第十四章 实数（复习讲义）数学冀教版2024八年级上册

第十四章 实数（复习讲义） 1.理解实数的定义及分类，.熟记相反数、绝对值、倒数的概念。 2.掌握实数与数轴的一一对应关系。 3. 熟练完成实数的加、减、乘、除、乘方、开方运算以及混合运算。 4.能用实数解决平方根、立方根相关的实际问题。 5. 能体会数系从有理数到实数的扩展逻辑，建立“数与形”结合的思维，为后续函数、方程学习奠定基础。 知识点 重点归纳 常见易错点 平方根与算术平方根 ①理解平方根和算术平方根的概念，能区分平方根以及算术平方根； ②能熟练计算非负数的平方根、算术平方根。 混淆平方根与算术平方根的概念，一个正数有两个平方根，只有一个算术平方根，负数没有平方根，如4的平方根为2，算术平方根为2，误写成2；忽略被开方数非负，如计算（无意义）。 立方根 若x3 = a，则x是a的立方根，记为，任意实数都有唯一立方根 在符号上判断错误，如误将算成2；与平方根混淆，认为负数没有立方根。 实数的相关性质与分类 ①有理数（整数、分数）和无理数（无限不循环小数）统称为实数； ②实数与数轴上的点一一对应，且实数同样有相反数、绝对值、倒数等性质。 ①对无理数与有理数区分不清，如带省略号不循环的小数与循环的小数搞混淆：1.2121121112…（每两个2之间的1依次增加一个）与， ②忽略无理数的绝对值计算。 实数的运算  满足交换律、结合律、分配律；减法为加法的逆运算，除法为乘法的逆运算（除数不为零）。符号规则：正×正=正，正×负=负，负×负=正。 绝对值：|a| 表示数轴上点 a 到原点的距离，例如 |-3|=3。 符号处理不当：例如，在带负数的运算中出错，如 - × (-) = √6，但学生可能错算为 -√6 或忽略符号；指数与根式规则混淆：如 = |a|，而非直接 a；若 a 为负数时，错误写成 = a 会导致错误。 无理数近似值误用：在精确计算中，提前使用近似值（如用1.41代替）导致累积误差。解题时应先保留符号，最后再代入数值。 除法错误：忽略“除数不能为零”，尤其在分母包含变量时（如 1/(x-1) 中 x=1 无解）。 比较实数的大小 遵循正数>0>负数的原则；若同是正无理数比较大小（带根号），则被开方数越大的数就越大；反之越小。 若同是负无理数比较大小（带根号），则被开方数越大的数就越小；反之越大。若是有理数与无理数（带根号）比较大小，可采用作差法、作商法、同时平方法进行比较。也可借助数轴进行比较大小。 数轴点表示错误：如将放置在1.5位置（正确在1.7附近），或无法识别无理数的位置；大小比较失误：如比较 -π 和 -3.14，误以为 -π > -3.14（实际 π≈3.14，所以 -π < -3.14）。 小技巧：负数比较时，绝对值大的负数反而小。 实数的应用 在实际问题中：如图形计算（面积、体积涉及）、测量误差处理；与代数式结合：如方程 ax² + b = 0 的根可能为无理数。 忽略实际条件：例如，计算矩形面积时，边长带，结果应保留，但学生可能用小数导致不精确。 运算顺序遗漏：带根号的混合运算如 + 2 × 3，误算为 × 3（正确步骤：=2, 再 2 + 6=8）。 近似数 理解四舍五入法和有效数字的取舍 误解四舍五入法的省略规则，易漏位，如将3.14159省略到百分位，就要看千分位上的数字是否大于或等于5；对有效数字理解有误，如2.50认为有效数字为2，5. 拓展 无理数的证明与应用；无理数在艺术与建筑中的应用；实数与几何图形的联系；高次根式与计算技巧；实数运算律的深层理解。 尝试证明 是无理数（可采用反证法）；无理数在艺术与建筑中的应用；在坐标系中定位 ，π 等无理数点；拓展立方根性质到更高次根式（如 ⁴ = 2）；练习分母有理化进阶：。 复习策略：复习本章时，重点通过练习题强化概念理解（如区分有理数和无理数的例题），并多做数轴 作图题以巩固表示方法。在运算中，养成先写符号、后代入数值的习惯，能有效减少错误。 题型一 平方根的概念理解 【例1】下列各数中，没有平方根的是（   ） A．18 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方根，把各数进行化简，再根据平方根的性质即可进行求解，解题的关键是熟练掌握平方根的性质． 【详解】解：A、是正数，有平方根，故选项不符合题意 ； B、是负数，没有平方根，故选项符合题意 ； C、是正数，有平方根，故选项不符合题意 ； D、是正数，有平方根，故选项不符合题意 ； 故选：B． 【变式1-1】若实数a，b是同一个数的两个不同的平方根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正数有两个不同的平方根，且互为相反数计算选择即可． 【详解】∵实数a，b是同一个数的两个不同的平方根， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了平方根的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【变式1-2】若代数式没有平方根，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平方根的定义；根据负数没有平方根得到，计算即可求出． 【详解】解：∵代数式没有平方根， ∴， 解得：； 故选：A． 题型二 已知一个数的平方根求这个数 【例2】一个正数的两个平方根是和，则这个数是（   ） A．2 B． C．4 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的概念．根据一个正数的两个平方根互为相反数，可知，求出m的值，继而得出答案． 【详解】解：由题意得：，即， 解得：， ， 这个数是， 故选：D． 【变式2-1】已知一个正实数x的两个平方根分别是m和，且，则x的值为（　　） A．5 B．10 C．25 D．50 【答案】A 【分析】一个正实数x的两个平方根分别是m和，得到，代入得到，解答即可． 本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：由一个正实数x的两个平方根分别是m和， 得到， 代入得到， 故， 解得，（舍去）． 故选：A． 【变式2-2】若m和n是10的两个平方根，则的值是（    ） A．0 B．10 C．20 D． 【答案】D 【分析】先根据平方根的性质得出与的关系（和与积），再代入式子计算．本题主要考查了平方根的性质（一个正数的两个平方根互为相反数，以及平方根与原数的关系），熟练掌握“正数的两个平方根互为相反数，且它们的积为原数的相反数”是解题的关键． 【详解】解： 和是的两个平方根， ， ，（或反之 ）， ∴． ． 故选：D． 题型三 利用平方根解方程 【例3】，则的值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】该题考查了平方根的性质，根据平方根的性质解方程即可． 【详解】解：， ∴， 故选：C． 【变式3-1】方程的根为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是利用平方根解方程．先移项，把方程化为，再利用平方根的性质解方程即可． 【详解】解：， ， ， ∴方程的根为． 故选：C． 【变式3-2】若， 则x的值为（     ） A．5 B．1 C．5或 D．1或 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根，利用平方根的定义先得一元一次方程，再解一元一次方程即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴或． 故选：C． 题型四 平方根的应用 【例4】已知一个正方体的表面积是6a，那么它的棱长为（   ） A． B． C．6a D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方根的运用，需结合正方体的表面积公式求解，设正方体棱长为，根据正方体的表面积公式可得：，再通过开方求出x的值即可，注意：x要大于0． 【详解】解：设正方体棱长为，则 ， 解得：或， 由于棱长为正数，故舍去负解， ； 故选：B． 【变式4-1】某学校会议室的面积为，会议室地面恰由100块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了算术平方根的应用，根据题意列出方程是解题的关键；设每块地砖的边长是，根据题意列方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设每块地砖的边长是，由题知， ， ， 解得，负值舍去， 每块地砖的边长是． 故答案为：． 【变式4-2】园艺师设计了一个正方形花坛，边长为米，面积为平方米，则的所有可能取值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，平方根的实际应用，根据题意可得，即可得到，即可得到结果． 【详解】解：根据题意得， 即， ∴， ∴， ∵， ∴或，都符合实际． 故答案为：． 题型五 利用非负性解决问题 【例5】若是有理数，则满足条件的自然数a的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，解一元一次不等式，被开方数的非负性，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据算术平方根有意义的条件得到，即可求出a的取值范围，再根据是有理数得到是完全平方数，即可求解． 【详解】解：∵是有理数， ∴， ∴， ∵是完全平方数， ∴自然数a的值为10或9或6或1，共4个． 故选：C． 【变式5-1】已知实数、满足，则等于（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根非负性，绝对值非负的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．根据绝对值非负的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 所以，． 故选：C． 【变式5-2】已知，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，负整数指数幂；根据算术平方根的非负性可得，得出，，进而根据负整数指数幂进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：A． 题型六 算术平方根的实际应用 【例6】电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A），导线电阻R（单位：），通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足．已知导线的电阻为，时间导线产生的热量，则I的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了根据算术平方根的定义解方程，根据题意找到等量关系是解题的关键．根据题意得到，求出I的值即可． 【详解】解： ，电阻为，时间导线产生的热量， ， ∴，（舍去） ， 故选：B． 【变式6-1】如图①，将由5个边长为1的小正方形拼成的图形按上虚线剪开，并按图②的方式重新拼成一个大的正方形，则大正方形的边长 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是根据题意补全图形．依题意补全图形，利用剪拼前后的图形面积相等，得出大正方形的面积即可． 【详解】解：依题意，5个小正方形的面积之和等于拼成的一个大正方形的面积， ∵5个小正方形的总面积为5， ∴大正方形的面积为5， ∴大正方形的边长为 故答案为：． 【变式6-2】海啸是由海底地震、火山爆发、海底滑坡或气象变化所产生的破坏性海浪，海啸的波速高达每小时700－800千米，在几小时内就能横渡大洋．海啸的行进速度可按公式计算，其中v表示海啸的速度，d表示海水的深度，g表示重力加速度．若在海洋深度处发生海啸，求海啸在海洋深度为处的行进速度． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键． 直接根据已知数据代入，化简得出答案． 【详解】解：由题意可得：，， 则． 答：其行进的速度为． 题型七 立方根的概念理解 【例7】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式7-1】下列说法中，错误的是（   ） A．64的立方根是4 B．是的立方根 C．的立方根是2 D．125的立方根是 【答案】D 【分析】本题主要考查了立方根的定义，一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．解题关键是掌握立方根的定义． 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，根据立方根的定义分别判断即可． 【详解】解：A．64的立方根是4，正确，不符合题意； B．是的立方根，正确，不符合题意； C．，8的立方根是2，正确，不符合题意； D．125的立方根是5，故D错误，符合题意， 故选：D． 【变式7-2】已知是整数，则满足条件的最小正整数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了立方根的定义及性质，由，通过立方根的定义及性质求出满足条件的最小正整数即可，掌握知识的应用是解题的关键． 【详解】解：由， ∵是整数， ∴满足条件的最小正整数是， 故选：． 题型八 平方根与立方根的综合 【例8】的立方根与的算术平方根的和是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数的运算，算术平方根，立方根，掌握实数的运算，算术平方根，立方根是解题的关键．先求出的立方根与的算术平方根，再求出其和即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是； ∵， ∴的算术平方根是， ∴． 故选：A． 【变式8-1】如果的立方根是，则的算术平方根为 ． 【答案】4． 【分析】根据3﹣6x的立方根为﹣3可求出x的值，继而可求出代数式2x+6的值，也可求出2x+6的算术平方根． 【详解】解：∵3﹣6x的立方根是﹣3， ∴3﹣6x＝﹣27， ∴x＝5， ∴2x+6＝2×5+6＝16， ∴16的算术平方根为4． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了平方根和立方根的知识，属于基础题，解答此题的关键是根据立方根的知识求出x的值． 【变式8-2】若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查根式的运算性质，特别是奇次根式与偶次根式的区别，以及绝对值的应用，理解相关概念是解题的关键. 【详解】解： ∵； ∴ 故选：A. 题型九 无理数的概念 【例9】下列四个实数中，是正无理数的是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数的分类，无理数的定义，算术平方根和立方根，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键． 无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案． 【详解】解：A、0是有理数，不符合题意； B、是有理数，不符合题意； C、是负无理数，不符合题意； D、 是正无理数，符合题意， 故选 D． 【变式9-1】在实数（每两个1之间0的个数依次增加1）中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查了无理数的定义．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．有限小数和无限循环小数是有理数而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：在实数 (每两个1之间0的个数依次增加1)中，无理数有 (每两个1之间0的个数依次增加1)，一共3个． 故选C． 【变式9-2】在，，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）这些数中，无理数有 ． 【答案】 （相邻两个之间的个数逐次加） 【分析】本题考查了对无理数的定义的应用，能正确理解无理数的定义是解此题的关键． 根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可． 【详解】解：无理数有，（相邻两个之间的个数逐次加），共个． 故答案为：，（相邻两个之间的个数逐次加）． 题型十 与无理数整数部分有关的计算 【例10】已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（    ） A．5 B．7 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小、算术平方根等知识，正确得出x，y的值是解题的关键．直接利用算术平方根的定义得出x的值，再利用估算无理数的方法得出y的值，进而代值求解即可． 【详解】解：∵的算术平方根是3， ∴，解得； ∵y是的整数部分，， ∴， ∴， 故选：C． 【变式10-1】若的小数部分为a，的小数部分为b，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，估算出，从而可得，，即可得出，，代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，， ∵的小数部分为a，的小数部分为b， ∴，， ∴， 故选：A． 【变式10-2】若与的小数部分分别为与，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算；根据可得与的小数部分，然后计算即可． 【详解】解：∵， ∴的小数部分是，的小数部分是， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 题型十一 实数的相关性质 【例11】的相反数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相反数的定义，只有符号不同的数是相反数．根据相反数的定义，即可解答． 【详解】解：的相反数是， 故选：C． 【变式11-1】化简的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的性质，化简绝对值；先判断与1的大小，再化简绝对值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故选：B． 【变式11-2】已知实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数、倒数、绝对值的性质，求解代数式的值，正确掌握相关定义是解题关键． 根据相反数、倒数、绝对值的性质分别得出，然后代入计算即可解答． 【详解】解：∵实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为， ∴， ∴， ∴． 题型十二 实数与数轴 【例12】无理数在数轴上的对应点如图所示，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根的定义，无理数的估算，解题的关键是掌握实数与数轴的关系，算术平方根的定义，无理数的估算．利用实数与数轴的关系，算术平方根的定义，无理数的定义求解即可． 【详解】解：根据数轴图可以发现点的整数部分是1， ∴只有选项C符合题意． 故选：C． 【变式12-1】实数a、b、c、d在数轴上的对应点的位置如图所示，在这四个数中，绝对值最小的数是（　　） A．a B．b C．c D．d 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，根据绝对值是到原点的距离即可得到答案； 【详解】解：根据绝对值的定义：到原点的距离是一个数的绝对值，所以距离越近绝对值就越小； 由数轴可知：实数c距离原点最近， 所以绝对值最小的数是c． 故选：C． 【变式12-2】如图，数轴上的点，，，，分别表示数，，，，，那么表示数的点应落在（　　） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】A 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，实数与数轴，熟练掌握夹逼法估算无理数的大小是解题的关键． 先估算的取值范围，进而得出的取值范围，从而进行判断． 【详解】解：， ， ， ， 数轴上的点，，，，分别表示数，，，，， 表示数的点应落在线段上， 故选A． 题型十三 比较实数的大小 【例13】在实数中，最大的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数大小比较的方法，熟练掌握负数的大小比较是解题的关键． 根据负实数绝对值大的反而小即可得到答案． 【详解】因为， 所以最大的实数是， 故选：B． 【变式13-1】下列实数比较大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数大小比较，根据实数比较大小的法则对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项错误； ，则，故C选项错误； ，则，故D选项正确； 故选：D． 【变式13-2】要比较两个无理数的大小，在不借助计算器的情况下，有一种简便的估算方法：先找出一个中间量分别与要比较的两个数作比较，再利用“若，，则”这一性质比较大小．根据这种思路，比较与的大小，可取数 做中间量． 【答案】 【分析】本题主要考查无理数的估算及立方根、算术平方根，熟练掌握无理数的估算及立方根、算术平方根是解题的关键． 根据与比较接近，与比较接近，而，从而以为中间数即可比较大小． 【详解】解：∵，即：， ，即：， ∴， 故答案为：． 题型十四 近似数 【例14】下面各数中的“2”表示2个千分之一的是（   ） A． B． C．2763 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的认识，解题的关键是掌握有理数数位的意义． 利用有理数数位上数字的意义进行求解即可． 【详解】解：A. 该数中的“2”表示2个一，不符合题意； B. 该数中的“2”表示2个百分之一，不符合题意； C. 该数中的“2”表示2个千，不符合题意； D. 该数中的“2”表示2个千分之一，符合题意； 故选：D． 【变式14-1】近似数精确到了（   ） A．千分位 B．百分位 C．十分位 D．个位 【答案】C 【分析】本题考查近似数的精确度．看末位数字实际在哪一位即可． 【详解】解：，末位数字在十分位， ∴近似数精确到了十分位． 故选：C． 【变式14-2】近似数有 个有效数字，精确到 位． 【答案】 3 万 【分析】本题考查近似数的精确度和有效数字的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据近似数的精确度和有效数字的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴近似数有3个有效数字，精确到万位． 故答案为：3；万． 题型十五 实数的分类 【例15】下列各数中：，，，，，（相邻两个2之间0的个数逐次加1），，，． (1)无理数有：______； (2)负实数有：______． 【答案】(1)（相邻两个2之间0的个数逐次加1），， (2)， 【分析】本题主要考查了实数的分类： （1）根据无理数的定义解答即可； （2）根据实数的分类解答即可． 【详解】（1）解：无理数有：（相邻两个2之间0的个数逐次加1），，； 故答案为：（相邻两个2之间0的个数逐次加1），，； （2）解：负实数有：，． 故答案为：， 【变式15-1】把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，，（两个1之间的0依次多1） (1)正数集合：{                                             …} (2)整数集合：{                                             …} (3)分数集合：{                                             …} (4)无理数集合：{                                             …} 【答案】(1) (2) (3) (4)（两个1之间的0依次多1） 【分析】本题考查了实数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数，无限不循环小数是无理数是解题的关键． （1）根据正数为大于0的数即可求解； （2）根据整数包括：正整数、0和负整数即可求解； （3）根据分数包括正分数和负分数即可求解； （4）根据无限不循环小数是无理数，即可求解． 【详解】（1）解：，， 正数集合：； （2）解：整数集合：； （3）解：分数集合：； （4）解：无理数集合：（两个1之间的0依次多1）． 【变式15-2】把下列各数填在相应的表示集合的大括号里． ，π，，，0，，，，，2025，． 整数集合：{ }； 分数集合：{ }； 非负数集合：{ }； 负有理数集合：{ }． 【答案】见解析 【分析】本题考查了实数的相关概念及分类，掌握有理数的相关定义成为解题的关键． 根据有理数的分类和定义逐个判断即可解答． 【详解】解：整数集合：{，0，，2025}； 分数集合：{，，，，，}； 非负数集合：{，π，，，0，，2025}； 负有理数集合：{，，，}． 基础巩固通关测 1．在下列实数中，是无理数的是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数，根据无限不循环小数就是无理数这个定义判断即可． 【详解】解：是无理数，，，是有理数， 故选：B． 2．8的立方根是（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴8的立方根是2， 故选：A． 3．(24-25八上·山东济南历城区第六中学·月考)4的算术平方根是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据算术平方根的运算法则即可求解． 【详解】解：的算术平方根是：， 故选：B． 4．下面几个数中，绝对值最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的大小比较，由实数大小比较法则及绝对值得，即可求解． 【详解】解：， 故选：D． 5．(24-25七上·贵州遵义新蒲新区滨湖中学·期中)若一个数通过四舍五入后得到，则该数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了近似数，根据四舍五入法的方法，精确到哪一位，就要对保留的数位的后一位的数进行四舍五入，据此逐项进行判断即可． 【详解】解：A．精确到十分位是，故不符合题意； B．精确到十分位是，故符合题意； C．精确到十分位是，故不符合题意； D．精确到十分位是，故不符合题意． 故选：B． 6．(2025·山东省济南市·)下列各数中为负数的是（　　） A． B．0 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查负数的识别．小于0的数即为负数，据此即可求得答案． 【详解】解：和2均大于0，是正数，0既不是正数也不是负数，，是负数， 故选：D ． 7．若是实数，且，则下列关系式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据算术平方根、绝对值、立方根的意义，分别对四个选项作出分析，再判断． 【详解】解：∵是实数，且， A. 当时，故该选项不正确，不符合题意； B. 当时，故该选项不正确，不符合题意； C. 由得，故该选项正确，符合题意； D. 当时，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，算术平方根，绝对值，立方根，解题关键是实数的大小比较的方法． 8．(24-25七·第2章实数专题演练综合训练-·)比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小估算，无理数的大小比较，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先估算出，，即可得出答案． 【详解】解：, ， ，即， ， 故答案为：． 9．近似数精确到 位． 【答案】百 【分析】本题考查了近似数，“精确到第几位”是近似数的精确度的常用的表示形式． 用科学记数法所表示的数，精确到哪一位要将原数还原后，从左起最后一个有效数字在哪一位就精确到哪一位． 【详解】解：，在百位上，则精确到了百位， 故答案为：百． 10．若的平方等于，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根的定义，根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】解：由题可知：， ∴， 故答案为：． 11．(25-26八上·山东济南中区·月考)正数的两个平方根分别是和，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平方根的性质和应用，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，可得：． 【详解】解：正数的两个平方根分别是和， ． 故答案为：． 12．(24-25八上·江苏宿迁宿城区·月考)若，则 ． 【答案】5或1/1或5 【分析】本题考查利用平方根的概念解方程，方程两边同时除以5，再根据平方根的概念即可转化为两个一元一次方程，求解即可得到答案． 【详解】 ， ∴或， 故答案为：5或1． 13．写出一个比大的负有理数是 ；比大的负无理数是 ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】本题考查实数的大小比较，有理数的大小比较，解题的关键是掌握：正数大于负数，正数大于零，零大于负数；数轴上的点所对应的实数，越往右越大．据此解即可． 【详解】解：根据数轴的特点找出在右边的负有理数及负无理数， 例如：比大的负有理数可以是，比大的负无理数可以是． 故答案为：（答案不唯一）；（答案不唯一）． 14．(2025·山东省济南市·)已知一个正方形的面积为2，则其边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的应用，正方形的面积等于边长的平方，所以2的算术平方根即为所求． 【详解】解：已知一个正方形的面积为2，则其边长为． 故答案为： 15．(24-25七下·陕西西安临潼区·期末)用500块相同的正方形防滑地砖将面积为45平方米的学校走廊铺满，每块地砖的边长是 厘米． 【答案】30 【分析】本题考查了算术平方根的应用． 先求出每块地砖的面积，在计算算术平方根即可． 【详解】解：∵用500块相同的正方形防滑地砖将面积为45平方米的学校走廊铺满， ∴每块地砖的面积为（平方米）， 则每块地砖的边长是（米）（厘米）， 故答案为：30． 16．计算： 【答案】2 【分析】本题考查算术平方根，零指数幂，根据算术平方根与零次幂求解即可． 【详解】解：． 17．(24-25七上·浙江名校发展共同体·月考)计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，实数的运算，算术平方根即立方根，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键． （1）先计算乘法，再计算减法即可； （2）先计算乘方，立方根和算术平方根，再计算加法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．解方程： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题关键： （1）先将方程整理为，再利用平方根解方程即可得； （2）先将方程整理为，再利用平方根解方程即可得． 【详解】（1）解：， ， 或； （2）解： ， 或， 或． 19．当，时，求的值． 【答案】13 【分析】根据题意将，代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 【点睛】此题考查了算术平方根的代数求值问题，解题的关键是熟练掌握算术平方根求解方法． 20．若是平方等于其本身的有理数，，且，求的值． 【答案】 【分析】根据题意，利用有理数的乘方以及平方根定义求出与的值，即可求出的值． 【详解】解：∵是平方等于其本身的有理数， ∴或， ∵， ∴或， ∵， ∴，， ∴． ∴的值为． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，减法，平方根的定义．熟记运算性质和法则是解题的关键，难点在于确定与的对应关系． 21．若，求的立方根． 【答案】 【分析】此题考查非负数的性质，立方根和绝对值，解题关键在于掌握非负数的性质．根据非负数的性质，求出，的值，代入即可得出结果． 【详解】解： ， ，， 解得：，， ， 的立方根是， 22．把下列各数填入相应的集合内． ，，，，，，，，，… 整数集合{ …}； 分数集合{ …}； 无理数集合{ …}． 【答案】见解析 【分析】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键．本题根据整数，分数，无理数的意义，逐一判断即可解答． 【详解】解：整数集合{ ，0，，5，…}； 分数集合{ ，，，，…}； 无理数集合{，…，…}； 23．已知a，b满足． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及平方根的求解，根据题意得是解题关键． （1）由题意得，即可得，从而可求； （2）求解即3的平方根即可； 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ∴， ∴， 解得：； （2）解：， ∴的平方根为． 24．(24-25七下·陕西延安志丹县·期末)已知的算术平方根是，的立方根是． (1)求a与b的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题主要考查算术平方根，立方根，熟练掌握算术平方根，立方根的概念是解题的关键． （1）根据算术平方根及立方根可直接列式计算； （2）由（1）及立方根可直接求解． 【详解】（1）解：根据题意，得，解得， ，解得； （2）解：当，时，， 的立方根为3． 25．(24-25七下·辽宁盘锦大洼区第一中学·月考)小梦制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为． (1)求长方形信封的长和宽； (2)小梦能将贺卡不折叠就放入此信封吗?请通过计算给出判断． 【答案】(1)长方形信封的长为，宽为； (2)小梦不能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 【分析】本题考查了算术平方根的应用，以及无理数的估算，利用算术平方根的定义求出正方形贺卡的边长是解题的关键． （1）先设长方形信封的长为，宽为，根据面积为列方程求解即可； （2）先求出贺卡的边长，然后与信封的宽比较即可． 【详解】（1）解：设长方形信封的长为，宽为， 由题意得， ∴，负值舍去， ，， 答：长方形信封的长为，宽为； （2）解：小梦不能将这张贺卡不折叠就放入此信封， 由题意得：面积为的正方形贺卡的边长是， ， ∴信封的宽小于正方形贺卡的边长， ∴小梦不能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 26．(24-25七下·山西吕梁离石区·期末)小悦和小涵利用当地一座高楼探究小球的下落时间和下落高度之间的关系． 实验一：小悦从80米高处释放小球，记录小球下落时间； 实验二：小涵从20米高处释放小球，记录小球下落时间． 已知一个物体从高处自由下落时，下落高度h（米）和下落时间t（秒）可以用公式来表示． (1)请利用公式，求的值． (2)实验后，小涵对小悦说：“我记录的时间刚好是你记录的时间的一半．”小悦说：“你一定是记录错了．”两位同学谁的说法正确？请通过计算说明理由． 【答案】(1)； (2)小涵说得对． 【分析】本题考查算术平方根的应用． （1）把代入进行计算即可； （2）根据求出，即可判断． 【详解】（1）解：当米时， ， 答：小悦从80米高处释放小球，小球下落时间； （2）解：小涵说得对．理由：由（1）得， 当0米时，， 即小涵从20米高处释放小球，小球下落时间， ∵， ∴， 所以小涵说得对． 能力提升进阶练 1．(2025·四川省广元市·)的相反数是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的计算及相反数的概念，解题的关键是先求出√4的具体值，再根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数）确定其相反数． 计算的值：因为，所以；求2的相反数：根据相反数定义，2的相反数是，因此的相反数是． 【详解】解：∵表示4的算术平方根，且， ∴ ． 根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数），可得2的相反数是，即的相反数是． 故选：B． 2．(24-25八上·甘肃兰州第四十八中学·期中)在（相邻两个2之间的1的个数逐次加1），中，无理数的个数有 （   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查实数的分类，无理数的定义，掌握知识点是解题的关键． 按无理数的定义逐一判断，即可解答． 【详解】解：，， 所以无理数有（相邻两个2之间的1的个数逐次加1），共2个． 故选A． 3．的算术平方根是（    ） A．4 B．4或 C．2 D．2或 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键．根据，求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴的算术平方根是2， 故选：C． 4．下列计算正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，实数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据算术平方根的定义，实数的性质分别判断即可． 【详解】解：A、，原写法错误，故本选项不符合题意； B、，原写法错误，故本选项不符合题意； C、，写法正确，故本选项符合题意； D、，原写法错误，故本选项不符合题意； 故选：C． 5．下列说法正确的是（    ） A．近似数与的精确度一样 B．近似数与2000的意义完全一样 C．精确到万分位 D．万与的精确度不同 【答案】C 【分析】此题考查了近似数，解答此题应掌握数的精确度的知识，最后一位所在的位置就是精确度． 根据最后一位所在的位置就是精确度，即可得出答案． 【详解】解：A、精确到百分位，精确到十分位，精确度不一样，故本选项不符合题意； B、近似数精确到百位，2000精确到个位，意义不一样，故本选项不符合题意； C、精确到万分位，故本选项符合题意； D、万与的精确度相同，都是精确到百位，故本选项不符合题意； 故选：C． 6．(24-25七下·云南昆明嵩明县·期中)公元前世纪古希腊的毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示后来，这一学派的希帕索斯发现，边长为的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示（如图），由此引发了第一次数学危机这里“不能用整数或整数的比表示的数”是指（    ） A．自然数 B．正分数 C．有理数 D．无理数 【答案】D 【分析】本题考查了实数，根据实数的分类及无理数的定义解答即可． 【详解】解：， （舍去）， ∵是无理数， “不能用整数或整数的比表示的数”是指无理数． 故选：D． 7．(24-25八上·甘肃兰州第四十八中学·期中)已知，则的值为 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，利用非负数的性质求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：． 8．(2025·四川省资阳市·)已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，根据数轴上两点间距离的定义，该点可能在点A的左侧或右侧，分别计算即可． 【详解】解：数轴上点A表示的数是，与点A相距2个单位长度的点可能在点A的左侧或右侧． 当该点在点A右侧时，表示的数为． 当该点在点A左侧时，表示的数为． 因此，符合条件的数为或 故选A． 9．(25-26八上·广东揭阳真理中学·模拟)数轴上表示，的点分别为，，点是的中点，则点所表示的数是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，用到的知识点为：求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数．知道两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离．首先根据数轴上1，的对应点分别是点A和点B，可以求出线段AB的长度，然后根据中点的性质即可解答． 【详解】解：∵数轴上1，的对应点分别是点A和点B， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴点C表示的数为：． 故选：C． 10．比较大小： 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，估算无理数．熟练掌握会估算无理数的大小是解题的关键． 先估算出，从而得出，再利用不等式性质得到即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 11．(25-26八上·上海中国中学·月考)如果x，y满足，那么的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，求一个数的立方根，将等式的左边化为两个完全平方的和的形式，利用非负性求出的值，再根据立方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的立方根为； 故答案为： 12．(24-25九下·福建泉州泉州师范学院附属中学，泉州台商投资区玉埕·月考)阅读材料：由，可知的算术平方根是．类似地，的算术平方根是 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根是解题的关键．理解题目中的计算步骤，根据计算步骤进行求解即可． 【详解】解：， 故的算术平方根是． 故答案为：． 13．(2024九·山东省泰安市·二模)计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算． 先将算术平方根，立方根，0次幂，绝对值，负整数幂化简，再进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 14．(2025·青海省西宁市·)（1）计算： （2）化简：． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查立方根，算术平方根，绝对值，二次根式的加减，完全平方公式，平方差公式，合并同类项，掌握知识点是解题的关键． （1）先计算立方根，算术平方根，绝对值，再进行二次根式的加减即可； （2）先计算完全平方公式，平方差公式，再进行合并同类项即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ． 15．(24-25七下·四川广元利州区东城实验初级中学教育集团·)已知和是某正数m的两个平方根，的立方根为，c是的整数部分． (1)求m的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)25 (2) 【分析】本题主要考查了平方根、立方根、无理数的估算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平方根的概念求出，即可得到； （2）根据立方根的概念求出，根据无理数的估算求出 ，把， ， 代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵和是某正数m的两个平方根， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵的立方根为， ∴， ∴； ∵是的整数部分，， ∴， ∴， 的平方根是． 16．(2025·福建省福州市·模拟)已知整数a，b，m，n满足． (1)求证：为非负数； (2)若m，n为两个连续的正整数，且，求证：c一定是奇数． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）因为，所以，将这个式子代入到中，可得原式，据此证明以为非负数； （2）因为m，n为两个连续的正整数，且，所以，，所以，因为m，n为两个连续的正整数，所以是奇数，据此得证． 本题考查了整式的混合运算、非负数的性质：偶次方、非负数的性质：算术平方根，解决本题的关键是先将要计算的式子进行化简． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以 = = ， 因为， 所以， 所以为非负数． （2）因为， 且m，n为两个连续的正整数，且， 所以，， 所以 = = = ， 因为m，n为两个连续的正整数， 所以是奇数， 所以c一定是奇数． 17．(24-25七下·广西百色县级·期中)已知的平方根为，的立方根为． (1)求的算术平方根及的立方根； (2)若是的整数部分，求的平方根． 【答案】(1)的算术平方根为，的立方根为； (2)． 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，根据算术平方根和立方根求原数，无理数的估算，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据算术平方根和立方根的定义可得，的值，然后求解即可； （）先通过无理数的估算求出的值，然后把，代入求出平方根即可． 【详解】（1）解：∵的平方根为，的立方根为， ∴，， 解得，， ∴， ∴的算术平方根为， ∴， ∴的立方根为； （2）解：∵， ∴的整数部分， ∴， ∴的平方根为． 18．一个数值转换器，如图所示： (1)当输入的为16时，输出的的值是_____________； (2)若输入有效的的值后，始终输不出的值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (3)若输出的是，请写出两个满足要求的的值． 【答案】(1) (2)当和1时，始终输不出的值，理由见解析 (3)25，5（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了算术平方根的概念，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． （1）按照数值转换器的规则，逐步对输入的16取算术平方根，直到得到无理数为止． （2）思考哪些数的算术平方根是其本身且为有理数，使得始终输不出无理数的值． （3）根据输出的，反向推导，找出经过一次或多次取算术平方根能得到的值． 【详解】（1）解：， ，（是无理数）， 所以输出的的值是． （2）解：或，理由如下： 因为，，0和1的算术平方根是它们本身，且是有理数， 所以当或时，始终输不出的值． （3）解：因为，， 所以或（答案不唯一）． 19．(24-25七下·青海玉树州称多县第一民族中学·期末)已知a是的平方根，b是的平方根，c的立方根是，d的算术平方根为 (1)求a、b、c的值； (2)d的另外一个平方根落在图中的______（填“段①”、“段②”、“段③”或“段④”） 【答案】(1)，， (2)段① 【分析】本题考查了立方根，平方根，算术平方根，熟练掌握这几个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义求出a的值，根据平方根的定义求出b的值，根据立方根的定义求出c的值即可； （2）先求出d的另一个平方根，再利用夹逼法判断的取值范围即可作出判断． 【详解】（1）解：是的平方根， ， 是的平方根， ， 的立方根是， ； （2）解：的算术平方根为， ， 的另一个平方根是， ， ， ， 落在图中的段①， 故答案为：段①． 20．(2025·福建省福州市·)据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出准确地说出了答案．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙. (1)你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①由，，请你确定是______位数； ②由59319的个位上的数是9，请你确定的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，请你确定的十位上的数是______． (2)已知19683是整数的立方，按照（1）中的方法，请你求出它的立方根； (3)请直接写出______． (4)是我们没有学习过的四次方根，且它的结果也是一个整数，请你根据材料的方法求出结果，并说明理由． 【答案】(1)①两②9③3 (2)27 (3)0.27 (4)23 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，解题的关键是理解并掌握立方根的定义及其延伸． （1）根据已给推理过程，按照求立方根三步走，求位数，求个位，求十位推算即可； （2）仿照（1）求解即可； （3）根据一个数的小数点向左（右）每移动三位其立方根的小数点就向左（右）移动一位进行求解即可； （4）仿照已给的推理过程求解即可． 【详解】（1）解：，， 是两位数， 的个位上的数是9，而只有个数是9的数的立方个位才是9， 的个位上的数字是 9 划去59319后面的三位 319 得到数 59，，，， 的十位上的数字是 3， 故答案是：两，9，3； （2）解：，， 是两位数， 的个位上的数是3，而只有个数是7的数的立方个位才是3， 的个位上的数字是 7， 划去19683后面的三位 683得到数 19，，，，的十位上的数字是2， ； （3）解：， ， 故答案为：； （4）解：，， ， 是两位数， 划去279841后面的四位9841得到数 27，，，，的十位上的数字是2， 的个位上的是1，而个数是1、3、7、9的数的四次方个位才是1， 验证可得 21．(24-25七下·广西南宁邕宁区·期末)如图是由8个同样大小的立方体组成的二阶魔方，体积为． (1)求这个魔方的棱长； (2)图中阴影部分是一个正方形，求阴影部分的面积及其边长． (3)把正方形放到数轴上，如图，使得点A与1重合，数轴上有一个动点E，若，则点E在数轴上表示的数为______． 【答案】(1)2 (2)阴影部分的面积为2，边长为 (3)或． 【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，求出每个小正方体的棱长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解； （3）分当动点在点A左边和右边两种情况求解． 本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． 【详解】（1）解：设这个魔方的棱长为x， 则， 解得： 故这个魔方的棱长为2； （2）棱长为2， 每个小立方体的棱长都是1， 阴影部分； 阴影部分正方形的边长为：； （3）正方形的边长为，点A与1重合，， 动点E在点左边时，数轴上表示的数为：， 动点E在点右边时，数轴上表示的数为：， 故答案为：或． 22．(24-25七下·湖南株洲荷塘区·期末)【回顾旧知】学习实数时，我们通过剪拼两个边长为1的小正方形纸片，可以得到一个边长为的大正方形，如图1所示． 【类比迁移】（1）如图，有五个边长为1的小正方形组成的图形纸（图2），可以把它剪拼成一个大正方形（图3）．图3中拼成的大正方形的面积是 ，边长是 ． 【猜想验证】（2）猜想：大小不同的两个正方形，也可以剪拼成一个大正方形．已知如图4放置的两个正方形，其边长分别为，请你设计一种剪拼的方法验证上述猜想．在图4中需要裁剪的边上标出裁剪点的位置以及线段长度（用表示），画出裁剪线，标出各裁剪后的图形序号（类似图2），在图5中的方框画出拼接后的大正方形的示意图（类似图3）． 【答案】（1）5，；（2）见解析 【详解】解：（1）图2可以把它剪拼成一个大正方形（图3）， 图3中拼成的大正方形的面积等于图2的面积， 图3中拼成的大正方形的面积为； 边长为， 故答案为：5，； （2）如图所示： 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十四章 实数（复习讲义） 1.理解实数的定义及分类，.熟记相反数、绝对值、倒数的概念。 2.掌握实数与数轴的一一对应关系。 3. 熟练完成实数的加、减、乘、除、乘方、开方运算以及混合运算。 4.能用实数解决平方根、立方根相关的实际问题。 5. 能体会数系从有理数到实数的扩展逻辑，建立“数与形”结合的思维，为后续函数、方程学习奠定基础。 知识点 重点归纳 常见易错点 平方根与算术平方根 ①理解平方根和算术平方根的概念，能区分平方根以及算术平方根； ②能熟练计算非负数的平方根、算术平方根。 混淆平方根与算术平方根的概念，一个正数有两个平方根，只有一个算术平方根，负数没有平方根，如4的平方根为2，算术平方根为2，误写成2；忽略被开方数非负，如计算（无意义）。 立方根 若x3 = a，则x是a的立方根，记为，任意实数都有唯一立方根 在符号上判断错误，如误将算成2；与平方根混淆，认为负数没有立方根。 实数的相关性质与分类 ①有理数（整数、分数）和无理数（无限不循环小数）统称为实数； ②实数与数轴上的点一一对应，且实数同样有相反数、绝对值、倒数等性质。 ①对无理数与有理数区分不清，如带省略号不循环的小数与循环的小数搞混淆：1.2121121112…（每两个2之间的1依次增加一个）与， ②忽略无理数的绝对值计算。 实数的运算  满足交换律、结合律、分配律；减法为加法的逆运算，除法为乘法的逆运算（除数不为零）。符号规则：正×正=正，正×负=负，负×负=正。 绝对值：|a| 表示数轴上点 a 到原点的距离，例如 |-3|=3。 符号处理不当：例如，在带负数的运算中出错，如 - × (-) = √6，但学生可能错算为 -√6 或忽略符号；指数与根式规则混淆：如 = |a|，而非直接 a；若 a 为负数时，错误写成 = a 会导致错误。 无理数近似值误用：在精确计算中，提前使用近似值（如用1.41代替）导致累积误差。解题时应先保留符号，最后再代入数值。 除法错误：忽略“除数不能为零”，尤其在分母包含变量时（如 1/(x-1) 中 x=1 无解）。 比较实数的大小 遵循正数>0>负数的原则；若同是正无理数比较大小（带根号），则被开方数越大的数就越大；反之越小。 若同是负无理数比较大小（带根号），则被开方数越大的数就越小；反之越大。若是有理数与无理数（带根号）比较大小，可采用作差法、作商法、同时平方法进行比较。也可借助数轴进行比较大小。 数轴点表示错误：如将放置在1.5位置（正确在1.7附近），或无法识别无理数的位置；大小比较失误：如比较 -π 和 -3.14，误以为 -π > -3.14（实际 π≈3.14，所以 -π < -3.14）。 小技巧：负数比较时，绝对值大的负数反而小。 实数的应用 在实际问题中：如图形计算（面积、体积涉及）、测量误差处理；与代数式结合：如方程 ax² + b = 0 的根可能为无理数。 忽略实际条件：例如，计算矩形面积时，边长带，结果应保留，但学生可能用小数导致不精确。 运算顺序遗漏：带根号的混合运算如 + 2 × 3，误算为 × 3（正确步骤：=2, 再 2 + 6=8）。 近似数 理解四舍五入法和有效数字的取舍 误解四舍五入法的省略规则，易漏位，如将3.14159省略到百分位，就要看千分位上的数字是否大于或等于5；对有效数字理解有误，如2.50认为有效数字为2，5. 拓展 无理数的证明与应用；无理数在艺术与建筑中的应用；实数与几何图形的联系；高次根式与计算技巧；实数运算律的深层理解。 尝试证明 是无理数（可采用反证法）；无理数在艺术与建筑中的应用；在坐标系中定位 ，π 等无理数点；拓展立方根性质到更高次根式（如 ⁴ = 2）；练习分母有理化进阶：。 复习策略：复习本章时，重点通过练习题强化概念理解（如区分有理数和无理数的例题），并多做数轴 作图题以巩固表示方法。在运算中，养成先写符号、后代入数值的习惯，能有效减少错误。 题型一 平方根的概念理解 【例1】下列各数中，没有平方根的是（   ） A．18 B． C． D． 【变式1-1】若实数a，b是同一个数的两个不同的平方根，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】若代数式没有平方根，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型二 已知一个数的平方根求这个数 【例2】一个正数的两个平方根是和，则这个数是（   ） A．2 B． C．4 D．1 【变式2-1】已知一个正实数x的两个平方根分别是m和，且，则x的值为（　　） A．5 B．10 C．25 D．50 【变式2-2】若m和n是10的两个平方根，则的值是（    ） A．0 B．10 C．20 D． 题型三 利用平方根解方程 【例3】，则的值为（    ） A．2 B． C． D．4 【变式3-1】方程的根为（   ） A．2 B． C． D． 【变式3-2】若， 则x的值为（     ） A．5 B．1 C．5或 D．1或 题型四 平方根的应用 【例4】已知一个正方体的表面积是6a，那么它的棱长为（   ） A． B． C．6a D． 【变式4-1】某学校会议室的面积为，会议室地面恰由100块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是 ． 【变式4-2】园艺师设计了一个正方形花坛，边长为米，面积为平方米，则的所有可能取值为 ． 题型五 利用非负性解决问题 【例5】若是有理数，则满足条件的自然数a的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-1】已知实数、满足，则等于（    ） A．3 B． C．1 D． 【变式5-2】已知，则的值为（    ） A．4 B．2 C． D． 题型六 算术平方根的实际应用 【例6】电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A），导线电阻R（单位：），通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足．已知导线的电阻为，时间导线产生的热量，则I的值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图①，将由5个边长为1的小正方形拼成的图形按上虚线剪开，并按图②的方式重新拼成一个大的正方形，则大正方形的边长 ． 【变式6-2】海啸是由海底地震、火山爆发、海底滑坡或气象变化所产生的破坏性海浪，海啸的波速高达每小时700－800千米，在几小时内就能横渡大洋．海啸的行进速度可按公式计算，其中v表示海啸的速度，d表示海水的深度，g表示重力加速度．若在海洋深度处发生海啸，求海啸在海洋深度为处的行进速度． 题型七 立方根的概念理解 【例7】计算： ． 【变式7-1】下列说法中，错误的是（   ） A．64的立方根是4 B．是的立方根 C．的立方根是2 D．125的立方根是 【变式7-2】已知是整数，则满足条件的最小正整数是（    ） A． B． C． D． 题型八 平方根与立方根的综合 【例8】的立方根与的算术平方根的和是（   ） A． B． C．或 D． 【变式8-1】如果的立方根是，则的算术平方根为 ． 【变式8-2】若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 题型九 无理数的概念 【例9】下列四个实数中，是正无理数的是（   ） A．0 B． C． D． 【变式9-1】在实数（每两个1之间0的个数依次增加1）中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式9-2】在，，，，，，，（相邻两个之间的个数逐次加）这些数中，无理数有 ． 题型十 与无理数整数部分有关的计算 【例10】已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（    ） A．5 B．7 C．11 D．12 【变式10-1】若的小数部分为a，的小数部分为b，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【变式10-2】若与的小数部分分别为与，则 ． 题型十一 实数的相关性质 【例11】的相反数是（　　） A． B． C． D． 【变式11-1】化简的值为（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】已知实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为，求的值． 题型十二 实数与数轴 【例12】无理数在数轴上的对应点如图所示，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】实数a、b、c、d在数轴上的对应点的位置如图所示，在这四个数中，绝对值最小的数是（　　） A．a B．b C．c D．d 【变式12-2】如图，数轴上的点，，，，分别表示数，，，，，那么表示数的点应落在（　　） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 题型十三 比较实数的大小 【例13】在实数中，最大的实数是（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】下列实数比较大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式13-2】要比较两个无理数的大小，在不借助计算器的情况下，有一种简便的估算方法：先找出一个中间量分别与要比较的两个数作比较，再利用“若，，则”这一性质比较大小．根据这种思路，比较与的大小，可取数 做中间量． 题型十四 近似数 【例14】下面各数中的“2”表示2个千分之一的是（   ） A． B． C．2763 D． 【变式14-1】近似数精确到了（   ） A．千分位 B．百分位 C．十分位 D．个位 【变式14-2】近似数有 个有效数字，精确到 位． 题型十五 实数的分类 【例15】下列各数中：，，，，，（相邻两个2之间0的个数逐次加1），，，． (1)无理数有：______； (2)负实数有：______． 【变式15-1】把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，，（两个1之间的0依次多1） (1)正数集合：{                                             …} (2)整数集合：{                                             …} (3)分数集合：{                                             …} (4)无理数集合：{                                             …} 【变式15-2】把下列各数填在相应的表示集合的大括号里． ，π，，，0，，，，，2025，． 整数集合：{ }； 分数集合：{ }； 非负数集合：{ }； 负有理数集合：{ }． 基础巩固通关测 1．在下列实数中，是无理数的是（   ） A．2 B． C． D． 2．8的立方根是（    ） A．2 B． C．0 D． 3．(24-25八上·山东济南历城区第六中学·月考)4的算术平方根是（　　） A． B．2 C． D． 4．下面几个数中，绝对值最大的是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25七上·贵州遵义新蒲新区滨湖中学·期中)若一个数通过四舍五入后得到，则该数可能是（   ） A． B． C． D． 6．(2025·山东省济南市·)下列各数中为负数的是（　　） A． B．0 C．2 D． 7．若是实数，且，则下列关系式成立的是（ ） A． B． C． D． 8．(24-25七·第2章实数专题演练综合训练-·)比较大小： ． 9．近似数精确到 位． 10．若的平方等于，则 ． 11．(25-26八上·山东济南中区·月考)正数的两个平方根分别是和，则 ． 12．(24-25八上·江苏宿迁宿城区·月考)若，则 ． 13．写出一个比大的负有理数是 ；比大的负无理数是 ． 14．(2025·山东省济南市·)已知一个正方形的面积为2，则其边长为 ． 15．(24-25七下·陕西西安临潼区·期末)用500块相同的正方形防滑地砖将面积为45平方米的学校走廊铺满，每块地砖的边长是 厘米． 16．计算： 17．(24-25七上·浙江名校发展共同体·月考)计算： (1)； (2)． 18．解方程： (1)； (2) 19．当，时，求的值． 20．若是平方等于其本身的有理数，，且，求的值． 21．若，求的立方根． 22．把下列各数填入相应的集合内． ，，，，，，，，，… 整数集合{ …}； 分数集合{ …}； 无理数集合{ …}． 23．已知a，b满足． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 24．(24-25七下·陕西延安志丹县·期末)已知的算术平方根是，的立方根是． (1)求a与b的值； (2)求的立方根． 25．(24-25七下·辽宁盘锦大洼区第一中学·月考)小梦制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为． (1)求长方形信封的长和宽； (2)小梦能将贺卡不折叠就放入此信封吗?请通过计算给出判断． 26．(24-25七下·山西吕梁离石区·期末)小悦和小涵利用当地一座高楼探究小球的下落时间和下落高度之间的关系． 实验一：小悦从80米高处释放小球，记录小球下落时间； 实验二：小涵从20米高处释放小球，记录小球下落时间． 已知一个物体从高处自由下落时，下落高度h（米）和下落时间t（秒）可以用公式来表示． (1)请利用公式，求的值． (2)实验后，小涵对小悦说：“我记录的时间刚好是你记录的时间的一半．”小悦说：“你一定是记录错了．”两位同学谁的说法正确？请通过计算说明理由． 能力提升进阶练 1．(2025·四川省广元市·)的相反数是（   ） A． B． C．2 D．4 2．(24-25八上·甘肃兰州第四十八中学·期中)在（相邻两个2之间的1的个数逐次加1），中，无理数的个数有 （   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．的算术平方根是（    ） A．4 B．4或 C．2 D．2或 4．下列计算正确的是（       ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（    ） A．近似数与的精确度一样 B．近似数与2000的意义完全一样 C．精确到万分位 D．万与的精确度不同 6．(24-25七下·云南昆明嵩明县·期中)公元前世纪古希腊的毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示后来，这一学派的希帕索斯发现，边长为的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示（如图），由此引发了第一次数学危机这里“不能用整数或整数的比表示的数”是指（    ） A．自然数 B．正分数 C．有理数 D．无理数 7．(24-25八上·甘肃兰州第四十八中学·期中)已知，则的值为 （   ） A． B． C． D． 8．(2025·四川省资阳市·)已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（   ） A．或 B．或 C． D． 9．(25-26八上·广东揭阳真理中学·模拟)数轴上表示，的点分别为，，点是的中点，则点所表示的数是(　　) A． B． C． D． 10．比较大小： 11．(25-26八上·上海中国中学·月考)如果x，y满足，那么的立方根是 ． 12．(24-25九下·福建泉州泉州师范学院附属中学，泉州台商投资区玉埕·月考)阅读材料：由，可知的算术平方根是．类似地，的算术平方根是 13．(2024九·山东省泰安市·二模)计算： ． 14．(2025·青海省西宁市·)（1）计算： （2）化简：． 15．(24-25七下·四川广元利州区东城实验初级中学教育集团·)已知和是某正数m的两个平方根，的立方根为，c是的整数部分． (1)求m的值； (2)求的平方根． 16．(2025·福建省福州市·模拟)已知整数a，b，m，n满足． (1)求证：为非负数； (2)若m，n为两个连续的正整数，且，求证：c一定是奇数． 17．(24-25七下·广西百色县级·期中)已知的平方根为，的立方根为． (1)求的算术平方根及的立方根； (2)若是的整数部分，求的平方根． 18．一个数值转换器，如图所示： (1)当输入的为16时，输出的的值是_____________； (2)若输入有效的的值后，始终输不出的值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (3)若输出的是，请写出两个满足要求的的值． 19．(24-25七下·青海玉树州称多县第一民族中学·期末)已知a是的平方根，b是的平方根，c的立方根是，d的算术平方根为 (1)求a、b、c的值； (2)d的另外一个平方根落在图中的______（填“段①”、“段②”、“段③”或“段④”） 20．(2025·福建省福州市·)据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出准确地说出了答案．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙. (1)你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①由，，请你确定是______位数； ②由59319的个位上的数是9，请你确定的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，请你确定的十位上的数是______． (2)已知19683是整数的立方，按照（1）中的方法，请你求出它的立方根； (3)请直接写出______． (4)是我们没有学习过的四次方根，且它的结果也是一个整数，请你根据材料的方法求出结果，并说明理由． 21．(24-25七下·广西南宁邕宁区·期末)如图是由8个同样大小的立方体组成的二阶魔方，体积为． (1)求这个魔方的棱长； (2)图中阴影部分是一个正方形，求阴影部分的面积及其边长． (3)把正方形放到数轴上，如图，使得点A与1重合，数轴上有一个动点E，若，则点E在数轴上表示的数为______． 22．(24-25七下·湖南株洲荷塘区·期末)【回顾旧知】学习实数时，我们通过剪拼两个边长为1的小正方形纸片，可以得到一个边长为的大正方形，如图1所示． 【类比迁移】（1）如图，有五个边长为1的小正方形组成的图形纸（图2），可以把它剪拼成一个大正方形（图3）．图3中拼成的大正方形的面积是 ，边长是 ． 【猜想验证】（2）猜想：大小不同的两个正方形，也可以剪拼成一个大正方形．已知如图4放置的两个正方形，其边长分别为，请你设计一种剪拼的方法验证上述猜想．在图4中需要裁剪的边上标出裁剪点的位置以及线段长度（用表示），画出裁剪线，标出各裁剪后的图形序号（类似图2），在图5中的方框画出拼接后的大正方形的示意图（类似图3）． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $