精品解析：四川省达州市渠县第三中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

四川省达州市渠县第三中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题 一、单选题（本大题共10个小题，每题4分，共40分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，是边上的中线，且，则的长是（ ） A. B. 5 C. D. 10 3. 如图，矩形的对角线交于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 用求根公式解一元二次方程时a，b，c的值是（　　） A. B. C. D. 5. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 一组邻边相等的矩形是正方形 B. 一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 C. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 6. 用直接开方法解方程得方程的根为（ ） A. B. C. D. 7. 对于实数，定义运算“※”如下：，例如，※．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 菱形的一条对角线长为6，边的长是方程的一个根，则菱形的面积为（　　） A. 48 B. 24 C. 15 D. 12 9. 某网络作家计划写一篇章的小说，由于在连载过程中受到读者的一致好评，他投入了更多时间和精力进行创作，平均每天的写作效率高出原计划的，截稿时间提前了天．设该作家原计划每天写章，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为2，点从点出发沿着线段向点运动（不与点、重合），同时点从点出发沿着线段向点运动（不与点、重合），点与点的运动速度相同．与相交于点，为中点．则下列结论：①是定值；②平分；③当运动到中点时，；④当时，四边形的面积是． 其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ①③④ D. ①④ 二、填空题（本大题共5个小题，每题4分，共20分） 11. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 12. 如图，菱形中，，若对角线，则菱形的周长为________． 13. 如图，正方形的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形的两边分别交正方形的边于点．记的面积为的面积为，若正方形的边长，则的大小为____________． 14. 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的解，则此三角形的周长是__． 15. 如图，正方形的边长为3，点在上且，点、分别为线段、上的动点，连接，，，．若在点、的运动过程中始终满足，则的最小值为______ 三、解答题（本大题共10小题，共90分） 16. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 17. （1）解不等式组： （2）先化简，再求值：，其中 18. 关于 x 的一元二次方程有实数根． （1）求 k 的取值范围； （2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时 m 的值． 19. 如图，四边形ABCD是矩形，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E．求证：∠BDA =∠EDA． 20. 如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且． （1）若的长度为1，求的长度； （2）试说明：． 21. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC．BD相交于点O，且O是BD的中点 （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若，，求四边形ABCD的周长． 22. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N． （1）求证：∠ADB=∠CDB； （2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形． 23. 如图，将边长为8的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN． （1）求线段CN的长； （2）求以线段MN为边长的正方形的面积． 24. 阅读下面的材料： 解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则，∴原方程可化为，解得，当时， ，当时，．∴原方程有四个根是： ， ，，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． （1）解方程：． （2）已知实数a，b满足，试求的值． 25. 在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴正半轴与y轴正半轴上一点，，，以为边在第一象限内作正方形． （1）若，，求点C与点D的坐标； （2）点C在直线（且k为常数）上运动． ①如图1，若，求直线的解析式； ②如图2，连接、交于点E，连接，若，直接写出直线的解析式．［若、，线段的中点坐标为．］ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市渠县第三中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题 一、单选题（本大题共10个小题，每题4分，共40分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键在于掌握一元二次方程必须满足：（1）含有一个未知数，含未知数的项的最高次数是2；（2）整式方程． 根据一元二次方程的定义求解，即可解题． 【详解】解：A. ，含两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B. ，不是等式，故不是一元二次方程，不符合题意； C. ，是一元二次方程，符合题意； D. ，当时，二次项不存在，故不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 2. 如图，在中，，是边上的中线，且，则的长是（ ） A. B. 5 C. D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的特征：斜边的中线等于斜边的一半，熟记相关结论即可求解． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴ 故选：D 3. 如图，矩形的对角线交于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，矩形的对角线相等且互相平分，据此可得答案． 【详解】解：矩形的对角线交于点，， ， 故选：D． 4. 用求根公式解一元二次方程时a，b，c的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程的一般形式、公式法解一元二次方程，解答本题的关键是明确一元二次方程的一般形式． 先将方程化为一般形式，然后即可写出、、，本题得以解决． 【详解】解：， ， ，，， 故选：C． 5. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 一组邻边相等的矩形是正方形 B. 一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 C. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定等知识，熟记各判定定理是解题的关键．根据菱形的判定定理、矩形的判定定理和正方形的判定定理，平行四边形的判定定理，逐一判断即可得出结论． 【详解】解：A、一组邻边相等的矩形是正方形，正确，不符合题意； B、一组对边相等且有一个角是直角的四边形不一定是矩形，错误，符合题意； C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，不符合题意； D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确，不符合题意． 故选：B． 6. 用直接开方法解方程得方程的根为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】考查一元二次方程的解法—直接开平方法，运用整体思想，把看作一个整体，利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 7. 对于实数，定义运算“※”如下：，例如，※．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了新定义，一元二次方程的解法，正确应用新定义是解题关键． 直接利用新定义，列出方程求解即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴ 整理得， 解得． 故选：D． 8. 菱形的一条对角线长为6，边的长是方程的一个根，则菱形的面积为（　　） A. 48 B. 24 C. 15 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握方程的解法是解本题的关键． 求出已知方程的解，确定出的长，再利用菱形的性质求解即可． 【详解】解：方程， 分解因式得：， 可得或， 解得：或， 当时，，不能构成三角形，舍去； 当时，设菱形对角线相交 于O，如图， ∵菱形， ∴，， 由勾股定理，得， ∴ ∴菱形面积为； 故选：B． 9. 某网络作家计划写一篇章的小说，由于在连载过程中受到读者的一致好评，他投入了更多时间和精力进行创作，平均每天的写作效率高出原计划的，截稿时间提前了天．设该作家原计划每天写章，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．设该作家原计划每天写章，则实际每天写章，根据实际截稿时间提前了天，列出方程即可． 【详解】解：设该作家原计划每天写章， 根据题意得， 故选：A． 10. 如图，正方形的边长为2，点从点出发沿着线段向点运动（不与点、重合），同时点从点出发沿着线段向点运动（不与点、重合），点与点的运动速度相同．与相交于点，为中点．则下列结论：①是定值；②平分；③当运动到中点时，；④当时，四边形的面积是． 其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ①③④ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】首先证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，即，易知是定值，故可判断结论①；根据题意无法判断与的大小关系，即可判断结论②；③当运动到中点时，点运动到中点，利用勾股定理解得的值，然后根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可求得的值，即可判断结论③；利用全等三角形的性质可得，即进而可得，时，结合可得，进而可得，易知，即可判断结论④． 【详解】解：①∵四边形是正方形， ∴，， ∵点与点的运动速度相同， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴，是定值， 故①正确； ②根据题意无法判断与的大小关系，所以平分不正确， 故②错误； ③当运动到中点时，点运动到中点， ∴， ∴， ∵为中点， ∴，故③正确； ④∵， ∴，即， ∴， 当时，可有， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确． 综上所述，结论正确的是①③④． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 二、填空题（本大题共5个小题，每题4分，共20分） 11. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，把根代入方程中，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得：； 故答案为：1． 12. 如图，菱形中，，若对角线，则菱形的周长为________． 【答案】12 【解析】 【分析】利用菱形的性质及等边三角形的判定及性质可得，再利用菱形的周长计算公式即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， 又， ， 解得：， 是等边三角形， ， 菱形的周长为：， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了菱形的性质和等边三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 13. 如图，正方形的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形的两边分别交正方形的边于点．记的面积为的面积为，若正方形的边长，则的大小为____________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，根据正方形的性质得出，推出，证出可得答案． 【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 14. 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的解，则此三角形的周长是__． 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，三角形的三边关系，解题的关键是掌握以上内容． 根据解一元二次方程的步骤求出方程的根，然后根据三角形的三边关系进行验证，最后求出周长即可． 【详解】解： 或 或， 当时，，不能构成三角形，舍去； 当时，，能构成三角形； ∴此三角形的周长是， 故答案为：13． 15. 如图，正方形的边长为3，点在上且，点、分别为线段、上的动点，连接，，，．若在点、的运动过程中始终满足，则的最小值为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的三边关系，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．过过点P作与G，可证，得到，过点E作，并使，连接，则，可得四边形是平行四边形，得到，即得，可知当点B、P、M三点共线时，的值最小，最小值为的长，利用勾股定理求出，进而可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点P作与G，则， ， ， ， ， ，即， 四边形是正方形， ， ， ， ， 如图，过点E作，并使，连接，则， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 当点B、P、M三点共线时，的值最小，最小值为的长， ， ， ， 的最小值为， 故答案为： 三、解答题（本大题共10小题，共90分） 16. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答； （2）运用配方法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵ ∴， 则，， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 则， ∴，． 17. （1）解不等式组： （2）先化简，再求值：，其中 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了求不等式组的解集以及分式化简求值，注意计算的准确性即可； （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． （2）将分式的分母和分子分别因式分解即可求解； 【详解】解：（1）， 解①得：得； 解②得：得； ∴不等式组的解集为：； （2）原式， ， ∵， ∴原式 18. 关于 x 的一元二次方程有实数根． （1）求 k 的取值范围； （2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时 m 的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解与根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式得到，求解即可； （2）根据（1）中结论得到符合条件的最大整数，解方程得到，，分别代入方程中，即可求出m的值，注意要满足． 【小问1详解】 解：∵关于 x 的一元二次方程有实数根， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵k是符合条件的最大整数， ∴， ∴为， 解得，， 当是一元二次方程的解时， ， 解得， ∵， ∴不合题意，舍去； 当是一元二次方程的解时， ， 解得． 综上所述，m的值为． 19. 如图，四边形ABCD是矩形，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E．求证：∠BDA =∠EDA． 【答案】 证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AC=BD，OA=，OD=， ∴ OA=OD， ∴ ∠CAD=∠BDA． ∵DE∥AC， ∴∠CAD=∠EDA， ∴∠BDA =∠EDA 【解析】 【分析】根据矩形的性质和平行线的性质即可得到结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键． 20. 如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且． （1）若的长度为1，求的长度； （2）试说明：． 【答案】（1） （2） 解：设，则． 因为为的中点， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以是直角三角形， 所以． 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，正方形的性质； （1）根据正方形的性质得到，再结合勾股定理得到，计算求解即可． （2）设，则，结合勾股定理推出，即可求出结果． 【小问1详解】 解：因为， 所以． 因为四边形是正方形，所以． 因为， 所以在中，， 所以． 【小问2详解】 略 21. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC．BD相交于点O，且O是BD的中点 （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若，，求四边形ABCD的周长． 【答案】 (1)证明：， ， ，， ， ． 又， ∴四边形ABCD是平行四边形． (2)32 【解析】 【分析】（1）利用全等三角形的性质证明即可解决问题． （2）证明四边形ABCD是菱形，即可求四边形ABCD的周长． 【详解】解：（1）略 （2）∵四边形ABCD是平行四边形，， ∴四边形ABCD是菱形， ∴四边形ABCD的周长. 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 22. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N． （1）求证：∠ADB=∠CDB； （2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形． 【答案】 证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， 在△ABD和△CBD中， ， ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴∠ADB=∠CDB； （2）∵PM⊥AD，PN⊥CD， ∴∠PMD=∠PND=90°， ∵∠ADC=90°， ∴四边形MPND是矩形， ∵∠ADB=∠CDB， ∴∠ADB=45° ∴PM=MD， ∴四边形MPND是正方形． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB=∠CDB； （2）若∠ADC=90°，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据邻边相等的矩形是正方形即可证明四边形MPND是正方形． 【详解】略 23. 如图，将边长为8的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN． （1）求线段CN的长； （2）求以线段MN为边长的正方形的面积． 【答案】（1）CN=3；（2）正方形的面积为80 【解析】 【分析】（1）根据题意易得DN=NE，BE=EC=4，设CN=x，则有DN=8-x，然后根据勾股定理进行求解即可； （2）过点M作MG⊥CD于点G，连接DE，证明△MNG≌△DEC，则有MN=DE，进而根据勾股定理及正方形的面积公式可求解． 【详解】解：（1）∵将边长为8的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处， ∴DN=NE，BE=EC=4， 设CN=x，则有DN=8-x， ∴在Rt△ECN中，，即， 解得，即CN=3； （2）过点M作MG⊥CD于点G，连接DE，交MN于点H，如图所示： 由题意可得AM=DG，MG=BC=CD，∠MGN=∠C=90°， 根据折叠的性质可得：DE⊥MN， ∴∠NMG+∠MHE=90°， ∵∠EDC+∠DHG=90°，∠DHG=∠MHE， ∴∠NMG=∠EDC， ∴△MNG≌△DEC（ASA）， ∴MN=DE， 在Rt△DEC中，， ∴， ∴以MN为边的正方形面积为：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 24. 阅读下面的材料： 解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，则，∴原方程可化为，解得，当时， ，当时，．∴原方程有四个根是： ， ，，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． （1）解方程：． （2）已知实数a，b满足，试求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，代数式求值，熟练掌握换元法是解题的关键． （1）设，则，整理，得，解关于y的一元二次方程，然后解关于x的一元二次方程即可求解； （2）设，则，整理得，解一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解：设，则， 整理得：， 解得：， 当，即时， 解得； 当，即时， 解得． 综上，原方程的解为，． 【小问2详解】 设，则， 整理得：， 解得： (舍去)， ∴． 25. 在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴正半轴与y轴正半轴上一点，，，以为边在第一象限内作正方形． （1）若，，求点C与点D的坐标； （2）点C在直线（且k为常数）上运动． ①如图1，若，求直线的解析式； ②如图2，连接、交于点E，连接，若，直接写出直线的解析式．［若、，线段的中点坐标为．］ 【答案】（1）； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）过点C作轴于点E，过点D作轴于点F，证明，得出，，即可得出，同理得：，根据全等三角形性质得出，，得出，把，代入解答即可； （2）①利用待定系数法确定函数关系式即可； ②根据B、D坐标表示出E点坐标，由勾股定理可得到m、n之间的关系式，用m表示出C点坐标，根据函数关系式解答即可． 【小问1详解】 解：过点C作轴于点E，过点D作轴于点F，如图所示： 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即； 同理得：， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即； 【小问2详解】 解：①当时，直线解析式为， 设， 根据解析（1）可得，， 即， 解得：， ∴， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； ②∵，， ∴根据中点坐标公式得：， ∵， ∴ ∴， 整理得：， ∴，（舍去）， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：． 【点睛】此题是考查一次函数的综合题，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，求一次函数解析式，解题的关键是根据待定系数法确定函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $