几何图形中的旋转综合问题典型题型归纳专项练-2025-2026学年 人教版九年级 数学上册

几何图形中的旋转综合问题 一、线段的旋转 1,如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=a,点D在边BC上（不与点B,C重合），连接AD,以点A 为中心，将线段AD逆时针旋转180°-α得到线段AE,连接BE. B D (I)∠BAC+∠DAE=°： (2)取CD中点F,连接AF,用等式表示线段AF与BE的数量关系，并证明. 2.已知∠MAN=a(0°<a<45),点B,C分别在射线AN,AM上，将线段BC绕点B顺时针旋转180°-2a 得到线段BD,过点D作AN的垂线交射线AM于点E. M M B DN B 图1 图2 (1)如图1，当点D在射线AN上时，求证：C是AE的中点； (2)如图2，当点D在∠MAN内部时，作DF∥AN,交射线AM于点F,用等式表示线段EF与AC的数量 关系，并证明. 二、直角三角形的旋转 3.综合与探究 【问题情境】探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，数学课上，同学们用两个全等的直角三角形进行 探究 C (E) B(F C (E) B(F)CE) 图1 图2 备用图 【探索发现】 (1)如图1，已知Rt△ABC≌Rt△DEF,∠ACB=∠DFE=90°，AC=DF=4,BC=EF=3,将点B与F 重合，点C与点E重合，AB与CD交于点O,发现此时线段OA=OD,请尝试证明. 【猜想证明】 (2)如图2，将Rt△DEF绕点C(E)逆时针旋转，点D,F的对应点分别为D,F,当点F落在线段AB上 时，连接AD',试判断四边形ABCD'的形状，并说明理由. 【深入探究】 (3)在Rt△DEF旋转过程中，当EF'∥AB时，直接写出线段BF'的长度. 4.综合与实践 数学活动课上，同学们对两个完全相同的直角三角形纸片（如图1）围绕拼接、平移、旋转开展操作研究. D 3 3 ◇ 300 30 B E 图1 【活动一】拼接 (1)将两个三角形纸片按图2方式进行拼接（点A与点F重合，点C与点D重合），求四边形ABCE的周 长； E A(F) h C(D) 图2 【活动二】平移 (2)在图2中，将ABC纸片沿射线FE的方向平移.在平移过程中，两个纸片的重叠部分为四边形 AMDN,如图3所示. E 分 M N C D B 图3 ①求证：四边形AMDN是平行四边形； ②若点A为EF的中点，则四边形AMDN的周长为 【活动三】旋转 (3)在图3中，当点A为EF的中点时，将△DEF绕点F顺时针旋转一周.在旋转过程中，若两个纸片的 重叠部分为等腰三角形，直接写出旋转角的度数 B 备用图 三、等腰三角形的旋转 5.【问题背景】如图①，在ABC和ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°，连接BD, CE. 图① 图② 【特例研究】 (I)当点D在AB上，DE∥BC时，BD与CE的数量关系为 【拓展探究】 (2)将ADE绕点A旋转至图②位置，(1)中结论是否成立？说明理由： 【迁移应用】 (3)将ADE绕点A旋转，当BD⊥DE时，若AB=2√5，AD=2,CE= 6.综合与实践 已知等边三角形ABC中，点D,E分别在BC,AC边上，且CD=CE,将△CDE绕点C旋转，连接BD, AE. 【问题背景】 (1)如图①，当点D,E分别在BC,AC边上时，线段AE和BD的数量关系为 【问题迁移】 (2)当△CDE旋转到如图②的位置时，线段AE和BD的数量关系为 ;∠EAC和∠DBC的数量关 系为 并说明理由； 【问题拓展】 (3)当点D旋转到线段AE上时，如图③所示，若AC=6,CE=25,则BD的长为 ④若4C=6,CE)则在ACDE旋转的过程中，当AE∥BC时，AE的长为 B B D 图① 图② 图③ 四、菱形的旋转 7.如图1，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=4,连接AC,BD交于点M. M 图1 图2 备用图 (1)求菱形ABCD的面积； (2)如图2，将菱形ABCD绕着点A逆时针旋转(0°<<360)，得到菱形AEFG,点B,C,D,M的对 应点分别为E,F,G,N. ①当点E落在AC上时，判断EF与CD的位置关系，并说明理由； ②连接MN,当MN平行于菱形ABCD一边时，求出a的值： (3)在(2)的条件下，连接FD,当FD垂直于菱形ABCD的一边时，直接写出FD的长。 8.在菱形ABCD中，LABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边APE,点E的位置 随点P的位置变化而变化 E B C 图1 图2 图3 (I)如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE,则BP与CE的数量关系是二，CE与AD的 位置关系是 (2)如图2，当点P、E都在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立， 请说明理由， (3)如图3，若四边形ABCD为正方形，点P在对角线BD上，PE⊥AP,交边CD于点E,连接AE交BD于 点F.请求出∠PAE的度数并直接写出线段BP、PF、DF之间的数量关系 五、矩形的旋转 9.如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(O°<a<90),得到矩形AEFG,点F恰好落在CD的延长线上. D E B (1)证明：FD=CD: (2)证明：DE的延长线经过点B. 10.综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动，探究求某条线段长度的不同方法， 体验数学的无穷魅力. 已知矩形ABCD,AB=5,BC=3,将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转a(0°<a<I80),得到矩形AGFE ,点B的对应点是点G,点C的对应点是点F,点D的对应点是点E,连接BG. 图1 图2 图3 图4 (1)操作发现： 如图1，当a=60°时，BG=一，如图2，当a=90°时，BG=一： (2)初步探究： 如图3，当边EF经过点B时，求BG的长； (3)拓展延伸： 如图4，若AB=a,BC=b,当点F落在CB的延长线上时，直接写出四边形AGFB的面积和BG的长.（结 果用含a,b的式子表示) 六、正方形的旋转 I1.如图1，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点C在边DE上，连接AE,GC. D A D B B F 图1 图2 (I)AE与GC的位置关系是-； (2)将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE,GC,AE与 GC有怎样的位置关系？并证明你的结论 12.如图①，四边形ABCD与四边形AEFG是共一个顶点的两个大小不同的正方形 G B 图① 图② 图③ 图④ 【操作发现】 (I)如图②，正方形AEFG绕点A逆时针旋转，使点E落在边AD上，线段BE与DG的数量关系是 ∠ABE与∠ADG的关系是 【猜想证明】 (2)如图③，正方形AEFG绕点A逆时针旋转某一角度(0<a<90)时，猜想(1)中的结论是否成立？ 并证明你的结论 【拓展应用】 (3)如图④，正方形AEFG绕点A逆时针旋转，使点F落在直线AD上，当AB=3,AE=√2时，直接写出 GD的长度. 答案 一、线段的旋转 1.(1)解：根据题意得∠BAC=a,∠DAE=180°-a ∴∠BAC+∠DAE=a+180°-a=180°， 故答案为：180°； (2)解：如下图所示，延长CA至点G,使AG=CA,连接DG, :F为CD中点， ∴AF是△CGD的中位线， G 、A D F .AF=三GD, .∠BAC=a, .∠GAB=180°-a. ∠DAE=180°-a, .LGAB=∠DAE, .∠GAD=∠BAE, :AB=AC, .AG =AB. AD=AE, .△GAD≌△BAE(SAS), ∴GD=BE, AF-BE 2.(1)证明：连接CD, M 2 A B DN 由题意得：BC=BD,∠CBD=180°-2a, ∠BDC=∠BCD, ∠BDC+∠BCD+∠CBD=I80°， ∠BDC=180°-180°-2a) =0, ∠BDC=∠A, :CA=CD :DN⊥AN, .∠1+LA=L2+∠BDC=90°， ∠1=∠2， :CD =CE, ..CA=CE, :点C是AE的中点； (2)解：EF=2AC,理由如下： 在射线AM上取点H,使得BH=BA,取EF的中点G,连接DG, M E H G F BH BA, B N ∠BAH=LBHA=&, :∠ABH=180°-2a=∠CBD, .∠ABC=∠HBD, :BC BD △ABC≌aHBD(SAS), :AC=DH,∠BHD=LA=a, .∠FHD=∠BHA+∠BHD=2a, DF∥AN, :.∠EFD=∠A=a,∠EDF=∠3=90°， G是EF的中点， :GF=GD,EF =2GD, .∠GFD=∠GDF=a, .∠HGD=2a, LHGD=∠FHD, :.DG=DH, :AC =DH, .DG=AC, :EF =2AC. 二、直角三角形的旋转 3. (1)证明：：Rt△ABC≌Rt△DEF, ∴AB=CD,∠ABC=∠DCB, .0C=0B, .AB-OB=CD-0C, 即0A=0D: (2)解：四边形ABCD'是平行四边形，理由如下： :Rt△ABC≌Rt△DEF, AB=DE,∠ABC=∠DEF, 由旋转得：DE=D'C,∠DEF=∠D'CF,CF=CF', AB=D'C,∠ABC=∠D'CF', CB=CF', ∠ABC=∠CFB, ∠CFB=∠D'CF', .AB∥CD', .四边形ABCD'是平行四边形； (3)如图3，将Rt△DEF绕点C(E)逆时针旋转，点D,F的对应点分别为D,F, D HC(E) B (F 图3 ∴.∠F'CD'=∠DCB, :EF"∥AB, ∠ABC=∠F'CD', ·D,C,B三点共线， 过F作FH⊥D'C, :CF'=BC=3,D'F'=DB=4, ·CD'=V32+42=5, .FH=D'F".F'C_3x4 12 CD' 55 CH=CFR -FH2= ·BH=BC+CH=24 BF=VFH+BH=1215 5 如图4，将Rt△DEF绕点C(E)逆时针旋转，点D,F的对应点分别为D,F, D H E入 F 图4 △EFD'≌aEBD, ∠DEB=∠D'EF', :EF'∥AB, .∠D'EF'=∠ABC, .C,B,D三点共线， :过F作FH⊥D'C, :CF'=BC=3,D'F'=DB=4, CD'=V32+42=5, FH=DF',FC=3×4_12 CD'55 CH=VCF-FH=, 24 .BH=BC+CH= 51