九年级数学上学期期中模拟卷·培优卷（沪教版，举一反三）

九年级数学上学期期中模拟卷·培优卷 【沪教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1．如图，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选项B，C，D错误， 故选：A． 2．如图，已知在平行四边形中，是边上一点，，射线交边的延长线于点，设，，那么向量用向量和的线性组合表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，向量的和差运算等知识点；由平行四边形的性质、相似三角形判定与性质得，则，从而，则即可求解． 【详解】解：∵在平行四边形中，，， ∴，, ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 3．（24-25九年级上·山西临汾·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．先根据，求出，再根据相似三角形的判定定理，逐项分析，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， A、添加， ∵，， ∴，故A选项不符合题意； B、添加， ∵，， ∴，故B选项不符合题意； C、添加， ∵，， ∴，故C选项不符合题意； D、添加，不能判定，故D选项符合题意． 故选：D． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）已知一个二次函数图象经过，，，，其中，则，，中最值情况是（   ） A．最大，最小 B．最小，最大 C．最小，最大 D．最小，最大 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由图象过和，可得抛物线的对称轴是直线，然后分抛物线开口向上与开口向下进行讨论分析可以判断得解． 【详解】解：由题意，图象过和， 抛物线的对称轴是直线， 若抛物线开口向上，则顶点为最低点，离对称轴越远的点函数值越大， 到对称轴的距离为，和到对称轴的距离均为2， 又由于开口向上， 最大，且， 对于，其到对称轴的距离为，是四个点中最近的， 最小， 即最大，最小， 若抛物线开口向下，则顶点为最高点，但此时应小于，与条件矛盾， 综上，抛物线开口向上时结论成立， 最大，最小． 故选：A． 5．（2023·陕西·中考真题）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图：连接， 由题意得：， ， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 在中，，， ∴， 故选：A． 6．（2025·江苏南京·三模）如图，在等边中，点，分别是边、上的动点，且以为边作等边，使点与点在直线同侧，交于点，交于点给出下面四个结论： ； ； 若，则； 若 则四边形是菱形． 上述结论中．所有正确结论的序号是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，综合运用相关知识是解题的关键 ①正确．利用等边三角形的性质以及三角形外角的性质证明即可；②正确．证明 ，可得结论；③正确．证明即可；④正确．证明四边形四边相等即可． 【详解】解：，都是等边三角形， ， ， ， ， ，故①正确； ， ，， ， ， ，即， ， ；故②正确； 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，即，故③正确； ， ， ， ， 是等边三角形， ， 四边形是菱形，故④正确． 故选：D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 7．（24-25九年级上·上海静安·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平面向量的知识，根据平面向量的加减运算法则求解即可求得答案，熟悉相关性质是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 8．（2025·江苏盐城·中考真题）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先求出抛物线的对称轴，再求出最大值和最小值即可求解的取值范围． 【详解】解：， ∴函数图象的对称轴为直线，开口向上， ∵， ∴当时，；时，，当时，， ∴的取值范围是：， 故答案为：． 9．如图， 在 中， P， Q分别为，的中点． 若 则 ．    【答案】3 【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 利用三角形中位线定理以及相似三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：，分别为，的中点， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：3． 10．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，在以为坐标原点的直角坐标平面内有一点，如果OP与轴正半轴的夹角为，那么的余切值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、坐标与图形等知识点，能根据题意画出示意图及熟知余切的定义是解题的关键． 先根据题意画出图形，再结合余切的定义求解即可． 【详解】解：如图：过点P作y轴的垂线，垂足为M， ∵， ∴． 在中，，即． 故答案为：． 11．（2025·山西临汾·二模）善，从言从羊，本义“吉祥”．借助如图的正方形习字格书写的汉字“善”端庄稳重．舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“善”字的笔画“．”的位置在AB的黄金分割点C处，且，若，则的长为 cm． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，正方形的性质，理解黄金分割知识是解题的关键， 根据矩形的性质求出的长度，再代入即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴, ∴, ∴四边形是矩形， ∵， ∵， ∴． 故答案为：． 12．（2025·青海玉树·模拟预测）在中，，，若，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，根据题意得到相应变之比即可得到答案； 【详解】解：中，，，， ， ， ． 故答案为：． 13．（2023·江苏泰州·中考真题）二次函数的图像与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是 （填一个值即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据根与系数的关系即可求解． 【详解】解：设二次函数的图象与轴交点的横坐标为、， 即二元一次方程的根为、， 由根与系数的关系得：，， 一次函数的图象与轴有一个交点在轴右侧， ，为异号， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，根与系数之间的关系，关键是根与系数之间的关系的应用． 14．（2025九年级上·上海·专题练习）如图梯形中，．交于点，．已知，，如用表示，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查向量的计算，熟练掌握三角形法则，是解题的关键，根据向量的三角形法则可知，根据平行线的性质和相似三角形的性质可知，．根据向量的三角形法则可知，代入即可求解． 【详解】解：∵，． ，， ∴， ∴， ∴． ． 故答案为：． 15．已知菱形的对角线交于点O，且，，现将菱形绕着点O顺时针旋转至，则两个菱形重合部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】根据已知可得重叠部分是各边长相等的八边形，求得其一边长，再求出和的长度，重叠部分面积可以分成八等份，求得的面积即可求出答案． 【详解】解：由旋转的性质可得：重叠部分为各边长相等的八边形， ， 菱形的一个内角是，将它绕对角线的交点O顺时针旋转后得到菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点F作的垂线交于E，连接， ， ， 重叠部分的面积， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、旋转的性质、解直角三角形以及三角形面积的计算方法，通过分析菱形旋转后与原菱形重合部分的形状和面积，利用三角形全等和面积公式求解是解题的关键． 16．（2026·江西·模拟预测）已知在中，，，P为直线上一点，且，则的长为 ． 【答案】或3 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理以及分类讨论思想的应用，关键在于正确分析点的位置，并利用几何关系求解． 分和两种情况讨论，同时要分点在线段上和线段的延长线上两种情况，结合图形逐一求解． 【详解】解：根据题意，的直角顶点不确定, ∴需分和两种情况讨论． ①当时，如图(1)，满足题意的点 P 有两个， 在直线上点B 的两侧，分别记为点，． ，， ②当时，如图(2)，满足题意的点 P 有两个，在直线上点B的两侧，分别记为点，． ，， ． ，， 是等边三角形， 综上，的长为、或3． 故答案为：、或3． 17．（2025·江苏苏州·二模）在等腰中，，是边上的高，将线段绕着点D逆时针旋转，点A旋转到点E，与边交于点F，且，如果与相似，那么的值为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，交于点，先判断出得，由相似三角形的性质得，结合等腰三角形的性质，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，设，，则，，，整理得，，化简得 ，设，，可得，即可求解． 【详解】解：过点作于点，交于点， ， ， ，， ， ， ， ，与相似， ， ， ， ， 由旋转得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，， 则， ， ， ， ， ， 设，， ， ， ， ， ， 解得：（负值已舍）， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定及性质，能熟练利用相似三角形的性质进行求解是解题的关键． 18．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于 ． 【答案】2 【分析】连接，取的中点，连接并延长交于点，证明，得到，证明，得到，，进而得到，推出为等腰直角三角形，求出，设，则：，，根据面积，转化为二次函数求最值即可． 【详解】解：连接，取的中点，连接并延长交于点， ∵，，是的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则：，， ∴， ∴面积， ∴当时，面积的面积最大； 此时； 故答案为：2． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定性质，二次函数求最值，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，确定动点的位置，将三角形的面积转化为二次函数求最值，是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，满分78分） 19．（2025·四川内江·一模）如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)当时，求 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理． （1）证明，可得，即可求证； （2）连接交于点O，根据菱形的性质以及勾股定理可得，再由，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，连接交于点O， ∵四边形为菱形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 20．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在梯形中，，点是的中点，且，与交于点． (1)若，．则______，______； (2)请在图中作出在、方向上的分向量． 【答案】(1)、； (2)见解析． 【分析】本题考查作图复杂作图，平面向量，三角形法则，平行四边形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则． （）利用平行向量的性质，以及三角形法则求解即可； （）利用平行四边形法则画出图形即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：，； （2）解：如图， ∴、分别是在，方向上的分向量． 21．（2025·北京·模拟预测）如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作，交的延长线于点，平分交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形和矩形的判定，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是菱形，则，，平分，所以，，，从而可证，所以，证明四边形 是平行四边形，又，故有四边形是矩形； （）由（）知四边形是矩形，则，由，设，则，证明， 所以，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，，平分， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形 是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：由（）知四边形是矩形， ∴， 在中，， 设，则， ∵平分交于点，， ∴，， ∵， ∴ ， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴． 22．（2024·江苏宿迁·三模）某小区为了方便业主，新建一个电动自行车车棚(如图)，其侧面的示意图如图所示，测得主立柱的一段，支柱的底端到的距离，顶棚处到支柱底端的水平距离，在处分别测得处的仰角为，处的仰角为．      (1)求支柱的高； (2)求顶棚处离地面的高度．(参考数据：，，，，，，结果精确到) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作，垂足为，在中，求出即可解决问题； （2）延长交与点，可得，在中，求出即可解决问题． 【详解】（1）解：过点作，垂足为，    由题意可知，四边形是矩形， ，， 在中， ， ， ， 支柱的高为 ． （2）延长交与点，可得，    由题意可知，四边形是矩形， ， ． ， 在中， ， ， ， 顶棚处离地面的高度约为 ． 23．（2025·甘肃酒泉·二模）如图，已知二次函数的图象经过两点与，且与轴相交于、两点，其顶点为． (1)求点的坐标； (2)求的面积； (3)在二次函数图象上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)把二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变．得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围是什么？ 【答案】(1) (2) (3)存在，或 (4) 【分析】本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式，抛物线顶点坐标的求法，三角形面积公式的运用，抛物线与直线的交点情况的关系． （1）利用待定系数法将点、点的坐标代入解析式就可以求出抛物线的解析式，再化为顶点式就可以求出其顶点坐标． （2）当时，求出抛物线与轴的交点坐标就可以求出的值，的高就是的纵坐标的高的绝对值．利用三角形的面积公式就可以求出其面积． （3）设出点的坐标为，根据条件建立等量关系就可以求出点的坐标． （4）当直线经过点时，可以求出的值，当直线经过点时可以求出的值，再根据图象就可以求出的取值范围． 【详解】（1）解：∵点与在二次函数的图象上， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴ ∴ ； （2）解：当时，则， 解得，， ，， ， ∴； （3）解：设点的坐标为，当点在轴的上方时， ∴， 解得：，， ∴或， 当点在轴的下方时的点不存在． ∴或； （4）解：如图，当直线经过点时， ∴， ， 当直线经过点时， ∴， ， 由图象得：． 24．（2025·湖南长沙·模拟预测）问题：将直线关于轴对称所得的直线记为，求的函数解析式． 解决办法： ①设点是直线上的点； ②点关于轴的对称点为； ③点在直线上，把点代入，得，则，∴直线的函数解析式为． (1)结合上述解决方法，若的函数图象与函数的图象关于轴对称，求函数的解析式； (2)在（1）的条件下，当时，的最小值为1，求的值； (3)在（1）的条件下，当时，直线与的函数图象有2个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的值为或 (3)当时，满足与图象有2个交点的的取值范围是 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，灵活运用数形结合思想是解答本题的关键． （1）依照轴对称的性质进行解答即可； （2）求出函数图象的对称轴为直线，根据题意分和两种情况讨论求解即可； （3）画出函数图象，结合图象解答即可． 【详解】（1）解：设在的函数图象上，则点关于轴对称的点在的图象上， 把点代入中，得，则， ∴函数的解析式为； （2）解：∵， ∴函数图象的对称轴为直线，的最小值为， ∵当时，的最小值为1， ∴或， ①当时，在处取得最小值1， ∴，解得或， ∵， ∴； ②当，即时，在处取得最小值1， ∴，解得或， ∵， ∴． 综上所述，的值为或； （3）解：当时，直线与的函数图象有2个交点； 令，整理，得， 令，， 在同一平面直角坐标系内与在的函数图象如解图， 当时，满足与图象有2个交点的的取值范围是． 25．（2025·河南郑州·模拟预测）综合与实践：如图，是等边三角形，点是射线上一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． 观察发现 （1）______，______； 迁移探究 （2）当点在线段时上，请判断线段，，三条线段之间的数量关系，并说明理由； 拓展应用 （3）若点在射线上，直线和直线相交于点，且，请直接写出的值． 【答案】（1），；（2） ，理由见解析；（3）或 【分析】由旋转的性质可得，，可得是等边三角形，可求，由可证≌，可得； 由全等三角形的性质可得，即可求解； 分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况讨论，通过证明∽，可得，通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ，， 将绕点逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ， ， ， 又，， ， ， 故答案为：，； ，理由如下： ， ， ； 如图，当点在线段上时，过点作，交于， ，， ， ， ， ∽， ， 设， ，， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ； 如图，当点在线段的延长线上时，过点作，交于， 同理可求：， 综上所述：的值为或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期期中模拟卷·培优卷 【沪教版】 时间：100分钟 满分：150分 测试范围：第24章 相似三角形~第26章 二次函数 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选6题，填空12题，解答7题，满分150分，限时100分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1．如图，已知，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，已知在平行四边形中，是边上一点，，射线交边的延长线于点，设，，那么向量用向量和的线性组合表示为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山西临汾·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）已知一个二次函数图象经过，，，，其中，则，，中最值情况是（   ） A．最大，最小 B．最小，最大 C．最小，最大 D．最小，最大 5．（2023·陕西·中考真题）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·江苏南京·三模）如图，在等边中，点，分别是边、上的动点，且以为边作等边，使点与点在直线同侧，交于点，交于点给出下面四个结论： ； ； 若，则； 若 则四边形是菱形． 上述结论中．所有正确结论的序号是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 7．（24-25九年级上·上海静安·期中）计算： ． 8．（2025·江苏盐城·中考真题）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是 ． 9．如图， 在 中， P， Q分别为，的中点． 若 则 ．    10．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，在以为坐标原点的直角坐标平面内有一点，如果OP与轴正半轴的夹角为，那么的余切值为 ． 11．（2025·山西临汾·二模）善，从言从羊，本义“吉祥”．借助如图的正方形习字格书写的汉字“善”端庄稳重．舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“善”字的笔画“．”的位置在AB的黄金分割点C处，且，若，则的长为 cm． 12．（2025·青海玉树·模拟预测）在中，，，若，那么 ． 13．（2023·江苏泰州·中考真题）二次函数的图像与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是 （填一个值即可） 14．（2025九年级上·上海·专题练习）如图梯形中，．交于点，．已知，，如用表示，那么 ． 15．已知菱形的对角线交于点O，且，，现将菱形绕着点O顺时针旋转至，则两个菱形重合部分的面积为 ． 16．（2026·江西·模拟预测）已知在中，，，P为直线上一点，且，则的长为 ． 17．（2025·江苏苏州·二模）在等腰中，，是边上的高，将线段绕着点D逆时针旋转，点A旋转到点E，与边交于点F，且，如果与相似，那么的值为 ． 18．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于 ． 三、解答题（本大题共7小题，满分78分） 19．（2025·四川内江·一模）如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)当时，求 20．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在梯形中，，点是的中点，且，与交于点． (1)若，．则______，______； (2)请在图中作出在、方向上的分向量． 21．（2025·北京·模拟预测）如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作，交的延长线于点，平分交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 22．（2024·江苏宿迁·三模）某小区为了方便业主，新建一个电动自行车车棚(如图)，其侧面的示意图如图所示，测得主立柱的一段，支柱的底端到的距离，顶棚处到支柱底端的水平距离，在处分别测得处的仰角为，处的仰角为．      (1)求支柱的高； (2)求顶棚处离地面的高度．(参考数据：，，，，，，结果精确到) 23．（2025·甘肃酒泉·二模）如图，已知二次函数的图象经过两点与，且与轴相交于、两点，其顶点为． (1)求点的坐标； (2)求的面积； (3)在二次函数图象上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)把二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变．得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围是什么？ 24．（2025·湖南长沙·模拟预测）问题：将直线关于轴对称所得的直线记为，求的函数解析式． 解决办法： ①设点是直线上的点； ②点关于轴的对称点为； ③点在直线上，把点代入，得，则，∴直线的函数解析式为． (1)结合上述解决方法，若的函数图象与函数的图象关于轴对称，求函数的解析式； (2)在（1）的条件下，当时，的最小值为1，求的值； (3)在（1）的条件下，当时，直线与的函数图象有2个交点，求的取值范围． 25．（2025·河南郑州·模拟预测）综合与实践：如图，是等边三角形，点是射线上一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． 观察发现 （1）______，______； 迁移探究 （2）当点在线段时上，请判断线段，，三条线段之间的数量关系，并说明理由； 拓展应用 （3）若点在射线上，直线和直线相交于点，且，请直接写出的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $