专题06 圆的重难点四模型汇编-2025-2026学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（人教版）

专题06圆的重难点四模型汇编 【模型01：点圆最值问题】...............................................................................................1 【模型02：定弦定角】.......................................................................................................3 【模型03：四点共圆】......................................................................................................5 【模型04：瓜豆原理】......................................................................................................6 【模型01：点圆最值问题】 1．如图，是矩形的边上一动点，是的中点，连接，将沿所在直线折叠，点的对应点是点，连接．已知，当线段的最小值为1时，边的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是（  ） A．2 B．+1 C．2﹣2 D．3 3．如图，正方形的边长为2，在平面内有一点P，始终保证，连接，设的中点为E，连接，则线段的最小值为 ，最大值为 ． 4．如图，在矩形中，是边的中点，F是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是 ． 5．如图，矩形，，，E为中点，F为直线上动点，B、G关于对称，连接，点P为平面上的动点，满足，则的最小值 ． 6．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中点，E为AB上一动点，点B关于DE的对称点在△ABC内（不含△ABC的边上），则BE长的范围为 ． 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为 ． 8.如图，已知，外心为，，，分别以，为腰向形外作等腰直角三角形与，连接，交于点，则的最小值是 ． 9．如图，点，的坐标分别为，，为坐标平面内一动点，且，点为线段的中点，连接，当取最大值时，点的纵坐标为 ． 【模型02：定弦定角】 1．如图，在正方形中，，点在正方形内部，且满足，连接，取，的中点，连接，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 2．如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 3．如图，在中，，，是内部的一个动点，且始终有，则长的最小值是 ． 4．如图，是的直径，C为上一点，且，P为圆上一动点，D为的中点，连接．若的直径为4，则长的最小值是 ． 5.如图，在边长为的正方形中，点分别是上的两个动点（不与端点重合），交于点，若线段与始终保持垂直，点是线段上的动点，则的最小值为 ． 6．如图，边长为的正方形内接于，点为弧上一动点（不与，重合），过点作于点，连接，则的最小值是 ． 7．如图，在中，，，．点是内部一点，且，连接，则长的最小值为 ． 8．如图，等边的边长为，D、E分别是和上的点，且，、交于点P，连接，则长度的最小值是 ． 9．如图，在锐角△ABC中，AB＝2，AC＝，∠ABC＝60°．D是平面内一动点，且∠ADB＝30°，则CD的最小值是 【模型03：四点共圆】 1.如图，AB＝AD＝6，∠A＝60°，点C在∠DAB内部且∠C＝120°，则CB+CD的最大值（　　） A．4 B．8 C．10 D．6 2.如图，已知AC＝BC＝4，点D是AB下方一点，且∠C＝∠D＝90°，求四边形ACBD面积的最大值． 3．如图，在Rt中，，在斜边上取一点，使得，连接并延长至点，连接．若，则线段的长为 ． 4．如图，在四边形中，，对角线平分，，且．    (1)证明：； (2)若，，求的长． 【模型04：瓜豆原理】 1．如图，矩形中，，，为边上一点（不与、重合），连接，过点作，垂足为点，点为的中点，则的最小值是（   ） A．4 B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在以为圆心，为半径的圆上，关于的对称点为，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值是（   ） A．14 B．15 C． D． 3．如图，在等腰中，，点P在以斜边为直径的半圆上，M为的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，的最小值是（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知中，，，，以A为圆心、2为半径作圆，点D是圆A上一点，连接，点E是的中点，连接，那么长度的取值范围是 ． 5．如图1，在中，，以点B为圆心，以为半径作圆． (1)设点P为上的一个动点，线段绕着点C顺时针旋转，得到线段，连接，，，如图2，求证：； (2)在（1）的条件下，若，求的长； (3)在（1）的条件下，当______°时，有最大值，且最大值为______；当______°时，有最小值，且最小值为______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06圆的重难点四模型汇编 【模型01：点圆最值问题】...............................................................................................1 【模型02：定弦定角】.......................................................................................................13 【模型03：四点共圆】......................................................................................................22 【模型04：瓜豆原理】......................................................................................................27 【模型01：点圆最值问题】 1．如图，是矩形的边上一动点，是的中点，连接，将沿所在直线折叠，点的对应点是点，连接．已知，当线段的最小值为1时，边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由矩形的性质可得，，，通过折叠性质可知：，，则有点在以点为圆心，为半径的圆上运动，连接，由 ，从而可知当点三点共线时，有最小值，然后设，则，，最后通过勾股定理，解一元二次方程即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠性质可知：，， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动，连接，如图， ∵， ∴当点三点共线时，有最小值，即此时，如图， ∵是的中点， ∴， 设，则，， 由勾股定理得：， ∴，整理得：， 解得：（舍去），， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，解一元二次方程，圆的性质的综合运用，掌握知识点的应用是解题的关键． 2．如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是（  ） A．2 B．+1 C．2﹣2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意，在折叠过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，过点M作MH⊥DC于点H，再利用含30°的直角三角形的性质以及勾股定理求出MC的长，进而求出A′C的长即可． 【详解】解：如图所示，∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上． 过点M作MH⊥DC于点H， ∵在边长为4的菱形ABCD中，∠MAN=60°，M为AD的中点， ∴2MD=AD=CD=4，∠HDM=∠MAN=60°， ∴MD=2，∠HMD=30°， ∴HD=MD=1， ∴HM==，CH=CD+DH=5， ∴， ∴A′C=MC-MA′=2-2； 故选：C． 【点睛】本题考查翻折变换、菱形的性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，突破点是正确寻找点A′的位置． 3．如图，正方形的边长为2，在平面内有一点P，始终保证，连接，设的中点为E，连接，则线段的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查圆的定义、三角形的中位线性质、正方形的性质，解答的关键是构造三角形的中位线和得到点P的运动轨迹，属于中考填空题的常考压轴题． 延长至T，使得，连接，根据三角形的中位线性质得到，即只需求的最大值和最小值；根据圆的定义可得点P在以A为圆心，为半径的圆上运动，如图，连接并延长，交该圆于，，利用正方形的性质和勾股定理求得，进而求得的最小值和最大值即可求解． 【详解】解：延长至T，使得，连接， ∵的中点为E， ∴是的中位线， ∴，即只需求的最大值和最小值； ∵始终保证， ∴点P在以A为圆心，为半径的圆上运动，如图，连接并延长，交该圆于，， ∵，， ∴， ∴，， ∴的最小值为，的最大值为， ∴的最小值为，的最大值为， 故答案为：，． 4．如图，在矩形中，是边的中点，F是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，涉及了动点的轨迹问题，由题意可推出点在以E为圆心为半径的圆上运动，可得当D、、E共线时，的值最小，据此即可求解． 【详解】解：由题意得： ， ∴， ∴点在以E为圆心为半径的圆上运动，如图所示： 故：当D、、E共线时，的值最小， ∵， ∴ ， 故答案为：． 5．如图，矩形，，，E为中点，F为直线上动点，B、G关于对称，连接，点P为平面上的动点，满足，则的最小值 ． 【答案】 【分析】由题意可知，，可得，可知点在以为弦，圆周角的圆上，（要使最小，则点要靠近蒂点，即点在的右侧），设圆心为，连接，，，，，过点作，可知为等腰直角三角形，求得，，，，再由三角形三边关系可得：，当点在线段上时去等号，即可求得的最小值． 【详解】解：∵B、G关于对称， ∴，且 ∵E为中点，则为的中位线， ∴， ∴， ∵，即， ∴点在以为弦，圆周角的圆上，（要使最小，则点要靠近蒂点，即点在的右侧） 设圆心为，连接，，，，，过点作， 则， ∵， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， 又∵为中点， ∴，， 又∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， 由三角形三边关系可得：，当点在线段上时去等号， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，隐形圆，三角形三边关系，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，根据得知点在以为弦，圆周角的圆上是解决问题的关键． 6．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中点，E为AB上一动点，点B关于DE的对称点在△ABC内（不含△ABC的边上），则BE长的范围为 ． 【答案】 【分析】首先根据运动特点分析出点的运动轨迹在以为圆心，为半径的圆弧上，然后分点恰好落在边上和点恰好落在边上两种情况讨论，分别利用勾股定理以及等腰三角形的性质和判定进行求解和证明即可得出两种临界情况下的长度，从而得出结论． 【详解】解：∵点B与关于DE对称， ∴，则点的运动轨迹在以为圆心，为半径的圆弧上， ①如图所示，当点恰好落在边上时，此时，连接和， 由题意及“三线合一”知，，， ∴在中，， 此时，根据对称的性质，， ∴由等面积法，， ∴， 在中，； ②如图所示，当点恰好落在边上时，连接、、和， 由题意，， ∴，， ∴， 即：， ∴， 即：， ∵点B与关于DE对称， ∴，， ∴， ∴，， 由对称的性质，， ∴， ∴， ∴， 即：此时点为的中点， ∴此时，， 综上，长的范围为， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，以及勾股定理解直角三角形等，能够根据题意准确分析出动点的运动轨迹，并构建适当的三角形进行求解是解题关键． 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】先由折叠判断出F的运动轨迹是为以D为圆心，CD的长度为半径的圆，当B、D、F共线且F在B、D之间时BF最小，根据勾股定理及圆的性质求出此时BD、BF的长度即可． 【详解】解：由折叠知，F点的运动轨迹为：以D为圆心，CD的长度为半径的圆，如图所示， 可知，当点B、D、F共线，且F在B、D之间时，BF取最小值， ∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10， ∴BC=6， 在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=， ∴BF=BD－DF=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质、圆的性质、勾股定理解直角三角形的知识，该题涉及的最值问题属于中考常考题型，根据折叠确定出F点运动轨迹是解题关键． 8.如图，已知，外心为，，，分别以，为腰向形外作等腰直角三角形与，连接，交于点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】由与是等腰直角三角形，得到，，根据全等三角形的性质得到，求得在以为直径的圆上，由的外心为，，得到，如图，当时，的值最小，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：与是等腰直角三角形， ， ， 在与中， ， ≌， ， ， ， 在以为直径的圆上， 的外心为，， ， 如图，当时，的值最小， ， ， ，， ． 则的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 9．如图，点，的坐标分别为，，为坐标平面内一动点，且，点为线段的中点，连接，当取最大值时，点的纵坐标为 ． 【答案】 【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的⊙B上，通过画图可知，C在AB的延长线上时，AC最大，根据中点坐标公式可得结论． 【详解】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC=2， ∴C在⊙B上，且半径为2， ∴当C在AB的延长线上时，AC最大， 过点C作CD⊥x轴， ∵点，的坐标分别为，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴． ∵CD⊥x轴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，即， 解得：， ∴C点的纵坐标为， ∵点为线段的中点， ∴点的纵坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，动点线段最值问题，勾股定理等知识，确定AC为最大值时点C的位置是解题的关键． 【模型02：定弦定角】 1．如图，在正方形中，，点在正方形内部，且满足，连接，取，的中点，连接，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正方形的性质，中位线的判定和性质，勾股定理的运用，掌握以上知识，掌握正方形的性质，共圆的判定是关键． 连接，根据中位线的判定和性质得到，点共圆，圆心为的中点，记为，当三点共线时，最小，此时最小，由勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】解：连接， ∵分别是，的中点， ∴， ∵， ∴点共圆，圆心为的中点，记为， 当三点共线时，最小，此时最小， 连接，交于点， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 2．如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由∠AEC＝90°知，点E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N），从而得BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），BE长度的最小值BE′＝BM−ME′． 【详解】如图， 由题意知，， 在以为直径的的上（不含点、可含点， 最短时，即为连接与的交点（图中点点）， 在中，，，则． ， 长度的最小值， 故选：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的三边关系等知识点，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法． 3．如图，在中，，，是内部的一个动点，且始终有，则长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理，根据，可知点在以为直径的上，连接交于点，此时最小，利用勾股定理得到，此时的最小值为． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， 点在以为直径的上， 连接交于点，此时最小， 在中，，，， ， ， 线段长的最小值为． 故答案为：． 4．如图，是的直径，C为上一点，且，P为圆上一动点，D为的中点，连接．若的直径为4，则长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，圆周角定理，中位线的判定与性质，根据题意得出点的移动轨迹，再根据交于点，此时的长最小，进行计算即可． 【详解】解：连接，， ∵是的直径， ∴O为的中点，， ∵D为的中点， ∴是的中位线 则， ∴， 如图，当点P在上移动时，的中点的轨迹是以为直径的， ∵ 的直径为4， ∴ 因此交于点，此时的长最小， 由题意得，，， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 5.如图，在边长为的正方形中，点分别是上的两个动点（不与端点重合），交于点，若线段与始终保持垂直，点是线段上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，圆周角定理等，作线段关于的对称线段，取的中点，连接交于，则点关于对称，以点为圆心，为直径画半，由圆周角定理可知点在半上运动，连接交于点，由轴对称可得，根据两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值等于长，又由可知取最小值时，的值最小，利用勾股定理求出长即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，作线段关于的对称线段，取的中点，连接交于，则点关于对称，以点为圆心，为直径画半， ∴，， ∴， ∵线段与始终保持垂直， ∴， ∴点在半上运动， 连接交于点， ∵点关于对称， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值等于长， ∵， ∴可知取最小值时，的值最小， ∵， ∴的最小值， 故答案为：． 6．如图，边长为的正方形内接于，点为弧上一动点（不与，重合），过点作于点，连接，则的最小值是 ． 【答案】## 【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，到圆上一点的最值问题，勾股定理，取点的中点，连接，得出，则在以为圆心的圆上运动，当在上时，取得最小值，进而勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵ ∴ ∴在以为圆心的圆上运动， ∴当在上时，取得最小值， 最小值为 故答案为：． 7．如图，在中，，，．点是内部一点，且，连接，则长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查圆的性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握点的运动轨迹是解题的关键．设的中点为，连接，易知当点在上时，的值最小，过点作，交的延长线于点，根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， ， ， 点的轨迹是以为直径的圆的一部分． 设的中点为，连接，易知当点在上时，的值最小，过点作，交的延长线于点， 则， ， ， ， ， ． 故答案为：． 8．如图，等边的边长为，D、E分别是和上的点，且，、交于点P，连接，则长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】首先证明，推出点P的运动轨迹是O为圆心，为半径的弧上运动（易求，），连接交于N，当点P与N重合时，的值最小，只需求得的长即可． 【详解】解：如图，∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 作的外接圆，圆心为O，则点p在以O为圆心，为半径的劣弧上运动， 连接，交于N，当点p与N重合时，的值最小，最小值为． ∵， ∴， ∵， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、三角形的内角和定理及外角性质、等腰三角形的性质、含30度角直角三角形的性质、勾股定理、圆的有关知识等知识，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 9．如图，在锐角△ABC中，AB＝2，AC＝，∠ABC＝60°．D是平面内一动点，且∠ADB＝30°，则CD的最小值是 【答案】/ 【分析】作AH⊥BC于H，证明△ACH为等腰直角三角形，求得BC=+1，在BC上截取BO=AB=2，则△OAB为等边三角形，以O为圆心，2为半径作⊙O，根据∠ADB=30°，可得点D在⊙O上运动，当DB经过圆心O时，CD最小，其最小值为⊙O的直径减去BC的长． 【详解】解：如图，作AH⊥BC于H， ∵AB=2，AC=，∠ABC=60°， ∴BH=AB=1， ∴AH=， CH=， ∴△ACH为等腰直角三角形， ∴∠ACB=45°， BC=CH+BH=+1， 在BC上截取BO=AB=2，则△OAB为等边三角形， 以O为圆心，2为半径作⊙O， ∵∠ADB=30°， ∴点D在⊙O上运动， 当DB经过圆心O时，CD最小， 最小值为4-（+1）=3-． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理．解题的关键是得出点D在⊙O上运动． 【模型03：四点共圆】 1.如图，AB＝AD＝6，∠A＝60°，点C在∠DAB内部且∠C＝120°，则CB+CD的最大值（　　） A．4 B．8 C．10 D．6 【答案】A 【解答】解：如图，连接AC，BD，在AC上取点M使DM＝DC， ∵∠DAB＝60°，∠DCB＝120°， ∴∠DAB+∠DCB＝180°， ∴A，B，C，D，四点共圆， ∵AD＝AB，∠DAB＝60°， ∴△ADB是等边三角形， ∴∠ABD＝∠ACD＝60°， ∵DM＝DC， ∴△DMC是等边三角形， ∴∠ADB＝∠ACD＝60°， ∴∠ADM＝∠BDC， ∵AD＝BD， ∴△ADM≌△BDC（SAS）， ∴AM＝BC， ∴AC＝AM+MC＝BC+CD， ∵四边形ABCD的周长为AD+AB+CD+BC＝AD+AB+AC， 且AD＝AB＝6， ∴当AC最大时，四边形ABCD的周长最大，则CB+CD最大， 此时C点在的中点处， ∴∠CAB＝30°， ∴AC的最大值＝AB×cos30°＝4， ∴CB+CD最大值为AC＝4， 故选：A． 2.如图，已知AC＝BC＝4，点D是AB下方一点，且∠C＝∠D＝90°，求四边形ACBD面积的最大值． 【解答】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F， ∵∠C＝∠D＝90°， ∴AB是圆的直径，即A，C，B，D四个点在以AB为直径的圆上， ∵AC＝BC＝4， ∴AB＝＝＝， ∵四边形ACBD的面积＝△ACB的面积+△ADB的面积， ∴四边形ACBD的面积＝AB•DE+AB•DF ＝AB•（DE+DF）， ∴当DE与DF的和等于圆的直径时，四边形ACBD的面积最大， 即当DE+DF＝时， 四边形ACBD的面积＝××＝16， ∴四边形ACBD面积的最大值为16． 3．如图，在Rt中，，在斜边上取一点，使得，连接并延长至点，连接．若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理、四点共圆，由可知、、、四点共圆，进而可得，过作于点，易得再利用 ，可设，则，易证，最后解即可得解． 【详解】解：， ∴点、、、四点共圆， ， ∴为直径， ， 过作 于点， 则 ， 在 中，， ， ， ，即 ， 设，则 ， ， ， ， ， 在 中， ， 即 ， 解得或(舍去)， ； 故答案为：． 4．如图，在四边形中，，对角线平分，，且．    (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意推出，从而得到、、、四点共圆，进而得出结论即可； （2）首先根据已知信息求出，再结合四点共圆的结论，在中求解即可． 【详解】（1）证：∵， ∴， ∵， ∴， ∴、、、四点共圆， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴在中，， ∵， ∴，， ∵、、、四点共圆， ∴， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查四点共圆的证明、圆的内接四边形的性质，以及解直角三角形等，掌握圆当中的重要结论，准确求解直角三角形是解题关键． 【模型04：瓜豆原理】 1．如图，矩形中，，，为边上一点（不与、重合），连接，过点作，垂足为点，点为的中点，则的最小值是（   ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，圆周角定理的应用，圆的确定，三角形的中位线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 取中点，再取中点，连接，，点的轨迹是以为圆心，半径为5的圆弧，可知，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧，当点、、共线时，值最小，再进一步可得答案． 【详解】解：矩形， ，， 如图，取中点，再取中点，连接，， ，， ，， 点的轨迹是以为圆心，半径为5的圆弧， 点为的中点， ， 点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧， 当点、、共线时，值最小， 连接， 最小为， 故选：A． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在以为圆心，为半径的圆上，关于的对称点为，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值是（   ） A．14 B．15 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的运用规律，掌握点的运动，建立合理的数量关系，数形结合分析是关键． 根据题意，轴对称，旋转的性质得到点关于点的对称点的横坐标为，纵坐标为，即，点在以点为圆心，为半径的圆上，点在以点为圆心，为半径的圆上，由此得到的最小值是的值减去的最大值，数形结合分析即可求解． 【详解】解：∵点， ∴点关于点的对称点的横坐标为，纵坐标为，即， ∵点在以为圆心，为半径的圆上，关于的对称点为， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， 如图所示，连接， ∵， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴， 将绕点逆时针旋转度得，则， ∴与轴的负半轴的夹角为， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， ∴当点在上顺时针运动时，根据轴对称的性质得到点在上逆时针运动，点在上顺时针运用， 连接， ∴， ∵点的运动方向不同， ∴线段与线段的关系是：相交与平行，如图所示， ∴如图3所述，当时，延长交于点，过点作于点， 当时，， ∴最大时，的值最小， ∴当时，的值在四边形是平行四边形时最大， ∴， ∴， 故选： D． 3．如图，在等腰中，，点P在以斜边为直径的半圆上，M为的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的轨迹与等腰三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理．取的中点，取的中点，连接，，，则，故的轨迹为以为圆心，为半径的半圆弧，据此求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，取的中点，连接，， ∴为的中位线， ∵在等腰中，，点在以斜边为直径的半圆上， ∴， ∴， ∵为的中位线， ∴， ∵， ∴当点在同一直线上时，有最小值，的最小值是， ∵在等腰中，，点斜边的中点， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故选：A． 4．如图，已知中，，，，以A为圆心、2为半径作圆，点D是圆A上一点，连接，点E是的中点，连接，那么长度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系、三角形中位线定理和勾股定理．根据题意正确作出辅助线、懂得利用中位线定理确定点的运动轨迹是解题的关键． 先取的中点，点E是的中点，连接、，根据中位线定理确定点的运动轨迹是在以为圆心，半径为1的圆上，然后根据勾股定理求出的长度，最后确定的范围． 【详解】解：取的中点，连接、、，如图： 点E是的中点，点是的中点，， ，， 当点D在圆A上时，点始终在以为圆心，半径为1的圆上， 点是的中点， ， 在中，， ， ， 即． 故答案为：． 5．如图1，在中，，以点B为圆心，以为半径作圆． (1)设点P为上的一个动点，线段绕着点C顺时针旋转，得到线段，连接，，，如图2，求证：； (2)在（1）的条件下，若，求的长； (3)在（1）的条件下，当______°时，有最大值，且最大值为______；当______°时，有最小值，且最小值为______． 【答案】(1)见解析 (2)2或 (3)135；；45； 【分析】（1）由旋转可得，，进而得到，从而证明，根据全等三角形的对应边线段得证结论； （2）分点P在的上方或下方两种情况求解即可； （3）连接，由得到，从而点D在以点A为圆心，半径为的圆上．当点D在的延长线上时，有最大值，最大值为，根据，可求得．当点D在线段上时，有最小值，最小值为，根据，可求得． 【详解】（1）证明：由旋转可得，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． （2）解：分两种情况讨论： ①如图，若点P在的上方，连接， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴点A，D，P在同一直线上， ∵在中，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴在中，； ②如图，若点P在的下方，连接 由①得，， ∵， ∴， ∴点B，P，D在同一直线上， ∵， ∴，， ∴， ∴在中，． 综上所述，的长为2或． （3）解：连接， ∵， ∴， ∴点D在以点A为圆心，半径为的圆上． 如图，当点D在的延长线上时，有最大值， 最大值为， 此时， ∵， ∴． 如图，当点D在线段上时，有最小值， 最小值为， 此时． 故答案为：135；；45； 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，圆的定义，两点之间线段最短．利用全等三角形的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $