江西省南昌市第二中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

南昌二中2025-2026学年度高二上学期第一次月考 数学试题 命题人： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在复平面内，对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】对应的点为位于第二象限, 故选：B. 2．已知平面的法向量为，，则直线与平面的位置关系为（ ） A． B． C．与相交但不垂直 D． 【答案】A 【详解】. 故选：A. 3．下列命题中，正确的命题是（     ） A．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线垂直 B．过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直 C．过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行 D．过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面垂直. 【答案】B 【详解】对于A选项，过直线外一点有无数条直线与这条直线垂直，且这无数条直线均相交于这个点（即与它垂直的平面内的任意一条过该点的直线），A错； 对于B选项，过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直，（垂直同一条直线的两平面平行或重合，在这里它们过直线外同一点，所以只能重合）B对； 对于C选项，过平面外一点，有无数条直线与这个平面平行，且这无数条直线均相交于这个点（即与它平行的平面内的任意一条过该点的直线），C错； 对于D选项，过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直，若将过该直线的平面绕这条直线旋转，则可以得到无数个平面与已知平面垂直， D错. 故选：B. 4．已知点，，，，则异面直线AB与CD的夹角为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，. 设异面直线AB与CD的夹角为，， 则，得. 故选：C. 5．如图，空间四边形OABC中，是BC的中点，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 故选：A 6．为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（     ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，可化简为：，即， 由于，，，四点共面，则，解得：； 故选：C 7．如图1，圆锥的母线长为3，底面圆直径，点为底面的中点，则在该圆锥的侧面展开图（图2）中,（     ） A． B． C． D． 【答案】D 圆锥底面圆的周长为，母线为3，所以扇形展开图的圆心角为， 则，， ， . 故选：D 8．如图，在正四面体木块中，点在内，过点将木块锯开，且使截面平行于直线，，若截面的周长为4，则正四面体的表面积为（    ）    A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】作出截面如图所示：    因为截面平行于直线，，由线面平行的性质定理可得，所以， 从而截面是平行四边形，所以， 所以，又，所以， 又因为截面的周长为4，所以，所以， 所以正四面体的表面积为. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列关于函数的说法正确的是（     ） A．在区间上单调递增 B．最小正周期是 C．图象关于点成中心对称 D．图象关于直线对称 【答案】ABD 【详解】由的递增区间可知，的递增区间为，则，又 在此区间上，所以A对. ，B对. 由关于垂直于轴的直线对称可知，关于对称，，、在此集合里，故C错、D对. 故选：ABD. 10．如图，在下列给出的正方体中，点为顶点，点为下底面的中心，点为正方体的棱所在的中点，则与不垂直的是（      ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】设正方体的棱长为2， 对A：建立如图所示空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以，即，故A错误； 对B：建立如图所示空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以，即，故B错误； 对C：建立如图所示空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以与不垂直，即与不垂直，故C正确； 对D：建立如图所示空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以与不垂直，即与不垂直，故D正确. 故选：CD. 11．如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（    ） A．存在点，使得平面 B．过三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形 C．三棱锥的体积为定值 D．三棱锥的外接球表面积为 【答案】ACD 【详解】对于A：当为中点时，因为是的中点，所以， 平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B：因为，分别是，的中点，所以， 在正方体中，易证，所以， 过三点的平面截正方体所得截面图形是梯形，故B错误； 对于C：因为，所以三棱锥的体积为定值，故C正确； 对于D：三棱锥的外接球可以补形为长方体（长为，宽为，高为）的外接球， 所以外接球的半径，所以外接球的表面积，故D正确， 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数，为虚数单位，则 ． 【答案】 【详解】方法一：因为， 所以． 方法二：． 故答案为：. 13．如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【详解】将绕翻折到与共面，平面图形如下所示： 连接，则的长度即为的最小值， 因为，所以 ， 所以，所以，即的最小值为. 故答案为：. 14．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，点分别为的中点，点为内的一个动点（包括边界），若平面，则点的轨迹的长度为 . 【答案】 【详解】由题知，两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 记的中点为，连接， 因为为正方形，为中点，所以，且， 所以为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 记点的轨迹与交于点，由题知平面， 因为是平面内的相交直线，所以平面平面， 所以即为点的轨迹， 因为， 所以， 设， 则， 设为平面的法向量， 则，令得， 因为，所以， 解得，则，又 所以， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤。 15．（13分）在中，，． (1)若，求的值和的面积； (2)若，求角的大小． 【答案】(1)，的面积为 (2) 【详解】（1）由余弦定理易知，，又，，． 所以，整理得，解得或（舍去）， 所以，…………………………………………3分 又，所以， 所以的面积为；…………………………………………7分 （2）因为，，所以， 因为，，所以， 则 ，因为， 所以.…………………………………………13分 16．（15分）如图，在四棱锥中，为正三角形，，，E为PD的中点，． (1)证明：平面PAD； (2)若，，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）分别为的中点，连接， 又E为PD的中点，则有且， 由已知，， 所以，，四边形为平行四边形，有， 为正三角形，，则， 又，平面，， 所以平面PAD；…………………………………………7分 （2），则有，又， 平面，，所以平面， 平面，则，为的中点，有， 平面，，所以平面， 即是四棱锥的高，，则， 得四棱锥的体积.………………………………15分 17．（15分）已知在四棱锥中，侧面底面，，，，，分别是，的中点， (1)证明：平面; (2)求的中点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接交于，并连接，， ，，为中点， ，且． 四边形为平行四边形，则为中点， 又为中点，． 平面，平面． 平面；…………………………………………5分 （2），为中点，． 侧面底面，侧面底面，平面， 平面．易知为正方形，．建立如图空间直角坐标系， 则， 设是平面的法向量，又，， 则， 取，则，得，………………………………10分 的中点，所以 则点到平面的距离为.……………………………………15分 18．（17分）如图，已知在正三棱柱中，，三棱柱外接球半径为，且点分别为棱，的中点．    (1)求棱AB的长； (2)过点作三棱柱截面，求截面图形的周长； (3)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1) 2 (2) (3) 【详解】（1）解：由正三棱柱中，，三棱柱外接球半径为， 设外接球的半径为，底面正的外接圆的半径为，可得， 则， 因为，解得，…………………………………………4分 （2）因为点分别为棱，的中点，可得， 如图所示，延长交于点，连接交于点，四边形为所求截面， 又由，所以， 在中，由余弦定理得，所以可得, 所以截面图形的周长为.…………………………………………10分 （3）以点为原点，以所在的直线分别为轴，以过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，可得， 则 设平面的法向量为，则， 取，则，所以， 取的中点，因为为等边三角形，可得， 又因为平面，且平面，所以， 因为且平面，所以平面， 又由，可得， 所以平面的一个法向量为， 设两个平面所成角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值．……………………………………17分 19．（17分）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且，．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面 (3)若点为线段上的动点．当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）如图，设交于点，连接，由圆锥的性质可知底面，    因为平面，所以， 又因为是底面圆的内接正三角形，由，可得， ，解得， 又，，所以，即，， 又因为，所以， 所以，即， 又平面，直线平面，平面， 所以直线平面．…………………………………………5分 （2）因为平面，所以平面， 又平面，所以平面平面；…………………………………………8分 （3）易知，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，，    设平面的法向量为， 则，令，则， 设，可得， 设直线与平面所成的角为， 则， 即， 令， 则， 当且仅当时，等号成立，所以当时，有最大值， 即当时，的最大值为1，…………………………………………14分 此时点，所以， 所以点到平面的距离， 故当直线与平面所成角的正弦值最大时，点到平面的距离为.…………………………………………17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌二中2025-2026学年度高二上学期第一次月考 数学试题 命题人： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在复平面内，对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知平面的法向量为，，则直线与平面的位置关系为（ ） A． B． C．与相交但不垂直 D． 3．下列命题中，正确的命题是（     ） A．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线垂直 B．过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直 C．过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行 D．过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面垂直. 4．已知点，，，，则异面直线AB与CD的夹角为（     ） A． B． C． D． 5．如图，空间四边形OABC中，是BC的中点，，则（     ） A． B． C． D． 6．为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（     ） A．1 B． C． D． 7．如图1，圆锥的母线长为3，底面圆直径，点为底面的中点，则在该圆锥的侧面展开图（图2）中,（     ） A． B． C． D． 8．如图，在正四面体木块中，点在内，过点将木块锯开，且使截面平行于直线，，若截面的周长为4，则正四面体的表面积为（    ）    A．2 B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列关于函数的说法正确的是（     ） A．在区间上单调递增 B．最小正周期是 C．图象关于点成中心对称 D．图象关于直线对称 10．如图，在下列给出的正方体中，点为顶点，点为下底面的中心，点为正方体的棱所在的中点，则与不垂直的是（      ） A． B． C． D． 11．如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（    ） A．存在点，使得平面 B．过三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形 C．三棱锥的体积为定值 D．三棱锥的外接球表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数，为虚数单位，则 ． 13．如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为 . 14．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，点分别为的中点，点为内的一个动点（包括边界），若平面，则点的轨迹的长度为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤。 15．（13分）在中，，． (1)若，求的值和的面积； (2)若，求角的大小． 16．（15分）如图，在四棱锥中，为正三角形，，，E为PD的中点，． (1)证明：平面PAD； (2)若，，求四棱锥的体积． 17．（15分）已知在四棱锥中，侧面底面，，，，，分别是，的中点， (1)证明：平面; (2)求的中点到平面的距离. 18．（17分）如图，已知在正三棱柱中，，三棱柱外接球半径为，且点分别为棱，的中点．    (1)求棱AB的长； (2)过点作三棱柱截面，求截面图形的周长； (3)求平面与平面的夹角的余弦值． 19．（17分）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且，．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面 (3)若点为线段上的动点．当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $