专题03 椭圆（13个题型）（高效培优期中专项训练）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

专题03 椭圆（13个题型） 考点01 椭圆定义及辨析 考点02 求椭圆的标准方程 考点03 利用方程表示椭圆求参数范围 考点04 轨迹问题——椭圆 考点05 椭圆中和、差最值问题 考点06 椭圆中焦点三角形周长问题 考点07 椭圆中焦点三角形面积问题 考点08 椭圆中焦点三角形其他问题 考点09 利用椭圆的有界性求范围或最值 考点10 椭圆的对称性及其应用 考点11 椭圆离心率问题 考点12 椭圆中的参数范围及最值 考点13 椭圆的实际应用问题 考点01 椭圆定义及辨析 1．椭圆的焦点为 为椭圆上一点，若，则（    ） A． B． C． D． 2.已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.方程化简的结果是（    ） A． B． C． D． 4.直线与椭圆交于，两点，为椭圆左焦点.则周长最大值是 . 考点02 求椭圆的标准方程 5．已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，则它的标准方程为（    ） A． B． C． D． 6.已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 7.已知椭圆过点和点，则此椭圆的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．以上都不对 8.中心为原点，焦点在x轴上，且长轴长与短轴长之比为2：1，焦距为4的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 9.阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为，，则椭圆的面积公式为．若椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 10．过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程是 ． 11.已知椭圆：，左、右焦点分别为，，求下列椭圆的标准方程： （1）长轴长为4，上顶点为A，其中直线的斜率为； （2）上顶点为，到直线的距离为，且； （3）左，右顶点分别为 ，上顶点M与左，右顶点连线 的斜率乘积为，焦距为； 考点03 利用方程表示椭圆求参数范围 12．方程表示椭圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 13.若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14.（多选）若方程表示椭圆，则实数的取值可能是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 15.（多选）如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 16.方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 . 考点04 轨迹问题——椭圆 17．已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（    ） A．椭圆 B．线段 C．双曲线 D．抛物线 18.如果动点满足，则点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 19.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，则的中点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 20.已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（    ） A． B． C． D． 21.已知圆及点，在圆上任取一点，连接，将点折叠到点A，记与折痕的交点为（如图）. 当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 22．中，，，AC，AB边上的两条中线之和为39，则的重心的轨迹方程为 . 23．已知动点M到定点与的距离的和是，则点M的轨迹方程是 ． 考点05 椭圆中和、差最值问题 24．为椭圆上任意一点，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 25.已知点，，分别是椭圆：的左，右焦点，P是椭圆C上的一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 26.已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 27.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 28.设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，已知点，则的最小值为____________ 考点06 椭圆中焦点三角形周长问题 29．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则的周长为（    ） A． B． C． D． 30.椭圆：的上、下顶点分别为，，椭圆：与的一个交点为M，则的周长为（    ） A．4 B． C． D．6 31.已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为（    ） A．8 B． C．10 D． 32.已知直线与椭圆交于两点，，则的周长是 . 考点07 椭圆中焦点三角形面积问题 33．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．9 34.已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．10 35.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，当的面积为1时，等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 36.设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为____________ 37.已知分别为椭圆的左、右焦点，点关于直线的对称点Q在椭圆上，若P是椭圆上的一点，且，则 ． 考点08 椭圆中焦点三角形其他问题 38．设分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且，则（    ） A． B． C． D． 39.点P是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为（ ） A．2 B． C． D． 40.（多选）已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．点纵坐标为 B．的周长为 C． D．的内切圆半径为 41.（多选）已知椭圆 为左，右焦点. O为原点，P为椭圆上一点， 下列说法正确的是（ ） A．满足条件的P点总共有4个 B．=4 C．|PO|=3 D． 42.已知F1，F2分别为椭圆C：的左、右焦点，C上存在一点A，使，点B满足，∠F1AF2的平分线交直线OB于点D，，则椭圆C的标准方程为 ． 考点09 利用椭圆的有界性求范围或最值 43．已知椭圆，则椭圆上的点到点的距离的最大值是（    ） A． B． C． D． 44.(多选)已知定点为椭圆上一动点，满足：当取得最小值时点恰为椭圆的右顶点，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 45.已知A为椭圆的上顶点，为椭圆上一点，则的最大值为_____________ 46.已知是椭圆的左焦点，过椭圆上一点P作直线与圆相切，切点为Q，则的最大值是____________ 考点10 椭圆的对称性及其应用 47.已知直线过椭圆的一个焦点与交于两点，若当垂直于轴时，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 48．设、为不相等的正实数，椭圆的焦点分别为与．若此椭圆上存在点P使得为正三角形，则（    ） A．24 B．26 C．28 D．30 49.已知椭圆的方程为，其中依次将椭圆的下半部分分成10等份，若是椭圆的右焦点，则（    ） A．10 B．16 C．20 D．12 考点11 椭圆离心率问题 50．已知椭圆的左、右焦点分别为线段上有一点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于B,C两点，且则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 51.已知椭圆：的左、右焦点分别为、，以为圆心的圆与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，线段与交于点.若与的焦距的比值为，则的离心率为（    ） A. B. C. D. 52.已知直线与椭圆交于两点，椭圆的左、右焦点分别为、，四边形为矩形，若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 53.设分别是椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点P，使线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 54.记椭圆的离心率为，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 54.已知、是椭圆长轴的两顶点，是椭圆上的一点，直线与斜率之积，则此椭圆的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 55.椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆上一点，直线的斜率为2，，则椭圆的离心率为 ． 56.法国著名数学家蒙日发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，且方程为，这个圆被称为“蒙日圆”．已知椭圆的焦点在轴上，A，B为椭圆上任意两点，动点在直线上．若恒为锐角，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 57.已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为_____________ 考点12 椭圆中的参数范围及最值 58．已知椭圆的左焦点为F，上顶点为A.若存在直线l与椭圆交于不同的两点B，C，的重心为F，则l的斜率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 59.（多选）若椭圆的左、右焦点分别为、，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中正确的是（ ） A．当点P不在x轴上时，的周长是6 B．当点P不在x轴上时，面积的最大值为 C．存在点P，使 D．的取值范围是 60.已知椭圆：的左右焦点分别是，，点在椭圆上，则 ；若，则点的横坐标的取值范围是 . 61.已知椭圆的左、右焦点分别为，且．过右焦点的直线与交于两点，的周长为；过原点作一条垂直于l的直线交于两点，则的取值范围为_____________． 考点13 椭圆的实际应用问题 62．班级物理社团在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点Q，则（注；若的角平分线交于点，则）（ ） A．1 B．2 C． D． 63.工程师将飞机最开始的方形窗户改为椭圆形窗户，如图1所示，使其均匀受压，飞机更为安全．一缕阳光从飞机窗户射入，在机舱地面上形成轮廓为圆的光斑，如图2所示．若光线与地面所成角为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 64.（多选）某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆，测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）与太阳中心的距离为，远日点（距离太阳最远的点）与太阳中心的距离为，并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则（    ） A．轨道的焦距为 B．轨道的离心率为 C．轨道的短轴长为 D．当越大时，轨道越圆 65.如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高5米，隧道全长2500米．隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆． 若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是________?（结果精确到0.1米），． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 椭圆（13个题型） 考点01 椭圆定义及辨析 考点02 求椭圆的标准方程 考点03 利用方程表示椭圆求参数范围 考点04 轨迹问题——椭圆 考点05 椭圆中和、差最值问题 考点06 椭圆中焦点三角形周长问题 考点07 椭圆中焦点三角形面积问题 考点08 椭圆中焦点三角形其他问题 考点09 利用椭圆的有界性求范围或最值 考点10 椭圆的对称性及其应用 考点11 椭圆离心率问题 考点12 椭圆中的参数范围及最值 考点13 椭圆的实际应用问题 考点01 椭圆定义及辨析 1．椭圆的焦点为 为椭圆上一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义表达式，代值计算即得. 【解析】由椭圆方程：，可知， 因，故. 故选：D. 2.已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由椭圆方程求出，利用椭圆的定义式，求得，代入计算即得. 【解析】由可得：，则， 因，则，故. 故选：C 3.方程化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由方程的几何意义得到是椭圆，进而得到焦点和长轴长求解. 【解析】∵方程， 表示平面内到定点、的距离的和是常数的点的轨迹， ∴它的轨迹是以为焦点，长轴，焦距的椭圆； ∴； ∴椭圆的方程是，即为化简的结果． 故选：D 4.直线与椭圆交于，两点，为椭圆左焦点.则周长最大值是 . 【答案】8 【解析】    如图所示，设椭圆右焦点为，直线交轴于点，连接，. 则根据三角形三边关系可得，当且仅当，，三点共线时等号成立，即点与点重合. ∴周长. 根据椭圆的定义及椭圆的标准方程可知：， ∴，即周长最大值为. 故答案为：. 考点02 求椭圆的标准方程 5．已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，则它的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B. 6.已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由离心率及焦距可得，即可得出椭圆方程. 【解析】设椭圆的标准方程为，焦距为， 由得，由得， 故， 所以该椭圆的方程为． 故选：D． 7.已知椭圆过点和点，则此椭圆的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】根据给定条件设出椭圆方程，将给定点的坐标代入，列出方程组求解即得. 【解析】设椭圆方程为：，因椭圆过点和点， 于是得 ，解得， 所以所求椭圆方程为. 故选：A. 8.中心为原点，焦点在x轴上，且长轴长与短轴长之比为2：1，焦距为4的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长短轴的比值可得，再由以及，可求得椭圆方程. 【解析】由题意可得，即， 又，即， 联立并代入可得， 解得 所以椭圆方程为. 故选：B 9.阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为，，则椭圆的面积公式为．若椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】利用题中给出的已知条件结合面积公式，确定椭圆方程中的基本量，的值，即可得到答案． 【解析】因为离心率为，则有， 所以， 又椭圆的面积为， 所以， 又， 解得，， 故椭圆的方程为或． 故选：． 10．过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程是 ． 【答案】 【解析】由题意设椭圆的方程为，， 将点代入，， 整理可得：， 解得或（舍， 所以椭圆的方程为：， 故答案为：． 11.已知椭圆：，左、右焦点分别为，，求下列椭圆的标准方程： （1）长轴长为4，上顶点为A，其中直线的斜率为； （2）上顶点为，到直线的距离为，且； （3）左，右顶点分别为 ，上顶点M与左，右顶点连线 的斜率乘积为，焦距为； 【答案】(1) (2)（3） 【解析】（1）依题意，，联立解得，，，故椭圆C的方程为； （2）由题意得，直线的方程为，即， 则到直线的距离， 又由，且，可得， 所以椭圆的标准方程为. （3）由题意知，，，， ，∴， ∵，∴，，∴椭圆的方程为 考点03 利用方程表示椭圆求参数范围 12．方程表示椭圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】借助椭圆定义与充要条件的定义计算即可得. 【解析】若表示椭圆，则有， 解得或. 故选：D. 13.若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程表示焦点在轴上的椭圆建立不等式，并解出不等式即可 【解析】由题意可知：方程表示焦点在轴上的椭圆 则有： 解得： 故选：A. 14.（多选）若方程表示椭圆，则实数的取值可能是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】ABD 【分析】根据椭圆的标准方程的特征可得，进而求解即可得到答案． 【解析】由方程表示椭圆， 即方程表示椭圆， 则，解得且， 所以结合选项可得实数的取值可能是3，4，6． 故选：ABD． 15.（多选）如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据椭圆方程特征得出关系式，解不等式即可. 【解析】焦点在x轴上，则标准方程中，解得或． 又，，得，所以或． 故选:BC 16.方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据焦点在x轴上的椭圆方程的特征得到不等式，求出实数k的取值范围. 【解析】，解得， 故实数k的取值范围是 考点04 轨迹问题——椭圆 17．已知平面内两个定点，，动点P满足，则点P的轨迹为（    ） A．椭圆 B．线段 C．双曲线 D．抛物线 【答案】A 【分析】根据题意，由椭圆的定义，即可得到结果. 【解析】因为为平面内两个不同定点，且， ， 则动点的轨迹是以为焦点的椭圆. 故选：A 18.如果动点满足，则点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【答案】D 【分析】由题意可知方程表示出动点到定点的距离与它到定点的距离之和为3，而，从而可判断出其轨迹. 【解析】方程表示动点到定点的距离与它到定点的距离之和为3， 即， 所以点M的轨迹是线段． 故选：D 19.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，则的中点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【答案】A 【分析】设的中点为，则，把点代入椭圆方程、化简，判断轨迹形状； 利用圆锥曲线的定义和三角形中位线解得，可判断点的轨迹． 【解析】设的中点为，则， 又点在椭圆上，所以，化简得，即的中点的轨迹是椭圆． 20.已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设动圆半径为.根据圆与圆的位置关系可得，，再利用椭圆的定义得到该动圆圆心的轨迹为椭圆，进而可求得方程. 【解析】圆：和：的圆心和半径分别为， 由可知圆内含于圆内. 设动圆半径为， 由题意可得，， 两式相加可得， 故点P的轨迹为以为焦点的椭圆，其中， 所以， 所以椭圆方程为. 故选：C. 21.已知圆及点，在圆上任取一点，连接，将点折叠到点A，记与折痕的交点为（如图）. 当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由题意可得：，符合椭圆定义，且得到长半轴和半焦距，再由求得，可求点的轨迹方程可求． 【解析】连接， 圆的圆心坐标为，半径为4． 因为将点折叠到点A，记与折痕的交点为，所以， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，所以， 所以，所以点的轨迹方程为． 故选：A． 22．中，，，AC，AB边上的两条中线之和为39，则的重心的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】根据题意，设的重心为，因为，边上的两条中线之和为39，所以，根据椭圆定义可知，点轨迹是以、为焦点的椭圆，且，，因此的重心的轨迹方程为. 故答案为：. 23．已知动点M到定点与的距离的和是，则点M的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】根据椭圆的定义直接写出该曲线的方程. 【解析】因为M到顶点和的距离的和为， 所以M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，设方程为（）， 则，，所以，， M的轨迹方程为. 故答案为： 考点05 椭圆中和、差最值问题 24．为椭圆上任意一点，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件可知，当且仅当，，三点共线且点在第二象限时，为最大值. 【解析】由椭圆，可得，，，所以可知为椭圆的下焦点， 设为椭圆上焦点，又因为为椭圆上任意一点，所以由椭圆定义可知：， 即，因为当，，三点共线且点在第二象限时有最大值， 即，又因为， 所以. 故选：D. 25.已知点，，分别是椭圆：的左，右焦点，P是椭圆C上的一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义结合三角形三边关系计算即可. 【解析】由椭圆方程可知，椭圆长轴长， 则， 当且仅当P是线段与椭圆的交点时取得最小值. 故答案为：.    故选：A. 26.已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得圆的圆心是椭圆的左焦点，，利用椭圆的定义，结合图象得到，然后由即可求出的最大值. 【解析】如图,    由，得，，则， 则圆的圆心是椭圆的左焦点，椭圆的右焦点为， 由椭圆的定义得， 所以， 又， 所以， 当且仅当为线段与椭圆的交点，且为射线与圆的交点且、方向相同时， 上述不等式中的两个等号同时成立， 故的最大值为. 故选：B. 27.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 【答案】5 【分析】根据圆上的点到定点的距离范围可知，即， 结合椭圆的定义可转化为，即可得解. 【解析】 由椭圆可知椭圆的实轴长，，， 圆的圆心，半径， 由已知圆上任意一点到得距离， 所以， 又根据椭圆定义， 则， 当且仅当，都在线段上时，等号成立， 故答案为：5. 28.设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，已知点，则的最小值为____________ 【答案】3 【分析】利用椭圆定义转化为，即求的最大值，根据三角形性质，当三点共线时最大可得答案. 【解析】，所以，所以轴， 因为，所以在椭圆内部，且， 所以， 即求的最大值， 由于，当三点共线时最大， 此时，， 所以. 故答案为：3 考点06 椭圆中焦点三角形周长问题 29．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆定义以及标准方程即可得出结果. 【解析】由题知，椭圆， 则长轴，焦距， 的周长为. 故选：D 30.椭圆：的上、下顶点分别为，，椭圆：与的一个交点为M，则的周长为（    ） A．4 B． C． D．6 【答案】D 【分析】根据椭圆的方程，可得，就是椭圆的焦点，再根据椭圆的定义，即可求的周长. 【解析】椭圆：的上、下顶点分别为，， 则，， 又椭圆：， 则椭圆的焦点为，， 则的周长为 故选：D 31.已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为（    ） A．8 B． C．10 D． 【答案】C 【解析】椭圆的方程为，则，，， 连接，， 则由椭圆的中心对称性可知， 可知为平行四边形，则， 可得的周长为， 当AB位于短轴的端点时，取最小值，最小值为， 所以周长为． 故选：C. 32.已知直线与椭圆交于两点，，则的周长是 . 【答案】20 【分析】根据题意可知直线经过椭圆的右焦点，结合椭圆的定义即可求解. 【解析】椭圆,所以， 得，则椭圆的右焦点为， 所以直线经过椭圆的右焦点， 由椭圆的定义可知，的周长为 . 故答案为：20. 考点07 椭圆中焦点三角形面积问题 33．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据题意，由椭圆的定义，得到，再由勾股定理得，联立方程组，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【解析】如图所示，椭圆，可得，则， 因为点在椭圆上，可得， 又由，可得, 联立方程组，可得， 所以的面积为. 故选：B. 34.已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．10 【答案】C 【分析】由椭圆定义和得到，结合，由余弦定理得，进而得到正弦值，利用三角形面积公式求出答案. 【解析】由椭圆定义可得， 故， 又， 则由余弦定理得， 故， 故. 故选：C 35.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，当的面积为1时，等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】A 【解析】由题意可得：， 则， 设， 由题意可得：，解得， 代入方程可得，则， 又因为， 则. 故选：A. 36.设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的面积为____________ 【答案】 【分析】由椭圆标准方程可得，，，根据题意得或，结合图形，利用椭圆的定义求出的三边长，即可求得其面积 【解析】由椭圆：可得，， ， 因为上一点且在第一象限，则 由为等腰三角形，则可得或， 当时，， 此时的面积为：； 当时，，不合题意，舍去. 综上，可得的面积为. 故答案为：．    37.已知分别为椭圆的左、右焦点，点关于直线的对称点Q在椭圆上，若P是椭圆上的一点，且，则 ． 【答案】/ 【解析】由椭圆，知，∴， ∴点关于直线的对称点， 由题意得：，∴， ∵，， ，∴， ∴在中， ， ∵，∴， ∴. 故答案为：. 考点08 椭圆中焦点三角形其他问题 38．设分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以．设，则． 在中，． 在中，， 所以，整理得，． 于是． 故选：D 39.点P是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得， 所以， 所以， 设的内切圆半径为， 因为 所以，得. 故选：B 40.（多选）已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．点纵坐标为 B．的周长为 C． D．的内切圆半径为 【答案】BCD 【解析】对于A选项，在椭圆中，，，， ，则、， 设点，，，故选项A错误； 对于B选项，由椭圆的定义可知， 的周长为，故选项B正确； 对于C选项，设，，可得， 由余弦定理可得 ， 所以， 所以，解得，故选项C正确， 对于D选项，设的内切圆半径为， 则， ，故选项D正确. 故选：BCD. 41.（多选）已知椭圆 为左，右焦点. O为原点，P为椭圆上一点， 下列说法正确的是（ ） A．满足条件的P点总共有4个 B．=4 C．|PO|=3 D． 【答案】ABD 【解析】由题意得，，设 则 在中，由余弦定理得，， 即 ，即 ，解得 故B项正确； 设P（x₀，y₀）， 代入椭圆方程得， 解得 则 故C项错误； 由故P点共有4个，故A项正确； 对于D， 故D项正确. 故选：ABD. 42.已知F1，F2分别为椭圆C：的左、右焦点，C上存在一点A，使，点B满足，∠F1AF2的平分线交直线OB于点D，，则椭圆C的标准方程为 ． 【答案】 【解析】 如图所示，不妨设在第一象限，则，因，则， 在中，因，且由，可知点B是的中点， 则得，且， 因为，平分，故， 故为等腰直角三角形，， 由题意知，则，即， 根据椭圆的定义可得， 联立，解得， 在直角中，即， 化简得，又因，两者联立解得， 故椭圆标准方程为. 故答案为：. 考点09 利用椭圆的有界性求范围或最值 43．已知椭圆，则椭圆上的点到点的距离的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点点距离公式即可结合二次函数的性质求解. 【解析】设是椭圆上的一个动点，则，， 由于，故当时，取最大值， 故选：C 44.(多选)已知定点为椭圆上一动点，满足：当取得最小值时点恰为椭圆的右顶点，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】首先利用两点间的距离表示，根据二次函数的性质，即可求解. 【解析】记， ， ， 对称轴为，由于时取到最小值，则. 故选：BCD. 45.已知A为椭圆的上顶点，为椭圆上一点，则的最大值为_____________ 【答案】 【分析】设，确定，根据二次函数性质得到最值. 【解析】由题意可知：，设， 由可得，， 则， 因为，可知当时，最大为. 故答案为：. 46.已知是椭圆的左焦点，过椭圆上一点P作直线与圆相切，切点为Q，则的最大值是____________ 【答案】 【分析】设为的圆心，利用椭圆定义和勾股定理得到，设，得到单调递增，从而求出最值，得到取值范围. 【解析】设为椭圆的右焦点，由题知， 故，显然为的圆心， 则， 由椭圆定义得， 故， 令，理由如下： 设，，则，， 故 ， 因为，所以， ， 函数均单调递增，故在上单调递增， 所以. 故答案为：． 考点10 椭圆的对称性及其应用 47.已知直线过椭圆的一个焦点与交于两点，若当垂直于轴时，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得椭圆经过点，代入椭圆方程化简，利用将其化成关于的齐次方程，即可求得椭圆离心率. 【解析】 如图，不妨设直线经过椭圆的右焦点，因垂直于轴，由图形对称性知，椭圆经过点， 代入椭圆方程可得，，整理得，， 把代入整理得，， 两边同除以，即得，，解得或， 因，故得，. 故选：C. 48．设、为不相等的正实数，椭圆的焦点分别为与．若此椭圆上存在点P使得为正三角形，则（    ） A．24 B．26 C．28 D．30 【答案】C 【分析】由题设可得且求参数值，即可得结果. 【解析】要使为正三角形，则， 由椭圆的对称性且焦点在y轴上，要使，则必在左右顶点上， 所以，即，故，则. 故选：C. 49.已知椭圆的方程为，其中依次将椭圆的下半部分分成10等份，若是椭圆的右焦点，则（    ） A．10 B．16 C．20 D．12 【答案】C 【分析】设椭圆的左焦点为，连接，得到，结合椭圆的定义，即可求解. 【解析】因为若是椭圆的右焦点，且，可得， 设椭圆的左焦点为，连接， 由椭圆的对称性，可得， 所以. 故选：C. 考点11 椭圆离心率问题 50．已知椭圆的左、右焦点分别为线段上有一点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于B,C两点，且则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】连接由椭圆对称性知 故选：D 51.已知椭圆：的左、右焦点分别为、，以为圆心的圆与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，线段与交于点.若与的焦距的比值为，则的离心率为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 设椭圆的半焦距为，因为以为圆心的圆过，故该圆的半径为， 故其方程为：， 令，则，结合在轴正半轴上，故， 令，则或，故. 故，故直线. 设， 因为在轴的正半轴上，在轴的负半轴上，故， 而， 故，整理得到：， 故，故， 所以，故， 整理得到：，故， 故选：D. 52.已知直线与椭圆交于两点，椭圆的左、右焦点分别为、，四边形为矩形，若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的边角关系，结合椭圆的定义和性质，可直接求其离心率. 【解析】如图：    设，则，因为四边形为矩形，所以. 所以，. 所以. 故选：C 53.设分别是椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点P，使线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得以为圆心，以为半径的圆与椭圆有交点，由此列出满足的不等式关系，即可求得答案. 【解析】由题意椭圆C上存在点P，使线段的垂直平分线过点， 则, 且需满足以为圆心，以为半径的圆与椭圆有交点，    即，即，又， 故椭圆离心率的取值范围是， 故选：C 54.记椭圆的离心率为，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据离心率公式可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【解析】因为， 所以，，，则，可得， ，则， 因为，即，可得，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 54.已知、是椭圆长轴的两顶点，是椭圆上的一点，直线与斜率之积，则此椭圆的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点，则，且，可得， 易知、， 所以，， 所以，，可得， 故. 故选：D 55.椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆上一点，直线的斜率为2，，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】由题意可知，设，有，由和，消去得，可求椭圆离心率. 【解析】设，由椭圆的定义可得， 直线的斜率为2，则， 又，中，， 设，有， 由，得， 又，消去得， 即，所以椭圆的离心率. 故答案为： 56.法国著名数学家蒙日发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，且方程为，这个圆被称为“蒙日圆”．已知椭圆的焦点在轴上，A，B为椭圆上任意两点，动点在直线上．若恒为锐角，则椭圆的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由已知分析可知，直线与圆相离，利用直线与圆的位置关系可求出的取值范围，再结合椭圆离心率公式可求得椭圆的离心率的范围. 【解析】由题意知，圆为椭圆的“蒙日圆”， 如图，因为A，B为椭圆上任意两点，动点满足恒为锐角， 则点在圆外，又动点在直线上， 则直线与圆相离， 所以，得，所以， 则，又椭圆的离心率大于零， 则椭圆的离心率的取值范围是．    57.已知、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，、为上、下顶点，若在线段上存在（不含端点），使得，则椭圆的离心率的取值范围为_____________ 【答案】 【解析】由已知，点，，，，， 则线段的方程为，则， 在线段上取一点， ，， 所以 ， 由，得， 因为，所以， 从而，整理得，即， 即，即， 结合，解得． 故答案为：． 考点12 椭圆中的参数范围及最值 58．已知椭圆的左焦点为F，上顶点为A.若存在直线l与椭圆交于不同的两点B，C，的重心为F，则l的斜率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设坐标，利用三角形重心的坐标表示得出坐标的关系式，结合点差法表示出l的斜率，再利用对勾函数的性质计算范围即可. 【解析】设椭圆的左焦点为， 由已知，设，l的斜率为， 因为重心为F， 所以， 所以， 易知，根据点差法可得：， 所以, 又中点一定在椭圆内部，即， 令，则，故， 由对勾函数的性质可知，显然， 故直线l的斜率取值范围是. 故选：A． 59.（多选）若椭圆的左、右焦点分别为、，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中正确的是（ ） A．当点P不在x轴上时，的周长是6 B．当点P不在x轴上时，面积的最大值为 C．存在点P，使 D．的取值范围是 【答案】ABD 【解析】由椭圆方程可知，，从而． 对于选项A；根据椭圆定义，，又，所以的周长是 ，故选项A正确； 对于选项B：设点，因为，则． 因为，则面积的最大值为，故选项B正确； 对于选项C：由椭圆性质可知，当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大． 此时，，又， 则为正三角形，， 所以不存在点，使，故选项C错误； 对于选项D：由椭圆的性质可知，当点为椭圆的右顶点时，取最大值，此时； 当点为椭圆的左顶点时，取最小值，此时，所以，故选项D正确． 故选：ABD. 60.已知椭圆：的左右焦点分别是，，点在椭圆上，则 ；若，则点的横坐标的取值范围是 . 【答案】 【解析】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为， 则，，， 所以，， 由椭圆的定义可得， 设，则，， 因为，所以，即，， 解得，所以点的横坐标的取值范围是. 故答案为：；. 61.已知椭圆的左、右焦点分别为，且．过右焦点的直线与交于两点，的周长为；过原点作一条垂直于l的直线交于两点，则的取值范围为_____________． 【答案】 【分析 】在的斜率为时，求结论，再在的斜率不为时，利用设而不求法，结合弦长公式求，由此可得的解析式，利用换元法，二次函数性质求其范围即可. 【解析】设椭圆的半焦距为，由，得， 又的周长为，即 所以，， 椭圆的标准方程为． 设， 直线的斜率为时，得， 此时的方程为， 代入方程可得，， 所以； 当直线的斜率不为时， 设直线，直线， 联立直线和椭圆的方程，并消去整理得 ， ． 由根与系数的关系得， 所以 联立直线和椭圆的方程，并消去整理得， 由根与系数的关系得， ， 所以． 令，则， 不妨设 ， ， ， ， 综上可得，的取值范围为． 故答案为： 考点13 椭圆的实际应用问题 62．班级物理社团在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点Q，则（注；若的角平分线交于点，则）（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆定义求出，结合平分，故. 【解析】由题设，则平分，故， 而，由椭圆定义可知， 则，所以. 故选：B. 63.工程师将飞机最开始的方形窗户改为椭圆形窗户，如图1所示，使其均匀受压，飞机更为安全．一缕阳光从飞机窗户射入，在机舱地面上形成轮廓为圆的光斑，如图2所示．若光线与地面所成角为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆的半径为，根据题意列出等式，得到的关系式，进而求得离心率. 【解析】不妨设圆的半径为，则有，， 所以，故离心率． 故选：C. 64.（多选）某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆，测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）与太阳中心的距离为，远日点（距离太阳最远的点）与太阳中心的距离为，并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则（    ） A．轨道的焦距为 B．轨道的离心率为 C．轨道的短轴长为 D．当越大时，轨道越圆 【答案】BCD 【分析】根据题干，得到，即可判断A，利用离心率公式即可判断选项B，利用椭圆里即可判断选项C，利用离心率越小，椭圆越圆即可判断D； 【解析】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，根据题意得到；故， 对于A：焦距，故选项A错误； 对于B：因为离心率，故选项B正确； 对于C：短轴长，故选项C正确； 对于D：离心率， 当越大时，椭圆的离心率越小，即椭圆越圆，故D正确； 故选：BCD 65.如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高5米，隧道全长2500米．隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆． 若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是________?（结果精确到0.1米），． 【答案】 【分析】建立直角坐标系，设椭圆方程为，依题意可得，将点代入椭圆方程，即可求解； 【解析】如图建立平面直角坐标系， 依题意可得点在椭圆上， 又，将点代入椭圆方程得，解得， 此时， 因此隧道设计的拱宽约为米； 故答案为： 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $