第二十四章 圆 章节（20知识点回顾+40题型练习）核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

第二十四章 圆 章节（20知识点回顾+40题型练习） 题型汇聚 题型一 圆的基本概念辨析 题型二 求圆中弦的条数 题型三 圆的周长和面积问题 题型四 点与圆上一点的最值问题 题型五 利用垂径定理求值 题型六 利用垂径定理求平行弦问题 题型七 利用垂径定理求同心圆问题 题型八 垂径定理的实际应用 题型九 利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型十 利用弧、弦、圆心角的关系求证 题型十一 圆心角概念辨析及简单运算 题型十二 求圆弧的度数 题型十三 圆周角定理 题型十四 同弧或等弧所对的圆周角相等 题型十五 半圆（直径）所对的圆周角是直角 题型十六 90度的圆周角所对的弦是直径 题型十七 已知圆内接四边形求角度 题型十八 求四边形外接圆的直径 题型十九 判断点与圆的位置关系 题型二十 利用点与圆的位置关系求半径 题型二十一 已知半径和圆上两点作圆 题型二十二 三角形外接圆的概念辨析 题型二十三 求三角形外心坐标 题型二十四 判断直线和圆的位置关系 题型二十五 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 题型二十六已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 题型二十七 判断或补全使直线为切线的条件 题型二十八 求正多边形的中心角 题型二十九 已知正多边形的中心角求边数 题型三十 正多边形和圆的综合 题型三十一 尺规作图——正多边形 题型三十二 求弧长 题型三十三 求扇形半径 题型三十四 求圆心角 题型三十五 求某点的弧形运动路径长度 题型三十六 求扇形面积 题型三十七 求图形旋转后扫过的面积 题型三十八 求弓形面积 题型三十九 求其他不规则图形的面积 题型四十 求圆锥侧面积 知识清单 知识点1．圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3） 圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 知识点2．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点3．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 知识点4．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 知识点5．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种知识点6．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 知识点7．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点8．确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 知识点9．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 知识点10．直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 知识点11．切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 知识点12．切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 知识点13．切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 知识点14．切线长定理 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 知识点15．三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 知识点16．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 知识点17．弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点18．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 知识点19．圆锥的计算 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl． （4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl （5）圆锥的体积＝×底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 知识点20．圆柱的计算 （1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长． （2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高 （3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积 （4）圆柱的体积＝底面积×高． 题型练习 题型一 圆的基本概念辨析 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）下列有关圆的相关性质的说法中，正确的为（   ） ①面积相等的圆是等圆；②过圆心的线段是直径；③长度相等的弧是等弧；④半径是弦；⑤直径是最长的弦；⑥等弧所在的圆一定是等圆或同圆． A．②③④ B．①⑤⑥ C．①②④ D．④⑤⑥ 【答案】B 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】本题考查圆的基本性质，根据等圆、等弧、直径、半径、弦的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】解：①面积相等的圆的半径相等，因此面积相等的圆是等圆是正确的，故①符合题意； ②过圆心的线段不一定是圆的直径，故②不符合题意； ③在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故③不符合题意； ④半径不是弦，故④不符合题意； ⑤直径是圆中最长的弦，正确，故⑤符合题意； ⑥等弧所在的圆一定是等圆或同圆，正确，故⑥符合题意． ∴正确的是①⑤⑥． 故选B． 题型二 求圆中弦的条数 2．如图，图中的弦共有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【知识点】求圆中弦的条数 【分析】根据弦的定义解答即可． 【详解】解：图形中有弦AB和弦CD，共2条， 故选B． 【点睛】本题考查弦的定义，熟记弦的定义是解题的关键． 题型三 圆的周长和面积问题 3．（2024·河北秦皇岛·一模）某校社团实践活动中，有若干个同学参加．先到的个同学均匀围成一个以点为圆心，为半径的圆圈，如图所示（每个同学对应圆周上一个点）． （1）若，则相邻两人间的圆弧长是 ．（结果保留） （2）又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移米，再左右调整位置，使这个同学之间的圆弧长与原来个同学之间的圆弧长相等．这个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重复前面的操作，则每人须再往后移米，才能使得这个同学之间的圆弧长与原来个同学之间的圆弧长相同，则 ． 【答案】 【知识点】圆的周长和面积问题 【分析】本题考查圆的周长和弧长， （1）先计算出圆的周长，再计算出圆的弧长即可； （2）先计算出半径往后移米的圆的周长，求出弧长，根据弧长相等建立等式即可求出a，再计算出b，即可得到答案． 【详解】解：（1）当时，圆的周长为：， ∴相邻两人间的圆弧长是， 故答案为：； （2）又来了两个同学后圆的周长为：， ∴， ∴， 当又有一个同学要加入队伍后，圆的周长为：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型四 点与圆上一点的最值问题 4．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的一动点，过P作PA⊥PB， A、B都在x轴上，且关于原点O对称，则AB的最小值为 ． 【答案】6 【知识点】点与圆上一点的最值问题 【分析】连接OP，由直角三角形的性质可知AB=2OP，则求AB的最小值即为求OP的最小值，当O、P、M三点共线时，OP长度最小. 【详解】解：连接OP，由于PA⊥PB，故由直角三角形的性质可知AB=2OP，则OP最短时，AB最短；由图可知，O、P、M三点共线时，OP长度最小，OP=OM-MP=，则AB的最小长度为6， 故答案为6. 【点睛】将求AB最短问题转化为求OP最短是解题关键. 题型五 利用垂径定理求值 5．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，的直径，是的弦，，垂足为M，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】利用垂径定理求值 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理等知识．连接，先利用勾股定理求出的长，再由垂径定理即可得的长． 【详解】解：如图，连接， 的直径， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 题型六 利用垂径定理求平行弦问题 6．⊙O的半径为5cm，弦AB=8cm，CD=6cm，且AB∥CD，求两弦之间的距离． 【答案】7或1 【知识点】利用垂径定理求平行弦问题 【分析】先作出圆心与两弦的垂直距离，作图后很容易可以用勾股定理算出AB弦与圆心的距离为3cm，CD弦与圆心的距离为4cm，若AB、CD位于圆心异侧，则两平行弦的距离为3＋4＝7cm，AB、CD位于圆心同侧4−3＝1cm． 【详解】如图：过点O作OE⊥AB于E，交CD于F， ∵AB∥CD， ∴OF⊥CD， ∵OE过圆心，OE⊥AB， ∴EB＝AB＝3cm， ∵OB＝5cm， ∴EO＝4cm， 同理，OF＝3cm， ∴EF＝4-3=1cm， 当AB、CD位于圆心两旁时EF＝4+3=7cm， ∴EF＝1cm或EF＝7cm． 【点睛】本题结合勾股定理考查了垂径定理，解决与弦有关的问题，往往要作弦的弦心距，构造以弦心距、半径、弦长的一半为三边的直角三角形，利用勾股定理解答问题．关键是能正确求出符合条件的两种情况． 题型七 利用垂径定理求同心圆问题 7．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． 求证：AC=BD． 【答案】证明见解析. 【知识点】利用垂径定理求同心圆问题 【分析】过圆心O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理得到AE=BE，同理得到CE=DE，又因为AE-CE=BE-DE，进而求证出AC=BD． 【详解】过O作OE⊥AB于点E， 则CE=DE，AE=BE， ∴BE-DE=AE-CE. 即AC=BD. 【点睛】本题考查垂径定理的实际应用． 题型八 垂径定理的实际应用 8．（24-25九年级上·广东珠海·期末）如图，直径为的圆柱形的油槽内装入一些油以后截面如图所示，若油面宽，求油的最大深度． 【答案】 【知识点】垂径定理的实际应用 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，连接，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而可得出的长． 【详解】解：连接，过点O作于点D，交于点C， ， ， ∵的直径为， ， 在中，， ． 答：油的最大深度为． 题型九 利用弧、弦、圆心角的关系求解 9．（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列命题中，正确的是（   ） A．相等的弧所对的圆心角相等 B．圆心到弦的距离相等，则这两条弦相等 C．相等的圆心角所对的弦相等 D．同圆中，如果两条弦相等，那么两条弦所对的弧相等 【答案】A 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查命题与定理知识，圆心角，弦，弧的关系．根据题意及圆周角定理，弧，弦，圆心角的关系定理对选项逐个进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵相等的弧所对的圆心角相等，故A选项正确； ∵在同圆或等圆中，圆心到弦的距离相等，则这两条弦相等，故B选项不正确； ∵在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故C选项不正确； ∵同圆中，如果两条弦相等，那么两条弦所对的优弧或劣弧相等，故D选项不正确． 故选：A． 题型十 利用弧、弦、圆心角的关系求证 10．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，点A，B，C，D在上，．求证：．    【答案】见解析 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】本题考查弦和弧的关系，根据等弧对等弦得到，进而求解即可． 【详解】证明：∵在上，， ∴， ∴， ∴． 题型十一 圆心角概念辨析及简单运算 11．如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为 ．（只考虑小于的角） 【答案】 【知识点】圆心角概念辨析及简单运算、等边对等角 【分析】连接，由点P在小量角器对应的刻度，可知大小，再，可求得即为点P在大量角器上对应的刻度． 【详解】连接，如图所示： 点P在小量角器对应的刻度为， ， ， ， ， 点P在大量角器上对应的刻度为（只考虑小于的角）． 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆心角、等腰三角形的性质和三角形内角和定理．熟练掌握用量角器上测量圆心角，并能根据相关性质求出各个角的度数是解此题的关键． 题型十二 求圆弧的度数 12．如图,将大小不同的两块量角器的零度线对齐,且小量角器的中心恰好在大量角器的圆周上,设图中两圆周的交点为.且点在小量角器上对应的刻度为,那么点在大量角器上对应的刻度为(只考虑小于的角)(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】 求圆弧的度数 【分析】依题意，设大量角器的左端点为，小量角器的圆心为.利用三角形的内角和定理求出的度数，然后根据圆的知识可求出大量角器上对应的角度. 【详解】设大量角器的左端点为，小量角器的圆心为，连接、， 则，， 因而， 在大量角器中弧所对的圆心角是， 因而在大量角器上对应的度数为. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆心角是，能把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键. 题型十三 圆周角定理 13．（24-25九年级上·广东湛江·期中）如图，点A、B、C、D在圆O上，，点B是的中点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆周角定理 【分析】根据圆周角定理，解答即可． 本题考查了圆周角定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵点B是的中点，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 题型十四 同弧或等弧所对的圆周角相等 14．（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，是的直径，点、在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】本题考查了圆周角定理及推论．解题关键是熟练掌握同弧对的圆周角相等，直径对的圆周角是直角．连接，根据直径性质得到，根据圆周角定理得到，即得． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 题型十五 半圆（直径）所对的圆周角是直角 15．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，是的直径，点、、都在上．若，则的大小为 ． 【答案】/35度 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理．连接，先根据圆周角定理可得，从而可得，再根据圆周角定理可得，由此即可得． 【详解】如图，连接， ∵是的直径， ∴，即， 又由圆周角定理得：， ∵， ∴， ， 故答案为：． 题型十六 90度的圆周角所对的弦是直径 16．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点在格点上，点是小正方形边的中点． (1)线段的长等于　　； (2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出经过，两点的圆的圆心，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了圆的基本性质，勾股定理等； （1）由勾股定理，即可求解； （2）连接格点、交网格线于点，连接，连接格点、、、交于点，连接，连接、交于点，即可求解； 掌握勾股定理，能利用圆的基本性质找出圆心是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：如图所示，连接格点、交网格线于点，连接，连接格点、、、交于点，连接，连接、交于点， 则点即为所求． 连接，， ， 同理可求： ， ， ， 为直角三角形， ， 是直径， 同理可证：是直径， 点为圆心． 题型十七 已知圆内接四边形求角度 17．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）如图，四边形内接于，已知，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】此题考查圆周角定理以及圆内接四边形的性质，得出∠B的度数是解题关键． 根据圆内接四边形的性质求得，利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴ ∴． 故选：A． 题型十八 求四边形外接圆的直径 18．图，定长弦在以为直径的上滑动（点、与点、不重合），是的中点，过点作于点，若，，，则的最大值是 ． 【答案】4 【知识点】求四边形外接圆的直径 【分析】连接，，求出，，，四点共圆，则是的一条弦，当为的直径时最大． 【详解】：如图，连接，，根据， 所以，，，四点共圆，且为直径， 的中点为圆心，则为的一条弦， 当为的直径时最大， 所以时最大， 即的最大值为4． 故答案为4 【点睛】本题考查了四点共圆，解题的关键是找出符合条件的的位置，有一定难度． 题型十九 判断点与圆的位置关系 19．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）与圆心的距离大于半径的点位于（　　） A．圆的外部 B．圆的内部 C．圆上 D．圆的外部或圆上 【答案】A 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查点与圆的位置关系，设圆的半径为，圆心为，点到圆心的距离为，当时，点在圆的外部；当时，点在圆上；当时，点在圆的内部，据此进行判断即可． 【详解】解：∵点与圆心的距离大于半径， ∴点位于圆的外部； 故选A． 题型二十 利用点与圆的位置关系求半径 20．（24-25九年级上·青海海东·阶段练习）圆外一点到圆心的距离为6，则这个圆的半径可能为（    ） A．6.5 B．5 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，求出圆的半径．根据点在圆外时，设的半径为，则． 【详解】解：设的半径为， 点在圆外， ， 故选B． 题型二十一 已知半径和圆上两点作圆 21．已知点是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为，点所表示的实数为，作以为圆心，为半径的，若点在外，则的值可能是（）. A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知半径和圆上两点作圆 【分析】根据点与圆的位置关系计算即可； 【详解】∵B在外， ∴AB＞2， ∴＞2， ∴b＞或b＜， ∴b可能是-1. 故选A． 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，准确分析计算是解题的关键． 题型二十二 三角形外接圆的概念辨析 22．（23-24九年级上·河北邢台·期中）如图，点A，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．12个 【答案】B 【知识点】 三角形外接圆的概念辨析 【分析】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键，找出不在同一条直线上的三个点的所有组合即可． 【详解】解：依题意A，B；A，C；A，D；B，C；B，D；C，D加上点P可以画出一个圆， ∴共有6个， 故选：B． 题型二十三 求三角形外心坐标 23．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，外接圆的圆心坐标为 ． 【答案】 【知识点】求三角形外心坐标 【分析】本题考查了线段的垂直平分线及三角形的外心．三角形三边的垂直平分线的交点是三角形的外心．解决本题需仔细分析三条线段的特点． 利用网格，作线段线段的垂直平分线相交于D，再根据图形写出点D的坐标即可． 【详解】解：作线段、线段的垂直平分线相交于点D，如图， 由图可得点D的坐标为：， 故答案为：． 题型二十四 判断直线和圆的位置关系 24．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）半径的为2，圆心到直线的距离为3，则直线与（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【答案】A 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】根据直线和圆的位置关系可知，圆的半径小于直线到圆心的距离，则直线l与的位置关系是相离．据此即可作答．本题考查了直线与圆的位置关系． 【详解】解：∵的半径为2，圆心到直线的距离为3，且， ∴直线与相离． 故选：A． 题型二十五 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 25．（24-25九年级上·青海果洛·期末）平面内，的半径为6，若直线l与相离，则圆心O到直线l的距离可能是（） A．8 B．6 C．5 D．2 【答案】A 【知识点】已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握①当直线与圆心的距离小于半径，直线与圆相交；②当直线与圆心的距离大于半径，直线与圆相离，③当直线与圆心的距离等于半径，直线与圆相切是解题的关键．根据直线l与相离得到直线l与圆心的距离大于半径，于是得到结论． 【详解】解：∵的半径为6，若直线l与相离， ∴圆心O到直线l的距离， 故选：A． 题型二十六已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 26．（2024·天津滨海新·一模）的直径为，直线l与相交，圆心O到l的距离为d，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解决本题的关键是掌握直线与圆的位置关系的性质． 根据直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于半径，得． 【详解】解：∵的直径为，直线l与相交，点O到直线l的距离为d， ∴，即， 故选：B． 题型二十七 判断或补全使直线为切线的条件 27．如图，在中，，点在边上，经过点和点且与边相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径．    【答案】(1)见解析；(2) 【知识点】判断或补全使直线为切线的条件 【分析】(1)连接，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据三角形的内角和得到，于是得到是的切线； (2)连接，推出是等边三角形，得到，求得，得到，于是得到结论． 【详解】(1)证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； (2)解：连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径．    【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 题型二十八 求正多边形的中心角 28．如图，正六边形的中心为原点O，顶点在x轴上，半径为．求其各个顶点的坐标． 【答案】A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），D（2，0），E（1，），F（－1，） 【知识点】求正多边形的中心角、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、坐标与图形 【分析】过点E作EG⊥x轴，垂足为G，连接OE，得出△OED是正三角形，再利用Rt△OEG中，OG＝OE，EG＝，得出结论． 【详解】解：过点E作EG⊥x轴，垂足为G，连接OE， ∵OE=OD，∠EOD=， ∴△OED是正三角形，∠EOG＝60°，∠OEG＝30°， ∵OE＝2cm，∠OGE＝90°， ∴OG＝OE＝1cm，EG＝＝＝cm， 点E的坐标为（1，）， 又由题意知点D的坐标为（2，0）， 由图形的对称性可知A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），F（－1，）． 故这个正六边形ABCDEF各个顶点的坐标分别为A（－2，0），B（－1，－），C（1，－），D（2，0），E（1，），F（－1，）． 【点睛】本题考查了正六边形的对称性，直角三角形30°的角所对的边等于斜边的一半，勾股定理等知识，解题的关键是熟练运用这些性质． 题型二十九 已知正多边形的中心角求边数 29．（24-25九年级上·河南信阳·期末）若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个正多边形是 ． 【答案】正六边形 【知识点】已知正多边形的中心角求边数 【分析】本题考查了正多边形的边数与中心角的关系，掌握正多边形的中心角等于是解题的关键． 根据正多边形中心角等于即可求解． 【详解】解：由题意得，边数为， 故答案为：正六边形． 题型三十 正多边形和圆的综合 30．（23-24九年级上·山东泰安·期末）如图，正六边形的边长为，以为圆心，得，连接，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形的性质，扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是关键． 根据正多边形的内角和定理及性质得到，如图所示，过点作于点，，由此扇形面积公式即可求解． 【详解】解：∵图形是边长为4的正六边形， ∴，每个内角的度数， ∴， ∴， 同理，， ∴， 如图所示，过点作于点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： ． 题型三十一 尺规作图——正多边形 31．已知：如图，A为⊙O上一点；求作：⊙O的内接正方形ABCD． 【答案】见解析 【知识点】尺规作图——正多边形 【分析】先作直径AC，再过O点作AC的垂线交⊙O于D、B，然后连接AB、AD、CD、CB即可． 【详解】解：如图，四边形ABCD为所作． 【点睛】本题考查了作图——复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 题型三十二 求弧长 32．（2025·福建莆田·二模）斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”．如图给出了它的画法：以斐波那契数1，1，2，3，5，…，为边的正方形依序拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．则图中的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求弧长 【分析】本题考查了弧长公式，根据弧长公式求解即可，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， 故选：C． 题型三十三 求扇形半径 33．（24-25九年级上·北京朝阳·期末）埃拉托色尼是一位古希腊的杰出数学家，他首创了“地理学”这个词，被尊称为“地理学之父”．他的名著《对地球大小的修正》中提出了一种测量地球周长的设想，如图，塞伊尼点和亚历山大点是几乎在同一条经线上的两座城市，两地相距约，在塞伊尼城有一口垂直于地面的水井，夏至日中午12点太阳光可直射井底，同一时刻在亚历山大城竖起一根垂直于地面的木棍，利用影子测出太阳光线与木棍所在直线的夹角约为，据此可以估算地球的周长约为 【答案】 【知识点】求扇形半径 【分析】本题考查弧长的计算．根据所给条件得到的值是解决本题的关键．易得的长度为，所对的圆心角为，根据弧长公式可得的值，进而可求得地球的周长． 【详解】解：如图， 由题意得：，，的长度为， ， 设地球的半径为， ， 解得：， 地球的周长为， 故答案为：40000． 题型三十四 求圆心角 34．（23-24九年级上·广西钦州·阶段练习）一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求圆心角 【分析】本题考查了弧长公式的计算，重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 【详解】解：滑轮的直径是， 滑轮的半径是， 设旋转的角度是， 由题意得：， 解得：， 滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为， 故选：A． 题型三十五 求某点的弧形运动路径长度 35．（24-25九年级上·河南信阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，， (1)以点C为旋转中心，把逆时针旋转，画出旋转后的； (2)在（1）的条件下，求点B经过的路径长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】画旋转图形、求某点的弧形运动路径长度、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了作图-旋转变换，弧长公式，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用旋转变换的性质分别作出的对应点，依次连接即可； （2）由勾股定理求出，再利用弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：作出点、以点C为旋转中心，把逆时针旋转的对应点、，依次连接 、、，则即为所求，如图所示： （2）解：由网格和勾股定理可得：， 由题意可得：， 点B经过的路径长为． 题型三十六 求扇形面积 36．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，中国被誉为制扇王国．小旭制作了一把扇形纸扇，如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制水墨画，则水墨画所在纸面的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求扇形面积 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可解决问题． 【详解】解：由题知，， ， 所以山水画所在纸面的面积为：． 故选：B． 题型三十七 求图形旋转后扫过的面积 37．（24-25九年级上·四川自贡·阶段练习）在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． (1)将绕着点O逆时针旋转，画出旋转后得到的 (2)求出在旋转过程中，线段扫过的图形面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】画旋转图形、求图形旋转后扫过的面积 【分析】本题考查了作图——旋转变换，扇形面积，作图的关键是找到各关键点旋转后的对应点，求扇形面积关键是熟记扇形面积公式． （1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点、、，从而得到； （2）先求出的长，然后再利用扇形的面积公式进行计算即可得． 【详解】（1）解：如图， （2）解：（2）∵且， ∴线段所扫过的图形的面积为． 题型三十八 求弓形面积 38．如图，已知⊙O的周长为4π，的长为π，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】π-2/-2+π 【知识点】求弓形面积 【分析】首先根据⊙O的周长为4π，求出⊙O的半径；然后根据的长，可求得∠AOB=90°；最后用⊙O的面积的减去△AOB的面积，求出图中阴影部分的面积． 【详解】解：∵⊙O的周长为4π， ∴⊙O的直径是4， ∴⊙O的半径是2， ∵的长为π， ∴的长等于⊙O的周长的， ∴∠AOB=90°， ∴π-2． 故答案为：π-2． 【点睛】此题主要考查了扇形面积的计算，以及弧长的计算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法． 题型三十九 求其他不规则图形的面积 39．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，四边形的面积为，扇形的半径为4，圆心角为，求图中阴影部分的面积．（结果保留根号和） 【答案】 【知识点】求扇形面积、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查了扇形的面积公式，不规则图形的面积，先根据扇形面积公式：求出扇形的面积，然后根据阴影部分的面积=四边形的面积-扇形的面积求解即可． 【详解】解：∵扇形的半径为4，圆心角为， ∴扇形的面积为， 又四边形的面积为， ∴阴影部分的面积为． 题型四十 求圆锥侧面积 40．（24-25九年级上·云南临沧·期末）图是一种道路交通隔离警戒设施交通锥，将其抽象成几何图形，近似地看成圆锥（如图），测得底面半径，母线，则圆锥的侧面积是 ．（结果保留） 【答案】 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】本题主要考查了求圆锥的侧面积．根据圆锥的侧面积解答即可． 【详解】解：圆锥的侧面积是 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 圆 章节（20知识点回顾+40题型练习） 题型汇聚 题型一 圆的基本概念辨析 题型二 求圆中弦的条数 题型三 圆的周长和面积问题 题型四 点与圆上一点的最值问题 题型五 利用垂径定理求值 题型六 利用垂径定理求平行弦问题 题型七 利用垂径定理求同心圆问题 题型八 垂径定理的实际应用 题型九 利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型十 利用弧、弦、圆心角的关系求证 题型十一 圆心角概念辨析及简单运算 题型十二 求圆弧的度数 题型十三 圆周角定理 题型十四 同弧或等弧所对的圆周角相等 题型十五 半圆（直径）所对的圆周角是直角 题型十六 90度的圆周角所对的弦是直径 题型十七 已知圆内接四边形求角度 题型十八 求四边形外接圆的直径 题型十九 判断点与圆的位置关系 题型二十 利用点与圆的位置关系求半径 题型二十一 已知半径和圆上两点作圆 题型二十二 三角形外接圆的概念辨析 题型二十三 求三角形外心坐标 题型二十四 判断直线和圆的位置关系 题型二十五 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 题型二十六已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 题型二十七 判断或补全使直线为切线的条件 题型二十八 求正多边形的中心角 题型二十九 已知正多边形的中心角求边数 题型三十 正多边形和圆的综合 题型三十一 尺规作图——正多边形 题型三十二 求弧长 题型三十三 求扇形半径 题型三十四 求圆心角 题型三十五 求某点的弧形运动路径长度 题型三十六 求扇形面积 题型三十七 求图形旋转后扫过的面积 题型三十八 求弓形面积 题型三十九 求其他不规则图形的面积 题型四十 求圆锥侧面积 知识清单 知识点1．圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3） 圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 知识点2．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 知识点3．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 知识点4．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 知识点5．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种知识点6．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 知识点7．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点8．确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 知识点9．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 知识点10．直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 知识点11．切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 知识点12．切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 知识点13．切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 知识点14．切线长定理 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 知识点15．三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 知识点16．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 知识点17．弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点18．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 知识点19．圆锥的计算 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl． （4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl （5）圆锥的体积＝×底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 知识点20．圆柱的计算 （1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长． （2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高 （3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积 （4）圆柱的体积＝底面积×高． 题型练习 题型一 圆的基本概念辨析 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）下列有关圆的相关性质的说法中，正确的为（   ） ①面积相等的圆是等圆；②过圆心的线段是直径；③长度相等的弧是等弧；④半径是弦；⑤直径是最长的弦；⑥等弧所在的圆一定是等圆或同圆． A．②③④ B．①⑤⑥ C．①②④ D．④⑤⑥ 题型二 求圆中弦的条数 2．如图，图中的弦共有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 题型三 圆的周长和面积问题 3．（2024·河北秦皇岛·一模）某校社团实践活动中，有若干个同学参加．先到的个同学均匀围成一个以点为圆心，为半径的圆圈，如图所示（每个同学对应圆周上一个点）． （1）若，则相邻两人间的圆弧长是 ．（结果保留） （2）又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移米，再左右调整位置，使这个同学之间的圆弧长与原来个同学之间的圆弧长相等．这个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重复前面的操作，则每人须再往后移米，才能使得这个同学之间的圆弧长与原来个同学之间的圆弧长相同，则 ． 题型四 点与圆上一点的最值问题 4．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的一动点，过P作PA⊥PB， A、B都在x轴上，且关于原点O对称，则AB的最小值为 ． 题型五 利用垂径定理求值 5．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，的直径，是的弦，，垂足为M，，则的长为 ． 题型六 利用垂径定理求平行弦问题 6．⊙O的半径为5cm，弦AB=8cm，CD=6cm，且AB∥CD，求两弦之间的距离． 题型七 利用垂径定理求同心圆问题 7．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． 求证：AC=BD． 题型八 垂径定理的实际应用 8．（24-25九年级上·广东珠海·期末）如图，直径为的圆柱形的油槽内装入一些油以后截面如图所示，若油面宽，求油的最大深度． 题型九 利用弧、弦、圆心角的关系求解 9．（24-25九年级上·上海·阶段练习）下列命题中，正确的是（   ） A．相等的弧所对的圆心角相等 B．圆心到弦的距离相等，则这两条弦相等 C．相等的圆心角所对的弦相等 D．同圆中，如果两条弦相等，那么两条弦所对的弧相等 题型十 利用弧、弦、圆心角的关系求证 10．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，点A，B，C，D在上，．求证：．    题型十一 圆心角概念辨析及简单运算 11．如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为 ．（只考虑小于的角） 题型十二 求圆弧的度数 12．如图,将大小不同的两块量角器的零度线对齐,且小量角器的中心恰好在大量角器的圆周上,设图中两圆周的交点为.且点在小量角器上对应的刻度为,那么点在大量角器上对应的刻度为(只考虑小于的角)(    ) A． B． C． D． 题型十三 圆周角定理 13．（24-25九年级上·广东湛江·期中）如图，点A、B、C、D在圆O上，，点B是的中点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 题型十四 同弧或等弧所对的圆周角相等 14．（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，是的直径，点、在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型十五 半圆（直径）所对的圆周角是直角 15．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，是的直径，点、、都在上．若，则的大小为 ． 题型十六 90度的圆周角所对的弦是直径 16．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点在格点上，点是小正方形边的中点． (1)线段的长等于　　； (2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出经过，两点的圆的圆心，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）． 题型十七 已知圆内接四边形求角度 17．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）如图，四边形内接于，已知，则的大小是（   ） A． B． C． D． 题型十八 求四边形外接圆的直径 18．图，定长弦在以为直径的上滑动（点、与点、不重合），是的中点，过点作于点，若，，，则的最大值是 ． 题型十九 判断点与圆的位置关系 19．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）与圆心的距离大于半径的点位于（　　） A．圆的外部 B．圆的内部 C．圆上 D．圆的外部或圆上 题型二十 利用点与圆的位置关系求半径 20．（24-25九年级上·青海海东·阶段练习）圆外一点到圆心的距离为6，则这个圆的半径可能为（    ） A．6.5 B．5 C．7 D．8 题型二十一 已知半径和圆上两点作圆 21．已知点是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为，点所表示的实数为，作以为圆心，为半径的，若点在外，则的值可能是（）. A． B． C． D． 题型二十二 三角形外接圆的概念辨析 22．（23-24九年级上·河北邢台·期中）如图，点A，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．12个 题型二十三 求三角形外心坐标 23．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，外接圆的圆心坐标为 ． 题型二十四 判断直线和圆的位置关系 24．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）半径的为2，圆心到直线的距离为3，则直线与（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 题型二十五 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 25．（24-25九年级上·青海果洛·期末）平面内，的半径为6，若直线l与相离，则圆心O到直线l的距离可能是（） A．8 B．6 C．5 D．2 题型二十六已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 26．（2024·天津滨海新·一模）的直径为，直线l与相交，圆心O到l的距离为d，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二十七 判断或补全使直线为切线的条件 27．如图，在中，，点在边上，经过点和点且与边相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径．    题型二十八 求正多边形的中心角 28．如图，正六边形的中心为原点O，顶点在x轴上，半径为．求其各个顶点的坐标． 题型二十九 已知正多边形的中心角求边数 29．（24-25九年级上·河南信阳·期末）若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个正多边形是 ． 题型三十 正多边形和圆的综合 30．（23-24九年级上·山东泰安·期末）如图，正六边形的边长为，以为圆心，得，连接，则图中阴影部分的面积为 ． 题型三十一 尺规作图——正多边形 31．已知：如图，A为⊙O上一点；求作：⊙O的内接正方形ABCD． 题型三十二 求弧长 32．（2025·福建莆田·二模）斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”．如图给出了它的画法：以斐波那契数1，1，2，3，5，…，为边的正方形依序拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．则图中的长为（   ） A． B． C． D． 题型三十三 求扇形半径 33．（24-25九年级上·北京朝阳·期末）埃拉托色尼是一位古希腊的杰出数学家，他首创了“地理学”这个词，被尊称为“地理学之父”．他的名著《对地球大小的修正》中提出了一种测量地球周长的设想，如图，塞伊尼点和亚历山大点是几乎在同一条经线上的两座城市，两地相距约，在塞伊尼城有一口垂直于地面的水井，夏至日中午12点太阳光可直射井底，同一时刻在亚历山大城竖起一根垂直于地面的木棍，利用影子测出太阳光线与木棍所在直线的夹角约为，据此可以估算地球的周长约为 题型三十四 求圆心角 34．（23-24九年级上·广西钦州·阶段练习）一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（    ） A． B． C． D． 题型三十五 求某点的弧形运动路径长度 35．（24-25九年级上·河南信阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，， (1)以点C为旋转中心，把逆时针旋转，画出旋转后的； (2)在（1）的条件下，求点B经过的路径长． 题型三十六 求扇形面积 36．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，中国被誉为制扇王国．小旭制作了一把扇形纸扇，如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制水墨画，则水墨画所在纸面的面积为（   ） A． B． C． D． 题型三十七 求图形旋转后扫过的面积 37．（24-25九年级上·四川自贡·阶段练习）在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． (1)将绕着点O逆时针旋转，画出旋转后得到的 (2)求出在旋转过程中，线段扫过的图形面积． 题型三十八 求弓形面积 38．如图，已知⊙O的周长为4π，的长为π，则图中阴影部分的面积为 ．    题型三十九 求其他不规则图形的面积 39．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，四边形的面积为，扇形的半径为4，圆心角为，求图中阴影部分的面积．（结果保留根号和） 题型四十 求圆锥侧面积 40．（24-25九年级上·云南临沧·期末）图是一种道路交通隔离警戒设施交通锥，将其抽象成几何图形，近似地看成圆锥（如图），测得底面半径，母线，则圆锥的侧面积是 ．（结果保留） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$