专题06 期中真题百练通关 4个题型（期中专项训练）八年级数学上学期新教材北京版

专题06 期中真题百练通关（39题4大题型） 选填小压轴 解答压轴 题型1 新定义运算 题型3 分式综合与新定义 题型2 二次根式规律探索 题型4 二次根式综合 题型一 新定义运算（共10小题） 1．(24-25八上·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·期中)用表示不超过的最大整数，例如：，则的值为（   ） A． B．21 C． D．22 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，先估算，的大小，然后根据已知条件中的新定义，求出所求代数式中带有根号的数的近似值，然后再代入所求代数式进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴表示不超过x的最大整数， ∴， ， ， ...， ， ∴ ， 故选：C． 2．(23-24八上·北京房山区·期中)对于任意实数，我们规定：．根据上述规定解决下列问题： （1）计算： ． （2）若，则 . 【答案】 1 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）已知等式利用题中的新法则变形，求出解即可得到x的值． 【详解】（1）∵＞-1， ∴=； （2）∵ ∴ ∵ ∴， 解得，x=, 经检验，x=是原方程的解. 【点睛】此题考查了解分式方程，弄清题中的新法则是解本题的关键． 3．(23-24八上·北京京源学校·期中)对任意两个正实数，，定义新运算为：若，则；若，则．则下列说法中正确的有（    ） ①；②；③． A．① B．② C．①③ D．②③ 【答案】A 【分析】此题主要考查了定义新运算，以及实数的运算①根据新运算的运算方法，分类讨论：，，判断出是否等于即可；②由①，推得，所以不一定成立；③举反例，判断出与的关系即可． 【详解】解：①时， ，， ； 时， ，， ； ①符合题意． ②由①，可得：， 当时， ， 不一定等于， 当时， ， 不一定等于， 不一定成立， ②不符合题意． ③当时， 取， ， 不成立， ③不符合题意， 说法中正确的有1个：①． 故选：A． 4．在正数范围内定义一种运算☆，其规则为☆＝，根据这个规则☆的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意根据题中的新定义将所求式子化为普通运算，去分母转化为整式方程，求出方程的解得到x的值，代入检验即可得到原分式方程的解． 【详解】解：根据题意列得：， 去分母： 移项合并： 化系数为1： 经检验方程的解为：． 故选：C. 【点睛】本题考查解分式方程，注意掌握解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．弄清题中的新定义是解本题的关键． 5．对于任意的正数m，n定义运算※为：m※n＝计算(3※2)×(8※12)的结果为(     ) A．2－4 B．2 C．2 D．20 【答案】B 【详解】解：∵3＞2， ∴3※2=， ∵8＜12， ∴8※12==， ∴（3※2）×（8※12）=（）×=2． 故选B． 6．定义：如果一个分式能化成一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“赋整分式”． 例如：；将“赋整分式”化为一个整数与一个分子为常数的分式的利的形式是 ． 【答案】 【分析】根据分式的加减法及提公因式法整理计算即可，理解题意是解题关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．定义运算“※”：．若，则x的值为（    ） A． B．或10 C．10 D．或 【答案】B 【分析】已知等式利用题中的新定义分类讨论，计算即可求出的值． 【详解】解：当时，，即：， 解得：； 经检验是分式方程的解； 当时，，即， 解得：； 经检验是分式方程的解； 故答案为：或． 故选：B． 【点睛】本题考查了新定义运算，解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键，注意检验． 8．对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为（   ） A． B． C．或 D．1或2 【答案】C 【分析】本题考查了新定义、解分式方程，分两种情况：当时，当时，分别列出分式方程，解方程即可得解． 【详解】解：当时，， 解得：， 经检验，是分式方程的解； 当时，， 解得：， 经检验，是分式方程的解； 综上所述，方程的解为或， 故选：C． 9．)对于非零的两个实数，定义一种运算：．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，解分式方程，根据题意的新定义得，然后根据解分式方程的步骤即可求解，正确理解题意得到关于的方程是解题的关键． 【详解】解：根据题意的新定义得：， 去分母得：，即， 移项合并得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， 故选：． 10．对于实数和，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中的新定义化简，转化为分式方程，解分式方程即可． 【详解】由题意化简：， ∴，解得：， 经检验：是原分式方程的解， 故选：． 【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 题型二 二次根式规律探索（共9小题） 1．(23-24八上·北京京源学校·期中)小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表. 下面有四个推断： ① ②一定有个整数的算术平方根在之间 ③对于小于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于 ④比大 所有合理推断的序号是 . 【答案】D 【分析】此题考查了乘方运算，算术平方根，平方差公式；根据表格中的信息可知和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各题即可． 【详解】解：根据表格中的信息知： ，故①正确； 根据表格中的信息知：， ∴正整数或或， ∴一定有个整数的算术平方根在之间，故②正确； ∵由题意设且， 由，， ∴对于小于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于，故③正确； ∵，，，故④正确； ∴合理推断的序号是①②③④． 故答案为：①②③④． 2．(24-25八上·北京房山区·期中)已知，，，．若为整数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵为整数，且， ∴， 故答案为：． 3．(24-25八上·北京昌平区回龙观学校·期中)我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如都是根分式，已知两个根分式与，则下列说法： ①根分式中的取值范围为：； ②存在实数，使得； ③存在实数，使得是一个整数； 上述说法中正确的是 ． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查定义新概念，二次根式的性质，二次根式和分式有意义的条件，分式的加法运算等，对于①，根据二次根式和分式的性质判断即可；对于②，将，代入，再求出分式方程的解，判断即可；对于③，将，代入再整理，讨论得出答案．理解新定义是解题的关键． 【详解】解：①根据题意可知且， 解得：，故结论①正确； ②∵，，， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴不存在实数，使得，故结论②错误； ③∵，， ∴． ∵是一个整数， ∴， 解得：或， 当时，，故不符合题意， ∴，故结论③正确． 故答案为：①③． 4．已知，，则 （结果保留3位小数）． 【答案】503.587 【分析】应用算术平方根的计算方法进行计算即可得出答案． 【详解】， 故答案为：503.587． 【点睛】本题主要考查了算术平方根及近似数，熟练掌握算术平方根及近似数定义进行求解是解决本题的关键． 5．小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表． x 26 26.1 26.2 26.3 26.4 26.5 26.6 26.7 26.8 26.9 27 x2 676 681.21 686.44 691.69 696.96 702.25 707.56 712.89 718.24 723.61 729 下面有四个推断： ①＝2.62； ②一定有6个整数的算术平方根在26.6～26.7之间； ③对于小于26的两个正数，若它们的差等于0.1，则它们的平方的差小于5.21； ④若一个正方形的边长为26.4，那么这个正方形的面积是696.96． 所有合理推断的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】估计无理数的大小即可逐个排除． 【详解】解：． ． ，故①正确． 当时． ． ． 整数有：708，709，710，711，712共5个．故②错误． 设小于26的两个正数分别是，，则． ．故③正确． ． 正方形的边长为26.4，那么这个正方形的面积是696.96．故④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查平方根与平方，平方差公式，通过表格数据对平方根进行估计是求解本题的关键． 6．观察下表后回答问题： a 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 x 1 y 100 （1）表格中 ， ； （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则 ， ； ②已知，则 ． 【答案】 0.1 10 17.32 0.01732 560 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，掌握算术平方根的定义，是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义，求解即可； （2）根据被开方数中的小数点每移动2位，算术平方根的小数点相应的移动1位，计算即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：0.1，10； （2）①，． 故答案为：17.32；0.01732； ②． 故答案为：560． 7．用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … 250 2500 … 25 250 根据以上规律，若则 【答案】41.4 【分析】本题考查算术平方根，能够读懂题意．理解图表是解题的关键． 根据表格得到规律，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，则． 【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． ． 故答案为：． 8．阅读下列材料： （1）求下列各数的算术平方根： ＝0.002，＝0.02，＝0.2，＝2，＝20， 根据以上材料填空：＝ ，＝ ． （2）已知≈1.414，直接写出：≈ ，≈ ，≈ ． 【答案】 200 2000 0.1414 14.14 141.4 【分析】（1） 观察被开方数和算术平方根小数点的位置，即可求解； （2） 根据 （1） 中的规律，从被开方数和算术平方根小数点的移动位置考虑，即可求解； 【详解】解：（1）由所提供的各数算术平方根的变化规律可知，当被开方数扩大（缩小）100倍，10000倍，1000000倍……则其结果就扩大（缩小）10倍，100倍，1000倍…… 所以＝200，＝2000， 故答案为：200，2000； （2）由（1）的规律可得， ＝0.1×≈0.1414，＝10≈14.14，＝100≈141.4， 故答案为：0.1414，14.14，141.4． 【点睛】本题考查了算术平方根的规律，解题的关键是从小数点移动的位数来考虑． 9．观察下列各式解决问题： 已知，，则 ． 已知，，则 ． 【答案】 ； ； 【分析】本题考查算术平方根与立方根的规律，根据算术平方根：被开方数扩大倍，算术平方根扩大倍，立方根：被开方数扩大倍，立方根扩大倍直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：，． 题型三 分式综合与新定义（共11小题） 1．(23-24八上·北京京源学校·期中)阅读下列材料： 我们知道，假分数可以写成带分数的形式，在这个计算过程中，先计算分子中含有几个分母，求出整数部分，再把剩余部分写成一个真分数．例如：． 对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式”．类似地，我们可以把一个“假分式”写成整式和一个“真分式”的和的形式．例如： ； ． 请根据上述材料解决下列问题： (1)请写出一个假分式：_______； (2)请将分式化为整式与真分式的和的形式； (3)设，则当时，的取值范围是______． 【答案】(1)(答案不唯一) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的加减法，分式的基本性质，不等式的性质； （1）用“假分式”的定义解答即可； （2）利用题干中的方法化简运算即可； （3）将化成整式和一个“真分式”的和的形式后，利用分式值的意义解答即可． 【详解】（1）解：，则是假分式 故答案为：(答案不唯一)． （2）解： ； （3）解：∵， ， ∵， ∴， ∴ ∴． 2．(24-25八上·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·期中)观察下列方程及其解的特征 第1个方程：的解为 第2个方程：的解为 第3个方程的解为 解答下列问题： (1)猜想，第5个方程，方程的解为________． (2)关于的第个方程为________，它的解为________； (3)利用上述规律解关于的分式方程： 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了解分式方程，数式规律问题，分式方程的解，根据题意找出规律是解题的关键． （1）仿照题中规律，解答即可； （2）仿照题中规律，解答即可； （3）先把原方程两边同时乘2，进行变形为，利用得出的规律解答即可． 【详解】（1）解：，即， ∴，， 故答案为：，； （2）解：可猜想第n个方程为：的解为，， 故答案为：，； （3）解：方程两边乘2得，， 移项，得， ∴或， 解得：，， 经检验得，，是原方程的解． 3．(24-25八上·北京昌平区阳坊学校·期中)我们可以将一个只含有一个字母的分式，转化为整式与新的分式和的形式，其中新的分式的分子中，不含字母，如： ， ． 参考上面的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式：_______； (2)将变形为满足以上结果要求的形式，若该式的值为整数，求整数a的值； (3)将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为_______． 【答案】(1) (2)，或 (3) 【分析】本题主要考查了分式的约分： （1）把原式先变形为，再约分化简即可得到答案； （2）把原式先变形为，进一步变形得到，再约分化简即可；根据题意可得的值为整数，则为整数，即可得到，解方程即可得到答案； （3）利用完全平方公式把原式变形为，进一步变形得到，再约分化简即可得到答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， ∵的值为整数， ∴的值为整数， ∴为整数， ∴， ∴或； （3）解： ， 故答案为：． 4．我们已经学过如果关于x的分式方程满足 （a，b分别为非零整数），且方程的两个跟分别为． 我们称这样的方程为“十字方程”． 例如：        可化为         ∴ 再如：     可化为     ∴ 应用上面的结论解答下列问题： （1）“十字方程”，则 ， ； （2）“十字方程”的两个解分别为，求的值； （3）关于的“十字方程”的两个解分别为，求的值． 【答案】（1）－2，－4；（2）；（3） 【分析】（1）按照“十字方程”的解法解方程即可； （2）根据“十字方程”的解法求出，，代入求值即可； （3）把方程转化为，求出方程的解，代入计算即可． 【详解】（1）可化为， ∴－2，－4；   故答案为：－2，－4； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴ （3）解：∵为关于x的“十字方程” ∴ ∴ ∴或 ∵ ∴或 ∴ 【点睛】本题考查了分式方程的特殊解法，解题关键是理解题意，按照题目中的方法进行求解． 5．阅读理解 材料：为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … … ﹣0.25 ﹣0. ﹣0.5 ﹣1 无意义 1 0.5 0. 0.25 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式． 如：. 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 　 　（增大或减小）； 当时，随着的增大，的值 　 　（增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)当时，求代数式值的范围． 【答案】(1)减小；减小 (2) (3) 【分析】（1）由、的变化情况，判断、的变化情况即可； （2）由，即可求解； （3）由，再结合的取值范围即可求解. 【详解】（1）解：∵当时，随着的增大而减小， ∴随着的增大，的值减小； ∵当时，随着的增大减小， ∵ ∴随着的增大，的值减小. 故答案为：减小；减小. （2）∵， ∵当时，的值无限接近， ∴的值无限接近. （3）∵， 又∵， ∴， ∴. 【点睛】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键. 6．定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“差常分式”，这个常数称为A关于B的“差常值”．如分式，，，则A是B的“差常分式”，A关于B的“差常值”为2． (1)已知分式，，判断C是否是D的“差常分式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“差常值”． (2)已知分式，，其中E是F的“差常分式”，E关于F的“差常值”为2，求的值； (3)已知分式，，其中M是N的“差常分式”，M关于N的“差常值”为1．若x为整数，且M的值也为整数，求满足条件的x的值． 【答案】(1)不是的“差常分式”； (2) (3)所有符合条件的的值为0，2，4，6． 【分析】本题考查了分式的加减法，理解新定义和掌握分式的运算是解题的关键． （1）根据新定义进行判断； （2）根据新定义，列出方程求解； （3）根据新定义列出方程，再根据整除的意义求解． 【详解】（1）解：不是的“差常分式”； 理由：， 不是的“差常分式”； （2）解：由题意得：， ， ， ， 解得：，， ； （3）解：由题意得：， ， ， 为整数，为整数， 的值为：或， 的值为：0，2，4，6， 所以所有符合条件的的值为0，2，4，6． 7．我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“优式”，这个常数称为关于的“优值”． 例如：分式，，，则是的“优式”，关于的“优值”为1． (1)已知分式，，判断是否为的“优式”，若不是，请说明理由，若是，请证明，并求出关于的“优值”； (2)已知分式，，是的“优式”，且关于的“优值”是1，为整数，且的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值． 【答案】(1)是；2；证明见解析 (2)； 【分析】本题主要考查了分式的减法计算： （1）计算出的结果即可得到结论； （2）根据定义可得，则，据此求出，进而求出，再根据P为整数进行求解即可． 【详解】（1）解：C是的“优式”，优值为2，证明如下： ， 是的“优式”，“优值”为2．， （2）解：由题意可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的值也为整数， 或， ． 8．对于形如的分式，我们可以通过观察分母的特征，采取“凑分母”的方法将分式变形，最终表示成整式与分式和（差）的形式或者整式的形式．例如： ， ． 解决问题： (1)分式可以表示成的形式，且为整式，用含的式子表示； (2)已知为整数． ①若可以表示成一个整式，求的值； ②若，为整数，且的结果也为整数，直接写出的值． 【答案】(1) (2)①；②的值为或或或 【分析】本题考查分式的加减法运算，正确利用“凑分母”的方法将分式变形是解题关键． （1）把变形为，再把前面的分式分母提取公因式并约分，即可得答案； （2）①把表示成整式与分式和的形式，根据为整式，得出变形后的分式为0，根据分式值为0，分子为0即可得答案； ②根据的值及①中变形结果得出，根据的结果也为整数得出是整数，根据为整数得出或，即可得出答案． 【详解】（1）解： ， ∵分式可以表示成的形式，且为整式， ∴． （2）解：① ， ∵可以表示成一个整式， ∴， ∴， 解得：． ②∵， ∴， ∵的结果为整数， ∴是整数， ∵为整数， ∴或 解得：或或或， ∴的值为或或或． 9．对于实数，，，给出如下定义：若，则把实数叫作实数，的“友好数”． (1)已知，，求，的“友好数”； (2)已知，，是，的“友好数”． 用含的式子表示； 若是整数，直接写出整数的值． 【答案】(1)， (2)；． 【分析】本题考查了新定义，分式的化简求值，分式的值，正确的理解题意是解题的关键． （）根据新定义，把，代入即可求出的值； （）根据新定义把，代入即可求出的值； 根据是整数，即可求出整数的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：，，是，的“友好数”， ∴ ； ∵是整数，且是整数， ∴． 10．若分式值为正，求m的取值范围．关于这道题，某同学根据分式即除法，根据除法处理符号的原则，同号相除得正，得，求得．根据这位同学的作法，若，求m的取值范围 ；若，求m的取值范围 ；若，求m的取值范围 ． 【答案】 ； ；，或， 【分析】根据根据除法处理符号的原则，同号相除得正，异号相除得负即可求解． 【详解】解：， ∵ ， ∴ ， 解得： ； ， ∵ ， ∴ ， 解得： ； ， 第一种情况： ，解得： ， 第二种情况： ，解得： ， ∴，或， 故答案为： ； ；，或． 【点睛】本题考查分式的基本性质及不等式的性质，解题关键是掌握同号相除得正，异号相除得负． 11．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ；当时，的最大值为 ； (2)当时，求当x取何值，有最小值，最小值是多少？ (3)如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为4和9，则四边形的面积的最小值为 ． 【答案】(1)2； (2)当时，有最小值，为11 (3)25 【分析】本题考查了配方法在二次根式、分式及四边形面积计算中的应用与拓展，读懂阅读材料中的方法并正确运用是解题的关键． （1）当时，直接根据公式计算即可；当时，先将变形为，再根据公式计算即可； （2）将原式的分子分别除以分母，变形为可利用公式计算的形式，计算即可； （3）设，根据等高三角形的性质得出，结合图形确定，代入计算，利用题中性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴的最小值为2； 当时，，， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为． 故答案为：2；； （2）解：∵， ∴， 而， 当时，即时，等号成立， ∴，即， ∴当时，有最小值，为11． （3）解：设， ∵与同高，与同高， ∴， 由题知，， ∴， ∴， ∵ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最小值为25， 故答案为：25． 题型四 二次根式综合（共9小题） 1．(24-25八上·北京昌平一中集团·期中)小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：_______________（填写运算结果）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：_________________． (3)应用运算规律． ①化简___________； ②若（a，b均为正整数），则的值为_____________． 【答案】(1)； (2)； (3)①20；②57. 【分析】（1）根据题目中的例子可以写出例5； （2）根据（1）中特例，可以写出相应的猜想； （3）①②根据（2）中的规律即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）， 证明： 左边， 又右边， 左边右边， 成立, 故答案为：； （3）① ， 故答案是：； ②， 根据， 得， 解得：，（舍去）， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查规律型、数字的变化类、二次根式的混合运算，解题的关键是明确题意，根据已知等式总结一般规律并应用规律解题． 2．(24-25八上·北京昌平区阳坊学校·期中)阅读下面文字，解答问题． 是无理数．无理数是无限不循环小数，小明用表示它的小数部分，理由是：的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分， 又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 参考小明的做法解答： (1)如果的整数部分为m，小数部分为n，则_______； (2)如果，其中x是整数，且，则_______． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数的运算： （1）先估算出，再参照小明的做法求出m和n，代入计算即可； （2）先估算出，再参照小明的做法求出的整数部分和小数部分，即可求出，的值，将，的值代入中计算求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， 的整数部分为， ∴小数部分为． ，， ， 故答案为：8； （2）解：， ∴， 的整数部分为，小数部分为． ，即，其中是整数，且， ，； ∴ ， 故答案为：． 3．(24-25八上·北京昌平区阳坊学校·期中)信息1：我们已经学完了解分式方程，它的一般步骤为：确定最简公分母、化为整式方程、求出整式方程的解、进行检验（第一，代入最简公分母验证是否为零，第二代入分式方程的左右两边检验是否相等）、确定分式方程的解.其中代入最简公分母验证这一步也就是在验证所有分式在取此值时是否有意义； 信息2：遇到这种特征的题目，可以两边同时平方得到； 信息3：遇到这种特征的题目，可以将左边变形，得到，进而可以得到或. 结合上述信息解决下面的问题： 问题1：如果.可得：； 问题2：解关于b的方程：. 【答案】， 【分析】问题1，根据信息2，方程两边同时平方求得a的值，再进行检验即可得解； 问题2，根据信息3，方程两边同时平方，再运用因式分解法解方程，最后再进行检验即可. 【详解】解：问题1：， 问题2： 两边同时平方得： 或 检验：当时，右边=﹣1，由于 ∴不符合题意（舍去） ∴. 【点睛】考查了无理方程的知识，解题的关键是了解无理方程可能产生增根，必须检验． 4．我们知道是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题： (1)化简： ， ； (2)若，则x的取值范围为 ； (3)已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质； （1）根据化简即可； （2）根据可知，解不等式即可； （3）先根据数轴判断出，，再根据二次根式和绝对值的性质化简． 【详解】（1）解：，， 故答案为：2，； （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由数轴得：， ∴，， ∴． 5．阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，这样就可以将进行化简， 即：． 善于思考的小明进行了以下探索： 对于，若能找到两个数和，使且，则可变形为，即，从而使得．（其中均为正数） 例如：∵， ． 请你参考小明的方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，其中，都是整数，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的化简、完全平方公式，理解题中计算方法，利用类比思想求解是解答的关键． （1）根据，，利用完全平方公式即可得答案； （2）根据，，利用完全平方公式即可得答案； （3）由得出，根据，都是整数可得，即可求出值，代入求出值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： = ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，都是整数， ∴， 解得：， ∴， 解得：． 6．阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．这样就可以将进行化简， 即：． 善于思考的小明进行了以下探索： 对于，若能找到两个数m和n，使且，则 可 变为，即变成，从而使得． （其中a，b，m，n均为正整数） 例如：∵， ∴ ． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)化简； (2)化简； (3)若，求a的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照题中的计算方法以及完全平方公式求解即可； （2）仿照题中的计算方法以及完全平方公式求解即可； （3）仿照题中的计算方法以及完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴，则． 【点睛】本题考查二次根式的化简、完全平方公式，理解题中计算方法，利用类比思想求解是解答的关键． 7．阅读：古希腊的几何家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了一个公式，如果一个三角形的三边长分别为，记，则三角形的面积，此公式称为“海伦公式”． 思考运用，已知李大爷有一块三角形的菜地，如图，测得，你能求出李大爷这块菜地的面积吗？试试看． 【答案】李大爷这块菜地的面积为 【分析】本题考查了二次根式的应用，将题目中的已知量代入到海伦公式里面进行计算即可．解题的关键是正确的代入公式并进行计算． 【详解】解：， ． ． 李大爷这块菜地的面积为 8．将一组数，，3，，，…，， 按下面的方式进行排列： 按这样的方式进行下去，将所在的位置记为，所在的位置记为，那么 （1）所在的位置应记为 ； （2）在的位置上的数是 ，所在的位置应记为 ； （3）这组数中最大的有理数所在的位置应记为 ． 【答案】（1）；（2），（5，4）；（3）（6，2） 【分析】观察这组数字的规律为被开方数为从3开始的3的自然倍数，将30个数按题干方式排列后，依据题意表示即可： （1）依据在第二行第五列即可得出结论； （2）每个被开方数都是3的倍数，因此第四行第一列的数字为；依据每行有5个数，找出规律，位置即可确定； （3）由于最大得有理数为，依据每行有5个数，找出规律，位置即可确定． 【详解】解：（1）∵在第二行第五列， ∴所在的位置应记为：， 故答案为：； （2）由题意得，每个被开方数都是3的倍数，因此第四行第一列的数字为， ∴（4，1）位置上的数是； ， ， 每行有5个数， ∴所在的位置记为（5，4）， 故答案为：，（5，4）； （3）这组数中最大的有理数是，它所在的位置记为第6行第2列， ∴这组数中最大的有理数所在的位置应记为：（6，2）， 故答案为：（6，2）． 【点睛】题目主要考查二次根式的应用，坐标位置的确定，理解题意，确定被开方数存在的规律是解题的关键． 9．将个0或排列在一起组成一个数组，记为，其中取0或，称是一个元完美数组（且为整数）.例如：，都是2元完美数组，，都是4元完美数组.定义以下两个新运算： 新运算1：对于， 新运算2：对于任意两个元完美数组和，．例如：对于3元完美数组和，有． (1)①在，，中是2元完美数组的有_____； ②设，，则______； (2)已知完美数组，求出所有4元完美数组，使得； (3)现有个不同的2022元完美数组，是正整数，且对于其中任意的两个完美数组，满足，则的最大可能值是______． 【答案】(1)①；② (2)或或或或或． (3) 【分析】（1）①根据定义直接判定即可； ②根据定义直接计算即可； （2）由定义可知当时，，当时，，当或0，再由此求解即可； （3）根据题意可知C、D中对应的元都不相等，的最大值为，当C确定后，D中的对应元与C中的不同即可． 【详解】（1）解：①∵中有， ∴不是2元完美数组； ∵中只有和0，且有2个数， ∴是2元完美数组； ∵中有3个数， ∴不是2元完美数组； 故答案为：． ② ． 故答案为：． （2）解：∵， ∴当时，，当时，， 当时，或0， ∵， ∴， ∵， ∴或或或或或． （3）解：∵， ∴、中对应的元都不相等或、中对应的元都相等且为， ∵、是不同的两个完美数组， ∴、中对应的元都不相等， ∴的最大值为，当确定后，中的对应元与中的不同． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，弄清定义，熟练掌握绝对值的运算，能够通过所给的运算关系，得到一般规律是解题的关键． 38 / 38 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 期中真题百练通关（39题4大题型） 选填小压轴 解答压轴 题型1 新定义运算 题型3 分式综合与新定义 题型2 二次根式规律探索 题型4 二次根式综合 题型一 新定义运算（共10小题） 1．(24-25八上·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·期中)用表示不超过的最大整数，例如：，则的值为（   ） A． B．21 C． D．22 2．(23-24八上·北京房山区·期中)对于任意实数，我们规定：．根据上述规定解决下列问题： （1）计算： ． （2）若，则 . 3．(23-24八上·北京京源学校·期中)对任意两个正实数，，定义新运算为：若，则；若，则．则下列说法中正确的有（    ） ①；②；③． A．① B．② C．①③ D．②③ 4．在正数范围内定义一种运算☆，其规则为☆＝，根据这个规则☆的解为（    ） A． B． C． D． 5．对于任意的正数m，n定义运算※为：m※n＝计算(3※2)×(8※12)的结果为(     ) A．2－4 B．2 C．2 D．20 6．定义：如果一个分式能化成一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“赋整分式”． 例如：；将“赋整分式”化为一个整数与一个分子为常数的分式的利的形式是 ． 7．定义运算“※”：．若，则x的值为（    ） A． B．或10 C．10 D．或 8．对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为（   ） A． B． C．或 D．1或2 9．对于非零的两个实数，定义一种运算：．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 10．对于实数和，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（     ） A． B． C． D． 题型二 二次根式规律探索（共9小题） 1．(23-24八上·北京京源学校·期中)小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表. 下面有四个推断： ① ②一定有个整数的算术平方根在之间 ③对于小于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于 ④比大 所有合理推断的序号是 . 2．(24-25八上·北京房山区·期中)已知，，，．若为整数，且，则的值为 ． 3．(24-25八上·北京昌平区回龙观学校·期中)我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如都是根分式，已知两个根分式与，则下列说法： ①根分式中的取值范围为：； ②存在实数，使得； ③存在实数，使得是一个整数； 上述说法中正确的是 ． 4．已知，，则 （结果保留3位小数）． 5．小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表． x 26 26.1 26.2 26.3 26.4 26.5 26.6 26.7 26.8 26.9 27 x2 676 681.21 686.44 691.69 696.96 702.25 707.56 712.89 718.24 723.61 729 下面有四个推断： ①＝2.62； ②一定有6个整数的算术平方根在26.6～26.7之间； ③对于小于26的两个正数，若它们的差等于0.1，则它们的平方的差小于5.21； ④若一个正方形的边长为26.4，那么这个正方形的面积是696.96． 所有合理推断的序号是 ． 6．观察下表后回答问题： a 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 x 1 y 100 （1）表格中 ， ； （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则 ， ； ②已知，则 ． 7．用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … 250 2500 … 25 250 根据以上规律，若则 8．阅读下列材料： （1）求下列各数的算术平方根： ＝0.002，＝0.02，＝0.2，＝2，＝20， 根据以上材料填空：＝ ，＝ ． （2）已知≈1.414，直接写出：≈ ，≈ ，≈ ． 9．观察下列各式解决问题： 已知，，则 ． 已知，，则 ． 题型三 分式综合与新定义（共11小题） 1．(23-24八上·北京京源学校·期中)阅读下列材料： 我们知道，假分数可以写成带分数的形式，在这个计算过程中，先计算分子中含有几个分母，求出整数部分，再把剩余部分写成一个真分数．例如：． 对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式”．类似地，我们可以把一个“假分式”写成整式和一个“真分式”的和的形式．例如： ； ． 请根据上述材料解决下列问题： (1)请写出一个假分式：_______； (2)请将分式化为整式与真分式的和的形式； (3)设，则当时，的取值范围是______． 2．(24-25八上·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·期中)观察下列方程及其解的特征 第1个方程：的解为 第2个方程：的解为 第3个方程的解为 解答下列问题： (1)猜想，第5个方程，方程的解为________． (2)关于的第个方程为________，它的解为________； (3)利用上述规律解关于的分式方程： 3．(24-25八上·北京昌平区阳坊学校·期中)我们可以将一个只含有一个字母的分式，转化为整式与新的分式和的形式，其中新的分式的分子中，不含字母，如： ， ． 参考上面的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式：_______； (2)将变形为满足以上结果要求的形式，若该式的值为整数，求整数a的值； (3)将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为_______． 4．我们已经学过如果关于x的分式方程满足 （a，b分别为非零整数），且方程的两个跟分别为． 我们称这样的方程为“十字方程”． 例如：        可化为         ∴ 再如：     可化为     ∴ 应用上面的结论解答下列问题： （1）“十字方程”，则 ， ； （2）“十字方程”的两个解分别为，求的值； （3）关于的“十字方程”的两个解分别为，求的值． 5．阅读理解 材料：为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … … ﹣0.25 ﹣0. ﹣0.5 ﹣1 无意义 1 0.5 0. 0.25 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式． 如：. 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 　 　（增大或减小）； 当时，随着的增大，的值 　 　（增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)当时，求代数式值的范围． 6．定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“差常分式”，这个常数称为A关于B的“差常值”．如分式，，，则A是B的“差常分式”，A关于B的“差常值”为2． (1)已知分式，，判断C是否是D的“差常分式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“差常值”． (2)已知分式，，其中E是F的“差常分式”，E关于F的“差常值”为2，求的值； (3)已知分式，，其中M是N的“差常分式”，M关于N的“差常值”为1．若x为整数，且M的值也为整数，求满足条件的x的值． 7．我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“优式”，这个常数称为关于的“优值”． 例如：分式，，，则是的“优式”，关于的“优值”为1． (1)已知分式，，判断是否为的“优式”，若不是，请说明理由，若是，请证明，并求出关于的“优值”； (2)已知分式，，是的“优式”，且关于的“优值”是1，为整数，且的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值． 8．对于形如的分式，我们可以通过观察分母的特征，采取“凑分母”的方法将分式变形，最终表示成整式与分式和（差）的形式或者整式的形式．例如： ， ． 解决问题： (1)分式可以表示成的形式，且为整式，用含的式子表示； (2)已知为整数． ①若可以表示成一个整式，求的值； ②若，为整数，且的结果也为整数，直接写出的值． 9．对于实数，，，给出如下定义：若，则把实数叫作实数，的“友好数”． (1)已知，，求，的“友好数”； (2)已知，，是，的“友好数”． 用含的式子表示； 若是整数，直接写出整数的值． 10若分式值为正，求m的取值范围．关于这道题，某同学根据分式即除法，根据除法处理符号的原则，同号相除得正，得，求得．根据这位同学的作法，若，求m的取值范围 ；若，求m的取值范围 ；若，求m的取值范围 ． 11．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ；当时，的最大值为 ； (2)当时，求当x取何值，有最小值，最小值是多少？ (3)如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为4和9，则四边形的面积的最小值为 ． 题型四 二次根式综合（共9小题） 1．(24-25八上·北京昌平一中集团·期中)小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：_______________（填写运算结果）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：_________________． (3)应用运算规律． ①化简___________； ②若（a，b均为正整数），则的值为_____________． 2．(24-25八上·北京昌平区阳坊学校·期中)阅读下面文字，解答问题． 是无理数．无理数是无限不循环小数，小明用表示它的小数部分，理由是：的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分， 又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 参考小明的做法解答： (1)如果的整数部分为m，小数部分为n，则_______； (2)如果，其中x是整数，且，则_______． 3．(24-25八上·北京昌平区阳坊学校·期中)信息1：我们已经学完了解分式方程，它的一般步骤为：确定最简公分母、化为整式方程、求出整式方程的解、进行检验（第一，代入最简公分母验证是否为零，第二代入分式方程的左右两边检验是否相等）、确定分式方程的解.其中代入最简公分母验证这一步也就是在验证所有分式在取此值时是否有意义； 信息2：遇到这种特征的题目，可以两边同时平方得到； 信息3：遇到这种特征的题目，可以将左边变形，得到，进而可以得到或. 结合上述信息解决下面的问题： 问题1：如果.可得：； 问题2：解关于b的方程：. 4．我们知道是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题： (1)化简： ， ； (2)若，则x的取值范围为 ； (3)已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简． 5．阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，这样就可以将进行化简， 即：． 善于思考的小明进行了以下探索： 对于，若能找到两个数和，使且，则可变形为，即，从而使得．（其中均为正数） 例如：∵， ． 请你参考小明的方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，其中，都是整数，直接写出的值． 6．阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．这样就可以将进行化简， 即：． 善于思考的小明进行了以下探索： 对于，若能找到两个数m和n，使且，则 可 变为，即变成，从而使得． （其中a，b，m，n均为正整数） 例如：∵， ∴ ． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)化简； (2)化简； (3)若，求a的值． 7．阅读：古希腊的几何家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了一个公式，如果一个三角形的三边长分别为，记，则三角形的面积，此公式称为“海伦公式”． 思考运用，已知李大爷有一块三角形的菜地，如图，测得，你能求出李大爷这块菜地的面积吗？试试看． 8．将一组数，，3，，，…，， 按下面的方式进行排列： 按这样的方式进行下去，将所在的位置记为，所在的位置记为，那么 （1）所在的位置应记为 ； （2）在的位置上的数是 ，所在的位置应记为 ； （3）这组数中最大的有理数所在的位置应记为 ． 9．将个0或排列在一起组成一个数组，记为，其中取0或，称是一个元完美数组（且为整数）.例如：，都是2元完美数组，，都是4元完美数组.定义以下两个新运算： 新运算1：对于， 新运算2：对于任意两个元完美数组和，．例如：对于3元完美数组和，有． (1)①在，，中是2元完美数组的有_____； ②设，，则______； (2)已知完美数组，求出所有4元完美数组，使得； (3)现有个不同的2022元完美数组，是正整数，且对于其中任意的两个完美数组，满足，则的最大可能值是______． 12 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $