精品解析：江西省南昌市行知中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

南昌市行知中学初三年级10月月考数学试卷 说明：1.本卷共六大题，23小题，全卷满分120分，考试时间为120分钟． 2.本卷分为试卷和答题卡，答案要求写在答题卡上． 一、单选题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 2. 已知关于x的一元二次方程，则一次项系数为（ ） A. B. C. 2 D. 1 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 4. 某地为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3亿元，预计2024年投入5亿元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 已知二次函数的图象如图，则一次函数的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 6. 二次函数的图象过点，，如图所示，给出四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 7. 将抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线的表达式为_________． 8. 若是一元二次方程的一个根，则b的值为_____． 9. 作抛物线关于x轴的对称图形，得到一个新抛物线，其解析式为_______． 10. 非零实数满足，则___________． 11. 已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是____． 12. 如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点，与经过点的直线交于点，点在抛物线上，是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为______． 三、解答题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分） 13. 用适当的方法解下列方程． （1） （2）． 14. 判断关于x的一元二次方程的根的情况． 15. 如图，某农场有一道长为10米的墙，先计划用18米长的栅栏靠墙围成一个面积为36平方米的矩形养殖场，请你设计一个合理的方案来建造． 16. 行知中学举办九年级篮球赛，比赛采用单循环赛制（即每个队伍与其它参赛队伍各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： （1）若有6个参赛队伍，按赛制共进行了几场比赛？ （2）小江的说法有道理吗？请通过计算说明； 17. 已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 四、解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分） 18. 已知二次函数． （1）补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该函数图象； x … 0 1 2 3 … y 0 3 0 （2）根据图象回答：当时，y的取值范围是______； （3）设，，过点与y轴垂直的直线l与抛物线交于点，，其中，与直线AB交于点，若，直接写出t的取值范围______． 19. 某水果商场经销一种水果，原价每千克50元． （1）若连续两次降价后每千克32元，且每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出1000千克，经调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少40千克，现该商场要求每天盈利12000元，那么每千克应涨价多少元？ 20. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的3倍，那么称这样的方程是“3倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“3倍根方程”． （1）若关于x的方程是“3倍根方程”，求代数式的值； （2）已知关于x的一元二次方程（m是常数）是“3倍根方程”，请写出m的值． 五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，直线与抛物线相交于两点，为坐标原点． （1）求两点坐标； （2）求的面积； （3）直接写出时，的取值范围． 22. 如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、，设点P、Q运动的时间为． （1）当运动t秒时，线段______，______（用含有t的代数式表示）； （2）求当t为何值时，四边形是菱形； （3）如图2，在运动过程中，沿着把翻折，求当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，已知二次函数与x轴交于A、B两点，点A的坐标为，且与y轴交于点C，直线经过点C，与x轴交于点D． （1）求二次函数的解析式； （2）点E是图中的抛物线上的一个动点，设点E的横坐标为，求的面积的最大值及此时点E的坐标． （3）在抛物线上是否存在点P，使，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌市行知中学初三年级10月月考数学试卷 说明：1.本卷共六大题，23小题，全卷满分120分，考试时间为120分钟． 2.本卷分为试卷和答题卡，答案要求写在答题卡上． 一、单选题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 【答案】D 【解析】 【分析】根据顶点式，顶点坐标是（h，k），即可求解. 【详解】∵顶点式，顶点坐标是（h，k）， ∴抛物线的顶点坐标是（1，2）． 故选：D． 2. 已知关于x的一元二次方程，则一次项系数为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先将方程化为一元二次方程的一般形式 （），再确定一次项系数． 本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握将方程化为一般形式后确定各项系数的方法是解题的关键． 【详解】解： ， ∴一次项系数为 ， 故选：A． 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法，使用配方法将方程转化为完全平方形式，通过添加一次项系数一半的平方完成配方即可． 【详解】解：， ， ； 故选B． 4. 某地为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3亿元，预计2024年投入5亿元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，正确理解题意列出方程是解题的关键．设教育经费的年平均增长率为x，则2023年投入亿元，2024年投入亿元，由此得到方程． 【详解】解：根据题意，得． 故选：C． 5. 已知二次函数的图象如图，则一次函数的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数的性质，根据已知得出a，c的符号是解题关键．首先根据二次函数的图象得出a，c的符号，进而利用一次函数的性质得出图象经过的象限． 【详解】解：根据二次函数开口向上，得， 根据c是二次函数图象顶点坐标的纵坐标，得， 故一次函数的大致图象经过一、三、四象限， 故选：B． 6. 二次函数的图象过点，，如图所示，给出四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴， ∴， ，错误； ②由图像可知：对称轴为直线，且， ，正确； ③由图像可知：当时， ， 又当时，， ； 与相加得， ，正确； ④， ， 又， ，正确． 综上，正确结论的序号是②③④． 故选：C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 7. 将抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线的表达式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 直接根据“左加右减”的原则进行解答． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位长度得到的抛物线的解析式为， 故答案为：. 8. 若是一元二次方程的一个根，则b的值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 把代入一元二次方程得，然后解关于b的方程即可． 【详解】解：把代入一元二次方程， 得， ∴． 故答案为：4． 9. 作抛物线关于x轴的对称图形，得到一个新抛物线，其解析式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了抛物线的图像与性质，轴对称变换，解题的关键是找到对称轴，并熟知关于轴对称的点的坐标特征． 若抛物线关于轴作轴对称变换，则图象上所有的点横坐标不变纵坐标互为相反数，据此即可解答． 【详解】解：抛物线关于轴作轴对称变换，则所得抛物线为，即． 故答案为：． 10. 非零实数满足，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了方程的解以及一元二次方程的根与系数的关系，能熟练利用方程解的定义得到m，n是方程的两实数根是解题的关键． 根据已知判断出m，n是方程的两实数根，然后利用根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵非零实数，满足等式，， ∴m，n是方程的两实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 11. 已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先求出抛物线的对称轴，再求出最大值和最小值即可求解的取值范围． 【详解】解：， ∴函数图象的对称轴为直线，开口向上， ∵， ∴当时，；时，，当时，， ∴的取值范围是：， 故答案为：． 12. 如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点，与经过点的直线交于点，点在抛物线上，是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】先求得点的坐标为，再得出，当时，利用等腰直角三角形性质可求得点的坐标为，运用待定系数法可得直线的函数表达式为，将直线平移至经过点，此时直线与抛物线的交点分别为运用待定系数法可得直线的函数表达式为，联立方程组即可求得点的坐标． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴与经过点的直线交于点， ∴点的坐标为，则， ∴， 当时，则，过点作于点，如图， 则是等腰直角三角形， ∴， 设点的坐标为， ∴， 解得：，（舍）， 当时，， 点的坐标为， 由点，， 设直线的函数表达式为， ，解得：， ∴直线的函数表达式为， 将直线平移至经过点，此时直线与抛物线的交点分别为，， 则，可设直线的函数表达式为， 将代入，得，解得 ， ∴直线的函数表达式为， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或， 综上所述，在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，待定系数法求解析式，等腰三角形的判定与性质，一次函数图象的平移，直角三角形的性质，解一元二次方程等知识，把求两函数的交点坐标问题转化为解方程组的问题是解题的关键． 三、解答题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分） 13. 用适当的方法解下列方程． （1） （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 方程两边同除以2得：， 开平方得：， ∴，； 【小问2详解】 解：， 移项，得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 14. 判断关于x的一元二次方程的根的情况． 【答案】此方程有两个不相等的实数根 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式；熟练掌握判别式与根的个数的关系是解题关键，根据一元二次方程根的判别式判定方程根的情况即可． 【详解】解：一元二次方程， ， ， ∴此方程有两个不相等的实数根． 15. 如图，某农场有一道长为10米的墙，先计划用18米长的栅栏靠墙围成一个面积为36平方米的矩形养殖场，请你设计一个合理的方案来建造． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设矩形垂直于墙的一边的长为，的长为，根据矩形养殖场的面积为，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设矩形垂直于墙的一边的长为，的长为； 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． ∴． 故方案为：米． 16. 行知中学举办九年级篮球赛，比赛采用单循环赛制（即每个队伍与其它参赛队伍各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： （1）若有6个参赛队伍，按赛制共进行了几场比赛？ （2）小江的说法有道理吗？请通过计算说明； 【答案】（1）有6个参赛队伍，按赛制共进行了15场比赛 （2） 解：小江说的有道理，理由如下： 设有x个队伍报名参赛，根据题意得， 整理，得：， 解得：（不是整数，不合题意）， ∴方程的解不符合实际，故小江的说法有道理． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）由题意，得6个队伍需比赛的局数为； （2）设有x个队伍报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论． 【小问1详解】 解：由题意，得6个队伍需比赛的局数为， 答：有6个参赛队伍，按赛制共进行了15场比赛； 【小问2详解】 略 17. 已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． ()待定系数法求函数解析式即可； ()根据的周长等于，以及为定长，得到当的值最小时，的周长最小，根据抛物线的对称性，得到关于对称轴对称，则：，得到当三点共线时，，进而求出点坐标，即可得解； 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴相交于点，， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 在，当时， ∴ ∵抛物线解析式为 ∴抛物线的对称轴为直线 ∵的周长等于，为定长， 当的值最小时，的周长最小， ∵关于对称轴对称， ∴ ， ∴， 当三点共线时，的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点， 设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 四、解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分） 18. 已知二次函数． （1）补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该函数图象； x … 0 1 2 3 … y 0 3 0 （2）根据图象回答：当时，y的取值范围是______； （3）设，，过点与y轴垂直的直线l与抛物线交于点，，其中，与直线AB交于点，若，直接写出t的取值范围______． 【答案】（1） 补全表格如下： x … 0 1 2 3 … y 0 3 0 绘制函数图象如下： （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，正确画出函数图象，是解题的关键． （1）将的值代入解析式，求出值，填表，进而画出函数图象即可； （2）图象法进行求解即可； （3）图象法进行求解即可． 【小问1详解】 解：， 时，；时，； 【小问2详解】 解：观察函数图象知，当时，y的取值范围是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：根据图象，当直线在点A和B之间时满足， ∴t的取值范围为， 故答案为：． 19. 某水果商场经销一种水果，原价每千克50元． （1）若连续两次降价后每千克32元，且每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出1000千克，经调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少40千克，现该商场要求每天盈利12000元，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，具体涉及以下知识点：增长率/下降率问题模型，销售利润问题分析，考查了对实际问题的综合分析能力． （1）根据原价和两次降价后的价格，利用降价公式建立方程求解降价百分率； （2）依据每千克的盈利、销售量与涨价的关系，构建盈利方程来确定涨价金额． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为x． 第一次降价后的价格为元，第二次降价后的价格为元． 已知两次降价后每千克32元，可得方程． 解得 当时，； 当时，（舍去）． 所以每次下降的百分率是． 【小问2详解】 解：设每千克应涨价y元． 每千克盈利变为元，日销售量变为千克． 要保证每天盈利12000元，可列方程． ， 解得，． 因为每千克涨价不能超过8元，所以． 每千克应涨价5元． 20. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的3倍，那么称这样的方程是“3倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“3倍根方程”． （1）若关于x的方程是“3倍根方程”，求代数式的值； （2）已知关于x的一元二次方程（m是常数）是“3倍根方程”，请写出m的值． 【答案】（1）50或 （2）17或 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，解一元二次方程，代数式求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）由得，，根据“3倍根方程”定义可得或，然后代入求解即可； （2）由关于的一元二次方程（m是常数）是“3倍根方程”，不妨设是的三倍，根据根与系数的关系得，，，解得，然后分情况代入解方程即可． 【小问1详解】 ∵， 解得 ． ∵是“3倍根方程”， 分情况讨论： ①则：． ②则：． 综上，的值为50或； 【小问2详解】 ∵（是常数）是“3倍根方程”， ∴不妨设是的三倍， 由韦达定理：，解得． 当时， ， ∴． 当， ， ∴． 五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，直线与抛物线相交于两点，为坐标原点． （1）求两点坐标； （2）求的面积； （3）直接写出时，的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】()根据直线与抛物线相交于两点；联立直线和抛物线的解析式，组成方程组，求得方程组的解，即可得到点的坐标． ()设直线与轴交于点，过点作轴于，过点作轴于，先求出点的坐标，即可求出，由的坐标，从而求出和，然后根据计算即可； ()根据图象，找出以时，对应的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵直线与抛物线相交于两点 联立方程组， 将②代入①，得， 解得：，， 当时，； 当时，； ∴； 【小问2详解】 设直线与轴交于点，过点作轴于，过点作轴于， 令时，直线， ∴，即， ∵； ∴，， ， ， ∴； 【小问3详解】 由图象可知：在之间时，， 根据两个交点的横坐标为和， ∴当时，． 【点睛】此题考查的是求二次函数和一次函数的交点坐标、求一次函数与y轴的交点坐标和根据图象和函数值的大小关系，判断自变量的取值范围，掌握联立方程求交点坐标、坐标轴上点的坐标规律和根据函数根据图象和函数值的大小关系，判断自变量的取值范围是解决此题的关键． 22. 如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、，设点P、Q运动的时间为． （1）当运动t秒时，线段______，______（用含有t的代数式表示）； （2）求当t为何值时，四边形是菱形； （3）如图2，在运动过程中，沿着把翻折，求当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【答案】（1）； （2） （3）当等于1或3时，翻折后点的对应点恰好落在边上． 【解析】 【分析】（1）由题意得：，， （2）先证明四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，利用勾股定理表示出，利用列出关于的方程，即可求解； （3）由折叠的性质可得，，，，由可得，进而得到，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，， 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， 根据勾股定理得：， 则， 解得， ∴当时，四边形是菱形； 【小问3详解】 解：由折叠的性质可得，，，，， 在矩形中，， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， 解得，， 即当等于1或3时，翻折后点的对应点恰好落在边上． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定、翻折的性质、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握矩形与菱形的判定是解题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，已知二次函数与x轴交于A、B两点，点A的坐标为，且与y轴交于点C，直线经过点C，与x轴交于点D． （1）求二次函数的解析式； （2）点E是图中的抛物线上的一个动点，设点E的横坐标为，求的面积的最大值及此时点E的坐标． （3）在抛物线上是否存在点P，使，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）最大值是3， （3）存在，P为或 【解析】 【分析】（1）根据一次函数解析式求出点C的坐标，将A，C坐标代入二次函数解析式即可求出b，c，进而得到答案； （2）过点作轴于点，交于点，表示出G点坐标，从而表示出长度，根据即可表示出的面积，再结合二次函数图象性质即可求其最大值和此时E的坐标； （3）过点作一条直线与的夹角为，交二次函数的图象于点，过点作，两线交于点，过点作轴于点，分两种情况：当点在直线的右侧时和当点在直线的左侧时进行讨论即可． 本题主要考查二次函数的解析式求解、三角形面积的最大值求解以及特定角度的点坐标求解．需要利用给定的点坐标、直线方程和二次函数的性质来逐步解答各个小问． 【小问1详解】 解：把代入，得， ， 二次函数图象与轴交于两点，点的坐标为， ， ， 二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图①，过点作轴于点，交于点， 设点的坐标是，则点的纵坐标为， 代入直线，得点的横坐标为， 点的坐标是， ， ， ， 的最大值是3，此时点的坐标为； 【小问3详解】 解：存在，如图，过点作一条直线与的夹角为，交二次函数的图象于点，过点作，两线交于点，过点作轴于点，情况一：如图②，当点在直线的右侧时， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 在与中，， ， ， 易知， ， ， ， 设直线的解析式为， 将代入，得， 直线的解析式为． 联立，得， 解得（舍去），， 将代入，得， 点的坐标为； 情况二：如图③， 当点在直线的左侧时，同理可得：直线的解析式为． 联立，得， 解得（舍去），， 将代入，得， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $