专题14 相似三角形中的八大重要模型（几何模型讲义）数学北师大版九年级上册

专题14.相似三角形中的八大重要模型 本专题包含相似三角形中的八大重要模型，主要有：（双）A字型、（双）8（X）字型、母子型（共边共角模型）、手拉手模型、一线三等角模型、对角互补模型、半角模型、十字架模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1．（2024·浙江温州·三模）如图，在中，平分分别交，，延长线于点，，，记与的面积分别为，，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，∴， ∵平分，∴，∴，∴， ∵，∴设，，则，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，， ∴，，∴，∴， ∴，即，故选：C． 2.（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，与交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，作直线，分别交、于点、，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∵以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，，， ∵垂直平分，， ，，，，，故选：A． 3．（24-25翠屏区八年级上学期期末数学试题）在Rt△ABC中，，AC=BC，D为BC的中点，过C作CE⊥AD于点E，延长CE交AB于点F，，连接FD；若AC=4，则CF+FD的值是（  ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【详解】证明：作BG⊥CB，交CF的延长线于点G，如图所示： ∵∠CBG=90°，CF⊥AD，∴∠CAD+∠ADC=∠BCG+∠ADC=90°，∴∠CAD=∠BCG， 在△ACD和△CBG中， ，∴△ACD≌△CBG（ASA），∴CD=BG，CG=AD ∵D为BC的中点∴CD=BD，∴BG=BD，∵∠ABC=45°，∴∠FBD=∠GBF=∠CBG， 在△BFG和△BFD中，，∴△BFG≌△BFD（SAS）， ∴FG=FD，∴CF+FD=CF+FG=CG=AD 又∵，AC=BC，AC=4，∴ ∴CF+FD=AD=故选：A 4．（24-25九年级下·广东·专题练习）如图，在中，，高，正方形一边在上，点E，F分别在，上，交于点N，则的长为（　　） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】B 【详解】解：设正方形的边长， ∵四边形是正方形，，，， ∵是的高，，∴四边形是矩形，， ，（相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ，，，解得：，．故选：B． 5．（24-25·成都市·九年级期中）如图所示，在中，，，在中，，点P在上，交于点E，交于点F．当时，的值为（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵在中，，，∴AC= ， 过P作PH⊥BC于H，PQ⊥AB于Q，则∠PQB=∠PHB=∠B=90°， ∴四边形PQBH是矩形，∴PH=BQ，∠QPH=90°=∠MPN，PQ∥BC， ∴∠EPH+∠QPE=∠EPH+∠HPF=90°，∴∠QPE=∠HPF， ∴△PQE∽△PHF，∴，又PE=2PF，∴PQ=2PH=2BQ， ∵PQ∥BC，∴△AQP∽△ABC，∴， 设BQ=x，则AQ=3﹣x，PQ=2x，∴，解得：，AP=3，故选：C． 6．（24-25山西·九年级校考期中）如图，在正方形中，点、分别是、边上的两点，且，、分别交于、．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②④ B．①④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：∵∠BAN＝∠BAM+∠MAN＝∠BAM+45°， ∠AMD＝∠ABM+∠BAM＝45°+∠BAM，∴∠BAN＝∠AMD． 又∠ABN＝∠ADM＝45°，∴△ABN∽△MDA，∴AB：BN＝DM：AD． ∵AD＝AB，∴AB2＝BN•DM．故④正确； 把△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADH． ∵∠ADF＝∠ADH＝90°，∴D、F、H在同一直线上， ∵∠BAD＝∠EAH＝90°，∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠HAF＝45°． ∵AE＝AH，AF＝AF，∴△AEF≌△AHF（SAS）， ∴∠AFH＝∠AFE，即AF平分∠DFE．故②正确； ③∵AB∥CD，∴∠DFA＝∠BAN．∵∠AFE＝∠AFD，∠BAN＝∠AMD，∴∠AFE＝∠AMN． 又∠MAN＝∠FAE，∴△AMN∽△AFE．∴AM：AF＝AN：AE，即AM•AE＝AN•AF．故③正确； 由△AEF≌△AHF，可得EF＝FH，得BE+DF＝DH+DF＝FH＝FE．故①正确．故选：D． 7．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点E若，则 （从“”中选择一个符合要求的填空）； ．    【答案】 （答案不唯一） 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴，∴，即， ∵将绕点A逆时针旋转得到，∴，， ∴，∴，∴，即，解得：， ∵四边形是平行四边形，，∴，∴， 设，，则，， ∵，∴，∴， ∴，整理得：，把代入解得：故答案为：，． 8．（2024·广东深圳·校考模拟预测）如图，已知等边三角形绕点顺时针旋转得，点、分别为线段和线段上的动点，若，则下列结论：①四边形为菱形；②；③为等边三角形；④；⑤若，，则．正确的有（填序号） ． 【答案】①②③④ 【详解】解：由等边三角形和旋转的性质可知AB=AC=BD=CD，即四边形ABDC为菱形，故①正确； ∵在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≅△CBF(SAS)，故②正确； ∵△ABE≅△CBF，∴BE=BF，∠ABE=∠CBF， ∵∠ABC=∠ABE+∠EBC=60°，∴∠CBF+∠EBC=60°，即∠EBF=60°， ∴△BEF为等边三角形，故③正确； ∵∠CFB=∠CFG+∠BFG，∠CGE=∠CFG+∠FCG， 又∵∠FCG=60°，∠BFG=60°，∴∠CFB=∠CGE，故④正确； ∵AE=CF=1，∴BC=AC=AE+CE=4，∵∠CFB=∠CGE，∠ECG=∠BCF=60°，∴△CFB∼△CGE， ∴，即∴CG=，∴BG=BC−CG=4−=，故⑤错误． 综上，①②③④正确．故答案为①②③④． 9．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则 ．    【答案】 【详解】解：连接，过E作于F，设，，    ∵，为中点，∴，又， ∴，，，∴，， ∵，∴，则，又， ∴，∴，， ∴，则； ∵是的一条角平分线，∴，又， ∴，∴∴，则， ∴，即，解得（负值已舍去），故答案为：． 10．（24-25八年级下·上海青浦·期末）如图，点在矩形的边上，过点作的垂线，与边交于点，若，，，点分别是、的中点，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ， ∵四边形为矩形，∴，，，∴，∵，∴，∴， ∴，∴，∴，即，∴， ∴，∴， ∵点分别是、的中点，∴是的中位线，∴，故答案为：． 11．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在等边三角形中，分别是边上的点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，若，则为 （用含m的式子表示）． 【答案】 【详解】解：是等边三角形，，， 由折叠的性质得到，， ，，， ，设，则，∴， ∴，可化为，∴， ∴，∴， 又∵，即有， ∴，∴，故答案为：． 12．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，相交于点M，过点M作垂直于交于点H，已知，则的值为 ．    【答案】 【详解】∵，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，故答案为：． 13．（24-25九年级上·浙江·课后作业）如图，在中，，，．将线段绕点B顺时针旋转得到线段，过点D作交的延长线于点E，连接交于点N，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，作交CE于点M， 易得．是由BC绕点B顺时针旋转得到的，，， ∵∴∵∴ ∵∴∵∴ 在和中，，，，，， ， ，，即，． ，，． 14.（24-25·南通·模拟预测）如图，已知是等边内的一点，且，延长，，分别交，于点D，E．若，，则的周长等于 ．    【答案】 【详解】解：如图，作于点F，∵在等边中，，∴，    由勾股定理得，，∵，∴，在中，， ∵P是等边内的一点，且，∴， ∵，∴，又∵，∴， ∴，即，解得，，∴， ∴的周长．故答案为：． 15.（2024九年级重庆·专题练习）如图，已知在梯形中，，且，P为上的一点，，求的长． 【答案】1或4 【详解】∵在梯形中，，∴． 又∵，， ∴，∴．∴． 设，则，∴，解得或4.∴或4． 16．（24-25·福建福州·九年级校考阶段练习）如图1，中，，，，在上取一点，使得，过点作交于点，将绕点顺时针旋转得,连接 ．    (1)若点恰好落在线段上，请在图1中补全图形，并证明；(2)如图2，若点不在线段上，连接并延长，与的延长线交于点，当时，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：如图：    ∵，，∴∴ 在图1中：∵∴ ∵∴∴ ∵绕点顺时针旋转得∴ ∵∴ ∵∴∴即： （2）解：∵∴ ∵∴    ∴ ∵∴ ∴∴ ∵,∴∴ ∴∴∴ 17．（24-25·广东九年级课时练习）如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．∠APB＝120°． （1）求证：△ACP∽△PDB；（2）当AC＝4，BD＝9时，试求CD的值． 【答案】（1）详见解析；（2）6． 【详解】（1）证明：∵△PCD为等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝60°．∴∠ACP＝∠PDB＝120°． ∵∠APB＝120°，∴∠A+∠B＝60°．∵∠PDB＝120°，∴∠DPB+∠B＝60°．∴∠A＝∠DPB．∴△ACP∽△PDB． （2）解：由（1）得△ACP∽△PDB，∴， ∵△PCD是等边三角形，∴PC＝PD＝CD，∴，∴CD2＝AC•BD． ∵AC＝4，BD＝9，∴CD＝6． 18．（2025·广西南宁·校联考一模）在等边中，点D是边上一点，点E是直线上一动点，连接，将射线绕点D顺时针旋转，与直线相交于点F． (1)若点D为边中点．①如图1，当点E在边上，且时，请直接写出线段与的数量关系________；②如图2，当点E落在边上，点F落在边的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；(2)如图3，点D为边上靠近点C的三等分点．当时，直接写出的值． 【答案】(1)①；②仍然成立；理由见解析(2)或 【详解】（1）解：①DE=DF；∵△ABC为等边三角形，∴，∵点D为BC的中点，∴， ∵DE⊥AB，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴DE=DF；故答案为：DE=DF； ②DE=DF仍然成立；将DB绕点D顺时针旋转120°，交于AC于点，如图所示： ∵，∴，∴， ∴，∴，∴，为等边三角形，∴， ∵，，∴， ∴，∴DE=DF； （2）①当点E在A、B两点之间时，将DB绕点D顺时针旋转120°，交于AC于点，如图所示： 设等边三角形的边长为a，∵AE:BE=3:2，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴， ∴，为等边三角形，∴， ∵，， ∴，∴，， ∴，∴， ∴，∴； ②点E在B点下方时，将DB绕点D顺时针旋转120°，交于AC于点，如图所示： 设等边三角形的边长为a，∵AE:BE=3:2，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴ ∴，为等边三角形， ∴，即，∴， ∵，， ∴，∴，， ∴，∴， ∴，∴； 综上分析可知，的值为或4． 19．（24-25·福建泉州·九年级校考期末） 问题背景：（1）如图①，已知，求证：； 尝试应用：（2）如图②，在和中，，，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，，求的值； 拓展创新：（3）如图③，D是内一点，，，，，求AD的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【详解】问题背景（1）证明：，，， ，，； 尝试应用（2）解：如图，连接， ，，， 由（1）知，，，∴， ∵∴∴ ∵∴∴∴∴， 拓展创新（3）解：如图2，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接， ，，，， 又，，， 又，， 即，，， ，， ，． 20．（24-25九年级·山东东营·阶段练习）（1）问题：如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究：若将角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由． （3）应用：如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，则的长． 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）4 【详解】解：（1）证明：，， ，，， 又，，，； （2）结论仍成立；理由如下：， 又，，，， 又，， ，； （3），，，，， 是等腰直角三角形，，，，． 21．（2024·山西·二模）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 有趣的布罗卡尔点和布罗卡尔角 1816年法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现了“布罗卡尔点”，但是他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，这一特殊点被一个数学爱好者——法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字将其命名．他的这一发现引起一大批数学家的兴趣，一时形成了一股研究“三角形几何”的热潮．关于布罗卡尔点的研究与推广以代数计算为主，充分体现了代数与几何的联系． 定义：如图1，若内一点P满足，则称P为的布罗卡尔点．若设，则称为布罗卡尔角． 人们研究发现，等边三角形只有一个布罗卡尔点． 任务：(1)等边三角形的布罗卡尔点是这个三角形的______心； (2)若设等边三角形的面积为S，边长为a，布罗卡尔角为，求证：； (3)如图2，在等腰直角三角形ABC中，，若P是它的一个布罗卡尔点，满足，，求的值． 【答案】(1)答案不唯一，如内、外、中、重等．(2)证明见解析(3)6 【详解】（1）根据题意，可知∠PAC =∠PCB=∠PBA = 30°， ∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°，∴∠PCA=∠PBC=∠PAB=30°， ∴P是∠ABC、∠BCA、∠BAC的角平分线的交点∴P是△A BC的内心. （2）证明：由材料可知，等边三角形布罗卡尔角为．∴． ∵等边三角形的面积为S，边长为a，∴等边三角形一边上的高为． ∴．又∵，∴． （3）∵是等腰直角三角形，，∴，． ∵，∴．又∵，∴．∴． ∵，∴，，∴的值为6． 22．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）如图1，中，，D为上一点，．    (1)求证：；(2)如图2，过点A作于M，交于点E，若，求的值； (3)如图3，N为延长线上一点，连接、，若，，则 的值为___________． 【答案】(1)见详解(2)(3) 【详解】（1）∵，， ∴，∴， ∴； （2）过点E作交于点F，       ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴为等腰三角形，∴，， ∵， ，∴， 设，则,，在中，， ∴，，∴，a， ∵，∴，即，∴, 又∵，， ∴，∴，∴， ∴∴， （3）过点B作于点P，则， 又∵，∴， ∴，∴，， 设，即，，再设，则， ∵，∴，解得或（舍去）， ∴，则，，∴． 23．（2024·宁夏银川·二模）综合与实践 莹莹复习教材时，提前准备了一个等腰三角形纸片，如图，．为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把点B与点C重叠对折，得折痕，展开后，她把点B与点A叠对折，得折痕，再展开后连接，交折痕于点O，则点O就是的重心． 教材重现： 如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片．你知道怎样确定这个点的位置吗？ 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线（）如图，是的边上的中线． （1）初步观察：连接，则与的数量关系是：________； （2）初步探究：莹莹通过测量惊奇地发现．她的发现正确吗？请说明理由； （3）拓展探究：①请帮助莹莹求出的面积；②连接，求线段的长度． 【答案】（1）（2）正确，理由见解析（3）①② 【详解】（1）解：，理由如下，由折叠可得，， 又∵，∴，∴，故答案为：； （2）解：正确，理由如下：连接，    ∵点D、E分别为的中点，∴是的中位线，∴， ∴，∴， ∴，∴； （3）解：由折叠可得，， ∵，∴，连接，    ∵点D、E分别为的中点，∴是的中位线，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴； ②连接，，， ， ． 24．（2025·湖北随州·模拟预测）[初步尝试]（1）如图①，在三角形纸片中，，将折叠，使点B与点C重合，折痕为，则与的数量关系为________； [思考说理]（2）如图②，在三角形纸片中，，将折叠，使点B与点C重合，折痕为，求的值； [拓展延伸]（3）如图③，在三角形纸片中，，将沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边上的点处，折痕为．①求线段的长；②若点O是边的中点，点P为线段上的一个动点，将沿折叠得到点A的对应点为点与交于点F，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）①；② 【详解】解：（1）如图①中， 折叠，使点与点重合，折痕为，垂直平分线段，， ，，，．故答案为． （2）如图②中，，，由题意垂直平分线段， ，，， ，，，，， ，． （3）①如图③中，由折叠的性质可知，，， ，，，， ，，，，，． ②如图③中，设． ，，，， ，，，， ， ， ，，，． 当时，．综上所述，． 25．（2025·新疆·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，，点M是的中点，点D和点N分别是线段和上的动点． (1)当点D和点N分别是和的中点时，求a的值；(2)当时，以点C，D，N为顶点的三角形与相似，求的值；(3)当时，求的最小值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵等腰直角三角形中，，，，， ∴，∵点D和点N分别是和的中点，∴，， ∵，∴； （2）∵，，∴， 设，则：，， ∵等腰直角三角形中，，， ∴，∴， ∵是的中点，∴，∴， 当点C，D，N为顶点的三角形与相似时，分两种情况： ①当时，则：，∴， 此方程无解，不符合题意； ②当时，则：，∴， 解得：（不符合题意，舍去）或；∴；综上：； （3）∵，，∴，作于点，连接， 则：，∴为等腰直角三角形， ∴，，∴，， 又，∴四边形为平行四边形，∴， 将绕点旋转90度得到，连接，则：， ∵，∴，又∵，∴， ∴，∴，∴， ∴当点在线段上时，的值最小为的长， 在中，， ∴，∴的最小值为． 26．（2025·山东青岛·模拟预测）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答： (1)【初步探究】如图2，当时，则_____； (2)【初步探究】如图3，当点E，F重合时，请直接写出，，之间的数量关系：_________； (3)【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．(4)【拓展延伸】如图5，在与中，，若，（m为常数）．保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接，如图6．试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)(2) (3)仍然成立，理由见解析(4) 【详解】（1）等腰直角三角形和等腰直角三角形，， 故答案为： （2） 在与中， 又 重合，故答案为： （3）同（2）可得 ， 过点，作，交于点， 则，， 在与中，，， ，是等腰直角三角形，，， ，， 在与中，，， ，，即， （4）过点作，交于点， ，，，， ，，， ，，， ，，，中，， ，即． 27．（2025广东深圳三模试题）（1）【探究发现】如图1，正方形的对角线相交于点，在正方形绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点．证明：；       （2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线相交于点，且，．在矩形绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点．若，求的长； （3）【拓展应用】如图3，四边形和四边形都是平行四边形，且，，，是直角三角形．在绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点．当与重叠部分的面积是的面积的时，请直接写出的长．    【答案】（1）见解析（2）（3） 【详解】（1）正方形的对角线相交于点，在正方形绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点 ，，， ，即， 在和中，； （2）如图，过点作的平行线交于点、交于点，过点作垂线交于点，    四边形和四边形都是矩形，，，， ，，， ， ，， ，，，即，， ； （3）如图，过点作的垂线交于点，    设，则， 设，则， ，，， 又，， ，，四边形和四边形都是平行四边形，是直角三角形 ∴，(有公共角且都有直角)， ，∴，∵，即， ∴，，设，则， ∵，即，∴， 与重叠部分的面积是的面积的，平行四边形对角线平分平行四边形的面积， ，即， ∴，即，∴， ∴，∴． 28．（24-25山东九年级期末）（1）如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，若，则的值为_________； （2）如图2，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，若，则的值为_________； 【类比探究】（3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证： 【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点落在点处，得到，点，分别在边，上，连接，，若，则的值为_________． 【答案】（1）1；（2）；（3）见解析；（4） 【详解】（1）解：∵ 四边形是正方形，∴，，∴． ∵，∴．∴． 在和中，，∴．∴∴故答案为：1． （2）∵四边形是矩形，∴．∴． ∵，∴∴ ∵，∴，∴． ∵，，∴ ．故答案为：． （3）证明：过点作于点，如图， ∵ ，，∴ 四边形为矩形． ∴，∴ ∵，∴． ∵，，∴ ∵，∴，∴ ∵，∴∴∴∴ （4）过点作于点，连接，交于点，如图， 由题意：与关于轴对称，∴垂直平分，即，． ∵，，∴，∴∴ ∵，∴，∴∴． ∵，∴． ∵，∴∴ ． ∵，∴∵，∴∴． ∵，∴．∴ 29.（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）四边形是平行四边形，连接，于点E，交边于点F．(1)如图1，，，求的长． (2)如图2，，，猜想线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，，．①求证：；②将沿直线翻折得到，连接交边于点P，连接，求的长． 【答案】(1)(2)，见解析(3)①见解析；② 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，， ，，， ∴，即，解得．，， ，； （2）解：．理由：四边形是平行四边形，， ，，，， 设，则．，． ，，， ，． ，，； （3）①证明：四边形是平行四边形，，， ，∴，，，，； ②解：如图，连接，由折叠得， ∵于点E，∴B，E，F，在一条直线上，过P作于H．由折叠得，， 四边形是平行四边形，，，． ，，，， ，． ，，， ，即，． 30.（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N．（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明； （3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，请直接写出的值（用含k的式子表示）． 【答案】（1）OM＝ON，见解析；（2）ON＝k•OM，见解析；（3） 【详解】解：（1）OM＝ON，如图1，作OD⊥AM于D，OE⊥CB于E， ∴∠ADO＝∠MDO＝∠CEO＝∠OEN＝90°，∴∠DOE＝90°， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠ABC＝45°， 在Rt△AOD中，，同理：OE＝OB， ∵OA＝OB，∴OD＝OE，∵∠DOE＝90°，∴∠DOM＋∠MOE＝90°， ∵∠MON＝90°，∴∠EON＋∠MOE＝90°，∴∠DOM＝∠EON， 在Rt△DOM和Rt△EON中，，∴△DOM≌△EON（ASA），∴OM＝ON． （2）如图2，作OD⊥AM于D，OE⊥BC于E， 由（1）知：OD＝OA，OE＝OB，∴， 由（1）知：∠DOM＝∠EON，∠MDO＝∠NEO＝90°，∴△DOM∽△EON， ∴，∴ON＝k•OM． （3）如图3，设AC＝BC＝a，∴AB＝a，∵OB＝k•OA， ∴OB＝•a，OA＝•a，∴OE＝OB＝a， ∵∠N＝∠ABC﹣∠BON＝45°﹣15°＝30°，∴EN＝＝OE＝•a， ∵CE＝OD＝OA＝a，∴NC＝CE＋EN＝a＋•a， 由（2）知：，△DOM∽△EON，∴∠AMO＝∠N＝30° ∵，∴，∴△PON∽△AOM，∴∠P＝∠A＝45°， ∴PE＝OE＝a，∴PN＝PE＋EN＝a＋•a， 设AD＝OD＝x，∴DM＝，由AD＋DM＝AC＋CM得，（＋1）x＝AC＋CM， ∴x＝（AC＋CM）＜（AC＋AC）＝AC，∴k＞1 ∴， ∴． 31.（2025·河南周口 校考一模）（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3） 【详解】（1）解：∵将边绕点C顺时针旋转得到线段，∴， ∵，，∴． 在和中，∴， ∴．故答案为： （2）．证明：同（1）可得，，， ∴，∴，∵，∴，∴． （3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点， 则，，，由（1）同理可证，， ∴，，∴，， ∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14.相似三角形中的八大重要模型 本专题包含相似三角形中的八大重要模型，主要有：（双）A字型、（双）8（X）字型、母子型（共边共角模型）、手拉手模型、一线三等角模型、对角互补模型、半角模型、十字架模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1．（2024·浙江温州·三模）如图，在中，平分分别交，，延长线于点，，，记与的面积分别为，，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 2.（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，与交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，作直线，分别交、于点、，则的长度为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25翠屏区八年级上学期期末数学试题）在Rt△ABC中，，AC=BC，D为BC的中点，过C作CE⊥AD于点E，延长CE交AB于点F，，连接FD；若AC=4，则CF+FD的值是（  ） A． B．5 C． D． 4．（24-25九年级下·广东·专题练习）如图，在中，，高，正方形一边在上，点E，F分别在，上，交于点N，则的长为（　　） A．15 B．20 C．25 D．30 5．（24-25·成都市·九年级期中）如图所示，在中，，，在中，，点P在上，交于点E，交于点F．当时，的值为（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25山西·九年级校考期中）如图，在正方形中，点、分别是、边上的两点，且，、分别交于、．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②④ B．①④ C．①②③ D．①②③④ 7．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点E若，则 （从“”中选择一个符合要求的填空）； ．    8．（2024·广东深圳·校考模拟预测）如图，已知等边三角形绕点顺时针旋转得，点、分别为线段和线段上的动点，若，则下列结论：①四边形为菱形；②；③为等边三角形；④；⑤若，，则．正确的有（填序号） ． 9．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则 ．    10．（24-25八年级下·上海青浦·期末）如图，点在矩形的边上，过点作的垂线，与边交于点，若，，，点分别是、的中点，则线段的长为 ． 11．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在等边三角形中，分别是边上的点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，若，则为 （用含m的式子表示）． 12．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，相交于点M，过点M作垂直于交于点H，已知，则的值为 ．    13．（24-25九年级上·浙江·课后作业）如图，在中，，，．将线段绕点B顺时针旋转得到线段，过点D作交的延长线于点E，连接交于点N，则 ． 14.（24-25·南通·模拟预测）如图，已知是等边内的一点，且，延长，，分别交，于点D，E．若，，则的周长等于 ．    15.（2024九年级重庆·专题练习）如图，已知在梯形中，，且，P为上的一点，，求的长． 16．（24-25·福建福州·九年级校考阶段练习）如图1，中，，，，在上取一点，使得，过点作交于点，将绕点顺时针旋转得,连接 ．(1)若点恰好落在线段上，请在图1中补全图形，并证明；(2)如图2，若点不在线段上，连接并延长，与的延长线交于点，当时，求的长．    17．（24-25·广东九年级课时练习）如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．∠APB＝120°． （1）求证：△ACP∽△PDB；（2）当AC＝4，BD＝9时，试求CD的值． 18．（2025·广西南宁·校联考一模）在等边中，点D是边上一点，点E是直线上一动点，连接，将射线绕点D顺时针旋转，与直线相交于点F．(1)若点D为边中点．①如图1，当点E在边上，且时，请直接写出线段与的数量关系________；②如图2，当点E落在边上，点F落在边的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；(2)如图3，点D为边上靠近点C的三等分点．当时，直接写出的值． 19．（24-25·福建泉州·九年级校考期末） 问题背景：（1）如图①，已知，求证：； 尝试应用：（2）如图②，在和中，，，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，，求的值； 拓展创新：（3）如图③，D是内一点，，，，，求AD的长． 20．（24-25九年级·山东东营·阶段练习）（1）问题：如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究：若将角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由． （3）应用：如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，则的长． 21．（2024·山西·二模）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 有趣的布罗卡尔点和布罗卡尔角 1816年法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现了“布罗卡尔点”，但是他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，这一特殊点被一个数学爱好者——法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字将其命名．他的这一发现引起一大批数学家的兴趣，一时形成了一股研究“三角形几何”的热潮．关于布罗卡尔点的研究与推广以代数计算为主，充分体现了代数与几何的联系． 定义：如图1，若内一点P满足，则称P为的布罗卡尔点．若设，则称为布罗卡尔角． 人们研究发现，等边三角形只有一个布罗卡尔点． 任务：(1)等边三角形的布罗卡尔点是这个三角形的______心； (2)若设等边三角形的面积为S，边长为a，布罗卡尔角为，求证：； (3)如图2，在等腰直角三角形ABC中，，若P是它的一个布罗卡尔点，满足，，求的值． 22．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）如图1，中，，D为上一点，．    (1)求证：；(2)如图2，过点A作于M，交于点E，若，求的值； (3)如图3，N为延长线上一点，连接、，若，，则 的值为____． 23．（2024·宁夏银川·二模）综合与实践：莹莹复习教材时，提前准备了一个等腰三角形纸片，如图，．为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把点B与点C重叠对折，得折痕，展开后，她把点B与点A叠对折，得折痕，再展开后连接，交折痕于点O，则点O就是的重心． 教材重现： 如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片．你知道怎样确定这个点的位置吗？ 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线（）如图，是的边上的中线． （1）初步观察：连接，则与的数量关系是：________； （2）初步探究：莹莹通过测量惊奇地发现．她的发现正确吗？请说明理由； （3）拓展探究：①请帮助莹莹求出的面积；②连接，求线段的长度． 24．（2025·湖北随州·模拟预测）[初步尝试]（1）如图①，在三角形纸片中，，将折叠，使点B与点C重合，折痕为，则与的数量关系为________； [思考说理]（2）如图②，在三角形纸片中，，将折叠，使点B与点C重合，折痕为，求的值； [拓展延伸]（3）如图③，在三角形纸片中，，将沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边上的点处，折痕为．①求线段的长；②若点O是边的中点，点P为线段上的一个动点，将沿折叠得到点A的对应点为点与交于点F，求的取值范围． 25．（2025·新疆·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，，点M是的中点，点D和点N分别是线段和上的动点． (1)当点D和点N分别是和的中点时，求a的值；(2)当时，以点C，D，N为顶点的三角形与相似，求的值；(3)当时，求的最小值． 26．（2025·山东青岛·模拟预测）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答： (1)【初步探究】如图2，当时，则_____； (2)【初步探究】如图3，当点E，F重合时，请直接写出，，之间的数量关系：_________； (3)【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由． (4)【拓展延伸】如图5，在与中，，若，（m为常数）．保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接，如图6．试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 27．（2025广东深圳三模试题）（1）【探究发现】如图1，正方形的对角线相交于点，在正方形绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点．证明：；       （2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线相交于点，且，．在矩形绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点．若，求的长； （3）【拓展应用】如图3，四边形和四边形都是平行四边形，且，，，是直角三角形．在绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点．当与重叠部分的面积是的面积的时，请直接写出的长．    28．（24-25山东九年级期末）（1）如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，若，则的值为_________； （2）如图2，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，若，则的值为_________； 【类比探究】（3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证： 【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点落在点处，得到，点，分别在边，上，连接，，若，则的值为_________． 29.（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）四边形是平行四边形，连接，于点E，交边于点F．(1)如图1，，，求的长． (2)如图2，，，猜想线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，，．①求证：；②将沿直线翻折得到，连接交边于点P，连接，求的长． 30.（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N．（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明； （3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，请直接写出的值（用含k的式子表示）． 31.（2025·河南周口 校考一模）（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $