专题5.2 函数的表示方法（高效培优讲义）数学苏教版2019高一必修第一册

专题5.2 函数的表示方法 教学目标 1.掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数. 3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 4.会求函数的解析式 教学重难点 1.重点 求函数的解析式； 2.难点 理解分段函数. 知识点01 函数的表示法 函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法. (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； (3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 函数的三种表示方法的优点： ①解析法的优点：概括了变量间的关系，利用解析式可求任一函数值． ②图象法的优点：直观形象地表示出函数值随自变量的变化趋势，有利于通过图象来研究函数的性质． ③列表法的优点：不需计算便可以直接看出自变量对应的函数值． 函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解. (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (4)解方程组法：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 【即学即练】 1．已知函数，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，得，表示出即可得到的解析式. 【解析】令，则，， ∴， ∴. 故选：B. 2．已知是二次函数，且，若，则的解析式为 . 【答案】 【分析】设，结合已知条件利用待定系数法即可求解. 【解析】由已知设， 因为，所以， 因为， ， 所以，解得， 所以. 3．已知函数满足，且，则 . 【答案】 【分析】用替换,再解方程组可得答案. 【解析】由①， 用替换，得②， ①×2－②，得，得. 故答案为：. 知识点02 分段函数： 分段函数： 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． 注意：分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决． 【即学即练】 1．设函数，若，则实数的值等于（  ） A． B． C．2 D． 【分析】根据题意，，可得，进而求解，判断选项. 【解析】根据题意，, 由，得，则， 从而，解得. 故选:B． 2．已知，，则函数的值域为________- 【答案】 【分析】先得到，再作出其图象求解. 【解析】由题意得：， 其图象，如图所示：    由图象知：函数y的值域为， 故答案为： 题型01 列表法表示函数 【典例1】根据列表中的数据选择合适的模型，则（  ） 1 2 3 4 5 2 0 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察表格数据，检验选项中解析式即可得解. 【解析】A项：，A错误； B项：，B错误； C项：，C错误； D项： 满足表中的数据，D正确． 故选：D. 【变式1】对于函数，部分与的对应关系如下表： 则值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表格先求，再求的值. 【解析】由表格可得，， 所以. 故选：C. 【变式2】已知函数列表法表示如下，则下列说法正确的是（  ） 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 4 1 3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合表格中的数据，代入即可得到正确答案. 【解析】由表格得，，，， 则，， ，， 因此，只有C选项正确. 故选：C. 【变式3】根据列表中的数据选择合适的模型，则（  ） 1 2 3 4 5 2 0 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察表格数据，检验选项中解析式即可得解. 【解析】A项：，A错误； B项：，B错误； C项：，C错误； D项： 满足表中的数据，D正确． 故选：D. 题型02 图象法表示函数 【典例1】一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，晚上体温渐渐下降直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫了．下列各图中能基本上反映出亮亮这一天（0时～24时）体温的变化情况的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据亮亮的体温变化判断函数图象即可. 【解析】依题意亮亮在早上时体温大于，随着药物的作用，亮亮的体温逐渐下降，到中午时体温接近， 下午体温又逐渐上升到晚上体温渐渐下降直到半夜体温接近的正常温度，故符合题意的函数图象为C. 故选：C 【变式1】水以恒速注入下图所示容器中，则水的高度与时间满足的函数图象是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据容器的特征，结合几何体的结构和题意知，容器的底面积越大水的高度变化慢、反之变化得快，再由图象越平缓就是变化越慢、图象陡就是变化快来判断．结合函数图象分析判别可得结论. 【解析】此容器从下往上口径先由大变小，再由小变大，故等速注入液体其高度增加变化率先由慢变快，再由快变慢， A、B、C选项中：函数图象中高度变化率分别是先快后慢、先慢后快、匀速的增加，与题干不符，故排除； D选项：当注水开始时，函数图象中高度变化率是先由慢变快，再由快变慢，符合题意； 故选：D. 【变式2】一次越野跑中，前a秒钟小明跑了1600m，小刚跑了1450m．小明、小刚此后所跑的总路程y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，则图中b的值是________ 【答案】2050 【分析】设小明从1600处到终点的速度为 m 米/秒，小刚从1450米处到终点的速度为 n米/秒，由题可得小明跑(a+100)秒与小刚跑(a+100)秒，两人跑的距离相等，小明跑了a秒后还需要200秒到达终点，而小刚跑了a秒后还需要100秒到达终点，据此列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题． 【解析】设小明从1600处到终点的速度为 m 米/秒，小刚从1450米处到终点的速度为 n 米/秒，根据题意，得 ， 解得：， 故这次越野跑的全程为：（米）， 即米． 故答案为：2050． 题型03 解析法表示函数 【典例1】如图，在等腰梯形中， ，且.已知为定值，腰与直线的夹角为，设等腰梯形的面积为，高为，则关于的函数解析式为 . 【答案】 【分析】用表示，，结合梯形面积公式计算即可. 【解析】如图，过点作的垂线，交于点.易知. 在中，，所以. 因为，所以，所以， 所以. 答案 【变式1】购买某种饮料听，所需钱数为元．若每听2元，用解析法将表示成的函数为 ． 【答案】， 【分析】根据正比例关系即可求解. 【解析】根据题意可得，， 故答案为：，. 【变式2】已知函数，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据解析式代入验证即可. 【解析】因为，而， 所以. 故选：C. 【变式3】某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于5时再增选1名代表.那么各班可推选的代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可分余数为和两种情况分别表示出班级人数和代表人数关系式，再推理即可判断得答案. 【解析】设各班人数除以10的余数为， 当时，，，， ； 当时，，，， ， 所以所求的函数关系为. 故选：B. 题型04 待定系数法求解析式 【典例1】已知是一次函数，且，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意设函数，列出方程组，求得的值，即可求解. 【解析】由题意，设函数， 因为，， 所以，， 则，解得， 所以. 故选：D. 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，即先设出函数的解析式，再利用已知条件列出关于待定系数的方程（组），解之确定系数，即可得函数的解析式 【变式1】若函数是二次函数，满足，则=（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【解析】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 【变式2】设二次函数满足，且其图象在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为，求的解析式． 【答案】 【分析】根据题意设二次函数的解析式.由得 ； ，得；以及.即可得出解析式. 【解析】设 . 由，得 得；① 设的根为， 则， 所以② 又由已知得.③ 由①②③解得， 所以． 【变式3】（多选）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（  ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】设，则由，可得，然后列方程组可求出，从而可求得答案. 【解析】由题意设， 因为， 所以， 即， 所以，解得或， 所以或， 故选：AB 【变式4】已知二次函数满足，且． (1)求的解析式； (2)若时，恒成立，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2)实数的取值集合为 【解析】（1）设，又，所以，所以， 又，所以， 即，所以，解得， 所以； （2）若时，恒成立，则的解集为， 即的解集为，所以， 所以，即，解得， 所以实数的取值集合为． 题型05 配凑法、换元法求解析式 【典例1】已知，则函数的解析式为（  ） A． B．（） C．（） D．（） 【答案】C 【分析】令（），采用换元法求函数的解析式. 【解析】设（），则， ， 所以（）， 故选：C. 已知复合函数的表达式时，可用换元法，这时要注意换元必换范围 ①令根据，求出关于的表达式 ②根据求出的取值范围 ③将求出的关于的表达式代入的表达式中，求出的表达式，再换元为 【变式1】已知，则的解析式是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法求出函数的解析式. 【解析】令，则，而，于是， 因此， 所以的解析式是. 故选：A 【变式2】已知，则函数的解析式为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则，所以， 所以. 故选：D. 【变式3】若函数，则 ． 【答案】或 【分析】根据函数的性质，令，解出相应的值，把原函数变形为，代入相应的值求解. 【解析】令，解得或， 又， 所以：当时，； 当时，． 故答案为：或. 【变式4】求下列函数的解析式. (1)已知，求； (2)已知，求； 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用换元法，结合已知函数解析式，即可求得； （2）利用配凑法，结合已知函数解析式，即可求得； 【解析】（1）令，则， 于是有， 所以. （2）函数，又的值域为， . 题型06 函数方程组法求解析式 【典例1】已知，求. 【答案】 【分析】用替换的，得到，与原式组成方程组，解方程组即可得到的解析式. 【解析】∵， ∴用替换上式中的，得到， 解方程组，得. 在已知式子中,若含有两个不同变量,这两个变量又有着某种关系,这时就要依据两个变量的关系,建立一个新的关于两个变量的式子,联立这两个式子,通过解方程组消去一个变量,得到目标变量的解析式, 这种方法叫作解方程组法或消元法. 【变式1】已知函数满足，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知表达式，采用换元法用替换，构造方程 ， 与联立消即可求解． 【解析】因为①， 所以用替换，得 ② 由得 故选B 【变式2】若函数，满足，且，则（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】令可得，所以； 令可得； 令可得， 所以， 所以， 令可得，所以， 所以. 故选：D. 【变式3】已知函数满足，则函数的解析式为 . 【答案】 【分析】根据题意，用代替，得到，联立方程组，即可求解. 【解析】由， 用代替，可得， 联立方程组，解得， 所以函数的解析式为. 故答案为：. 题型07 求解析式中的参数值 【典例1】已知，且，则m等于（  ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】令解得，代入得，解之可得选项. 【解析】因为，所以令解得，所以， 解得， 故选：D. 【变式1】已知函数，且，则（  ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】应用赋值法已知函数值求自变量即可. 【解析】令 . 故选：A. 【变式2】设函数的定义域为，且，当时，，则（  ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据函数性质，利用赋值法可得解. 【解析】因为，取，可得， 即， 因为，取，则， 因为，所以，解得， 因为，取，则， 所以，解得，则. 故选：D. 【变式3】已知，且，则________ 【答案】1 【分析】令，求出，代入解出. 【解析】， 且， 令，，解得， ，即, . 故答案为：1 题型08 求分段函数的解析式或函数值 【典例1】设，则的值为（  ） A．9 B．11 C．28 D．14 【答案】B 【分析】由，结合函数解析式可得，再由解析式求求结论. 【解析】因为，， 所以， 又，故，， 所以. 故选：B. 分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决． 1.由实际问题决定的分段函数，要写出它的解析式，就是根据实际问题需要分成几类，就分成几段，求解析式时，先分段分别求出它的解析式，在综合在一起即可． 2.注意分段函数的解析式，最后要把各段综合在一起写成一个函数，分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数． 【变式1】已知函数，则（  ） A．2 B．0 C．1 D．3 【答案】A 【解析】. 故选：A. 【变式2】已知函数，求； 【答案】. 【解析】由题设，时，时，时， 所以. 【变式3】已知函数. (1)求； (2)画出函数的图象； (3)若，求的值. 【答案】(1)35；(2)图象见解析；(3)-1或3 【分析】（1）代入求解，先求出，从而得到； （2）描点，连线，画出函数图象； （3）分和两种情况，得到方程，求出答案. 【解析】（1）∵，∴， 又∵，∴， （2）当时，函数图象为射线，其中， 当时，，图象为抛物线的一部分，其中， 图象如图所示： （3）当时，有，解得，符合； 当时，有，解得或， 但，故舍去，所以的值为3， 综上所述：的值为或3． 题型09 已知分段函数的值求参数或自变量 【典例1】设，若，则（  ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】需要分情况讨论的取值范围，当时，代入求解；当时，代入求解. 【解析】当，即时：，解得； 当，即时：， 设（），则， ，即，解得. 综上所得，或. 故选：A. 【变式1】设，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况解方程即可求解. 【解析】由题意可知， 当时，，所以由得； 当时，，所以由得，无解. 综上，. 故选：C. 【变式2】已知函数，若，则实数的值为_______ 【答案】 【分析】由分段函数的解析式，分类讨论求解实数的值即可. 【解析】当时，由可得，解得，不满足题意，故舍去； 当时，由可得，解得（不满足题意，舍去）或； 所以实数的值为. 故答案为： 【变式3】已知函数，若，求实数的值 【答案】或； 【解析】当时，，解得，不合题意； 当时，，即，而，则； 当时，，解得，符合题意， 所以当时，或. 题型10 求分段函数的定义域、值域（最值） 【典例1】函数的值域为_________ 【答案】 【分析】求出各段上的函数值的范围后可得正确的选项. 【解析】当时，， 而当时，，当且仅当时等号成立， 故函数的值域为， 故答案为： 【变式1】已知函数，用分段函数的形式表示函数，则=_________； 的值域为__________ . 【答案】 【分析】利用绝对值的性质进行分类讨论求解即可；根据一次函数图象性质进行画图，根据图象求最值即可. 【解析】当时，； 当时，； 所以 由此画出的图象如下图所示： 由图象知，的值域为. 故答案为： 【变式2】已知函数，则函数的定义域为_________、值域为_________． 【答案】定义域为，值域为 【分析】作出分段函数的图象，由图象判断函数的定义域、值域． 【解析】作出图象如图所示．    利用数形结合易知的定义域为，值域为． 题型11 分段函数与不等式融合 【典例1】已知函数，若，求实数的取值范围． 【答案】. 【解析】由，得或或， 解得或或或, 所以实数的取值范围是. 【变式1】已知函数，若，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和两种情况解不等式. 【解析】若，则，恒成立， 若，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 【变式2】已知函数若，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数表示和，再求解不等式. 【解析】由题可知，， 因为，则当时，，解得，故； 当时，，解得，故， 综上可知，的取值范围为． 故选：B. 【变式3】（多选），用表示，的较小者，记为，若，，则下列说法正确的是（  ） A． B．函数有最小值，无最大值 C．不等式的解集是 D．若a，b，c是方程的三个不同的实数解，则 【答案】ACD 【解析】注意到或，. 则. A选项，，故A正确. B选项，由可知无最小值，无最大值，故B错误； C选项，当时，； 当时，不存在. 综上，不等式的解集是，故C正确； D选项，当时，； 当时，， 则，故D正确. 故选：ACD 1．若函数用列表法表示如下： 1 2 3 3 2 1 1 2 3 1 3 2 则满足的值为（  ） A．1 B．3 C．1或2 D．2或3 【答案】D 【分析】根据表格求函数值，逐项验证进行比较. 【解析】根据表格可知，， ， ， 所以满足条件的是或. 故选：D. 2．已知函数，则（  ） A．128 B．256 C．512 D．1024 【答案】B 【解析】由题意， . 故选：B. 3．已知，为常数，且，满足．若关于的方程只有一解，则的值的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．以上都不对 【答案】C 【解析】由； 又或, 因为关于的方程只有一解， 当为方程的唯一解时，，或方程无解，得； 当不为方程的解时，， 此时，满足题意； 所以或或. 故选：C 4．已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 且，或， 当且仅当即时取等. 所以. 故选：D. 5．已知边长为1的正方形，为边的中点，动点在正方形边上沿运动，设点经过的路程为，的面积为，则关于的函数的图像大致为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当动点在正方形边上沿运动时， 则的面积为； 当动点在正方形边上沿运动时， 则的面积为； 当动点在正方形边上沿运动时， 则的面积为； 所以，所以A正确，BCD错误； 故选：A. 6．设函数，则不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数，则， 不等式，当时，，解得，因此； 当时，，即，解得或，因此或， 所以不等式的解集是. 故选：B 7．（多选）已知定义域为，则错误的是（  ） A． B． C．， D．函数的定义域为 【答案】ABD 【分析】首先需要根据已知条件求出的表达式，再据此计算各选项中的函数值并判断定义域是否正确. 【解析】已知，设，则. 因为，所以. 那么，化简可得，，即，.   当时，，所以无定义，A选项错误.   当时，，所以无定义，B选项错误.   由前面的计算可知，，C选项正确.   对于函数，因为的定义域为，所以. 解不等式得，所以函数的定义域为，D选项错误. 故选：ABD. 8．（多选）如图，某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，长方形的周长为，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时最节能．设，则下列结论正确的是（  ） A．y与x之间的关系是 B．x的取值范围是 C．的面积S与x的关系是 D．最节能时，长方形的面积为 【答案】ACD 【解析】由题意得．因为，所以．因为，所以，所以．由，得，所以．记的面积为S，则，当且仅当时等号成立，S取得最大值，此时长方形的面积为．综上所述，A，C，D均正确． 故选：ACD 9．（多选）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（  ） A． B．若，则x的值是 C．的解集为 D．的值域为 【答案】ABD 【解析】对于A，因为，则， 所以，故A正确； 对于B，当时，，解得：（舍）； 当时，，解得：（舍）或； 的解为， 故B正确； 对于C，当时，，解得：； 当时，，解得：； 的解集为，故C错误； 对于D，当时，； 当时，； 的值域为， 故D正确. 故选：ABD. 10．若一次函数满足：对任意都有，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】设，代入题干等式，化简，即可求得. 【解析】设一次函数， ， 化简得：， 因为对任意，上式都满足，取和代入上式得： ，解得：， 所以. 故答案为： 11．已知函数，则___________ 【答案】256 【解析】由题意， . 故答案为：256 12．已知 (1)求出的函数解析式 (2)若是一次函数，，用表示和的最大者，求的解析式 【答案】(1) (2)； 【解析】（1）因为， 所以，，解得，， 则，故的函数解析式为. （2）由题意得是一次函数，设， 因为，所以，， 解得，则，令， 解得，令，解得， 而用表示和的最大者， 故. 13．已知函数    (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求的解集． 【答案】(1)，；(2)或1或；(3)作图见解析， 【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得； （2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得； （3）根据函数解析式，可作出函数图象，根据函数解析式分类讨论可求得不等式的解集. 【解析】（1）因为， 所以， ． （2）当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得或（舍去）． 综上所述，的值为或1或． （3）作出函数的图象如图所示：    当时，恒成立；当时，恒成立； 当时，，即，得． 综上所述，的解集为． 14．已知函数 （1）求的定义域，值域； （2）求； （3）解不等式. 【答案】（1）定义域为，值域为；（2）；（3） 【分析】（1）分段函数定义域等于各段自变量范围的并集，值域为各段范围的并集，所以求出并集即可得结果； （2）根据自变量范围代入对应解析式，即可得结果； （3）根据自变量范围列三个不等式组，分别求解，最后求并集得结果. 【解析】（1）f(x)的定义域为(0,1)∪[1,2)∪.易知f(x)在(0,1)上为增函数，在上为减函数， ∴当x＝1时，，又f(0)＝0，， ∴值域为. （2），. （3）f(x＋1)>等价于①或    ②或③ 解①得<x<0，解②得0≤x<1，解③得x∈. ∴f(x＋1)> 的解集为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.2 函数的表示方法 教学目标 1.掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数. 3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 4.会求函数的解析式 教学重难点 1.重点 求函数的解析式； 2.难点 理解分段函数. 知识点01 函数的表示法 函数的三种表示法：________、________和________. (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； (3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 函数的三种表示方法的优点： ①解析法的优点：概括了变量间的关系，利用解析式可求任一函数值． ②图象法的优点：直观形象地表示出函数值随自变量的变化趋势，有利于通过图象来研究函数的性质． ③列表法的优点：不需计算便可以直接看出自变量对应的函数值． 函数解析式的求法 (1)________：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. (2)________：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解. (3)________：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (4)________：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 【即学即练】 1．已知函数，则（  ） A． B． C． D． 2．已知是二次函数，且，若，则的解析式为 . 3．已知函数满足，且，则 . 知识点02 分段函数： 分段函数： 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． 注意：分段函数问题往往需要进行________，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决． 【即学即练】 1．设函数，若，则实数的值等于（  ） A． B． C．2 D． 2．已知，，则函数的值域为________- 题型01 列表法表示函数 【典例1】根据列表中的数据选择合适的模型，则（  ） 1 2 3 4 5 2 0 A． B． C． D． 【变式1】对于函数，部分与的对应关系如下表： 则值为（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数列表法表示如下，则下列说法正确的是（  ） 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 4 1 3 A． B． C． D． 【变式3】根据列表中的数据选择合适的模型，则（  ） 1 2 3 4 5 2 0 A． B． C． D． 题型02 图象法表示函数 【典例1】一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，晚上体温渐渐下降直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫了．下列各图中能基本上反映出亮亮这一天（0时～24时）体温的变化情况的是（　　） A．   B．   C．   D．   【变式1】水以恒速注入下图所示容器中，则水的高度与时间满足的函数图象是（  ） A． B． C． D． 【变式2】一次越野跑中，前a秒钟小明跑了1600m，小刚跑了1450m．小明、小刚此后所跑的总路程y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，则图中b的值是________ 题型03 解析法表示函数 【典例1】如图，在等腰梯形中， ，且.已知为定值，腰与直线的夹角为，设等腰梯形的面积为，高为，则关于的函数解析式为 . 【变式1】购买某种饮料听，所需钱数为元．若每听2元，用解析法将表示成的函数为 ． 【变式2】已知函数，则（  ） A． B． C． D． 【变式3】某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于5时再增选1名代表.那么各班可推选的代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为（  ） A． B． C． D． 题型04 待定系数法求解析式 【典例1】已知是一次函数，且，，则（  ） A． B． C． D． 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，即先设出函数的解析式，再利用已知条件列出关于待定系数的方程（组），解之确定系数，即可得函数的解析式 【变式1】若函数是二次函数，满足，则=（  ） A． B． C． D． 【变式2】设二次函数满足，且其图象在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为，求的解析式． 【变式3】（多选）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（  ） A． B． C． D． 【变式4】已知二次函数满足，且． (1)求的解析式； (2)若时，恒成立，求实数的取值集合． 题型05 配凑法、换元法求解析式 【典例1】已知，则函数的解析式为（  ） A． B．（） C．（） D．（） 已知复合函数的表达式时，可用换元法，这时要注意换元必换范围 ①令根据，求出关于的表达式 ②根据求出的取值范围 ③将求出的关于的表达式代入的表达式中，求出的表达式，再换元为 【变式1】已知，则的解析式是（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则函数的解析式为（  ） A． B． C． D． 【变式3】若函数，则 ． 【变式4】求下列函数的解析式. (1)已知，求； (2)已知，求； 题型06 函数方程组法求解析式 【典例1】已知，求. 在已知式子中,若含有两个不同变量,这两个变量又有着某种关系,这时就要依据两个变量的关系,建立一个新的关于两个变量的式子,联立这两个式子,通过解方程组消去一个变量,得到目标变量的解析式, 这种方法叫作解方程组法或消元法. 【变式1】已知函数满足，则（  ） A． B． C． D． 【变式2】若函数，满足，且，则（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式3】已知函数满足，则函数的解析式为 . 题型07 求解析式中的参数值 【典例1】已知，且，则m等于（  ） A． B．2 C． D．3 【变式1】已知函数，且，则（  ） A． B． C．1 D． 【变式2】设函数的定义域为，且，当时，，则（  ） A． B． C．4 D． 【变式3】已知，且，则________ 题型08 求分段函数的解析式或函数值 【典例1】设，则的值为（  ） A．9 B．11 C．28 D．14 分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决． 1.由实际问题决定的分段函数，要写出它的解析式，就是根据实际问题需要分成几类，就分成几段，求解析式时，先分段分别求出它的解析式，在综合在一起即可． 2.注意分段函数的解析式，最后要把各段综合在一起写成一个函数，分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数． 【变式1】已知函数，则（  ） A．2 B．0 C．1 D．3 【变式2】已知函数，求； 【变式3】已知函数. (1)求； (2)画出函数的图象； (3)若，求的值. 题型09 已知分段函数的值求参数或自变量 【典例1】设，若，则（  ） A．或 B．或 C．或 D． 【变式1】设，若，则（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数，若，则实数的值为_______ 【变式3】已知函数，若，求实数的值 题型10 求分段函数的定义域、值域（最值） 【典例1】函数的值域为_________ 【变式1】已知函数，用分段函数的形式表示函数，则=_________； 的值域为__________ . 【变式2】已知函数，则函数的定义域为_________、值域为_________． 题型11 分段函数与不等式融合 【典例1】已知函数，若，求实数的取值范围． 【变式1】已知函数，若，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数若，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【变式3】（多选），用表示，的较小者，记为，若，，则下列说法正确的是（  ） A． B．函数有最小值，无最大值 C．不等式的解集是 D．若a，b，c是方程的三个不同的实数解，则 1．若函数用列表法表示如下： 1 2 3 3 2 1 1 2 3 1 3 2 则满足的值为（  ） A．1 B．3 C．1或2 D．2或3 2．已知函数，则（  ） A．128 B．256 C．512 D．1024 3．已知，为常数，且，满足．若关于的方程只有一解，则的值的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．以上都不对 4．已知，则（  ） A． B． C． D． 5．已知边长为1的正方形，为边的中点，动点在正方形边上沿运动，设点经过的路程为，的面积为，则关于的函数的图像大致为（  ） A． B． C． D． 6．设函数，则不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 7．（多选）已知定义域为，则错误的是（  ） A． B． C．， D．函数的定义域为 8．（多选）如图，某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，长方形的周长为，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时最节能．设，则下列结论正确的是（  ） A．y与x之间的关系是 B．x的取值范围是 C．的面积S与x的关系是 D．最节能时，长方形的面积为 9．（多选）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（  ） A． B．若，则x的值是 C．的解集为 D．的值域为 10．若一次函数满足：对任意都有，则的解析式为 ． 11．已知函数，则___________ 12．已知 (1)求出的函数解析式 (2)若是一次函数，，用表示和的最大者，求的解析式 13．已知函数    (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求的解集． 14．已知函数 （1）求的定义域，值域； （2）求； （3）解不等式. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $