江苏省如皋中学2025-2026学年高三上学期数学限时规范练（一）

江苏省如皋中学2025－2026学年度高三年级限时规范练（一） 数 学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．数据：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的分位数是（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 3．的展开式中，的系数为（   ） A．80 B．40 C． D． 4．已知双曲线：（，）的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 5. 定义在上的奇函数满足：，且，，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．设双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于（除原点外）两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A．4 B．2 C． D． 7．已知三棱锥P-ABC中，平面平面，且平面ABC是边长为的等边三角形，，，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（   ） A．52π B．39π C．26π D．13π 8．若实数满足，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确的有（   ） A．数据1，2，3，4，5，6的上四分位数为 B．若随机变量，则 C．若随机变量X服从正态分布，，则 D．已知x，y之间存在关系式，设，若x，z之间具有线性相关关系，且与之对应的线性回归方程为，则 10．已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于两点，则（    ） A．的准线方程为 B．直线与相切 C． D． 11. 在三棱锥中，，点在平面上的射影为点，直线与平面所成的角分别为，则（    ） A．点的轨迹长度为 B．的取值范围是 C．三棱锥的体积的最小值是 D．当最大时，三棱锥的外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知离散型随机变量X服从二项分布，且，，则的最小值为 . 13．已知椭圆C:的焦点为，，第一象限点P在C上，且，则的内切圆半径为 . 14. 初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数．设，其中均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是 .（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答过程写出文字说明、证明过程或者演算过程． 15．甲、乙两人各有一个乒乓球袋，袋内均装有10个规格相同的乒乓球，其中4个黄球、6个白球，两人从各自袋中摸球． (1)甲无放回摸出两个球，用表示摸出黄球的个数，求的分布列和数学期望； (2)甲、乙两人玩游戏，规则如下：甲无放回摸球，乙有放回摸球，若两人各自都摸两次，每次摸出一个球，谁摸出的黄球个数多谁就获胜，判断谁获胜的概率较大，并说明理由． 16．设函数有两个极值点，且 ⑴求的取值范围，并讨论的单调性； ⑵证明：. 17. 某中学为了解高二年级学生对“数学建模竞赛”的参与意愿与性别是否有关，现从学校中随机抽取了100名学生进行调查，得到如下列联表： 性别 愿意参与 不愿意参与 合计 男生 女生 合计 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为“愿意参与数学建模竞赛与性别有关联”？ (2)从样本中“愿意参与”的学生中按性别采用比例分别的分层抽样的方法抽取11人，再从这11人中随机抽取3人作为竞赛种子选手，记3人中女生的人数为，求的分布列和数学期望．附：， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 18.已知抛物线的焦点为为坐标原点，上存在点到和的距离都等于． (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线交抛物线于点，直线与相交于另一点，直线与相交于另一点． （i）求证：； （ii）求证：直线经过定点． 19.已知正方体的棱长为2．    (1)证明：平面； (2)动点满足，且点，，，在同一球面上．设该球面的球心为，半径为． ①求的取值范围； ②当最大时，求二面角的余弦值． 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 7 8 9 10 答案 D C D A D A D BC BC 题号 11 答案 ABD 12、 13、 14、 28 15、【详解】（1）的可能取值为0，1，2. 因此，的分布列为 0 1 2 的数学期望. （2）用表示乙摸出黄球的个数，因乙有放回摸球，且每次摸出黄球的概率为，则， . 设事件：甲获胜，则． 则 设事件乙获胜，则． 则 因为，所以甲获胜的概率较大. 16、解: ⑴ 令，其对称轴为。 由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根， 其充要条件为，得 当时，在内为增函数； 当时，在内为减函数； 当时，在内为增函数； ⑵由⑴知， 由得， 设， 则 当时，在单调递增； 当时，，在单调递减。 所以， 故． 17、【详解】（1）零假设：愿意参与数学建模竞赛与性别无关. 根据小概率值的独立性检验，我们没有充分的证据推断不成立，即认为愿意参与数学建模竞赛的意愿与性别无关. （2）根据分层抽样的性质可知：愿意参与的学生中男生与女生的比例为. 因此选出人中，男生人数为人，女生人数为人 由题意可知：，服从超几何分布，，. ， ， 所以这3人中女生人数的概率分布列为： 18、【详解】（1）如图，作出符合题意的图形，   由题意得，则， 而，可得在的中垂线上，故设点的坐标为， 由两点间距离公式得，解得， 而点在上，则，即，解得， 故抛物线的方程为． （2）（i）如图，设直线的方程为，并记点，   联立方程组，消去得，易知， 则，， 而，则， 可知，即． （ii）由题意，点，设直线的方程为， 并记点， 联立方程组，消去得，则， 由三点共线，可得， 得到，将代入化简， 得， 所以，而，可知，同理可得， 则，解得， 故直线的方程为，过定点． 19、【详解】（1）解法一：如图所示：  在正方体中，连结，则， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 同理可得， 又因为，，平面，所以平面． 解法二：以为原点，的正方向为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系：  则，，，，， ，，． 因为，所以． 又因为，平面，平面， 所以平面． （2）解法一：①如图所示：   ， 取中点，取中点，依题意得：球心在直线上． 因为，所以， 即， 延长至，使得，连结． 因为，，所以四边形是平行四边形，所以，． 同理得：，，所以，，故， 所以点在线段上． 设，则， 则． 易得，则有，所以，故有． 所以，整理得：， 由，得：． 所以，所以的取值范围是． ②当最大时，，，此时点与点重合． 因为，，，，平面， 所以平面． 因为，平面，所以，， 所以即为二面角的平面角． 在中，，，，， 所以，所以二面角的余弦值为0． 解法二：①以为原点，的正方向为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系： 取中点，中点，依题意得：球心在直线上． 设， 因为， ， 则，即， 化简得：． 因为，所以． 所以， 故该球半径的取值范围是． ②当最大时，点坐标为．． 由（1）得平面的一个法向量是． 设平面的一个法向量是，，， ，取得：， 因为， 所以二面角的余弦值为0． 1 学科网（北京）股份有限公司 $