第4章 幂函数、指数函数和对数函数（复习课件）数学湘教版必修第一册

该高中数学单元复习课件系统梳理了幂函数、指数函数、对数函数的概念、图像、性质及函数零点、二分法、函数模型应用，通过单元知识图谱将幂运算、函数性质、方程与模型应用等核心内容串联，构建完整的知识网络。 其亮点在于采用“考点串讲-题型剖析-针对训练”模式，如指数比大小、函数零点问题等例题与变式设计，培养学生的抽象能力和推理能力，结合实际应用题型提升模型意识，助力学生巩固知识，教师可精准开展分层复习教学。

单元复习课件 第4章幂函数、指数函数和对数函数 湘教版2019必修第一册·高一 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.熟练掌握幂的运算性质，幂函数、指数函数、对数函数的概念、图像和性质.深刻理解函数零点的概念，掌握零点存在性定理，了解二分法求方程近似解的思想，能够建立简单函数模型 . 3.指数函数、对数函数性质的综合运用，分类讨论、数形结合思想的灵活运用，将实际问题抽象为恰当的函数模型. 2. 强化数形结合思想、分类讨论思想、转化与划归的思想，能够利用相关数学知识和数学思想解决问题. 单元学习目标 幂函数 指数及其运算性质 幂运算 指数函数 对数及其运算性质 对数函数 函数图像和性质 函数与 方程 函数模型和应用 单元知识图谱 考点一、实数指数幂 1.根式 (1)的次方根的定义 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. (2)的次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 n为偶数 考点串讲 2.根式的性质 (1)(n∈N*，且n>1)； (2)(n∈N*，且n>1)； (3)＝a(n为大于1的奇数)； (4)(n为大于1的偶数)． 考点一、实数指数幂 考点串讲 考点一、实数指数幂 3.分数指数幂的定义： (1)规定正数的正分数指数幂的意义是： (2)规定正数的负分数指数幂的意义是： (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质 整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： (1)； (2)； (3)． 5.无理数指数幂 一般地，无理数指数幂（是一个无理数）是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 考点串讲 考点二、幂函数 1.幂函数的概念 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. 2.常见幂函数 在同一平面直角坐标系内函数图像如图 考点串讲 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞) 上增， 在(－∞，0] 上减.   增 增 在(0，＋∞) 上减， 在(－∞，0) 上减. 考点二、幂函数 考点串讲 3.一般幂函数的图象特征 (1)所有的幂函数在上都有定义，并且图象都过点； (2)当时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数． 特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； (3)当时，幂函数的图象在区间上是减函数； (4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线对称； (5)在第一象限，作直线，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 考点二、幂函数 考点串讲 考点三、指数函数 1.指数函数定义 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是. 注意事项： (1)规定y＝ax中a>0，且a≠1的理由： ①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数； (2)要注意指数函数的解析式： ①底数是大于0且不等于1的常数． ②指数函数的自变量必须位于指数的位置上． ③ax的系数必须为1. ④指数函数等号右边不能是多项式，如y＝2x＋1不是指数函数． 考点串讲 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 考点三、指数函数 2.指数函数的图像和性质 考点串讲 3.不同底指数函数图象的相对位置 一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系： (1)在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小．即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．这一性质可通过令时，去理解，如图． (2)指数函数与(且)的图象关于轴对称． 考点三、指数函数 考点串讲 4.比较幂的大小 一般地，比较幂大小的方法有： (1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断； (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图象的变化规律来判断； (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断． 5.简单指数不等式的解法 (1)形如＞的不等式，可借助的单调性求解； (2)形如的不等式，可将化为以为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解； (3)形如的不等式，可借助两函数的图象求解． 考点三、指数函数 考点串讲 6.与指数函数复合的函数单调性 一般地，有形如(，且)函数的性质 (1)函数与函数有相同的定义域． (2)当时，函数与具有相同的单调性； 当时，函数与函数的单调性相反． 考点三、指数函数 考点串讲 考点四、对数及对数的运算 1.对数的概念： 一般地，如果(，且)，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数． 常用对数与自然对数： 通常将以10为底的对数叫做常用对数，以()为底的对数称为自然对数，可简记为，简记为. 2.对数和指数的关系： 一般地，有对数与指数的关系： 若，且，则. 对数恒等式：；(，且)． 3.对数的性质： (1)1的对数为零； (2)底的对数为1； (3)零和负数没有对数． 考点串讲 4.对数运算性质 如果且那么： (1)； (2)； (3)． 5.对数换底公式： ． 特别地：． 考点四、对数及对数的运算 考点串讲 考点五、对数函数 1.对数函数的概念 一般地，把函数(且)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是． 2.对数函数的图像和性质 考点串讲 考点五、对数函数 3.不同底的对数函数图象的相对位置 一般地，对于底数的对数函数，在区间内，底数越大越靠近轴；对于底数的对数函数，在区间内，底数越小越靠近轴. 4.简单对数不等式的解法 （1）形如</m>的不等式，借助</m>的单调性求解. （2）形如的不等式，应将<m></m>化成以<m></m>为底数的对数式的形式<m></m>， 再借助</m>的单调性求解. （3）形如<m></m>,<m></m>且不等于，<m></m>的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解. 注意:底数中若含有参数，一定注意底数大于0且不等于1，同时要注意对底数是大于1还是大于0且小于1进行分类讨论. 考点串讲 考点六、函数与方程 1.函数的零点的概念 对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点． 2.方程、函数、图象之间的关系： 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 3.零点存在性定理 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根． 考点串讲 考点六、函数与方程 4.二分法 对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 5.用二分法求函数零点近似值的步骤 (1)确定区间，验证，给定精确度； (2)求区间的中点； (3)计算； ①若，则就是函数的零点； ②若，则令(此时零点)； ③若，则令(此时零点)． (4)判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值(或)；否则重复(2)～(4)． 考点串讲 考点七、函数模型及其应用 函数模型 函数解析式 一次函数模型 反比例函数模型 二次函数模型 指数型函数模型 对数型函数模型 幂函数型模型 1.常见函数模型 考点串讲 2.应用函数模型解决问题的基本过程 用函数模型解应用题的四个步骤 (1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； (2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型； (3)求模——求解数学模型，得出数学模型； (4)还原——将数学结论还原为实际问题． 考点串讲 题型一、根式的化简与求值 例1.化简下列各式： （1） ; （2）,且 . 【解析】（1） 当时， ; 当时， . （2）当为奇数时（注意对奇偶性的讨论）， ; 当为偶数时， . 题型剖析 变式1.化简下列各式： （1） ； （2） . 【答案】（1）， , , . , , , , 故 . 题型一、根式的化简与求值 题型剖析 题型二、幂的化简与求值 例2.化简下列各式 （1）且 ； （2） . 【解析】（1）原式 . （2）原式 . 针对训练 变式2.已知，，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】 ． 题型二、幂的化简与求值 针对训练 题型三、幂函数图像及其应用 例3 已知幂函数 的图象经过点 ，则该幂函数的大致图象是( ) D A. B. C. D. 【解析】设幂函数，因为其图象过点，所以，即 ， 所以，解得 ， 所以，则函数的定义域为 . 又 ， 所以为偶函数，且函数在上单调递减，在 上单调递增，故 选D． 题型剖析 变式3.幂函数 的大致图象是( ) B A. B. C. D. 【解析】 当时，为偶数且大于0， 的定义域为 ，且在定义域上单调递增，结合选项可知， 错误，B正确． 题型三、幂函数图像及其应用 针对训练 例4.已知函数 是幂函数，且是奇函数． （1）求实数 的值；（2）解不等式 ． 【答案】（1）函数 是幂函数，且是奇函数， ，解得或 ， 当时，，此时函数 为偶函数，不符合题意； 当时，，此时函数 为奇函数. 综上所述， . （2）由（1）可得在， 上为减函数， 或或 解得或 ， 故不等式的解集为 . 题型四、幂函数性质及其应用 题型剖析 变式4.已知幂函数 是偶函数． （1）求函数 的解析式； （2）若，求 的取值范围． 【答案】(1) 幂函数 是偶函数， ,且是偶数，解得 ， 函数的解析式为 . (2)在上单调递增，在 上单调递减，且为偶函数， 则由，得，解得 ， 的取值范围是 ． 题型四、幂函数性质及其应用 针对训练 题型五、指数函数图像及其应用 例5.函数 的图象如图所示，其中, 为常数，则下列结论正确的是( ) D A., B., C., D., 【解析】函数图像上来看是减函数，所以， 同时观察到函数过y轴上的点在（0，1）下方，即把整体向左移动，根据左加右减规则，所以 题型剖析 变式5.二次函数与指数函数 的图象可能是( ) A A. B. C. D. 【解析】二次函数的方程为，其顶点坐标为 ，结合 各选项中指数函数的图象知，所以 ，再观察四个选项，只有 A中的二次函数的顶点的横坐标在 和0之间,故选A. 题型五、指数函数图像及其应用 针对训练 题型六、指数函数性质及其应用 例6.已知函数 ，当时， 有 ．给出以下命题，则正确的命题有( ) AD A. B. C. D. 【解析】的图象如图所示,由图可知在 上单调递减，在 上单调递增， 若，因为在 上单调递减，所以此时不满足 ，所以，同理可得 ，所以 .，即 ，C错误. 又,所以,即,所以 ,A正确. 若，因为，所以 ， 此时，B错误，此时 ， 若,因为，所以 ，即 ， 综上所述，D正确.故选 . 题型剖析 变式6.已知函数且 ，则下列结论正确的是( ) BC A.函数恒过定点 B.函数的值域为 C.函数在区间 上单调递增 D.若直线与函数的图象有两个公共点，则实数的取值范围是 题型六、指数函数性质及其应用 【解析】且 的图象由 的图象向下平移一个单位长 度，再将轴下方的图象翻折到 轴上方得到，分和 两种情况分别作 图，如图（1）（2）所示.由图可得，都过，在 都单调递增，函数的 值域为.直线与函数 的图象有两个公共点，当时不合题意； 当时，需要，即．故选 ． 针对训练 例7.设，,，则，， 的大小关系是( ) A A. B. C. D. 【解析】因为函数在上为减函数，,所以，即 . 因为函数在上为增函数，,所以，即 ， 所以 .故选A. 题型七、指数比大小 题型剖析 变式7.已知函数．记， ，，则( ) A A. B. C. D. 【解析】函数是由函数和 复合而成的复合函 数，为上的增函数，在上单调递增，在 上单调 递减，所以由复合函数的单调性可知，在上单调递增，在 上单调递减. 易知的图象关于直线对称，的图象关于直线 对称，因 此复合函数的图象也关于直线对称，则 所以，又 ，所以 ，所以 . 题型七、指数比大小 针对训练 例7.若且,, ，给出下列等式: ; ;; ; ;;; .其中恒成立的个数为( ) A A.3 B.4 C.5 D.6 题型八、对数运算 【解析】对于①，取,,,则 ,而，不恒成立;对于②，取,, ,则,不恒成立;对于③，取,, ,则，而, 不恒成立;对于④，取，，，则，不恒成立;对于⑤，取 ，,，则, 不恒成立;对于⑥,; 对于⑦, ;对于⑧, . 题型剖析 变式8.已知，，则用， 表示为( ) B A. B. C. D. 【解析】因为，所以，所以 .故选B. 题型八、对数运算 针对训练 题型九、对数函数图像及其应用 例9.已知，且，则函数 与 的图象可能是( ) B A. B. C. D. 【解析】若,则函数 的图象呈下降趋势且过点， 而函数的图象呈上升趋势且过点 ，以上图象均不符合. 若，则函数的图象呈上升趋势且过点，而函数 的图象 呈下降趋势且过点 ，只有B中图象符合. . . 题型剖析 变式9.如图，所示的曲线分别是对数函数 ， ，，的图象，则,,, ， 1,0的大小关系为______________________（用“ ”号连 接）. 【解析】由题图可知,，,. 过点作平行于 轴的直 线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为,,, ，显然 . 题型九、对数函数图像及其应用 针对训练 题型十、对数函数性质及其应用 例10.若是奇函数，则_ ___, _____. 【解析】 是奇函数， , . 故,解得,从而 . 题型剖析 变式10.已知函数, . （1）如果，则求函数 的值域； （2）求函数 的最大值； （3）如果对任意，不等式恒成立，则求实数 的取值范围． 【答案】（1）令,则, , 则 ． 当时， ， 故当时，取得最大值，为2，当时，取得最小值,为0， 的 值域为 ． （2）函数 ， 当时，， . 当时，， .即 当时，最大值为1；当时， ． 综上,当时， 取到最大值,为1． 题型十、对数函数性质及其应用 针对训练 （3）如果对任意，不等式恒成立，则求实数 的取值范围． 【答案】 对任意，不等式 恒成立，即 . ， ， 对一切 恒成立． ①当时， ． ②当，，令 , 则在 上单调递减， ， ． 综述，的取值范围为 ． 题型十、对数函数性质及其应用 针对训练 题型十一、对数式比大小 例11.已知,, ,则( ) B A. B. C. D. 【解析】0,1,1且 , . 题型剖析 变式11.已知，， ，则( ) C A. B. C. D. 【解析】，，因为 在 上为增函数，所以，故 . 题型十一、对数式比大小 针对训练 题型十二、函数零点问题 例12.函数 的零点的个数为( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】函数的零点的个数即方程的根的个数， 也就是函数与 的图象的交点的个数． 画出函数与 的大致图象，如图所示， 观察图象可得函数 与 的图象 的交点个数为2，从而函数 的零点的个数为2. 题型剖析 变式12.［多选题］已知函数 若函数有 四个零点，，，，且 ，则( ) AD A. B. C. D. 【解析】函数 的图象如图所示.对于A，由题意可知直线与 函数图象的4个交点横坐标分别为， ，，， 则，则 ，故A正确； 对于B，函数的图象关于直线对称， 则 ， ，由于，故 ，故B错误； 对于C，由图象可知，且，所以 ， 即，所以 ，由于，故 ，故C错误； 对于D，由图象可知，则 ， ， 因为函数在 上单调递增，所以， 则的取值范围为 ，故D正确．故选 ． 题型十二、函数零点问题 针对训练 题型十三、函数模型解决实际问题 例13.把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度为，空气的温度为，那么后物体的温度单位： 可由公式求得，其中 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从冷却到 需要 . （1）求 （2）热水一般不适合冲泡奶粉，假若现在杯中的水温为，等待水温降到 ， 至少需要等待多长时间？ （3）某电热水壶会自动检测壶中水温，如果水的温度高于 ，电热水壶不加热， 当水的温度冷却到时，电热水壶开始加热，直至水的温度达到 才停止加热， 且水的温度从加热到需要.现该电热水壶中水的温度为 ，经过 后，此时壶中水的温度是多少？ 题型剖析 【解析】（1）已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从 冷却到需要 ，则 ，即，所以 . （2）由，，， ，可得 ，解得，所以至少需要等待 . （3）设水的温度由冷却到，需要 ，则，解得 ，此时电热水壶开始加热，需要加热至，且 （说明水需要接着冷却），若水的温度由冷却到，可知需要 ， 而 （说明冷却过程中达到时间），则 ，所以经过后，此时壶中水的温度是 . 题型十三、函数模型解决实际问题 题型剖析 变式13.我们知道：人们对声音的大小有不同的感觉，这与声音的强度有关系．声音的 强度用表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用 表示，它们满足以下 公式：（单位为，，其中 ，这是人们平 均能听到的最小强度，是听觉的开端）．回答以下问题： （1）树叶沙沙声的强度是，耳语的强度是 ，恬静 的无线电广播的强度是 ，试分别求出它们的强度水平； （2）某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在 以下.试求声音强度 的范围. 题型十三、函数模型解决实际问题 针对训练 【解析】（1）由题意可知，树叶沙沙声的强度是，则 ，所以，即树叶沙沙声的强度水平为 ； 耳语的强度是，则，所以 ，即耳 语的强度水平为 ； 恬静的无线电广播的强度是，则 ，所以 ，即恬静的无线电广播的强度水平为 ． （2）由题意知，即，所以 ，即 ． 所以新建的安静小区的声音强度大于或等于 ，同时应小于 ． 题型十三、函数模型解决实际问题 题型剖析 (1)指数函数 ①理解指数函数概念及单调性． ②会画具体指数函数图象并掌握图象通过的特殊点． (2)对数函数 ①理解对数函数概念及单调性． ②会画具体对数函数图象并掌握图象通过的特殊点． ③了解，(且)互为反函数． (3)幂函数 ①了解幂函数的概念． ②结合，，，的图象，了解它们的性质． 课堂总结 (4)函数的零点与方程的根的关系： ①方程有实数根函数的图象与x轴有交点函数有零点． ②确定函数零点的个数有两个基本方法：借助函数单调性和零点存在性定理研究图象与x轴的交点个数；通过移项，变形转化成两个函数图象的交点个数进行判断． (5)二分法 ①图象都在轴同侧的函数零点不能(填“能”或“不能”)用二分法求． ②用二分法求零点近似解时，零点区间始终要保持； ③若要求精确度为，则当时，便可判断零点近似值为(或)． 课堂总结 (6)在同样是增函数的前提下，当自变量变得充分大之后，指数函数、对数函数、幂函数三者中增长最快的是指数函数，增长最慢的是对数函数． (7)函数模型 ①给定函数模型与拟合函数模型中求函数解析式主要使用待定系数法． ②建立确定性的函数模型的基本步骤是审题，设量，表示条件，整理化简，标明定义域． ③所有的函数模型问题都应注意变量的实际意义对定义域的影响． 课堂总结 感谢聆听! $