第4章 幂函数、指数函数和对数函数（复习讲义）数学湘教版必修第一册

第4章 幂函数、指数函数和对数函数（复习讲义） 1.掌握根式的概念，理解根式的基本性质，并能运用性质进行相关的根式化简与计算； 2.熟练掌握有理数指数幂的基本不等式，并能运用该不等式分析有理数指数幂的单调性，为理解无理数指数幂的定义奠定基础；理解无理数指数幂的概念及相关不等式； 3.理解对数的概念，掌握对数式与指数式的互化，熟知对数的性质，两个对数恒等式；掌握对数的相关运算法则及公式等。 4.掌握幂函数、指数函数、对数函数的概念、图象和性质，并能用图象和性质解决有关问题。 5.了解指数函数与对数函数互为反函数，通过对几类基本初等函数的变化差异进行比较，来解决简单的实际问题。 6.理解零点的概念；掌握并熟练运用零点存在定理解决相关问题；理解零点、根、交点三者之间的关系； 7.掌握运用函数性质求方程近似解的基本方法（二分法）；理解用函数构建数学模型的基本过程；运用模型思想发现和提出、分析和解决问题。 8.幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质及其应用，特别是单调性的应用。 9.与幂、指数、对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题和选择恰当的函数模型解决实际问题。 1、次根式定义：若一个（实）数的次方（，）等于，即，则是的次方根。 ①当是奇数时，的次方根用记作。 ②当是偶数时，正数的次方根有两个，他们互为相反数。其中正的次方根叫作算术根，记作。 ③规定：，负数没有偶次方根。 2、根式：式子叫做根式（，），叫作根指数，叫作被开方数。 ①当为奇数时，（）；②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且，；④为偶数时，且， 3、分式指数幂 1）根式与分数指数幂互换：当，，时，规定：；。 2）规定：0的正分数指数幂等于0，0没有负分数指数幂。 4、有理数指数幂的基本不等式：对任意的负有理数r和正数a，若，则；，则。 对任意的正数和两个有理数，有；对任意的正数和两个有理数，有。 5、无理数指数幂的概念 现在，对于，当x是任意有理数时，ax都有了意义。 这样，用a的有理数次幂来逼近其无理数次幂，可以要多精确就有多精确，所以，任意正数a的无理数次幂就有了确定的意义，于是，给定任意正数a，对任意实数u，a的u次幂au都有了定义。 在幂的表达式au中，a叫作底数，u叫作指数。 对任意的正数u和正数a，若，则；，则。 对任意的负数u和正数a，若，则；，则。 6、幂函数定义：一般来说，当x为自变量而为非零实数时，函数叫作（次）幂函数。 7、幂函数的图象与性质：一般地，对于实数次幂函数（）： （1）当α>0时，它在[0，+∞)上有定义且单调递增，值域为[0，+∞)，函数图象过(0，0)，(1，1)。 （2）当α<0时，它在(0，+∞)上有定义且单调递减，值域为(0，+∞)，函数图象过(1，1)，向上与y轴正向无限接近，.向右与x轴正向无限接近。 8、对数的概念：如果(,且)，那么数b叫作以为底，（正）数的对数，记作，这里叫作对数的底数，叫作对数的真数。指数对数互换：当且， 9、对数的基本恒等式：①（＞0，且）；②（b∈R，且）。 两个重要的特殊值：对于任意的且,都有，。 10、对数的运算性质：当且，, ①；②；③（）。 11、对数的换底公式：（且，，，且）； 由换底公式可推导出：①；②（）。 12、指数函数图象与性质 13、对数函数图象与性质 图 象 性 质 定义域： 定义域： 值域： 值域： 图像都过点 过点，即当时， 在 上是增函数 在上是减函数 在上是增函数 在上是减函数 13、函数零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点。 即：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点。 14、函数零点存在定理：如果函数在区间上连续变化，且有，则存在，使得，即为该函数零点。若函数在区间上单调，则可判定在内有唯一实数根。 15、二分法的概念： 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断的把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection )。 16、用二分法求零点的近似值 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： （1）确定零点的初始区间，验证； （2）求区间的中点； （3）计算； ①若（此时)，则就是函数的零点； ②若（此时)，则令； ③若（此时)，则令； （4）判断是否达到精确度，若，则得到零点近似值(或)，否则重复2--4的步骤。 17、在区间上，当a>1时，时，总存在一个，当x＞时，有 logax＜xα＜ax。 18、实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果 要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 补充1.指、对、幂大小比较方法 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键。 ①底数相同，指数（或真数）不同时，如和，利用指数函数的单调性；如和利用指数函数单调性比较大小。 ②指数（或真数）相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；而和则需画出两者的对数函数图象进行辨别大小。 ③底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定。 ④其他方法：如转化为两函数图象交点的横坐标、特殊值法、估算法、放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法等都可以灵活运用。 补充2.指数、对数不等式的解法 （1）形如的不等式，可借助的单调性求解； （2）形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解； （3）形如的不等式，可借助两函数，的图象求解； （4）形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论； （5）形如logax＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式； 有关指、对数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指、对数型函数图象和性质，数形结合求解． 补充3.函数零点或零点个数的求法 ①代数法：根据零点定义，求出方程的实数解； ②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解； ③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数； ④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调。 补充4.识图的三种常用方法： （1）抓住函数的性质，定性分析： ①从函数的定义域、值域；②从函数的奇偶性，判断图象的对称性； ③从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ④从周期性，判断图象的循环往复。 ⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象. (2)抓住函数的特征，定量计算： 从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题． （3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法： ①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)； ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)． 题型一 指数与指数幂的运算 【例1】（多选题）（25-26高一上·湖南·课后作业）下列运算（化简）中正确的有（ ）． A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确；故选：ABD. 【变式1-1】（多选题）（25-26高一上·重庆·课后作业）下列各式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由；；； ，显然ABC不正确.故选：ABC 【变式1-2】（多选题）（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由，得，则，A正确； 对于B，由，得，则，B正确； 对于C，由，得，于是，C错误； 对于D，，D正确.故选：ABD 【变式1-3】（24-25高一上·安徽马鞍山·期中） . 【答案】 【详解】.故答案为： 【变式1-4】（25-26高一上·成都·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)18(2) 【详解】（1）原式． （2）原式． 题型二 对数的综合计算 【例1】（2025高一上·湖北·专题练习）计算：(1)； (2)；(3)． 【答案】(1)(2)8(3) 【详解】（1） ． （2） ． （3） . 【变式1-1】（24-25高一上·安徽亳州·期末）计算= ． 【答案】6 【详解】原式，故答案为：6． 【变式1-2】（24-25高一上·吉林长春·期末）已知且，若，则 ． 【答案】/ 【详解】由已知且，， 得，则，故，故答案为： 【变式1-3】（24-25高一上·上海闵行·期中）已知，则= ． 【答案】 【详解】因为，所以，， ，所以．故答案为：. 【变式1-4（24-25高一上·江苏南通·期中）已知，，用含a、b的式子表示 ． 【答案】 【详解】因为，. 由,可得，将其代入中，得到. 对进行化简，所以.. 因为. 把代入可得：. 故答案为：. 题型三 幂函数、指数函数与对数函数的概念 【例1】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知对数函数（且）的图象过点，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】因为对数函数（且）的图象过点， 所以，即，所以，则.故选：C 【变式1-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）若函数为指数函数，则 ． 【答案】 【详解】因为函数为指数函数， 所以且且，解得.故答案为： 【变式1-2】24-25高一上·北京东城·期中）函数为对数函数，则 ． 【答案】4 【详解】由题意知，，故答案为：4. 【变式1-3】（24-25高一上·新疆喀什·期末）已知函数是幂函数.则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【详解】因为函数是幂函数，所以，所以， 所以，所以.故选：C. 【变式1-4】（2025高三·湖北·专题练习）幂函数在区间上是增函数，求实数的取值集合． 【答案】 【详解】解：由题得，所以或． 当时，在上是增函数； 当时，在上不是增函数，舍去．故所求实数的取值集合为． 题型四 幂函数、指数函数与对数函数的图象 【例1】（24-25高一上·上海·期中）如图，图像①②③④所对应的函数不属于，中的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【详解】因为，所以函数过点，和过点. 所以由图可得③所对应的函数不属于，和中的函数.故选：C. 【变式1-1】（24-25高一上·广东东莞·期中）函数（，且）的图象可能是（   ） A．B．   C．D．   【答案】C 【详解】因为函数（，且）， 当时，是增函数，并且恒过定点， 又因为的图象在的基础上向下平移超过1个单位长度，故D错误，C正确； 当时，是减函数，并且恒过定点， 又的图象在的基础上向下平移了不到1个单位长度，故A，B错误.故选：C. 【变式1-2】（24-25高一上·上海·期中）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，幂函数在上单调递增， 当时，幂函数在上单调递减， 并且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大， 所以，所以.故选：A 【变式1-3】（23-24高一上·湖南长沙·期末）若函数（，且）的图象过点，则函数的大致图象是（   ） A．  B．  C．  D．   【答案】B 【详解】因为函数（，且）的图象过点，所以，解得， 所以， 该函数为偶函数，关于轴对称，且在单调递增，在单调递减， 只有B中图象符合该函数特点，故选：B 【变式1-4】（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知，在同一坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意若，则指数函数单调递增，并过定点， 函数单调递减，并过定点，而函数与函数关于轴对称， 所以单调递增，并过定点，对比选项可知，只有B选项符合题意.故选：B. 题型五 幂函数、指数函数与对数函数的定点问题 【例1】（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的图象恒过定点，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则，则，故定点为，故选：D． 【变式1-1】（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为幂函数的图象过定点，即有，所以， 即的图象经过定点.故选：B. 【变式1-2】（2025·北京海淀·一模）函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则，则， 所以函数的图象一定过点.故选：A. 【变式1-3】（25-26高三上·上海嘉定·阶段练习）已知常数且，假设无论取何值，函数的图象恒过一个定点，则此定点坐标是 . 【答案】 【详解】由于且，故，因此令，则， 故经过的定点为故答案为： 【变式1-4（25-26高三上·河南·开学考试）对，且的图象过定点，则点的坐标为 . 【答案】 【详解】由题意，当时，，所以图象过定点，故答案为： 题型六 指数与对数型复合函数的值域 【例1】（24-25高一上·吉林长春·期中）函数在上的值域为 . 【答案】 【详解】设，由于，所以，所以， 根据二次函数的性质可知，当时，取得最小值为，对应； 当时，取得最大值为，所以取得的值域为.故答案为： 【变式1-1】（24-25高一上·北京顺义·期中）函数的值域为 . 【答案】 【详解】令，则， 因为在上单调递减，所以，且当时，， 所以的值域为，故答案为：. 【变式1-2】（24-25高一上·河北·阶段练习）下列各函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，显然取尽正实数，因此的值域是，A不是； 对于B，，则，即，函数的值域为，B不是； 对于C，的值域为R，因此的值域为，C是； 对于D，由于，则且，即函数的值域为，D不是.故选：C 【变式1-3】（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知函数． (1)若，求的取值范围；(2)若，求的值域． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由可知，即得：， 由得：，即， 因在定义域内是增函数，故得，即， 又因，故的取值范围. （2）由可得，因在定义域内是增函数，则， 故得：，即函数的值域为. 题型七 根据幂函数、指数函数与对数函数的值域求参数 【例1】（24-25高一上·四川泸州·期中）已知函数的定义域和值域都是，则 . 【答案】 【详解】因为函数在上单调递减， 由题意可得，解得，所以.故答案为：. 【变式1-1】（24-25高一上·海南海口·期中）函数且的值域是，则实数 . 【答案】或 【详解】当时，函数且是增函数， 其值域为，则，解得； 当时，函数且是减函数， 其值域是，则，解得， 所以实数或.故答案为：或 【变式1-2】（24-25高一上·湖南株洲·期末）若函数在上的最大值为2，则实数 ． 【答案】 【详解】令，因为时，，所以； 若，则在上为减函数，所以，此时a无解； 若．则在上为增函数，所以，此时故．故答案为： 【变式1-3】（24-25高一上·安徽阜阳·期中）已知函数的值域是，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】令，则，要使得的值域为R，则函数的值域满足， 当时，即函数开口向上，且最小值小于等于0，， 当时，满足题意，综上所述：.故答案为：. 题型八 对数函数的定义域（含复合函数） 【例1】（25-26高三上·广东·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】由函数的定义域为， 知 ，所以，这意味着函数 的定义域为 ； 现在考虑函数 定义域，其自变量需同时满足以下条件： ，解得：. 故答案为： 【变式1-1】（24-25高一上·江苏南京·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数有意义，则，即，解得， 所以所求的定义域为.故选：D 【变式1-2】（24-25高一上·四川·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，解得或， 所以的定义域为.故选：A 【变式1-3】（多选题）（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．的增区间为 B．的减区间为 C．的值域为 D．有最大值 【答案】BC 【详解】令，解得或，所以函数的定义域为， 又在定义域内单调递减，所以根据复合函数同增异减的性质可知， 的增区间为，的减区间为，故A错误，B正确； 因为当或时，的值域为， 所以的值域为，无最大值，故C正确，D错误.故选：BC. 【变式1-4】（多选题）（2025高一上·浙江·期中）关于函数，下列选项中正确的有（   ） A．定义域为 B．增区间为 C．最小值为1 D．图象恒在x轴上方 【答案】BCD 【详解】由题，令,解得,故A错误；函数在上单调递增，在单调递增，所以函数的增区间是,故B正确；由选项B的分析可得，当时，函数取到最小值，,故C正确；因为,所以恒成立，即函数图象恒在轴上方.故D正确.故选：BCD. 题型九 幂函数的单调性 【例1】（24-25高一上·山东淄博·期中）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据幂函数奇偶性知和为奇函数，故BD错误； 对C，，当时，，此时单调递增，故C错误； 对A，根据幂函数的性质知其为偶函数且在上单调递减，故A正确.故选：A. 【变式1-1】（24-25高一上·云南昆明·期中）幂函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】因为幂函数在上单调递增， 则，解得或.故选：B. 【变式1-2】（24-25高一上·广东·期中）幂函数的图象经过点，则是（    ） A．偶函数，且在上是减函数 B．偶函数，且在上是增函数 C．奇函数，且在上是减函数 D．非奇非偶函数，且在上是增函数 【答案】B 【详解】设幂函数，由，得，解得，则， 函数的定义域为R，且，所以是偶函数， 根据二次函数的性质可知，在上是增函数，故B正确.故选：B 【变式1-3】（多选题）（25-26高三上·广东中山·阶段练习）已知函数是幂函数，对任意，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论可能成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABC 【详解】∵函数是幂函数， ∴或． ∵对任意，且，满足，∴在上单调递增． 当时，满足题意，当时，不符合题意， ∴，∴在上单调递增． ∵的值为负数，∴． 当时，，故A可能成立；当时，，故B可能成立； 当时，，故C可能成立；故选：ABC． 题型十 判断指数型复合函数的单调性 【例1】（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数，在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递减，所以由复合函数的单调性可得： 函数的单调递减区间是.故选：D. 【变式1-1】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）函数单调递减区间是 ． 【答案】 【详解】因为内层函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 外层函数在上为增函数，故函数单调递减区间.故答案为：. 【变式1-2】（2025高二下·浙江·学业考试）函数的单调递增区间是 . 【答案】或 【详解】函数，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 由的，而在上单调递增， 所以的单调递增区间是或. 故答案为：或. 【变式1-3】（2025·新疆喀什·模拟预测）已知，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，解得，函数定义域为R， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在R上单调递增，所以函数的单调递增区间为.故选：D 题型十一 判断对数型复合函数的单调性 【例1】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，即，解得，则函数的定义域为， 令，函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递减，所以的单调递减区间为.故选：B 【变式1-1】（24-25高一上·吉林·期中）函数的减区间是（   ） A． B． C． D．无减区间 【答案】C 【详解】令，解得或，可知函数的定义域为， 又因为在定义域内单调递增，且在内单调递减，在内单调递增， 可知在内单调递减，在内单调递增，所以函数的减区间是.故选：C. 【变式1-2】（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知函数. (1)求函数的定义域和值域；(2)判断函数的单调性. 【答案】(1)定义域为，值域为(2)单调增区间为，单调减区间为 【详解】（1）对于函数， 令，解得，∴的定义域为， 设，，则， 又在定义域上单调递增，且，∴，∴的值域为； （2）因为函数的定义域为，且函数在上单调递增，在上单调递减， 而对数函数在其定义域内单调递增，所以函数的单调增区间为，单调减区间为. 题型十二 由指数(型)函数的单调性求参数 【例1】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 【变式1-1】（24-25高一上·浙江衢州·期中）设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意可知是由指数函数和二次函数复合而成的， 由复合函数单调性可得只需使函数在区间上单调递减即可， 易知函数关于对称，所以可得，即；即的取值范围是.故选：D 【变式1-2】（2025高三·广东·专题练习）已知函数在上为单调函数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，函数单调递增，又在上为单调函数，则在上单调递增， 当时，，解得， 又要保证端点处满足题干，，解得，即a的取值范围为．故选：. 【变式1-3】（24-25高一上·江苏盐城·期中）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间；(2)恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)增区间为，减区间为；(2) 【详解】（1）当时，，令，则， 的增区间为，减区间为， 又为减函数，根据“同增异减”法则：的增区间为，减区间为； （2）恒成立， ，即恒成立，，解得：. 题型十三 由对数(型)函数的单调性求参数 【例1】（24-25高一上·辽宁抚顺·期末）若函数在区间上为减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵对数函数中， ∴中，即函数在区间上为减函数，， 令，则在区间上为增函数，即，解得.故选：C. 【变式1-1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在上单调递减，而函数在上单调递增， 则函数在上单调递减，因此，解得， 所以实数a的取值范围是.故选：D 【变式1-2】（24-25高一上·广东东莞·期中）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】二次函数的对称轴为，且开口向下， 因为函数是正实数集上的增函数，又函数在区间上单调递减， 则在区间上单调递减，且恒成立， 只需满足，故选：C. 题型十四 由幂函数、指数、对数函数的单调性解不等式 【例1】（24-25高一上·安徽·阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不等式，变形为， 当时， 令，则，此时原不等式不成立； 当时，令，由在单调递增，在单调递减， 所以在单调递增，故当时，取得最大值为， 由，解得，所以.故选：B. 【变式1-1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）如果，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为，且在上单调递增， 所以，解得，故答案为：. 【变式1-2】（24-25高二下·陕西西安·期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是 . 【答案】 【详解】由对数函数和一次函数的单调性可得是上的增函数， 且，所以当时，的解集为， 所以当时，不等式的解集为：.又因为是奇函数，易知是偶函数， 所以当时，不等式的解集为：. 故不等式的解集为：. 故答案为： 【变式1-3】（24-25高一上·山东·课前预习）已知，则x的取值范围为 ； 【答案】 【详解】函数在上为减函数， 由得解得，即的取值范围是．故答案为： 【变式1-4】（24-25高一上·江苏南通·期中）若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为幂函数在定义域上单调递减， 所以，故答案为：. 【变式1-5】（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）不等式的解集是 . 【答案】 【详解】由可得，可得或， 又因为函数为上的增函数，则有或， 故原不等式的解集为. 故答案为：. 题型十五 比较指数幂的大小 【例1】（多选题）（24-25高一上·广东汕头·期中）下列各式比较大小，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，因为在上单调递增，且，所以，所以A错误， 对于B，，因为在上单调递减，且， 所以，即，所以B正确， 对于C，，因为在上单调递增，且， 所以，即，所以C正确， 对于D，因为在上单调递增，且，所以， 因为在上单调递减，且，所以， 所以，所以D正确.故选：BCD 【变式1-1】（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 比较a和b的大小，对于和，因为函数，指数0.1＞0，此函数在单调递增． 又因为，所以，即．比较a和c的大小，是增函数，， 故．故选：A． 【变式1-2】（24-25高一上·天津·期中）若，，，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，则.故选：D. 【变式1-3】（24-25高一上·湖北恩施·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，根据指数函数的单调性，在上单调递减，则，即； 设，根据幂函数的单调性，在上单调递增，则，即. 故.故选：D 题型十六 比较指对式的大小 【例1】（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，则，，故.故选：C. 【变式1-1】（24-25高一上·福建莆田·期中）已知，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为时，的图象永远在图象的上方，所以，即， 又，，所以，所以，故选：A. 【变式1-2】（24-25高一上·吉林长春·期中）已知，，，则有（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，即，，， 所以.故选：D 【变式1-3】（25-26高三上·黑龙江·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 又，所以.所以．故选：D 【变式1-4】（2025·江苏南京·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，由，得，则，即； ，所以.故选：D 题型十七 幂函数与指对数型函数的奇偶性 【例1】（2025·甘肃定西·模拟预测）已知幂函数的定义域为，其图象关于原点对称，且在上单调递增，则的值可以是 .（写出一个即可） 【答案】3（答案不唯一） 【详解】举例，即，其定义域为R， 又，所以为奇函数，其图象关于原点对称， 且在上单调递增，所以满足题意.故答案为：3.（答案不唯一） 【变式1-1】（24-25高一上·山西朔州·期中）若幂函数的图象不过原点，且关于原点对称，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由幂函数的定义，得，解得或. 若，则，其图象不关于原点对称，不符合题意，舍去； 若，则，其图象不过原点，且关于原点对称，符合题意.故选：A 【变式1-2】（24-25高一上·辽宁·期末）若幂函数是偶函数，则（   ） A．-2 B．3 C．1 D．1或3 【答案】C 【详解】因为是幂函数，所以，解得或. 当时，是偶函数，符合题意；当时，是奇函数，不符合题意.故选：C 【变式1-3】（24-25高三上·山东济南·阶段练习）幂函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】幂函数的定义域为，故D选项错误； 因为,所以为偶函数，故A,C选项错误；故选：B. 【变式1-4】（多选题）（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知函数是幂函数，则（    ） A． B． C． D．是奇函数 【答案】ABD 【详解】函数是幂函数，则有， 所以，解得或，B选项正确，C选项错误； 或，则有是奇函数，，AD选项正确. 故选：ABD. 题型十八 幂函数、指数函数与对数函数的实际应用 【例1】（24-25高一上·山东潍坊·期中）某放射性物质在衰变过程中，其质量（单位：克）与年数满足关系式（为初始质量，为常数，）.已知经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，再经过6年，该放射性物质的质量变为初始质量的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半， 即时，， 则再经过6年，，.故选：D 【变式1-1】（25-26高三上·河南·阶段练习）中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：，其中为被测试眼睛的视力值，为该眼睛能分辨清楚的标准视力表最低一行“”形视标的笔划宽度（单位：毫米），为被测试人到标准视力表的距离（单位：米），是与无关的常量.已知一个右眼视力值为5.0的人在距离标准视力表5米处进行检测，能分辨的最低一行“E”形视标为标准视力表的第三行（从下往上数）.由于场地大小受限，小华在距离标准视力表4米处进行检测，若此时他的右眼能分辨的最低一行视标也为标准视力表的第三行（从下往上数），不考虑其他因素的影响，则小华右眼的视力值为（    ）（参考数据：） A．5.1 B．5.0 C．4.9 D．4.8 【答案】C 【详解】当时，，解得，小华在距离标准视力表4米处进行检测，即， 代入得.故选：C. 【变式1-2】（25-26高三上·河南·阶段练习）本·福特定律——在大量10进制随机数据中，以数开头的数出现的概率满足，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律，后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若，则实数的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【详解】由，则， 则，又， 则有，即，故实数的最大值为.故选：C. 【变式1-3】（2024·四川·三模）某大型露天体育场馆为了倡导绿色可循环的理念，使整个系统的碳排放量接近于0，场馆配备了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染排放量N（mg/L）与时间t的关系为（为最初污染物数量），如果前3个小时清除了30%的污染物，那么污染物清除至最初的49%还需要（    ）小时． A．9 B．6 C．4 D．3 【答案】D 【详解】由题意可得，即， 设，则，所以， 所以污染物清除至最初的49%还需要3小时，故选：D 【变式1-4】（25-26高三上·安徽·阶段练习）环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择，某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速，经多次测试得到该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：km/h）的数据如下表所示： 0 20 40 80 0 2400 4400 12000 国道上该汽车每小时耗电量与速度的函数模型为：. (1)当时，求出该函数模型的函数解析式；(2)现有一辆同型号电动汽车从地行驶到地，其中高速上行驶，国道上行驶，若高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系满足，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 【答案】(1) (2)在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为，总耗电量最少，最少为 【详解】（1）， 由表中数据可得，解得，． （2）高速路段长，所用时间为， 则所耗电量为， 由对勾函数的性质可知，在上单调递增， ，国道路段，所用时间为， 则所耗电量为， ，当时，， 当这辆车在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为时，该车从地行驶到地的总耗电量最少，最少为． 题型十九 零点存在定理与二分法 【例1】（25-26高三上·北京·阶段练习）已知的图象连续不间断，根据下表中的数据，可以判定方程的一个根所在区间为（    ）（此处取近似值） 0 1 2 3 0.37 1 2.72 7.39 20.09 1 2.5 5 8.5 13 A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】令，则由表格所提供的函数数据，可得， 同理， ． 显然，由零点存在定理，选项BC符合，故选：BC 【变式1-1】（24-25高一上·湖北恩施·期中）函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因，，，，， 则由零点存在性定理可知，函数的零点所在的区间为故选：B 【变式1-2】（多选题）（24-25高一上·湖南永州·期末）下列函数图象与轴均有交点，其中能用二分法求其零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由二分法的定义知，若函数在区间上连续，且满足， 则可以利用二分法求函数的零点的近似值， 所以选项B、D中函数零点左右函数值不变号，不能用二分法求函数零点， 选项A、C中函数零点左右函数值变号，能用二分法求函数零点.故选：AC. 【变式1-3】（24-25高一上·辽宁·期中）下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，函数， 故函数有唯一零点，且函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点； 对于C，当时，， 当且仅当时，等号成立，无零点； 当时，当且仅当时，等号成立， 在上单调递减，在上单调递增， 此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于D，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点.故选：B 题型二十 函数零点（方程的根）的个数相关问题 【例1】（25-26高一上·湖南·阶段练习）已知方程，求m为何值时： (1)方程有一个正根一个负根；(2)方程两根均大于1；(3)方程在内有实数根． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）设函数，易知该函数的图象开口向上，对称轴为：， 要使方程有一个正根一个负根，需使函数的图象和轴的正负半轴各有一个交点， 如图需使，解得， 故的取值范围为； （2）要使方程的两根均大于1，如图需使，解得，故的取值范围为； （3）因，，方程在内有实数根包括以下两 类情况： ①方程在内有且仅有一个根时，若端点值不为0，由可得； 若端点值为0时，则或，当时，（不合题意，舍去）， 当时，（符合题意），故得； ② 方程在内有两个根时，如图需使，解得：， 综上，可得的取值范围为. 【变式1-1】（25-26高三上·江苏淮安·阶段练习）若定义在R上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】D 【详解】因为定义在R上的函数满足，故是以2为周期的函数， 结合当时，，可作出的图象； 又函数，在同一坐标系中可作出其图象：    由图象可知当时，的图象和的图象有5个交点，则此时有5个零点； 当时，的图象和的图象有6个交点，则此时有6个零点； 故在区间内的零点个数为，故选：D 【变式1-2】（24-25高三下·北京·开学考试）已知函数有且只有一个零点，则实数m的取值范围是 ． 【答案】或， 【详解】由于为单调递增函数，且时，， 当时，，当时，，作出的图像如下所示： 故只有一个交点，则直线与函数的图像只有一个交点， 故或，故答案为：或， 【变式1-3】（25-26高一上·浙江·课后作业）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在上的图象连续不断，且为增函数， 若在区间上存在零点，根据零点存在定理可知，只需满足， 即，解得，所以实数的取值范围是．故选：D. 【变式1-4】（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，若函数的零点在区间内，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 故，解得，故， 而 ，即满足，函数是定义在上的奇函数，故； 令，解得，又函数的零点在区间内， 故令，则，令，解得， 即实数的取值范围为，故选：B 基础巩固通关测 1．（25-26高一上·湖南·单元测试）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.75 1.875 1.8125 3 1.342 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【详解】由表格可得，函数的零点在区间内， 且，结合选项可知，方程的近似解可取1.8．故选：C. 2.（2025高二·湖北·专题练习）已知函数，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为在单调递减， 所以由可得，解得，故选：C. 3．（25-26高一上·安徽合肥·期中）对于，，，，下列说法中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，取，，， ，， 则，故A错误； 对于B，取，，，，， 则，故B错误； 对于C，由对数的运算性质可知，，故C正确； 对于D，对数的底数不能为负数，则表示错误，故D错误；故选：C. 4．（25-26高三上·河南·阶段练习）研究表明地震释放的能量（单位：焦耳）与震级之间满足（为常数）.若5.5级地震所释放的能量为焦耳，8级地震所释放的能量为焦耳，则6级地震所释放的能量为（    ）（取） A．焦耳 B．焦耳 C．焦耳 D．焦耳 【答案】C 【详解】由题意可得，即，解得， 所以，当时，， 所以焦耳.故选：C. 5．（24-25高一上·青海西宁·期中）函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 【答案】C 【详解】由已知得，即得.故选：C 6．（24-25高二下·河北·期末）函数（，且）的图象恒过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，函数中，令，得， 将代入函数可得，即函数的图象恒过点.故选：A 7．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，而幂函数在上单调递减，又， 因此，所以的大小关系为.故选：C 8．（25-26高三上·天津东丽·开学考试）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，则， ，故.故选：A. 9．（24-25高一下·贵州铜仁·期末）函数，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 又当时，在上单调递增， 所以，即.故选：D 10．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因，，则， 当时，故在上单调递增， 因等价于，则，得， 故不等式的解集为.故选：C 11．（25-26高三上·陕西·阶段练习）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数在上都单调递减，则函数在上单调递减， 而，所以函数的零点所在区间是.故选：B 12．（多选题）（24-25高一上·贵州·期末）已知幂函数，则下列说法正确的有（    ） A．或3 B．一定为奇函数 C．一定为减函数 D．必过点 【答案】ABD 【详解】对于A，根据幂函数的定义可得或，故A正确； 对于B，当或时，或都为奇函数，故B正确； 对于C，当时，不是减函数，当时，是增函数，故C错误； 对于D，因为对任意都有，所以幂函数均经过点，故D正确.故选：ABD 13．（25-26高三上·北京·阶段练习） . 【答案】 【详解】, 故答案为：. 14．（23-24高一上·四川凉山·期末）函数的图象恒过点 . 【答案】 【详解】令，此时，无论取何值，都有. 所以函数图象恒过点.故答案为： 15．（25-26高三上·安徽六安·阶段练习）设函数过定点，则 ． 【答案】4 【详解】由过定点，可知， 解得，故.故答案为：4. 16．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）函数的单调递减区间是 ． 【答案】 【详解】函数的定义域为R，令， 函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在R上单调递增，因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是.故选： 17．（24-25高二下·上海浦东新·期末）方程的解集为 . 【答案】 【详解】由题意得，解得，，解得， 因为，所以， 则，由对数函数性质得 在上单调递增， 可得，解得，不在范围内，故原方程的解集为.故答案为： 18．（2025高一·山东·专题练习）求值：. 【答案】38 【详解】原式 . 19．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知指数函数（且）的图象过点． (1)求函数的解析式；(2)求函数在上的值域 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为函数（且）的图象过点，则， 解得，因此，． （2），令，因为，则，令， 当时，函数单调递减，此时，， 当时，函数单调递增，此时，，故当时，， 又因为，故， 所以，函数在上的值域为． 20．（25-26高一上·湖南·单元测试）已知（，且）． (1)判断的奇偶性；(2)若在区间内的最大值为2，求． 【答案】(1)是偶函数(2) 【详解】（1）由题意得解得，则的定义域为，关于原点对称， 且，所以是偶函数． （2），①当时，函数在上单调递增， 则在区间内的最大值为2可转化为在区间内的最大值为， 因为在区间单调递减，所以， 解得（负值舍会），与矛盾，舍去； ②时，函数在上单调递减，则在区间内的最大值为2可转化为在区间内的最小值为， 因为在区间单调递减，所以，解得（负值舍会），满足． 综上，． 21．（24-25高一上·四川广安·阶段练习）目前，我国的水环境问题已经到了刻不容缓的地步，河道水质在线监测COD传感器针对水源污染等无组织污染源的在线监控系统，进行24小时在线数据采集和上传通讯，并具有实时报警功能及统计分析报告，对保护环境有很大帮助．该传感器在水中逆流行进时，所消耗的能量为，其中v为传感器在静水中行进的速度（单位：km/h），t为行进的时间（单位：h），k为常数，如果待测量的河道的水流速度为3 km/h．设该传感器在水中逆流行进10 km消耗的能量为E． (1)请写出逆流行进时间t的表达式（用表示）；(2)若表示E关于v的函数，请写出； (3)当为多少时传感器消耗的能量最小？并求出的最小值. 【答案】(1)(2)(3)，最小值． 【详解】（1）由题意，该传感器在水中逆流行进10 km所用的时间. （2）所消耗的能量． （3）有 ，当且仅当，即时等号成立， 此时取得最小值． 22．（25-26高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知函数，且． (1)求函数的定义域；(2)判断函数的奇偶性；(3)若，求的取值范围． 【答案】(1)(2)奇函数(3)当时，的取值范围是；当时，的取值范围是 【详解】（1）由，得，故函数的定义域为． （2）由（1）知函数的定义域关于原点对称， ，函数是奇函数． （3）当时，由，得，解得； 当时，由，得1，解得． 故当时，的取值范围是；当时，的取值范围是． 能力提升进阶练 1．（25-26高三上·河南·阶段练习）已知幂函数的定义域为，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．1 【答案】C 【详解】由题意，解得或， 当时，的定义域为，符合题意， 当时，的定义域不为，不符合题意，综上，.故选：C. 2．（24-25高一上·湖北恩施·期中）已知且，则函数与函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，在R上单调递减且恒过 ，在 上单调递减且恒过 ，B不符合，D符合，当时, 在R上单调递增且恒过，在 上单调递增且恒过，A、C不符合.故选：D. 3．（25-26高三上·福建厦门·阶段练习）已知定义在R上的函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为R，， 函数是奇函数，而函数在R上都递增， 则函数在R上递增，不等式， 因此，解得，所以原不等式的解集为.故选：D 4．（2025·山东济宁·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是由与复合而成， 在中，，，所以在上单调递减. 因为在上单调递减，且外层函数在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数在上单调递增. 对于二次函数，其图象开口向上，对称轴为. 二次函数在对称轴右侧单调递增，要使在上单调递增， 则对称轴需满足，解得.故选：A. 5．（25-26高一上·安徽合肥·期中）函数在上的最大值与最小值的和为1，则（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【详解】若，则在上单调递增，故，解得，满足要求； 若，则在上单调递减，故，解得，不符合要求； 综上，.故选：C 6．（25-26高三上·重庆·阶段练习）设 且 ，若函数的最小值为2，则 （      ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【详解】由已知， 所以，令，又， 故，当且仅当，即时等号成立，所以， 因为函数的最小值为2，所以，解得.故选：D. 7．（24-25高一下·浙江·阶段练习）已知函数 若 则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可知函数定义域为，令， 则，故为奇函数， 由则，即, 由初等函数可以得到在定义域上单调递增，故,即,解得或. 故的范围为.故选：B. 8．（25-26高三上·广东湛江·阶段练习）已知函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为的值域为，所以的值域包含， 所以，解得.故选：C. 9．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知函数则方程的解的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】函数的图象如图所示： 设，则方程即，由图象可知，与有三个交点， 横坐标分别为，其中，，， 方程解的个数转化为方程，，解的个数之和， 由图象可知，与有一个交点，与有三个交点， 与没有交点，所以方程解的个数为.故选：B 10．（2025高三·浙江·专题练习）已知方程的实根为的实根为的实根为，则的大小关系是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知，即， 在同一坐标系中作出函数的图象，如下：    观察图象，易得.故选：A． 11．（25-26高三上·天津河北·开学考试）设，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知，所以，， 即.故选：C 12．（多选题）（24-25高一上·浙江金华·阶段练习）已知函数，下列选项正确的是（    ） A．当时，的定义域为 B．当时， C．当时，为偶函数 D．当时，函数的图象恒过定点 【答案】BCD 【详解】对于A，当时，，此时的定义域为，故A错误； 对于B，当时，，则在单调递减，所以，故B正确； 对于C，当时，，则，为偶函数，故C正确； 对于D，当时，，则函数的图象恒过定点，故D正确.故选：BCD. 13．（25-26高三上·天津东丽·开学考试）已知函数，则不等式的解集 . 【答案】 【详解】函数的定义域为，， 函数是奇函数，而函数在上单调递减， 函数在上单调递增，因此函数在上单调递减， 不等式， 则，解得，所以所求不等式的解集为.故答案为： 14．（25-26高一上·湖南·课后作业）当时，不等式恒成立，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设，要使当时，不等式恒成立，只需在上的图象在在上的图象的下方即可，所以．当时，如图所示，要使在区间上，的图象在的图象下方，只需，即，即，解得． 15．（25-26高二上·河北廊坊·开学考试）已知函数若函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】令， 问题函数恰有三个不同的零点，可以转化为函数的图象与函数的图象有三个不同的交点，两个函数的图象如下图所示： 根据数形结合思想可知函数的图象与函数的图象有三个不同的交点， 只需，故答案为： 16．（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）（1）已知，，求的值； （2）已知，为正实数，求的值； （3）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）原式. （2）因为， ， 所以. （3）由可得，即， 又，令，则，解得，即. 17．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）已知函数. (1)当时，求的单调递减区间；(2)当在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）函数有意义，则，解得， 此时，令， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而当时，函数在上单调递增，所以函数的单调递减区间是. （2）由（1）得，当时，函数在上单调递减，， 依题意，，解得； 当时，函数在上单调递增，， 依题意，，解得， 所以的取值范围是. 18．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知函数． (1)试确定的奇偶性；(2)求证：函数在上是减函数； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)奇函数(2)证明见解析(3) 【详解】（1）函数的定义域为，关于原点对称， 且有，故函数为奇函数. （2）证明：， 设，再由， 可得，故函数在上是减函数. （3）对任意的，不等式恒成立，为奇函数， 恒成立，由函数在上是减函数， 可得 恒成立，即恒成立， ，解得：，故的取值范围为. 19．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知定义在上的函数为偶函数且，.(1)求的解析式；(2)若不等式恒成立，求实数a取值范围； (3)设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3). 【详解】（1）由题意，则， 所以恒成立，故，所以； （2）由（1）得， 又在R上单调递增，故在R上单调递增， 由，即恒成立， 所以，令，即在上恒成立， 所以，可得. （3）上，，又对任意的，存在，使得， 只需，对于，函数图象开口向上且对称轴， 当时，上，得，则； 当时，上恒成立，则； 当时，上，得，则；综上. 20．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数. (1)求函数的定义域，判断函数的奇偶性并证明:(2)若，求实数的取值范围； (3)若存在使得不等式成立，求实数的最大值. 【答案】(1)定义域为，函数为偶函数，证明见解析(2)(3) 【详解】（1）对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，故函数为偶函数. （2）当时，， 由得，解得， 由可得，解得，所以，实数的取值范围是. （3）因为，则，因为存在使得不等式成立， 则，解得，因此，实数的最大值为. 21．（25-26高一上·江苏泰州·阶段练习）已知函数 (1)若该函数恰有一个零点，求实数的值；(2)若函数的两个零点均在，求实数的取值范围； (3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)或或(2)(3)或 【详解】（1）当时：函数为，恰有一个零点，符号题意； 当时：函数是二次函数，， 化简得，解得或.综上，或或. （2）函数，函数有两个零点，故，即， ，即，解得且； 对称轴为，需满足，解得或，， ，解得或， 综上的取值范围为：. （3）不等式对恒成立，对恒成立， 分情况讨论： 当时：即或， 当时，不等式变为，对恒成立。 当时，不等式变为，即，不满足对恒成立； 当时：此时函数是二次函数，要使其对恒大于，需满足，由得或， 计算，即， 解得或，结合或，得到或， 综上，实数的取值范围是或. 22．（25-26高一上·安徽马鞍山·阶段练习）果农种植一种水果，每年施肥和灌溉等需投入4万元．为了提高产量同时改善水果口味以赢得市场，计划在今年投入x万元用于改良品种.根据其他果衣种植经验发现，该水果年产量（万斤）与用于改良品种的资金投入x（万元）之间的关系大致为：，（，m为常数），若不改良品种，年产量为1万斤．该水果最初售价为每斤4元，改良品种后，售价每斤提高元．假设产量和价格不受其他因素的影响．(1)求m的取值；(2)设该果农种植该水果所获得的年利润为y（万元），试求y关于资金投入x（万元）的函数表达式，并求当果农种植该水果所获得的利润不低于4万元时，实数x的取值范围．(3)该果农一年内应当投入多少万元用于改良品种，才能使得年利润最大?最大是利润是多少? 【答案】(1)2(2)(3)；万元 【详解】（1）若不改良品种，年产量为1万斤，时，，即，解得． （2）年产量万斤，改良后售价元/斤，总成本万元， 利润 ， 若利润不低于4万元，则，， ，化简并整理得，解得，． （3）， ，当且仅当，即时取等号， 投入万元时，获得最大利润，最大利润为：万元． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 幂函数、指数函数和对数函数（复习讲义） 1.掌握根式的概念，理解根式的基本性质，并能运用性质进行相关的根式化简与计算； 2.熟练掌握有理数指数幂的基本不等式，并能运用该不等式分析有理数指数幂的单调性，为理解无理数指数幂的定义奠定基础；理解无理数指数幂的概念及相关不等式； 3.理解对数的概念，掌握对数式与指数式的互化，熟知对数的性质，两个对数恒等式；掌握对数的相关运算法则及公式等。 4.掌握幂函数、指数函数、对数函数的概念、图象和性质，并能用图象和性质解决有关问题。 5.了解指数函数与对数函数互为反函数，通过对几类基本初等函数的变化差异进行比较，来解决简单的实际问题。 6.理解零点的概念；掌握并熟练运用零点存在定理解决相关问题；理解零点、根、交点三者之间的关系； 7.掌握运用函数性质求方程近似解的基本方法（二分法）；理解用函数构建数学模型的基本过程；运用模型思想发现和提出、分析和解决问题。 8.幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质及其应用，特别是单调性的应用。 9.与幂、指数、对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题和选择恰当的函数模型解决实际问题。 1、次根式定义：若一个（实）数的次方（，）等于，即，则是的次方根。 ①当是奇数时，的次方根用记作。 ②当是偶数时，正数的次方根有两个，他们互为相反数。其中正的次方根叫作算术根，记作。 ③规定：，负数没有偶次方根。 2、根式：式子叫做根式（，），叫作根指数，叫作被开方数。 ①当为奇数时，（）；②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且，；④为偶数时，且， 3、分式指数幂 1）根式与分数指数幂互换：当，，时，规定：；。 2）规定：0的正分数指数幂等于0，0没有负分数指数幂。 4、有理数指数幂的基本不等式：对任意的负有理数r和正数a，若，则；，则。 对任意的正数和两个有理数，有；对任意的正数和两个有理数，有。 5、无理数指数幂的概念 现在，对于，当x是任意有理数时，ax都有了意义。 这样，用a的有理数次幂来逼近其无理数次幂，可以要多精确就有多精确，所以，任意正数a的无理数次幂就有了确定的意义，于是，给定任意正数a，对任意实数u，a的u次幂au都有了定义。 在幂的表达式au中，a叫作底数，u叫作指数。 对任意的正数u和正数a，若，则；，则。 对任意的负数u和正数a，若，则；，则。 6、幂函数定义：一般来说，当x为自变量而为非零实数时，函数叫作（次）幂函数。 7、幂函数的图象与性质：一般地，对于实数次幂函数（）： （1）当α>0时，它在[0，+∞)上有定义且单调递增，值域为[0，+∞)，函数图象过(0，0)，(1，1)。 （2）当α<0时，它在(0，+∞)上有定义且单调递减，值域为(0，+∞)，函数图象过(1，1)，向上与y轴正向无限接近，.向右与x轴正向无限接近。 8、对数的概念：如果(,且)，那么数b叫作以为底，（正）数的对数，记作，这里叫作对数的底数，叫作对数的真数。指数对数互换：当且， 9、对数的基本恒等式：①（＞0，且）；②（b∈R，且）。 两个重要的特殊值：对于任意的且,都有，。 10、对数的运算性质：当且，, ①；②；③（）。 11、对数的换底公式：（且，，，且）； 由换底公式可推导出：①；②（）。 12、指数函数图象与性质 13、对数函数图象与性质 图 象 性 质 定义域： 定义域： 值域： 值域： 图像都过点 过点，即当时， 在 上是增函数 在上是减函数 在上是增函数 在上是减函数 13、函数零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点。 即：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点。 14、函数零点存在定理：如果函数在区间上连续变化，且有，则存在，使得，即为该函数零点。若函数在区间上单调，则可判定在内有唯一实数根。 15、二分法的概念： 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断的把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection )。 16、用二分法求零点的近似值 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： （1）确定零点的初始区间，验证； （2）求区间的中点； （3）计算； ①若（此时)，则就是函数的零点； ②若（此时)，则令； ③若（此时)，则令； （4）判断是否达到精确度，若，则得到零点近似值(或)，否则重复2--4的步骤。 17、在区间上，当a>1时，时，总存在一个，当x＞时，有 logax＜xα＜ax。 18、实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果 要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 补充1.指、对、幂大小比较方法 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键。 ①底数相同，指数（或真数）不同时，如和，利用指数函数的单调性；如和利用指数函数单调性比较大小。 ②指数（或真数）相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；而和则需画出两者的对数函数图象进行辨别大小。 ③底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定。 ④其他方法：如转化为两函数图象交点的横坐标、特殊值法、估算法、放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法等都可以灵活运用。 补充2.指数、对数不等式的解法 （1）形如的不等式，可借助的单调性求解； （2）形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解； （3）形如的不等式，可借助两函数，的图象求解； （4）形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论； （5）形如logax＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式； 有关指、对数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指、对数型函数图象和性质，数形结合求解． 补充3.函数零点或零点个数的求法 ①代数法：根据零点定义，求出方程的实数解； ②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解； ③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数； ④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调。 补充4.识图的三种常用方法： （1）抓住函数的性质，定性分析： ①从函数的定义域、值域；②从函数的奇偶性，判断图象的对称性； ③从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ④从周期性，判断图象的循环往复。 ⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象. (2)抓住函数的特征，定量计算： 从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题． （3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法： ①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)； ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)． 题型一 指数与指数幂的运算 【例1】（多选题）（25-26高一上·湖南·课后作业）下列运算（化简）中正确的有（ ）． A． B． C． D． 【变式1-1】（多选题）（25-26高一上·重庆·课后作业）下列各式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（多选题）（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一上·安徽马鞍山·期中） . 【变式1-4】（25-26高一上·成都·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 题型二 对数的综合计算 【例1】（2025高一上·湖北·专题练习）计算：(1)； (2)；(3)． 【变式1-1】（24-25高一上·安徽亳州·期末）计算= ． 【变式1-2】（24-25高一上·吉林长春·期末）已知且，若，则 ． 【变式1-3】（24-25高一上·上海闵行·期中）已知，则= ． 【变式1-4（24-25高一上·江苏南通·期中）已知，，用含a、b的式子表示 ． 题型三 幂函数、指数函数与对数函数的概念 【例1】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知对数函数（且）的图象过点，则（   ） A． B． C．2 D．4 【变式1-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）若函数为指数函数，则 ． 【变式1-2】24-25高一上·北京东城·期中）函数为对数函数，则 ． 【变式1-3】（24-25高一上·新疆喀什·期末）已知函数是幂函数.则（   ） A． B．2 C． D．1 【变式1-4】（2025高三·湖北·专题练习）幂函数在区间上是增函数，求实数的取值集合． 题型四 幂函数、指数函数与对数函数的图象 【例1】（24-25高一上·上海·期中）如图，图像①②③④所对应的函数不属于，中的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式1-1】（24-25高一上·广东东莞·期中）函数（，且）的图象可能是（   ） A．B．   C．D．   【变式1-2】（24-25高一上·上海·期中）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高一上·湖南长沙·期末）若函数（，且）的图象过点，则函数的大致图象是（   ） A．  B．  C．  D．   【变式1-4】（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知，在同一坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型五 幂函数、指数函数与对数函数的定点问题 【例1】（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的图象恒过定点，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·北京海淀·一模）函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高三上·上海嘉定·阶段练习）已知常数且，假设无论取何值，函数的图象恒过一个定点，则此定点坐标是 . 【变式1-4（25-26高三上·河南·开学考试）对，且的图象过定点，则点的坐标为 . 题型六 指数与对数型复合函数的值域 【例1】（24-25高一上·吉林长春·期中）函数在上的值域为 . 【变式1-1】（24-25高一上·北京顺义·期中）函数的值域为 . 【变式1-2】（24-25高一上·河北·阶段练习）下列各函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知函数． (1)若，求的取值范围；(2)若，求的值域． 题型七 根据幂函数、指数函数与对数函数的值域求参数 【例1】（24-25高一上·四川泸州·期中）已知函数的定义域和值域都是，则 . 【变式1-1】（24-25高一上·海南海口·期中）函数且的值域是，则实数 . 【变式1-2】（24-25高一上·湖南株洲·期末）若函数在上的最大值为2，则实数 ． 【变式1-3】（24-25高一上·安徽阜阳·期中）已知函数的值域是，则实数的取值范围是 . 题型八 对数函数的定义域（含复合函数） 【例1】（25-26高三上·广东·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【变式1-1】（24-25高一上·江苏南京·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一上·四川·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（多选题）（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．的增区间为 B．的减区间为 C．的值域为 D．有最大值 【变式1-4】（多选题）（2025高一上·浙江·期中）关于函数，下列选项中正确的有（   ） A．定义域为 B．增区间为 C．最小值为1 D．图象恒在x轴上方 题型九 幂函数的单调性 【例1】（24-25高一上·山东淄博·期中）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一上·云南昆明·期中）幂函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（   ） A． B．或 C． D．或 【变式1-2】（24-25高一上·广东·期中）幂函数的图象经过点，则是（    ） A．偶函数，且在上是减函数 B．偶函数，且在上是增函数 C．奇函数，且在上是减函数 D．非奇非偶函数，且在上是增函数 【变式1-3】（多选题）（25-26高三上·广东中山·阶段练习）已知函数是幂函数，对任意，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论可能成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型十 判断指数型复合函数的单调性 【例1】（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）函数单调递减区间是 ． 【变式1-2】（2025高二下·浙江·学业考试）函数的单调递增区间是 . 【变式1-3】（2025·新疆喀什·模拟预测）已知，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 题型十一 判断对数型复合函数的单调性 【例1】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一上·吉林·期中）函数的减区间是（   ） A． B． C． D．无减区间 【变式1-2】（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知函数. (1)求函数的定义域和值域；(2)判断函数的单调性. 题型十二 由指数(型)函数的单调性求参数 【例1】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一上·浙江衢州·期中）设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025高三·广东·专题练习）已知函数在上为单调函数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一上·江苏盐城·期中）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间；(2)恒成立，求的取值范围． 题型十三 由对数(型)函数的单调性求参数 【例1】（24-25高一上·辽宁抚顺·期末）若函数在区间上为减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一上·广东东莞·期中）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型十四 由幂函数、指数、对数函数的单调性解不等式 【例1】（24-25高一上·安徽·阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）如果，则的取值范围为 . 【变式1-2】（24-25高二下·陕西西安·期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是 . 【变式1-3】（24-25高一上·山东·课前预习）已知，则x的取值范围为 ； 【变式1-4】（24-25高一上·江苏南通·期中）若，则实数的取值范围是 . 【变式1-5】（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）不等式的解集是 . 题型十五 比较指数幂的大小 【例1】（多选题）（24-25高一上·广东汕头·期中）下列各式比较大小，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一上·天津·期中）若，，，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一上·湖北恩施·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 题型十六 比较指对式的大小 【例1】（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一上·福建莆田·期中）已知，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一上·吉林长春·期中）已知，，，则有（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高三上·黑龙江·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2025·江苏南京·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 题型十七 幂函数与指对数型函数的奇偶性 【例1】（2025·甘肃定西·模拟预测）已知幂函数的定义域为，其图象关于原点对称，且在上单调递增，则的值可以是 .（写出一个即可） 【变式1-1】（24-25高一上·山西朔州·期中）若幂函数的图象不过原点，且关于原点对称，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一上·辽宁·期末）若幂函数是偶函数，则（   ） A．-2 B．3 C．1 D．1或3 【变式1-3】（24-25高三上·山东济南·阶段练习）幂函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式1-4】（多选题）（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知函数是幂函数，则（    ） A． B． C． D．是奇函数 题型十八 幂函数、指数函数与对数函数的实际应用 【例1】（24-25高一上·山东潍坊·期中）某放射性物质在衰变过程中，其质量（单位：克）与年数满足关系式（为初始质量，为常数，）.已知经过3年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，再经过6年，该放射性物质的质量变为初始质量的（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高三上·河南·阶段练习）中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：，其中为被测试眼睛的视力值，为该眼睛能分辨清楚的标准视力表最低一行“”形视标的笔划宽度（单位：毫米），为被测试人到标准视力表的距离（单位：米），是与无关的常量.已知一个右眼视力值为5.0的人在距离标准视力表5米处进行检测，能分辨的最低一行“E”形视标为标准视力表的第三行（从下往上数）.由于场地大小受限，小华在距离标准视力表4米处进行检测，若此时他的右眼能分辨的最低一行视标也为标准视力表的第三行（从下往上数），不考虑其他因素的影响，则小华右眼的视力值为（    ）（参考数据：） A．5.1 B．5.0 C．4.9 D．4.8 【变式1-2】（25-26高三上·河南·阶段练习）本·福特定律——在大量10进制随机数据中，以数开头的数出现的概率满足，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律，后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若，则实数的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式1-3】（2024·四川·三模）某大型露天体育场馆为了倡导绿色可循环的理念，使整个系统的碳排放量接近于0，场馆配备了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染排放量N（mg/L）与时间t的关系为（为最初污染物数量），如果前3个小时清除了30%的污染物，那么污染物清除至最初的49%还需要（    ）小时． A．9 B．6 C．4 D．3 【变式1-4】（25-26高三上·安徽·阶段练习）环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择，某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速，经多次测试得到该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：km/h）的数据如下表所示： 0 20 40 80 0 2400 4400 12000 国道上该汽车每小时耗电量与速度的函数模型为：. (1)当时，求出该函数模型的函数解析式；(2)现有一辆同型号电动汽车从地行驶到地，其中高速上行驶，国道上行驶，若高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系满足，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 题型十九 零点存在定理与二分法 【例1】（25-26高三上·北京·阶段练习）已知的图象连续不间断，根据下表中的数据，可以判定方程的一个根所在区间为（    ）（此处取近似值） 0 1 2 3 0.37 1 2.72 7.39 20.09 1 2.5 5 8.5 13 A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一上·湖北恩施·期中）函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（多选题）（24-25高一上·湖南永州·期末）下列函数图象与轴均有交点，其中能用二分法求其零点的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一上·辽宁·期中）下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 题型二十 函数零点（方程的根）的个数相关问题 【例1】（25-26高一上·湖南·阶段练习）已知方程，求m为何值时： (1)方程有一个正根一个负根；(2)方程两根均大于1；(3)方程在内有实数根． 【变式1-1】（25-26高三上·江苏淮安·阶段练习）若定义在R上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 【变式1-2】（24-25高三下·北京·开学考试）已知函数有且只有一个零点，则实数m的取值范围是 ． 【变式1-3】（25-26高一上·浙江·课后作业）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，若函数的零点在区间内，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 基础巩固通关测 1．（25-26高一上·湖南·单元测试）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.75 1.875 1.8125 3 1.342 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 2.（2025高二·湖北·专题练习）已知函数，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·安徽合肥·期中）对于，，，，下列说法中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·河南·阶段练习）研究表明地震释放的能量（单位：焦耳）与震级之间满足（为常数）.若5.5级地震所释放的能量为焦耳，8级地震所释放的能量为焦耳，则6级地震所释放的能量为（    ）（取） A．焦耳 B．焦耳 C．焦耳 D．焦耳 5．（24-25高一上·青海西宁·期中）函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 6．（24-25高二下·河北·期末）函数（，且）的图象恒过点（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·天津东丽·开学考试）设，，，则（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·贵州铜仁·期末）函数，若，则（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高三上·陕西·阶段练习）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 12．（多选题）（24-25高一上·贵州·期末）已知幂函数，则下列说法正确的有（    ） A．或3 B．一定为奇函数 C．一定为减函数 D．必过点 13．（25-26高三上·北京·阶段练习） . 14．（23-24高一上·四川凉山·期末）函数的图象恒过点 . 15．（25-26高三上·安徽六安·阶段练习）设函数过定点，则 ． 16．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）函数的单调递减区间是 ． 17．（24-25高二下·上海浦东新·期末）方程的解集为 . 18．（2025高一·山东·专题练习）求值：. 19．（23-24高一上·福建厦门·期中）已知指数函数（且）的图象过点． (1)求函数的解析式；(2)求函数在上的值域 20．（25-26高一上·湖南·单元测试）已知（，且）． (1)判断的奇偶性；(2)若在区间内的最大值为2，求． 21．（24-25高一上·四川广安·阶段练习）目前，我国的水环境问题已经到了刻不容缓的地步，河道水质在线监测COD传感器针对水源污染等无组织污染源的在线监控系统，进行24小时在线数据采集和上传通讯，并具有实时报警功能及统计分析报告，对保护环境有很大帮助．该传感器在水中逆流行进时，所消耗的能量为，其中v为传感器在静水中行进的速度（单位：km/h），t为行进的时间（单位：h），k为常数，如果待测量的河道的水流速度为3 km/h．设该传感器在水中逆流行进10 km消耗的能量为E． (1)请写出逆流行进时间t的表达式（用表示）；(2)若表示E关于v的函数，请写出； (3)当为多少时传感器消耗的能量最小？并求出的最小值. 22．（25-26高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知函数，且． (1)求函数的定义域；(2)判断函数的奇偶性；(3)若，求的取值范围． 能力提升进阶练 1．（25-26高三上·河南·阶段练习）已知幂函数的定义域为，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．1 2．（24-25高一上·湖北恩施·期中）已知且，则函数与函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·福建厦门·阶段练习）已知定义在R上的函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山东济宁·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·安徽合肥·期中）函数在上的最大值与最小值的和为1，则（   ） A． B．2 C．3 D． 6．（25-26高三上·重庆·阶段练习）设 且 ，若函数的最小值为2，则 （      ） A． B．2 C． D．3 7．（24-25高一下·浙江·阶段练习）已知函数 若 则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·广东湛江·阶段练习）已知函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知函数则方程的解的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．（2025高三·浙江·专题练习）已知方程的实根为的实根为的实根为，则的大小关系是（    ）. A． B． C． D． 11．（25-26高三上·天津河北·开学考试）设，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 12．（多选题）（24-25高一上·浙江金华·阶段练习）已知函数，下列选项正确的是（    ） A．当时，的定义域为 B．当时， C．当时，为偶函数 D．当时，函数的图象恒过定点 13．（25-26高三上·天津东丽·开学考试）已知函数，则不等式的解集 . 14．（25-26高一上·湖南·课后作业）当时，不等式恒成立，则a的取值范围是 ． 15．（25-26高二上·河北廊坊·开学考试）已知函数若函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 16．（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）（1）已知，，求的值； （2）已知，为正实数，求的值； （3）已知，求的值. 17．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）已知函数. (1)当时，求的单调递减区间；(2)当在上恒成立，求的取值范围. 18．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知函数． (1)试确定的奇偶性；(2)求证：函数在上是减函数； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 19．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知定义在上的函数为偶函数且，.(1)求的解析式；(2)若不等式恒成立，求实数a取值范围； (3)设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围. 20．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数. (1)求函数的定义域，判断函数的奇偶性并证明:(2)若，求实数的取值范围； (3)若存在使得不等式成立，求实数的最大值. 21．（25-26高一上·江苏泰州·阶段练习）已知函数 (1)若该函数恰有一个零点，求实数的值；(2)若函数的两个零点均在，求实数的取值范围； (3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 22．（25-26高一上·安徽马鞍山·阶段练习）果农种植一种水果，每年施肥和灌溉等需投入4万元．为了提高产量同时改善水果口味以赢得市场，计划在今年投入x万元用于改良品种.根据其他果衣种植经验发现，该水果年产量（万斤）与用于改良品种的资金投入x（万元）之间的关系大致为：，（，m为常数），若不改良品种，年产量为1万斤．该水果最初售价为每斤4元，改良品种后，售价每斤提高元．假设产量和价格不受其他因素的影响．(1)求m的取值；(2)设该果农种植该水果所获得的年利润为y（万元），试求y关于资金投入x（万元）的函数表达式，并求当果农种植该水果所获得的利润不低于4万元时，实数x的取值范围．(3)该果农一年内应当投入多少万元用于改良品种，才能使得年利润最大?最大是利润是多少? 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $