第38讲：数列的通项公式【8个题型归纳】讲义-2026届高三数学一轮复习

2025-2026年高三数学一轮复习题型归纳 【第38讲：数列的通项公式】 总览 题型梳理 【知识梳理】 一、核心概念：通项公式与递推公式 1.通项公式：直接关联“项的位置”与“项的数值”的表达式，记为（如）。 2.递推公式：通过“前一项（或前几项）”表示“后一项”的关系式，记为（如）。 3.核心目标：将递推公式转化为通项公式，实现“已知求”的直接计算。 二、高频求法：按递推类型分类（附适用场景+步骤+示例） （一）等差/等比数列直接公式法（基础型） 适用场景：已知数列是等差或等比数列，且给出首项、公差（或公比）。 核心公式： 数列类型 通项公式 关键条件 等差数列 （常数） 等比数列 （，常数） 示例：若，（等差，），则。 （二）累加法（叠加法）：适用于 适用场景：递推式为“后项-前项=关于的可求和函数”（如、）。 核心步骤： 1.列个等式： ，，，； 2.左右叠加消去中间项： （表示求和）； 3.代入并计算求和，整理得。 示例：，，则： 。 （三）累乘法（叠乘法）：适用于 适用场景：递推式为“后项÷前项=关于的可约分函数”（如、）。 核心步骤： 1.列个等式： ，，，； 2.左右叠乘消去中间项： （表示求积）； 3.代入并计算求积，整理得。 示例：，，则： 。 （四）构造法：适用于（为常数，） 适用场景：线性非齐次递推（后项=前项×常数+常数）。 核心思路：构造新等比数列，令（为待定常数），将递推式转化为等比数列。 核心步骤： 1.设，展开得； 2.与原递推式对比，得； 3.新数列：，首项，公比，故； 4.代入，解出。 示例：，，则，，，，故。 （五）已知求：利用 适用场景：给出前项和与的关系式（如）。 关键提醒：必须验证时是否符合的通项，若符合则合并，否则分开写。 核心步骤： 1.当时，； 2.当时，（代入和化简）； 3.验证，确定最终通项。 示例：，则时；时。因，故： 。 （六）倒数法：适用于（为常数） 适用场景：分式线性递推（分子、分母均含和常数）。 核心思路：对递推式取倒数，转化为等差数列或构造法可解的形式。 核心步骤： 1.两边取倒数：； 2.设，则递推式变为（转化为“构造法”类型）； 3.求的通项，再取倒数得。 示例：，，取倒数得，即是首项、公差的等差数列，，故。 三、常用结论（直接套用，节省时间） 结论类别 具体结论 等差数列性质 1.若（），则； 2.前项和。 等比数列性质 1.若（），则； 2.前项和。 常见数列通项 1.奇数数列：→； 2.偶数数列：→； 3.平方数列：→； 4.递推→。 累加常用和公式 1.； 2.； 3.。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：已知等差等比数列求通项公式】 【解题策略】 一、解题核心逻辑：先定类型，再找参数，最后套公式 已知等差或等比数列求通项，关键是明确数列类型→确定核心参数（首项、公差/公比）→代入对应通项公式，核心是“参数不全时，通过已知条件列方程求解参数”。 二、等差数列求通项的详细思路（核心公式：） 1.第一步：判断是否为等差数列（前提） 题目可能直接告知“数列是等差数列”，或间接给出递推关系/条件，需先验证： 递推式验证：若（为常数，对任意成立），则为等差数列； 特殊项验证：若（任意），则为等差数列（中项性质）。 2.第二步：提取/求解核心参数（：首项，：公差） 根据题目给出的条件，分3类场景求解参数： 已知条件类型 解题方法 示例 直接给和 直接代入公式 已知，，则 给和某一项 代入公式列方程：，解出，再写通项 已知，，则，故 给两项和（） 列方程组：，消去求，再求 已知，，则，解得，，故 给前项和 先求，再用（），验证后确定通项（需满足等差数列性质） 已知，则；时，验证为等差数列，故 3.第三步：代入公式，整理通项 参数和确定后，直接代入，化简为最简形式（如一次函数，其中，）。 三、等比数列求通项的详细思路（核心公式：，） 1.第一步：判断是否为等比数列（前提，注意易错点） 递推式验证：若（为非零常数，对任意成立，且），则为等比数列； 特殊项验证：若（任意，且），则为等比数列（中项性质）； 易错点：等比数列中不能有0项，公比，若题目给“”，需补充“且”才是等比数列。 2.第二步：提取/求解核心参数（：首项，：公比） 类似等差数列，分4类场景求解参数： 已知条件类型 解题方法 示例 直接给和 直接代入公式 已知，，则 给和某一项 代入公式列方程：，解出（注意的符号，若为偶数，可能有正负） 已知，，则，故 给两项和（） 列方程组：，两式相除消去求（），再求 已知，，则，代入，故 给前项和 先求，再用（），验证后确定通项（需满足等比数列性质，注意时） 已知，则；时，验证为等比数列，故 3.第三步：代入公式，整理通项 参数和确定后，代入，若，则通项为常数列（特殊情况，需单独标注）。 四、关键易错点与避坑指南 1.等比数列的“零项禁忌”：若题目中出现，则一定不是等比数列； 2.等比数列公比的“符号判断”：若已知和异号，则为负；若同号，为正（当为奇数时，的符号与一致；当为偶数时，可正可负，需结合题目其他条件判断）； 3.等差数列的“公差为0”：当时，数列为常数列，通项，仍属于等差数列； 4.前项和求通项的“验证”：无论等差还是等比，用求时，必须验证时是否符合的表达式，避免漏写分段通项。 例题精选 【例题1】（25-26高二上·江苏镇江·阶段练习）（1）设是等差数列的前n项和，，，求数列的通项公式； （2）设等比数列的前n项和为.若公比，，，求n. 【答案】（1），（）；（2）． 【分析】（1）根据已知及等差数列的通项公式、前n项和公式列方程求基本量，进而写出通项公式； （2）由等比数列的通项公式、前n项和公式列方程求基本量即可. 【详解】（1）不妨设等差数列的首项、公差分别为，d， 由题意，，解得，， 所以，（）， 即数列的通项公式为，（）. （2）依题意， 由于，所以两式相除得，则， 所以，可得，故， 所以，可得. 【例题2】（25-26高二上·浙江绍兴·阶段练习）已知等差数列中，，等比数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前n项的和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差和等比数列基本量的计算即可求解， （2）对分奇偶，结合分组求和，利用等差数列以及等比数列求和公式即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由， 得，所以， 从而， 所以，所以. （2），故， 当为偶数时， ， 当为奇数时，， 综上可得 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·天津滨海新·阶段练习）已知是公差不为零的等差数列，其前项和为，是等比数列，且，，，. (1)求数列，的通项公式； (2)记，求数列的前项和； (3)表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】（1）根据等差数列定义求出数列的公差，可得其通项公式，再求出数列中的两项可得其公比，即可求出的通项公式； （2）根据（1）中的通项公式利用错位相减法计算可求出； （3）根据的定义以及二项式定理可知当时，，当时，，再结合等比数列前项和公式即可求出结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，可得，解得， 所以， 即可得数列的通项公式为； 所以可得，即可得； 因此等比数列的公比为， 所以， 即的通项公式为， （2）由（1）可知， 因此； 可得， 两式相减可得 ； 所以可得； （3）易知， 又因为， 显然当为奇数时，，此时除以3的余数为2， 因此当时，； 当为偶数时，，此时除以3的余数为1， 因此当时， 经检验可知当时，，当时，，当时，，当时，； 所以数列的前项和 ； 即可得. 【相似题2】（2025·广东·模拟预测）已知等差数列与等比数列满足，，． (1)求，的通项公式； (2)记，为数列的前项和． （ⅰ）求； （ⅱ）若当时，以，，为三边无法构成一个三角形，求的最大值． 【答案】(1)， (2)（i）；（ii） 【分析】（1）把等差数列的通项公式与等比数列的通项公式代入到条件中，解方程即可. （2）（ⅰ）分类讨论，当为偶数时，错位相减法可求出；当为奇数时，利用可求出. （ⅱ）考虑可以构成三角形的情况，利用“三角形两边之和大于第三边”，分类讨论即可. 【详解】（1）记公差为，公比为， 则，， 故， 则 即， 故，解得，故，． （2）（ⅰ）由， 当为偶数时， ， 而， 两式相减，可得到 ， 故此时； 当为奇数时， ， 于是． （ⅱ）考虑可以构成三角形的情况． 当为奇数时，， ，， 于是， 故要能够以，，为三边构成一个三角形， 则只需即可． 则， 当时，，， 故此时； 当时，显然． 故由为奇数可知此时的最大值为3． 当为偶数时，， ，． 当时，，，，此时显然可构成三角形， 当时，易知， 故只需，即可构成三角形． 而 故当为偶数时，以，，为三边必然构成一个三角形． 综上，的最大值为3． 【题型2：累加法求通项公式】 【解题策略】 一、累加法的适用场景（核心判断标准） 仅适用于递推关系为“后项-前项=关于n的函数”的数列，即递推式满足： （） 其中，需满足“可求和”特征——常见类型包括：一次函数（如）、等比数列（如，）、分式可拆项（如）、幂函数（如）等。 二、累加法的四步核心解题流程（无例题纯操作） 第一步：列写“差值等式”（关键：覆盖所有中间项） 根据递推式，从开始，依次列写至的等式，共得到个等式： 当时： 当时： 当时： 当时： （列写至的目的：确保左边相邻项能抵消，仅保留首尾项） 第二步：左右“叠加消项”（核心操作：消去中间项） 将第一步列写的个等式，左右两边分别进行相加： 左边相加： 相邻项相互抵消（与、与…与），最终简化为： 右边相加： 用求和符号简化表示为：（“”表示从到的累加） 叠加后得到核心等式： 第三步：计算“右侧和式”（关键：匹配求和方法） 根据的具体类型，选择对应的求和公式或方法，计算的值，常见适配关系如下： 的类型 对应的求和方法/公式 等差数列型（如） 等差数列求和公式：（此处） 等比数列型（如，） 等比数列求和公式：（此处） 分式可拆项型（如） 裂项相消法：，叠加后消去中间项求和 幂函数型（如） 平方和公式：（此处） （若为混合型，如，则拆分求和：） 第四步：整理“得到通项”（最终步骤：代入首项） 将第一步中已知的首项（题目通常直接给出或可通过时的条件求得）代入“叠加后核心等式”，解出： 将第三步计算出的的结果代入，化简后得到最终的通项公式（为关于的表达式）。 三、累加法的关键注意事项（避坑指南） 1.n的取值范围把控：列写等式时仅能到，若列到会多出项，导致无法消去；最终通项需满足，若时不满足化简后的表达式，需单独标注（极少出现，累加法通常自动适配）。 2.首项的确认：必须明确题目给出的首项是（而非或其他项），若给出的是（），需先通过递推式反向计算，再代入求和。 3.和式计算的准确性：牢记常见求和公式的适用条件（如等比数列求和需，若则和为，），避免公式混淆或计算错误。 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，求数列的通项． 【答案】． 【分析】由递推关系式，利用累加法即可求解. 【详解】由， 得， ， ， … ， ． 对这个式子求和得，而也满足该式， 所以． 【例题2】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知首项为1的正项数列满足． (1)求的通项公式； (2)令（），求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由累加法求数列通项公式即可； （2）由裂项相消法求和即可． 【详解】（1）令，，又由有， 则有 ， 所以． 又因为数列的各项均为正数，所以． （2）由 ， 知 ． 相似练习 【相似题1】（25-26高二上·江苏镇江·阶段练习）数列满足，且对任意的都有，则 ． 【答案】 【分析】根据已知得，应用累加法、等差数列前n项和求数列通项. 【详解】因为，所以， 当时，， 其中满足， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 【相似题2】（25-26高三上·黑龙江·开学考试）在数列中，，数列的前项和为，若，则数列的前项和为 . 【答案】 【分析】应用累加法及等差数列前n项和公式得，再应用裂项相消法求数列的前项和. 【详解】因为， 所以， 所以数列的前项和. 故答案为： 【题型3：累乘法求通项公式】 【解题策略】 一、适用场景 仅适用于递推式为（）的数列，且需满足“可约分”特征（如分式、幂函数等），同时（保证除法有意义）。 二、四步核心解题流程 1.列差值等式：从到，列个等式： 时，时，…，时。 2.叠乘消项：左右分别相乘： 左边：（中间项约分抵消）； 右边：（表示累加）。 得核心等式：。 3.计算右侧积：按类型约分/化简： 类型 求积方法 分式 交叉约分（如） 幂函数 指数运算（如） 4.整理通项：代入首项，得，化简后即为最终通项。 三、关键注意事项 1.：若题目未明确，需默认（否则无意义）； 2.列等式仅到：避免多出项，确保能消项； 3.约分准确：分式型需注意分子分母对应项抵消，避免漏项。 例题精选 【例题1】（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）已知数列 满足 ，则 的通项公式为 【答案】 【分析】通过递推公式得到相邻两项的比值关系，然后利用累乘法求出数列的通项公式. 【详解】已知，将换为，可得， 那么（）. 利用累乘法求（）， 由（）可得： 观察发现，约分后可得（）. 当时，，与已知相符. 所以，. 故答案为：，. 【例题2】（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知数列中，，则 . 【答案】 【分析】根据已知条件，利用累乘法求通项. 【详解】，， ，即， . 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（2022·黑龙江齐齐哈尔·一模）数列中，，当时，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据累乘法求通项公式即可. 【详解】因为，， 所以，，，…，， 累乘得，， 所以，， 由于，所以，， 显然当时，满足， 所以， 故答案为：. 【相似题2】（23-24高二下·海南海口·期中）已知数列的前项和为且满足，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】当时，，化简得，利用累乘法计算得到，满足上式，写成分段的形式即可. 【详解】当时，， 化简得，，利用累乘法得 ， 显然满足上式， 所以 故答案为： 【题型4：已知求】 【解题策略】 已知求：利用 适用场景：给出前项和与的关系式（如）。 关键提醒：必须验证时是否符合的通项，若符合则合并，否则分开写。 核心步骤： 1.当时，； 2.当时，（代入和化简）； 3.验证，确定最终通项。 示例：，则时；时。因，故： 。 例题精选 【例题1】（25-26高三上·广东广州·阶段练习）若，已知数列中，首项，，，则 . 【答案】 【分析】根据函数解析式得，应用作差法及已知得，则，最后利用对称性及倒序相加求和即可. 【详解】， ，即， ， 时，，两式相减得， 时，，故数列为常数列， 因为，故， 又时也符合上式，故， ， ． 记， 则， 两式相加得，，即，则． 故答案为： 【例题2】（25-26高二上·甘肃白银·阶段练习）已知数列的前n项和为，且，则 ． 【答案】 【分析】分当和结合依次求出和，再检验是否满足即可得解. 【详解】当时，， 当时，，此时不成立， 所以. 故答案为： 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·江苏淮安·阶段练习）记数列的前n和为，已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】由条件结合关系，可得，，再证明数列为首项为，公比为的等比数列，结合等比数列通项公式可得结论. 【详解】因为，， 又，， 所以，，即， 可得，又， 所以数列为首项为，公比为的等比数列， 有，所以， 则， 故答案为： 【相似题2】（2025·四川广安·模拟预测）已知数列满足，且数列的前项和为，则 . 【答案】 【分析】应用得出，再应用裂项相消法计算求解. 【详解】若，则； 若，则. 所以，，即. 又也满足，所以. 由于， 所以. 故答案为：. 【题型5：构造法】 【解题策略】 一、适用场景（核心递推类型） 仅针对线性非齐次递推式：（为常数，且） （若，递推式变为，需用累加法，而非此构造法） 二、三步核心流程（构造等比数列） 第一步：设构造式（目标：转化为等比数列） 设（为待定常数），将递推式转化为新数列的等比关系，其中。 第二步：求待定常数（关键：对比系数） 1.展开构造式：→ 2.与原递推式对比，得等式： 3.解出： 第三步：求新数列→反推原通项 1.确定新数列： 首项：（为题目已知首项） 公比：（与原递推式中的系数一致） 通项：（等比数列通项公式） 2.反推原数列通项： 由，得 3.代入化简，得到最终。 三、易错点（避坑关键） 1.不适用：若，的分母为0，构造式无效，此时递推式为等差数列型，用累加法； 2.新数列首项计算：必须是，而非； 3.化简验证：得到后，可代入原递推式验证（如代入求，与递推结果对比），确保正确。 例题精选 【例题1】（24-25高二下·四川成都·期末）已知数列的前n项和为，若，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用前n项和与第n项的关系，结合构造法求解. 【详解】数列中，，则，解得， ，即，于是， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，， 所以（）. 故答案为： 【例题2】（2025·山东泰安·模拟预测）数列满足， 且，的前项和为，则满足不等式的的最大值是 . 【答案】5 【分析】构造等比数列计算得出通项公式，再应用等比数列求和公式计算求出参数的最大值. 【详解】，，且， 是以为首项, 为公比的等比数列.   ,  . , ，即， , , 的最大值是. 故答案为：5. 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·湖北·期中）数列中，，，则通项 ． 【答案】 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出通项公式. 【详解】数列中，由，得，而， 因此数列是首项为，公比为3的等比数列，则， 所以. 故答案为： 【相似题2】（24-25高三上·广东广州·期末）已知数列满足，，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】由得，构造等比数列即可求解. 【详解】由，，，可得， 所以是以3为首项、3为公比的等比数列，所以， 则，； 故答案为：. 【题型6：取倒数型】 【解题策略】 一、适用场景（唯一判断标准） 仅适用于分式线性递推式：（为非零常数，且，否则无法取倒数） 二、三步核心解题流程（无冗余步骤） 第一步：对递推式取倒数，转化为线性递推 两边同时取倒数（因，操作合法）： 整理为新的线性递推关系： 第二步：设新数列，将问题转化为已知类型 令（新数列定义），则原递推式变为： （其中，，均为常数） 此时，的递推式属于“线性非齐次型”，可通过以下方法求解： 若：是等差数列（公差为），用等差数列通项公式求； 若：用“构造等比数列法”求（设，解出后构造等比数列）。 第三步：求原数列通项（回代取倒数） 1.先求出新数列的通项公式； 2.因，两边取倒数得原数列通项： 三、两大易错点（必避坑） 1.原数列非零验证：若题目未明确，需先证明（通常由首项和递推式可推出所有）； 2.新数列首项计算：（必须用原数列首项计算，不可错用等）。 例题精选 【例题1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，若，且，则 ． 【答案】 【分析】构造数列，证明该数列是等比数列，再根据等比数列的通项公式求的通项公式. 【详解】由， 即，因为， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 即，所以． 故答案为： 【例题2】（23-24高二下·河南·期中）数列中，若，，则 ． 【答案】19 【分析】取倒数可得，即可得数列的通项公式，计算即可得. 【详解】∵，则， ∴，∴故数列为等差数列，公差等于2， 又，故， ∴. 故答案为：19． 相似练习 【相似题1】（23-24高二下·全国·单元测试）已知数列满足，，，则 . 【答案】 【分析】将变形可得数列为等差数列，再借助等差数列求解即得. 【详解】数列中，，，显然，取倒数得， 即，则数列是首项为1，公差为4的等差数列， 因此，所以. 故答案为：. 【相似题2】（2024·江苏南京·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出通项即得. 【详解】数列中，，，显然， 则有，即，而， 因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，即． 故答案为： 【题型7：奇偶数列】 例题精选 【例题1】（25-26高三上·浙江温州·开学考试）在已知数列中， (1)求数列的通项公式. (2)数列中是否存在不同的三项恰好成等差数列？若存在，求出的关系；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）由题意中的递推公式可得、，结合等比数列的定义即可求解；（2）设中存在不同的三项恰好成等差数列，分类讨论均为奇数、二奇一偶、一奇二偶、均为偶数的情况下，结合等差中项的应用即可下结论. 【详解】（1）由题意得，， 所以成等比数列，故； ，而， 所以成等比数列，故，故； （2）设中存在不同的三项恰好成等差数列， ①若均为奇数，不妨设，则，即， 得，因为是奇数，是偶数，故不可能成立； ②若二奇一偶，不妨设为奇数，为偶数， 则为偶数，为奇数，则，即， 因为被3除余2，同理也被3除余2， 故被3除余1，而为3的倍数，故不可能成立； ③若一奇二偶，不妨设为偶数，为奇数，则为奇数，为偶数， 则，即， 因为为3的倍数，不是3的倍数（被3除余1），故不可能成立； ④若均为偶数，不妨设，则，即， 得，因为被3除余是3的倍数，故不可能成立， 综上中不存在不同的三项恰好成等差数列. 【例题2】（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，，是否存在实数，使数列是等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在， 【分析】先假设为等比数列，可得为常数，即可确定的值. 【详解】设， 因为． 若数列是等比数列，则必须有（常数）， 即，即. 此时， 所以存在实数，使数列是等比数列． 相似练习 【相似题1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知数列满足．记（）． (1)计算，并证明数列为等比数列； (2)设，且数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)，，证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据题设递推关系求，并得到，结合等比数列的定义即可证； （2）由（1）得，则，进而可得即可证. 【详解】（1）由题设， ， ，且， 数列是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）知，则， ． . 【相似题2】（2025·福建莆田·模拟预测）已知数列满足， (1)记，求，，并证明数列是等比数列； (2)记，求满足的所有正整数的值. 【答案】(1)，，证明见解析 (2)1，2，3，4. 【分析】（1）利用递推关系来证明等比数列即可； （2）利用通项公式可求等比数列前项和，然后通过赋值结合单调性可作出判断. 【详解】（1）由题意，，，， 所以，， 又因为， 所以数列是首项为5，公比为2的等比数列； （2）由（1）知，所以， 所以， 因为单调递增， 且， 所以正整数的所有取值为1，2，3，4. 【题型8：通项公式的综合】 例题精选 【例题1】【多选】（24-25高二下·四川凉山·期末）已知数列的前项和为，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据数列递推公式，前项和与通项公式之间的关系，求出数列通项公式，进而求出前项和公式，逐一判断各选项正误； 【详解】已知，则，所以A错误； 由，可得， 可得，即， 当时，，即数列自第二项开始是以1为首项，2为公比的等比数列，即，所以B错误； ，所以C正确， 当时，，符合条件， 当时，，所以D正确； 故选：CD. 【例题2】【多选】（24-25高二下·江西新余·期末）已知等比数列的前n项和为满足，数列满足，则下列说法正确的是（   ） A． B．设，则的最小值为12 C．若对任意的恒成立，则 D．设，若数列的前n项和为，则 【答案】ACD 【分析】对于A：先求，结合等比数列性质分析求解；对于B：由，利用基本不等式判断；对于C：由对恒成立求解判断；对于D：由，利用裂项相消法求解判断. 【详解】对于选项A：因为， 所以当时，，当时，， 因为为等比数列，所以，即，解得， 此时符合，则，，即为等比数列，故A正确； 对于选项B：因为，， 所以，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以不能取到，故B错误； 对于选项C：因为， 所以当时，，当时，，则， 因为符合上式，所以， 若对任意的恒成立，则对恒成立， 令，则， 当时，，当时，，当时，， 所以，则，故C正确； 对于选项D：由题意得，， 所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 相似练习 【相似题1】【多选】（2025·江西·三模）已知数列的前项和为，数列的前项积为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据递推关系即可判断A选项；再利用迭代法可求数列的通项公式判断B选项；利用分组求和判断C选项；利用等差数列求和公式判断D选项. 【详解】因为，所以，解得，故A错误；当时， ， 则，且也符合，故B正确； ，故C正确； ，则，故D正确. 故选：BCD 【相似题2】【多选】（2025·宁夏石嘴山·三模）已知数列满足的前项和为，则（    ） A． B． C．构成等差数列 D．数列前100项和为 【答案】ABD 【分析】根据给定的递推公式求出通项公式判断AB；求出前项和并结合等差数列定义判断C；利用裂项相消法求和判断D. 【详解】数列中，， 对于A，，A正确； 对于B，，则， 解得，当时，，而满足上式，因此， 所以，B正确； 对于C，，， ，C错误； 对于D，，则，D正确. 故选：ABD 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年高三数学一轮复习题型归纳 【第38讲：数列的通项公式】 总览 题型梳理 【知识梳理】 一、核心概念：通项公式与递推公式 1.通项公式：直接关联“项的位置”与“项的数值”的表达式，记为（如）。 2.递推公式：通过“前一项（或前几项）”表示“后一项”的关系式，记为（如）。 3.核心目标：将递推公式转化为通项公式，实现“已知求”的直接计算。 二、高频求法：按递推类型分类（附适用场景+步骤+示例） （一）等差/等比数列直接公式法（基础型） 适用场景：已知数列是等差或等比数列，且给出首项、公差（或公比）。 核心公式： 数列类型 通项公式 关键条件 等差数列 （常数） 等比数列 （，常数） 示例：若，（等差，），则。 （二）累加法（叠加法）：适用于 适用场景：递推式为“后项-前项=关于的可求和函数”（如、）。 核心步骤： 1.列个等式： ，，，； 2.左右叠加消去中间项： （表示求和）； 3.代入并计算求和，整理得。 示例：，，则： 。 （三）累乘法（叠乘法）：适用于 适用场景：递推式为“后项÷前项=关于的可约分函数”（如、）。 核心步骤： 1.列个等式： ，，，； 2.左右叠乘消去中间项： （表示求积）； 3.代入并计算求积，整理得。 示例：，，则： 。 （四）构造法：适用于（为常数，） 适用场景：线性非齐次递推（后项=前项×常数+常数）。 核心思路：构造新等比数列，令（为待定常数），将递推式转化为等比数列。 核心步骤： 1.设，展开得； 2.与原递推式对比，得； 3.新数列：，首项，公比，故； 4.代入，解出。 示例：，，则，，，，故。 （五）已知求：利用 适用场景：给出前项和与的关系式（如）。 关键提醒：必须验证时是否符合的通项，若符合则合并，否则分开写。 核心步骤： 1.当时，； 2.当时，（代入和化简）； 3.验证，确定最终通项。 示例：，则时；时。因，故： 。 （六）倒数法：适用于（为常数） 适用场景：分式线性递推（分子、分母均含和常数）。 核心思路：对递推式取倒数，转化为等差数列或构造法可解的形式。 核心步骤： 1.两边取倒数：； 2.设，则递推式变为（转化为“构造法”类型）； 3.求的通项，再取倒数得。 示例：，，取倒数得，即是首项、公差的等差数列，，故。 三、常用结论（直接套用，节省时间） 结论类别 具体结论 等差数列性质 1.若（），则； 2.前项和。 等比数列性质 1.若（），则； 2.前项和。 常见数列通项 1.奇数数列：→； 2.偶数数列：→； 3.平方数列：→； 4.递推→。 累加常用和公式 1.； 2.； 3.。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：已知等差等比数列求通项公式】 【解题策略】 一、解题核心逻辑：先定类型，再找参数，最后套公式 已知等差或等比数列求通项，关键是明确数列类型→确定核心参数（首项、公差/公比）→代入对应通项公式，核心是“参数不全时，通过已知条件列方程求解参数”。 二、等差数列求通项的详细思路（核心公式：） 1.第一步：判断是否为等差数列（前提） 题目可能直接告知“数列是等差数列”，或间接给出递推关系/条件，需先验证： 递推式验证：若（为常数，对任意成立），则为等差数列； 特殊项验证：若（任意），则为等差数列（中项性质）。 2.第二步：提取/求解核心参数（：首项，：公差） 根据题目给出的条件，分3类场景求解参数： 已知条件类型 解题方法 示例 直接给和 直接代入公式 已知，，则 给和某一项 代入公式列方程：，解出，再写通项 已知，，则，故 给两项和（） 列方程组：，消去求，再求 已知，，则，解得，，故 给前项和 先求，再用（），验证后确定通项（需满足等差数列性质） 已知，则；时，验证为等差数列，故 3.第三步：代入公式，整理通项 参数和确定后，直接代入，化简为最简形式（如一次函数，其中，）。 三、等比数列求通项的详细思路（核心公式：，） 1.第一步：判断是否为等比数列（前提，注意易错点） 递推式验证：若（为非零常数，对任意成立，且），则为等比数列； 特殊项验证：若（任意，且），则为等比数列（中项性质）； 易错点：等比数列中不能有0项，公比，若题目给“”，需补充“且”才是等比数列。 2.第二步：提取/求解核心参数（：首项，：公比） 类似等差数列，分4类场景求解参数： 已知条件类型 解题方法 示例 直接给和 直接代入公式 已知，，则 给和某一项 代入公式列方程：，解出（注意的符号，若为偶数，可能有正负） 已知，，则，故 给两项和（） 列方程组：，两式相除消去求（），再求 已知，，则，代入，故 给前项和 先求，再用（），验证后确定通项（需满足等比数列性质，注意时） 已知，则；时，验证为等比数列，故 3.第三步：代入公式，整理通项 参数和确定后，代入，若，则通项为常数列（特殊情况，需单独标注）。 四、关键易错点与避坑指南 1.等比数列的“零项禁忌”：若题目中出现，则一定不是等比数列； 2.等比数列公比的“符号判断”：若已知和异号，则为负；若同号，为正（当为奇数时，的符号与一致；当为偶数时，可正可负，需结合题目其他条件判断）； 3.等差数列的“公差为0”：当时，数列为常数列，通项，仍属于等差数列； 4.前项和求通项的“验证”：无论等差还是等比，用求时，必须验证时是否符合的表达式，避免漏写分段通项。 例题精选 【例题1】（25-26高二上·江苏镇江·阶段练习）（1）设是等差数列的前n项和，，，求数列的通项公式； （2）设等比数列的前n项和为.若公比，，，求n. 【例题2】（25-26高二上·浙江绍兴·阶段练习）已知等差数列中，，等比数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前n项的和. 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·天津滨海新·阶段练习）已知是公差不为零的等差数列，其前项和为，是等比数列，且，，，. (1)求数列，的通项公式； (2)记，求数列的前项和； (3)表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和. 【相似题2】（2025·广东·模拟预测）已知等差数列与等比数列满足，，． (1)求，的通项公式； (2)记，为数列的前项和． （ⅰ）求； （ⅱ）若当时，以，，为三边无法构成一个三角形，求的最大值． 【题型2：累加法求通项公式】 【解题策略】 一、累加法的适用场景（核心判断标准） 仅适用于递推关系为“后项-前项=关于n的函数”的数列，即递推式满足： （） 其中，需满足“可求和”特征——常见类型包括：一次函数（如）、等比数列（如，）、分式可拆项（如）、幂函数（如）等。 二、累加法的四步核心解题流程（无例题纯操作） 第一步：列写“差值等式”（关键：覆盖所有中间项） 根据递推式，从开始，依次列写至的等式，共得到个等式： 当时： 当时： 当时： 当时： （列写至的目的：确保左边相邻项能抵消，仅保留首尾项） 第二步：左右“叠加消项”（核心操作：消去中间项） 将第一步列写的个等式，左右两边分别进行相加： 左边相加： 相邻项相互抵消（与、与…与），最终简化为： 右边相加： 用求和符号简化表示为：（“”表示从到的累加） 叠加后得到核心等式： 第三步：计算“右侧和式”（关键：匹配求和方法） 根据的具体类型，选择对应的求和公式或方法，计算的值，常见适配关系如下： 的类型 对应的求和方法/公式 等差数列型（如） 等差数列求和公式：（此处） 等比数列型（如，） 等比数列求和公式：（此处） 分式可拆项型（如） 裂项相消法：，叠加后消去中间项求和 幂函数型（如） 平方和公式：（此处） （若为混合型，如，则拆分求和：） 第四步：整理“得到通项”（最终步骤：代入首项） 将第一步中已知的首项（题目通常直接给出或可通过时的条件求得）代入“叠加后核心等式”，解出： 将第三步计算出的的结果代入，化简后得到最终的通项公式（为关于的表达式）。 三、累加法的关键注意事项（避坑指南） 1.n的取值范围把控：列写等式时仅能到，若列到会多出项，导致无法消去；最终通项需满足，若时不满足化简后的表达式，需单独标注（极少出现，累加法通常自动适配）。 2.首项的确认：必须明确题目给出的首项是（而非或其他项），若给出的是（），需先通过递推式反向计算，再代入求和。 3.和式计算的准确性：牢记常见求和公式的适用条件（如等比数列求和需，若则和为，），避免公式混淆或计算错误。 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，求数列的通项． 【例题2】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知首项为1的正项数列满足． (1)求的通项公式； (2)令（），求数列的前项和． 相似练习 【相似题1】（25-26高二上·江苏镇江·阶段练习）数列满足，且对任意的都有，则 ． 【相似题2】（25-26高三上·黑龙江·开学考试）在数列中，，数列的前项和为，若，则数列的前项和为 . 【题型3：累乘法求通项公式】 【解题策略】 一、适用场景 仅适用于递推式为（）的数列，且需满足“可约分”特征（如分式、幂函数等），同时（保证除法有意义）。 二、四步核心解题流程 1.列差值等式：从到，列个等式： 时，时，…，时。 2.叠乘消项：左右分别相乘： 左边：（中间项约分抵消）； 右边：（表示累加）。 得核心等式：。 3.计算右侧积：按类型约分/化简： 类型 求积方法 分式 交叉约分（如） 幂函数 指数运算（如） 4.整理通项：代入首项，得，化简后即为最终通项。 三、关键注意事项 1.：若题目未明确，需默认（否则无意义）； 2.列等式仅到：避免多出项，确保能消项； 3.约分准确：分式型需注意分子分母对应项抵消，避免漏项。 例题精选 【例题1】（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）已知数列 满足 ，则 的通项公式为 【例题2】（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知数列中，，则 . 相似练习 【相似题1】（2022·黑龙江齐齐哈尔·一模）数列中，，当时，，则数列的通项公式为 . 【相似题2】（23-24高二下·海南海口·期中）已知数列的前项和为且满足，则数列的通项公式为 ． 【题型4：已知求】 【解题策略】 已知求：利用 适用场景：给出前项和与的关系式（如）。 关键提醒：必须验证时是否符合的通项，若符合则合并，否则分开写。 核心步骤： 1.当时，； 2.当时，（代入和化简）； 3.验证，确定最终通项。 示例：，则时；时。因，故： 。 例题精选 【例题1】（25-26高三上·广东广州·阶段练习）若，已知数列中，首项，，，则 . 【例题2】（25-26高二上·甘肃白银·阶段练习）已知数列的前n项和为，且，则 ． 相似练习 【相似题1】（25-26高三上·江苏淮安·阶段练习）记数列的前n和为，已知，，则的值为 ． 【相似题2】（2025·四川广安·模拟预测）已知数列满足，且数列的前项和为，则 . 【题型5：构造法】 【解题策略】 一、适用场景（核心递推类型） 仅针对线性非齐次递推式：（为常数，且） （若，递推式变为，需用累加法，而非此构造法） 二、三步核心流程（构造等比数列） 第一步：设构造式（目标：转化为等比数列） 设（为待定常数），将递推式转化为新数列的等比关系，其中。 第二步：求待定常数（关键：对比系数） 1.展开构造式：→ 2.与原递推式对比，得等式： 3.解出： 第三步：求新数列→反推原通项 1.确定新数列： 首项：（为题目已知首项） 公比：（与原递推式中的系数一致） 通项：（等比数列通项公式） 2.反推原数列通项： 由，得 3.代入化简，得到最终。 三、易错点（避坑关键） 1.不适用：若，的分母为0，构造式无效，此时递推式为等差数列型，用累加法； 2.新数列首项计算：必须是，而非； 3.化简验证：得到后，可代入原递推式验证（如代入求，与递推结果对比），确保正确。 例题精选 【例题1】（24-25高二下·四川成都·期末）已知数列的前n项和为，若，则 ． 【例题2】（2025·山东泰安·模拟预测）数列满足， 且，的前项和为，则满足不等式的的最大值是 . 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·湖北·期中）数列中，，，则通项 ． 【相似题2】（24-25高三上·广东广州·期末）已知数列满足，，，则数列的通项公式为 ． 【题型6：取倒数型】 【解题策略】 一、适用场景（唯一判断标准） 仅适用于分式线性递推式：（为非零常数，且，否则无法取倒数） 二、三步核心解题流程（无冗余步骤） 第一步：对递推式取倒数，转化为线性递推 两边同时取倒数（因，操作合法）： 整理为新的线性递推关系： 第二步：设新数列，将问题转化为已知类型 令（新数列定义），则原递推式变为： （其中，，均为常数） 此时，的递推式属于“线性非齐次型”，可通过以下方法求解： 若：是等差数列（公差为），用等差数列通项公式求； 若：用“构造等比数列法”求（设，解出后构造等比数列）。 第三步：求原数列通项（回代取倒数） 1.先求出新数列的通项公式； 2.因，两边取倒数得原数列通项： 三、两大易错点（必避坑） 1.原数列非零验证：若题目未明确，需先证明（通常由首项和递推式可推出所有）； 2.新数列首项计算：（必须用原数列首项计算，不可错用等）。 例题精选 【例题1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，若，且，则 ． 【例题2】（23-24高二下·河南·期中）数列中，若，，则 ． 相似练习 【相似题1】（23-24高二下·全国·单元测试）已知数列满足，，，则 . 【相似题2】（2024·江苏南京·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为 ． 【题型7：奇偶数列】 例题精选 【例题1】（25-26高三上·浙江温州·开学考试）在已知数列中， (1)求数列的通项公式. (2)数列中是否存在不同的三项恰好成等差数列？若存在，求出的关系；若不存在，请说明理由. 【例题2】（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，，是否存在实数，使数列是等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 相似练习 【相似题1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知数列满足．记（）． (1)计算，并证明数列为等比数列； (2)设，且数列的前项和为，求证：． 【相似题2】（2025·福建莆田·模拟预测）已知数列满足， (1)记，求，，并证明数列是等比数列； (2)记，求满足的所有正整数的值. 【题型8：通项公式的综合】 例题精选 【例题1】【多选】（24-25高二下·四川凉山·期末）已知数列的前项和为，，且，则（   ） A． B． C． D． 【例题2】【多选】（24-25高二下·江西新余·期末）已知等比数列的前n项和为满足，数列满足，则下列说法正确的是（   ） A． B．设，则的最小值为12 C．若对任意的恒成立，则 D．设，若数列的前n项和为，则 相似练习 【相似题1】【多选】（2025·江西·三模）已知数列的前项和为，数列的前项积为，，则（    ） A． B． C． D． 【相似题2】【多选】（2025·宁夏石嘴山·三模）已知数列满足的前项和为，则（    ） A． B． C．构成等差数列 D．数列前100项和为 1 学科网（北京）股份有限公司 $