专题10 相似三角形中的八大重要模型（几何模型讲义）数学华东师大版九年级上册

专题10.相似三角形中的八大重要模型 本专题包含相似三角形中的八大重要模型，主要有：（双）A字型、（双）8（X）字型、母子型（共边共角模型）、手拉手模型、一线三等角模型、对角互补模型、半角模型、十字架模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，在中，D、E分别是边上的中点，延长至F，使，连接．若，，则的长为（    ） A．4 B． C． D． 2．（2024·安徽合肥·三模）如图，已知四边形是平行四边形，点是的中点，连接，相交于点，过作的平行线交于点，若，则的值是（    ） A．6 B．5 C．8 D．4 3.（2023·山东济南·统考中考真题）如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A． B． C． D． 4．（24-25·福建泉州·九年级校考期中）如图，在正方形中，点分别是边上的两点，且分别交于.下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论是（  ） A．②③④ B．①④ C．①②③ D．①②③④ 5．（24-25·广东梅州·九年级统考期末）如图，在中，点在上，点分别在、上，四边形是矩形，，是的高，，，那么的长为 ．    6．（24-25九年级下·湖南株洲·自主招生）若点是内一点，且它到三角形三个顶点的距离之和最小，则点叫的费马点（）．已经证明：在三个内角均小于的中，当时，就是的费马点．问题：已知在中，若P为的费马点，，，，则的值为 ．    7．（2024·山西晋中·三模）如图，在矩形中，，，点H在上，且，连接，过点C作于点F，交于点E，则的长为 ． 8．（2024·福建厦门·二模）台球是用球杆在台上击球，依靠计算得分确定比赛胜负的室内高雅体育运动．如图是一张宽为m米，长为米的矩形台球桌，某球员击位于的中点E处的球，球沿射向边，然后反弹到C点的球袋，球的反弹规律满足光的反射定律．若球的速度为v米/秒，则球从出发到入袋的时间等于 （用含m和v，的式子表示） 9．（24-25·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD : DE=2 : 3，则CF= ． 10．（2023青岛版九年级月考）如图，在中，，，直角的顶点在上，、分别交、于点、，绕点任意旋转．当时，的值为 ；当时，为 ．（用含的式子表示） 11．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在平行四边形中，，E、F分别是边上的动点，且．当的值最小时，则 ．    12．（24-25·广东茂名·统考二模）如图所示，点在同一直线上，满足，，且．求证：． 13．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 14．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，D是边上一点，且，E是边上的动点，过点D作的垂线交线段于点F，试探究线段，，之间的数量关系．    15．（24-25·福建泉州·九年级校考阶段练习）如图，已知中，，．点D是所在平面内不与点A、C重合的任意一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转α得到线段，连接、．(1)如图1，当时，求证：． (2)当时，请判断线段与之间的数量关系是_____，并仅就图2的情形说明理由． (3)当时，且时，若，，点E在上方，求的长．    16．（24-25·湖北武汉·九年级校考阶段练习）（1）[问题背景]如图1，在四边形中，对角线平分，且满足，求证： （2）[尝试应用]在中，的角平分线交于点F ①如图2，，边上一点G满足，，，求的值． [拓展创新]②如图3，，，，，直接写出的值（用含有m、n、a三个字母的代数式表示）为__________．    17．（24-25九年级·山东东营·阶段练习）（1）问题：如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究：若将角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由． （3）应用：如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，则的长． 18．（2024·山西·模拟预测）阅读下列材料，并完成相应任务： 下面是小华同学，课后学习过程中遇到的一个问题： 如图①，在中，分别是边的中点，，相交于点．求证：． 小华认真思考后，写出下面的证明过程：连结． 分别是边的中点， ，（依据） ……；……． ； 任务：(1)填空：材料中的依据是指：______．(2)将材料中的证明过程补充完整． (3)如图②，在中，为边的中线．点分别为边的中点，与交于点与交于点．则______． 19．（2024·江苏泰州·二模）图算法是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量，这样的图形叫诺模图． 设有两只电阻，千欧，千欧，问并联后的总电阻值R是多少千欧？ 我们可以利用公式求得R的值，也可以设计一种图算法（如图1）直接得出结果：我们先来画出一个的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着6和4的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的总电阻值R．    (1)①千欧，千欧，计算 千欧；②如图1，已知，是的角平分线，，，．用你所学的几何知识说明：； (2)如图2，已知，是的角平分线，，，．此时关系式可以写成，其中的常数，求m的值； (3)如图3，若，（2）中其余条件不变，请探索，，R之间的关系．（用含的代数式表示） 20．（2024·河南郑州·三模）中，，过点作，点为边上一个动点，将射线绕点逆时针旋转，交射线于点，连接. 问题初现：（1）如图1，若，则线段与的数量关系为______； 类比探究：（2）如图2，若，求出线段与的数量关系，并说明理由； 拓展应用：（3）在（2）的条件下，若，，点在上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长. 21．（24-25·湖北孝感·九年级校联考阶段练习）问题背景：如图，在中，，，是边上的中线，是上一点，将绕点逆时针旋转得到，的延长线交于点．问题探究：（1）当点在线段上时，证明． ①先将问题特殊化，如图2，当时，证明：； ②再探究一般情形，如图，当不垂直时，证明：； 拓展探究：（2）如图3，若的延长线交的延长线于点时，直接写出一个等式，表示，，之间的数量关系．    22．（2025·山西晋中·校考一模）阅读材料： 我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在中，，，分别过、向经过点直线作垂线，垂足分别为、，我们很容易发现结论：． （1）探究问题：如果，其他条件不变，如图②，可得到结论；．请你说明理由． （2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，且两直线夹角为，且，请你求出直线的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形中，，，点为边上—个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，当点在矩形外部时，连接，．若为直角三角形时，请你探究并直接写出的长．           23．（24-25九年级上·河南许昌·期末）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．    在中，是边上一点，且（为正整数），是边上的动点，连接，过点作交直线于点．探究线段之间的数量关系． (1)【初步成知】如图1，当时，以下是小亮和小红两位同学的证明片段，请仔细阅读并补全小红的证明过程． 小亮：证明：连接．       由题意，可知，即为的中点．平分， ．． ．． ．．． 小红：证明：过点作于点，于点． 由题意，可知和均是等腰直角三角形，四边形是矩形． ． 易得．．…… (2)【深入探究】①如图2，当，且点在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间的数量关系的一般结论．（直接写出结论，不必证明） (3)【拓展运用】在（1）的条件下，连接，设的中点为，若，请直接写出点从点运动到点的过程中，点运动的路径长． 24．（2025广东深圳三模试题）（1）【探究发现】如图1，正方形的对角线相交于点，在正方形绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点．证明：；      （2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线相交于点，且，．在矩形绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点．若，求的长； （3）【拓展应用】如图3，四边形和四边形都是平行四边形，且，，，是直角三角形．在绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点．当与重叠部分的面积是的面积的时，请直接写出的长．    25．（2025·吉林·模拟预测）【探究】如图①，四边形是正方形，于点G，求证：；    【应用】（1）如图②，在中，，，点D是边的中点，，，交于点F，则与之间的数量关系是_____； （2）如图③，在中，，，点D是边的中点，，，交于点F，交于点G，若，则的长为______． 26．（24·25上·红河·期末）在等边△ABC中，D，E分别是AC，BC上的点，且AD=CE，连接BD、AE相交于点F．(1)如图1，当时，=__________；(2)如图2，求证：△AFD∽△BAD； (3)如图3，当时，猜想AF与BF的数量关系，并说明理由． 27．（2025·广西·校考一模）【操作与发现】 如图①，在正方形中，点N，M分别在边上．连接、．，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到．易证：，从而可得：． (1)【实践探究】在图①条件下，若，则正方形的边长是 ． (2)如图②，在正方形中，点M、N分别在边上，连接、．，，若，求证：M是的中点． (3)【拓展】如图③，在矩形中，点M、N分别在边上，连接，已知，，则的长是 ． 28．（24-25河南九年级月考）综合与实践课上，梦班数学学习兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答： (1)操作判断：如图1，在正方形中，点，，，分别在边，，，上，且，若，则的长为________；如图2，在矩形中，，点，，，分别在边，，，上，且，若，则的长为________； (2)迁移探究：如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，试证明；(3)拓展应用：如图4，在矩形中，，，平分交于点，点为上一点，交于点，交矩形的边于点．当为的三等分点时，请直接写出的长．    29．（2024·江西新余·模拟预测）【问题提出】（1）如图①，在正方形中，点，分别在边和对角线上，，求证：． 【尝试应用】（2）如图②，在矩形中，，，点，分别在边和对角线上，，，求的长． 【拓展提高】（3）如图③，在菱形中，，，点，分别在边和对角线上，，，，的延长线交于点，请直接写出的长． 30.（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）四边形是平行四边形，连接，于点E，交边于点F． (1)如图1，，，求的长． (2)如图2，，，猜想线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，，．①求证：；②将沿直线翻折得到，连接交边于点P，连接，求的长． 31．（2025·广西·校联考一模）在等边中，点D是边上一点，点E是直线上一动点，连接，将射线绕点D顺时针旋转，与直线相交于点F． (1)若点D为边中点．①如图1，当点E在边上，且时，请直接写出线段与的数量关系________；②如图2，当点E落在边上，点F落在边的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；(2)如图3，点D为边上靠近点C的三等分点．当时，直接写出的值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.相似三角形中的八大重要模型 本专题包含相似三角形中的八大重要模型，主要有：（双）A字型、（双）8（X）字型、母子型（共边共角模型）、手拉手模型、一线三等角模型、对角互补模型、半角模型、十字架模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，在中，D、E分别是边上的中点，延长至F，使，连接．若，，则的长为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵D、E分别是边上的中点，∴是的中位线， ∴，∴，∴， ∵，，∴， ∴，即，∴或（舍去），∴，故选：B． 2．（2024·安徽合肥·三模）如图，已知四边形是平行四边形，点是的中点，连接，相交于点，过作的平行线交于点，若，则的值是（    ） A．6 B．5 C．8 D．4 【答案】A 【详解】解：∵是的中点，∴，∵四边形是平行四边形，∴， ∵，∴，∴，， ∴，，∴，解得，故选：． 3.（2023·山东济南·统考中考真题）如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，，平分， ∵在中，，，∴ ∵平分，∴，故A正确； ∵平分，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴，故B正确； ∵，∴，∴， 设，则，∴，∴，解得， ∴，∴，故C错误；过点E作于G，于H，    ∵平分，，，∴ ∴，故D正确；故选：C． 4．（24-25·福建泉州·九年级校考期中）如图，在正方形中，点分别是边上的两点，且分别交于.下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论是（  ） A．②③④ B．①④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：如图，把△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADH，易得H、D、F三点共线， ∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°， ∴∠DAH＋∠DAF＝45°，∴∠EAF＝∠HAF， ∵AE＝AH，AF＝AF，∴△AEF≌△AHF，∴EF＝FH，∠AFH＝∠AFE， ∴EF＝FH＝DH＋DF＝BE＋DF，AF平分∠DFE，故①②正确； ∵∠BAN＝∠BAM＋∠MAN＝∠BAM＋45°，∠AMD＝∠ABM＋∠BAM＝45°＋∠BAM，∴∠BAN＝∠AMD， ∵∠ABN＝∠ADM＝45°，∴△ABN∽△MDA，∴， ∵AD＝AB，∴AB2＝BN•DM，故④正确；∵AB∥CD，∴∠DFA＝∠BAN， ∵∠AFE＝∠AFD，∠BAN＝∠AMD，∴∠AFE＝∠AMN， 又∵∠MAN＝∠FAE，∴△AMN∽△AFE，∴，即AM•AE＝AN•AF，故③正确，故选：D． 5．（24-25·广东梅州·九年级统考期末）如图，在中，点在上，点分别在、上，四边形是矩形，，是的高，，，那么的长为 ．    【答案】6 【详解】解：设与交于点M．    ∵四边形是矩形，∴，∴， ∵和分别是和的高，∴， ∴， ∵，代入可得：，解得，∴，故答案为：． 6．（24-25九年级下·湖南株洲·自主招生）若点是内一点，且它到三角形三个顶点的距离之和最小，则点叫的费马点（）．已经证明：在三个内角均小于的中，当时，就是的费马点．问题：已知在中，若P为的费马点，，，，则的值为 ．    【答案】 【详解】解：∵P为的费马点，∴， ∵∴， ∵，， ∴，∴，即， ∴，∴，∴， ∵，，∴，∴，，∴．故答案为：． 7．（2024·山西晋中·三模）如图，在矩形中，，，点H在上，且，连接，过点C作于点F，交于点E，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长与交于点M． ∵四边形是矩形，，． ∵，．． ∵，，．． ．． ∵，，．． ．． 8．（2024·福建厦门·二模）台球是用球杆在台上击球，依靠计算得分确定比赛胜负的室内高雅体育运动．如图是一张宽为m米，长为米的矩形台球桌，某球员击位于的中点E处的球，球沿射向边，然后反弹到C点的球袋，球的反弹规律满足光的反射定律．若球的速度为v米/秒，则球从出发到入袋的时间等于 （用含m和v，的式子表示） 【答案】 【详解】解：∵一张宽为m米，长为米的矩形台球桌，的中点为E， ∴，，，， 由反弹规律满足光的反射定律．∴，∴， ∴，∴，， ∴，， ∴，∴，故答案为： 9．（24-25·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD : DE=2 : 3，则CF= ． 【答案】2.4 【详解】解：根据题意得：∠EDF=∠A，DF=AF，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°， ∴∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°，∵∠B=60°，∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°， ∴∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED，∴∠CDF=∠BED，∴△BDE∽△CFD， ∴ ，即，∵等边△ABC的边长为6 ， ∴ ，解得： ．故答案为：2.4 10．（2023青岛版九年级月考）如图，在中，，，直角的顶点在上，、分别交、于点、，绕点任意旋转．当时，的值为 ；当时，为 ．（用含的式子表示） 【答案】 , 解答：解：过点O作OH⊥AC于H，OG⊥BC于G，∴∠OHP=∠OGQ=90°． ∵∠ACB=90°，∴四边形HCGO为矩形， ∴∠HOG=90°，∴∠HOP=∠GOQ，∴△PHO∽△QGO，∴． ∵，设OA=x，则OB=2x，且∠ABC=30°，∴AH=x，OG=x． 在Rt△AHO中，由勾股定理，得OH=x，∴，∴=．故答案为． 11．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在平行四边形中，，E、F分别是边上的动点，且．当的值最小时，则 ．    【答案】 【详解】解：延长，截取，连接，，如图所示：    ∵四边形为平行四边形，∴，，，∴， ∵，，∴，∴， ∴，∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短，∴当A、E、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长，    ∵，∴，∴，即，解得．故答案为：． 12．（24-25·广东茂名·统考二模）如图所示，点在同一直线上，满足，，且．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵，， ∴，即. ∵，∴， ∴.又∵，∴ ． 13．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】见解析 【详解】解：，，， 四边形是正方形，，， ，，又，． 14．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，D是边上一点，且，E是边上的动点，过点D作的垂线交线段于点F，试探究线段，，之间的数量关系．    【答案】 【详解】解：如解图，过点D分别作于点N，于点H，    ，，， ，，和是等腰直角三角形， ，，，，， ，，设，则， ，，， ∵，，，四边形是矩形， ，， 又∵，，， ，． 15．（24-25·福建泉州·九年级校考阶段练习）如图，已知中，，．点D是所在平面内不与点A、C重合的任意一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转α得到线段，连接、．(1)如图1，当时，求证：． (2)当时，请判断线段与之间的数量关系是_____，并仅就图2的情形说明理由． (3)当时，且时，若，，点E在上方，求的长．    【答案】(1)见解析，(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：∵旋转，∴， 当时，又，∴和是等边三角形， ∴，，，∴，∴，∴；       （2）解： 过A作与H， ∵，，∴，，∴， 又由勾股定理得，∴，∴，同理， ∵，，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴，即 （3）解：如图， 过E作于F，当时，∵， ∴，，∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 由（2）同理可证，∴，即，∴． 16．（24-25·湖北武汉·九年级校考阶段练习）（1）[问题背景]如图1，在四边形中，对角线平分，且满足，求证： （2）[尝试应用]在中，的角平分线交于点F ①如图2，，边上一点G满足，，，求的值． [拓展创新]②如图3，，，，，直接写出的值（用含有m、n、a三个字母的代数式表示）为__________．    【答案】（1）见解析；（2）①；② 【详解】（1）∵平分，∴, ∵，∴，∴，∴； （2）∵的角平分线交于点F∴，， ∴ ①∵，∴，∴在上取一点使，       ∵，∴为等边三角形， ∴，，∴， ∵，∴，∴， ∴，同理可证得到， ∴； ②过交于，再在上取两点使， 由①可得，， ∵∴， ∴， ∵，∴，，∴， ∴设，则，， ∵， ∴，，∴，， ， ∵，∴，∴，∴， 同理由可得， ∴， 故答案为：． 17．（24-25九年级·山东东营·阶段练习）（1）问题：如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究：若将角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由． （3）应用：如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，则的长． 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）4 【详解】解：（1）证明：，， ，，， 又，，，； （2）结论仍成立；理由如下：， 又，，，， 又，， ，； （3），，，，， 是等腰直角三角形，，，，． 18．（2024·山西·模拟预测）阅读下列材料，并完成相应任务： 下面是小华同学，课后学习过程中遇到的一个问题： 如图①，在中，分别是边的中点，，相交于点．求证：． 小华认真思考后，写出下面的证明过程：连结． 分别是边的中点， ，（依据） ……；……． ； 任务：(1)填空：材料中的依据是指：______．(2)将材料中的证明过程补充完整． (3)如图②，在中，为边的中线．点分别为边的中点，与交于点与交于点．则______． 【答案】(1)三角形中位线定理（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半） (2)见解析(3) 【详解】（1）解：依据：三角形中位线定理（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）． （2）解：补充如下：，， ，，； （3）解：如图中，连接．设的面积为． ，，，，， ，∴，，， ，∴，，，， ，，∴，． 19．（2024·江苏泰州·二模）图算法是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量，这样的图形叫诺模图． 设有两只电阻，千欧，千欧，问并联后的总电阻值R是多少千欧？ 我们可以利用公式求得R的值，也可以设计一种图算法（如图1）直接得出结果：我们先来画出一个的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着6和4的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的总电阻值R．    (1)①千欧，千欧，计算 千欧；②如图1，已知，是的角平分线，，，．用你所学的几何知识说明：； (2)如图2，已知，是的角平分线，，，．此时关系式可以写成，其中的常数，求m的值； (3)如图3，若，（2）中其余条件不变，请探索，，R之间的关系．（用含的代数式表示） 【答案】(1)①；②见解析(2)(3) 【详解】（1）解：①根据并联电路电阻公式可得，即千欧， 故答案为： 证明：②如图1，过点作的平行线，交于点， ，是的角平分线，， ，，为等边三角形，， ，，， ，即，可得，, 故；          （2）解：如图2，过点作的平行线，交于点， 同上述原理可得，， ，可得，即， 整理后可得，即，； （3）解：过点作的平行线，交于点，过点作，交于点， 同上述原理可得，， ，，可得， 即，整理后可得，即． 20．（2024·河南郑州·三模）中，，过点作，点为边上一个动点，将射线绕点逆时针旋转，交射线于点，连接. 问题初现：（1）如图1，若，则线段与的数量关系为______； 类比探究：（2）如图2，若，求出线段与的数量关系，并说明理由； 拓展应用：（3）在（2）的条件下，若，，点在上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长. 【答案】（1）相等  （2），理由见解析  （3）或 【详解】解：（1）∵，，∴，∴， 又∵，∴， 又∵，∴，∴，∴，故答案为：相等； （2），理由为： ∵，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴； （3）如图，当四边形为矩形时，， ∵，，∴， 又∵，，∴， ∴，即，解得：； 如图，当四边形满足，时，是轴对称图形，则， 又∵，∴，∴，∴， 综上所述，当四边形为轴对称图形时，线段的长为或． 21．（24-25·湖北孝感·九年级校联考阶段练习）问题背景：如图，在中，，，是边上的中线，是上一点，将绕点逆时针旋转得到，的延长线交于点．问题探究：（1）当点在线段上时，证明． ①先将问题特殊化，如图2，当时，证明：； ②再探究一般情形，如图，当不垂直时，证明：； 拓展探究：（2）如图3，若的延长线交的延长线于点时，直接写出一个等式，表示，，之间的数量关系．    【答案】（1）①见解析，②见解析（2） 【详解】（1）①证明：∵，∴， 在中，，，∵将绕点C逆时针旋转得到， ∴，，，， ∴，∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形， ∴，∴， ∵是中边上的中线，∴， 在和中，∴，∴， ∴，∴，∴ ②结论成立，证明：过点C作于点G，过点C作交的延长线于点H． 则．       由旋转性质可知，，∴，，， ∵，，∴，∴， ∴，，．∴． ∴．∴四边形是正方形． ∴，∴． ∵，，， ∴． ∴．∴． （2）解：． 理由：如下图所示，过作交于点，交的延长线于点， 则四边形是平行四边形，， ∴，，∴，∴， ∵，∴，∴四边形是矩形，∴， 在和中，，∴， ∴，∴四边形是正方形，∴， ∴，∴． 22．（2025·山西晋中·校考一模）阅读材料： 我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在中，，，分别过、向经过点直线作垂线，垂足分别为、，我们很容易发现结论：． （1）探究问题：如果，其他条件不变，如图②，可得到结论；．请你说明理由． （2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，且两直线夹角为，且，请你求出直线的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形中，，，点为边上—个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，当点在矩形外部时，连接，．若为直角三角形时，请你探究并直接写出的长．           【答案】（1）理由见解析；（2）；（3）长为3或． 【详解】解：（1）∵，∴ 又∵∴∴∵．∴ （2）如图，过点作交直线于点，分别过、作轴，轴 由（1）得  ∴ ∵坐标  ∴， ∵  ∴解得：，  ∴ 设直线表达式为，代入， 得，解得， ∴直线表达式为 （3）解：①如图1中，当∠PDC=90°时，∵∠ADC=90°，∴∠ADC+∠PDC=180°，∴A、D、P共线， ∵EA=EP，∠AEP=90°，∴∠EAP=45°，∵∠BAD=90°， ∴∠BAE=45°，∵∠B=90°∴∠BAE=∠BEA=45°，∴BE=AB=3． ②如图2中，当∠DPC=90°时，作PF⊥BC于F，PH⊥CD于H，设BE=x， ∵∠AEB+∠PEF=90°，∠AEB+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠PEF， 在△ABE和△EFP中，∴△ABE≌△EFP，∴EF=AB=3，PF=HC=BE=x，∴CF=3-（5-x）=x-2， ∵∠DPH+∠CPH=90°，∠CPH+∠PCH=90°，∴∠DPH=∠PCH，∵∠DHP=∠PHC， ∴△PHD∽△CHP，∴PH2=DH•CH，∴（x-2）2=x（3-x）， ∴x=或（舍弃），∴BE=， 综上所述，当△PDC是直角三角形时，BE的值为3或． 23．（24-25九年级上·河南许昌·期末）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．    在中，是边上一点，且（为正整数），是边上的动点，连接，过点作交直线于点．探究线段之间的数量关系． (1)【初步成知】如图1，当时，以下是小亮和小红两位同学的证明片段，请仔细阅读并补全小红的证明过程． 小亮：证明：连接．       由题意，可知，即为的中点．平分， ．． ．． ．．． 小红：证明：过点作于点，于点． 由题意，可知和均是等腰直角三角形，四边形是矩形． ． 易得．．…… (2)【深入探究】①如图2，当，且点在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间的数量关系的一般结论．（直接写出结论，不必证明） (3)【拓展运用】在（1）的条件下，连接，设的中点为，若，请直接写出点从点运动到点的过程中，点运动的路径长． 【答案】(1)详见解析(2)①，详见解析；②(3) 【详解】（1）∵四边形是矩形，∴． ．，即． 又，． （2）过点作于点于点，如解图1所示，        则和均是等腰直角三角形，四边形是矩形． ．易得． 由四边形是矩形，得．． ，即． 又．，即． ②．当点在线段上时，同①可得，即； 当点在的延长线上时，如解图2所示；当点在的延长线上时，如解图3所示． 在解图2，3中，过点作于点于点，则和均是等腰直角三角形，四边形是矩形．．易得， ．由四边形是矩形，得 ．． 又，，即． （3）．连接，如解图4所示． 的中点为．点在线段的垂直平分线上运动． 当点与点重合时，点与点重合，此时点是的中点； 当点与点重合时，点与点重合，此时点是的中点． 点运动的路径长为． 24．（2025广东深圳三模试题）（1）【探究发现】如图1，正方形的对角线相交于点，在正方形绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点．证明：；      （2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线相交于点，且，．在矩形绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点．若，求的长； （3）【拓展应用】如图3，四边形和四边形都是平行四边形，且，，，是直角三角形．在绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点．当与重叠部分的面积是的面积的时，请直接写出的长．    【答案】（1）见解析（2）（3） 【详解】（1）正方形的对角线相交于点，在正方形绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点 ，，， ，即， 在和中，； （2）如图，过点作的平行线交于点、交于点，过点作垂线交于点，    四边形和四边形都是矩形，，，， ，，， ， ，， ，，，即，， ； （3）如图，过点作的垂线交于点，    设，则， 设，则， ，，， 又，， ，，四边形和四边形都是平行四边形，是直角三角形 ∴，(有公共角且都有直角)， ，∴，∵，即， ∴，，设，则， ∵，即，∴， 与重叠部分的面积是的面积的，平行四边形对角线平分平行四边形的面积， ，即， ∴，即，∴， ∴，∴． 25．（2025·吉林·模拟预测）【探究】如图①，四边形是正方形，于点G，求证：；    【应用】（1）如图②，在中，，，点D是边的中点，，，交于点F，则与之间的数量关系是_____； （2）如图③，在中，，，点D是边的中点，，，交于点F，交于点G，若，则的长为______． 【答案】探究：见详解；应用：（1）（2） 【详解】探究：证明：四边形是正方形， ，，， ，，即：， 在和中，（），； 应用：（1）解：如图，过作交的延长线于，，    ，，，四边形是矩形， ，四边形是正方形，， ，，由“探究”同理可得：， 点D是边的中点，，，， ，，故答案：； （2），，， ，，，， ，， 在和中，（），， ，，，， ，，，∴，， ，，，，；故答案：． 26．（24·25上·红河·期末）在等边△ABC中，D，E分别是AC，BC上的点，且AD=CE，连接BD、AE相交于点F．(1)如图1，当时，=__________；(2)如图2，求证：△AFD∽△BAD； (3)如图3，当时，猜想AF与BF的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)1(2)详见解析(3)，理由见解析 【详解】（1）解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵AD＝CE，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴∠EAC＝∠DBA， ∵，∴点D是AC中点，∴∠DBA＝30°，∴∠EAC＝30°， ∴∠BAE＝∠DBA＝30°，∴AF＝BF，∴，故答案为：1； （2）由（1）可得△ABD≌△CAE，∴∠EAC＝∠DBA， ∵∠ADF＝∠BDA，∴△AFD∽△BAD； （3）；理由：由（1）可得△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，∠EAC＝∠DBA， ∴∠BFE＝∠DBA＋∠BAF＝∠EAC＋∠BAF＝∠BAD＝60°， 设AF＝x，BF＝y，AB＝AC＝BC＝n，AD＝CE＝1，BD＝AE＝m， ∵∠EAC＝∠DBA，∠ADB＝∠ADB，∴△ADF∽△BDA，∴，∴①， ∵∠BFE＝∠C＝60°，∠DBC＝∠DBC，∴△BFE∽△BCD，∴，∴②， ①÷②得：，∴，∵，∴n＝4，∴． 27．（2025·广西·校考一模）【操作与发现】 如图①，在正方形中，点N，M分别在边上．连接、．，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到．易证：，从而可得：． (1)【实践探究】在图①条件下，若，则正方形的边长是 ． (2)如图②，在正方形中，点M、N分别在边上，连接、．，，若，求证：M是的中点． (3)【拓展】如图③，在矩形中，点M、N分别在边上，连接，已知，，则的长是 ． 【答案】(1)12(2)见解析(3)8 【详解】（1）解：四边形是正方形，， 由旋转的性质得：，， ，即， ，，， 在和中，，，， ，， 在中，由勾股定理得：，则， 设正方形的边长为x，则， ，解得：，即正方形的边长是12；故答案为：12； （2）证明：设，由（1）可知，， ，，， ， 在中，由勾股定理得：， 整理得：，，，即M是的中点； （3）解：延长至P，使，过P作的平行线交的延长线于Q，延长交于E，连接，如图③所示：则四边形是正方形， ，设，则， ，，，， ，由（1）得：， 在中，由勾股定理得：，解得：， 即的长是8；故答案为：8. 28．（24-25河南九年级月考）综合与实践课上，梦班数学学习兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答：    (1)操作判断：如图1，在正方形中，点，，，分别在边，，，上，且，若，则的长为________；如图2，在矩形中，，点，，，分别在边，，，上，且，若，则的长为________； (2)迁移探究：如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，试证明；(3)拓展应用：如图4，在矩形中，，，平分交于点，点为上一点，交于点，交矩形的边于点．当为的三等分点时，请直接写出的长． 【答案】(1)，(2)见详解(3)或 【详解】（1）解：如图1中，过点作，交于，过点作，交于，交于．四边形是正方形，，，    四边形、四边形都是平行四边形，，． 又，，，，， 在和中，，，，， 如图2中，过点作，交于，过点作，交于，交于，        四边形是矩形，， 四边形、四边形都是平行四边形，，． 又，，，，， 在和中，，， ，，，故答案为，． （2）解：把沿翻折得到，延长交于点， ，在中，， ，四边形是菱形， ，四边形是正方形，由（1）中结论，得， ，，； （3）解：延长交的延长线于点，    在矩形中，，，平分， ， 是等腰直角三角形，，， 是等腰直角三角形，由（1）中结论得，， ，， 当时， 在中，， ，，， ； 当时,,即点在上，如图    ， ，，， 在中，， ，，， ；故的长为或． 29．（2024·江西新余·模拟预测）【问题提出】（1）如图①，在正方形中，点，分别在边和对角线上，，求证：． 【尝试应用】（2）如图②，在矩形中，，，点，分别在边和对角线上，，，求的长． 【拓展提高】（3）如图③，在菱形中，，，点，分别在边和对角线上，，，，的延长线交于点，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【详解】证明：（1）如图1， ∵四边形是正方形∴，∴ ∵∴∴，可得，即； 解：（2）如图2，连接交于点，∵四边形是矩形∴， ∴，， ∵∴∴，则 则∴； 解：（3）如图3，过点作交延长线于点，交于点，连接，交于点． ∵四边形是菱形， ∴，， ，， ∵∴则 ∴ ∵ ∴∴，则． ， ．， ∵四边形是菱形∴∴ ∴得，，． 30.（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）四边形是平行四边形，连接，于点E，交边于点F． (1)如图1，，，求的长． (2)如图2，，，猜想线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，，．①求证：；②将沿直线翻折得到，连接交边于点P，连接，求的长． 【答案】(1)(2)，见解析(3)①见解析；② 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，， ，，， ∴，即，解得．，， ，； （2）解：．理由：四边形是平行四边形，， ，，，， 设，则．，． ，，， ，． ，，； （3）①证明：四边形是平行四边形，，， ，∴，，，，； ②解：如图，连接，由折叠得， ∵于点E，∴B，E，F，在一条直线上，过P作于H．由折叠得，， 四边形是平行四边形，，，． ，，，， ，． ，，， ，即，． 31．（2025·广西·校联考一模）在等边中，点D是边上一点，点E是直线上一动点，连接，将射线绕点D顺时针旋转，与直线相交于点F． (1)若点D为边中点．①如图1，当点E在边上，且时，请直接写出线段与的数量关系________；②如图2，当点E落在边上，点F落在边的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；(2)如图3，点D为边上靠近点C的三等分点．当时，直接写出的值． 【答案】(1)①；②仍然成立；理由见解析(2)或 【详解】（1）解：①DE=DF； ∵△ABC为等边三角形，∴，∵点D为BC的中点，∴， ∵DE⊥AB，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴DE=DF；故答案为：DE=DF； ②DE=DF仍然成立；将DB绕点D顺时针旋转120°，交于AC于点，如图所示： ∵，∴，∴， ∴，∴，∴，为等边三角形，∴， ∵，，∴， ∴，∴DE=DF； （2）①当点E在A、B两点之间时，将DB绕点D顺时针旋转120°，交于AC于点，如图所示： 设等边三角形的边长为a，∵AE:BE=3:2，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴， ∴，为等边三角形，∴， ∵，， ∴，∴，， ∴，∴， ∴，∴； ②点E在B点下方时，将DB绕点D顺时针旋转120°，交于AC于点，如图所示： 设等边三角形的边长为a，∵AE:BE=3:2，∴，∵，∴， ∴，∴，∴ ∴，为等边三角形， ∴，即，∴， ∵，， ∴，∴，， ∴，∴， ∴，∴；综上分析可知，的值为或4． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $