第4章 相似三角形过关测试卷-2024-2025学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版）

第4章 相似三角形过关测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．1、2、3、5 B．2、3、6、8 C．3、4、5、6 D．4、3、8、6 2．若，则的值为（    ） A．6 B． C．1 D． 3．如图，，若，，则的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 4．如图，小正方形的边长均为1，则下列正方形网格中的三角形（阴影部分）与相似的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，与位似，点为位似中心，与的面积比为，则与的周长比为（    ） A． B． C． D． 6．如图，若，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（　　） A． B． C． D． 7．网球比赛时，发球往往是制胜的关键．如图，小军在打网球时，使球恰好能打过网，假设球沿直线前进而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h应为（   ） A． B． C． D． 8．如图，，分别交、、于点、、，分别交、、于点、、，若，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，与位似，且原点O为位似中心，其位似比，若点，则其对应点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，垂足为，若，，则的长为（   ） A．6 B． C． D．8 11．如图，线段的长度为1，线段的长度为x，线段上的点C满足关系式，线段上的点D满足关系式，线段上的点E满足关系式，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 12．如图在中，P为上的一点，在下列条件中：①；②；③；④，能满足的条件是 （    ）． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 2、 填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．已知线段b是线段a、c的比例中项，且，，那么 ． 14．如图，，，，那么 15．已知，若，，则与的面积比为 ． 16．如图，在梯形中，，点E、F分别在上，且，当时，则线段的长为 ． 17．如图，中，，，的面积是，那么的面积是 ． 18．在中，，，，D为中点，点M在射线上运动，直线交直线于点N，若，则的值为 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）利用比例的基本性质求的值． (1)． (2)． 20．（8分）在平面直角坐标系内，的位置如图所示． (1)将绕点O顺时针旋转得到，作出． (2)以原点O为位似中心，在第四象限内作出的位似图形，且与的相似比为． 21．（8分）如图，为测量旗杆高度，淇淇在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜子和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时淇淇的眼睛离地面的高度，淇淇与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离．求旗杆高度． 22．（8分）如图，在中，，平分交于点D．    (1)在边上求作一点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 23．（10分）如图．，，． (1)若，证明： (2)若，，在（1）的条件下．求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）根据垂线的定义得到，进而可证； （2）根据相似三角形的性质得到，将，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 24．（10分）如图，平行四边形，交于，交的延长线于，且． (1)求证：； (2)若，，，求的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法； （1）根据平行四边形的对角相等可得，再根据等量代换可得，即可证明两三角形相似； （2）根据相似三角形的性质对应边成比例求出的长，得出，即可求解． 【详解】（1）证明：由四边形为平行四边形可知， ， ， ， 又， ． （2）解：由（1）得 ， ， ，， ， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 25．（10分）如图1，中，，，动点P沿按每秒1个单位长度运动，动点Q以相同的速度沿运动，P，Q两点同时运动，当点P运动到点B时，停止运动，点Q也停止运动，在运动过程中，连接，记，运动时间为t秒 (1)直接写出与t的函数关系，并注明自变量t的取值范围； (2)如图2，在给定的平面直角坐标系中画出的函数图像，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图像，若函数与的图像有两个交点，直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析；当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大（答案不唯一） (3) 【分析】（1）分2种情况讨论：①；②，利用相似三角形的性质与判定求出的长，即可解答； （2）描点连线作函数图像即可，再根据函数图像写出该函数的一条性质即可； （3）利用一次函数的性质得到函数经过定点，再求出函数分别经过点和时，对应的值，再结合图像即可确定k的取值范围． 【详解】（1）解：①当时，点P在上运动，点Q在上运动， ∴，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即 ∴ ∴； ②当时，点P在上运动，点Q在上运动， ∴，， 同理可得， ∴，即， ∴， ∴； ∴综上所述，与t的函数关系为； （2）解：如图，的函数图像即为所求： 由图像可知，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大（答案不唯一）； （3）解：当时，， ∴函数经过定点， 当函数经过点时，，解得； 当函数经过点时，，解得； ∵函数与的图像有两个交点， ∴k的取值范围为． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合、相似三角形的性质与判定、画一次函数图像，熟练掌握相关知识点，运用数形结合的思想是解题的关键． 26．（10分）综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． (1)操作判断 ①如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． ②如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． (2)迁移探究 如图（3），在中，，点D，E分别在边AC，BC上，且，试证明：． (3)拓展应用 如图（4），在矩形中，，平分交于点E，点F为上一点，交于点H，交矩形的边于点G，当F为的三等分点时，请直接写出的长． 【答案】(1)①5；②4 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）①过点E作于点P，过点H作于点Q，则，证得四边形是矩形，设交于点O，则，证明，即可解答； ②过点E作于点P，过点H作于点Q，则，证明是矩形，设交于点O，则，证明，列出比例式，即可解答； （2）过点C作交的延长线于点F，证明，，列出比例式，即可得证； （3）根据题意得到，分情况讨论，当时，如图，点G在上，利用勾股定理求出，证明，列出比例式求解即可解答；当时，如图，点G在上，利用勾股定理求出，证明，列出比例式求解即可解答． 【详解】（1）解：①如图，过点E作于点P，过点H作于点Q，则， 四边形是矩形， ， 设交于点O，则， ， 又， ， ； 故答案为：5； ②如图，过点E作于点P，过点H作于点Q，则， 四边形是矩形， ， 设交于点O，则， ， 又， ， ， ； 故答案为：4； （2）证明：如图，过点C作交的延长线于点F， ， ． 又， ， ， ， ， ， 又， ， （3）解：或3． 在矩形中，平分，， ， ， 当时，如图，点G在上， ， ， ， ， ； 当时，如图，点G在上， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查相似形综合应用，主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握分类讨论的思想方法是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 相似三角形过关测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．1、2、3、5 B．2、3、6、8 C．3、4、5、6 D．4、3、8、6 2．若，则的值为（    ） A．6 B． C．1 D． 3．如图，，若，，则的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 4．如图，小正方形的边长均为1，则下列正方形网格中的三角形（阴影部分）与相似的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，与位似，点为位似中心，与的面积比为，则与的周长比为（    ） A． B． C． D． 6．如图，若，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（　　） A． B． C． D． 7．网球比赛时，发球往往是制胜的关键．如图，小军在打网球时，使球恰好能打过网，假设球沿直线前进而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h应为（   ） A． B． C． D． 8．如图，，分别交、、于点、、，分别交、、于点、、，若，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，与位似，且原点O为位似中心，其位似比，若点，则其对应点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，垂足为，若，，则的长为（   ） A．6 B． C． D．8 11．如图，线段的长度为1，线段的长度为x，线段上的点C满足关系式，线段上的点D满足关系式，线段上的点E满足关系式，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 12．如图在中，P为上的一点，在下列条件中：①；②；③；④，能满足的条件是 （    ）． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 2、 填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．已知线段b是线段a、c的比例中项，且，，那么 ． 14．如图，，，，那么 15．已知，若，，则与的面积比为 ． 16．如图，在梯形中，，点E、F分别在上，且，当时，则线段的长为 ． 17．如图，中，，，的面积是，那么的面积是 ． 18．在中，，，，D为中点，点M在射线上运动，直线交直线于点N，若，则的值为 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）利用比例的基本性质求的值． (1)． (2)． 20．（8分）在平面直角坐标系内，的位置如图所示． (1)将绕点O顺时针旋转得到，作出． (2)以原点O为位似中心，在第四象限内作出的位似图形，且与的相似比为． 21．（8分）如图，为测量旗杆高度，淇淇在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜子和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时淇淇的眼睛离地面的高度，淇淇与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离．求旗杆高度． 22．（8分）如图，在中，，平分交于点D．    (1)在边上求作一点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 23．（10分）如图．，，． (1)若，证明： (2)若，，在（1）的条件下．求的长度． 24．（10分）如图，平行四边形，交于，交的延长线于，且． (1)求证：； (2)若，，，求的值． 25．（10分）如图1，中，，，动点P沿按每秒1个单位长度运动，动点Q以相同的速度沿运动，P，Q两点同时运动，当点P运动到点B时，停止运动，点Q也停止运动，在运动过程中，连接，记，运动时间为t秒 (1)直接写出与t的函数关系，并注明自变量t的取值范围； (2)如图2，在给定的平面直角坐标系中画出的函数图像，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图像，若函数与的图像有两个交点，直接写出k的取值范围． 26．（10分）综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． (1)操作判断 ①如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． ②如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． (2)迁移探究 如图（3），在中，，点D，E分别在边AC，BC上，且，试证明：． (3)拓展应用 如图（4），在矩形中，，平分交于点E，点F为上一点，交于点H，交矩形的边于点G，当F为的三等分点时，请直接写出的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $