BD，求证：AC＝BD． （2）若将△OCD绕点O逆时针旋转，如图2，当点C恰好在AB边上时，请写出AC、BC、CD之间关系，并说明理由． （3）若△OCD绕点O旋转，当∠AOC＝15°时，直线CD与直线AO交于点F，求AF的长． 【解答】（1）证明：∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠AOC＝∠BOD， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≅△BOD（SAS）， ∴AC＝BD； （2）解：AC2+BC2＝CD2；理由如下： 连接BD．如图2， ∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠AOC＝∠BOD， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴AC＝BD∠CAO＝DBO＝45°， ∴∠CBD＝90°， ∴BC2+BD2＝CD2， ∴AC2+BC2＝CD2； （3）解：如图3﹣1中，当点C在AO的上方时，过点O作OH⊥CD于H． ∵OC＝OD＝8，∠COD＝90°， ∴， ∵OH⊥CD， ∴CH＝HD， ∴， ∵∠DCO＝∠CFO+∠AOC＝45°，∠AOC＝15°， ∴∠CFO＝30°， ∴， ∵OA＝10， ∴； 如图3﹣2中，当点C在OA的下方时，∠OFH＝∠C+∠AOC＝60°， ∴∠FOH＝30°， ∴OF＝2FH， ∵OF2＝FH2+OH2， ∴， ∴， ∴OF， ∴AF＝AO﹣OF＝10， 综上所述，满足条件的AF的长为或10． 49．如图，在等腰Rt△ABC中，AB＝BC，∠ACB＝90°，M为AB的中点，将△ABC绕点C逆时针方向旋转α（45°＜α＜90°），得到△DEC，点A的对应点为D，连接AD、EB并延长交于点N． （1）求证：△ACD≌△BCE； （2）求∠BDN的度数； （3）若BE＝kDN，且，求k的值． 【解答】（1）证明：由旋转可得AC＝DC，BC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD， 即∠ACD＝∠BCE， ∵AC＝BC， ∴DC＝EC， ∴△ACD≌△BCE（SAS）； （2）解：∵AC＝BC，AC＝DC， ∴AC＝BC＝DC， ∵∠ACD＝α， ∴，∠BCD＝90°﹣α， ∴， ∴； （3）解：∵△ACD≌△BCE， ∴， ∵， ∴∠DBN＝45°， ∴∠BND＝90°， 即∠ANB＝90°， ∵M为AB的中点， ∴AB＝2MN， ∵， ∴AB＝4BN， 由旋转得AB＝DE， ∴DE＝4BN， ∵∠BDN＝∠DBN＝45°， ∴DN＝BN， ∵BE＝kDN， ∴BE＝kBN， ∴EN＝（k+1）BN， 设BN＝DN＝a，则EN＝（k+1）a，DE＝4a， 在Rt△END中，DN2+EN2＝ED2， ∴a2+[（k+1）a]2＝（4a）2， 整理得（k+1）2＝15， 解得或（不合，舍去）， ∴k的值为． 50．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC上一点，连接DA，将线段DA绕点D顺时针旋转60°得到线段DE．（1）如图1，当点D与点B重合时，连接AE，交BC于点H，求证：AE⊥BC； （2）当BD≠CD时（图2中BD＜CD，图3中BD＞CD），F为线段AC的中点，连接EF．在图2，图3中任选一种情况，完成下列问题： ①依题意，补全图形； ②猜想∠AFE的大小，并证明． 【解答】（1）证明：当点D与点B重合时，记重合的点为B，如图： ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣120°）÷2＝30°， ∵将线段DA绕点D顺时针旋转60°得到线段DE， ∴∠ABE＝60°，AB＝BE， ∴∠EBH＝∠ABE﹣∠ABC＝60°﹣30°＝30°， ∴∠ABC＝∠EBH＝30°， ∴BH是∠ABE的平分线， ∵AB＝BE， ∴BH⊥AE， 即AE⊥BC； （2）解：选图2： ①补全图形如下： ②∠AFE＝90°，证明如下： 连接AE，过A作AG⊥BC于G，如图2： ∵将线段DA绕点D顺时针旋转60°得到线段DE， ∴AD＝ED，∠ADE＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴AD＝AE，∠DAE＝60°， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°，AG⊥BC， ∴∠GAC＝60°，∠C＝30°， ∴∠DAE＝∠GAC，AGAC， ∴∠DAE﹣∠GAE＝∠GAC﹣∠GAE，即∠DAG＝∠EAF， ∵F是AC中点， ∴AFAC， ∴AF＝AG， 在△ADG和△AEF中， ， ∴△ADG≌△AEF（SAS）， ∴∠AGD＝∠AFE， ∵AG⊥BC， ∴∠AGD＝90°， ∴∠AFE＝90°； 选图3： ①补全图形如下： ②∠AFE＝90°，证明如下： 连接AE，过A作AG⊥BC于G，如图3： ∵将线段DA绕点D顺时针旋转60°得到线段DE， ∴AD＝ED，∠ADE＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴AD＝AE，∠DAE＝60°， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°，AG⊥BC， ∴∠GAC＝60°，∠C＝30°， ∴∠DAE＝∠GAC，AGAC， ∴∠DAE﹣∠DAC＝∠GAC﹣∠DAC，即∠DAG＝∠EAF， ∵F是AC中点， ∴AFAC， ∴AF＝AG， 在△ADG和△AEF中， ， ∴△ADG≌△AEF（SAS）， ∴∠AGD＝∠AFE， ∵AG⊥BC， ∴∠AGD＝90°， ∴∠AFE＝90°． 51．如图1，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在AC边上，点E在BC延长线上，且CD＝CE，连接DE，将△DCE绕点C逆时针旋转，连接BD，AE，直线BD与直线AE交于点F． （1）如图2，求证：AE＝BD； （2）在图2中，连接CF，求证：BF﹣AFCF； （3）若AC＝3，CD＝2， ①如图3，当点F与点D重合时，求△ACD的面积； ②如图4，当点F与点E重合时，直接写出△ACD的面积． 【解答】（1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，CD＝CE，∠DCE＝90°， ∴∠DCE+∠ACD＝∠ACB+∠ACD， 即∠ACE＝∠BCD， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE＝BD； （2）证明：如图1，在BF上截取BG＝AF，连接CG． 由（1）得，△ACE≌△BCD， ∴∠CAE＝∠CBD， 又∵AC＝BC， ∴△ACF≌△BCG（SAS）， ∴CF＝CG，∠ACF＝∠BCG， ∴∠ACF+∠ACG＝∠ACG+∠BCG＝∠ACB＝90°， 即∠FCG＝90°， ∴△FCG是等腰直角三角形， 根据勾股定理得，， ∴FGFC， ∵BF＝BG+FG， ∴， ∴； （3）解：①由（1）得，△ACE≌△BCD， ∴∠E＝∠BDC， ∵CD＝CE，∠DCE＝90°， ∴∠E＝∠CDE＝45°， ∴∠BDC＝45°， ∴∠BDE＝∠BDC+∠CDE＝45°+45° ＝90°， ∴∠ADB＝90°， ∵， ∴根据勾股定理得，， 同理，， ∴DE＝4， 设AD＝x，则AE＝AD+DE＝x+4． 由（1）得AE＝BD， ∴BD＝x+4， 在Rt△ADB中，AB2＝AD2+BD2， ∴62＝x2+（x+4）2， 解得 ， （舍去）， ∴． 如图2，过C作CH⊥DE于H． ∵CD＝CE，∠DCE＝90°， ∴ 2， ∴； ②． 同理AB＝6，DE＝4， ∵△ACE≌△BCD，AE＝BD，∠AEC＝∠BDC＝45°． ∴∠AED＝∠AEB＝90°． 设BE＝y，则BD＝4+y， ∴AE＝4+y， 在Rt△ABE中，AB2＝BE2+AE2， ∴62＝y2+（4+y）2， ∴ （舍去）． ∴． 过C作CM⊥BD于M， ∴CM＝2． ∴， ∵△ACE≌△BCD， ∴． ∴． 52．已知在三角形ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，点D是平面内一动点（不与点C重合），连接CD，将线段CD绕D点顺时针旋转60°，得到线段DE（点E不与点B重合）．连接BE．取CD的中点P，连接AP． （1）如图（1），当点E落在线段AC上时，取BE的中点G，BC的中点H，连接AH，AG，GH， ①求证：△AGH≌△BGH； ②求证：BE＝2AP． （2）当AC＝4，CP＝2，当点B，D，E在同一条直线上时，请直接写出线段BE的长． 【解答】（1）证明：①∵G，H分别是Rt△ABE，Rt△ABC斜边上的中点， ∴AG＝BG，BH＝AH， ∵GH＝GH， 在△AGH和△BGH中， ， ∴△AGH≌△BGH（SSS）； ②∵G、H分别是BE、BC的中点， ∴，GH∥AC， ∴∠BHG＝∠ACB； ∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°， ∴∠ACB＝60°， ∵△AGH≌△BGH， ∴∠AHG＝∠BHG＝60°， ∴∠AHG＝∠ACB＝60°， 由旋转知DC＝DE，∠CDE＝60°， ∴△EDC是等边三角形， ∴CD＝EC， ∵P是CD的中点， ∴，∠DCE＝60°， ∴GH＝CP， ∵H是BC中点，∠BAC＝90°， ∴AH＝CH， ∵∠ACB＝60°， ∴△AHC是等边三角形， ∴AH＝AC， 在△AHG与△ACP中， ， ∴△AHG≌△ACP（SAS）， ∴AG＝AP， ∵BE＝2AG， ∴BE＝2AP； （2）解：当点E在线段BD上时，如图2，过点C作CN⊥DE于N； ∵CP＝2，P是CD的中点， ∴CD＝2CP＝4， ∵△CED是等边三角形， ∴CE＝DE＝CD＝4， ∵CN⊥DE， ∴； ∴， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4， ∴BC＝2AC＝8， 在Rt△BCN中，由勾股定理得：， ∴， 当点E在线段BD的延长线上时，如图3，过点C作CN⊥DE于N， 同理，得， ∴， 综上所述，线段BE的长为或． 53．在等腰Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°． （1）如图1，若E是△ABC内部一点，以CE为腰向外作等腰Rt△CDE，即CE＝CD，∠DCE＝90°，连接AE，BD，求证：AE＝BD． （2）如图2，点E是AC边上一点，点F是BE上一点，若∠CFE＝45°，EF＝4，△ABE面积为30，求BF的长． （3）如图3，M是等腰Rt△ABC外一点，若∠AMC＝75°，AM＝2，，请直接写出MB的长． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB﹣∠BCE＝∠DCE﹣∠BCE， 即∠ACE＝∠BCD， 又∵AC＝BC，CE＝CD， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE＝BD； （2）解：过点C作CD⊥CF交BE延长线于点D，连接AD，如图2所示： 由（1）可知：△BFC≌△ADC（SAS）， ∴BF＝AD，∠CBF＝∠CAD， ∵∠BEC＝∠AED， ∴∠ADE＝∠BCE＝90°， ∴AD⊥BE， ∵△ABE的面积为30， ∴BE•AD＝30， 即（BF+4）•BF＝30， 解得：BF＝6，BF＝﹣10（舍去）． ∴BF＝6． （3）解：如图3，过C作CH⊥CM，使CH＝CM，连接MH，AH， 则△CMH为等腰直角三角形， ∴∠CMH＝45°， 在△CBM与△CAH中， ， ∴△CBM≌△CAH（SAS）， ∴BM＝AH， ∵∠AMC＝75°， ∴∠AMH＝∠AMC+∠CMH＝75°+45°＝120°， ∵CM， ∴MHCM＝2， ∵AM＝2， ∴AM＝MH， 过点M作MG⊥AH于点G， 则∠MAG＝×（180°﹣120°）＝30°，AG＝GH， ∴MGAM＝1， ∴AG＝GH， ∴AH＝2， ∴MB＝2． 54．已知∠MAN＝α（0°＜α＜45°），点B，C分别在射线AN，AM上，将线段BC绕点B顺时针旋转180°﹣2α得到线段BD，过点D作AN的垂线交射线AM于点E． （1）如图1，当点D在射线AN上时，求证：C是AE的中点； （2）如图2，当点D在∠MAN内部时，作DF∥AN，交射线AM于点F，用等式表示线段EF与AC的数量关系，并证明． 【解答】（1）证明：连接CD， 由题意得：BC＝BD，∠CBD＝180°﹣2α， ∴∠BDC＝∠BCD， ∵∠BDC+∠BCD+∠CBD＝180°， ∴， ∴∠BDC＝∠A， ∴CA＝CD， ∵DE⊥AN， ∴∠1+∠A＝∠2+∠BDC＝90°， ∴∠1＝∠2， ∴CD＝CE， ∴CA＝CE， ∴点C是AE的中点； （2）解：EF＝2AC， 在射线AM上取点H，使得BH＝BA，取EF的中点G，连接DG， ∵BH＝BA， ∴∠BAH＝∠BHA＝α， ∴∠ABH＝180°﹣2α＝∠CBD， ∴∠ABC＝∠HBD， ∵BC＝BD， ∴△ABC≌△HBD（SAS）， ∴AC＝DH，∠BHD＝∠A＝α， ∴∠FHD＝∠BHA+∠BHD＝2α， ∵DF∥AN， ∴∠EFD＝∠A＝α，∠EDF＝∠3＝90°， ∵G是EF的中点， ∴GF＝GD，EF＝2GD， ∴∠GFD＝∠GDF＝α， ∴∠HGD＝2α， ∴∠HGD＝∠FHD， ∴DG＝DH， ∵AC＝DH， ∴DG＝AC， ∴EF＝2AC． 55．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点P为△ABC内一点，连接AP，BP，CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°得到线段CP′，连接PP′，AP′． （1）用等式表示AP′与BP的数量关系，并证明； （2）当∠APB＝135°时， ①直接写出∠P′AP的度数为 　45°　 ； ②若M为AB的中点，连接PM，依题意补全图形，用等式表示PM与PP′的数量关系，并证明． 【解答】解：（1）BP＝CP′， 证明：∵CA＝CB，∠BCA＝90°， ∴∠BCP+∠ACP＝90°， ∵将线段CP绕点C顺时针旋转 90° 得到 CP′， ∴CP＝CP′，∠PCP′＝90°， ∴∠ACP′+∠ACP＝90°， ∴∠BCP＝∠ACP′， ∴△BCP≌△ACP'（SAS） ∴AP′＝BP； （2）①当∠APB＝135° 时， 则∠PAB+∠PBA＝180°﹣∠APB＝45°， ∵∠PBA+∠PBC＝45°， ∴∠PAB＝∠PBC， ∵△BCP≌△ACP′， ∴∠PBC＝∠CAP′， 又∵∠CAP+∠PAB＝45°， ∴∠P′AP＝∠CAP+∠CAP′＝∠CAP+∠PAB＝45°； 故答案为：45°； ②，理由如下： 延长 PM 到 N，使 PM＝MN，连接 BN、AN， ∵M 为 AC 的中点， ∴BM＝AM， ∴四边形 PBNA 为平行四边形， ∴NA∥BP 且 NA＝BP， ∴NA＝P′A，∠NAB＝∠PBA， ∵∠PAB+∠PBA＝45°， ∴∠NAB+∠PAB＝45°， ∴∠NAP＝45°＝∠P′AP， ∵AP＝AP，NA＝P′A， ∴△P'AP≌△NAP（SAS）， ∴PP′＝PN＝2PM， ∴． 56．在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，将线段CA绕点C旋转α（0°＜α＜90°），得到线段CD，连接AD、BD． （1）如图1，将线段CA绕点C逆时针旋转α，则∠ADB＝　135　 °； （2）如图2，将线段CA绕点C顺时针旋转α时， ①求证：∠ADB＝45°； ②若∠BCD的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连结BE，如图3，用等式表示线段AD、CE、BE之间的数量关系，并证明． 【解答】（1）解：在Rt△ABC中，AC＝BC，将线段CA绕点C旋转α（0°＜α＜90°）， ∴CD＝CA＝CB，∠ACD＝α， ∴∠BCD＝90°﹣α， ∵CD＝CA，CD＝CB， ∴∠ADC90°，∠BDC45°， ∴∠ADB＝∠ADC+∠BDC＝90°45°135°， 故答案为：135； （2）①证明：依题意补全图形如图， 由旋转得：CD＝CA＝CB，∠ACD＝α， ∴∠BCD＝90°+α， ∵CD＝CA，CD＝CB， ∴∠ADC90°，∠BDC45°， ∴∠ADB＝∠ADC﹣∠BDC＝90°45°45°； ②解：结论：CE＝2BE﹣AD． 理由：过点C作CG∥BD，交EB的延长线于点G， ∵BC＝CD，CE平分∠BCD， ∴CE垂直平分BD， ∴BE＝DE，∠EFB＝90°， 由①知，∠ADB＝45°， ∴∠EBD＝∠EDB＝45°， ∴∠FEB＝45°， ∵BD∥CG， ∴∠ECG＝∠EFB＝90°，∠G＝∠EBD＝45°， ∴EC＝CG，EGEC， ∵∠ACE＝90°﹣∠ECB，∠BCG＝90°﹣∠ECB， ∴∠ACE＝∠BCG， ∵AC＝BC， ∴△ACE≌△BCG（SAS）， ∴AE＝BG， ∵EG＝EB+BG＝EB+AE＝EB+ED﹣AD＝2EB﹣AD， ∴CE＝2BE﹣AD． 57．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点E为边AC上一点，以AE为斜边，在△ABC外作△ADE，使得∠ADE＝90°，且DE＝DA．现将△ADE绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接BE，与AC交于点F． （1）如图2，若∠AFB＝60°，且BE∥AD， ①求α的值； ②求线段BE的长． （2）如图3，连接CE，点G为CE的中点，连接DG，求证：DG⊥BE． 【解答】（1）解：①∵△ADE是等腰直角三角形， ∴∠DAE＝45°， ∵∠BAF＝90°，∠AFB＝60°， ∴∠ABF＝90°﹣60°＝30°， ∵BE∥AD， ∴∠ABF+∠BAD＝180°， ∴∠BAD＝180°﹣∠ABF＝150°， ∵∠DAE＝45°，∠BAF＝90， ∴∠EAF＝150°﹣90°﹣45°＝15°； ②如图，过点A作AM⊥BE于点M， ∵BE∥AD， ∴∠AEM＝∠DAE＝45°， ∵AM⊥BE， ∴∠EAM＝∠AEM＝45°， ∴AM＝EM， ∵∠ABE＝30°，∠AMB＝90°， ∴， 由勾股定理可得，， ∴； （2）证明：如图，延长ED至N，使DN＝DE，连接AN，连接NC交BE于点O， ∵∠ADE＝90°，DN＝DE， ∴AE＝AN， ∴∠AEN＝∠ANE＝45°， ∴∠NAE＝90°＝∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAN， 在△ABE与△ACN中， ， ∴△ABE≌△ACN（SAS）， ∴∠ABE＝∠ACN， ∵∠ABE+∠CBE+∠ACB＝90°， ∴∠CBE+∠ACB+∠ACN＝90°， ∴∠BOC＝90°， ∴BE⊥NC， ∵DN＝DE，点G是EC的中点， ∴DG∥NC， ∴DG⊥BE． 58．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ANM，点B，C的对应点分别为N，M． （1）如图1，当点N落在BC的延长线上时，且∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，求BN的长； （2）如图2，△ABC绕点A顺时针旋转60°转得到△ANM，延长BC交AN于点D，连接BN并延长BN至点F，使得FN＝AD，连接DF，连接AF交MN于点H，猜想线段HN，MH，CD之间存在的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，连接BN，CM，直线CM交BN于点G，点R为BC的中点，连接RG．若∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，在旋转过程中，GR是否存在最小值？若存在，求出GR的最小值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ANM， ∴AB＝AN＝10， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACN＝90°， ∵AC＝6， ∴BC8，CN8， ∴BN＝BC+CN＝16； 即BN的长为16； （2）HN﹣MH＝CD，证明如下： 在NM上取点Q，使NQ＝CD，连接FQ，如图： 由△ABC绕点A顺时针旋60°转得到△ANM得：AN＝AB，∠BAN＝60°， ∴△ABN是等边三角形， ∴∠ANB＝60°， ∴∠FNQ＝180°﹣∠ANB﹣∠ANM＝180°﹣60°﹣∠ANM＝120°﹣∠ANM， 在△ABD中，∠ADB＝180°﹣∠BAN﹣∠ABC＝180°﹣60°﹣∠ABC＝120°﹣∠ABC， 由旋转性质知∠ANM＝∠ABC， ∴∠ADB＝∠FNQ， ∵FN＝AD， ∴△FNQ≌△ADC（SAS）， ∴∠FQN＝∠ACD，FQ＝AC， ∴180°﹣∠FQN＝180°﹣∠ACD，即∠FQH＝∠ACB， 由旋转性质知∠M＝∠ACB， ∴∠FQH＝∠M， ∵AM＝AC， ∴FQ＝AM， ∵∠FHQ＝∠AHM， ∴△FQH≌△AMH（AAS）， ∴QH＝MH， ∵HN﹣QH＝NQ， ∴HN﹣MH＝CD； （3）在旋转过程中，GR存在最小值2，理由如下： 过B作BP∥MN交MC延长线于P，连接NC，如图： ∵△ABC绕点A顺时针旋转得到△ANM， ∴AC＝AM，∠ACB＝∠AMN＝90°，BC＝MN， ∴∠ACM＝∠AMC， 而∠BCP＝180°﹣∠ACB﹣∠ACM＝90°﹣∠ACM， ∠NMP＝∠AMN﹣∠AMC＝90°﹣∠AMC， ∴∠BCP＝∠NMP， ∵BP∥MN， ∴∠P＝∠NMP， ∴∠P＝∠BCP， ∴BP＝BC， ∴BP＝MN， 在△BPG和△NMG中， ， ∴△BPG≌△NMG（AAS）， ∴BG＝NG，即G是BN中点， ∵点R为BC的中点， ∴GR是△BCN的中位线， ∴GRNC， 要使GR最小，只需NC最小， 而AN＝AB＝10，AC＝6， ∴N、C、A共线，NC的最小值为AN﹣AC＝4， ∴GR最小为NC＝2． 59．问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形ABCD的边BC上任意取一点G，以BG为边长向外作正方形BEFG，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转． 特例感知：（1）当BG在BC上时，连接DF，AC相交于点P，小红发现点P恰为DF的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明； （2）小红继续连接EG，并延长与DF相交，发现交点恰好也是DF中点P，如图②．根据小红发现的结论，请判断△APE的形状，并说明理由； 规律探究： （3）如图③，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转α，连接DF，点P是DF中点，连接AP，EP，AE，△APE的形状是否发生改变？请说明理由． 【解答】解：（1）如图1， 延长FG，交AC于H， ∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形， ∴BC＝CD，FG＝BG，CD∥AE，FG∥AE，∠CGH＝∠BGF＝90°， ∴∠CHG＝45°，CD∥FG， ∴∠ACB＝∠CHG，∠CDP＝∠HFP，∠DCP＝∠FHP， ∴CG＝GH， ∴CG+BG＝GH+FG， ∴BC＝FH， ∴CD＝FH， ∴△CDP≌△HFP（ASA）， ∴点P是DF的中点； （2）如图2， △APE是等腰直角三角形，理由如下： 延长EG，交AD的延长线于点M，设DF和EG交于点Q， ∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形， ∴∠BAD＝90°，∠BEG＝45°，AD＝AB，BE＝EF，AD∥BC∥EF，∠BAC＝45°， ∴∠M＝45°，∠M＝∠GEF，∠MDQ＝∠EFQ， ∴∠M＝∠BEG， ∴AM＝AE， ∴AM﹣AD＝AE﹣AB， ∴DM＝BE， ∴DM＝EF， ∴△DQM≌△FQE（ASA）， ∴DQ＝FQ， ∴点Q和点P重合，即：EG与DF的交点恰好也是DF中点P， ∵∠BAC＝45°，∠BEG＝45°， ∴∠APE＝90°，AP＝EP， ∴△APE是等腰直角三角形； （3）如图3， △APE仍然是等腰直角三角形，理由如下： 延长EP至Q，使PQ＝PE，连接DQ，延长DA和FE，交于点N， ∵DP＝PF，∠DPQ＝∠EPF， ∴△PDQ≌△PFE（SAS）， ∴DQ＝EF，∠PQD＝∠PEF， ∴∠N+∠ADQ＝180°， ∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形， ∴∠BAN＝∠DAB＝90°，∠BEN＝∠BEF＝90°，AB＝AD，BE＝EF， ∴∠N+∠ABE＝360°﹣∠BAN﹣∠BEN＝360°﹣90°﹣90°＝180°，DQ＝BE， ∴∠ABE＝∠ADQ， ∴△ADQ≌△ABE（SAS）， ∴AE＝AQ，∠DAQ＝∠BAE， ∴∠BAE+∠BAQ＝∠DAQ+∠BAQ＝∠BAD＝90°， ∴∠QAE＝90°， ∴AP⊥EQ，AP＝PE， ∴△APE是等腰直角三角形． 60．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，MN是过点A的直线，过点C作CD⊥直线MN于点D，连接BD． （1）求∠ADB的度数； （2）如图1，可得线段AD，BD，CD的数量关系为 　CD+ADBD　 ；将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置，线段AD，BD，CD的数量关系是否发生变化，请说明理由． 【解答】解：（1）如图1，在射线DA上截取AE＝CD， ∵CD⊥MN于点D， ∴∠ADC＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∵∠ABC+∠ADC+∠BAD+∠BCD＝360°， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∵∠BAE+∠BAD＝180°， ∴∠BAE＝∠BCD， ∵AB＝CB， ∴△ABE≌△CBD（SAS）， ∴BE＝BD，∠ABE＝∠CBD， ∴∠ABE+∠ABD＝∠CBD+∠ABD＝90°， ∴△BDE是等腰直角三角形， ∴∠ADB＝45°； （2）∵△BDE是等腰直角三角形， ∴DEDE， ∴DC+AD＝AE+AD＝DEBD， 即线段AD，BD，CD的数量关系为CD+ADBD， 直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置，线段AD，BD，CD的数量关系发生变化，关系是CD﹣ADBD，理由如下： 如图2，过点B作BF⊥BD交MN与点F，∠DBF＝90°， ∵CD⊥MN， ∴∠CDF＝90°， ∴∠BFA+∠BDF＝∠BDC+∠BDF＝90°， ∴∠BFA＝∠BDC， ∵∠DBF+∠ABD＝∠ABC+∠ABD＝90°+∠ABD， ∴∠ABF＝∠CBD， ∵AB＝CB， ∴△ABF≌△CBD（AAS）， ∴BF＝BD， ∴DFBD， ∴CD＝AF＝AD+DF＝ADBD， 即CD﹣ADBD； 故答案为：CD+ADBD； 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $