专题08 圆中的六大重要模型（几何模型讲义）数学人教版九年级上册

专题08.圆中的六大重要模型 本专题包含圆中的六大重要模型，主要有：四点共圆模型、阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（定理）模型、圆中的翻折模型、圆中的全等三角形模型、圆中的外接圆和内切圆模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1.（24-25·安徽合肥·校考一模）如图，O是的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D．平分 2．（24-25九年级下·广东·开学考试）如图，在直径为的半圆中，为半圆弧上的一点，连接，将劣弧沿弦折叠交直径于点，取劣弧的中点为，连接．已知，则点与圆心距离的最小值为（   ）    A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）如图，内接于圆，，，以C为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，连接，并延长交圆于点D，连接，，则下列结论错误的是（   ） A．为直径 B． C． D． 4．（24-25九年级下·浙江金华·阶段练习）如图，是的内接三角形，将劣弧沿折叠后刚好经过弦的中点D．若，，则的半径长为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25山东·九年级专题练习）如图，是的直径，、是的两条弦，交于点G，点C是的中点，点B是的中点，若，，则的长为（   ）    A．3 B．4 C．6 D．8 6．（2024·湖北·模拟预测）如图，是的直径，将劣弧沿弦折叠，折叠后的弧恰好与相切于的中点，若，则的半径为（     ） A． B． C． D． 7.（2021·浙江嘉兴·中考真题）如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（      ） A． B． C． D．4 8.（24-25九年级上·浙江温州·期中）阿基米德折弦定理：如图1，与是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，于点N，则点N是折弦的中点，即．如图2，半径为4的圆中有一个内接矩形，，点M是的中点，于点N，若矩形的面积为20，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 9.（2025·江西赣州·二模）阿基米德不仅是物理学家，还是伟大的数学家，阿基米德折弦定理就是圆中关于弦的一个定理，其条件大致如下：如图，，为的两条弦，点是的中点，过点作于点，根据以上条件，下列说法错误的是（    ） A． B．连接、，则 C． D．作射线交于点，则平分 10.（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在半圆O中，直径，将半圆O沿弦BC所在的直线折叠，若恰好过圆心O，则的长是 ． 11．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，将沿着弦折叠，点，分别在优弧和劣弧上，若，则 ． 12．（24-25·北京·九年级阶段练习）如图，四边形中，，，则的度数为______． 13.（2024·北京·校考一模）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中点，MF⊥AB于F，则AF＝FB+BC． 如图2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝10，BC＝8，D是AB上一点，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的外接圆于E，连接EA，则∠EAC＝ °． 14．（24-25·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边重合（），其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第20秒时点E在量角器上运动路径长是 ．    15．（24-25江苏·九年级假期作业）如图，在中，，，的中点为O．求证：A，B，C，D四点在以O为圆心的圆上．    16．（2025·福建龙岩·统考一模）如图，点C是的中点，直线与相切于点C，直线与切线相交于点E，与相交于另一点D，连接，． (1)求证：；(2)若，求的度数． 17．（2025·江西萍乡·模拟预测）如图（1）是的直径，且，点是半圆的中点，点是上一动点，将沿直线折叠交于点，连接，． (1)求证：；(2)当点与点重合时，如图（2），求的长． 18．（24-25·江苏·九年级期中）【问题情境】如图①，在四边形中，，求证：A、B、C、D四点共圆． 小吉同学的作法如下：连结，取的中点，连结、，请你帮助小吉补全余下的证明过程； 【问题解决】如图②，在正方形中，，点是边的中点，点是边上的一个动点，连结，，作于点P． （1）如图②，当点P恰好落在正方形对角线上时，线段的长度为 　　； （2）如图③，过点P分别作于点，于点，连结，则的最小值为 　　． 19.（24-25九年级上·湖北·期中）“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．    提出问题：如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么A，，，四点在同一个圆上． 探究展示：如图2，作经过点A，，的，在劣弧上取一点（不与A，重合），连接，，则（依据1），∵，∴， ∴点A，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）， ∴点，在点A，，所确定的上（依据2），∴点A，，，四点在同一个圆上． 反思归纳：（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：__________________________________________________； 依据2：__________________________________________________． （2）如图3，在四边形中，，，则的度数为__________． 拓展探究：（3）如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，，．求证：A，，，四点共圆． 20．（24-25九年级下·重庆·专题练习）已知：如图1，在中，C是劣弧的中点，直线于E，易证得：，从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦． (1)如图2，组成的一条折弦，C是劣弧的中点，直线于E，求证： (2)如图3，组成的一条折弦，若C是优弧的中点，直线于E，则之间存在怎样的数量关系？写出结论，并证明． 21．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）（1）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接和， 是的中点，∴，∴①， 又∵②，，， 又，，，即， 根据证明过程，完成下列步骤：① ，② ． （2）【理解运用】如图1，是的两条弦，， 点是的中点，于点，则的长为_____． （3）【变式探究】如图3，若点是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断之间存在怎样的数量关系？并加以证明． （4）【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题： 如图4，是的直径，点圆上一定点，点圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长．    22．（2025·河南·一模）阅读下列相关材料，并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边”． 任务：（1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程； 已知：__________________ 求证：_________________ 证明：（2）如图（2），在中，弦于M，连接分别是上的点，于于H，当M是中点时，直接写出四边形是怎样的特殊四边形：__________． 23．（2025·山西晋中·二模）阅读与思考 阅读下面材料，并按要求完成相应的任务 如图1，圆内接四边形的对角线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，延长交于点，求证：为的中点． 下面是部分证明过程： ，，． ，（_________________________）．………． 任务一：请你写出上述材料中的证明过程中空缺处所利用的依据是______________________________； 任务二：请你利用所学知识将上述证明过程补充完整． 任务三：如图2，在中，把边绕点顺时针旋转得到，把边绕点逆时针旋转得到．连接，取的中点，连接并延长交于点，延长至点，使，连接，．若，则的长为________________． 24．（24-25·江苏南京·九年级联考期末）在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点． (1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，，则的长为______． (2)如图②，大圆的另一条弦交小圆于，两点，若，求证． 25．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）【材料阅读】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．在《2.4圆周角》这一课中，我们学习了“圆的内接四边形的对角互补”这条性质，学习小组在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上得出“对角互补的四边形四个顶点共圆”也是正确的． 请同学们在此基础上继续展开后续探究： 【提出问题】如图1所示，在线段同侧有两点，，连接，，，． 试探究：如果，那么、、、四点在同一圆上． 证明：如图2所示，作经过点、、的，在劣弧上取一点（不与、重合），连接，， ，（①______________） ，②___________， 点、、、四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点、在点、、所确定的上，点、、、四点在同一个圆上． 结论：在线段同侧有两点、，连接，，，， 如果，那么、、、四点共圆．    补全上述说理过程：①______________；②______________． 【结论应用】（2）如图3，在四边形中，，，则的度数为________． （3）如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接，作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，． 求证：、、、四点共圆；       【拓展延伸】（4）如图5，在四边形中，连接，，，则四边形周长的最大值为__________．（直接写出答案） 26．（2025·江西南昌·模拟预测）（首选几何压轴）【问题情境】 学完《探索全等三角形的条件》后，老师提出如下问题：如图①，中，若，求边上中线的取值范围．通过分析、思考，小丽同学形成两种解题思路． 思路1：将绕着点D旋转，使得和重合，得到… 思路2：延长到E，使得，连接，根据可证得… （1）根据上面任意一种解题思路，再结合三角形三边关系，我们都可以得到的取值范围为 ． 【类比探究】（2）如图②，，是的边上的中线，试探索与的数量关系，并说明理由． 【迁移应用】（3）【应用1】如图③，已知的半径为6，四边形是的圆内接四边形．，求的长． （4）【应用2】如图④，,相交于点G，连接，若的度数发生改变，请问是否存在最小值？如果存在，则直接写出其最小值（用含a和b的式子表示），如果不存在，请说明理由． 27．（24-25上·江苏泰州·九年级校考阶段练习）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设是已知点，小圆为已知圆．具体作法是：以为圆心，为半径作大圆，连接交小圆于点，过作，交大圆于点，连接，交小圆于点，连接，则是小圆的切线．       (1)为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程； 已知：如图，点，和点，分别在以为圆心的同心圆上，______． 求证：______． 证明： (2)如图1，长不变，改变小圆的半径，延长交大圆于点，延长线交大圆于点，当经过圆心时，求的值； (3)在（2）中，若改变小圆的半径时，与小圆相切，直接写出的度数． 28.（24-25·河南许昌·九年级校考期末）已知，点、、、是圆上的四个点， (1)如图1，如果，判断的形状，并证明．(2)如果是等边三角形，点在圆上运动，连接、、，请直接写出这三条线段的数量关系．(3)如图2，如果是等边三角形，圆半径为2，当点在弧上运动时，四边形周长最大值为______． 29．（24-25江苏九年级上期末）如图，已知的半径为1，A、P、B、C是上的四个点，． (1)的形状为______；(2)试求线段、、之间的数量关系； (3)若点M是的中点，直接写出点P在上移动时的最小值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08.圆中的六大重要模型 本专题包含圆中的六大重要模型，主要有：四点共圆模型、阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（定理）模型、圆中的翻折模型、圆中的全等三角形模型、圆中的外接圆和内切圆模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1.（24-25·安徽合肥·校考一模）如图，O是的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D．平分 【答案】D 【详解】如图，以点O为圆心，长为半径作圆． 由题意可知：．即点A、B、C、D都在圆O上． A．∵，∴，故A不符合题意；B．∵，∴，故B不符合题意； C．∵四边形是的内接四边形，∴，故C不符合题意； D．∵和不一定相等，∴和不一定相等， ∴不一定平分，故D符合题意．故选：D． 2．（24-25九年级下·广东·开学考试）如图，在直径为的半圆中，为半圆弧上的一点，连接，将劣弧沿弦折叠交直径于点，取劣弧的中点为，连接．已知，则点与圆心距离的最小值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：把弧的圆补全为，可知点与点关于对称，半径为，∴， ∵， ∴， ∴，∴， ∵是弧的中点，∴， ∴， ∵，∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：．    3．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）如图，内接于圆，，，以C为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，连接，并延长交圆于点D，连接，，则下列结论错误的是（   ） A．为直径 B． C． D． 【答案】C 【详解】A：，根据圆周角定理，的圆周角所对的弦是直径，为直径，A正确，不符合题意；B：由作图知平分，即．同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故，则，B正确，不符合题意； C：是直径，．若，则，但由已知无法推出，实际分析：所对的弧为，结合圆的性质，，C错误．符合题意； D：D正确，不符合题意，证明如下：证明：延长至点E，使，连接， ，，，， ，，，是直径，， ， 是等腰直角三角形，，故选：C． 4．（24-25九年级下·浙江金华·阶段练习）如图，是的内接三角形，将劣弧沿折叠后刚好经过弦的中点D．若，，则的半径长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设折叠后的所在的圆心是，连接，， ∴，连接，，同理，，∴． ∵和是等圆，∴．设的半径是r，过点O作于点G． ∵，，∴，， ∴，∴．过点A作于点M， ∵，设，则． ∵D是的中点，∴，∴． ∵，，∴．在中，， ∴，解得，∴，． 在中，．∵，∴．故选：D． 5．（24-25山东·九年级专题练习）如图，是的直径，、是的两条弦，交于点G，点C是的中点，点B是的中点，若，，则的长为（   ）    A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】解：如图所示，连接，∵点B是的中点，是的直径，    ∴，，∴，∵，∴，∵，∴， 在中，由勾股定理得，∴， ∵点C是的中点，∴，∴，∴，∴，故选D． 6．（2024·湖北·模拟预测）如图，是的直径，将劣弧沿弦折叠，折叠后的弧恰好与相切于的中点，若，则的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，设实线劣弧所在圆的圆心为，连接，，，， 、关于对称，垂直平分，，的半径相等，两圆为等圆， 设圆的半径为，即， 为和的公共弦，也垂直平分，， 在中，，， 为切点，是的中点，，， 在中，， ，，解得：，，的半径为，故选：B． 7.（2021·浙江嘉兴·中考真题）如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（      ） A． B． C． D．4 【答案】A 【详解】解：连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB ∵在中，，点G是DE的中点，∴AG=DG=EG 又∵AG=FG∴点A，D，F，E四点共圆，且DE是圆的直径∴∠DFE=90° ∵在Rt△ABC中，AB=AC=5，点是BC的中点，∴CF=BF=，FN=FM= 又∵FN⊥AC，FM⊥AB，∴四边形NAMF是正方形∴AN=AM=FN= 又∵，∴ ∴△NFD≌△MFE∴ME=DN=AN-AD=∴AE=AM+ME=3；∴在Rt△DAE中，DE=选：A． 8.（24-25九年级上·浙江温州·期中）阿基米德折弦定理：如图1，与是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，于点N，则点N是折弦的中点，即．如图2，半径为4的圆中有一个内接矩形，，点M是的中点，于点N，若矩形的面积为20，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接，，， 四边形为矩形，，为的直径，， 的半径为4，，点为的中点，，， ，， ，，设，，其中， 则，解得：或 舍去，即，， ，，，，， ，，解得：或， ∴或， 当时，， 当时，， ∵，∴，∴．故选：A． 9.（2025·江西赣州·二模）阿基米德不仅是物理学家，还是伟大的数学家，阿基米德折弦定理就是圆中关于弦的一个定理，其条件大致如下：如图，，为的两条弦，点是的中点，过点作于点，根据以上条件，下列说法错误的是（    ） A． B．连接、，则 C． D．作射线交于点，则平分 【答案】B 【详解】解：∵点是的中点，∴， ∵，∴，则选项A正确； 如图，连接，，，∵，∴， ∵，∴，则选项B错误； 如图，在上截取点，使得，连接，，，， 由圆周角定理得：，∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴，则选项C正确； 由题意，画出图形如下：∵是的直径，∴， 又∵，∴，∴，∴平分，则选项D正确；故选：B． 10.（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在半圆O中，直径，将半圆O沿弦BC所在的直线折叠，若恰好过圆心O，则的长是 ． 【答案】 【详解】解：过点O作，如图所示，    ∵将半圆O沿弦所在的直线折叠，若恰好过圆心O，∴，∴， 在中，由勾股定理得，， ∵，经过圆心，∴，故答案为：． 11．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，将沿着弦折叠，点，分别在优弧和劣弧上，若，则 ． 【答案】115 【详解】解：作出弧所对的圆周角， ∵，∴， ∵⊙O沿弦折叠，∴故答案为：115 12．（24-25·北京·九年级阶段练习）如图，四边形中，，，则的度数为______． 【答案】36°##36度 【详解】解：如图， ∵，∴三点在以为圆心为半径的圆上， ∵，∴．故答案为：． 13.（2024·北京·校考一模）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中点，MF⊥AB于F，则AF＝FB+BC． 如图2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝10，BC＝8，D是AB上一点，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的外接圆于E，连接EA，则∠EAC＝ °． 【答案】60°． 【详解】解：如图2，连接OA、OC、OE，∵AB＝10，BC＝8，BD＝1，∴AD＝9，BD+BC＝9， ∴AD＝BD+BC，而ED⊥AB，∴点E为弧ABC的中点，即，∴∠AOE＝∠COE， ∵∠AOC＝2∠ABC＝2×60°＝120°，∴∠AOE＝∠COE＝120°，∴∠CAE＝∠COE＝60°．故答案为60°． 14．（24-25·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边重合（），其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第20秒时点E在量角器上运动路径长是 ．    【答案】 【详解】解：连接，∵，∴A，B，C在以点O为圆心，AB为直径的圆上， ∴点E，A，B，C共圆，∵，∴．    ∴点E在量角器上运动路径长，故答案为：2π． 15．（24-25江苏·九年级假期作业）如图，在中，，，的中点为O．求证：A，B，C，D四点在以O为圆心的圆上．    【答案】见解析 【详解】证明：连接，，    ∵，AB的中点为O，∴， ∴A，B，C，D四点在以O为圆心，长为半径的圆上． 16．（2025·福建龙岩·统考一模）如图，点C是的中点，直线与相切于点C，直线与切线相交于点E，与相交于另一点D，连接，． (1)求证：；(2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：连接，， ∵点C是的中点，∴，∴， 又∵，∴，∵直线EF与相切于点C，∴，∴； （2）解：∵，∴，∴， 由（1）知，，∴，即， ∵，，∴，∴， ∴． 17．（2025·江西萍乡·模拟预测）如图（1）是的直径，且，点是半圆的中点，点是上一动点，将沿直线折叠交于点，连接，． (1)求证：；(2)当点与点重合时，如图（2），求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：如图，作点关于的对称点，连接，，，，由折叠的性质可知，， 又∵，，∴，∴，∴． （2）解：由（1）知，又∵，∴是等边三角形，∴， ∴所对圆心角为，∴的长为． 18．（24-25·江苏·九年级期中）【问题情境】如图①，在四边形中，，求证：A、B、C、D四点共圆． 小吉同学的作法如下：连结，取的中点，连结、，请你帮助小吉补全余下的证明过程； 【问题解决】如图②，在正方形中，，点是边的中点，点是边上的一个动点，连结，，作于点P． （1）如图②，当点P恰好落在正方形对角线上时，线段的长度为 　　； （2）如图③，过点P分别作于点，于点，连结，则的最小值为 　　． 【答案】问题情境：见解析；问题解决：（1）；（2） 【详解】[问题情境]证明：如图，连结，取的中点，连结、， ，为的中点，，、、、四点共圆； [问题解决]（1）四边形为正方形，点是边的中点，， ，，， 由[问题情境]结论可知，、、、四点共圆，如图， ，为正方形的对角线，， ，为等腰直角三角形，设长为，则长为， ，即，解得：，（不合题意，舍去）， 线段的长度为；故答案为：； （2）由[问题情境]结论可知，、、、四点共圆， 如图，过点作于点，作于点，连接交于点，连接， ，，，四边形为矩形，， 要求的最小值，即求的最小值，由（1）知，，， ，且点为的中点，，为的中位线，，， ，，四边形为矩形，，，， 在中，， 根据两点之间线段最短得，，， 的最小值为，的最小值为．故答案为：． 19.（24-25九年级上·湖北·期中）“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．    提出问题：如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么A，，，四点在同一个圆上． 探究展示：如图2，作经过点A，，的，在劣弧上取一点（不与A，重合），连接，，则（依据1），∵，∴， ∴点A，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）， ∴点，在点A，，所确定的上（依据2），∴点A，，，四点在同一个圆上． 反思归纳：（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：__________________________________________________； 依据2：__________________________________________________． （2）如图3，在四边形中，，，则的度数为__________． 拓展探究：（3）如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，，．求证：A，，，四点共圆． 【答案】（1）圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；（2）45°；（3）见解析 【详解】解：（1）依据1：圆内接四边形对角互补；依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆． 故答案为：圆内接四边形对角互补  过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆 （2）∵，∴点A，，，四点在同一个圆上，∴， ∵，∴．答案：45° （3）证明：∵，∴， ∵点与点关于对称，∴，， ∴，，∴，∴，∴A，，，四点共圆． 20．（24-25九年级下·重庆·专题练习）已知：如图1，在中，C是劣弧的中点，直线于E，易证得：，从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦． (1)如图2，组成的一条折弦，C是劣弧的中点，直线于E，求证： (2)如图3，组成的一条折弦，若C是优弧的中点，直线于E，则之间存在怎样的数量关系？写出结论，并证明． 【答案】(1)见解析；(2)；见解析 【详解】（1）证明：连接，截取，如图， ∵是劣弧的中点，∴ ∵所对的圆周角是，∴ 又，∴，∴， ∴，∴； （2）解：，理由如下：连接，截取， 同理可证，∴，∴，  ∴ 21．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）（1）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点是的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接和， 是的中点，∴，∴①， 又∵②，，， 又，，，即， 根据证明过程，完成下列步骤：① ，② ． （2）【理解运用】如图1，是的两条弦，， 点是的中点，于点，则的长为_____． （3）【变式探究】如图3，若点是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断之间存在怎样的数量关系？并加以证明． （4）【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题： 如图4，是的直径，点圆上一定点，点圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长．    【答案】（1）相等的弧所对的弦相等，同弧所对的圆周角相等；（2）2；（3），见解析；（4）或 【详解】（1）解：由证明过程可知，（相等的弧所对的弦相等）； （同弧所对的圆周角相等）；故答案为：相等的弧所对的弦相等，同弧所对的圆周角相等； （2）由题意得：，即，， ，，故答案为：2； （3），证明：在上截取，连接、、、，如图3，    是弧的中点，，， 又，，，， 又，，，即； （4）如图4，当点在下方时，过点作于点，是圆的直径，， ，圆的半径为10，，， ，，，， 当点在上方时，，同理得，综上所述：的长为或． 22．（2025·河南·一模）阅读下列相关材料，并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边”． 任务：（1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程； 已知：__________________ 求证：_________________ 证明：（2）如图（2），在中，弦于M，连接分别是上的点，于于H，当M是中点时，直接写出四边形是怎样的特殊四边形：__________． 【答案】（1）见解析；（2）菱形 【详解】（1）已知：如图，在圆内接四边形中，对角线于点M，过点M作的垂线分别交于点． 求证：点E是的中点 证明：，， ，，， 同理可证，，∴点E是的中点 故答案为：已知：如图，在圆内接四边形中，对角线于点M，过点M作的垂线分别交于点． 求证：点E是的中点 （2）四边形是菱形理由： 由布拉美古塔定理可知，分别是的中点， 是中点 ∴四边形是菱形 故答案为：四边形是菱形 23．（2025·山西晋中·二模）阅读与思考 阅读下面材料，并按要求完成相应的任务 如图1，圆内接四边形的对角线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，延长交于点，求证：为的中点． 下面是部分证明过程： ，，． ，（_________________________）．………． 任务一：请你写出上述材料中的证明过程中空缺处所利用的依据是______________________________； 任务二：请你利用所学知识将上述证明过程补充完整． 任务三：如图2，在中，把边绕点顺时针旋转得到，把边绕点逆时针旋转得到．连接，取的中点，连接并延长交于点，延长至点，使，连接，．若，则的长为________________． 【答案】任务一：同弧或等弧所对的圆周角相等；任务二：见解析；任务三： 【详解】解：任务一：根据同弧或等弧所对的圆周角相等，可得， 故答案为：同弧或等弧所对的圆周角相等； 任务二：，∴，，∴， ∵，∴，∴，同理，∴，∴F为的中点； 任务三：如图，作于点G， 由条件可知，，∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵把边绕点顺时针旋转得到，把边绕点逆时针旋转得到，∴，， ∵的中点，∴，又∵，∴四边形是平行四边形， ∴，，∴，，∴， ∴在和中，∴，∴．故答案为：． 24．（24-25·江苏南京·九年级联考期末）在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点． (1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，，则的长为______． (2)如图②，大圆的另一条弦交小圆于，两点，若，求证． 【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）连接，，过点作，则为，的中点， ∵，∴，， ∵，∴，， ∴，∴， ∴，∴，故答案为： （2）过作，作，垂足分别为、， ∴，，，， 又∵，∴，连接、、、， 在和中，，∴，∴， 在和中，，∴，∴，∴． 25．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）【材料阅读】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．在《2.4圆周角》这一课中，我们学习了“圆的内接四边形的对角互补”这条性质，学习小组在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上得出“对角互补的四边形四个顶点共圆”也是正确的． 请同学们在此基础上继续展开后续探究： 【提出问题】如图1所示，在线段同侧有两点，，连接，，，． 试探究：如果，那么、、、四点在同一圆上． 证明：如图2所示，作经过点、、的，在劣弧上取一点（不与、重合），连接，， ，（①______________） ，②___________， 点、、、四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点、在点、、所确定的上，点、、、四点在同一个圆上． 结论：在线段同侧有两点、，连接，，，， 如果，那么、、、四点共圆．    补全上述说理过程：①______________；②______________． 【结论应用】（2）如图3，在四边形中，，，则的度数为________． （3）如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接，作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，． 求证：、、、四点共圆；       【拓展延伸】（4）如图5，在四边形中，连接，，，则四边形周长的最大值为__________．（直接写出答案） 【答案】（1）①圆的内接四边形的对角互补；②；（2）；（3）证明过程见详解；（4） 【详解】解：（1）由探究展示过程可知，的依据是：①圆的内接四边形的对角互补； ②，（①___圆的内接四边形的对角互补） ，， 故答案为：①圆的内接四边形的对角互补；②； （2）由【提出问题】可知，且在线段同侧，∴A，B，C，D共圆， ∵是同弧所对的圆周角，，故答案为：． （3）证明：，， ∵点E与点C关于的对称，， ，， ，∴A，D，B，E四点共圆； （4）如图，连接，在上取一点M，使得． ，是等边三角形，    ，，是等边三角形， ， ， A、B、C、D四点共圆， ， ，， ，四边形的周长， ，当最大时，四边形的周长最大， 当为的外接圆的直径时，四边形的周长最大， 为的外接圆的直径，，，， 四边形的周长． 26．（2025·江西南昌·模拟预测）（首选几何压轴）【问题情境】 学完《探索全等三角形的条件》后，老师提出如下问题：如图①，中，若，求边上中线的取值范围．通过分析、思考，小丽同学形成两种解题思路． 思路1：将绕着点D旋转，使得和重合，得到… 思路2：延长到E，使得，连接，根据可证得… （1）根据上面任意一种解题思路，再结合三角形三边关系，我们都可以得到的取值范围为 ． 【类比探究】（2）如图②，，是的边上的中线，试探索与的数量关系，并说明理由． 【迁移应用】（3）【应用1】如图③，已知的半径为6，四边形是的圆内接四边形．，求的长． （4）【应用2】如图④，,相交于点G，连接，若的度数发生改变，请问是否存在最小值？如果存在，则直接写出其最小值（用含a和b的式子表示），如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析（3）；（4）存在最小值，最小值为 【详解】解：（1）延长到E，使，连接，如图1， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴，故答案为：； （2），理由如下：延长至点G，使，连接，如图所示， 由作图可知，∵是边上的中线，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴，∴； （3）如图3，过点O作于点E，于点F， 由条件可知，，∵，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∴； （4）存在最小值，最小值为，理由如下： 如图4，取的中点F，连接，延长至点H，使，连接， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴点E、D、G、B四点共圆，∴，∴， ∵F为的中点，∴，∵∴四边形是平行四边形， ∴，∴，∵，∴， ∵，∴，在和中，， ∴，∴，∴， 若的度数发生改变，当点G、D、F三点在同一直线时，的值最小为． 27．（24-25上·江苏泰州·九年级校考阶段练习）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设是已知点，小圆为已知圆．具体作法是：以为圆心，为半径作大圆，连接交小圆于点，过作，交大圆于点，连接，交小圆于点，连接，则是小圆的切线．       (1)为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程； 已知：如图，点，和点，分别在以为圆心的同心圆上，______． 求证：______． 证明： (2)如图1，长不变，改变小圆的半径，延长交大圆于点，延长线交大圆于点，当经过圆心时，求的值； (3)在（2）中，若改变小圆的半径时，与小圆相切，直接写出的度数． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上， 求证：是小圆O的切线 证明：∵点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，∴． 在和中，∴，∴， ∵，∴，∴，∴是小圆O的切线． （2）由（1）得：，，， ∴，，∴， ∵，∴，∴． （3）如图，∵，，都为小圆O的切线，记与小圆O的切点为H， ∴，，    ∵，，，∴，， ∴，而， ∴∴． 28.（24-25·河南许昌·九年级校考期末）已知，点、、、是圆上的四个点， (1)如图1，如果，判断的形状，并证明．(2)如果是等边三角形，点在圆上运动，连接、、，请直接写出这三条线段的数量关系．(3)如图2，如果是等边三角形，圆半径为2，当点在弧上运动时，四边形周长最大值为______． 【答案】(1)等边三角形，证明见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）解：等边三角形，理由是：∵，∴，， ∴，，∴是等边三角形； （2）当点在劣弧上时，如图，延长到点，使， 为等边三角形，，， ，，， 在和中，，， ，，，为等边三角形，，； 同理：当点在劣弧上时，；当点在劣弧上时，； （3）由（2）可得：当点在弧上运动时，， ∴四边形周长为， 由于固定不变，则当最大时，即为直径时，周长最大， 连接并延长，交于E，则， ∵是等边三角形，∴， ∴， ∴，∴， 则四边形周长的最大值为． 29．（24-25江苏九年级上期末）如图，已知的半径为1，A、P、B、C是上的四个点，． (1)的形状为______；(2)试求线段、、之间的数量关系； (3)若点M是的中点，直接写出点P在上移动时的最小值． 【答案】(1)等边三角形(2)(3) 【详解】（1）解：是等边三角形，如图1，连接， ∵，∴，∴， ∴，∴是等边三角形，故答案为：等边三角形． （2）解：，如图2，在线段上截取使， ∵，，∴是等边三角形，∴， ∵，，∴， 在和中，∵，∴，∴， ∴，∴的数量关系为． （3）解：如图3，连接，记中点为，连接， 由题意知且，即为定长，为定点， ∴的运动轨迹为绕点运动且半径为的圆， 如图3，连接，可知与的交点即为在上移动时的的最小值时的位置，过作，垂足为，由题意得，，， ∴，，∴， 在中，由勾股定理得，∴， ∴在上移动时的的最小值为． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $