5.3 函数的单调性（第3课时）教学设计 -2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数值域求解与最值问题，通过复习最值定义，结合班级年龄、考试成绩等生活实例，搭建从定义理解到应用的学习支架，梳理函数性质脉络。 特色在于融合数学抽象、直观想象、数学运算核心素养，精讲直接观察、配方、单调性、换元四种求值域方法，结合图像与实例，培养学生解题能力与思维，助力教师高效教学，夯实函数基础。

第5章 函数概念与性质 5.3 函数的单调性(第3课时) 教学目标 1. 会求某些简单函数的值域. 2. 通过归纳总结,让学生熟练地掌握几种求函数的值域方法,并能够在具体的题目中选择恰当的方法求解. 3. 理解函数的最大(小)值及其几何意义,并能借助图象求函数的最大(小)值. 4. 会借助函数的单调性求最值. 数学抽象:函数的最大值、最小值概念的抽象过程. 直观想象:函数图象判断函数最值. 数学运算:函数的单调性求函数的最值及参数取值范围. 复习回顾 [教师引导] 回顾最大值、最小值的定义. 形成知识 一般地,设函数的定义域为. 如果存在,使得对于任意的,都有,那么称为的最大值,记为. 如果存在,使得对于任意的,都有,那么称为的最小值,记为. 【问题1】 我们班上的任意一个同学的年龄肯定都小于等于100岁,那么能说我们班上的同学最大年龄是100岁吗?(举个生活中的例子提问) 形成知识 仅满足“对任意的,都有()”,不能得出是最大(小)值这一结论,必须同时满足“存在,使得”. 【问题2】 这次数学考试,由于试卷比较简单,满分(分)的同学有个,那么这次考试成绩的最大值是多少?显然,最大值是分,且有五人取最大值. (举个生活中的例子) 形成知识 函数的最大值不一定唯一. 典例精讲 方法一:直接观察法 [教师引导] 从自变量的范围出发,推出的取值范围. 【例题1】 求下列函数的值域: (1) (); (2) ,; (3) . [解析] (1) 因为,解得, 所以即,故函数的值域是. (2) 因为,所以函数的值域是. (3) 因为,解得,所以函数的值域是. [处理建议] 学生口答,通过自变量的取值范围直接求出的取值范围形成这类函数求值域的方法——直接观察法. 方法二:配方法 [教师引导] 适用于与二次函数有关的函数. 【例题2】 已知函数,分别求它在下列区间上的值域: (1) ; (2) ; (3) ; (4) . [解析] (1) , 因为所以,故函数的值域是. (2) 因为时,图象在对称轴右边,图象递增. 所以,;,. 故在上,函数的值域为. (3) 因为时,图象在对称轴左边,图象递减. 所以,;,. 故在上,函数的值域为. (4) 因为时,图象含抛物线顶点,所以, 而当,;,,所以, 故在上,函数的值域为. [处理建议] 师生共同完成,教师板书一道例题的过程,形成二次函数值域的基本方法.不能单一地把区间端点代入,应该配方、画图,这样既直观又不易出错. 【变式】 求函数的值域. [分析] 本题只需将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求. [解析] 由,可知函数的定义域为, 此时, 所以,函数的值域是. 方法归纳 配方法是求“二次函数类”值域的基本方法,一般是根据函数所给的取值范围,结合函数的图象求得函数的值域. 方法三:单调性法 [教师引导] 求函数值域的常用方法,就是利用我们所学的基本初等函数的单调性,再根据所给定义域来确定函数的值域. 【例题3】 (1) 求函数的值域; (2) 求函数的值域; (3) 求函数的值域. [解析] (1) 函数的定义域为,显然函数在其定义域上是单调递增的,所以当时,函数有最小值,故函数的值域为. (2) 此题可以看作和,的复合函数,显然函数为单调递增函数,易验证亦是单调递增函数, 故函数也是单调递增函数. 而此函数的定义域为. 当时,取得最小值.当时,取得最大值.故而原函数的值域为. (3) ,,所以,都是增函数, 故是减函数,因此当时,,又因为,所以函数的值域为. [处理建议] 师生共同完成. [教师引导] 对于形如(、、、为常数,)或者形如使用不等式法求值域较困难的函数,我们可以考虑使用单调性法求解. 【问题3】 对于形如是不是都可以利用函数的单调性来研究值域呢?你能举例吗? [学生活动] 学生分小组合作讨论研究此类函数. 方法四:换元法 [教师引导] 运用代数代换,将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域,形如,、、、为常数,且的函数常用此法求解. 【例题4】 (1) 求函数的值域; (2) 求函数的值域; (3) 已知函数的值域为,求函数的值域. [解析] (1) 设,则,,代入得:, 得, 因为,所以, 故函数的值域为. (2) 令(),则, 所以() 又因为当即时,,无最小值. 所以函数的值域为. (3) 令,则, 所以, 由得:, 即,所以.所以所求值域为. 方法归纳 1. 换元法就是用“换元”的方法,将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域. 2. 利用引入的新变量,使原函数消去了根号,转化成了关于的一元二次函数,使问题得以解决.用换元法求函数值域时,必须确定新变量的取值范围,它是新函数的定义域. 3. 求函数值域要先求定义域. 课堂反馈 1. 求的值域. [解析] 因为,所以,故函数的值域是. 2. 求函数,的值域. [解析] 由二次函数的图象得该函数的值域为. 3. 求函数的值域. [解析] 易知定义域为,而在上均为增函数, 所以 4. 求的值域. [解析] 令,则且,. 课堂总结 【问题4】 通过本节课的学习和研究,你有哪些收获或启示? [学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获,交流学习过程中的体验和感受,师生合作共同完成小结. 知识框图 1. 知识与技能层面: (1) 对一次函数、二次函数、反比例函数的图象要熟悉; (2) 有些函数的图象虽不能直接作出,但可以通过换元化为关于新元的一次函数、二次函数或者反比例函数,根据定义域在图象上截段分析,得其值域; (3) 求函数值域与最值方法: ① 直接观察法; ② 二次函数配方法; ③ 单调性法; ④ 换元法 2. 思想与方法层面: 研究问题涵盖的思想与方法:数形结合、特殊到一般、类比…… 学科网(北京)股份有限公司 $