精品解析：江苏扬州市部分学校2027届高三上学期9月质量监测数学试题

2027届高三年级9月质量监测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．本试卷共4页，考试时间120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合交集定义求解即可. 【详解】由可得， ，不属于B； 属于B； ，不属于B. 因此同时属于A和B的元素为，即. 2. 不等式的解集为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式不等式求解方法进行求解即可． 【详解】由不等式，即， 则，解得，即， 所以不等式的解集为． 3. 设，则“”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分必要条件的定义进行判断即可. 【详解】当时，令，，满足，此时， 所以由“”不能推出“”； 反之，当时，所以，当且仅当时等号成立， 所以，所以由“”能推出“”， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 设函数的零点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合函数单调性以及零点存在定理即可得解. 【详解】因为函数在定义域内单调递增，函数在定义域内单调递增， 所以函数在定义域内单调递增， 因为， 所以由零点存在定理可知函数的零点. 5. 若直线与曲线相切，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义（切线斜率）和切点同时在直线与曲线上列方程求解即可． 【详解】设切点为，曲线在切点处的斜率为，直线在切点处的斜率为1，切点处两者斜率相等， 所以，得，即切点横坐标， 又因为切点同时在直线与曲线上，纵坐标相等，所以，也即． 故选：D． 6. 当蛋白质分子量达到一定量级时，其分子量与迁移率之间满足，其中为常数.若，则当分子量变为原来的2倍时，现迁移率与原迁移率的差值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得， 原迁移率，现迁移率， 可得. 7. 函数与在上交点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】将两函数交点问题转化为构造函数的零点问题，根据导数与单调性的关系，结合零点存在定理求解即可. 【详解】与在上的交点个数，等价于方程在上的解的个数. 构造函数，. 对求导得：  . 当时，，，则，故在上单调递减. 又，故对任意，，此时无零点. 当时，，，则，故在上单调递增. 又，， 根据零点存在定理，存在唯一使得. 综上，在上仅有1个零点，即两函数交点个数为1. 8. 已知两个不相等的正实数满足：，则下列不等式中一定不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将原式变形为，令，，只需比较 与的大小，由，设，求导得出其单调性，从而得出的大小可能性，从而得出答案. 【详解】由已知，原式可变形 令，， 函数 与均为上的增函数，且，且， 当时，由，则，可得， 当时，由，则，可得， 要比较与的大小，只需比较 与的大小， 设，则，故在上单调递增， 又，， 则存在使得， 所以当时，，当时，， 又因为， 所以当时，，当时，正负不确定， 故当时，，所以，故， 当时，正负不定，所以与的大小不定， 所以均有可能，即选项B，C，D均有可能，选项A不可能． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正实数满足，则（ ） A. 的最大值为4 B. 的最大值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为8 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由基本不等式得，对于B，配方结合A选项即可判断；对于CD，也可以由基本不等式判断. 【详解】对于A，，得，当且仅当，时取等号，故A正确； 对于，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C，， 当且仅当，时取等号，故C正确； 对于D，，当且仅当，时取等号，故D正确． 故选：ACD． 10. 给定函数（ ） A. 的图像关于原点对称 B. 的值域是 C. 在区间上是增函数 D. 有三个零点 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A：由函数的定义域为R，，可判断； 对于B：当时，，当时，，由或，可判断； 对于C：由在单调递增可判断； 对于D：令，解方程可判断. 【详解】解：对于A：因为函数的定义域为R，且，所以函数是奇函数，所以的图像关于原点对称，故A正确； 对于B：当时，， 当时，，又或，所以或， 综上得的值域为，故B正确； 对于C：因为在单调递增，所以由B选项解析得， 在区间上是减函数，故C不正确； 对于D：令，即，解得，故D不正确， 故选：AB. 11. 已知函数，集合，集合，若，则实数a的取值可以是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据两集合相等可以确定，则B集合中不等式可转化为 ，然后利用判别式法解不等式组即可求得答案. 【详解】由题意知： ， 由知： 即 , 由可知： 且为 此时须满足 ，解得 ， 故实数a的取值范围是 ，因此a的取值可以是3,4,5， 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若幂函数的图象与轴没有交点，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】由是幂函数有，结合基本函数的图象，排除掉与轴有交点时的值，即可求. 【详解】因为是幂函数，则，解得或， 若，则，此时的图象与轴没有交点，故成立； 若，则，此时的图象与轴有交点，故不成立； 综上，，即. 故答案为：. 13. 已知，函数有最小值，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】利用均值不等式求得最小值，进而计算可求得的值. 【详解】， 令，则或（舍）， 故答案为：. 14. 已知函数．若，则___________；若的定义域为，则零点的个数为_________． 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【分析】利用诱导公式及二倍角的正切公式化简函数，再代入求解； 由已知得，构造函数，， 利用导数研究函数的单调性结合函数的零点存在性定理即可求解. 【详解】， 若．则． 令，，整理得． 设，若，则． 则，，求导， 当时，． 又，，，故在上存在唯一的零点， 又在上单调递增，所以在区间上零点的个数为1． 故答案为：，1 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 两位同学玩猜卡牌点数的游戏，共有5张卡牌，李同学知道其中4张卡牌的点数，张同学知道其中3张卡牌的点数，两个同学所猜点数相互独立，如果猜对每张卡牌的点数都是等可能的． （1）随机选择一张卡牌，求李同学和张同学各自猜中的概率； （2）随机选择一张卡牌，求李同学和张同学至少一人猜中的概率． 【答案】（1）李同学猜中的概率为，张同学猜中的概率为. （2）至少一人猜中的概率为. 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率计算可求解；（2）结合独立事件与对立事件的概率公式可求解. 【小问1详解】 记事件为“李同学猜中”，事件为“张同学猜中”， 由题可知，总共有5张卡牌，李同学知道其中4张卡牌的点数，且猜对每张卡牌的点数都是等可能的， 所以；同理可得. 综上：李同学猜中的概率为，张同学猜中的概率为. 【小问2详解】 （至少一人猜中）. 所以李同学和张同学至少一人猜中的概率为. 16. 已知函数与函数关于对称． （1）求函数的解析式； （2），都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由函数关于点对称的定义求解即可； （2）分离参变量，求解，令，判断函数的单调性，对，求解恒成立问题即可. 【小问1详解】 令， 因为函数与函数关于对称， 所以， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 因为， 所以，所以. 因为在上单调递增， 所以在上单调递增，所以在上单调递增， 所以在上单调递减， 同理，因为在上单调递增， 所以在上单调递减， 令，则在上单调递减， 又因为对任意的，都成立， 所以，即. 17. 如图，四棱锥中，平面，底面四边形为正方形，，点、分别在棱、上（含端点）运动，且满足． （1）求证：当、为中点时，平面 （2）求证：当时， （3）当异面直线与成角时，求直线与所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：设，以为原点，为轴，为轴，过作垂直底面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 所以，，，，， 设，则，. 当为中点时，，则，. 所以，，. 所以，， 故，，，平面，所以平面. （2）证明：当时，，， 即，，. 底面正方形面积：. 四边形面积用割补法：. ，高均为，，所以. （3） 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面垂直、体积比例、异面直线夹角. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 由题，，，. 当异面直线与成角时，由，， 化简可得，解得 设与夹角：， 代入，， 由， ，， ， 化简：， 所以. 18. 已知，，，在上单调，． （1）求图象的一个对称中心； （2）若，求的最大值； （3）若为正整数，且，求． 【答案】（1）. （2）． （3）. 【解析】 【分析】（1）利用单调性与端点函数值关系确定对称中心； （2）由对称中心将等值条件化为正弦等式，分两类讨论并验证最大值； （3）结合正整数条件确定相位并代入检验，讨论或的情况． 【小问1详解】 设，，则其中点，且． 由于在上单调，而正弦函数的单调区间长度至多为，所以，即 由，利用和差化积公式，得. 当时，，所以． 当时，在上所对应的正弦相位区间长度为． 要使正弦函数在整个区间上单调，该相位区间必须为某个，其中． 故相位中点仍为，即． 因此，两种情况均有， 由此可将函数写为，其图象关于点中心对称． 故所求的一个对称中心为． 【小问2详解】 由（1）知，且． 因为，，所以由得. 将两边移项并利用和差化积公式，得. 因此，必须满足以下两类情况之一： ①若，则，其中为正整数． ②若，则，其中． 由，第一类中； 第二类中． 故候选值为，其中最大的为． 下面验证它能够取到． 取，，则，且. 由，得在题设区间上单调递减． 又相位中点为，故． 此外，，故． 故的最大值为． 【小问3详解】 由（1）知，且为正整数，所以或． 又由（1）得. ①当时，由可得，于是． 此时， 不符合题意． ②当时，由可得，于是． 此时，符合题意． 故． 19. 已知函数． （1）已知，证明：函数在上单调递减； （2）已知，证明：； （3）当时，令，，证明：在上恰有2个零点． 【答案】（1）证明：函数的定义域为， 且，令，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，所以，即， 因为，所以，即恒成立， 所以函数在区间上为单调递减函数. （2）证明：设，可得， 令，可得，令，可得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，所以，即， 令，可得，即， 所以在区间上为单调递增函数， 因为，可得，即， 所以， 令，可得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，可得，即， 因为，可得，所以， 所以原不等式成立. （3）证明：当时，，可得， 当时，令，可得，其中， 所以为单调递增函数，即为单调递增函数， 当时，且； 此时存在唯一的极小值点， 可得，，所以在上有唯一的零点； 当时，，可得， 因为，所以恒成立，所以在上没有零点； 当时，，可得，单调递减， 由，所以在上有唯一的零点， 综上可得，函数在上恰有两个零点. 【解析】 【分析】（1）求得，令，利用导数求得的单调性和，得到，进而得到恒成立，即可得证； （2）设，利用导数求得为递增函数，结合不等式，化简得到，再由，得到，即可得证； （3）当时，得到，求得，分，和，三种情况讨论，结合零点存在性定理，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三年级9月质量监测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．本试卷共4页，考试时间120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集为（     ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设函数的零点为，则（ ） A. B. C. D. 5. 若直线与曲线相切，则（ ） A. B. C. D. 6. 当蛋白质分子量达到一定量级时，其分子量与迁移率之间满足，其中为常数.若，则当分子量变为原来的2倍时，现迁移率与原迁移率的差值为（ ） A. B. C. D. 2 7. 函数与在上交点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知两个不相等的正实数满足：，则下列不等式中一定不成立的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正实数满足，则（ ） A. 的最大值为4 B. 的最大值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为8 10. 给定函数（ ） A. 的图像关于原点对称 B. 的值域是 C. 在区间上是增函数 D. 有三个零点 11. 已知函数，集合，集合，若，则实数a的取值可以是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若幂函数的图象与轴没有交点，则________． 13. 已知，函数有最小值，则______． 14. 已知函数．若，则___________；若的定义域为，则零点的个数为_________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 两位同学玩猜卡牌点数的游戏，共有5张卡牌，李同学知道其中4张卡牌的点数，张同学知道其中3张卡牌的点数，两个同学所猜点数相互独立，如果猜对每张卡牌的点数都是等可能的． （1）随机选择一张卡牌，求李同学和张同学各自猜中的概率； （2）随机选择一张卡牌，求李同学和张同学至少一人猜中的概率． 16. 已知函数与函数关于对称． （1）求函数的解析式； （2），都有，求的取值范围． 17. 如图，四棱锥中，平面，底面四边形为正方形，，点、分别在棱、上（含端点）运动，且满足． （1）求证：当、为中点时，平面 （2）求证：当时， （3）当异面直线与成角时，求直线与所成角的正弦值． 18. 已知，，，在上单调，． （1）求图象的一个对称中心； （2）若，求的最大值； （3）若为正整数，且，求． 19. 已知函数． （1）已知，证明：函数在上单调递减； （2）已知，证明：； （3）当时，令，，证明：在上恰有2个零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $