精品解析：江苏省苏州市吴江区震泽中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题

2025~2026学年第一学期阶段性测试 高二数学 （满分150分 考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 过两点的直线的倾斜角为135°，则的值为（ ）. A. 或 B. C. D. 2. 已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 3 4. 若点在曲线上，记数列的前项和为，则（ ） A. B. C. 9 D. 65 5. 已知等差数列的公差不为0，设为其前项和，若，则集合中元素的个数为（ ） A. 2025 B. 2023 C. 2021 D. 2013 6. 在等差数列中，，且，，成等比数列，则的通项公式为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 若为等差数列的前项和，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，则（　　） A. 230 B. 201 C. 157 D. 119 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列满足：，则以下说法正确的是（ ） A. 数列为单调递减数列 B. C. D. 10. 已知是数列的前n项和，，，则（ ）． A. 是递增数列 B. C. D. 11. 在数列中，如果对任意都有（为常数），则称为等差比数列，k称为公差比下列说法正确的是（ ） A. 等差数列一定是等差比数列 B. 等差比数列的公差比一定不为0 C. 若，则数列是等差比数列 D. 若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列满足：（为正整数），则______． 13. 已知数列，则通过该数列图象上所有点的直线的斜率为_______． 14. 若为等差数列的前项和，，则与的等比中项为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和为，，当时，；是等差数列，． （1）求的通项公式； （2）记，求． 16. 已知为等差数列，，记分别为数列的前项和，． （1）求的通项公式； （2）对任意，将数列中落入区间内项的个数记为，求数列的前项和． 17. 对任意的正整数，数列满足，且. （1）求，； （2）证明：是等差数列； （3）设数列的前项和为，求使的最小正整数的值. 18. 若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数． （1）证明：数列是“平方递推数列”； （2）设，数列的前项和为 ①求； ②若恒成立，求实数的最大值． 19. 已知非零等差数列的前n项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）已知正项数列满足：，且是和的等差中项，求数列的前n项和； （3）在条件（2）下，记正项数列的前n项和为．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期阶段性测试 高二数学 （满分150分 考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 过两点的直线的倾斜角为135°，则的值为（ ）. A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜率和倾斜角的关系，列出等式求解即可． 【详解】由题知，直线的斜率存在，所以A点和B点的横坐标不一样，即， 则，所以，解得或， 又，所以． 故选：B． 2. 已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合数列的单调性判断即可. 【详解】因对于数列，取，显然不是递增数列， 所以“”不是“为递增数列”的充分条件， 若为递增数列，则， 所以“”是“为递增数列”的必要条件， 所以“”是“为递增数列”的必要而不充分条件， 故选：B 3. 数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的递推关系，依次计算确定周期即可得解. 【详解】数列中，，由，得，， ，因此数列是周期数列，周期为3， 所以. 故选：B 4. 若点在曲线上，记数列的前项和为，则（ ） A. B. C. 9 D. 65 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的定义判断数列为等比数列，利用等比数列的前项和化简求解即可. 【详解】依题意，，则， 故数列是公比为4的等比数列， 则. 故选：D. 5. 已知等差数列的公差不为0，设为其前项和，若，则集合中元素的个数为（ ） A. 2025 B. 2023 C. 2021 D. 2013 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式可以得到首项和公差之间的关系，进一步列出等差数列和的表达式，再结合集合的互异性排除相同大小的集合元素即可得到答案. 【详解】由，可得，且，所以， 根据二次函数的对称性：，所以集合中元素的个数为， 故选：D． 6. 在等差数列中，，且，，成等比数列，则的通项公式为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，结合等差数列通项公式可得，由，，成等比数列，结合等比数列定义列方程可求，由此可得结论. 【详解】设等差数列的公差为，又， 所以， 因为，，成等比数列， 所以， 所以， 所以或， 当时，，，，满足条件， 当时，，满足条件， 所以或， 故选：D. 7. 若为等差数列的前项和，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式可得，再结合等差数列的性质判断的符号，即可得出答案. 【详解】由，得， 又，则，所以公差， 故当时，，当时，， 所以当时，最小. 故选：A 8. 已知函数的定义域为，则（　　） A. 230 B. 201 C. 157 D. 119 【答案】A 【解析】 【分析】根据题设令，则，令，即，又，进而由累加法得，所以，所以，然后利用等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】由， 得，又， 令，则， 令，即，又， 所以， 所以，所以，所以， 所以. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列满足：，则以下说法正确的是（ ） A. 数列为单调递减数列 B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据数列通项公式判断单调性，写出相关项依次判断其它各项正误. 【详解】因为， 所以， 所以为递减数列，A对； 易知，则，B错； 由，故，C错； 由，故，D对. 故选：AD 10. 已知是数列的前n项和，，，则（ ）． A. 是递增数列 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知，得，可得是递增数列，判断A；根据递推公式分n为奇数时，n为偶数时的数列为等差数列，计算即可判断BC；由前面分析，对奇偶项分组求和可判断D. 【详解】对于A，由数列递推式，无论为奇数，还是偶数，都有成立，故是递增数列，A正确； 对于B，若n为奇数，则是偶数，是奇数， 所以，，即， 则数列的奇数项构成首项为、公差为3的等差数列， 故，B正确； 对于C，若n为偶数，则是奇数，是偶数， 所以，，即， 则数列的偶数项构成首项为、公差为3的等差数列， 故，C错误； 对于D，由前面分析得 ，D正确． 故选：ABD 11. 在数列中，如果对任意都有（为常数），则称为等差比数列，k称为公差比下列说法正确的是（ ） A. 等差数列一定是等差比数列 B. 等差比数列的公差比一定不为0 C. 若，则数列是等差比数列 D. 若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比 【答案】BCD 【解析】 【分析】 考虑常数列可以判定A错误，利用反证法判定B正确，代入等差比数列公式判定CD正确. 【详解】对于数列，考虑，无意义，所以A选项错误； 若等差比数列的公差比为0，，则与题目矛盾，所以B选项说法正确； 若，，数列是等差比数列，所以C选项正确； 若等比数列是等差比数列，则， ，所以D选项正确. 故选：BCD 【点睛】易错点睛：此题考查等差数列和等比数列相关的新定义问题.解决此类问题应该注意： （1）常数列作为特殊的等差数列公差为0； （2）非零常数列作为特殊等比数列公比为1. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列满足：（为正整数），则______． 【答案】 【解析】 【分析】已知式减去的递推式可得解. 【详解】当时，， 当时，， ， 两式相减得，可得， 综上，. 故答案为：. 13. 已知数列，则通过该数列图象上所有点的直线的斜率为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，确定数列的特性，再结合等差数列公差的几何意义得解. 【详解】由，得数列是以为首项，3为公差的等差数列， 由等差数列公差的几何意义知，通过该数列图象上所有点的直线的斜率. 故答案为：3 14. 若为等差数列的前项和，，则与的等比中项为______. 【答案】 【解析】 【分析】先由等差数列前n项和的性质求得，然后利用等比中项的概念求解即可. 【详解】由题意为等差数列的前项和，， 则由等差数列前n项和的性质得，解得， 则与的等比中项. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和为，，当时，；是等差数列，． （1）求的通项公式； （2）记，求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）求时，由题意可得，通过等比数列求出，进而可得，求时，根据题意求出公差即可得到； （2）写出的表达式，结合错位相减法求与的差，后续再结合等比数列前n项和公式即可求出的表达式． 【小问1详解】 当时，由，得， 因为，所以是首项为，公比为的等比数列，故，即， 当时，，又时，也满足，所以， 设公差为，由，，得，解得，故． 【小问2详解】 时，由、可知， 两边乘得， 两式相减，可得， 所以，又也满足通项， 故． 16. 已知为等差数列，，记分别为数列的前项和，． （1）求的通项公式； （2）对任意，将数列中落入区间内项的个数记为，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列定义并根据前项和公式联立方程组，解出首项和公差可得其通项公式； （2）根据题意求出的通项公式，再由等比数列前项和公式计算可得结果. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为． 因为， 所以， 因为， 所以， 整理得，解得， 所以的通项公式为． 【小问2详解】 对，若，则， 因此，即， 故得， 于是 ． 17. 对任意的正整数，数列满足，且. （1）求，； （2）证明：是等差数列； （3）设数列的前项和为，求使的最小正整数的值. 【答案】（1），. （2） 由， 得， 记，则 得，，所以数列是首项为，公差为的等差数列. 故是等差数列. （3）. 【解析】 【分析】（1）由得，再得； （2）由进行凑配即可证明. （3）由（2）可得，再进行求和得，再解不等式可得. 【小问1详解】 由题意得，，算得，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得，即 ， 所以，，，,. 所以，即. 因此， 解得，故使的最小正整数的值为. 18. 若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数． （1）证明：数列是“平方递推数列”； （2）设，数列的前项和为 ①求； ②若恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1）证明：由题知，， 即， 当时，， 所以， 所以数列是“平方递推数列”. （2）①；② 【解析】 【分析】（1）结合数列新定义，利用完全平方公式直接证明即可； （2）①由（1）数列是“平方递推数列”，即可求得，进而得到，然后利用错位相减法，求解数列的前项和即可；②由①代入不等式，则将不等式转化为恒成立，结合基本不等式即可求出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由（1）知，数列是“平方递推数列”，且， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 两式相减得， ， 则， 当时，，符合上式， 当时，，符合上式， 所以. ②由①知，， 则， 所以恒成立， 可得恒成立， 即，即， 令，则， 所以， 当且仅当，即时，取等， 所以，即实数的最大值为. 19. 已知非零等差数列的前n项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）已知正项数列满足：，且是和的等差中项，求数列的前n项和； （3）在条件（2）下，记正项数列的前n项和为．求证：． 【答案】（1） （2） （3） 由（2）可得，由于， 所以． 因为，所以， 当时，， 综上，成立． 【解析】 【分析】（1）由的关系、等差数列的定义即可求解； （2）通过构造等比数列的方法求得，进一步得，结合等比数列求和公式、错位相见法即可求解； （3）由于，，通过放缩求和即可得证. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，因为， 由，得， 当时，由，得， 得，得． 所以，所以． 【小问2详解】 因为是和的等差中项，所以，又， 所以，得，又， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，即； 令，可知， 因为， 所以， 两式相减得， 所以． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $