期中押题重难点检测卷（提高卷）（考试范围：第1-4章）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（北师大版2024）

八年级上学期数学期中押题重难点检测卷（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：北师大版2024第1—4章：勾股定理、实数、位置与坐标、一次函数； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级上·山西太原·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·福建三明·期中）以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（    ） A．3，8，12 B．8，15，17 C．12，15，18 D．3，17，18 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）中国象棋文化历史悠久，如图是某次对弈的残局，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一直角坐标系中，“马”所在位置是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①，彩旗完全展平时的尺寸（单位：）如图②的长方形，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）在同一平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的大致图象不可能是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·陕西西安·期中）若，则化简（   ） A． B． C．3 D．5 7．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别为，直线（是常数）与三角形的边有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，正方形中顶点，轴且边长为2，规定把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，连续经过2024次变换后，正方形的顶点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，连接，，，，，则的面积为（    ） A．36 B．54 C．72 D．108 10．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，一只蜘蛛在一块长方体的一个顶点处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点处，已知长方体长，宽，高.蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方体的表面从点爬到点，则蜘蛛爬行的最短路程是（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26八年级上·山东青岛·期中）的平方根是 ． 12．（25-26八年级上·山西晋中·期中）一个直角三角形的斜边长为，一条直角边长为，则另一条直角边的长为 ． 13．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）点，在直线上，若，则 ．（填“”、“”或“”） 14．（25-26八年级上·江西上饶·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，若与全等点与点不重合，则点的坐标为 ． 15．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）边长为1的8个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线平分这8个正方形所组成的图形的面积，且与其中一个正方形的边交于点，则点的坐标为 ． 16．（25-26八年级上·天津·期中）如图，平面直角坐标系中有点和轴上一动点，其中，以点为直角顶点在第二象限内作等腰直角，设点C坐标为． (1)当，则点的坐标为 ； (2)动点B在运动过程中， ． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（25-26八年级上·江苏常州·期中）计算： (1) (2) 18．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）已知的算术平方根是，的立方根是，求的立方根． 19．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)在图中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； (2)在图中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数； (3)在你所画的图中，求出斜边上的高（每个小正方形的边长为1）． 20．（25-26八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点都在格点上． (1)作出关于y轴对称的（点A，B，C的对称点分别是，，）． (2)点到x轴的距离为________；点到y轴的距离为________；点的坐标为________． (3)的面积为________． 21．（24-25八年级下·河南安阳·期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． (1)求风筝的垂直高度． (2)如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？ 22．综合与探究——代数推理 定义：对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”，这些算术平方根中，最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”． 例如：对于1，4，9这三个数，，，，这些算术平方根都是整数，因此，1，4，9这三个数称为“漂亮数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． 问题解决： (1)请你通过计算判断4，16，25这三个数是不是“漂亮数”． (2)请你写出两组“漂亮数”．（不与前面出现过的“漂亮数”相同） (3)已知正整数9，25，m是“漂亮数”，且，若“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的3倍，求m的值． 23．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略．这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性．某校八年级数学兴趣小组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究． 【初步探究】 （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请利用图1推导：． 【结论运用】 （2）如图2，已知，是直角三角形，．若，的长比的长大2，求 的长． 【应用拓展】 （3）学校校内有一块如图3所示的三角形空地，其中米，米，米．计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米的造价为60元，学校修建这个花园需要投资多少元？ 24．（25-26八年级上·陕西西安·期中）某无人机配件销售公司有A和B两种配件，其进价和售价如表． 种类 A配件 B配件 进价（元件） a 80 售价（元件） 300 100 已知用12800元可购进A配件40件和B配件30件． (1)求的值； (2)若该无人机配件销售公司某次购进A种配件和B种配件共300件，并全部售出，且本次销售获得的总利润为y元，购进的A种配件为x件． （）请写出y与x之间的函数表达式；（利润售价－进价） （）根据市场销售分析，B种配件购进件数不低于A种配件的2倍，问怎样购进配件才能使本次销售获得的总利润最大？最大总利润是多少元？ 25．（24-25八年级上·山东济南·期中）已知：直线与轴、轴分别相交于点和点，点在线段上．将沿折叠后，点恰好落在边上点处． (1)求出、两点的坐标； (2)求出的长； (3)点是坐标轴上一点，若是直角三角形，求点坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级上学期数学期中押题重难点检测卷（提高卷） （满分120分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：北师大版2024第1—4章：勾股定理、实数、位置与坐标、一次函数； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级上·山西太原·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的加减法，二次根式的性质，二次根式的除法，逐一分析各选项的运算是否正确，利用平方根的性质和运算法则进行判断． 【详解】解：A．无法合并，故A错误，不符合题意； B．，故B错误，不符合题意； C．，故C正确，符合题意； D．，故D错误，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·福建三明·期中）以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（    ） A．3，8，12 B．8，15，17 C．12，15，18 D．3，17，18 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故选项错误； B、，能构成直角三角形，故选项正确； C、，不能构成直角三角形，故选项错误； D、， 不能构成直角三角形，故选项错误. 故选：B． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）中国象棋文化历史悠久，如图是某次对弈的残局，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一直角坐标系中，“马”所在位置是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标，根据“帅”的位置建立平面直角坐标系，即可得到“马”所在位置． 【详解】解：如图建立直角坐标系， 则“马”所在位置是， 故选：C． 4．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①，彩旗完全展平时的尺寸（单位：）如图②的长方形，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．先利用勾股定理求出长方形对角线长度，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度即为旗杆的高度减去彩旗的对角线的长． 【详解】解：彩旗下垂时最低处离地面的最小高度即为旗杆的高度减去彩旗的对角线的长， 彩旗的对角线长为， ∴． 则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度为． 故选：B． 5．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）在同一平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的大致图象不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的图象以及一次函数图象与系数的关系．根据一次函数图象经过的象限即可得出、的正负，由此即可得出正比例函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【详解】解：A、一次函数图象过第一、三、四象限， ，，即， ∴， ∴正比例函数的图象应过一、三象限，故本选项符合题意； B、一次函数图象过第一、二、四象限， ，，即， ∴， ∴正比例函数的图象应过一、三象限，故本选项符合题意； C、一次函数图象过第一、二、三象限， ，，即， ∴， ∴正比例函数的图象应过二、四象限，故本选项符合题意； D、一次函数图象过第一、三、四象限， ，，即， ∴， ∴正比例函数的图象应过一、三象限，故本选项不符合题意； 故选：D． 6．（25-26八年级上·陕西西安·期中）若，则化简（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值，算术平方根，根据绝对值的性质，将根号内的平方转化为绝对值表达式，再结合x的范围化简求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴原式， 故选：B． 7．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别为，直线（是常数）与三角形的边有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与系数的关系，将B、C两点坐标代入解析式确定k的边界点是解题关键．把B点和C点坐标分别代入中求出对应的值，即可确定k的取值范围． 【详解】解：当直线经过点时，，解得； 当直线经过点时，，解得， 当时，直线是常数）与三角形的边有交点， 故选：A． 8．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，正方形中顶点，轴且边长为2，规定把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，连续经过2024次变换后，正方形的顶点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查坐标系上点的翻折，平移后点的坐标，依据要求正确求出变化后点的坐标是解题关键． 依次按要求变化后写出坐标，得出坐标与变化次数n的关系即可． 【详解】解：∵点，轴，且边长为2， ∴点的坐标为， 第1次变换后， 第2次变换后， 第3次变换后， 第4次变换后， …… 从而找到规律：当为奇数时，；当为偶数时，． ∴当时，． 故选B． 9．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，连接，，，，，则的面积为（    ） A．36 B．54 C．72 D．108 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用及三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题关键； 先在直角三角形中，通过勾股定理求出，再在直角三角形中，通过勾股定理求出，进而可得到的面积． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴的面积为：， 故选：B． 10．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，一只蜘蛛在一块长方体的一个顶点处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点处，已知长方体长，宽，高.蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方体的表面从点爬到点，则蜘蛛爬行的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，分别把长方体沿长，宽，高展开，画出对应的示意图，利用勾股定理求出三种情况下的长，比较即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当沿着高把长方体展开时， 在中，，，， ； 如图所示，当沿着长把长方体展开时 在中，，，， ； 如图所示，当沿着宽把长方体展开时， 在中，，，， ； ， ∴沿着长方体的表面从点爬到点，则蜘蛛爬行的最短路程是， 故选：A． 第II卷（非选择题） 二、填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26八年级上·山东青岛·期中）的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的意义，先求出，再由的平方根是，即可得出结论． 【详解】解：， 的平方根是， ∴的平方根是， 故答案为． 12．（25-26八年级上·山西晋中·期中）一个直角三角形的斜边长为，一条直角边长为，则另一条直角边的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理，掌握“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方”是解题关键； 直接利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵一个直角三角形的斜边长为，一条直角边长为， ∴另一条直角边为：， 故答案为： ． 13．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）点，在直线上，若，则 ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，由一次函数的解析式可得随着的增大而减小，结合点，在直线上，且即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵直线，， ∴随着的增大而减小， ∵点，在直线上，且， ∴， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·江西上饶·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，若与全等点与点不重合，则点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定，写出坐标系中点的坐标，由全等三角形的判定在坐标系中画出与之全等的三角形，写出坐标即可解决问题． 【详解】解：如图，以A、B、P为顶点的三角形与全等（点P与点C不重合），满足条件的点P有3个． 点P的坐标为或或， 故答案为：或或． 15．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）边长为1的8个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线平分这8个正方形所组成的图形的面积，且与其中一个正方形的边交于点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的几何应用．过点A作轴于点C，则，结合直线平分这8个正方形所组成的图形的面积，可得，从而得到点A的坐标为，进而得到直线的解析式，即可求解． 【详解】解：过点A作轴于点C，则， ∵直线平分这8个正方形所组成的图形的面积， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标为， 把代入得： ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点B的纵坐标为1， 把代入得： ，解得：， ∴点B的坐标为． 故答案为： 16．（25-26八年级上·天津·期中）如图，平面直角坐标系中有点和轴上一动点，其中，以点为直角顶点在第二象限内作等腰直角，设点C坐标为． (1)当，则点的坐标为 ； (2)动点B在运动过程中， ． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定、图形与坐标、等腰直角三角形性质的应用，解题的关键是作辅助线构造全等三角形． （1）先过点作轴于，证≌，推出，，即可得出点的坐标； （2）先过点作轴于，证≌，推出，，可得，即可得出点的坐标，进而解题． 【详解】（1）解：如图1中，过点作轴于，则， ∵是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ∴≌， ，， ∴，， ， ； 故答案为：； （2）解：动点在运动的过程中，的值不变． 理由：过点作轴于，如（1）图，则， ∵是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ∴≌， ，， ∴，， ， ， 又点的坐标为， ， 故答案为：1． 三、解答题（9小题，共72分） 17．（25-26八年级上·江苏常州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，立方根和算术平方根等知识点，正确化简计算是解题的关键． （1）分别计算乘方，算术平方根，绝对值，再进行加减计算； （2）分别计算乘方，算术平方根，立方根，再进行加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）已知的算术平方根是，的立方根是，求的立方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了已知一个数的算术平方根和立方根求这个数，准确利用算术平方根和立方根的性质计算是解题的关键．根据的算术平方根是可得，即可求出，根据的立方根是可得，即可求出，进而代入计算即可得解． 【详解】解：的算术平方根是2， ， ， 的立方根是， ， ， ， 的立方根是． 19．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． (1)在图中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； (2)在图中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数； (3)在你所画的图中，求出斜边上的高（每个小正方形的边长为1）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，准确的理解勾股定理和构造直角三角形是解题的关键． （1）画一个边长为3,4,5的三角形即可； （2）利用勾股定理，找长为、和4的线段，画三角形即可； （3）根据等积法求出斜边上的高即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形；（答案不唯一） ； （2）解：如图，即为所求作的三角形．（答案不唯一） ，； （3）解：设直角三角形斜边上的高为h，则， ∴． 20．（25-26八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点都在格点上． (1)作出关于y轴对称的（点A，B，C的对称点分别是，，）． (2)点到x轴的距离为________；点到y轴的距离为________；点的坐标为________． (3)的面积为________． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【分析】本题考查了作图中轴对称变换，最短路径问题，理解几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的是解题的关键． （1）根据关于轴对称的点坐标的特征得到，，然后顺次连接，即可求解； （2）根据，，的坐标，写出，到坐标轴的距离，即可求解； （3）利用三角形所在的长方形的面积减去三个直角三角形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：点到x轴的距离为；点到y轴的距离为；点的坐标为． 故答案为：，，． （3）解： 故答案为：． 21．（24-25八年级下·河南安阳·期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． (1)求风筝的垂直高度． (2)如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）如图，在上取点，使米，根据勾股定理求出，再计算即可； 【详解】（1）解：根据题意得：米，米，米， 在中，米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴风筝的垂直高度为米； （2）如图，在上取点，使米，连接， ∴（米）， 在中，（米），（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：他应该往回收线米． 22．综合与探究——代数推理 定义：对于三个正整数，计算其中任意两个数乘积的算术平方根，若这些算术平方根都是整数，那么称原来这三个数为“漂亮数”，这些算术平方根中，最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”． 例如：对于1，4，9这三个数，，，，这些算术平方根都是整数，因此，1，4，9这三个数称为“漂亮数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6． 问题解决： (1)请你通过计算判断4，16，25这三个数是不是“漂亮数”． (2)请你写出两组“漂亮数”．（不与前面出现过的“漂亮数”相同） (3)已知正整数9，25，m是“漂亮数”，且，若“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的3倍，求m的值． 【答案】(1)4，16，25这三个数是“漂亮数” (2)1，9，16；4，25，64 (3)m的值为81 【分析】此题考查了新定义问题，算术平方根等知识，解题的关键是理解并掌握新定义的运算法则． （1）根据“漂亮数”的定义，分别求解算术平方根进行判断即可； （2）列出两组数据并进行验算即可； （3）根据最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， 又∵这些算术平方根都是整数， ∴4，16，25这三个数是“漂亮数”； （2）解：两组数分别为：1，9，16；4，25，64． ∵，，， 又∵这些算术平方根都是整数， ∴1，9，16这三个数是“漂亮数”； ∵，，， 又∵这些算术平方根都是整数， ∴4，25，64这三个数是“漂亮数”； （3）解：∵， ∴“最小算术平方根”为， “最大算术平方根”为，即． ∵， ∴ 解得． ∴m的值为81． 23．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略．这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性．某校八年级数学兴趣小组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究． 【初步探究】 （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请利用图1推导：． 【结论运用】 （2）如图2，已知，是直角三角形，．若，的长比的长大2，求 的长． 【应用拓展】 （3）学校校内有一块如图3所示的三角形空地，其中米，米，米．计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米的造价为60元，学校修建这个花园需要投资多少元？ 【答案】（1）见解析；（2）；（3）学校修建这个花园需要投资5040元. 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆运算，解题关键在于熟练掌握其相关的知识点. （1）根据因为大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，联立等式即可求解； （2）由，根据勾股定理得，求解即可； （3）过点作于，设，则，可得，然后，最后根据勾股定理即可求解. 【详解】解：（1）如图1，∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为． ∴， ∴． （2）∵的长比的长大2， ∴， ∴， 解得：． （3）如图所示，过点作于， 设，则， 在中，， 在中，， ∴，则， 解得， ∴， 解得， ∴． ∴学校修建这个花园需要投资：(元)， 答：学校修建这个花园需要投资5040元． 24．（25-26八年级上·陕西西安·期中）某无人机配件销售公司有A和B两种配件，其进价和售价如表． 种类 A配件 B配件 进价（元件） a 80 售价（元件） 300 100 已知用12800元可购进A配件40件和B配件30件． (1)求的值； (2)若该无人机配件销售公司某次购进A种配件和B种配件共300件，并全部售出，且本次销售获得的总利润为y元，购进的A种配件为x件． （）请写出y与x之间的函数表达式；（利润售价－进价） （）根据市场销售分析，B种配件购进件数不低于A种配件的2倍，问怎样购进配件才能使本次销售获得的总利润最大？最大总利润是多少元？ 【答案】(1)a的值为260 (2)（）；（）购进A种配件100件、B种配件200件才能使本次销售获得的总利润最大，最大总利润是8000元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，正确理解题意，运用函数模型解题是关键． （1）根据题意列一元一次方程求解即可； （2）（）根据题意列出函数关系式即可； （）根据题意列不等式求出x的取值范围，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， 答：a的值为260． （2）解：（）根据题意，得， 所以y与x之间的函数表达式为； （）根据题意，得， 解得， 由（）知， 因为， 所以y随x的增大而增大， 因为， 所以当时，值最大，，（件）， 答：购进A种配件100件、B种配件200件才能使本次销售获得的总利润最大，最大总利润是8000元． 25．（24-25八年级上·山东济南·期中）已知：直线与轴、轴分别相交于点和点，点在线段上．将沿折叠后，点恰好落在边上点处． (1)求出、两点的坐标； (2)求出的长； (3)点是坐标轴上一点，若是直角三角形，求点坐标． 【答案】(1)点坐标为，点坐标为 (2)3 (3)或或 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）令和令，可求、两点的坐标； （2）由勾股定理求出的长，再由轴对称的性质，用含的式子分别表示、的长，在中根据勾股定理列方程求出的长； （3）分三组情况讨论，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别相交于点和点 时；时 点坐标为，点坐标为． （2）解：由折叠得，，，， ，， ， ， ， ， 解得：； 故长为． （3）解：当时，则点； 当时，， 如图，设， ∴ 解得： ∴点； 当时， 如图，设， ∴ 解得： ∴点， 综上所述：点E的坐标为或或． 学科网（北京）股份有限公司 $