培优01 利用旋转的性质求解（4种题型17重难点突破）（专项训练）数学人教版九年级上册

培优01 利用旋转的性质求解 （4种题型17重难点突破） 题型1 利用旋转的性质求角度 已知旋转，立马得到以下结论： 1）对应点到旋转中心的距离相等； 2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3）旋转前后的图形全等，进而对应边与对应角相等. 【易忽略】 1）旋转一定出等腰三角形. 2）若旋转角为60°，得等边三角形. 3）若旋转角为90°，得等腰直角三角形. 重难点一 旋转后共线 1．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，将绕点旋转到的位置，使顶点恰好在斜边上，与相交于点，则 ． 【答案】/24度 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，以及三角形内角和定理． 根据旋转的性质，得到，，然后利用三角形内角和定理，求出的度数． 【详解】解：由旋转的性质，得，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）如图，中，，，以点为旋转中心顺时针旋转后得到，且点在边上，则旋转角的度数为 °． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理的运用．根据三角形内角和定理可得的度数，根据旋转的性质，可得是等腰三角形，由此即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 绕点旋转得到， ，， ， 在中，， 旋转角的度数为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，将绕点A，逆时针旋转得到，连接，点E恰好在线段上，则的度数为 ．    【答案】/110度 【分析】本题考查平行四边形的性质，旋转的性质，等边对等角，根据旋转的性质，得到，等边对等角，求出的度数，进而求出的度数，根据平行四边形的对角相等，即可得到的度数． 【详解】解：根据旋转可得， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 4．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，．将此三角形绕点按顺时针方向旋转后得到，若点恰好落在线段上，、交于点，则的度数为 ． 【答案】/10度 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，根据旋转，得到，等边对等角，求出的度数，再根据角的和差关系，求出的度数即可． 【详解】解：∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 重难点二 旋转后平行 5．（23-24七年级下·江西宜春·期末）如图，把一副直角三角尺（其中，，）的直角顶点C重合放在一起，且三角尺固定不动，将三角尺绕点C转动，当三角尺有一条边与边平行，且点E在直线上方时，的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质，平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 根据旋转的性质，分类讨论：当时；当时；当时；图形结合，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，， ∴， ∴， ∴； 如图所示，， ∴， ∴， ∴； 如图所示，， ∴； 综上所述，的度数为：或或， 故答案为：或或 ． 6．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理、平行线的性质，由旋转的性质可得，，由等边对等角结合三角形内角和定理可得，最后再由平行线的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由旋转的性质可得：，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转得到，当第一次平行于时，旋转角的度数为 ． 【答案】55 【分析】本题考查旋转的性质，平行线的性质．根据平行线的性质，得到，进而求出的度数，再根据角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点C逆时针旋转得到， ∴旋转角的度数即为的度数，为； 故答案为：55． 8．（24-25八年级下·河南郑州·期中）在中，．在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质可求，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵将绕点A旋转到的位置， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 重难点三 旋转后垂直 9．（24-25八年级下·山西运城·阶段练习）如图，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，．当点恰好落在的延长线上时，，且，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，根据旋转的性质可得，,，进而可得，根据得出，进而根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到，， ∴，, ∴， ∴ 延长交于点， ∵， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，将绕点逆时针方向旋转一定角度得到，使点落在上，与相交于点．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，由旋转可得，，，进而得，，即得，再根据三角形的外角性质解答即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：由旋转可得，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·全国·假期作业）在同一平面内，将两副直角三角板的两个直角顶点重合，并摆成如图所示的形状．已知，，，若保持三角板不动，将三角板绕点A在平面内旋转．当时，的度数为 ． 【答案】或 【详解】本题考查了平行线的性质，三角板中角度计算问题及三角形内角和，根据题意画出图形，再根据平行线的性质以及三角形内角和进行列式，进行计算，即可得出答案． 【分析】解：当时， ∵， 即 ∴， 分以下两种情况：如图1所示， ， ； 如图2所示， ，， ， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或， 根据答案为：或． 12．（18-19七年级下·河南南阳·期末）如图，将绕点逆时针旋转一定角度，得到，若，，且，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，根据旋转的性质得到的度数，再由三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解；由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 重难点四 旋转和多解 13．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如图，一副三角板有公共顶点C，且与重合，其中，，，将三角板绕点C逆时针旋转一周，当直线与直线互相平行时，三角板旋转的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，分在直线的上方和下方两种情况讨论，画出图形，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 当在直线的上方时，如图， ∵， ∴， ∴， 即三角板旋转的度数为， 当在直线的下方时，如图， ∵， ∴， 即三角板旋转的度数为， 三角板旋转的度数为或， 故答案为：或． 14．（24-25九年级下·安徽亳州·开学考试）如图，在中，．O为的中点，将绕着点O逆时针旋转至． （1）求 °； （2）当为等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】 64 或或 【分析】（1）连接，根据直角三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，根据旋转得出，根据等腰三角形的性质得出，最后求出结果即可； （2）分三种情况：时，时，时，分别根据等腰三角形的性质，列出方程，解方程即可． 【详解】解析：（1）连接，如图所示： 在中，，是的中点 ， ， 又， ， ， 又绕着点逆时针旋转角度， ， ， ； 故答案为：64； （2）由（1）得：， ， ， 为等腰三角形，所以有三种情况： ①时， ， ， ； ②时， ， ， ； ③时， ， ， ； 综上所述当为等腰三角形时，的度数为，或． 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，熟练的运用旋转的性质和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半这一性质是解决问题的关键． 15．（24-25七年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，，将绕点旋转至，点、分别与点、对应，如果直线直线，那么的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．根据题意分两种情况讨论，分别画出图形，根据旋转的性质以及等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，当点在上方时，延长交于点D， ∵直线直线， ∴， 由旋转的性质得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，当点在下方时， 同理可得 ∴ 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 题型2 利用旋转的性质求线段长 重难点一 旋转后共线 16．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中， ，将绕点A顺时针旋转得到，点B与点D对应，且C，D，E三点恰好在同一条直线上，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是旋转的性质，等腰三角形的判定与性质及勾股定理，连接，则，得出是等腰直角三角形，由勾股定理得，，进而求出结论． 【详解】解：将绕点A顺时针旋转得到，如图，连接， ∴， ∴，， ∵C，D，E三点在一条直线上， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ∵， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 答案为：． 17．（24-25九年级上·重庆·期末）将绕点A顺时针旋转得到，并使C点的对应点D点落在直线上，连接，若，，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查几何变换的综合应用，涉及等腰三角形的性质与判定，勾股定理逆定理的应用，旋转的性质等知识，解题的关键是掌握旋转的性质．过A作于H，由绕点A顺时针旋转得到，可知，，求出，即可得，故，而，有，从而，即得是等腰直角三角形，得． 【详解】解：过A作于H，如图： ∵绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴； 故答案为：． 18．（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，在中，，，，将绕点旋转，使点落在边上的点处，点落在点处，连接，，延长交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】由旋转的性质和勾股定理，可得，过点作于点，由三角形相似的判定和性质，可得，由等角的余角相等，可得，根据等腰三角形的判定和性质，可得，用勾股定理解直角三角形，可得，从而可求得的长． 【详解】解：如图，过点作于点， 由旋转的性质得，，，， ∵，，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定和性质． 19．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当是以为底的等腰三角形时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质．根据含30度角的直角三角形的性质，可得，再由勾股定理可得，设， 则，由旋转的性质可得，然后在中，利用勾股定理可得x的值，即可求解． 【详解】解：在中，∵， ∴， ∴， 设， 则， 根据题意得：， 由旋转的性质得：， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即． 故答案为： 重难点二 旋转后平行 20．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，中，，，，在边上取一点，使，将绕点旋转，得到，其中的对应点为点，连接，当时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了含直角三角形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质、旋转的性质等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键． 根据直角三角形的性质以及勾股定理可得、、，情形1：当在点右侧时，如图：过A作，运用等面积法可得；如图：当时，过C作，则四边形是矩形，即；由旋转的定义可得；再运用勾股定理求得、，最后求和即可解答．情形2：当在点左侧时，同理可解答． 【详解】解：情形1：当在点右侧时， ∵中，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， 如图：过A作， ∵，即，解得：， 如图：当时，过C作，则四边形是矩形， ∴， ∵将绕点旋转，得到，其中的对应点为点，连接， ∴， ∴，， ∴． 情形2：当在点左侧时， 同理可得，，， ， 综上，或， 故答案为：或． 21．（2025·内蒙古包头·一模）如图，已知正方形的边长为3，、分别是、边上的点，且，将绕点逆时针旋转，得到．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据旋转的性质得出、、三点共线，，，进而得出，然后利用判断出，根据全等三角形的对应边相等得出，设，然后根据勾股定理建立方程，求解即可得出答案． 【详解】解：四边形是正方形 ， 逆时针旋转得到 ，， 又 、、三点共线 在和中 设 ， 在中，由勾股定理得， 即 解得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握以上知识点并利用数形结合思想与方程思想是解题的关键． 22．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，点为平面内一点，，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到，连接，若，则的长为 ． 【答案】5或/或5 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形，熟练掌握旋转性质，等腰直角三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，分类讨论，是解题的关键 根据等腰直角三角形性质和旋转性质可得，得，设直线交于点F．根据平行线性质得，得，可得，当点D在外部时，由．，得，得．当点D在内部时，，得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线交于点F． 当点D在外部时，如图1． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 当点D在内部时，如图2． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长为5或． 故答案为：5或． 重难点三 旋转后垂直 23．（广东省梅州市五华县2024—2025学年下学期八年级期中考试数学卷）如图，在中，，点D在线段上，瓦，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，，垂足为点F，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查等腰直角三角形，旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，证明是解答本题的关键．根据勾股定理先求出边长，再求出长，过点D作，可证，即，在等腰直角中可求，即可直接求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， 根据勾股定理得，， ∴， 又∵， ∴． 过点D作于点M， 则， 由旋转的性质得，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：3． 24．（四川省成都市金牛区四川天府新区十一学校2023-2024学年八年级下学期期中综合素养评价数学试题）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，连接，延长交于点F．若，且，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质，添加辅助线构造特殊三角形和全等三角形，是解题的关键：根据旋转，得到，进而推出，，，作于点，作交的延长线于点，得到均为等腰直角三角形，进而得到，证明，得到，勾股定理得到，再根据线段的和差进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴，，， 作于点，作交的延长线于点， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴； 故答案为：． 25．（陕西省榆林市横山区2024-2025学年下学期八年级7月期末数学试卷）如图，点为直线上方一点，于点，点为直线上一点（不与点重合），将绕点逆时针旋转得到（点、的对应点分别为点、），连接并延长，交于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】先证明是等边三角形，得到，再证明垂直平分．得到．求得，，然后由勾股定理求得，即可由求解． 【详解】解：如图，连接． 由旋转的性质得，． ∴是等边三角形． ∴，， ∵ ∴， ∴垂直平分， ∴， 由旋转的性质得， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 由旋转可得：， ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． 重难点四 旋转和轴对称 26．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，正方形的边长为5，点在的边上，且，与关于所在的直线对称，将按顺时针方向绕点旋转90°得到，连接、，则线段的长为 ．    【答案】 【分析】根据轴对称的性质得到，根据旋转的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，根据正方形的性质得到，最终根据勾股定理得出结论． 【详解】 与关于所在的直线对称， , 将按顺时针方向绕点旋转90°得到， ． ， ． ． ， 四边形是正方形， ， ， , 在中， ． ． 故答案为 ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质以及旋转的性质，对旋转变换中旋转前后的图形全等的理解是解决本题的关键． 27．（21-22九年级上·重庆綦江·期中）如图，在正方形中，，点在边上，且，与关于所在直线对称，将按顺时针方向绕点旋转得到，连接，则线段的长为 ． 【答案】5 【分析】由对称可知△AEM ≌△ADM，继而得到AE=AD=AB=4，连接BM，由△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，可证明△FAE≌△MAB(SAS)，再根据全等三角形对应边相等得到EF=BM，最后根据正方形的性质，解得CM=3，在Rt△BCM中，由勾股定理，解得BM=5，据此解题． 【详解】解：∵△AEM与△ADM关于AM所在直线对称， ∴△AEM ≌△ADM， ∴AE=AD=AB=4， 连接BM，如图， ∵△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF， ∴△ABF≌△ADM， ∴AF=AM,∠FAB=∠MAD， ∴∠FAB=∠MAE， ∴∠FAB+∠BAE=∠MAE+∠BAE， ∴∠FAE=∠MAB， ∴△FAE≌△MAB(SAS)， ∴EF=BM， 在正方形ABCD中， ∴BC=CD=AB=4， ∵DM=1 ∴CM=3 在Rt△BCM中， BM=， ∴EF=5， 故答案为：5. 【点睛】本题考查正方形的性质、旋转、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 28．（2023·福建三明·一模）如图，正方形的边长为8，是边上的动点（不与，重合），与关于直线对称，把绕点顺时针旋转得到，连结，.现有以下结论： ①； ②的最小值为； ③当时，； ④当为中点时，所在直线垂直平分. 其中一定正确的是 .（写出所有正确结论的序号） 【答案】②③ 【分析】如图，连接，根据轴对称的性质得到，，根据旋转的性质得到，．求得，根据全等三角形的性质得到，根据正方形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论； 【详解】解：如图，连接， 与关于所在的直线对称， ， 按顺时针方向绕点旋转得到， ， ， ， ， 故①错误； 当时，有最小值，此时， ， ， 三点共线， 即有最小值时，点在对角线上， ， ， ， ， ， ， ， 故②正确； 在和中， ， （SAS）， ， ∵四边形是正方形， ． ， ， 在Rt中， ， ， 故③正确； 当为中点时，， ， 又， ， 点不在的垂直平分线上， 所在直线不会垂直平分， 故④错误； 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 重难点五 旋转和多解 29．（河南省焦作市2024-2025学年下学期八年级期末数学学情调研试题）如图，中，，，D是的中点，将绕点A逆时针旋转得，连接，当时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意分类讨论，先证明为等腰直角三角形，得出，，根据勾股定理得出，即，分两种情况：当点在点B的左侧时，当点在点B的右侧时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵点D为的中点， ∴， ∴， 根据旋转可知：， 当点在点B的左侧时，过点A作于点E，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 当点在点B的右侧时，过点B作于点E，过点作于点F，如图所示： 则， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴； 综上分析可知：或． 故答案为：或． 30．（24-25九年级下·黑龙江大庆·开学考试）如图，，，点D为的中点，点E在的延长线上，将绕点D顺时针旋转α度（）得到，当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】10或 【分析】此题考查旋转的性质，勾股定理，根据勾股定理可求出，则 ，然后进行分类讨论：①当时，②当时，据此解答． 【详解】解：∵， ∴根据勾股定理可得： ∵， ∴ ， ∵将绕点D顺时针旋转α度（）得到， ∴ ， ∵点D为的中点， ∴ ， ①当时， ∵， ∴， ∴ ； ②当时， 在中， ， 在中， ， 综上：的长为10或． 故答案为：10或． 31．（24-25九年级下·江西·阶段练习）已知中，，，，分别是，的中点，连接，将绕顶点旋转，当点到直线的距离为1时，的长为 ． 【答案】，或 【分析】根据三角形中位线求得，利用勾股定理求得的长度，再利用旋转的性质，根据点到直线的距离为1，分类讨论求解即可． 【详解】解∵中，，，分别是，的中点， ∴为直角三角形    ∵ ∴，， ∴ 若点到直线的距离为1，则可分四种情况进行讨论， ①当点在直线的右侧，点在上方时，如图（1）过点作， ∵点到直线的距离为1， ∴，三点共线， ∵， ∴四边形是矩形 ∴，， ∴ ∴； ②当点在直线的左侧，点在上方时，如图（2）过点作交延长线于点，过点作，则 ∵点到直线的距离为1， ∴ ∴ 由题意可得：四边形为矩形 ∴， ∴ ∴； ③当点在直线的左侧，点在下方时，如图（3） ∵点到直线的距离为1， ∴ ∴四边形为矩形， ∴，三点共线 ∴； ④如图（4）当点在直线的右侧，点在下方时， ，，点到直线的距离为1 可以确定点在线段上，且 则 综上，的长为，或, 故答案为：，或 【点睛】此题考查了旋转的性质，矩形的判定与性质，勾股定理以及三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关性质进行求解． 重难点六 旋转后求坐标 32．（2025·宁夏中卫·二模）如图在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，．把绕点逆时针旋转使与轴重合得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、平面直角坐标系中点的坐标，根据旋转的性质可知，根据全等三角形的性质可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，，从而可知点的坐标为． 【详解】解：如下图所示，过点作，过点作， ， 点的坐标是， ，， 由旋转可知，， ，， 在和中，， ， ，， 点的坐标为． 故答案为：． 33．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，直线，点、点，x轴上一点， 点P为y轴上一动点，把线段绕B点顺时针旋转得到线段，连接． （1）当在y轴上时，则的坐标是 ； （2）当线段长度最小时， 则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据旋转的性质可得是等腰直角三角形，当在y轴上时，，再利用等腰直角三角形的判定得到，再结合的位置即可得出答案； （2）设，过点作轴于点H，证明推出，进而得到，利用勾股定理得到，由此时，长度最小，此时，再利用勾股定理求出线段的长度． 【详解】解：（1）如图， 由旋转的性质得，，， ∴是等腰直角三角形，， ∵在y轴上， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 由图可得，在y轴的负半轴上， ∴； 故答案为：； （2）设，过点作轴于点H， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，长度最小，此时， ∴． 故答案为：． 34．（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，一次函数的图像与轴、轴交于点、，把直线绕点顺时针旋转交轴于点，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得，作，则，过点A作于点E，得，利用勾股定理得，根据点的位置确定坐标即可． 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外角性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：一次函数的图像与轴、轴交于点，把直线绕点顺时针旋转交轴于点， 则,， 则，， ， 作， 则， ， 故， 过点A作于点E， 则，， 故， 故， 故， ， 故点坐标为． 35．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，过点B，C作直线，交x轴于点D． （1）点C的坐标为 ； （2）点为线段上一点，且横坐标为2，若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，则点P的坐标为 ． 【答案】 或或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、求一次函数解析式、一次函数与几何的综合、平行四边形的性质等知识点掌握数形结合思想是解题的关键． （1）先求得，即，；如图：过点C作轴于M，再证明可得、，即可确定点C的坐标； （2）先求得直线的解析式为，易得；设时，以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，然后分为平行四边形的一边和对角线两种情况分别运用平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：（1）当时，；当时，； ∴， ∴，， 如图：过点C作轴于M， ∵将线段绕点A顺时针旋转，得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即， 设时，以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形， 如图：当为平行四边形的一边且点P在x轴上方时，根据平行四边形的对角线相互平分可得： ，解得：，即； 如图：当为平行四边形的一边且点P在x轴下方时，根据平行四边形的对角线相互平分可得： ，解得：，即； 如图：当为平行四边形的对角线时，根据平行四边形的对角线相互平分可得： ，解得：，即． 综上，点P的坐标为或或． 故答案为：或或． 题型3 旋转作图找旋转中心 重难点一 明确对应点，旋转中心唯一 36．（2025·辽宁沈阳·三模）在如图所示的方格纸（格长为个单位长度）中，的顶点都在格点上，将绕某点按顺时针方向旋转得到，点、、的对应点分别是点、、，使各顶点仍在格点上，则其旋转中心是 ，旋转角是 ． 【答案】 点 【分析】连接，，，分别作线段，，的垂直平分线，相交于点，可知绕点顺时针旋转得到，即可得出答案． 本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 【详解】解：连接，，，分别作线段，，的垂直平分线，相交于点， 则绕点顺时针旋转得到， 旋转中心是点，旋转角是． 故答案为：点；． 37．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是 ． 【答案】C点 【分析】分别连接两个三角形的对应点，再分别作它们的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点，即为旋转中心，据此进行作答即可，本题考查了旋转中心，旋转性质，垂直平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解，连接，分别作的垂直平分线，两条垂直平分线的交点在点，如图所示： 故点C为旋转中心， 故答案为：C点 38．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知．将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，画出和旋转中心P，并直接写出旋转中心P的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转作图，先画出旋转的，连接，作的垂直平分线，连接，作的垂直平分线，两直线交于一点即为点P，并写出坐标． 【详解】如图所示． 点P的坐标是． 故答案为：． 重难点二 分类讨论找对应点 39．（21-22九年级上·天津南开·期末）如图，已知点，，，若在所给的网格中存在一点，使得与垂直且相等． （1）点的坐标( ， )；    （2）将直线绕某一点旋转一定角度，使其与线段重合，则此旋转中心到原点的距离是 ． 【答案】 6 6 或/或 【分析】（1）观察坐标系即可得点D坐标； （2）对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心，求出旋转中心坐标，再计算距离即可． 【详解】解：（1）观察图象可知，点D的坐标为， 故答案未：6，6； （2）当点A与C对应，点B与D对应时，如图：    此时旋转中心P的坐标为，到原点的距离是：； 当点A与D对应，点B与C对应时，如图：    此时旋转中心P的坐标为，到原点的距离是：； 故答案为：或． 【点睛】本题考查坐标与图形变化−旋转，点到原点的距离，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． 40．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，小明发现：线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，这个旋转中心的坐标可以是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形变化中的旋转，根据给定点的坐标找出旋转中心的坐标是解题的关键．先证明≌，确定，则可以看作线段绕一点旋转得到线段，作和的垂直平分线交点为作和的垂直平分线交点为，可得结论． 【详解】解：延长交于，建立平面直角坐标系，如图所示： ， ，， ， ， 即， 可以看作线段绕一点旋转得到线段， 如图，作和的垂直平分线交点为，得， 如图，作和的垂直平分线交点为，得 故答案为：或． 41．（24-25九年级上·天津滨海新·期中）如图，已知点，若在所给的网格中存在一点，使得与垂直且相等． （1）直接写出点的坐标 ； （2）将线段绕某一点旋转一定角度，使其与线段重合，则这个旋转中心的坐标为 ． 【答案】 或/或 【分析】本题主要考查作图-旋转变换，掌握旋转变换的性质是解题的关键． （1）根据点D的位置直接写出坐标即可； （2）对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心． 【详解】解：（1）如图可知：． 故答案为：． （2）如图：旋转中心或． 故答案为：或． 题型4 关于旋转的证明和计算 重难点一 对应点在边上（旋转特殊角） 42．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上． (1)根据题意，作(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)； (2)连接，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)图见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． （1）结合旋转的性质，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，以点为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，即可． （2）由旋转得，，，，可得，，，则可得．根据，可得，即． 【详解】（1）解：如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，以点为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，， 则即为所求． （2）． 理由：由旋转得，，，， ，，， ． ， ， ， 即． 43．（24-25九年级上·青海海东·期末）在中，．将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点A、B的对应点分别是点D、E． (1)如图1，当点E恰好落在边上时，求的度数； (2)如图2，当时，点A、E、D在同一条直线上，点F是边的中点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用旋转的性质得，，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，进而计算出的度数； （2）利用直角三角形斜边上的中线性质和含30度的直角三角形三边的关系得到，再根据旋转的性质得到，，，从而得到，和为等边三角形，接着证明得到，然后根据平行四边形的判定方法得到结论． 【详解】（1）解：∵将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点E恰好在上， ∴，，， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵点F是边中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴，，， ∴，和为等边三角形， ∴，， ∵点F为的边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定等，综合性较强，有一定难度，能够综合运用上述知识点是解题的关键． 44．（2024·湖南永州·三模）在中，，．将绕点C顺时针旋转一个角度得到，点A、B的对应点分别为D、E．    (1)若点E恰好落在边上，如图（1），连接，求的大小； (2)若，F为的中点，如图（2），连接，求证：四边形是平行四边形． (3)若，如图（3）．连接，且与分别交于点G、H，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据旋转的性质得到，，再求出，即可得到答案； （2）证明是等边三角形，则，证明，则，即可得到结论； （3）证明，得到，过点A作交于点P，连接，证明四边形是平行四边形， 则是的中点，得到，即可得到． 【详解】（1）∵将绕点C顺时针旋转一个角度得到，点A、B的对应点分别为D、E． ∴， ∴， ∴ （2）∵F为的中点，在中，，将绕点C顺时针旋转一个角度得到， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 由旋转可知， ， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （3）由旋转可知， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 过点A作交于点P，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴是的中点， ∴， ∴ 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、旋转的性质、平行四边形的判定和性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 重难点二 对应点在边上（旋转一般角） 45．（2024九年级上·全国·专题练习）综合与实践 问题情境： 在中，，，．将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点． 初步探究： （）如图，当点恰好落在边上时，连接，求证：． 问题解决： 当旋转一定角度，与交于点（点不与点重合）时， （）如图，若恰好是边的中点，试猜想与的位置关系，并说明理由． （）如图，当时，请直接写出的长． 【答案】（）证明见解析；（），证明见解析；（） 【分析】（）由旋转的性质可得，，，即得，，进而得，即得，即可求证； （）证明即可求解； （）过点作于点，可得，由勾股定理得，进而根据三角形面积得，再利用勾股定理得，最后根据线段的和差 关系即可求解． 【详解】（）证明：由旋转的性质可知，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即； （）解：． 理由：∵是边的中点，， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，， ∴， ∴； （）解：过点作于点， ∵， ∴， 由勾股定理，得， ∴， 由勾股定理得，， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，直角三角形的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键． 重难点三 对应点在边的延长线上（旋转特殊角） 46．（24-25九年级上·吉林松原·期中）如图，是含角的直角三角形尺，且，．将绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到，点B的对应点D恰好落在边上，连接．求证：是等边三角形．    【答案】见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定．根据题意得出是等边三角形，进而求得，根据即可求解． 【详解】解：将绕点按顺时针旋转一定角度得到， ，， 又， 是等边三角形， ， 是等边三角形． 47．（21-22九年级上·贵州黔东南·期末）如图，四边形是正方形，点F是延长线上一点，连接，绕点A旋转一定角度后得到，若，． (1)直接写出旋转角的度数； (2)求的长度； (3)求证直线． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析 【分析】（1）根据旋转的性质可知为旋转角，即可求解； （2）根据旋转的性质可得，，，即可求解； （3）延长交于点，求得，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质可得：为旋转角，所以旋转角为； （2）解：根据旋转的性质可得，，， ∴ （3）解：延长交于点，如图： 由旋转的性质可得： 又∵ ∴ ∴ 【点睛】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，解题的关键是灵活利用旋转的有关性质进行求解． 重难点四 对应点不在边上（旋转特殊角） 48．（24-25八年级下·山东临沂·期末）问题情境： 如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接． 解决问题： (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图，若，，求的长； (3)如图，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明． 【答案】(1)四边形是正方形，理由见解析； (2)； (3)，证明见解析． 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，旋转性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由旋转可知，，，然后由正方形的判定方法即可求解； （）由（）知，，然后由勾股定理和线段和差即可求解； （）过点作，垂足为，则，，然后证明，所以，又，，则，，从而可得． 【详解】（1）解：四边形是正方形，理由： 由旋转可知：，，， 又∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）解：由（）知，， ∵在中，由勾股定理得：， ∴， ∴的长为； （3）解：， 证明：如图，过点作，垂足为， 则，， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 49．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）（1）如图1，在中，，，以为边作等边三角形，将斜边绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接并延长交于点F．则的度数为______； （2）如果将等腰直角三角形改为任意直角三角形（如图2），其他条件不变，猜想的度数，并加以证明． 【答案】（1）（2），证明见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握手拉手模型，是解题的关键： （1）根据等边三角形的性质，旋转的性质，证明，得到，8字形图，得到，即可得出结果； （2）同法（1）即可得出结果． 【详解】解：（1）∵等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 设交于点， ∵， ∴； （2），证明如下： ∵等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 设交于点， ∵， ∴； 50．（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）如图，在等边三角形中，点P在其内部，且，，，将绕点B按逆时针方向旋转得到． (1)求点P与点D之间的距离； (2)求线段的长． 【答案】(1)12 (2)13 【分析】题目主要考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出辅助线是解题关键． （1）连接．根据等边三角形的判定和性质，旋转的性质得出是等边三角形，即可求解； （2）利用等边三角形的性质确定是直角三角形，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接． 是等边三角形， ． 是绕点B逆时针旋转得到的， ， ． ， 是等边三角形． ，即点P与点D之间的距离是12． （2），是等边三角形． ， 是直角三角形， ， ， ． 由（1）知． ． 51．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）如图，在中，，，点为内一点，连接，将绕点逆时针方向旋转得到． (1)连接交于点．若点、、三点共线，求的度数； (2)若，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用证明，得，由点、、三点共线，得，即可解决问题； （2）过作于，利用等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质，勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：当点、、三点共线，如图， 将绕点逆时针方向旋转，使与重合， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 点、、三点共线， ， ； （2）解：过作于，如图， ∵，， ∴ ∵ ∴， ∴， ， ， ， ， ∵ ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 52．（24-25八年级下·山东聊城·期末）在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点P在等边内部，且，，，求的长． (1)【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的证明过程； (2)【理解应用】如图②，在等腰直角中，，P为内一点，，判断，，之间的数量关系，并说明理由； (3)【类比迁移】如图③，小李家有一块三角形的空地，其中，，小李家位于空地旁的P点，通过测量知道：，，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)5 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了旋转、等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理等三角形综合知识，通过旋转构造特殊三角形是解题的关键． （1）根据旋转的性质可证明是等边三角形，再证明直角三角形，继而用勾股定理求解； （2）把绕点C顺时针旋转得到，连接，通过旋转证明是等腰直角三角形，，求出，在中由勾股定理即可求解； （3）将绕点B顺时针旋转，得到，连接，证明点在线段上，，对运用勾股定理求解． 【详解】（1）解：由旋转可知：， 是等边三角形， ， ， 是直角三角形， ； （2）解：，理由如下： 如图，把绕点C顺时针旋转得到，连接， 由旋转可知：， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ∴在中，，即， ； （3）解：如图，将绕点B顺时针旋转，得到，连接， 由旋转可知： ， 是等腰直角三角形， ，， ∵， ∴点在线段上， ， 是直角三角形， ， 的长为． 重难点五 对应点不在边上（旋转一般角） 53．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图①，现有三张形状大小完全相同的三角形纸片叠合到一起，其中，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题，通过小组合作探究，提出问题一展示一集体谈论，解决问题． (1)“希望“小组提出问题： 将图1中的以点C为旋转中心，顺时针旋转角度，得到，再将以点A为旋转中心，逆时针旋转角度，得到，连接DG，得到图②，则四边形的形状是______； (2)“善学”小组提出问题： 将图①中的以点C为旋转中心，顺时针旋转，得到，再将以点A为旋转中心，逆时针旋转，得到，连接AE，DF，DG，得到图③．请判断四边形的形状，并说明理由； (3)老师根据“善学”小组的探究提出问题：如图③，若， ，请求出四边形的面积． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析过程. (2)四边形是正方形，理由见解析过程. (3) 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，旋转的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 由旋转的性质可得，，，，可证，，可得结论； 由旋转的性质可得， ，，利用正方形的方法可得结论； 先证是等边三角形，由等腰三角形的性质可得，由平行四边形的性质得到，过E作于H，过E作于M，根据勾股定理和直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 旋转， ，，，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故答案为：平行四边形； （2）解：四边形是正方形，理由如下： 旋转， ，，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形； （3）解：连接， ， ， 旋转， ，， 四边形是正方形， ，， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 过E作于H， ， ，， ， ， 过E作于M， ， 四边形的面积 54．（24-25八年级下·山西晋中·期末）综合与探究 问题情境：数学课上，老师组织同学们利用两张全等的直角三角形纸片进行图形变换的操作探究，已知，．将和按如图1的方式在同一平面内放置，其中与重合，此时A，B，D三点恰好共线，点A，D在点B异侧． 初步探究：（1）小颖在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点B按逆时针方向旋转角度，延长交延长线于点G．如图2，判断的数量关系并说明理由； 深入探究：（2）小军在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转角度，延长交延长线于点G．如图3，判断，的数量关系并说明理由； 拓展探究：（3）若，．小彬进行了如下的操作：如图4，两个三角形重合，点A，B，C分别与点D，F，E重合，保持不动，绕点B按逆时针方向旋转一周，在整个旋转过程中，若所在直线恰好经过的一个顶点，直接写出此时的长度为______． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）或 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由，得到，得出由，得到，即可求解； （2）先证明，推出，进而得到，再根据，得到，即可求出，从而证明； （3）分两种情况：当经过点时，当所在直线经过点时，分别求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： 连接，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图：连接， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （3）如图，当经过点时，过点作，交的延长线于点，则， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，， 当所在直线经过点时，如图： ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上，的长为或． 55．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． 【认识模型】如图1，和中，，，，连接、．这里与有一个公共的顶点，其中的一个三角形通过旋转可以和另一个三角形重合，我们将这样的图形称为“手拉手模型”． 【理解模型】如图2，点P是等边外一点，．求证：． 聪明的小明同学，想到可以通过辅助线构造“手拉手模型”来解决这个问题，将绕点A逆时针旋转到，使点B与点C重合，只要证得P、C、D三点在同一直线上，进而就可以证明为等边三角形，请你根据小明的思路，写出完整的推理过程． 【变式迁移】如图3，四边形中，，，连接．请直接写出、、之间的数量关系：________． 【构造模型】如图4，在中，，，是外一点，若线段、、满足关系式，则的度数为________，请说明理由． 【答案】【理解模型】证明见解析；【变式迁移】；【构造模型】，理由见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，外角定理，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些知识点，正确添加辅助线是解题的关键； 【理解模型】先证明三点在同一直线上，则是等边三角形，即可得出结论； 【变式迁移】将绕点A逆时顺旋转到，证明三点在同一直线上，证明，再根据勾股定理得出结论； 【构造模型】先证明是等边三角形，将绕点C顺时针旋转到，连接，再证明，根据角的和差关系得出结论； 【详解】解：理解模型：将绕点A逆时针旋转到， ， 是等边三角形，， ， ， ， ， 三点在同一直线上， 是等边三角形， ， ； 变式迁移：将绕点A逆时顺旋转到， ， ， ， ， 三点在同一直线上， ， 是等腰直角三角形， ， ； 构造模型：，， 是等边三角形， 将绕点C顺时针旋转到，连接， ， 是等边三角形， ， ， ． 56．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）数学老师做了一节关于中点问题专题课，喜欢钻研数学的小明同学，借助本节课的所得所获，结合老师课堂所讲习题尝试进行改编，然后交给老师审阅，老师进行了简单修改后，将本题在数学课上分享给全班同学，并对小明同学的钻研精神提出表扬． 【问题展示】 如图1，在中，，，为中点，是延长线上一点，连接，于点，以点为圆心长为半径画弧交延长线于点．求证：． 小刚和小强同学结合课堂所学知识，经过自己的分析得出解题方法，如下： 【经验分享】 小刚同学的解题方法：由为中点，可以构造“平行八字型”，如图2，过点做于点，交于点，同时也得到了“一线三等角”模型，通过两个模型的转化，就可得到和的位置关系； 小强同学的解题方法：由为中点，结合等腰三角形的性质“三线合一”，可以连接得到等腰直角三角形，结合手拉手模型的特征，如图3，过点作交于点；推得的形状，进而得到和的位置关系； 请结合小刚或小强同学的解题方法写出一种解题过程． 【能力提升】 如图4，在中，，将绕点逆时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，交射线、于点、，连接，取中点，连接交于点，连接，，当． 求证：． 【答案】【经验分享】：见解析；【能力提升】：见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 经验分享：小刚解法：证明得出，证明得出，从而推出，求出，即可得证； 小强解法：由等腰直角三角形的性质可得，证明得出，推出，求出即可得证； 能力提升：延长到点，使，连接，证明得出，证明，得出，从而得出垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，由等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】【经验分享】： 小刚解法： ，，， ． ． ． ，． ， ，． 为中点， ． ． ，． ．即． ． 依题知， ． ． 即． 小强解法： ，为中点， ，，． ，， ． ．即． ，， ． ，， ． ． ． ，． ． 依题知， 。 ． 即． 【能力提升】延长到点，使，连接， 依题知，，， ． 为中点， ． ，， ． ，． ． ． ，， ． ，． ． ．即． ， ． 垂直平分． ，． ，． ．即． ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优01 利用旋转的性质求解 （4种题型17重难点突破） 题型1 利用旋转的性质求角度 已知旋转，立马得到以下结论： 1）对应点到旋转中心的距离相等； 2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3）旋转前后的图形全等，进而对应边与对应角相等. 【易忽略】 1）旋转一定出等腰三角形. 2）若旋转角为60°，得等边三角形. 3）若旋转角为90°，得等腰直角三角形. 重难点一 旋转后共线 1．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，将绕点旋转到的位置，使顶点恰好在斜边上，与相交于点，则 ． 2．（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）如图，中，，，以点为旋转中心顺时针旋转后得到，且点在边上，则旋转角的度数为 °． 3．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，将绕点A，逆时针旋转得到，连接，点E恰好在线段上，则的度数为 ．    4．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，．将此三角形绕点按顺时针方向旋转后得到，若点恰好落在线段上，、交于点，则的度数为 ． 重难点二 旋转后平行 5．（23-24七年级下·江西宜春·期末）如图，把一副直角三角尺（其中，，）的直角顶点C重合放在一起，且三角尺固定不动，将三角尺绕点C转动，当三角尺有一条边与边平行，且点E在直线上方时，的度数为 ． 6．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为 ． 7．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转得到，当第一次平行于时，旋转角的度数为 ． 8．（24-25八年级下·河南郑州·期中）在中，．在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则的度数为 ． 重难点三 旋转后垂直 9．（24-25八年级下·山西运城·阶段练习）如图，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为点，．当点恰好落在的延长线上时，，且，则的度数为 ． 10．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，将绕点逆时针方向旋转一定角度得到，使点落在上，与相交于点．若，，则的度数为 ． 11．（24-25七年级下·全国·假期作业）在同一平面内，将两副直角三角板的两个直角顶点重合，并摆成如图所示的形状．已知，，，若保持三角板不动，将三角板绕点A在平面内旋转．当时，的度数为 ． 12．（18-19七年级下·河南南阳·期末）如图，将绕点逆时针旋转一定角度，得到，若，，且，则的度数为 ． 重难点四 旋转和多解 13．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如图，一副三角板有公共顶点C，且与重合，其中，，，将三角板绕点C逆时针旋转一周，当直线与直线互相平行时，三角板旋转的度数为 ． 14．（24-25九年级下·安徽亳州·开学考试）如图，在中，．O为的中点，将绕着点O逆时针旋转至． （1）求 °； （2）当为等腰三角形时，的度数为 ． 15．（24-25七年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，，将绕点旋转至，点、分别与点、对应，如果直线直线，那么的度数是 ． 题型2 利用旋转的性质求线段长 重难点一 旋转后共线 16．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中， ，将绕点A顺时针旋转得到，点B与点D对应，且C，D，E三点恰好在同一条直线上，则的长为 ． 17．（24-25九年级上·重庆·期末）将绕点A顺时针旋转得到，并使C点的对应点D点落在直线上，连接，若，，，则的长为 ． 18．（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，在中，，，，将绕点旋转，使点落在边上的点处，点落在点处，连接，，延长交于点，则的长为 ． 19．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当是以为底的等腰三角形时，的长为 ． 重难点二 旋转后平行 20．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，中，，，，在边上取一点，使，将绕点旋转，得到，其中的对应点为点，连接，当时，的长为 ． 21．（2025·内蒙古包头·一模）如图，已知正方形的边长为3，、分别是、边上的点，且，将绕点逆时针旋转，得到．若，则的长为 ． 22．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，点为平面内一点，，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到，连接，若，则的长为 ． 重难点三 旋转后垂直 23．（广东省梅州市五华县2024—2025学年下学期八年级期中考试数学卷）如图，在中，，点D在线段上，瓦，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，，垂足为点F，则的长为 ． 24．（四川省成都市金牛区四川天府新区十一学校2023-2024学年八年级下学期期中综合素养评价数学试题）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，连接，延长交于点F．若，且，则的长是 ． 25．（陕西省榆林市横山区2024-2025学年下学期八年级7月期末数学试卷）如图，点为直线上方一点，于点，点为直线上一点（不与点重合），将绕点逆时针旋转得到（点、的对应点分别为点、），连接并延长，交于点．若，，则的长为 ． 重难点四 旋转和轴对称 26．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，正方形的边长为5，点在的边上，且，与关于所在的直线对称，将按顺时针方向绕点旋转90°得到，连接、，则线段的长为 ．    27．（21-22九年级上·重庆綦江·期中）如图，在正方形中，，点在边上，且，与关于所在直线对称，将按顺时针方向绕点旋转得到，连接，则线段的长为 ． 28．（2023·福建三明·一模）如图，正方形的边长为8，是边上的动点（不与，重合），与关于直线对称，把绕点顺时针旋转得到，连结，.现有以下结论： ①；②的最小值为；③当时，；④当为中点时，所在直线垂直平分.其中一定正确的是 .（写出所有正确结论的序号） 重难点五 旋转和多解 29．（河南省焦作市2024-2025学年下学期八年级期末数学学情调研试题）如图，中，，，D是的中点，将绕点A逆时针旋转得，连接，当时，的长为 ． 30．（24-25九年级下·黑龙江大庆·开学考试）如图，，，点D为的中点，点E在的延长线上，将绕点D顺时针旋转α度（）得到，当是直角三角形时，的长为 ． 31．（24-25九年级下·江西·阶段练习）已知中，，，，分别是，的中点，连接，将绕顶点旋转，当点到直线的距离为1时，的长为 ． 重难点六 旋转后求坐标 32．（2025·宁夏中卫·二模）如图在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，．把绕点逆时针旋转使与轴重合得到，则点的坐标为 ． 33．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，直线，点、点，x轴上一点， 点P为y轴上一动点，把线段绕B点顺时针旋转得到线段，连接． （1）当在y轴上时，则的坐标是 ； （2）当线段长度最小时， 则线段的长度为 ． 34．（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，一次函数的图像与轴、轴交于点、，把直线绕点顺时针旋转交轴于点，则点坐标为 ． 35．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，过点B，C作直线，交x轴于点D． （1）点C的坐标为 ； （2）点为线段上一点，且横坐标为2，若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，则点P的坐标为 ． 题型3 旋转作图找旋转中心 重难点一 明确对应点，旋转中心唯一 36．（2025·辽宁沈阳·三模）在如图所示的方格纸（格长为个单位长度）中，的顶点都在格点上，将绕某点按顺时针方向旋转得到，点、、的对应点分别是点、、，使各顶点仍在格点上，则其旋转中心是 ，旋转角是 ． 37．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是 ． 38．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知．将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，画出和旋转中心P，并直接写出旋转中心P的坐标为_______． 重难点二 分类讨论找对应点 39．（21-22九年级上·天津南开·期末）如图，已知点，，，若在所给的网格中存在一点，使得与垂直且相等． （1）点的坐标( ， )；    （2）将直线绕某一点旋转一定角度，使其与线段重合，则此旋转中心到原点的距离是 ． 40．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，小明发现：线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，这个旋转中心的坐标可以是 ． 41．（24-25九年级上·天津滨海新·期中）如图，已知点，若在所给的网格中存在一点，使得与垂直且相等． （1）直接写出点的坐标 ； （2）将线段绕某一点旋转一定角度，使其与线段重合，则这个旋转中心的坐标为 ． 题型4 关于旋转的证明和计算 重难点一 对应点在边上（旋转特殊角） 42．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上． (1)根据题意，作(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)； (2)连接，判断与的位置关系，并说明理由． 43．（24-25九年级上·青海海东·期末）在中，．将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点A、B的对应点分别是点D、E． (1)如图1，当点E恰好落在边上时，求的度数； (2)如图2，当时，点A、E、D在同一条直线上，点F是边的中点，求证：四边形是平行四边形． 44．（2024·湖南永州·三模）在中，，．将绕点C顺时针旋转一个角度得到，点A、B的对应点分别为D、E．    (1)若点E恰好落在边上，如图（1），连接，求的大小； (2)若，F为的中点，如图（2），连接，求证：四边形是平行四边形． (3)若，如图（3）．连接，且与分别交于点G、H，求证：． 重难点二 对应点在边上（旋转一般角） 45．（2024九年级上·全国·专题练习）综合与实践 问题情境：在中，，，．将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点． 初步探究：（）如图，当点恰好落在边上时，连接，求证：． 问题解决：当旋转一定角度，与交于点（点不与点重合）时， （）如图，若恰好是边的中点，试猜想与的位置关系，并说明理由． （）如图，当时，请直接写出的长． 重难点三 对应点在边的延长线上（旋转特殊角） 46．（24-25九年级上·吉林松原·期中）如图，是含角的直角三角形尺，且，．将绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到，点B的对应点D恰好落在边上，连接．求证：是等边三角形．    47．（21-22九年级上·贵州黔东南·期末）如图，四边形是正方形，点F是延长线上一点，连接，绕点A旋转一定角度后得到，若，． (1)直接写出旋转角的度数； (2)求的长度； (3)求证直线． 重难点四 对应点不在边上（旋转特殊角） 48．（24-25八年级下·山东临沂·期末）问题情境： 如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接． 解决问题：(1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图，若，，求的长； (3)如图，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明． 49．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）（1）如图1，在中，，，以为边作等边三角形，将斜边绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接并延长交于点F．则的度数为______； （2）如果将等腰直角三角形改为任意直角三角形（如图2），其他条件不变，猜想的度数，并加以证明． 50．（24-25九年级下·江西宜春·阶段练习）如图，在等边三角形中，点P在其内部，且，，，将绕点B按逆时针方向旋转得到． (1)求点P与点D之间的距离； (2)求线段的长． 51．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）如图，在中，，，点为内一点，连接，将绕点逆时针方向旋转得到． (1)连接交于点．若点、、三点共线，求的度数； (2)若，，，求的长． 52．（24-25八年级下·山东聊城·期末）在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点P在等边内部，且，，，求的长． (1)【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的证明过程； (2)【理解应用】如图②，在等腰直角中，，P为内一点，，判断，，之间的数量关系，并说明理由； (3)【类比迁移】如图③，小李家有一块三角形的空地，其中，，小李家位于空地旁的P点，通过测量知道：，，，请直接写出线段的长． 重难点五 对应点不在边上（旋转一般角） 53．（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图①，现有三张形状大小完全相同的三角形纸片叠合到一起，其中，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题，通过小组合作探究，提出问题一展示一集体谈论，解决问题． (1)“希望“小组提出问题： 将图1中的以点C为旋转中心，顺时针旋转角度，得到，再将以点A为旋转中心，逆时针旋转角度，得到，连接DG，得到图②，则四边形的形状是______； (2)“善学”小组提出问题： 将图①中的以点C为旋转中心，顺时针旋转，得到，再将以点A为旋转中心，逆时针旋转，得到，连接AE，DF，DG，得到图③．请判断四边形的形状，并说明理由； (3)老师根据“善学”小组的探究提出问题：如图③，若， ，请求出四边形的面积． 54．（24-25八年级下·山西晋中·期末）综合与探究 问题情境：数学课上，老师组织同学们利用两张全等的直角三角形纸片进行图形变换的操作探究，已知，．将和按如图1的方式在同一平面内放置，其中与重合，此时A，B，D三点恰好共线，点A，D在点B异侧． 初步探究：（1）小颖在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点B按逆时针方向旋转角度，延长交延长线于点G．如图2，判断的数量关系并说明理由； 深入探究：（2）小军在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转角度，延长交延长线于点G．如图3，判断，的数量关系并说明理由； 拓展探究：（3）若，．小彬进行了如下的操作：如图4，两个三角形重合，点A，B，C分别与点D，F，E重合，保持不动，绕点B按逆时针方向旋转一周，在整个旋转过程中，若所在直线恰好经过的一个顶点，直接写出此时的长度为______． 55．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． 【认识模型】如图1，和中，，，，连接、．这里与有一个公共的顶点，其中的一个三角形通过旋转可以和另一个三角形重合，我们将这样的图形称为“手拉手模型”． 【理解模型】如图2，点P是等边外一点，．求证：． 聪明的小明同学，想到可以通过辅助线构造“手拉手模型”来解决这个问题，将绕点A逆时针旋转到，使点B与点C重合，只要证得P、C、D三点在同一直线上，进而就可以证明为等边三角形，请你根据小明的思路，写出完整的推理过程． 【变式迁移】如图3，四边形中，，，连接．请直接写出、、之间的数量关系：________． 【构造模型】如图4，在中，，，是外一点，若线段、、满足关系式，则的度数为________，请说明理由． 56．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）数学老师做了一节关于中点问题专题课，喜欢钻研数学的小明同学，借助本节课的所得所获，结合老师课堂所讲习题尝试进行改编，然后交给老师审阅，老师进行了简单修改后，将本题在数学课上分享给全班同学，并对小明同学的钻研精神提出表扬． 【问题展示】 如图1，在中，，，为中点，是延长线上一点，连接，于点，以点为圆心长为半径画弧交延长线于点．求证：． 小刚和小强同学结合课堂所学知识，经过自己的分析得出解题方法，如下： 【经验分享】 小刚同学的解题方法：由为中点，可以构造“平行八字型”，如图2，过点做于点，交于点，同时也得到了“一线三等角”模型，通过两个模型的转化，就可得到和的位置关系； 小强同学的解题方法：由为中点，结合等腰三角形的性质“三线合一”，可以连接得到等腰直角三角形，结合手拉手模型的特征，如图3，过点作交于点；推得的形状，进而得到和的位置关系； 请结合小刚或小强同学的解题方法写出一种解题过程． 【能力提升】 如图4，在中，，将绕点逆时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，交射线、于点、，连接，取中点，连接交于点，连接，，当． 求证：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$