第4章 幂函数、指数函数和对数函数（知识清单）数学湘教版必修第一册

第4章 幂函数、指数函数和对数函数（知识清单） 清单01 实数指数幂和幂函数 知识点01 有理数指数幂 1、次根式定义：若一个（实）数的次方（，）等于，即，则是的 次方根 。 ①当是奇数时，的次方根用记作。 ②当是偶数时，正数的次方根有 两 个，他们互为相反数。其中正的次方根叫作 算术根 ，记作。 ③规定：，负数没有 偶次 方根。 2、根式：式子叫做根式（，），叫作 根指数 ，叫作 被开方数 。 ①当为奇数时，（）；②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且，；④为偶数时，且， 3、分式指数幂 1）根式与分数指数幂互换：当，，时，规定：；。 2）规定：的正分数指数幂等于 0 ， 没有 负分数指数幂。 3）整数指数幂拓展到有理数指数幂（，，） ①；②；③。 知识点02 无理数指数幂 1、有理数指数幂的基本不等式：对任意的负有理数r和正数a，若，则；，则。 对任意的正数和两个有理数，有 。 对任意的正数和两个有理数，有 。 2、无理数指数幂的概念 现在，对于，当x是任意有理数时，ax都有了意义。 这样，用a的有理数次幂来逼近其无理数次幂，可以要多精确就有多精确，所以，任意正数a的无理数次幂就有了确定的意义，于是，给定任意正数a，对任意实数u，a的u次幂au都有了定义。 在幂的表达式au中，a叫作 底数 ，u叫作 指数 。 对任意的正数u和正数a，若，则；，则。 对任意的负数u和正数a，若，则；，则。 知识点03 幂函数 1、幂函数定义：一般来说，当x为自变量而为非零实数时，函数叫作（次） 幂函数 。 2、幂函数的图象与性质： 一般地，对于实数次幂函数（）： （1）当α>0时，它在 [0，+∞) 上有定义且单调 递增 ，值域为[0，+∞)，函数图象过 (0，0) ， (1，1) 。 （2）当α<0时，它在 (0，+∞) 上有定义且单调 递减 ，值域为(0，+∞)，函数图象过 (1，1) ，向上与y轴 正向 无限接近，.向右与x轴 正向 无限接近。 清单02 指数函数 知识点01 指数爆炸和指数衰减 1、如果让底数为常数而取指数为自变量x，则得到一类新的函数，这叫作 指数函数 ，其中 a>0 ，且 a≠1 。 2、当底数 a>1时，指数函数值随自变量的增长而增大，底数a较大时指数函数值增长速度惊人，被称为 指数爆炸 。 3、把自变量x看成时间，在长为T的时间周期[u，u+T]中，指数函数的值从 an增长到an+T，增长率为(an+T一 an)÷ an=a一1，它是一个常量。因此，在经济学或其他学科中，当某个量在一个既定的时间周期中，其增长百分比是一个常量时，这个量就被描述为 指数式增长 ，也称 指数增长 。 4、反过来，如果底数0<a<1时，指数函数值随自变量的增长而缩小以至无限接近于 0，叫作 指数衰减 。 指数衰减的特点是：在一个既定的时间周期中，其缩小百分比是一个 常量 。 知识点02 指数函数的图象与性质 1、函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性 质 定义域 值域 定点 图象过定点 单调性 增 函数 减 函数 对称性 函数与的图象关于 轴对称 清单03 对数函数 知识点01 对数的概念 1、对数的概念：如果(,且)，那么数b叫作以为底，（正）数的 对数 ，记作，这里叫作对数的 底数 ，叫作对数的 真数 。 注意：1）负数和零没有对数；2）指数式与对数式的相互转化：当且， 2、对数的基本恒等式：①（＞0，且）；②（b∈R，且）。 3、两个重要的特殊值：对于任意的且,都有，。 知识点02 对数的运算法则 1、对数的运算性质：当且，, ①；②；③（）。 注意：“”同+、-、×等符号一样，表示一种运算，即已知一个底数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面。 2、常用对数与自然对数： ①常用对数：将以10为底的对数叫做 常用对数 ，并把，记为 。 ②自然对数：把以为底的对数称为 自然对数 ，并把，记作 。是无理数，它的近似值为2.71828。 3、对数的换底公式：（且，，，且）； 由换底公式可推导出：①；②（）。 知识点03 对数函数的图象与性质 1、 对数函数的概念： 1）由于指数函数是严格单调的，等式x=ay 中不同的y对应于不同的x，即每个x对应的y是确定的，从而对数运算y=logax(x>0，a>0 且a≠1)确定了一个函数，叫作（以a为底的） 对数 函数，它描述的数量关系是x=ay。此等式中把x和y互换位置就成了指数函数y=ax的表达式，因此称指数函数y=ax和对数函数y=logax互为 反函数 。这时，指数函数的定义域(一∞，+∞)成了对数函数的值域，指数函数的值域(0，+∞)是对数函数的定义域。 2）两种特殊的对数函数 我们称以10为底的对数函数为常用对数函数，记作； 我们称以无理数为底的对数函数为自然对数函数，记作. 3、对数函数的图象及其性质 对数函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性质 定义域 值域 定点 （1.0） 单调性 增 函数 减 函数 清单04 函数与方程 知识点01 方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的 零点 。 函数零点的几何定义：函数的 零点 就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标，。 即：方程有 实数 解函数有 零点 函数的图象与轴有 公共点 。 2、函数零点存在定理：如果函数在区间上连续变化，且有，则存在，使得，即为该函数 零点 。若函数在区间上单调，则可判定在内有 唯一 实数根。 知识点02 计算函数零点的二分法 1、二分法的概念： 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断的把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做 二分法 （bisection )。 2、用二分法求零点的近似值 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： （1）确定零点的初始区间，验证 ； （2）求区间的中点； （3）计算； ①若（此时)，则就是函数的 零点 ； ②若（此时)，则令； ③若（此时)，则令； （4）判断是否达到精确度，若，则得到零点 近似值 (或)，否则重复2--4的步骤。 清单05 函数模型及其应用 知识点01 几种函数增长快慢的比较 1、当底数a>1时，指数函数y=ax和对数函数 y=logax都是增函数；我们早已熟悉的一次函数y=kx+b，当k>0时也是增函数；幂函数y=xα，当α>0 时是[0，+∞)上的增函数。这些增函数的共同特点是，函数值y随着自变量x的增长而增长。同为增长，但增长的快慢可能不同。 2、在区间上，当a>1时，时，总存在一个，当x＞时，有 logax＜xα＜ax 。 3、在幂函数y=xα中，当α>0 时，α的值越大，函数在[0，+∞)的值函数值增长 越快 。 知识点02 形形色色的函数模型 1、实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果 要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 2、常见函数模型 1）一次函数型：（，为常数）；2）反比例函数型：（）； 3）二次函数型：（）；4）指数函数型：（且，）； 5）对数函数型：（且，）；6）幂函数型（，）； 7）分段函数型：两种或两种以上上述六种模型的综合；8）对勾函数型：。 【易错01：忽略偶次根式的成立条件而致错】 ①当为奇数时，（）；②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且，；④为偶数时，且， 【典例】（25-26高一上·江苏盐城·阶段练习）若，则的化简结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，所以. 故选：C. （易错警示由于由于为偶数时，且，不要忽略a-2正负的讨论）， 【针对训练】 1．（25-26高一上·江苏南通·阶段练习）设，若为定值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分，两种情况进行根式化简讨论，从而可求解. 【详解】由题意当时，不为定值， 当时，为定值， 综上所述：实数的取值范围为，故B正确.故选：B. 2．（24-25高一上·宁夏银川·阶段练习）若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为，即，所以，解得. 故答案为： 【易错02：指数函数和对数函数中忽略底数或真数的范围致错】 指数函数和对数函数的底数要求：且，对数函数的真数要求：真数大于零。 【典例】（24-25上·山东·高一校考阶段练习）使式子有意义的的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．， 【答案】C 【详解】由式子有意义，则满足，解得且.故选：C. （易错警示切不可忽略对底数3x-1和真数2-x的范围进行讨论哦） 【针对训练】 1．（24-25高二下·广东深圳·期末）若函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，函数（且）在上单调递增， 要使函数（且）在上单调递减，则，解得.故选：B. 2．（多选题）（24-25高一下·湖北·开学考试）下列选项中，使有意义的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】要使有意义，则，解得或， 所以a的取值范围是. 故选：BC. 【易错03：指数与对数函数中忽略对底数的讨论】 指数与对数函数问题中，其底数若不是确定的数值（即单调性无法确定），需要对底数分a＞1或0<a<1两种情况进行讨论。 【典例】（24-25高一·广东·专题练习）已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】令，得对称轴方程为：，分和利用复合函数的单调性求解. 【详解】令，对称轴方程为：， 当时，要使函数在区间上是增函数， 得，解得，而，故， 当时，要使函数在区间上是增函数， 得，解得不存在，综上知，的取值范围是：，故选：D （易错警示此题外层函数单调性未知，故需要对底数进行讨论哦） 【针对训练】 1．（23-24高一·上海·课堂例题）已知指数函数在区间上的最大值比最小值大，求实数a的值． 【答案】 【详解】因为，所以在区间上单调递减，最大值为，最小值为， 所以，解得或(舍)，所以. 2.（24-25·江苏·高一专题练习）已知函数 (a>0，且a≠1)，若在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当a＞1时，f（x）＞1等价于8﹣ax＞a在[1，2]上恒成立，即a＜（）min=，∴1＜a＜； 当0＜a＜1时，f（x）＞1等价于8﹣ax＜a在[1，2]上恒成立，即a＞（）max=4（舍去）， 综上，a的取值范围是（1，）．故答案为（1，）． 【易错04：求指数和对数型复合函数单调性时忽略定义域】 求复合函数单调区间一般步骤是①求函数的定义域；②作出内层函数的图象；③用“同增异减”法则写单调区间。解此类题通常会出现以下两类错误：一是忽视定义域；二是 “同增异减”法则不会或法则用错。 【典例】（25-26高三上·广东·阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则， 因为函数在区间上单调递减，且在定义域内递增， 所以，解得，（易错警示切不可忽略对真数ax+2的范围进行限制哦） 故选：C 【针对训练】 1．（25-26高三上·山西太原·阶段练习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，解得， 由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 由对数函数性质得在上单调递增，则的单调递增区间是，故A正确. 故选：A. 2．（24-25高二下·江西赣州·阶段练习）若在区间上递减，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，其对称轴方程为，对数函数是增函数， 要使函数在上递减，则， 解得，实数的取值范围是．故选：B. 3．（25-26高一上·重庆·课后作业）（1）函数的单调递增区间是 ． （2）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】（1）函数的定义域满足，即． 设， 则根据幂函数和二次函数的单调性可知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 又∵指数函数在其定义域内为减函数， ∴由复合函数的单调性可知的单调递增区间为． （2）将原函数拆解为外层函数和内层函数， 其中内层函数为二次函数，其图象开口向上，且对称轴为外层函数是增函数， ∵是上的增函数，∴，即， ∴实数的取值范围为．故答案为：；． 【易错05：换元时忽略新元的取值范围致误】 【典例】（24-25高一·北京·专题练习）已知指数函数在其定义域内单调递增．设函数，当时，则函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据指数函数定义和性质，列出方程，求得，得到，再利用换元法和二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为函数是指数函数， 可得且，解得或， 又因为指数函数在其定义域内为单调递增函数，所以，即， 由函数，令，其中，可得，（易错警示换元后，注意新元t的取值范围，不要与旧元x混淆，误认为此处t的取值范围为，从而产生错解）， 所以，根据二次函数的性质，可得， 所以函数的值域为.故答案为：. 【针对训练】 1．（24-25高一下·湖南株洲·开学考试）函数的值域是 . 【答案】 【详解】对于，对称轴为，所以， 又在上单调递增，其中，所以当时，取得最小值，即， 所以，即函数的值域为.故答案为： 2．（24-25高一下·陕西榆林·期中）要使函数在时恒大于0，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为函数在时恒大于0，所以在时恒成立. 令，则. 因为，所以.令. 因为在上为减函数，所以，即 因为恒成立,所以.故答案为： 【易错06：函数零点存在定理使用不当】 函数零点定理是指如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。解决函数零点问题常用方法有定理法、图象法和方程法。函数零点又分为“变号零点”和“不变号零点”，函数零点定理仅适用于“变号零点”，对“不变号零点”无能为力。 函数零点存在定理使用2大误区：（1）忽视定义域，对于函数在整个定义域上不连续或单调性发生变化的情况，使用函数零点存在定理要分区间进行，在各个小区间上分别研究，这样才能保证得到的答案是全面的、正确的.（2）不会赋值，在单调区间内找两个符号相反的函数值时，一般直接猜数赋值，若行不通，则通过局部确定范围或消项，借助放缩法、分析法等，探究合适的赋值。 【典例】（24-25成都市高三校考期末）若函数的图象与函数的图象交点的横坐标所在的区间为，则k可能为（ ）（多选题） A．－2     B．－1     C．1     D．2 【答案】BC 【解析】 设，（易错警示由于函数的定义域分两个区间，且函数在各个区间内均单调递增，注意在两个区间内分别应用函数零点存在定理进行研究，不要混淆为同一区间或遗漏）， 在，上均单调递增，且，，，，即，，所以函数的零点所在区间是，． 观察选项，可得k的值可能为－1，1，故选BC． 【避错建议】数形结合，作函数的草图直观判断两函数图象的交点位置，如图 显然零点在的两侧，计算比较在的的大小即可确定答案.提醒我们关注 “形” 的直观性， 又要关注 “数” 的准确性，只有将 “形助数” 与 “数定形” 充分结合，才能做到真正的 “数形结合”，简化问题的求解. 【针对训练】 1．（24-25高二下·天津河北·期末）函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意有：当时，，令得满足题意， 当时，解得，当 时，令得满足题意， 当时，得，只需即可，则，解得， 当时，解得，所以，令得，满足题意， 当时，解得，所以，令解得，满足题意，综上所述有：.故答案为：. 2．（24-25高三上·江苏扬州·期中）若函数在区间上的图象是一条不间断的曲线，则“”是“函数在区间上有零点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】充分性判断:若，因为函数在区间上的图象是一条不间断的曲线， 根据零点存在定理可知，函数在区间上有零点，所以“”是“函数在区间上有零点”的充分条件.   必要性判断:当函数在区间上有零点时，比如函数在区间[0,2]上有零点，此时，，， 即存在函数在区间上有零点时，的情况， 所以“”不是“函数在区间上有零点”的必要条件.   综上所得， “”是“函数在区间上有零点”的充分不必要条件. 故选：A. 【易错07：数形结合解题时作图不准致误】 作图时除了考虑图形的一般特征 (如零点、定点) 外， 还需要充分结合图形的其他特征(如凹凸性、拐点）。 由于对图形特征（比如抛物线的开口大小）的感知不准确， 就可能误作草图， 从而走入歧途。 【典例】（25-26高一上·重庆·阶段练习）已知函数且函数恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ） A．     B．     C．     D． 【答案】A 【解析】由得，即函数的零点是直线与曲线交点的横坐标． 当时单调递增，所以； 当时，单调递减，且当时，，，所以； 当时，单调递增，且当时，，所以． 作出函数的图象，如图1所示（易错警示作图不准致误！把函数的零点问题转化为直线与函数图象的交点问题解决，从而数形结合，实现快解．作函数的图象时，除了要求出函数的单调性及分界点处的函数值外，还要关注其趋近于无穷处的情况，否则会产生错解）， 观察图象知，当时，直线与函数图象有3个交点，即函数有3个零点， 所以，故选A． 【针对训练】 1．（2025·广东·校考二模）函数的图像与函数的图像的交点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．0 【答案】C 【详解】在上是增函数，在和上是减函数，在和上是增函数，，，， 作出函数的图像，如图，由图像可知它们有4个交点．故选：C． 2．（2025·江苏·高三校考期中）如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如下图所示，画出的函数图象，从而可知交点， ∴不等式的解集为，故选C．    【易错08：求含参函数问题时分类讨论不全】 研究含参数的函数问题，一般要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．确定分类的标准是关键，往往根据导数是否有零点、零点存在时零点是否在给定的范围内等来分类讨论． 【典例】（24-25高一上·辽宁·期中）设． （1）若函数在上为单调函数，求a的取值范围；（2）解关于x的不等式． 【解析】 （1）①当时（易错警示二次函数的单调性自然与其图象对称轴有关．但本题只提到函数，所以还要考虑一次函数也具有单调性，即二次项系数为0的情况，注意这个易错点），在上单调递增，符合题意． ②当时，函数图象的对称轴为直线， 由题意得或，，即且，得， ，即，即且，得， 所以或．综上，a的取值范围是 （2）当时（易错警示分类讨论时不要忽略特殊情况．本题先按，两种情况分类讨论，当时，比较和1的大小，再分与两种情况写出不等式的解集，不要忘记与1相等的情况），由，得． 当时，由，得或． 当时，，由，得． 当时，①当，即时，不等式的解集为； ②当，即时，不等式的解集为； ③当，即时，不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为． 【针对训练】 1．（2025·湖南·高三校考期中）已知函数为上的偶函数，为上的奇函数，且.(1)求，的解析式；(2)若函数在上只有一个零点，求实数a的取值范围. 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）因为，① 所以， 又因为函数为上的偶函数，为上的奇函数，所以，② 由①②得，. （2）由 ， 得，化简得， 令，则，即关于的方程（*）只有一个大于0的根. ①当时，，满足条件； ②当方程（*）有一正一负两根时，满足条件，则，所以； ③当方程（*）有两个相等的正根时，则，解得或， 当时，，满足条件. 当时，，舍去． 综上所述，或，即的取值范围为. 【易错09：混淆“能成立”与“恒成立”】 恒成立问题要求自变量在给定区间内可取任意值，即对所有x均能满足条件，成立，只需（）即可；能成立问题要求满足条件的自变量在给定区间内存在，即只要有一个x能满足条件即可，成立，则只需（）即可 【典例】（2025广东肇庆11月模拟）已知函数（其中，为常量，且，，）的图象经过点，．(1)求，的值(2)若关于的不等式在上有解，求的取值范围． 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）函数的图象经过点，，得，解得； （2）由（1）得，， 因为函数在上单调递增，函数在上单调递减， 所以在上单调递增，所以在上的最大值为， 因为关于的不等式在上有解， 所以，解得，即的取值范围为 【针对训练】 1．（24-25上·云南·高一校考期末）已知函数．(1)求函数的定义域；(2)解不等式：；(3)已知的图象在轴的上方，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由题意，解得所以的定义域为 （2）因为函数在上单调递增，函数在上单调递减， 所以在上单调递增． 又，所以原不等式可化为 所以，解得 所以原不等式解集为 （3） 由题意，的图象始终在轴的上方， 即对恒成立，所以有 当时，上式显然成立； 当时， 令，因为，所以 令，，即 当时， 所以实数的取值范围是 【易错10：函数的实际应用问题中理解题意或运算致误】 【典例】（2025·湖南·校考二模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.1以下（不含0.1）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：）（    ） A．128 B．130 C．132 D．134 【答案】B 【详解】由题设，，则， 所以，即， 所以所需的训练迭代轮数至少为130次.故选：B 【针对训练】 1．（2025·重庆·模拟预测）随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟．其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：，其中D为传输距离，单位是km，F为载波频率，单位是MHz，L为传输损耗（亦称衰减），单位为dB．若载波频率增加了1倍，传输损耗增加了18dB，则传输距离增加了约（参考数据：，）（    ） A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 【答案】C 【详解】设是变化后的传输损耗，是变化后的载波频率，是变化后的传输距离，则，，，则，即，从而，即传输距离增加了约3倍，故选：C． 2．（2025·辽宁·校考一模）著名数学家､物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：℃）满足：.若常数，空气温度为 ，某物体的温度从 下降到 ，大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．25分钟 B．24分钟 C．23分钟 D．22分钟 【答案】D 【详解】由题意可得，，，，故，，即， （分钟）,即大约需要的时间为22分钟，故选：． 1．（25-26高一上·广东·期中）式子的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】，故选：A 2．（24-25高一上·湖北恩施·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，由①得，由②得，故， 故所求函数定义域为.故选：C 3．（2025高一上·吉林·专题练习）在对数式中，实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】要使对数式有意义，需满足，解得或， 所以实数的取值范围是．故选：D. 4．（24-25高一下·安徽滁州·期末）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的定义域为 B．的值域是 C．是偶函数 D．的单调递减区间是 【答案】D 【详解】对于A，要使函数有意义，则，解得或， 所以函数定义域为，故A错误； 对于B，由对数函数性质可知，函数的值域是，故B错误； 对于C，因为函数定义域不关于原点对称，故函数不具有奇偶性，故C错误； 对于D，令，则，由二次函数性质可知，在区间上单调递减， 由对数函数性质可知，在定义域内单调递增， 所以在区间上单调递减，故D正确.故选：D 5．（22-23高一上·陕西商洛·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意可知，解得；易知函数的定义域为； 又是由函数和复合而成的， 由对数函数单调性可知在定义域内单调递减，而二次函数开口向上，关于对称， 因此在上单调递增，在上单调递减； 由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增； 因此在处取得最大值，即，可得的值域为.故选：C 6．（24-25高二下·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数在区间内恰有一个变号零点（即零点附近左右函数值的符号不同），则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，由条件可知，，解得：， 所以选项中满足条件的只有.故选：B 7．（24-25高一·浙江·课后作业）若函数的图象是一条连续不断的曲线，且>0，>0，<0，则y＝有唯一零点需满足的条件是（    ） A．<0 B．函数在定义域内是增函数 C．>0 D．函数在定义域内是减函数 【答案】A 【详解】∵>0，>0，<0，∴在(1,2)上一定有零点，且图象是一条连续不断的曲线．若要保证只有一个零点，只需上且上，如下图示： ∴在定义域内不一定单调，但<0.故选：A 8．（2025·天津·高三模拟预测）若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数在区间 内有意义， 则函数（且）在区间大于零恒成立， 又因为函数（且）在区间内单调递增， 所以，设则 ， ( 1 ) 当 时， 是增函数， 要使函数在区间内单调递增， 需使 在区间内内单调递增， 则需使，对任意恒成立 , 即对任意恒成立； 因为时，所以与矛盾，此时不成立. ( 2 ) 当时，是减函数，要使函数在区间内单调递增，需使在区间内内单调递减，则需使 对任意恒成立， 即对任意恒成立，因为，所以， 又，所以.综上，的取值范围是故选：B 9．（2022·全国·模拟预测）天文学上用绝对星等衡量天体的发光强度，用目视星等衡量观测者看到的天体亮度，可用近似表示绝对星等、目视星等和观测距离d（单位：光年）之间的关系．已知织女星的绝对星等为0.58，目视星等为0.04，大角星的绝对星等为，目视星等为，则观测者与织女星和大角星间的距离的比值约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设观测者与织女星和大角星间的距离分别为，，则有， 两式相减得，所以，，故选:D． 10．（多选题）（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）下列函数中能用二分法求零点近似值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于 ，在上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点，故选项正确； 对于 ，在上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点，故选项正确； 对于 ，，虽然也有唯一的零点，但函数值在零点两侧都是正号，不能用二分法求零点，故选项错误； 对于 ，在上是单调函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点，故选项正确；故选：． 11．（24-25高三上·海南·阶段练习）若代数式有意义，则 ． 【答案】1 【详解】由题意可知：，∴ ∴故答案为：1 12．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知指数函数在区间上的最大值比最小值大，则实数 【答案】3 【详解】当时，函数在区间上单调递增，， 因为最大值比最小值大，所以，解得或（舍）， 当时，函数在区间上单调递减，，所以， 此时方程无解，即不存在. 故答案为：. 13．（24-25高一上·山西大同·期末）若函数为对数函数，则 ． 【答案】2 【详解】因为函数为对数函数， 所以，且，则（舍去）或．故答案为：2 14．（24-25高三·重庆·专题练习）已知，若在上存在，使，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】因为在上存在，使， 所以有，解得．故实数的取值范围为. 15．（24-25高一上·山西运城·期末）为了振兴乡村经济，某地政府利用电商平台为乡村进行直播带货，既方便了人们购物和交流，又有效地解决了农产品销售困难的问题．为了支持家乡的发展，越来越多的人注册成为某电商平台的会员进行购物和交流．已知该平台建立前3年的会员人数如下表所示： 建立平台年数x 1 2 3 会员人数y（千人） 14 20 29 为了描述建立平台年数与该平台会员人数（千人）的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③． (1)根据表中数据选出最恰当的函数模型，并说明理由，同时求出该函数的解析式； (2)根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立年的会员人数将超过2002千人，求的最小值． 参考数据：，，． 【答案】(1)选择模型③，理由见解析，，(2)14 【详解】（1）从表中数据可知，所选函数必须满足两个条件：增函数，增长速度越来越快． 因为模型①为减函数，模型②增长速度越来越慢，所以不能选择模型①和②，模型③符合两个条件，所以选择模型③． 将数据代入可得，解得 所以，函数为，． （2）由（1）知，则．得， 故t的最小值为14． 16．（24-25高一上·重庆黔江·期末）一般地，函数（，且）叫做指数函数.已知函数是指数函数，且.(1)求函数的解析式；(2)已知函数，求在上的值域. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由题意有，解得或， 当时，，此时，舍去； 当时，，满足． （2）由题得，令，因为，则， ，，，所以的值域为． 17．（24-25高二上·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数，其中且． (1)求函数的定义域．(2)若函数的最小值为，求的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由题意可知，解得，即函数的定义域为； （2）易知， 若，则单调递增，而在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，结合定义域知其无最小值； 若，则单调递减，而在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数的单调性可知在上单调递减，在上单调递增， 则. 18．（24-25高一上·成都·期末）已知函数.(1)若在上是单调函数，求实数的取值范围；(2)解关于的不等式. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）当，即时，，在上是单调递增函数，符合题意； 当，即时，二次函数对称轴为， 要想函数在上是单调函数，只需①，或②， 解①得：或，解②得：， 所以，综上：实数的取值范围是. （2）不等式，变形为，， 当时，，解得：， 当时，的两根为和， 当时，，此时，解得：， 当时，原不等式即，解得：， 当时，，此时，解得：， 当时，，此时，解得：或. 综上所述：当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 19．（24-25上·山东枣庄·高一校考期中）已知函数为偶函数．(1)求实数的值；(2)若函数有大于0的零点，求实数的取值范围；(3)若函数，那么是否存在实数，使得的最小值为1，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)，(2)(3) 【详解】（1）函数的定义域为,， 因为函数为偶函数，所以，即，得； （2）由（1）可知，， ，等价于， 若函数有大于0的零点，即的取值范围为的值域， 当时，，，则，所以实数的取值范围是； （3），，， 令，，，函数的对称轴 当，即时，在上单调递增，，所以，得，成立， 当时，即时，在上单调递减，，所以，得，舍去， 当时，即，函数的最小值为，所以，得，舍去， 综上可知，. 20．（24-25上·浙江·高一校联考阶段练习）已知实数且，函数. (1)设函数，若在上恰有两个零点，求的取值范围； (2)设函数，若在上单调递增，求的取值范围. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）依题意在上有两个零点， 可化为在上有两个解，即与在上有两个交点， 设，令，得，又， 且在上单调递增，在上单调递减，的图象如下所示： 由图可得，符合且，所以. （2）因为在上单调递增， ①当时，在定义域上为减函数，则在上为减函数，且在上恒成立，所以，不等式无解； ②当时，在定义域上为增函数，则在上为增函数，且在上恒成立，所以，解得； 综上所述： 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 幂函数、指数函数和对数函数（知识清单） 清单01 实数指数幂和幂函数 知识点01 有理数指数幂 1、次根式定义：若一个（实）数的次方（，）等于，即，则是的 。 ①当是奇数时，的次方根用记作。 ②当是偶数时，正数的次方根有 个，他们互为相反数。其中正的次方根叫作 ，记作。 ③规定：，负数没有 方根。 2、根式：式子叫做（，），叫作 ，叫作 。 ①当为奇数时，（）；②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且，；④为偶数时，且， 3、分式指数幂 1）根式与分数指数幂互换：当，，时，规定：；。 2）规定：的正分数指数幂等于 ， 负分数指数幂。 3）整数指数幂拓展到有理数指数幂（，，） ①；②；③。 知识点02 无理数指数幂 1、有理数指数幂的基本不等式：对任意的负有理数r和正数a，若，则；，则。 对任意的正数和两个有理数，有 。 对任意的正数和两个有理数，有 。 2、无理数指数幂的概念 现在，对于，当x是任意有理数时，ax都有了意义。 这样，用a的有理数次幂来逼近其无理数次幂，可以要多精确就有多精确，所以，任意正数a的无理数次幂就有了确定的意义，于是，给定任意正数a，对任意实数u，a的u次幂au都有了定义。 在幂的表达式au中，a叫作 ，u叫作 。 对任意的正数u和正数a，若，则；，则。 对任意的负数u和正数a，若，则；，则。 知识点03 幂函数 1、幂函数定义：一般来说，当x为自变量而为非零实数时，函数叫作（次） 。 2、幂函数的图象与性质： 一般地，对于实数次幂函数（）： （1）当α>0时，它在 上有定义且单调 ，值域为[0，+∞)，函数图象过 ， 。 （2）当α<0时，它在 上有定义且单调 ，值域为(0，+∞)，函数图象过 ，向上与y轴 无限接近，.向右与x轴 无限接近。 清单02 指数函数 知识点01 指数爆炸和指数衰减 1、如果让底数为常数而取指数为自变量x，则得到一类新的函数，这叫作 ，其中 ，且 。 2、当底数 a>1时，指数函数值随自变量的增长而增大，底数a较大时指数函数值增长速度惊人，被称为 。 3、把自变量x看成时间，在长为T的时间周期[u，u+T]中，指数函数的值从 an增长到an+T，增长率为(an+T一 an)÷ an=a一1，它是一个常量。因此，在经济学或其他学科中，当某个量在一个既定的时间周期中，其增长百分比是一个常量时，这个量就被描述为 ，也称 。 4、反过来，如果底数0<a<1时，指数函数值随自变量的增长而缩小以至无限接近于 0，叫作 。 指数衰减的特点是：在一个既定的时间周期中，其缩小百分比是一个 。 知识点02 指数函数的图象与性质 1、函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性 质 定义域 值域 定点 图象过定点 单调性 函数 函数 对称性 函数与的图象关于 轴对称 清单03 对数函数 知识点01 对数的概念 1、对数的概念：如果(,且)，那么数b叫作以为底，（正）数的 ，记作，这里叫作对数的 ，叫作对数的 。 注意：1）负数和零没有对数；2）指数式与对数式的相互转化：当且， 2、对数的基本恒等式：①（＞0，且）；②（b∈R，且）。 3、两个重要的特殊值：对于任意的且,都有，。 知识点02 对数的运算法则 1、对数的运算性质：当且，, ①；②；③（）。 注意：“”同+、-、×等符号一样，表示一种运算，即已知一个底数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面。 2、常用对数与自然对数： ①常用对数：将以10为底的对数叫做 ，并把，记为 ②自然对数：把以为底的对数称为 ，并把，记作 。是无理数，它的近似值为2.71828。 3、对数的换底公式：（且，，，且）； 由换底公式可推导出：①；②（）。 知识点03 对数函数的图象与性质 1、 对数函数的概念： 1）由于指数函数是严格单调的，等式x=ay 中不同的y对应于不同的x，即每个x对应的y是确定的，从而对数运算y=logax(x>0，a>0 且a≠1)确定了一个函数，叫作（以a为底的） 函数，它描述的数量关系是x=ay。此等式中把x和y互换位置就成了指数函数y=ax的表达式，因此称指数函数y=ax和对数函数y=logax互为 。这时，指数函数的定义域(一∞，+∞)成了对数函数的值域，指数函数的值域(0，+∞)是对数函数的定义域。 2）两种特殊的对数函数 我们称以10为底的对数函数为常用对数函数，记作； 我们称以无理数为底的对数函数为自然对数函数，记作. 3、对数函数的图象及其性质 对数函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性质 定义域 值域 定点 单调性 函数 函数 清单04 函数与方程 知识点01 方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的 。 函数零点的几何定义：函数的 就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标，。 即：方程有 解函数有 函数的图象与轴有 。 2、函数零点存在定理：如果函数在区间上连续变化，且有，则存在，使得，即为该函数 。若函数在区间上单调，则可判定在内有 实数根。 知识点02 计算函数零点的二分法 1、二分法的概念： 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断的把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做 （bisection )。 2、用二分法求零点的近似值 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下： （1）确定零点的初始区间，验证 ； （2）求区间的中点； （3）计算； ①若（此时)，则就是函数的 ； ②若（此时)，则令； ③若（此时)，则令； （4）判断是否达到精确度，若，则得到零点 (或)，否则重复2--4的步骤。 清单05 函数模型及其应用 知识点01 几种函数增长快慢的比较 1、当底数a>1时，指数函数y=ax和对数函数 y=logax都是增函数；我们早已熟悉的一次函数y=kx+b，当k>0时也是增函数；幂函数y=xα，当α>0 时是[0，+∞)上的增函数。这些增函数的共同特点是，函数值y随着自变量x的增长而增长。同为增长，但增长的快慢可能不同。 2、在区间上，当a>1时，时，总存在一个，当x＞时，有 。 3、在幂函数y=xα中，当α>0 时，α的值越大，函数在[0，+∞)的值函数值增长 。 知识点02 形形色色的函数模型 1、实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果 要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 2、常见函数模型 1）一次函数型：（，为常数）；2）反比例函数型：（）； 3）二次函数型：（）；4）指数函数型：（且，）； 5）对数函数型：（且，）；6）幂函数型（，）； 7）分段函数型：两种或两种以上上述六种模型的综合；8）对勾函数型：。 【易错01：忽略偶次根式的成立条件而致错】 ①当为奇数时，（）；②当为偶数时，（） ③当为奇数时，且，；④为偶数时，且， 【典例】（25-26高一上·江苏盐城·阶段练习）若，则的化简结果是（    ） A．1 B． C． D． 【针对训练】 1．（25-26高一上·江苏南通·阶段练习）设，若为定值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·宁夏银川·阶段练习）若，则实数的取值范围为 ． 【易错02：指数函数和对数函数中忽略底数或真数的范围致错】 指数函数和对数函数的底数要求：且，对数函数的真数要求：真数大于零。 【典例】（24-25上·山东·高一校考阶段练习）使式子有意义的的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．， 【针对训练】 1．（24-25高二下·广东深圳·期末）若函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高一下·湖北·开学考试）下列选项中，使有意义的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【易错03：指数与对数函数中忽略对底数的讨论】 指数与对数函数问题中，其底数若不是确定的数值（即单调性无法确定），需要对底数分a＞1或0<a<1两种情况进行讨论。 【典例】（24-25高一·广东·专题练习）已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【针对训练】 1．（23-24高一·上海·课堂例题）已知指数函数在区间上的最大值比最小值大，求实数a的值． 2.（24-25·江苏·高一专题练习）已知函数 (a>0，且a≠1)，若在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【易错04：求指数和对数型复合函数单调性时忽略定义域】 求复合函数单调区间一般步骤是①求函数的定义域；②作出内层函数的图象；③用“同增异减”法则写单调区间。解此类题通常会出现以下两类错误：一是忽视定义域；二是 “同增异减”法则不会或法则用错。 【典例】（25-26高三上·广东·阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（25-26高三上·山西太原·阶段练习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江西赣州·阶段练习）若在区间上递减，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·重庆·课后作业）（1）函数的单调递增区间是 ． （2）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【易错05：换元时忽略新元的取值范围致误】 【典例】（24-25高一·北京·专题练习）已知指数函数在其定义域内单调递增．设函数，当时，则函数的值域为 . 【针对训练】 1．（24-25高一下·湖南株洲·开学考试）函数的值域是 . 2．（24-25高一下·陕西榆林·期中）要使函数在时恒大于0，则实数a的取值范围是 . 【易错06：函数零点存在定理使用不当】 函数零点定理是指如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。解决函数零点问题常用方法有定理法、图象法和方程法。函数零点又分为“变号零点”和“不变号零点”，函数零点定理仅适用于“变号零点”，对“不变号零点”无能为力。 函数零点存在定理使用2大误区：（1）忽视定义域，对于函数在整个定义域上不连续或单调性发生变化的情况，使用函数零点存在定理要分区间进行，在各个小区间上分别研究，这样才能保证得到的答案是全面的、正确的.（2）不会赋值，在单调区间内找两个符号相反的函数值时，一般直接猜数赋值，若行不通，则通过局部确定范围或消项，借助放缩法、分析法等，探究合适的赋值。 【典例】（24-25成都市高三校考期末）若函数的图象与函数的图象交点的横坐标所在的区间为，则k可能为（ ）（多选题） A．－2     B．－1     C．1     D．2 【针对训练】 1．（24-25高二下·天津河北·期末）函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围为 . 2．（24-25高三上·江苏扬州·期中）若函数在区间上的图象是一条不间断的曲线，则“”是“函数在区间上有零点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【易错07：数形结合解题时作图不准致误】 作图时除了考虑图形的一般特征 (如零点、定点) 外， 还需要充分结合图形的其他特征(如凹凸性、拐点）。 由于对图形特征（比如抛物线的开口大小）的感知不准确， 就可能误作草图， 从而走入歧途。 【典例】（25-26高一上·重庆·阶段练习）已知函数且函数恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ） A．     B．     C．     D． 【针对训练】 1．（2025·广东·校考二模）函数的图像与函数的图像的交点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．0 2．（2025·江苏·高三校考期中）如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是    A． B． C． D． 【易错08：求含参函数问题时分类讨论不全】 研究含参数的函数问题，一般要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．确定分类的标准是关键，往往根据导数是否有零点、零点存在时零点是否在给定的范围内等来分类讨论． 【典例】（24-25高一上·辽宁·期中）设． （1）若函数在上为单调函数，求a的取值范围；（2）解关于x的不等式． 【针对训练】 1．（2025·湖南·高三校考期中）已知函数为上的偶函数，为上的奇函数，且.(1)求，的解析式；(2)若函数在上只有一个零点，求实数a的取值范围. 【易错09：混淆“能成立”与“恒成立”】 恒成立问题要求自变量在给定区间内可取任意值，即对所有x均能满足条件，成立，只需（）即可；能成立问题要求满足条件的自变量在给定区间内存在，即只要有一个x能满足条件即可，成立，则只需（）即可 【典例】（2025广东肇庆11月模拟）已知函数（其中，为常量，且，，）的图象经过点，．(1)求，的值(2)若关于的不等式在上有解，求的取值范围． 【针对训练】 1．（24-25上·云南·高一校考期末）已知函数．(1)求函数的定义域；(2)解不等式：；(3)已知的图象在轴的上方，求实数的取值范围． 【易错10：函数的实际应用问题中理解题意或运算致误】 【典例】（2025·湖南·校考二模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.1以下（不含0.1）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：）（    ） A．128 B．130 C．132 D．134 【针对训练】 1．（2025·重庆·模拟预测）随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟．其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：，其中D为传输距离，单位是km，F为载波频率，单位是MHz，L为传输损耗（亦称衰减），单位为dB．若载波频率增加了1倍，传输损耗增加了18dB，则传输距离增加了约（参考数据：，）（    ） A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 2．（2025·辽宁·校考一模）著名数学家､物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：℃）满足：.若常数，空气温度为 ，某物体的温度从 下降到 ，大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．25分钟 B．24分钟 C．23分钟 D．22分钟 1．（25-26高一上·广东·期中）式子的值为（    ） A． B． C． D．1 2．（24-25高一上·湖北恩施·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（2025高一上·吉林·专题练习）在对数式中，实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·安徽滁州·期末）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的定义域为 B．的值域是 C．是偶函数 D．的单调递减区间是 5．（22-23高一上·陕西商洛·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数在区间内恰有一个变号零点（即零点附近左右函数值的符号不同），则实数的值可以是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一·浙江·课后作业）若函数的图象是一条连续不断的曲线，且>0，>0，<0，则y＝有唯一零点需满足的条件是（    ） A．<0 B．函数在定义域内是增函数 C．>0 D．函数在定义域内是减函数 8．（2025·天津·高三模拟预测）若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2022·全国·模拟预测）天文学上用绝对星等衡量天体的发光强度，用目视星等衡量观测者看到的天体亮度，可用近似表示绝对星等、目视星等和观测距离d（单位：光年）之间的关系．已知织女星的绝对星等为0.58，目视星等为0.04，大角星的绝对星等为，目视星等为，则观测者与织女星和大角星间的距离的比值约为（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）下列函数中能用二分法求零点近似值的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高三上·海南·阶段练习）若代数式有意义，则 ． 12．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知指数函数在区间上的最大值比最小值大，则实数 13．（24-25高一上·山西大同·期末）若函数为对数函数，则 ． 14．（24-25高三·重庆·专题练习）已知，若在上存在，使，求实数的取值范围． 15．（24-25高一上·山西运城·期末）为了振兴乡村经济，某地政府利用电商平台为乡村进行直播带货，既方便了人们购物和交流，又有效地解决了农产品销售困难的问题．为了支持家乡的发展，越来越多的人注册成为某电商平台的会员进行购物和交流．已知该平台建立前3年的会员人数如下表所示： 建立平台年数x 1 2 3 会员人数y（千人） 14 20 29 为了描述建立平台年数与该平台会员人数（千人）的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③． (1)根据表中数据选出最恰当的函数模型，并说明理由，同时求出该函数的解析式； (2)根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立年的会员人数将超过2002千人，求的最小值． 参考数据：，，． 16．（24-25高一上·重庆黔江·期末）一般地，函数（，且）叫做指数函数.已知函数是指数函数，且.(1)求函数的解析式；(2)已知函数，求在上的值域. 17．（24-25高二上·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数，其中且． (1)求函数的定义域．(2)若函数的最小值为，求的值． 18．（24-25高一上·成都·期末）已知函数.(1)若在上是单调函数，求实数的取值范围；(2)解关于的不等式. 19．（24-25上·山东枣庄·高一校考期中）已知函数为偶函数．(1)求实数的值；(2)若函数有大于0的零点，求实数的取值范围；(3)若函数，那么是否存在实数，使得的最小值为1，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 20．（24-25上·浙江·高一校联考阶段练习）已知实数且，函数. (1)设函数，若在上恰有两个零点，求的取值范围； (2)设函数，若在上单调递增，求的取值范围. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $