八年级数学上学期期中模拟卷02（新教材湘教版八年级上册第1～2章因式分解+分式）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2024八年级数学上册第1~2章（因式分解+分式）。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各式：，，，，，其中分式共有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 2．若多项式因式分解的结果为，则，的值分别为（   ） A．， B．，3 C．2， D．2，3 3．用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如果，那么的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．n为正整数，若的公因式是M，则M等于（    ） A． B． C． D． 7．已知是完全平方式，则m的值为（    ） A．2 B． C．6 D． 8．已知，则M等于（   ） A． B． C． D． 9．若关于的分式方程无解，则a的值为（   ） A．3 B．5 C．7 D．8 10．计算的值是（       ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．分解因式： ． 12．已知与的互为相反数，则 ． 13．若实数，满足，则的值为 ． 14．已知，那么的值是 ． 15．已知可因式分解为，其中均为正整数，则的值为 ． 16．若，且，则代数式的值为 ． 17．某旅游景区为丰富游客体验，开设了民俗体验活动，每个体验区体验5分钟角色扮演，景区入口为，设有，，三个民俗体验区，出口为．甲、乙二人同时从入口出发，甲沿的路线体验，乙沿的路线体验，其中，间的路程为720米，，间的路程为100米，，间的路程为240米，两人在每两个地点间均为匀速行走．若二人同时分别到达体验区和，最后从体验区和前往出口的速度相同，且乙从体验区到的时间为到的时间的2倍，乙从体验区到的速度比到的速度快10米/分钟，则 出口．（填“甲先到达”“乙先到达”或“两人同时到达”） 18．已知：，则 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）用乘法公式简便计算： (1) (2) 20．（6分）解下列分式方程 (1) (2) 21．（8分）整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．将“”看成一个整体，令，则原式再将“y”还原即可． 解：设． 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． 问题： (1)①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果_______； ②请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解； (2)请你模仿以上方法尝试计算： ． 22．（8分）先化简，再求值：，其中． 23．（9分）赣南脐橙，江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品．临近春节，某水果商店老板想购进一批赣南脐橙进行销售，已知用1200元购买的精品果箱数与用900元购买的普通果箱数相同，每箱精品果比普通果的价格贵15元． (1)求精品果和普通果每箱的价格； (2)若该老板想要购进精品果与普通果共100箱，且花费不超过5000元，求最少要购进普通果多少箱． 24．（9分）【探究】如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______（用含a，b的等式表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （1）已知，则的值为______； （2）计算：； 【拓展】计算：． 25．（10分）如果一个自然数的个位数字不为，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为，则称数为“合和数”，并把数分解成的过程，称为“合分解”． 例如，和的十位数字相同，个位数字之和为， 是“合和数”． 又如，和的十位数字相同，但个位数字之和不等于， 不是“合和数”． (1)判断，是否是“合和数”？并说明理由； (2)把一个四位“合和数”进行“合分解”，即．的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的和记为；的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的差的绝对值记为．令，当能被整除时，求出所有满足条件的． 26．（10分）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是2，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； (3)已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，求的值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2024八年级数学上册第1~2章（因式分解+分式）。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各式：，，，，，其中分式共有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查分式的定义，对题中出现的各式逐一分析，统计出分式的个数即可． 【详解】解：对于，分母是a，a是字母，所以是分式； 对于，分母是，是一个常数，也是常数，不含有字母，所以不是分式； 对于，分母是2，2是常数，不含字母，所以不是分式； 对于，的分母是x，x是字母，所以是分式； 对于，分母是，x是字母，所以是分式． 综上所述，其中分式有：，，，共3个． 故选：B． 2．若多项式因式分解的结果为，则，的值分别为（   ） A．， B．，3 C．2， D．2，3 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义和多项式的乘法，解题的关键是将因式分解的结果展开． 根据题意得到，可得m、n的值． 【详解】解：∵ ∴ ∴，， 故选：C． 3．用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解． 【详解】解：∵， 故选：A． 4．下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂除法、幂的乘方、积的乘方、合并同类项等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．根据同底数幂除法、幂的乘方、积的乘方、合并同类项逐项判断即可． 【详解】解：A. ，故该选项错误，不符合题意； B. ，故该选项错误，不符合题意；     C. ，故该选项正确，符合题意；     D. 和不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意． 故选：C． 5．如果，那么的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，掌握零指数幂，负整数指数幂的运算法则是解题的关键；根据零指数幂，负整数指数幂分别求出a，b，c，再比较大小即可得解． 【详解】解：， ， ， 故选：． 6．n为正整数，若的公因式是M，则M等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查提公因式，熟练掌握提公因式是解题的关键；因此此题可根据提公因式进行求解． 【详解】解：， 所以公因式； 故选C． 7．已知是完全平方式，则m的值为（    ） A．2 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．根据是完全平方式可得，再计算完全平方式，由此即可得． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8．已知，则M等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的乘法和除法，由题意可得，结合分式的除法法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 9．若关于的分式方程无解，则a的值为（   ） A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查分式方程无解问题，将分式方程化为整式方程，根据分式方程无解分整式方程无解和分式方程有增根，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 整理，得， ∵分式方程无解， ∴分式方程有增根， ∴， ∴， 把代入，得， ∴； 故选B． 10．计算的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用平方差公式因式分解，能观察出算式中存在一系列的平方差公式是解题的关键． 先将每个括号中的算式依次用平方差公式因式分解，再先后进行约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解， 先提出公因式，再根据平方差公式分解即可. 【详解】解： . 故答案为：. 12．已知与的互为相反数，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解分式方程，根据相反数的定义可得，解方程并检验即可得到答案． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 解得， 检验，当得时，， ∴是原方程的解， 故答案为：． 13．若实数，满足，则的值为 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质，非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 直接利用非负数的性质得出m，n的值，进而利用负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：2． 14．已知，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题利用分式的基本性质，分子分母都除以，巧妙运用已知条件是解本题的关键，也是解本题的突破口． 根据分式的基本性质，分式的分子分母都除以，分式的值不变，再把换成1计算即可． 【详解】解：分式的分子分母都除以，得 ， ∵， ∴原式． 故答案为：． 15．已知可因式分解为，其中均为正整数，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，提取公因式法分解因式，直接提取公因式，进而合并同类项得出即可．正确找出公因式是解题关键． 【详解】解： 可分解因式为，， 则， 故． 故答案为：． 16．若，且，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值计算，因式分解的应用．由已知条件求得，，，再将原式化成，连接两次代值计算便可得出答案． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ∵， ，， 原式 ． 故答案为：． 17．某旅游景区为丰富游客体验，开设了民俗体验活动，每个体验区体验5分钟角色扮演，景区入口为，设有，，三个民俗体验区，出口为．甲、乙二人同时从入口出发，甲沿的路线体验，乙沿的路线体验，其中，间的路程为720米，，间的路程为100米，，间的路程为240米，两人在每两个地点间均为匀速行走．若二人同时分别到达体验区和，最后从体验区和前往出口的速度相同，且乙从体验区到的时间为到的时间的2倍，乙从体验区到的速度比到的速度快10米/分钟，则 出口．（填“甲先到达”“乙先到达”或“两人同时到达”） 【答案】乙先到达 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是准确找到数量关系，建立方程．根据题意设乙从体验区到的速度为米/分钟，到的速度为米/分钟，列出方程解得乙从体验区到的速度和到的速度，进而比较两人行走时间，比较即可得到结果． 【详解】解：设乙从体验区到的速度为米/分钟，到的速度为米/分钟， 乙从体验区到的时间为到的时间的2倍，米，米， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 即乙从体验区到的速度为米/分钟，到的速度为米/分钟， 二人同时分别到达体验区和，最后从体验区和前往出口的速度相同， 甲从体验区前往出口的速度是米/分钟， 甲从体验区前往出口的时间为分，乙从体验区前往出口的时间为分， ， 乙先到达出口． 故答案为：乙先到达． 18．已知：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，先整理，结合，得，再整理，然后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ∵ ∴ ∴ 故答案为： 三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）用乘法公式简便计算： (1) (2) 【详解】（1）解： ；······（3分） （2）解： ．······（3分） 20．（6分）解下列分式方程 (1) (2) 【详解】（1）解： 去分母得， 解得······（2分） 检验：将代入······（1分） ∴原方程的解为； （2）解： 去分母得， 解得······（2分） 检验：将代入 ∴是原方程的增根，······（1分） ∴原方程无解． 21．（8分）整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．将“”看成一个整体，令，则原式再将“y”还原即可． 解：设． 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． 问题： (1)①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果_______； ②请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解； (2)请你模仿以上方法尝试计算： ． 【详解】（1）解：①该同学没有完成因式分解． 最后的结果是：原式 ， 故答案为：．······（2分） ②设， 原式 ．······（3分） （2）解：设， 原式 ．······（3分） 22．（8分）先化简，再求值：，其中． 【详解】解：， ······（6分） 当时，原式．······（2分） 23．（9分）赣南脐橙，江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品．临近春节，某水果商店老板想购进一批赣南脐橙进行销售，已知用1200元购买的精品果箱数与用900元购买的普通果箱数相同，每箱精品果比普通果的价格贵15元． (1)求精品果和普通果每箱的价格； (2)若该老板想要购进精品果与普通果共100箱，且花费不超过5000元，求最少要购进普通果多少箱． 【详解】（1）解：设精品果每箱的价格为x元，则普通果每箱的价格为元． 根据题意得， 解得，······（2分） 经检验是原方程的解，且符合题意，······（1分） ∴（元），······（1分） 答：精品果每箱的价格为60元，普通果每箱的价格为45元； （2）解：设购进普通果m箱，则购进精品果箱． 根据题意得，，······（2分） 解得 ······（2分） ∴符合题意的m的最小值为67，······（1分） 答：最少要购进普通果67 箱． 24．（9分）【探究】如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______（用含a，b的等式表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （1）已知，则的值为______； （2）计算：； 【拓展】计算：． 【详解】解：【探究】图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，所以得到乘法公式． 故答案为： 【应用】（1）∵， ∴． ，且， ． 故答案为：3······（2分） （2） ．······（3分） 【拓展】原式 ．······（4分） 25．（10分）如果一个自然数的个位数字不为，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为，则称数为“合和数”，并把数分解成的过程，称为“合分解”． 例如，和的十位数字相同，个位数字之和为， 是“合和数”． 又如，和的十位数字相同，但个位数字之和不等于， 不是“合和数”． (1)判断，是否是“合和数”？并说明理由； (2)把一个四位“合和数”进行“合分解”，即．的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的和记为；的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的差的绝对值记为．令，当能被整除时，求出所有满足条件的． 【详解】（1）解：， 和十位数字相同，但个位数字， 不是“合和数”．······（1分） ，和十位数字相同，且个位数字， 是“合和数”．······（1分） （2）解：设的十位数字为，个位数字为， 的个位数字不为，且是一个四位“和合数”， ，， 则，， ，． （是整数）． ， ， 是整数， 或，······（3分） 当时， 或， 当时，或，当时，或， 或，······（2分） 当时， 或， 当时，或，当时，或，······（2分） 或． 综上，满足条件的有：，，，．······（1分） 26．（10分）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是2，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； (3)已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，求的值． 【详解】（1）解：C是D的“雅中式”，理由如下：······（1分） ，， 是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2；······（1分） （2）解： 关于的“雅中值”是， ， ， ， ······（2分） 为整数，且“雅中式”的值也为整数， 是2的因数， 可能是：，， 的值为：，0，2，3， 的值为：0，2，3， ；······（2分） （3）解： 是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1， ， 整理得：，······（1分） 由上式恒成立： ， 消去可得：，即， ， 、、为整数， 为整数， 当时， ， 此时：，······（2分） ； 当时， ， 此时：， ， 综上：的值为：7或1．······（1分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C A C C C B C B B 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11． 12．/ 13．2 14． 15． 16． 17．乙先到达 18． 三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）【详解】（1）解： ；······（3分） （2）解： ．······（3分） 20．（6分）【详解】（1）解： 去分母得， 解得······（2分） 检验：将代入······（1分） ∴原方程的解为； （2）解： 去分母得， 解得······（2分） 检验：将代入 ∴是原方程的增根，······（1分） ∴原方程无解． 21．（8分）【详解】（1）解：①该同学没有完成因式分解． 最后的结果是：原式 ， 故答案为：．······（2分） ②设， 原式 ．······（3分） （2）解：设， 原式 ．······（3分） 22．（8分）【详解】解：， ······（6分） 当时，原式．······（2分） 23．（9分）【详解】（1）解：设精品果每箱的价格为x元，则普通果每箱的价格为元． 根据题意得， 解得，······（2分） 经检验是原方程的解，且符合题意，······（1分） ∴（元），······（1分） 答：精品果每箱的价格为60元，普通果每箱的价格为45元； （2）解：设购进普通果m箱，则购进精品果箱． 根据题意得，，······（2分） 解得 ······（2分） ∴符合题意的m的最小值为67，······（1分） 答：最少要购进普通果67 箱． 24．（9分）【详解】解：【探究】图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，所以得到乘法公式． 故答案为： 【应用】（1）∵， ∴． ，且， ． 故答案为：3······（2分） （2） ．······（3分） 【拓展】原式 ．······（4分） 25．（10分）【详解】（1）解：， 和十位数字相同，但个位数字， 不是“合和数”．······（1分） ，和十位数字相同，且个位数字， 是“合和数”．······（1分） （2）解：设的十位数字为，个位数字为， 的个位数字不为，且是一个四位“和合数”， ，， 则，， ，． （是整数）． ， ， 是整数， 或，······（3分） 当时， 或， 当时，或，当时，或， 或，······（2分） 当时， 或， 当时，或，当时，或，······（2分） 或． 综上，满足条件的有：，，，．······（1分） 26．（10分）【详解】（1）解：C是D的“雅中式”，理由如下：······（1分） ，， 是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2；······（1分） （2）解： 关于的“雅中值”是， ， ， ， ······（2分） 为整数，且“雅中式”的值也为整数， 是2的因数， 可能是：，， 的值为：，0，2，3， 的值为：0，2，3， ；······（2分） （3）解： 是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1， ， 整理得：，······（1分） 由上式恒成立： ， 消去可得：，即， ， 、、为整数， 为整数， 当时， ， 此时：，······（2分） ； 当时， ， 此时：， ， 综上：的值为：7或1．······（1分） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2024八年级数学上册第1~2章（因式分解+分式）。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各式：，，，，，其中分式共有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 2．若多项式因式分解的结果为，则，的值分别为（   ） A．， B．，3 C．2， D．2，3 3．用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如果，那么的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．n为正整数，若的公因式是M，则M等于（    ） A． B． C． D． 7．已知是完全平方式，则m的值为（    ） A．2 B． C．6 D． 8．已知，则M等于（   ） A． B． C． D． 9．若关于的分式方程无解，则a的值为（   ） A．3 B．5 C．7 D．8 10．计算的值是（       ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11．分解因式： ． 12．已知与的互为相反数，则 ． 13．若实数，满足，则的值为 ． 14．已知，那么的值是 ． 15．已知可因式分解为，其中均为正整数，则的值为 ． 16．若，且，则代数式的值为 ． 17．某旅游景区为丰富游客体验，开设了民俗体验活动，每个体验区体验5分钟角色扮演，景区入口为，设有，，三个民俗体验区，出口为．甲、乙二人同时从入口出发，甲沿的路线体验，乙沿的路线体验，其中，间的路程为720米，，间的路程为100米，，间的路程为240米，两人在每两个地点间均为匀速行走．若二人同时分别到达体验区和，最后从体验区和前往出口的速度相同，且乙从体验区到的时间为到的时间的2倍，乙从体验区到的速度比到的速度快10米/分钟，则 出口．（填“甲先到达”“乙先到达”或“两人同时到达”） 18．已知：，则 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（6分）用乘法公式简便计算： (1) (2) 20．（6分）解下列分式方程 (1) (2) 21．（8分）整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．将“”看成一个整体，令，则原式再将“y”还原即可． 解：设． 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． 问题： (1)①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果_______； ②请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解； (2)请你模仿以上方法尝试计算： ． 22．（8分）先化简，再求值：，其中． 23．（9分）赣南脐橙，江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品．临近春节，某水果商店老板想购进一批赣南脐橙进行销售，已知用1200元购买的精品果箱数与用900元购买的普通果箱数相同，每箱精品果比普通果的价格贵15元． (1)求精品果和普通果每箱的价格； (2)若该老板想要购进精品果与普通果共100箱，且花费不超过5000元，求最少要购进普通果多少箱． 24．（9分）【探究】如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______（用含a，b的等式表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （1）已知，则的值为______； （2）计算：； 【拓展】计算：． 25．（10分）如果一个自然数的个位数字不为，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为，则称数为“合和数”，并把数分解成的过程，称为“合分解”． 例如，和的十位数字相同，个位数字之和为， 是“合和数”． 又如，和的十位数字相同，但个位数字之和不等于， 不是“合和数”． (1)判断，是否是“合和数”？并说明理由； (2)把一个四位“合和数”进行“合分解”，即．的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的和记为；的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的差的绝对值记为．令，当能被整除时，求出所有满足条件的． 26．（10分）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是2，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； (3)已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，求的值． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $