解答题题型归纳02：数列【14个题型归纳】讲义-2026届高三数学一轮复习

2026年高三数学一轮复习题型归纳 【解答题题型归纳02：数列】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·通项公式】 【题型1：基本量求通项公式】 【练方法】 解题方法 1.识别数列类型：等差或等比 2.列出基本量：等差列，等比列 3.代入通项公式：等差，等比 4.若已知多项，列方程组求或，再写通项 （25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知数列的前项和为，且满足，数列是单调递增的等差数列，，且，，成等比数列.经典例题1例题 (1)求数列和数列的通项公式； (2)记，求的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）对于可用迭代法，消去，结合构造法求解通项，对于可设出其公差，列方程求解； （2）对于奇数项部分由错位相减法处理，偶数项部分由公式法求和，可先求为偶数时的表达式，然后进而求出为奇数时的结果. 【详解】（1）当时，，解得， 当时，①，②， ①-②得：， 又，，， ∴数列是首项为8、公比为4的等比数列，， 设等差数列的公差为， ，且，，成等比数列， ， 即，解得 （2）   当为偶数时， 当为奇数时， （25-26高二上·天津南开·期末）已知数列为等差数列，，，数列的前项和为，且满足．小试牛刀1 (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和为． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，列出方程即可求出的通项公式，利用即可求出的通项公式； （2）利用错位相减求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则 解得，，所以． 由已知，① 当时，，得， 当，时，，② ①-②得，，即，又， 所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列． 所以． （2）数列． 则 所以 故 所以． （25-26高二上·江苏淮安·期末）已知等差数列前项和为．数列前项和为，．小试牛刀2 (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若数列的前项和为，且，求的最小值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）设等差数列的公差为，求出，利用等差数列通项公式即可求得，利用求出； （2）令，利用错位相减法即可求解； （3）令，得，进而利用等差数列前项和公式求得，又计算，即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 所以，解得， 所以， 所以， 由，当时，，解得， 当时，由有， 所以，即， 所以数列是以为公比，2为首项的等比数列， 所以， 所以； （2）令，设数列的前项和为， 所以 ①， ②， 由①②有： ， 所以， 所以数列的前项和为； （3）令， 所以， 所以， 所以 ， 又， 因为， 所以的最小值为. 【题型2：由Sn与an的关系求通项公式】 【练方法】 解题方法 1.当时， 2.当时， 3.验证时是否满足的表达式，若不满足则写成分段形式 （25-26高三上·福建福州·月考）已知数列满足经典例题1例题 (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求使的最小的正整数n的值. 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）利用两式相减法计算即可求得； （2）由错位相减法计算即可求得，再解不等式即可. 【详解】（1）由，可得， 当时，有， 两式作差得，所以时，， 时，符合上式， 所以数列的通项公式为. （2）， 所以， ， 两式相减得 ， 所以，随着正整数的增大而增大， 由，得， 时，， 时，， 所以使的最小的正整数n的值为8. 【多选题】（25-26高二上·宁夏吴忠·期末）已知数列满足 ，设数列的前项和为，则（    ）小试牛刀1 A． B． C．数列是等比数列 D． 【答案】ABD 【分析】根据前n项和与通项公式之间的关系求，，即可判断BD；根据等比中项判断C；利用等差数列求和公式求，即可判断A. 【详解】因为， 当时，则，故B正确； 当时，则， 两式相减可得，则； 且符合上式，所以，故D正确； 因为，，，则， 所以数列不是等比数列，故C错误； 又因为，可知数列是等差数列， 所以，故A正确. 故选：ABD. （25-26高三上·山东青岛·期末）已知数列的前项和为，，且满足.小试牛刀2 (1)求数列的通项公式； (2)设，，若，求满足条件的最大整数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据的关系式可证明数列为等比数列，可求得通项公式； （2）利用等比数列前项公式求得，解不等式可得满足条件的最大整数. 【详解】（1）由题意知， 当时，，可得， 即，当时，可得，满足； 所以数列是以为首项，公比的等比数列， 即数列的通项公式为. （2）由（1）可得， 则， 若，则， 易知随着的增大而增大， 当时，， 当时，， 所以满足条件的最大整数为. 【题型3：构造法求通项公式】 【练方法】 解题方法 1.观察递推式结构，如，构造，解出 2.转化为等比数列，求其通项，再还原 3.其他结构如，两边除以，构造新数列 （2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则数列的通项公式为 .经典例题1例题 【答案】 【分析】根据数列的递推式构造等比数列，求出其通项，进而求得的通项公式. 【详解】由两边同除以，可得， 令，则， 设，对照上式可得， 即得，因， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 故， 即，故. 故答案为：. （25-26高二上·陕西榆林·期末）已知首项为2的数列满足.小试牛刀1 (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）构造等比数列，求出其通项公式，进而求得数列的通项公式； （2）求出数列的通项公式，由裂项相消求和法求数列的前项和，并由的性质及不等式的性质证明. 【详解】（1）因为，所以. 由，得. 所以数列是首项为4，公比为2的等比数列. 所以， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，所以， 所以. 所以. 随着的增大而增大，所以当时，取得最小值，最小值为. 因为，所以. 综上，. （25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知数列满足，且，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题中所给的递推关系，可得数列是以为首项，以为公比的等比数列，从而可求得其通项公式，代入，解方程即可. 【详解】由题意知，，所以，即， 又，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以， 所以，解得. 故选：C 【题型4：奇偶数列求通项公式】 【练方法】 解题方法 1.分别写出奇数项、偶数项的递推关系 2.奇数项：，偶数项：，各自按等差/等比或构造法求通项 3.最后写成分段形式： （25-26高二上·新疆和田·期末）已知数列满足，，.经典例题1例题 (1)求证：为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若数列的前项和为，求. 【答案】(1)证明见详解； (2)； (3). 【分析】（1）根据的递推公式求出的递推公式，然后利用构造法可证； （2）利用（1）中结论，结合等比数列通项公式即可求解； （3）利用（2）中结论，结合已知分为奇数和偶数求出数列的通项公式，然后分组求和即可. 【详解】（1）当时，因为为奇数，为偶数， 所以，所以， 又，， 所以是以3为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）可得，所以. （3）由（2）可得，又， 所以， 所以 （2026高二上·浙江温州·专题练习）数列的前n项和，数列满足，，.小试牛刀1 (1)求数列的通项公式； (2)若，， （ⅰ）求证：数列是等比数列； （ⅱ）若数列的前n项和为，求证：. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析. 【分析】（1）根据与的关系求解可得； （2）（ⅰ）分为奇数和偶数，利用递推关系证明即可；（ⅱ）利用错位相减法求和即可得证. 【详解】（1）当时，， 当时，也符合上式， 所以. （2）（ⅰ）当n为奇数时，；此时为偶数，由， 得. 当n为偶数时，；此时为奇数，由， 得. 因此，对任意，有. 因为，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列. （ⅱ）由（ⅰ）得，， ① ①得② 由①-②得 ， 所以， 因为，所以， 因为 ，， 所以，，即关于n是递增的，因此， 综上，. （24-25高二下·云南玉溪·期中）大衍数列来源于《乾坤谱》中对“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理.已知大衍数列满足，，数列满足，则 ，数列的前项和与数列的前 项和相等.小试牛刀2 【答案】 【分析】分别由和的关系式可推导得到，利用累加法可求得为奇数时的通项公式，进而得到，结合等差数列前项和公式可构造方程求得结果. 【详解】当时， ①； 当时， ②； 由①②得：， ，，，， 累加得：； 令，则当且为奇数时，； 当时，满足；当为奇数时，； 此时，当为偶数时，； ，，， 的前项和为； 的前项和为 ， 令，解得：（舍）或，. 故答案为：；. 【题型5：累加法求通项公式】 【练方法】 解题方法 1.递推式形如（） 2.写出从2到的递推式：，，…， 3.累加：，则 （2026·安徽淮北·一模）已知数列满足．经典例题1例题 (1)设，求证：数列为等比数列； (2)求的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用等比数列的定义证明. （2）利用等比数列的通项公式和累加法求解. 【详解】（1）由得：， 即，故为等比数列； （2），由（1）得．即， 于是 ． （25-26高二上·河北邢台·期末）在数列中，，．小试牛刀1 (1)求； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用累加法计算可得； （2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以，，，， ， 所以， 又， 所以， 当时也成立， 所以． （2）因为， 所以 ． （25-26高二上·山东淄博·月考）已知数列满足，若，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据递推式，利用累加法表示出，结合等比数列前项和公式求得结果，进而求出，即可得到答案. 【详解】由题知，，且，， 所以， 累加可得， 所以， 所以，当时同样满足， 所以. 故选：C 【题型6：累乘法求通项公式】 【练方法】 解题方法 1.递推式形如（） 2.写出从2到的递推式：，，…， 3.累乘：，则 （2025高三上·江西南昌·专题练习）已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由累积法可得，根据与的关系计算即可求解. 【详解】因为，则， 所以， 当时，， 当时，满足， 所以数列的通项公式为. 故选：C （25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知数列满足，当时，，则 ．小试牛刀1 【答案】/ 【分析】根据累乘法得，再结合裂项求和法求解即可. 【详解】在数列中，，因为当时，， 即，所以，，，…，， 上述等式两边分别相乘， 得， 所以，又也满足， 所以 所以， 所以 故答案为： （24-25高二上·江苏连云港·期末）已知数列中，，则 .小试牛刀2 【答案】 【分析】根据已知条件，利用累乘法求通项. 【详解】，， ，即， . 故答案为：. 【B·数列求和】 【题型1：倒序相加求和】 【练方法】 解题方法 1.适用于为常数的数列（如等差数列） 2.写出，再写出 3.两式相加，利用为常数，化简得，即 （25-26高二上·山西晋城·期末）已知函数的定义域为，其导函数满足，且，，则 .经典例题1例题 【答案】/ 【分析】由题意，则有，所以函数为常函数，则，设，结合，解得，即，倒序相加的关系式，即可求得的通项公式. 【详解】因为，即， 令，则， 所以函数为常函数，则，即（为常数）， 因为，令，得，所以， 即， 所以①， ②， 得： ， 即，所以， 故答案为：. （2025高三上·重庆永川·专题练习）已知函数且，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得（   ）小试牛刀1 A．1012.5 B．1013 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】先计算，利用倒序相加法即可求解. 【详解】由，所以， 令， ， 所以， 所以，即， 故选：C. （25-26高一上·重庆·月考）已知函数，（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定，通过倒序相加即可求解. 【详解】由，可得， 所以， 令， ， 所以， 即， 故选：A 【题型2：错位相减求和】 【练方法】 解题方法 1.适用于等差×等比型数列，如 2.写出，两边乘以公比得 3.两式相减，中间项构成等比数列，用等比求和公式化简，再解出 （2026·江苏镇江·模拟预测）已知等比数列的前项和为，，.经典例题1例题 (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. 【答案】(1)或 (2)55或 【分析】(1)设公比为，求出公比即可得解. (2)由(1)得到的通项公式，先写出，然后乘以公比得到，利用错位相减法，通过化简得到，最后将代入求出. 【详解】（1）设公比为，则由和可得， 即，解得或， 或 （2）①当时，，数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以， ②当时，， ①， 所以②， 由①-②得 ， （2026·河南南阳·模拟预测）记数列的前项和为，已知为常数列.小试牛刀1 (1)求的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由为常数列，得到，利用及已知即可得到证明，从而求得通项公式； （2）先求出通项，再利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由， 可得， 又为常数列， 所以， 即， 当时，， 所以，当时，，又， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列， 故； （2）因为，所以，， ， ， 所以 ， 所以 （24-25高二下·重庆渝中·月考）已知正项等差数列的前n项和为，若，且是和的等比中项.小试牛刀2 (1)求的通项公式； (2)记，其前n项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的性质求出，再利用通项公式求出公差即可； （2）利用错位相减法求出. 【详解】（1）设数列的公差为， ∵，∴， 又是和的等比中项， ∴，即，即， 解得或（舍去）， ∴． （2）， ∴①， ∴②， ①−②得， ， ∴． 【题型3：裂项相消求和】 【练方法】 （1）分式型裂项（核心：拆分分母的因式差） 一次分式（两项）： 例：，. 一次分式（三项）： 分式含常数项： （2）指数型裂项（核心：利用指数的倍数关系） 指数差型： 指数与常数结合： （常用于错位相减的辅助裂项）. （25-26高二上·河北石家庄·期末）已知等比数列的前n项和为，且满足经典例题1例题 (1)求数列的通项公式； (2)令求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分和两种情况讨论，求得首项与公比，即得数列的通项公式； （2）结合（1）求得数列的通项，利用裂项相消法和分组求和法即可求得. 【详解】（1）设等比数列的公比为q， ①当时，由题意得方程无解，不合题意； ②当时，由题意得， 由①②，可得， 解得，代入①，解得，则， 故数列的通项公式为 （2）因 . 则 . （25-26高三上·河北秦皇岛·期末）已知数列满足，，.小试牛刀1 (1)求数列的通项公式; (2)证明:对，. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先由递推公式结合题中条件，得到，判断出数列是等差数列，求出通项，即可得出结果； （2）先由（1），根据裂项的方法，得到对1，2，3…，进而可求出，即证明结论成立. 【详解】（1）由可得， ∵，∴，依此类推， ∴，∴， ∴数列是首项为，公差为1的等差数列， ∴，即， （2），故 对1，2，3… ， ∴ .， 因为， 所以 即 （25-26高三上·山东青岛·期末）已知为等差数列的前项和，，.小试牛刀2 (1)求； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的性质，结合等差数列前项和公式进行求解即可； （2）利用裂项相消法进行求解即可. 【详解】（1）因为数列是等差数列， 所以由， 所以公差为， 所以； （2）， 所以，因此 【题型4：并项/分组求和】 【练方法】 解题方法 1.并项：相邻两项结合，如为常数或等差/等比 2.分组：将数列拆分为两个或多个等差/等比数列，分别求和再相加 3.注意奇偶项的不同处理，必要时写成分段形式 （25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知为等差数列，，记分别为数列的前项和，．经典例题1例题 (1)求和； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意设等差数列的公差为，列出方程组，解得，得到数列的通项公式，结合等差数列的前项和公式即可求出， （2）由（1）知，得到，结合等差数列的前项和公式即可求出. 【详解】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是， 解得， 所以数列的通项公式是 . （2）由（1）知， ， . （25-26高三上·陕西西安·期末）设为数列的前项和，已知，且为等差数列.小试牛刀1 (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列定义求出，进而利用与之间关系可求得数列的通项公式； （2）采用分组求和法，分别对奇数项和偶数项求和，结合等比数列求和公式和裂项相消法可求得结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为， 所以，即， 所以，即， 当时，， 当时，，满足上式，所以. （2）由（1）知， 则 所以数列的前项和为. （25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知数列满足，，则的前20项和为（    ）小试牛刀2 A．299 B．300 C．301 D．302 【答案】B 【分析】利用等差数列的求和公式及分组求和的方法求解. 【详解】由题意知数列满足，，， 所以. 所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列； 同理，由，知， 数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列. 从而数列的前20项和为： . 故选：B. 【题型5：放缩与求和】 【练方法】 解题方法 1.对通项进行放缩，如（） 2.转化为可求和的数列（如裂项相消），求和后得到不等式 3.或用等比数列放缩，如，用等比求和公式估计和的范围 （25-26高三上·山东聊城·期末）设为正项数列的前项和，，当时，．经典例题1例题 (1)求的通项公式； (2)已知，记数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）找出，的关系，作差即可； （2）用裂项相消法得到的表达式即可. 【详解】（1）正项数列的前项和为，，当时，， 当时，，解得， 时，，解得， 由时，由，可得， 两式相减可得，化为， 由，可得（对也成立）， 所以数列是首项和公差均为1的等差数列，则； （2）∵，∴， ∴， 又， ∴， ∴， 故． （25-26高三上·广东珠海·月考）已知数列的前n项和为，且满足，，，数列的前n项和为，.小试牛刀1 (1)求数列的通项公式及数列的前n项和. (2)求数列的通项公式，并证明其前n项和 【答案】(1)， (2)，证明见解析 【分析】（1）根据题意得，由等差数列定义可得数列的通项公式，再由错位相减法求； （2）利用（1）可得，当时，，利用裂项相消法求和. 【详解】（1）根据题意，数列的前n项和为，且， 即，也就是， 所以数列为首项为1，公差为2的等差数列，则， 则， 所以， 可得， 两式相减得， 所以； （2）由（1）可得数列的前n项和， 则， 当时，， 所以数列的前n项和， 当时， ， 所以. （25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）设正项数列的前项和为，.小试牛刀2 (1)求的通项公式； (2)设，求的前项和： (3)设，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）应用关系及已知递推关系得，结合等差数列的定义写出通项公式； （2）根据错位相减法求和即可； （3），当时，放缩可得，据此求和即可得证. 【详解】（1）当时，由，得，，得， 又，，且，作差得， 所以，，则且， 故数列是公差为1的等差数列，故数列的通项公式为； （2）因为, 则    ①    ② ①②可得： . . （3）由（1）知，则， 当时，，结论也成立. 当时，因为，所以，故， 所以，当时， ， 因为，所以，即. 综上所述，. 【C·数列综合】 【题型1：数列与不等式恒成立问题】 【练方法】 解题方法 1.先求数列的通项或前项和 2.将不等式（或）转化为求（或）的最大值 3.利用单调性、放缩法或构造函数求最值，解不等式得到参数范围 （2025·天津·二模）已知等差数列和等比数列满足：，，，．经典例题1例题 (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)已知数列的前n项和，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的知识求得公差和公比，从而求得通项公式． （2）利用裂项相消法求得． （3）利用错位相减法求得，利用差比较法求得的取值范围． 【详解】（1）设等差数列的公差为d，已知， ，则． 则， 解得，所以 设等比数列的公比为q，，，又，所以． 因为， 解得（舍去，因为），所以． （2）由（1）知，， 则． ． （3）由（1）知，，则． ①， ②， ①-②得：，所以，则． 因为对任意正整数n，不等式恒成立， 即恒成立，等价于恒成立． 设，则． 当时，，即； 当时，，即， 所以的最大值为． 所以，即实数的取值范围是． （25-26高二上·河北石家庄·期末）已知数列中 ，且满足 ，数列的前 n项和为，且满足 小试牛刀1 (1)分别求数列和的通项公式； (2)求数列 的前n项和； (3)若不等式 对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意，得到，得出数列为等差数列，求得，再由时，利用，进而得到为等比数列，求得，即可求解. （2）由（1）得到，结合错位相减法求和，即可求解； （3）根据题意，转化为对任意n∈N*恒成立，设，根据，分n为偶数和为奇数，两种情况讨论，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）由，有，有. 则数列是公差为2的等差数列，， 所以数列的通项公式为. 取n=1，由，有，解得， 当时，，则，即， 因此数列是首项为4，公比为2的等比数列，，经检验，n=1时该式成立， 所以数列的通项公式为. （2）由. 记， 有. 两式作差，得， 有，则. 所以. （3）不等式化为，即， 设，有， 当n=1时，；当时，， 所以在时单调递减， 当n为奇数时，，则， 由，得，即，解得， 当n为偶数时，，则，即， 由，得，解得. 所以实数的取值范围为. （25-26高二上·江苏南通·期末）已知数列满足，，.小试牛刀2 (1)求证：数列是等差数列； (2)若数列满足，求数列的前2025项和； (3)设，数列的前项和为.若对一切恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）把递推式变形，证明为常数； （2）先求，再对裂项，用裂项相消求和； （3）对进行裂项相消求和得到，代入不等式化简得到，通过分析函数的单调性，求出其最大值，从而确定的取值范围. 【详解】（1）证明：由，又， 两边同除以得，即， 又，故. 所以是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）得，， 则， 前项和，. 当时,. （3）由（1）知， 因此， 数列的前项和为： 将代入不等式，得， 即， 因为，所以，两边同乘得： 令，分析其单调性： 故在上单调递减，因此. 要使对一切恒成立，只需，即. 所以，实数的取值范围为. 【题型2：数列的插项，并项】 【练方法】 解题方法 1.插项：在数列中插入新项，重新编号，按新数列的结构（等差/等比/递推）求通项或和 2.并项：将相邻两项合并为一项，形成新数列，再求其性质 3.明确新数列的首项、公差/公比或递推关系，按对应方法求解 （25-26高三上·浙江温州·期末）已知等差数列的前项和为，，，数列满足．经典例题1例题 (1)求数列、的通项公式； (2)将数列、的公共项从小到大排列组成新的数列，求的前项和． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得数列的通项公式；当时，由得出，两式作差可得在时的表达式，然后验证即可得数列的通项公式； （2）分为奇数、偶数两种情况讨论，利用二项式定理化简的表达式，可得出数列的通项公式，再利用分组求和法可求得的表达式. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，得，， 所以， 当时，由①， 得②，          ①②得，所以， 当时，，可得，也满足，所以. （2）因为， ， 当为偶数时，， 此时被除余，为数列中的项； 当为奇数时，， 此时被整除，不为数列中的项， 所以， . （25-26高二上·福建福州·期末）已知数列的前项和为，且小试牛刀1 (1)若数列不是等比数列，求； (2)若，在和中插入个数构成一个新数列，，插入的所有数依次构成首项为2，公差为2的等差数列，求的前30项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据式子特点，利用的关系式得出，再根据不是等比数列得出； （2）通过分析特征，确定最后3项为，再结合分组求和法即可求解. 【详解】（1）由， 得，则， 所以. ①当时，不是等比数列，符合题意； ②当时，， 所以，所以是首项为，公比为2的等比数列，与已知矛盾. 综上，由及可知，对任意成立， 故. （2）由（1）中推导可知，若，数列是首项为2，公比为2的等比数列， 故，， 可把新数列：，2，，4，6，，8，10，12，，…看作为第一组数，个数为2；看作第二组数，个数为3个，… 故第组数的个数为，前组数的个数和为， 即， 当时，， 故数列前30项为：，2，，4，6，，8，10，12， ， . （25-26高二上·浙江嘉兴·期末）已知数列满足，且．小试牛刀2 (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)在数列的任意相邻两项与（）之间，插入k个相同的数，组成一个新的数列，记数列的前n项和为，求． 【答案】(1)证明见解析， (2) (3) 【分析】（1）应用等差数列定义证明，再应用等差数列通项公式计算求解； （2）应用错位相减法计算求解； （3）应用等差数列计算求和再应用分组求和计算求解. 【详解】（1）由，则，又， 所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，则， 所以． （2）由， 则， 所以， 所以． （3）数列中在之前共有项，所以， 当时，，当时，，所以 ． 【题型3：数列中的新定义问题】 （24-25高二上·安徽黄山·期末）在信息论中，熵(entropy)是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵､平均自信息量.1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻. 对于正整数，定义的信息熵，（，）.经典例题1例题 (1)若，求； (2)若数列满足：，（）. ①求此时的信息熵； ②若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)1； (2)①；②. 【分析】（1）直接代入公式计算得解. （2）①根据给定条件，求出的表达式，再利用错位相减求和即可；②由①的结论及已知建立恒成立的不等式，分段求解即得范围. 【详解】（1）当时，由，，得， 所以. （2）①，， 则当时，，， 而， 于是， ，令， 则，两式相减得 ，因此， 所以. ②由①，知， 对任意的，不等式， 当时，恒成立，因此； 当时，，而当时，，当时，，因此； 当时，，， 数列单调递增，且恒有，因此， 所以实数的取值范围是. （2025·浙江·二模）若数列中某相邻三项成等差数列，则称该三项为“等差组”；若数列中某相邻三项成等比数列，则称该三项为“等比组”.现有一个12项的正项数列，其共有10组相邻三项，记第组相邻三项为.小试牛刀1 (1)若数列满足， ①为“等差组”，为“等比组”，求； ②为“等比组”，为“等差组”，求. (2)若数列满足，且为“等差组”或“等比组”，求满足条件的数列的个数； (3)若数列满足，且中恰有5组“等差组”和5组“等比组”，求的最大可能值. 【答案】(1)①；②； (2)； (3). 【分析】（1）根据等差中项和等比中项可求①②的； （2）先确定，再根据分类计数原理可求数列的个数； （3）先证明两个一般命题，再根据命题可求的最大可能值. 【详解】（1）①因为为“等差组”，故成等差数列，故，故， 而为“等比组”，故成等比数列，故，故. ②若为“等比组”，为“等差组”，则成等比数列，故， 且成等差数列，故. （2）因为为“等差组”或“等比组”，故有4种情形： 若为“等差组”，为“等差组”，则； 若为“等差组”，为“等比组”，则， 而为正项数列，故即， 故，而，故，故，； 若为“等比组”，为“等比组”，则，； 若为“等比组”，为“等差组”，则， 故，而，故，. 从而开始的相邻三项，要么为“等比组”，要么为“等差组”， 对于确定的、，此后等比组的公比、等差组的公差均确定， 故此时有个满足条件的数列， 故满足条件的数列的个数为. （3）先考虑一个一般命题： 若，若正项数列中中一个“等差组”，另一个为“等比组”，则先“等比组”再“等差组”得到的较大. 证明：若先“等差组”，再“等比组”，则， 若先“等比组”，再“等差组”，则，其中， 此时 ， 故先“等比组”再“等差组”得到的较大.. 再考虑另一个一般命题：若，若正项数列中的为“等差组”或“等比组”，则当增大时，也增大. 证明：若均为“等差组”或“等比组”， 由等差数列的性质和等比数列的性质可得当增大时，也增大. 若先“等差组”，再“等比组”，则， 由得， 故由双勾函数的性质可得增大时，也增大； 若先“等比组”，再“等差组”，则， 而，故增大时，也增大，故命题成立. 对于数列满足，， 而中恰有5组“等差组”和5组“等比组”， 要使得的最大，则前述两个命题可得需前5组为“等比组”， 后5组为“等差组”，此时个数分别为， 故的最大可能值为. （2025·广东佛山·二模）对于数列，若，使得，都有成立，则称为“三和定值数列”．已知为“三和定值数列”，且，，．小试牛刀2 (1)求，，； (2)已知为数列的前项和，求． 【答案】(1)，，； (2) 【分析】（1）由题意可得，依次代入，即可求解； （2）设，由题意可得，从而得，再根据数列的通项公式求出，即可得答案. 【详解】（1）解：因为，，， 所以， 所以，解得； 又，解得； 又，解得； 所以，，； （2）解：因为， 设，则有， 所以，则， 又因为， 所以， 即， 又， ， ， ， ， 所以， 所以， 所以 . 真题模拟精选检测 一、解答题 1．（2025·福建莆田·二模）记为等差数列的前项和．已知． (1)求的通项公式； (2)记集合，将中的元素从小到大依次排列，得到新数列，求的前20项和． 【答案】(1)； (2)487 【分析】（1）设出公差，利用等差数列通项公式和求和公式得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式； （2）列举法表示，得到的前20项，并分组求和，得到答案. 【详解】（1）设公差为， 由题意得， 解得， 故； （2）， ， 故的前20项为， 故的前20项和为 . 2．（2025·福建福州·模拟预测）已知正项数列满足． (1)若，求； (2)若，求的通项公式； (3)记为数列的前项和，若，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据递推公式以及附加条件求出，再结合递推公式即可求解. （2）令，可得，结合二倍角公式可引入新数列，，求得的值，并说明唯一即可求解. （3）将原不等式转换为，先证明，可构造函数，利用导数证明不等式，从而即可放缩，再证明，根据三角函数的有界性放缩即可得证. 【详解】（1）由题，，且，又，代入，解得， 所以，，，故． （2）令，则有，即，又，则， 此时不妨令，则，则有，即 讨论周期性对唯一性的影响：不妨令，则 当时，，不合题意，舍去； 当时，符合题意；此时， 同理，唯一，即唯一．即，故． （3）由若，且，则， 联立解得， 原不等式可转化为， 先证明： 由，，由（2）可推，则， 令函数，则， 令，则恒成立，所以在上单调递增， 又，所以在上有， 所以在上单调递增，又，则， 所以，则， 故 ， 又因为，所以， 证明： 由，则，当且仅当时取等， 所以，故， 所以． 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是对进行适当的放缩，由此即可顺利得解. 3．（2025·福建泉州·模拟预测）已知数列的前项和为，，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)设，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，中是否存在三项构成等差数列？若存在，求满足条件的三项；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据等差数列的定义证明即可； （2）首先求得，然后结合分组求和法以及错位相减法即可求解； （3）利用反证法，假设存在导出矛盾即可说明不存在. 【详解】（1）由已知， ， 所以数列为首项，公差的等差数列． （2）由（1），且时，， ，也符合，所以 所以， 所以， 因为， 所以， ，所以， 记数列的前项和为， 则， ， 所以， 所以. （3）不存在，显然数列为递增数列， 若存在正整数，使得成等差数列，不妨设， 则， 即， 因为，所以，显然不成立， 所以数列中不存在不同的三项构成等差数列． 4．（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，其中． (1)写出，，并求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义写出切线方程，求出关于数列的递推公式，判断数列的性质求其通项公式或利用累乘法求其通项公式. （2）利用错位相减法求数列的前项和，或构造数列，，根据利用裂项求和法求数列的前项和，再判断与4的大小. 【详解】（1）由已知， 则曲线在点处的切线方程为， 即． 令，得． 因为，代入上式，依次解得，． 因为，所以，得．所以． 解法一：故数列为等比数列，首项为1，公比为． 所以． 解法二：当时，． 当时，因为，所以上式亦成立. 所以． （2）解法一：． ， ， 两式相减可得： 所以． 因为，所以. 解法二：． 令，则． 所以 ． 因为，所以． 5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答. （2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答. 【详解】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）方法1：由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 方法2：由（1）知，，， 当为偶数时，， 当时，，因此， 当为奇数时， ，显然满足上式，因此当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 6．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． (1)若，求的通项公式； (2)若为等差数列，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可； （2）由为等差数列得出或，再由等差数列的性质可得，分类讨论即可得解. 【详解】（1），，解得， ， 又， ， 即，解得或（舍去）， . （2）为等差数列， ，即， ，即，解得或， ，， 又，由等差数列性质知，，即， ，即，解得或（舍去） 当时，，解得，与矛盾，无解； 当时，，解得. 综上，. 7．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据题目所给条件化简，即可证明结论； （2）先求出的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以，作差并利用等比数列前项和得出导函数表达式，即可得出结论. 【详解】（1）由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即， 在中， ， ∴， 当且时， ∴， ∴ ∴ . 8．（2024·福建泉州·模拟预测）已知数列满足递推式，且，数列满足， 且前项和，数列的通项公式为． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若数列满足：，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由构造等差数列法求得，进一步根据已知求得，从而由的关系即可求解； （2）利用二项式定理以及求导法则可得，从而，结合错位相减法即可求解； （3）化简表达式得，进一步有，通过放缩法结合时的情形即可得证. 【详解】（1）由题可知：，将化为， 可得，即， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，所以， 所以数列的通项公式为， 由题，，则， 两式相减可得，即， 整理得，所以； 又，所以 当为偶数时，可得： ①； 当为奇数时，可得： ②． 结合①②可得：， 则，且满足上式， 综上所述，； （2）令， 则， 故， 即， 故， 则， 所以当时， ， ， 所以； （3）由题，数列满足，即， 则， 所以， 两式相减得， ， 当时，，所以． 【点睛】关键点点睛：第二问的关键是得出的表达式，第三问的关键在于得出，由此即可顺利得解. 9．（2025·福建厦门·三模）已知数列的前项和为，，且. (1)证明：数列为等差数列； (2)设， （i）求数列的前项和； （ii）当时，设集合，集合中所有元素的和记为，求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据已知递推关系得，结合等差数列的定义即可证； （2）（i）由（1）得，利用关系求得，根据已知及组合数性质、二项式定理得，若数列的前项和为，再应用错位相减法、等比数列的前n项和公式求；（ii）根据已知得到，再由不等关系有，则，最后应用分组求和求解即可. 【详解】（1）由，，则， 所以，故是首项、公差均为1的等差数列； （2）（i）由（1）得， 当时，， 显然满足，所以， 所以， 又，， 所以 ， 所以， 若数列的前项和为， 则，， 所以 ， 所以； （ii）当时， ，与矛盾，所以， 当时，，与矛盾，所以， 综上，此时， 所以，可得，即， 所以，则 . 10．（2024·天津·高考真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且． (1)求的通项公式及； (2)设数列满足，其中． （ⅰ）求证：当时，求证：； （ⅱ）求． 【答案】(1) (2)①证明见详解；② 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意结合等比数列通项公式求，再结合等比数列求和公式分析求解； （2）①根据题意分析可知，，利用作差法分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得，再结合裂项相消法分析求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 因为，即， 可得，整理得，解得或（舍去）， 所以. （2）（i）由（1）可知，且， 当时，则，即 可知， ， 可得， 当且仅当时，等号成立， 所以； （ii）由（1）可知：， 若，则； 若，则， 当时，，可知为等差数列， 可得， 所以， 且，符合上式，综上所述：. 【点睛】关键点点睛：1.分析可知当时，，可知为等差数列； 2.根据等差数列求和分析可得. 11．（2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，． (1)求，的通项公式； (2)，，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和． 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）设数列的公差为d，数列公比为，由题设列出关于d和的方程求解，再结合等差和等比数列通项公式即可得解； （2）（i）由题意结合（1）求出和的最大值，再作差比较两者大小即可证明； （ii）法一：根据中全为1、一个为0其余为1、2个为0其余为、…、全为0几个情况将中的所有元素分系列，并求出各系列中元素的和，最后将所有系列所得的和加起来即可得解； 法二：根据元素的特征得到中的所有元素的和中各项出现的次数均为次即可求解. 【详解】（1）设数列的公差为d，数列公比为， 则由题得， 所以； （2）（i）证明：由（1）或，， 当时， 设 ， 所以， 所以 ， 所以，为中的最大元素， 此时恒成立， 所以对，均有. （ii）法一：由（i）得对任意实数，均有， 所以，， 所以取值随着的取值不同各不相同， 又为中的最大元素， 由题意可得中的所有元素由以下系列中所有元素组成： 当均为1时：此时该系列元素只有即个； 当中只有一个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素有共有个， 则这个元素的和为； 当中只有2个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当中有个为0，其余均为1时：此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； … 当中有个为0，1个为1时：此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当均为0时：此时该系列的元素为即个， 综上所述，中的所有元素之和为 ； 法二：由（i）得，为中的最大元素， 由题意可得， 所以的所有的元素的和中各项出现的次数均为次， 所以中的所有元素之和为. 12．（2024·福建泉州·模拟预测）已知正整数满足，正整数满足，.对于确定的正整数，记的最小值为.例如：当时，或或. (1)当时，写出的所有值及的值； (2)探究的值； (3)证明：. 【答案】(1)的所有值为：，. (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题目所给新定义列出4种不同可能即可求解； （2）利用猜想出时，，再证明即可； （3）利用放缩法和裂项相消求和的方法即可证明. 【详解】（1）因为，，， ， 所以的所有值为：，所以. （2）当时，探究展示如下表： 项数 3 0 1 6 项数 0 3 0 6 项数 4 2 0 8 项数 8 1 0 10 项数 12 0 0 12 由上表可知，. 当时，探究展示如下表： 项数 3 0 2 9 项数 0 3 1 9 项数 4 2 1 11 项数 8 1 1 13 项数 12 0 1 15 项数 1 5 0 11 项数 5 4 0 13 项数 9 3 0 15 项数 13 2 0 17 项数 17 1 0 19 项数 21 0 0 21 由上表可知，. 3 0 1 6 3 0 2 9 3 0 3 12 3 0 猜想时，. 证明如下： 的各项的取值只有三种可能， 记其中取值为的项数分别为. 取，有， 此时. 假设不是的最小值，则存在， 使得，且. 消去，得， 因为，所以或或 若则 若则； 若则. 故矛盾. 所以，是的最小值，. （3）法一： 由（2）， 要证，即证， 因为左边 故原不等式得证. 法二： 由（2）， 要证，即证， 因为左边 故原不等式得证. 法三： 由（2） 因为左边 ’ 故原不等式得证. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于在第二小问中利用猜想得到时，，采用先猜后证的数学思想方法可证明. 13．（2025·福建三明·模拟预测）数列的项数为，各项互不相同，．设，对数列各项作变换：若，将移到第项；若，将移到第项，得到的新数列记为；对各项重复上述变换，得到的新数列记为；…；依此类推．给定，若存在，使得的第项为，则称是的“关联数”． (1)若：4，1，3，5，2，给定，写出； (2)给定，证明：对任意，2和7都是的“关联数”； (3)已知：若整数，则存在，，，使得，其中．证明：当时，对任意，至少有4个“关联数”． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据题设数列变换的定义依次写出、，即可得； （2）设，，讨论、，结合、及数列变换的定义判断证明； （3）1与显然是的关联数，存在整数，满足，其中，只需讨论与的情形，结合、研究数列的变换结果得是关联数，注意验证，即可证. 【详解】（1）由：4，1，3，5，2，，结合题设定义，则； （2）设，， 当时， 若，对做次变换，从第项移到第项， 取，在次变换后，从第项移到第项， 若，对做次变换，从第项移到第项， 取，在次变换后，从第项移到第项， 当时， 若，对做次变换，从第项移到第项， 取，在次变换后，从第项移到第项， 若，对做次变换，从第项移到第项， 取，在次变换后，从第项移到第项， 综上，对任意，2和7是的“关联数”； （3）1与显然是的关联数，只需再找两个关联数， 由题意，存在整数，满足，其中， 显然，只讨论与的情形， 当时，显然，， 若，对做次变换，此时一共变换了个位置，等价于从第项移到第项， 所以对做次变换，将从第项移到第项， 若，对做次变换，即从第项移到第项， 所以重复做次变换，可以把从第项移到第项， 所以对做次变换，就将从第项移到第项， 当时，显然，， 若，对做次变换，此时一共变换了个位置，等价于从第项移到第项， 所以对做次变换，将从第项移到第项， 若，对做次变换，即从第项移到第项， 所以对做次变换，就将从第项移到第项， 综上，是的关联数， 令，又，则满足， 对重复上述讨论过程，得是的关联数， 下证：， 假设，则， 由为整数，，显然矛盾， 所以至少有4个关联数，分别为. 14．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列． (1)写出所有的，，使数列是可分数列； (2)当时，证明：数列是可分数列； (3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）直接根据可分数列的定义即可； （2）根据可分数列的定义即可验证结论； （3）证明使得原数列是可分数列的至少有个，再使用概率的定义. 【详解】（1）首先，我们设数列的公差为，则. 由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列， 故我们可以对该数列进行适当的变形， 得到新数列，然后对进行相应的讨论即可. 换言之，我们可以不妨设，此后的讨论均建立在该假设下进行. 回到原题，第1小问相当于从中取出两个数和，使得剩下四个数是等差数列. 那么剩下四个数只可能是，或，或. 所以所有可能的就是. （2）由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下两个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，共组. （如果，则忽略②） 故数列是可分数列. （3）定义集合，. 下面证明，对，如果下面两个命题同时成立， 则数列一定是可分数列： 命题1：或； 命题2：. 我们分两种情况证明这个结论. 第一种情况：如果，且. 此时设，，. 则由可知，即，故. 此时，由于从数列中取出和后， 剩余的个数可以分为以下三个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，共组； ③，共组. （如果某一部分的组数为，则忽略之） 故此时数列是可分数列. 第二种情况：如果，且. 此时设，，. 则由可知，即，故. 由于，故，从而，这就意味着. 此时，由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下四个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，，共组； ③全体，其中，共组； ④，共组. （如果某一部分的组数为，则忽略之） 这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含个行，个列的数表以后，个列分别是下面这些数： ，，，. 可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍中除开五个集合，，，，中的十个元素以外的所有数. 而这十个数中，除开已经去掉的和以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数. 这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列是可分数列. 至此，我们证明了：对，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列一定是可分数列. 然后我们来考虑这样的的个数. 首先，由于，和各有个元素，故满足命题1的总共有个； 而如果，假设，则可设，，代入得. 但这导致，矛盾，所以. 设，，，则，即. 所以可能的恰好就是，对应的分别是，总共个. 所以这个满足命题1的中，不满足命题2的恰好有个. 这就得到同时满足命题1和命题2的的个数为. 当我们从中一次任取两个数和时，总的选取方式的个数等于. 而根据之前的结论，使得数列是可分数列的至少有个. 所以数列是可分数列的概率一定满足 . 这就证明了结论. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用定义验证或探究结论. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高三数学一轮复习题型归纳 【解答题题型归纳02：数列】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·通项公式】 【题型1：基本量求通项公式】 【练方法】 解题方法 1.识别数列类型：等差或等比 2.列出基本量：等差列，等比列 3.代入通项公式：等差，等比 4.若已知多项，列方程组求或，再写通项 （25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知数列的前项和为，且满足，数列是单调递增的等差数列，，且，，成等比数列.经典例题1例题 (1)求数列和数列的通项公式； (2)记，求的前项和. （25-26高二上·天津南开·期末）已知数列为等差数列，，，数列的前项和为，且满足．小试牛刀1 (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和为． （25-26高二上·江苏淮安·期末）已知等差数列前项和为．数列前项和为，．小试牛刀2 (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若数列的前项和为，且，求的最小值． 【题型2：由Sn与an的关系求通项公式】 【练方法】 解题方法 1.当时， 2.当时， 3.验证时是否满足的表达式，若不满足则写成分段形式 （25-26高三上·福建福州·月考）已知数列满足经典例题1例题 (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，求使的最小的正整数n的值. 【多选题】（25-26高二上·宁夏吴忠·期末）已知数列满足 ，设数列的前项和为，则（    ）小试牛刀1 A． B． C．数列是等比数列 D． （25-26高三上·山东青岛·期末）已知数列的前项和为，，且满足.小试牛刀2 (1)求数列的通项公式； (2)设，，若，求满足条件的最大整数. 【题型3：构造法求通项公式】 【练方法】 解题方法 1.观察递推式结构，如，构造，解出 2.转化为等比数列，求其通项，再还原 3.其他结构如，两边除以，构造新数列 （2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则数列的通项公式为 .经典例题1例题 （25-26高二上·陕西榆林·期末）已知首项为2的数列满足.小试牛刀1 (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求证：. （25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知数列满足，且，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【题型4：奇偶数列求通项公式】 【练方法】 解题方法 1.分别写出奇数项、偶数项的递推关系 2.奇数项：，偶数项：，各自按等差/等比或构造法求通项 3.最后写成分段形式： （25-26高二上·新疆和田·期末）已知数列满足，，.经典例题1例题 (1)求证：为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若数列的前项和为，求. （2026高二上·浙江温州·专题练习）数列的前n项和，数列满足，，.小试牛刀1 (1)求数列的通项公式； (2)若，， （ⅰ）求证：数列是等比数列； （ⅱ）若数列的前n项和为，求证：. （24-25高二下·云南玉溪·期中）大衍数列来源于《乾坤谱》中对“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理.已知大衍数列满足，，数列满足，则 ，数列的前项和与数列的前 项和相等.小试牛刀2 【题型5：累加法求通项公式】 【练方法】 解题方法 1.递推式形如（） 2.写出从2到的递推式：，，…， 3.累加：，则 （2026·安徽淮北·一模）已知数列满足．经典例题1例题 (1)设，求证：数列为等比数列； (2)求的通项公式． （25-26高二上·河北邢台·期末）在数列中，，．小试牛刀1 (1)求； (2)设，求数列的前项和． （25-26高二上·山东淄博·月考）已知数列满足，若，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【题型6：累乘法求通项公式】 【练方法】 解题方法 1.递推式形如（） 2.写出从2到的递推式：，，…， 3.累乘：，则 （2025高三上·江西南昌·专题练习）已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知数列满足，当时，，则 ．小试牛刀1 （24-25高二上·江苏连云港·期末）已知数列中，，则 .小试牛刀2 【B·数列求和】 【题型1：倒序相加求和】 【练方法】 解题方法 1.适用于为常数的数列（如等差数列） 2.写出，再写出 3.两式相加，利用为常数，化简得，即 （25-26高二上·山西晋城·期末）已知函数的定义域为，其导函数满足，且，，则 .经典例题1例题 （2025高三上·重庆永川·专题练习）已知函数且，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得（   ）小试牛刀1 A．1012.5 B．1013 C．2025 D．2026 （25-26高一上·重庆·月考）已知函数，（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【题型2：错位相减求和】 【练方法】 解题方法 1.适用于等差×等比型数列，如 2.写出，两边乘以公比得 3.两式相减，中间项构成等比数列，用等比求和公式化简，再解出 （2026·江苏镇江·模拟预测）已知等比数列的前项和为，，.经典例题1例题 (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，求. （2026·河南南阳·模拟预测）记数列的前项和为，已知为常数列.小试牛刀1 (1)求的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和. （24-25高二下·重庆渝中·月考）已知正项等差数列的前n项和为，若，且是和的等比中项.小试牛刀2 (1)求的通项公式； (2)记，其前n项和为，求. 【题型3：裂项相消求和】 【练方法】 （1）分式型裂项（核心：拆分分母的因式差） 一次分式（两项）： 例：，. 一次分式（三项）： 分式含常数项： （2）指数型裂项（核心：利用指数的倍数关系） 指数差型： 指数与常数结合： （常用于错位相减的辅助裂项）. （25-26高二上·河北石家庄·期末）已知等比数列的前n项和为，且满足经典例题1例题 (1)求数列的通项公式； (2)令求数列的前n项和. （25-26高三上·河北秦皇岛·期末）已知数列满足，，.小试牛刀1 (1)求数列的通项公式; (2)证明:对，. （25-26高三上·山东青岛·期末）已知为等差数列的前项和，，.小试牛刀2 (1)求； (2)求数列的前项和. 【题型4：并项/分组求和】 【练方法】 解题方法 1.并项：相邻两项结合，如为常数或等差/等比 2.分组：将数列拆分为两个或多个等差/等比数列，分别求和再相加 3.注意奇偶项的不同处理，必要时写成分段形式 （25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知为等差数列，，记分别为数列的前项和，．经典例题1例题 (1)求和； (2)求． （25-26高三上·陕西西安·期末）设为数列的前项和，已知，且为等差数列.小试牛刀1 (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和. （25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知数列满足，，则的前20项和为（    ）小试牛刀2 A．299 B．300 C．301 D．302 【题型5：放缩与求和】 【练方法】 解题方法 1.对通项进行放缩，如（） 2.转化为可求和的数列（如裂项相消），求和后得到不等式 3.或用等比数列放缩，如，用等比求和公式估计和的范围 （25-26高三上·山东聊城·期末）设为正项数列的前项和，，当时，．经典例题1例题 (1)求的通项公式； (2)已知，记数列的前项和为，证明：． （25-26高三上·广东珠海·月考）已知数列的前n项和为，且满足，，，数列的前n项和为，.小试牛刀1 (1)求数列的通项公式及数列的前n项和. (2)求数列的通项公式，并证明其前n项和 （25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）设正项数列的前项和为，.小试牛刀2 (1)求的通项公式； (2)设，求的前项和： (3)设，求证：. 【C·数列综合】 【题型1：数列与不等式恒成立问题】 【练方法】 解题方法 1.先求数列的通项或前项和 2.将不等式（或）转化为求（或）的最大值 3.利用单调性、放缩法或构造函数求最值，解不等式得到参数范围 （2025·天津·二模）已知等差数列和等比数列满足：，，，．经典例题1例题 (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)已知数列的前n项和，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围． （25-26高二上·河北石家庄·期末）已知数列中 ，且满足 ，数列的前 n项和为，且满足 小试牛刀1 (1)分别求数列和的通项公式； (2)求数列 的前n项和； (3)若不等式 对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围. （25-26高二上·江苏南通·期末）已知数列满足，，.小试牛刀2 (1)求证：数列是等差数列； (2)若数列满足，求数列的前2025项和； (3)设，数列的前项和为.若对一切恒成立，求实数的取值范围. 【题型2：数列的插项，并项】 【练方法】 解题方法 1.插项：在数列中插入新项，重新编号，按新数列的结构（等差/等比/递推）求通项或和 2.并项：将相邻两项合并为一项，形成新数列，再求其性质 3.明确新数列的首项、公差/公比或递推关系，按对应方法求解 （25-26高三上·浙江温州·期末）已知等差数列的前项和为，，，数列满足．经典例题1例题 (1)求数列、的通项公式； (2)将数列、的公共项从小到大排列组成新的数列，求的前项和． （25-26高二上·福建福州·期末）已知数列的前项和为，且小试牛刀1 (1)若数列不是等比数列，求； (2)若，在和中插入个数构成一个新数列，，插入的所有数依次构成首项为2，公差为2的等差数列，求的前30项和． （25-26高二上·浙江嘉兴·期末）已知数列满足，且．小试牛刀2 (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)在数列的任意相邻两项与（）之间，插入k个相同的数，组成一个新的数列，记数列的前n项和为，求． 【题型3：数列中的新定义问题】 （24-25高二上·安徽黄山·期末）在信息论中，熵(entropy)是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵､平均自信息量.1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻. 对于正整数，定义的信息熵，（，）.经典例题1例题 (1)若，求； (2)若数列满足：，（）. ①求此时的信息熵； ②若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. （2025·浙江·二模）若数列中某相邻三项成等差数列，则称该三项为“等差组”；若数列中某相邻三项成等比数列，则称该三项为“等比组”.现有一个12项的正项数列，其共有10组相邻三项，记第组相邻三项为.小试牛刀1 (1)若数列满足， ①为“等差组”，为“等比组”，求； ②为“等比组”，为“等差组”，求. (2)若数列满足，且为“等差组”或“等比组”，求满足条件的数列的个数； (3)若数列满足，且中恰有5组“等差组”和5组“等比组”，求的最大可能值. （2025·广东佛山·二模）对于数列，若，使得，都有成立，则称为“三和定值数列”．已知为“三和定值数列”，且，，．小试牛刀2 (1)求，，； (2)已知为数列的前项和，求． 真题模拟精选检测 一、解答题 1．（2025·福建莆田·二模）记为等差数列的前项和．已知． (1)求的通项公式； (2)记集合，将中的元素从小到大依次排列，得到新数列，求的前20项和． 2．（2025·福建福州·模拟预测）已知正项数列满足． (1)若，求； (2)若，求的通项公式； (3)记为数列的前项和，若，证明：． 3．（2025·福建泉州·模拟预测）已知数列的前项和为，，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)设，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，中是否存在三项构成等差数列？若存在，求满足条件的三项；若不存在，请说明理由． 4．（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，其中． (1)写出，，并求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，证明：． 5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 6．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． (1)若，求的通项公式； (2)若为等差数列，且，求． 7．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 8．（2024·福建泉州·模拟预测）已知数列满足递推式，且，数列满足， 且前项和，数列的通项公式为． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若数列满足：，证明：． 9．（2025·福建厦门·三模）已知数列的前项和为，，且. (1)证明：数列为等差数列； (2)设， （i）求数列的前项和； （ii）当时，设集合，集合中所有元素的和记为，求数列的通项公式. 10．（2024·天津·高考真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且． (1)求的通项公式及； (2)设数列满足，其中． （ⅰ）求证：当时，求证：； （ⅱ）求． 11．（2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，． (1)求，的通项公式； (2)，，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和． 12．（2024·福建泉州·模拟预测）已知正整数满足，正整数满足，.对于确定的正整数，记的最小值为.例如：当时，或或. (1)当时，写出的所有值及的值； (2)探究的值； (3)证明：. 13．（2025·福建三明·模拟预测）数列的项数为，各项互不相同，．设，对数列各项作变换：若，将移到第项；若，将移到第项，得到的新数列记为；对各项重复上述变换，得到的新数列记为；…；依此类推．给定，若存在，使得的第项为，则称是的“关联数”． (1)若：4，1，3，5，2，给定，写出； (2)给定，证明：对任意，2和7都是的“关联数”； (3)已知：若整数，则存在，，，使得，其中．证明：当时，对任意，至少有4个“关联数”． 14．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列． (1)写出所有的，，使数列是可分数列； (2)当时，证明：数列是可分数列； (3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $