第十四章 实数 单元检测 2025--2026学年冀教版八年级数学上册

第十四章 实数 单元检测 一、单选题 1．下列命题：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③4是的立方根；④带根号的数都是无理数；⑤所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示实数，真命题的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．若是的算术平方根，则（  ） A． B． C． D． 3．估计的运算结果应在（    ） A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间 4．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．在实数，π，，0，3.1415926，中，无理数的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．如图在的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），勾勒一个正方形，则该正方形的边长在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 7．设表示最接近x的整数（，n为整数），则（    ） A．32 B．46 C．64 D．65 8．下表记录了一些数的平方： 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289 下列结论：①；②26896的平方根是；③的整数部分为4；④一定有3个整数的算术平方根在．其中所有正确的序号为（    ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 9．已知方程组的解满足，则的算术平方根为（     ） A． B． C．±4 D．±2 10．有这样一列数他们分别是，，，，，，按照此规律，第个数是（   ） A． B． C． D． 11．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正解的是(    ) A． B． C． D． 12．潼铜在研究数学问题时遇到一个定义：将三个已经排好顺序的数：，称为数列．计算，将这三个数的最小值称为数列的最佳值．例如，对于数列，因为，所以数列的最佳值为．潼铜进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的最佳值．如数列的最佳值为；数列的最佳值为1；…经过研究，潼铜发现，对于“”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，最佳值的最小值为；…．根据以上材料，下列说法正确的个数有 ①数列的最佳值为； ②将“，，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列取得最佳值最小值的数列为； ③将2，，这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的最佳值为1，则满足条件的值有4个． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 二、填空题 13．近似数万是精确到 位． 14．用四舍五入法将精确到千位所得到的近似数是 ． 15．对于有理数a、b，定义的含义为：当时，，例如：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的立方根为 ． 16．一个各数位均不为0的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵，∴1278是“友谊数”．若是一个“友谊数”，且，则这个数为 ；若是一个“友谊数”，设，且是整数，则满足条件的M的最小值是 ． 三、解答题 17．计算：． 18．计算: (1)； (2)； (3)； (4)． 19．（1）计算：． （2）先化简，再求值：，请在范围内选择一个你喜欢的整数代入求值． 20．【概念学习】 一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式． 【特例感知】 代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，因为，所以是对称式．而交换式子中字母m，n的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题： (1)下列代数式中是对称式的有______：（填序号） ①；②；③；④． (2)若关于m，n的代数式为对称式，则k的值为______； (3)在（2）的条件下，已知上述对称式，且，求的值． 21．新定义：若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以2的“青一区间”为，的“青一区间”为．请解答下列问题： (1)的“青一区间”是_____；的“青一区间”是______． (2)若无理数（a为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值； (3)实数x，y，m满足关系式：求m的算术平方根的“青一区间”． 22．已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的算术平方根． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 答案 1．B 解：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴错误； 在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， ∴错误； 是的立方根， ∴错误； 带根号的不一定是无理数，如是有理数， ∴错误； ∵实数与数轴上的点是一一对应的关系， ∴正确； 故选：B． 2．A 解：解：是的算术平方根，则，即， 故选：A． 3．B 解：解：∵ ∴， ∴， 故选：B． 4．D 解：解：根据图形可以得到： ，， ∴，故A项错误， ，故B项错误， ，故C项错误， ，故D项错误． 故选：D． 5．B 解：解：在实数，π，，0，3.1415926，中，无理数有，π，，共3个； 故选B． 6．B 解：解：由题意可知整个虚线正方形网格边长是，勾勒出的小正方形后，生成的四个三角形的底和高是和， ∴整个虚线正方形面积，四个三角形的面积， ∴勾勒出的小正方形的面积是， ∴勾勒出的小正方形的边长是， ∵， ∴， ∴该正方形的边长在2和3之间， 故选：B． 7．D 解：解：，即有2个1； ，即有4个2； ，即有6个3； ，即有8个4； 则剩余1个数为5． 故． 故选：D． 8．A 解：解：∵， ∴，结论①正确； ∵， ∴， ∴26896的平方根是，结论②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分是3，结论③错误； ∵，， ∴260、261、262的算术平方根在，结论④正确． 故选：A． 9．B 解：解： ①+②得：， 解得： ∵ ∴， 解得：， 则的算术平方根为2， 故选：B． 10．D 解：解：∵，，，，，， ∴第个数是， 故选：． 11．B 解：解：由数轴可得：， ∴，选项A错误，不符合题意； ，选项B正确，符合题意； ，选项C错误，不符合题意； ，选项D错误，不符合题意； 故选：B． 12．C 解：解：①，，，且， 这个数列的最佳值是，故①正确； ②把“，，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得以下数列：（1），2，；（2），，2；（3）2，，；（4）2，，；（5），，2；（6），2，； （1），，，此数列的最佳值为； （2），，，此数列的最佳值为； （3），，此数列的最佳值为； （4），，，此数列的最佳值为1； （5），，，这个数列的最佳值是； （6），，，这个数列的最佳值是； ， 取得最佳值最小值的数列为：（2）（6），故②不正确； ③分类讨论的思想同②， 经计算当或10或11时，若干数列中，有数列的最佳值为1．故③错误． 故选：C 13．千 解：解：根据题意， 近似数万精确到千位； 故答案为：千 14． 解：解：用四舍五入法将精确到千位，所得到的近似数为． 故答案为：． 15． 解：解： 又a和b为两个连续正整数， 的立方根为． 故答案为：． 16． 解：解：∵是一个“友谊数”， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴这个数为； ∵是一个“友谊数”， ∴， ∴， ∴ ， ∵是整数， ∴是整数，即是整数， ∴是的倍数， ∵、、、都是不为0的正整数，且， ∴，， ∵要是最大，则一定要满足最小， ∴当时，，此时满足是的倍数，即此时， ∴，， ∴满足题意的的最小值为； 故答案为：，． 17． 解：解： ． 18．(1) (2) (3) (4)1 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 19．（1）；（2）当时，原式 解：解：（1） ； （2） ， 当或时，原分式无意义， ∵， 可以取得整数为， 当时，原式． 20．(1)； (2)； (3)． 解：（1）解：①，交换后为，结果不变，是对称式，故①符合题意； ②，交换任意字母后指数和不变，是对称式，故②符合题意； ③，交换字母后指数积不变，是对称式，故③符合题意； ④，交换字母后为，结果不同，不是对称式，故④不符合题意； 故答案为：； （2）解：， 交换的位置为： ， ∵关于m，n的代数式为对称式， ∴， ∴，， 解得：； （3）解：将代入得： ， 整理得：， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 21．(1)， (2)2或 (3) 解：（1）∵，， ∴，， ∴的“青一区间”是，的“青一区间”是， 故答案为：，； （2）∵无理数的“青一区间”为， ∴， ∴，即， ∵的“青一区间”为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵a为正整数， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为2或； （3）∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 两式相减，得， ∴， ∴m的算术平方根为， ∵， ∴， ∴m的算术平方根的“青一区间”是． 22．(1)，， (2) 解：（1）解：由题意可得 解得 ∵， ∴ （2）当，，时，． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$