精品解析：广西壮族自治区南宁市第四十七中学 2025-2026学年上学期10月月考九年级数学试题

2025年秋季学期南宁市第四十七中学九年级数学学科知识竞赛试题 数 学 第I卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 在下列四个图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列函数中，是的二次函数的是（） A. B. C. D. 3. 如图，将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针旋转90°后，得到的图形为（　　） A. B. C. D. 4. 平面直角坐标系内，点M关于原点对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形为的内接四边形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线y x2先向左平移5个单位，再向下平移4个单位，得到新抛物线的解析式是（ ） A. y=-4 B. y=+4 C. y=-4 D. y=+4 7. 如图，点、、在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是方程的两根，则的值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 9. 如图，是半径，是的弦，且于点，若，则弦的长是（ ）. A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 10. 已知二次函数y=2x2﹣12x+19，下列结果中正确的是（　　） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线x=﹣3 C. 其最小值为1 D. 当x＜3时，y随x的增大而增大 11. 在“双减”政策的推动下，我区某中学学生每天书面作业时长明显减少，2022 年下学期平均每天书面作业时长为90分钟，经过2023年上学期和2023年下学期两次调整后，2023年下学期平均每天书面作业时长为70分钟，设该校这两学期平均每天书面作业时长每学期的下降率为x，则可列方程为( ) A. B. C. D. 12. 某校计划举办九年级毕业典礼，想在现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“毕”“业”“典”“礼”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，如图2所示，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 第II卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 14. 分解因式：___________________． 15. 如图，正六边形螺帽的边长是，那么这个扳手的开口的值是______． 16. 如图，边长为2的正，两顶点A、B 分别在直角的两边上滑动，点C在的内部，则的长的最大值为________； 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算： （2）解方程： 18. 如图，平行四边形中，点在上． （1）请用无刻度的直尺和圆规作于点．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，连接，求证：四边形是矩形． 19. 某中学为了解七、八年级学生对环保知识的掌握情况，进行了环保知识竞赛（百分制），从中分别随机抽取了10名学生的成绩，整理分析如下，共分成四组：A（），B（），C（），D（）． 材料一：七年级10名学生的成绩是：90，80，85，86，90，90，94，95，95，75； 材料二：八年级10名学生的成绩是：79，82，83，84，85，90，92，95，95，95． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 88 a b 八年级 88 c 95 问题： （1）直接写出上述a，b，c的值：______，______，______； （2）你认为这次竞赛中哪个年级成绩更好？请说明理由； （3）若该校八年级共1000人参加了此次竞赛活动，估计竞赛成绩优秀（）的八年级学生有多少人？ 20. 某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低.若该果园每棵果树产果y(千克)，增种果树x(棵)，它们之间的函数关系如图所示. (1)求y与x之间的函数关系式. (2)在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实7000千克. (3)当增种果树多少棵时，果园的总产量w(千克)最大？此时每棵果树的产量是多少？ 21. 如图，是的直径，弦平分，过点作于点． （1）求证：是的切线； （2）已知点是半圆上一点，连接，若，且，求的半径． 22. 【课题学习】 学习主题：探究电流最值 课题背景：数学在电工电子中有着广泛的应用，可以帮助工程师进行电路设计和分析，控制系统设计，信号处理等工作，这些工作需要遵循物理学的规律，我们知道函数是描述变化规律的一种数学模型，欧潭数学探究小组受电流和电压间关系式的启发，以探究“探究电流最值”为主题展开项目式学习． 学习素材： 名称 内容 备注 素材1 用总长的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积随矩形一边长的变化而变化． 课本例题 素材2 观察下列两个数的乘积，说明其中哪个积最大． ，，，，…，， 课本数学活动 素材3 串联电路的总电阻等于各串联电阻之和： 并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和； 电压一定的情况下，电流与电阻成反比关系． 物理学知识 研究步骤： 1.画出电路图．在如图1所示的电路中，，，滑动变阻器的最大电阻，其等效电路图如图2所示，其中． 2.根据电路图连结实验器材，图略． 3.闭合开关，在滑片从端滑到端的过程中，观察电流表的示数，记录相关数据． 解决问题： （1）在素材1中，当 时，场地的面积最大； （2）推测素材2中哪个式子的积最大，并用函数知识说明理由； （3）电流表表示数是否存在最小值，若存在，求出电流表示数的最小值．若不存在请说明理由． 23. 【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题．请托里拆利解答：如图①，给定不在一条直线上的三个点A、B、C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们为了纪念他们，就把平面上到一个三角形的三个顶点A、B、C距离之和最小的点称为的费马—托里拆利点． 【问题解决】证明：如图②，把绕点A逆时针旋转得到，连接， ∴ ∴为等边三角形， ∴， ∴ 点可看成是线段绕A点逆时针旋转而得的定点，为定长． ∴当B、P、、C′四点在同一直线上时，最小． （1）观察图②中、和，试猜想这三个角的大小关系． （2）【类比探究】如图③，在直角三角形内部有一动点P，，，连接，若．求的最小值； （3）【拓展应用】已知正方形内一动点P到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求出此正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期南宁市第四十七中学九年级数学学科知识竞赛试题 数 学 第I卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 在下列四个图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 2. 下列函数中，是的二次函数的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义：形如（a、b、c是常数，）的函数叫二次函数，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A．是一次函数，故不符合题意； B． 是二次函数，故符合题意； C． 是反比例函数，故不符合题意； D． 是一次函数，故不符合题意； 故选：B． 3. 如图，将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针旋转90°后，得到的图形为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：顺时针90°后，AD转到AB边上，所以，选A． 考点：旋转的特征 4. 平面直角坐标系内，点M关于原点对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于原点的对称点，横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】平面直角坐标系内，点M（1，−2）关于原点对称点的坐标是（−1，2）， 故选：D． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（−x，−y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数． 5. 如图，四边形为的内接四边形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，由圆内接四边形性质得，即可求解；掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：四边形为的内接四边形， ， ， 故选：A． 6. 将抛物线y x2先向左平移5个单位，再向下平移4个单位，得到新抛物线的解析式是（ ） A. y=-4 B. y=+4 C. y=-4 D. y=+4 【答案】A 【解析】 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线y=先向左平移5个单位，再向下平移4个单位所得直线解析式为：y=-4． 故选：A． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与平移，熟知函数图象平移的规律是解答此题的关键． 7. 如图，点、、在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，根据圆周角定理，求出的度数，等边对等角求出的度数即可． 【详解】解：∵点、、在上，， ∴，， ∴； 故选B． 8. 已知是方程的两根，则的值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是掌握一元二次方程的根与系数的关系． 直接根据一元二次方程的根与系数的关系求解． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴， 故选：C． 9. 如图，是半径，是的弦，且于点，若，则弦的长是（ ）. A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，先求出，由垂径定理可得，由勾股定理得出，即可得出答案，熟练掌握垂径定理以及勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， 是的弦，且于点， ，， ， ， 故选：C． 10. 已知二次函数y=2x2﹣12x+19，下列结果中正确的是（　　） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线x=﹣3 C. 其最小值为1 D. 当x＜3时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断即可解答． 【详解】∵二次函数y=2x2﹣12x+19=2（x﹣3）2+1， ∴开口向上，顶点为（3，1），对称轴为直线x=3，有最小值1，当x＞3时，y随x的增大而增大，当x＜3时，y随x的增大而减小； 所以C选项正确． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟记性质是解题的关键． 11. 在“双减”政策的推动下，我区某中学学生每天书面作业时长明显减少，2022 年下学期平均每天书面作业时长为90分钟，经过2023年上学期和2023年下学期两次调整后，2023年下学期平均每天书面作业时长为70分钟，设该校这两学期平均每天书面作业时长每学期的下降率为x，则可列方程为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设该校这两学期平均每天书面作业时长每学期的下降率为x，根据“2022 年下学期平均每天书面作业时长为90分钟，经过2023年上学期和2023年下学期两次调整后，2023年下学期平均每天书面作业时长为70分钟，”即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：，设该校这两学期平均每天书面作业时长每学期的下降率为x，根据题意得： ． 故选：D 12. 某校计划举办九年级毕业典礼，想在现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“毕”“业”“典”“礼”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，如图2所示，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再由题意得出点的横坐标为2，代入抛物线计算即可得解． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系． 由题意可得点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为， 故设抛物线的解析式为， 将点的坐标代入上式，得， 解得：， 抛物线的解析式为． 点的横坐标为2， 点的纵坐标为， 点到的距离为． 第II卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，直接根据二次根式有意义的条件作答即可，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴的取值范围是， ∴， 故答案为：． 14. 分解因式：___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，掌握提取公因式法是解决问题的关键，用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】． 故答案为：． 15. 如图，正六边形螺帽的边长是，那么这个扳手的开口的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质．由螺帽是正六边形，可得是含角的直角三角形，再根据即可求出和． 【详解】解：如图，连接,则，过点作于 螺帽是正六边形 ， , ． 故答案为：． 16. 如图，边长为2的正，两顶点A、B 分别在直角的两边上滑动，点C在的内部，则的长的最大值为________； 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的三边关系，根据题意作出辅助线判定出当、、三点共线时，最长是解题的关键．取的中点，连接，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长度，再根据等边三角形的性质求出的长，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得，判定当、、三点共线时，最长，然后求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，， ，点为的中点， ， 等边三角形的边长为2，为中线， ， ， 在中，， 当、、三点共线时，最长，最大值为， 的最大值为：， 故答案为： 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】本题考查有理数的计算，解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先乘方，化简绝对值，再算乘法，最后计算加法即可； （2）用因式分解法计算即可． 【详解】解：（1）， ， ； （2）， ， ． 18. 如图，平行四边形中，点在上． （1）请用无刻度的直尺和圆规作于点．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，连接，求证：四边形是矩形． 【答案】（1） 如图，即为所作； （2） 证明：由作图得 ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题主要考查作垂线和矩形的判定，平行四边形的性质，正确作出图形是解答本题的关键． （1）根据“过直线外一点作已知直线的垂线”进行作图即可； （2）根据证明，得，再根据平行四边形的性质可证，即可证明四边形是矩形 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 某中学为了解七、八年级学生对环保知识的掌握情况，进行了环保知识竞赛（百分制），从中分别随机抽取了10名学生的成绩，整理分析如下，共分成四组：A（），B（），C（），D（）． 材料一：七年级10名学生的成绩是：90，80，85，86，90，90，94，95，95，75； 材料二：八年级10名学生的成绩是：79，82，83，84，85，90，92，95，95，95． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 88 a b 八年级 88 c 95 问题： （1）直接写出上述a，b，c的值：______，______，______； （2）你认为这次竞赛中哪个年级成绩更好？请说明理由； （3）若该校八年级共1000人参加了此次竞赛活动，估计竞赛成绩优秀（）的八年级学生有多少人？ 【答案】（1）90；90； （2） 八年级成绩更好，理由如下： 两个年级的平均数相同，但八年级方差更小（），说明成绩更稳定；八年级众数更高，表明高分人数更多； ∴八年级成绩更好； （3）估计竞赛成绩优秀（）的八年级学生大约有900人 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位数，众数，用样本估计总体，用方差做决策等等，正确理解题意是解题的关键． （1）根据中位数的定义和众数的定义求解即可； （2）两个年级平均成绩相等，但是八年级的方差小，且众数大，据此可得结论； （3）用1000乘以样本中八年级竞赛成绩为优秀的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：把七年级10名学生的成绩按照从低到高排列为75，80，85，86，90，90，90，94，95，95，处在第5名和第6名的成绩分别为90，90， ∴七年级的中位数为，即， ∵七年级这10名学生的成绩中得分为90的人数最多， ∴七年级的众数为90，即； 把八年级10名学生的成绩按照从低到高排列为79，82，83，84，85，90，92，95，95，95，处在第5名和第6名的成绩分别为85，90， ∴八年级的中位数为，即， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计竞赛成绩优秀（）的八年级学生大约有900人． 20. 某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低.若该果园每棵果树产果y(千克)，增种果树x(棵)，它们之间的函数关系如图所示. (1)求y与x之间的函数关系式. (2)在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实7000千克. (3)当增种果树多少棵时，果园的总产量w(千克)最大？此时每棵果树的产量是多少？ 【答案】(1)y＝﹣x+80；(2)增种果树20棵时，果园可以收获果实7000千克；(3)当增种果树40棵时，果园的总产量最大.每颗果树的产量为60千克. 【解析】 【分析】(1)根据该果园每棵果树产果y(千克)，增种果树x(棵)，它们之间的函数关系如图所示即可求解； (2)根据(1)中求得的函数关系式，代入7000千克，即可求解； (3)确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义. 【详解】解：(1)根据题中的图可以看出，y与x为一次函数的关系， 设函数关系式为y＝kx+b，将(12，74)、(28，66)代入关系式可得 解得k＝﹣，b＝80， 所以y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+80. (2)根据题意可列方程(-x+80)(x+80)=7000， 化简得x2﹣80x+1200＝0，解得x1＝20，x2＝60， 因为题中要求投入成本最低的情况下，所以x2＝60不符题意舍去， 答：增种果树20棵时，果园可以收获果实7000千克. (3)根据题意可列函数关系式w＝(﹣x+80)(x+80)＝﹣(x﹣40)2+7200. 令y≥0，可求出自变量x的取值范围是0≤x≤160， 所以当x＝40时，w可取到最大值7200，每颗果树的产量为y＝﹣x+80＝60 答：当增种果树40棵时，果园的总产量最大.每颗果树的产量为60千克. 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围. 21. 如图，是的直径，弦平分，过点作于点． （1）求证：是的切线； （2）已知点是半圆上一点，连接，若，且，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， 又平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 又∵为半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角等，熟记以上性质定理是解题的关键． （1）连接，由弦平分，且可证明，可推出，即可证明结论； （2）连接，则，根据含角的直角三角形的性质推出，然后在直角三角形中根据勾股定理求出即可推出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， 在中，， ， 在中，，， ∴， 解得（负值舍去）， 则的半径为． 22. 【课题学习】 学习主题：探究电流最值 课题背景：数学在电工电子中有着广泛的应用，可以帮助工程师进行电路设计和分析，控制系统设计，信号处理等工作，这些工作需要遵循物理学的规律，我们知道函数是描述变化规律的一种数学模型，欧潭数学探究小组受电流和电压间关系式的启发，以探究“探究电流最值”为主题展开项目式学习． 学习素材： 名称 内容 备注 素材1 用总长的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积随矩形一边长的变化而变化． 课本例题 素材2 观察下列两个数的乘积，说明其中哪个积最大． ，，，，…，， 课本数学活动 素材3 串联电路的总电阻等于各串联电阻之和： 并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和； 电压一定的情况下，电流与电阻成反比关系． 物理学知识 研究步骤： 1.画出电路图．在如图1所示的电路中，，，滑动变阻器的最大电阻，其等效电路图如图2所示，其中． 2.根据电路图连结实验器材，图略． 3.闭合开关，在滑片从端滑到端的过程中，观察电流表的示数，记录相关数据． 解决问题： （1）在素材1中，当 时，场地的面积最大； （2）推测素材2中哪个式子的积最大，并用函数知识说明理由； （3）电流表表示数是否存在最小值，若存在，求出电流表示数的最小值．若不存在请说明理由． 【答案】（1）15 （2）和的积最大， 理由如下： 设其中一个因数为，则另一个因数为， 则（，且为正整数）， 对称轴为，因为是正整数，且， 所以取50或51时，y最大为2550； （3）存在，最小值为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，理解题意，正确列出二次函数解析式是解题关键． （1）根据题意，矩形一边长，则另一边长为，则有，结合二次函数的性质即可获得答案； （2）设其中一个因数为，则另一个因数为，所以（，且为正整数），结合二次函数的性质即可获得答案； （3）设，则，总电流为，则有，由分式的性质可知，若分子为不变的正数，则分母最大时，分式最小，再设，，结合二次函数的性质即可获得答案． 【小问1详解】 解：根据题意，矩形一边长，则另一边长为， 所以，， 所以，当，场地的面积最大，最大为225平方米； 故答案为：15； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，则，，设总电流为， 则， 由分式的性质可知，若分子为不变的正数，则分母最大时，分式最小， 设， ∵，则抛物线开口向下，且， ∴当时，取最大值为25， 此时取最小值为，两支路电阻分别为和，两支路电阻相等， ∴当两支路的电阻相等时，电流表示数最小，最小值为2． 23. 【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题．请托里拆利解答：如图①，给定不在一条直线上的三个点A、B、C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置．托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们为了纪念他们，就把平面上到一个三角形的三个顶点A、B、C距离之和最小的点称为的费马—托里拆利点． 【问题解决】证明：如图②，把绕点A逆时针旋转得到，连接， ∴ ∴为等边三角形， ∴， ∴ 点可看成是线段绕A点逆时针旋转而得的定点，为定长． ∴当B、P、、C′四点在同一直线上时，最小． （1）观察图②中、和，试猜想这三个角的大小关系． （2）【类比探究】如图③，在直角三角形内部有一动点P，，，连接，若．求的最小值； （3）【拓展应用】已知正方形内一动点P到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求出此正方形的边长． 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质得，由旋转得，即可求解； （2）同理将绕B点逆时针旋转得到，当C、P、、四点在同一直线上时，最小，此时，由等边三角形的性质及直角三角形的特征得 ，由勾股定理得，即可求解； （3）绕B点逆时针旋转得到，过作交的延长线于E，同理可得，设正方形的边长为，由勾股定理得，即可求解． 【小问1详解】 解：； 理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵B、P、、四点在同一直线上， ∴， ， 由旋转得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，由【问题解决】同理将绕B点逆时针旋转得到， 由旋转的性质得是等边三角形，则，， ∴, ∴当C、P、、四点在同一直线上时，最小， 此时， 由旋转得：， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ， ∴， 在中 ， 故最小值为； 【小问3详解】 解：如图，将绕B点逆时针旋转得到，过作交的延长线于E， ∴当C、P、、四点在同一直线上时，最小， 此时， 由旋转得：， ∴， 设正方形的边长为，则有， ∴， ， ∴， 在中，， ∴， 解得：（舍去）， ∴， 故正方形的边长为2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $