精品解析：吉林省辽源市西安区辽源市跨世纪学校2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

辽源市跨世纪学校2025-2026学年上学期第一次月考 八年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共计18分） 1. 两根木棒的长分别为和，要选择第三根木棒，将它们钉成三角形，那么第三根木棒的长可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，第三边的长度必须大于已知两边之差且小于两边之和求解即可． 【详解】解：已知两根木棒分别为和，设第三根木棒长为． 根据三角形不等式： ，即； ，即． 因此，的取值范围为， 则只有符合， 故选：D 2. 如图，工人师傅砌门时，为使长方形门框ABCD不变形，常用木条EF将其固定，这种做法的依据是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 长方形的对称性 C. 四边形具有不稳定性 D. 三角形具有稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的稳定性即可选择． 【详解】解：构成三角形，利用三角形的稳定性固定门框． 故选：D． 【点睛】此题考查了三角形的稳定性，解题的关键是看图找出三角形． 3. 如图，小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具吗？ 如果可以，带哪块去合适？（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 任意一块 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，根据全等三角形的判定方法结合图形即可得出答案，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 【详解】解：由图形可知，号有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形；号没有完整的边或角，号只有一个完整的角，根据全等三角形的判定方法，号和号都不可以作出与原三角形全等的三角形， 故选：． 4. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、作图—基本作图，连接，，由作图得出，，，利用证明，即可得出，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 由作图可得：，，， ， ， 能得出的依据是， 故选：D． 5. 如图，平分的外角，，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形外角的性质得出，根据角平分线的定义得出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分的外角， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 6. 在中，是边的中点，若，，则的中线长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，画出图形，延长至点，使得，连接，可证，可得，根据三角形的三边关系可求得的取值范围，进而可得的取值范围． 【详解】解：如下图，延长至点，使得，连接， ∵是边的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴，即， ∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形的中线、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识，熟悉三角形的三边关系，利用中线构造全等三角形是解答的关键． 二、填空题（每小题3分，共计15分） 7. 在中，当时，这个三角形是______（填“锐角”“直角”“钝角”）三角形． 【答案】直角 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理，设，则，，列方程求解各角度数，再判断三角形类型，熟练掌握三角形内角和定理是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴设，则，， 由题意可得：， 解得：， ∴，，， ∴这个三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 8. △ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12，若AB＝3，EF＝5，则AC＝_____． 【答案】4 【解析】 【分析】根据全等三角形对应边相等求出BC的长度，然后利用△ABC的周长即可求出AC的长． 【详解】解：∵△ABC≌△DEF，EF＝5， ∴BC＝EF＝5， ∵△ABC的周长为12，AB＝3， ∴AC＝12﹣5﹣3＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 9. 如图，已知于A，于B，且，则______． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，三角形外角的性质，证明点P在的平分线上是本题的关键．由，，，可证点P在的平分线上，可得，由三角形外角性质可求解． 【详解】解：，，， ∴点P在的平分线上， ， ， 故答案为：． 10. 如图，______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，如图，连连接，记、的交点为， 先证明，再利用三角形的内角和定理可得答案．作出合适的辅助线构建三角形是解本题的关键． 【详解】解：如图，连接，记、的交点为， ，，， ， ， ， 故答案为：． 11. 如图，在中，于点分别是线段，射线上的动点，点P从点A出发，以的速度向点C匀速运动，点Q在射线上随之运动，且．设点P的运动时间为，则当_______时，以点为顶点的三角形和全等． 【答案】2或4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是分情况讨论，根据全等三角形对应边相等求出的长度，进而得出的值． 因为，所以分两种情况讨论：和，根据全等三角形对应边相等求出的长，再结合点的运动速度求出． 【详解】解： 情况一：， 此时， 已知，点的速度是，的长度就是点运动的路程，则， 把代入，可得（秒）； 情况二： 此时． 已知，， 把代入，可得（秒）． 综上，当或4时，以点为顶点的三角形和全等． 故答案为：2或4． 三、解答题（共计87分） 12. 如图，∠B＝30°，∠C＝50°，AD平分∠BAC，求∠DAC与∠ADB的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，根据三角形的外角性质求出． 【详解】解：，， ， 平分， ， ． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、三角形的外角性质，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 13. 如图，在和中，，，． 求证：． 【答案】 证明：， ，即， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．利用“”证明，即可解决问题． 【详解】略 14. 如图，在中，，是边上的中线，的周长比的周长多，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，根据三角形的中线定义得出，结合三角形的周长公式求出，即可求解． 【详解】解：因为是边上的中线， 所以； 因为的周长比的周长多， 所以， 即， 因为， 所以． 15. 如图，已知点在的边上，过点作射线，点在的内部. （1）若，请利用尺规作出射线；（不写作法，保留作图痕迹） （2）根据上面的作图，判断直线与是否平行，并说明理由. 【答案】 （1）如图，射线为所求； （2），理由如下： ∵， ∴(同位角相等，两直线平行). 【解析】 【分析】(1)以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N，以点D为圆心，OM为半径作弧，交OA于点F，以点F为圆心，MN长为半径作弧，交前弧于E，过点D作射线DE即可； (2)根据同位角相等，两直线平行进行判定即可. 【详解】（1）略 (2)略 【点睛】本题考查了尺规作图——作一个角等于已知角，平行线的判定，熟练掌握作一个角等于已知角的方法是解题的关键. 16. 已知，，为的三边长，若，满足，且是整数，求的取值． 【答案】，，． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值和偶次幂非负性，由，得，，然后通过三角形三边关系即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， ∴， ∵是整数， ∴，，． 17. 如图，在中，，D是的中点，于点E，于点F． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵D是的中点，，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）18 【解析】 【分析】（1）D是的中点，得，于是，结合，即可得证； （2）根据题意，结合． 本题考查了三角形中线的性质，三角形面积的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由，， 得， 故． 18. 已知的三边长是，，． （1）若，，且三角形的周长是小于16的偶数，求的值； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系、化简绝对值，整式的加减，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． （1）由三角形三边关系结合三角形的周长是小于16的偶数，得出，即可得出答案； （2）由三角形三边关系得，再利用绝对值的性质化简，再根据整式的加减进行计算即可． 【小问1详解】 解：的三边长是，， ，， ， 的周长是小于的偶数， ，即， ； 【小问2详解】 解：的三边三边长是a，b，c， ， 原式 ． 19. 如图，在和中，，，，连接，交于点，连接，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质；证明是解题的关键．设交于点I，由，推导出，而，，即可根据“”证明，得，则． 【详解】解：设交于点I， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． 20. 同学们，我们已学习了角平分线的有关知识，那么你会用它们解决有关问题吗？ （1）如图1，已知，若将沿着射线翻折，射线落在处，则射线一定平分． 理由如下：因为是由翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小， 所以__________， 所以射线__________是__________的角平分线． 拓展应用 （2）如图2，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在处，折痕为，再将它的另一个角也折叠，顶点落在上的处并且使过点，折痕为．直接利用（1）的结论，解答下面问题； ①若，则的度数为__________， ②若，求的度数，从计算中你发现了的度数有什么规律？（写出计算说理过程） 【答案】（1）；（2）①，②的度数始终是 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，与角平分线有关的计算，掌握折痕为角平分线，是解题的关键． （1）根据折叠，得到，进而根据角平分线的定义，得到平分，即可； （2）①根据折叠的性质和平角的定义，进行求解即可；②根据折叠的性质和平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：（1）因为是由翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小， 所以， 所以射线是的角平分线． （2）①由题意，得：，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； ②的度数始终是， 由题意，得：，， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 如图（1），AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝7cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）． （1）若点Q的运动速度为1cm/s，用含t的代数式表示△BPQ的面积； （2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由； （3）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝α”，其他条件不变，设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）S△BPQt﹣t2； （2） △ACP与△BPQ全等，理由如下： 若点Q的运动速度与点P的运动速度相等， 当t＝1时，AP＝BQ＝2，则BP＝9﹣2＝7， ∴BP＝AC， 又∵∠A＝∠B＝90°， 在△ACP和△BPQ中， ∴△ACP≌△BPQ（SAS）； （3）存在，当t＝1s，x＝2cm/s或ts，xcm/s时，△ACP与△BPQ全等． 【解析】 【分析】（1）由题意得：AP＝2t，得出BP＝9﹣2t，BQ＝t，再根据三角形的面积公式即可求解； （2）直接利用SAS定理证明△ACP≌△BPQ即可得出； （3）需要分△ACP≌△BPQ，△ACP≌△BQP两种情况来讨论，根据全等三角形的性质列式计算，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：AP＝2t，则BP＝9﹣2t，BQ＝t， ∵BD⊥AB， ∴S△BPQBQ•BP•t•（9﹣2t）﹣t2； 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：①若△ACP≌△BPQ， 则AC＝BP＝7，AP＝BQ＝2t， ∴9﹣2t＝7， 解得，t＝1（s）， ∴BQ＝2t＝2， ∴x＝2÷1＝2（cm/s）； ②若△ACP≌△BQP， 则AC＝BQ＝7，AP＝BP＝2t， 则， 解得，（s）， 则（cm/s）， 故存在，当t＝1s，x＝2cm/s或s，cm/s时，△ACP与△BPQ全等． 【点睛】本题是三角形综合题，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理和性质定理、并且注意分类讨论思想的灵活运用． 22. （1）如图射线在这个角的内部，点分别在的边上，且于点于点求证：． （2）如图，点分别在的边上，点都在内部的射线上，分别是的外角．已知，且求证：． （3）如图，在中，，点在边上，，点在线段上，若的面积为，求与的面积之和． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）证明：， ， 同理：， ， ； （3）5 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质是解题的关键． （1）求出，，根据证两三角形全等即可； （2）根据已知和三角形外角性质求出，，根据证两三角形全等即可； （3）求出的面积，根据得出与的面积之和等于的面积，即可得出答案． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）过点作，如图，    ， ， ， ， 由（2）知，， ， ， 与的面积之和为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽源市跨世纪学校2025-2026学年上学期第一次月考 八年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共计18分） 1. 两根木棒的长分别为和，要选择第三根木棒，将它们钉成三角形，那么第三根木棒的长可以是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，工人师傅砌门时，为使长方形门框ABCD不变形，常用木条EF将其固定，这种做法的依据是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 长方形的对称性 C. 四边形具有不稳定性 D. 三角形具有稳定性 3. 如图，小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具吗？ 如果可以，带哪块去合适？（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 任意一块 4. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，平分的外角，，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 6. 在中，是边的中点，若，，则的中线长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共计15分） 7. 在中，当时，这个三角形是______（填“锐角”“直角”“钝角”）三角形． 8. △ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12，若AB＝3，EF＝5，则AC＝_____． 9. 如图，已知于A，于B，且，则______． 10. 如图，______度． 11. 如图，在中，于点分别是线段，射线上的动点，点P从点A出发，以的速度向点C匀速运动，点Q在射线上随之运动，且．设点P的运动时间为，则当_______时，以点为顶点的三角形和全等． 三、解答题（共计87分） 12. 如图，∠B＝30°，∠C＝50°，AD平分∠BAC，求∠DAC与∠ADB的度数． 13. 如图，在和中，，，． 求证：． 14. 如图，在中，，是边上的中线，的周长比的周长多，求的长． 15. 如图，已知点在的边上，过点作射线，点在的内部. （1）若，请利用尺规作出射线；（不写作法，保留作图痕迹） （2）根据上面的作图，判断直线与是否平行，并说明理由. 16. 已知，，为的三边长，若，满足，且是整数，求的取值． 17. 如图，在中，，D是的中点，于点E，于点F． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 18. 已知的三边长是，，． （1）若，，且三角形的周长是小于16的偶数，求的值； （2）化简：． 19. 如图，在和中，，，，连接，交于点，连接，求的度数． 20. 同学们，我们已学习了角平分线的有关知识，那么你会用它们解决有关问题吗？ （1）如图1，已知，若将沿着射线翻折，射线落在处，则射线一定平分． 理由如下：因为是由翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小， 所以__________， 所以射线__________是__________的角平分线． 拓展应用 （2）如图2，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在处，折痕为，再将它的另一个角也折叠，顶点落在上的处并且使过点，折痕为．直接利用（1）的结论，解答下面问题； ①若，则的度数为__________， ②若，求的度数，从计算中你发现了的度数有什么规律？（写出计算说理过程） 21. 如图（1），AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝7cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）． （1）若点Q的运动速度为1cm/s，用含t的代数式表示△BPQ的面积； （2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由； （3）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝α”，其他条件不变，设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值，若不存在，请说明理由． 22. （1）如图射线在这个角的内部，点分别在的边上，且于点于点求证：． （2）如图，点分别在的边上，点都在内部的射线上，分别是的外角．已知，且求证：． （3）如图，在中，，点在边上，，点在线段上，若的面积为，求与的面积之和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $