专题07 相似三角形中的基本模型之十字架模型（几何模型讲义）数学沪教版五四制九年级上册

专题07 相似三角形中的基本模型之十字架模型 几何学是初中数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中的几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握，提高学生的做题效率。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 7 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 7 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 13 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 16 21 ‌ 十字模型在初中数学教学中被系统化总结为“十字架模型”，成为解决中考压轴题的核心方法之一。其名称来源于图形中垂直相交的线段形似“十字架”，而实际应用中常通过作辅助线（如垂线、连接对角线）构造全等或相似三角形。十字架模型从规则图形中的特殊结构出发，通过几何变换和相似性质逐步抽象为通用方法，成为几何证明与计算的重要工具‌。该模型被系统化纳入初中数学教学，用于培养空间推理能力，尤其在解决折叠问题、动态几何题时具有高效性。‌ （2025·广东·模拟预测）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题． (1)【图形认知】如图①，在正方形中，，交于点，则 （填比值）； (2)【探究证明】如图②，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、，求证：； (3)【结论应用】如图③，将矩形沿折叠，使得点和点重合，若，．求折痕的长； (4)【拓展运用】如图④，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，点落在点处，得到四边形，若，，，请求点P到直线的距离． （2025·山东泰安·模拟预测）如图所示，为直角三角形，，为的中点，，垂足为点，的延长线交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的值． 1）矩形中的十字架模型 条件：如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，结论：. 证明：四边形为矩形，，； DE⊥AC，，，，，. 条件：如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，结论：. 证明：如图，过点F作于点G，则； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ；EF⊥AC，，； ，，，易证：DC=AB，FG=BC，. 条件：如图3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，结论：. 证明：如图：过点N、F作、垂直，； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ∵EF⊥MN，，∴； 又∵（对顶角相等），∴； ∴，，易证：NH=AB，FG=BC，. 2）等边三角形中的斜十字模型 条件：如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE）， 结论：①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③。 证明：如图，在等边中，，， 在与中，，，∴AD=BE，； ，∴AD和BE夹角为60°； ，，，同理： ， 3）直角三角形中的十字模型 1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）： 条件：如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，结论：①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 如图1，过点C作BC的垂线交BF于点H，过点A作AG垂直于CH，∴∠BCH=90°，∴∠CBH+∠CHB=90° ∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABC=90°，∵BF⊥AD，∴∠CBH+∠ADB=90°，∴∠CHB=∠ADB， ∵AB=BC，∴，∴BD=CH，∵D为BC中点，∴BD=DC=CH，∴AB=2CH， 易证：四边形ABCG为正方形，即AB//CG，∴，∴AF：CF=BA：HC=2：1 ∵AB=BC，AB⊥BC，∴∠BCA=45°，∵∠BCH=90°，∴∠BCA=∠GCA=45°， ∵DC=CH，CF=CF，∴，∴∠CHF=∠CDF，∠CFH=∠CFD， ∴∠BDA=∠CDF，∵∠CFH=∠AFB，∴∠AFB=∠CFD， 如图2，过点C作CQ垂直于BF，∴∠BQC=90°， ∵AB⊥BC，∴∠ABD=∠BQC=90°，∴∠ABE+∠QBC=90°，∵AB=BC，∴， ∴CQ=BE，AE=BQ，∵BF⊥AD，CQ⊥BF，易证：，∴EA：QC=AF：CF=2：1。 ∴AE=BQ=BE+EQ=CQ+EQ，∴CQ=EQ，∴QEC为等腰直角三角形，∴∠QEC=45°， ∴∠AEC=135°，。 2）直角三角形中的十字模型： 如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。（全等+相似） 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 由于该模型证明主要结合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再详细证明，有兴趣的同学可以自行证明即可。 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 例1（2024·重庆·模拟预测）如图，矩形，连接，平分交于点E，过点E作交于点F，，，则线段为 例2（2024·湖北·三模）数学活动课上，李志刚老师给出如下问题： 【问题提出】如图1，在正方形中，E，F分别是边，上的点．交于点G，求证：； 【思路分析】小勤同学的解题思路：平移线段，使点F与点B重合，构造全等三角形． （1）请根据小勤同学的思路或你自己探究的思路，写出证明过程； 【类比探究】为了进一步让学生体会平移在几何证明或计算中的运用，李老师又提出下列问题： （2）如图2，在菱形中，O为对角线上一点，且，E，F分别是，边上的动点，连接交于点H，若，求的值； 【学以致用】 （3）如图3，在矩形中，，M是边上一点，P是边上一点，交于点E，连接，，若，请直接写出的最小值． 例3（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）【教材呈现】下面是华师版九年级上册数学教材第76页的部分内容. 如图，E是矩形的边上的一点，于点F，，，，证明，并计算点A到直线的距离（结果保留根号）. 结合图①，完成解答过程. （1）在图①的基础上，延长线段交边于点G，如图②，则的长为 ； （2）如图③，E、F是矩形的边、上的点，连结，将矩形沿翻折，使点D的对称点与点B重合，点A的对称点为点.若，，则的长为 . 例4（2025·广东江门·一模）【知识技能】 （1）如图1，在矩形中，点E，F分别在边，上，，垂足为点G．求证：． 【数学理解】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在边，上，，延长到点H，使，连接．求证：． 【拓展探案】 （3）如图3，在菱形中，点E，F分别在边，上，，，，求的长． 例5（2025·河南安阳·一模）综合与实践 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做“垂对三等分平行四边形”，垂足叫做“垂三等分点”． (1)理解应用 如图1，在中，于点P，交于点E，若E为的三等分点，则是垂对三等分平行四边形，P是垂三等分点．若，，，则__________；__________． (2)问题探究 如图2，在垂对三等分平行四边形中，P是垂三等分点，且满足．若，试猜想与的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸 如图3，已知四边形是矩形，过点A作于点P，交于点E，，当四边形是垂对三等分平行四边形时，直接写出的长度． 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 例1（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，在等边三角形中，点E、F分别在、上，且，那么下列不正确的是（    ） A． B． C． D． 例2（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，在等边三角形中，是的中点，在上，且，连接相交于点，则的 ． 例3（24-25九年级上·湖北黄石·期末）如图，在等边三角形的，边上各取一点P，Q，使，，相交于点O．若，，则的长为 ，的长为 ． 例4（2025九年级上·上海·专题练习）如图，等边三角形的边长为3，点、分别是、上的动点（点、与三角形的顶点不重合），且，、相交于点． (1)设线段为，线段为，求关于的函数解析式，并写出定义域； (2)当的面积是的面积的2倍时，求的长； (3)点、分别在、上移动过程中，和能否互相垂直？如能，请指出点的位置；如不能，请说明理由． 例5（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长度． 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 例1（24-25·合肥·阶段练习）如图，在RtABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，AE是BC边上的中线，过点B作BD⊥AE于点H，交AC于点D，则AD的长为（    ） A．2 B． C． D． 例2（2025·广东深圳·三模）如图，在中，是角平分线，是中线，，且，垂足为F，G为的中点，连接，．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 例3（2025·湖北武汉·校考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，E分别是边BC，AB上的点，∠ADC＝∠EDB，过点E作EF⊥AD，垂足为F，交AC于点G． (1)如图（1），求证：△AGE∽△BDE；(2)如图（2），若点G恰好与顶点C重合，求证：BD＝CD； (3)如图（1），若＝，直接写出的值． 例4（24-25九年级下·四川内江·开学考试）初识图形 （1）如图1，、分别为正方形边和边上的点，连接、，且．则　 　． 类比探究（2）如图2，矩形中，点、分别在边、上，连接、，且，，，则　 　． 拓展应用（3）如图3，中，、分别为、边上的点，，，，连接，交于点．求长．请说明理由． 1．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． 数学思考：（1）如图1．在矩形中，，，、分别是、上的两点，连接、，于点，则________． 深入探究：（2）如图2，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、．求证：． 拓展延伸：（3）如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交边于点．若，，，请直接写出的长． 2．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，在矩形中，是的中点，，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 3．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）【问题呈现】如图，是矩形的边上的一点，于点，，，，证明，并计算点到直线的距离（结果保留根号）．    (1)结合图①，完成解答过程． (2)【拓展探究】在图①的基础上，延长线段交边于点，如图②，求的长． (3)如图③，，是矩形的边，上的点，连接，将矩形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为点．若，，求的长． 4．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，矩形中，，，F是线段上一点（不与点C，D重合），作，交线段于点E．    (1)求证：； (2)当时，求的长． 5．（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，在矩形中，为的中点，交于点． (1)求证：； (2)当时，求的长度． 6．（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有 ． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点A、D处，如图②所示． （1）在图②所示的情况下，你能帮小组成员们证明一下他们的猜想吗？ （2）你能在图①中添加辅助线，并对辅助线进行描述，以方便小组成员继续证明一般性的规律吗？ 【模型应用】 （3）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则 ．（直接写出结果）． 【拓广延伸】 （4）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，则的长度为 ．（直接写出结果） 7．（24-25九年级上·四川资阳·期中）【基础巩固】 （1）如图，在中，，于点D，求证：． 【尝试应用】 （2）如图，在矩形 中，，点F在 上，，于点E，求的长． 【拓展提高】 （3）如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点C的对称点F在边上，G为 中点，连接交 于点M，，若，求的长． 8．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图，D，E分别是边长为的等边三角形的两边，上的动点，且，与交于点，则点A到点F的最小值为 ． 9．（2025·安徽安庆·一模）如图，已知是等边三角形，点D、E分别在、上，且，与相交于点P． (1)求证：； (2)如图2，将沿直线翻折得到对应的，过C作，交射线于点G，与相交于点F，连接． ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②若四边形的面积为，，求的长． 10．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，等边三角形的边长为6，在边上各取一点，连接相交于点，且． (1)求证：，并求的度数； (2)若，试求的值． 11．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，是边上的中线，，垂足为． (1)求证：； (2)若，求线段的长度． 12．（24-25九年级上·全国·期末）（1）【问题发现】如图，在中，，，点为的中点，过点作的垂线，垂足为，延长交于点，求的面积．小明发现，过点作的垂线，交的延长线于点，构造出全等三角形，经过推理和计算，能够得到与的数量关系，从而使问题得到解决，请直接填空： ，的面积为 ． （2）【类比探究】如图，将（1）中的条件“点为的中点”改为“点为边上的一点，且满足”，其他条件不变，试求的面积，并写出推理过程． （3）【拓展迁移】如图，在中，，，点为上一点，且满足，为上一点，，延长交于，请直接写出的面积． 13．（24-25九年级下·江苏南京·期末）如图，在中，，是中线，，垂足为． (1)求证； (2)若，则线段的长度为_____． 14．（24-25九年级下·安徽阜阳·阶段练习）【教材回顾】 （1）如图1，在正方形中，，分别为边，上的点，且，求证：； 【类比探究】 （2）如图2，在中，，，，分别为，上的点，且，交于点，求证：； 【拓展提升】 （3）如图3，在正方形中，对角线与交于点，，分别为边，上的动点，且，连接，，若的最小值为，求正方形的边长． 15．（2025·安徽·模拟预测）如图①，在中，，，点为边上的一点，连接，过点作于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)如图②，若，，求的值． 16．（2025·湖北襄阳·一模）综合与实践课上，梦班数学学习兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答： (1)操作判断 如图1，在正方形中，点，，，分别在边，，，上，且，若，求的长； (2)迁移探究 如图2，在矩形中，，点，，，分别在边，，，上，且，若，求的长； (3)拓展应用 如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，试证明：． 17．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，点为的中点，，垂足为点交于点． (1)求证：； (2)求斜边的长． 18．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）小明在学习中发现，当垂直线段出现在四边形中间时，通常有比较简明的结论．下面是他的发现过程，请补充并完成其中的问题． (1)如图1，在正方形中，为上一点，连结，过点作于点，交于点，则与的数量关系是_________． (2)①如图2，在矩形中，，为上的点，连结，过点作于点，交于点．小明发现，过点作于点，可以得到与的数量关系．这个数量关系是什么?请说明理由． ②填空；由①可得，顶点分别在矩形的每一组对边（或延长线）上互相垂直的两条线段的比，等于__________． ③应用上述结论解决问题；如图3，在中，，点是的中点，连结，过点作的垂线，交直线于点，垂足是点，直接写出的长度． 19．（24-25九年级下·河南周口·阶段练习）综合与实践课上，某数学小组对“图形中两条互相垂直的线段间的关系”进行探究，请你参与． (1)观察发现 如图，在正方形中，点、、、分别在边、、、上，且．过点作于，过点作于，则________；和的数量关系是________； (2)迁移探究 将正方形换成矩形继续进行探究： 如图，在矩形中，．点、、、分别在边、、、上，且．（）中和的数量关系是否仍然成立？并说明理由． (3)拓展应用 如图，在中，，，点、分别在边、上，且．若，直接写出的长． 20．（2025·山东济南·模拟预测）综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． (1)操作判断 ①如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． ②如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． (2)迁移探究 如图（3），在中，，点D，E分别在边AC，BC上，且，试证明：． (3)拓展应用 如图（4），在矩形中，，平分交于点E，点F为上一点，交于点H，交矩形的边于点G，当F为的三等分点时，请直接写出的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 相似三角形中的基本模型之十字架模型 几何学是初中数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中的几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握，提高学生的做题效率。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 7 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 7 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 13 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 16 21 ‌ 十字模型在初中数学教学中被系统化总结为“十字架模型”，成为解决中考压轴题的核心方法之一。其名称来源于图形中垂直相交的线段形似“十字架”，而实际应用中常通过作辅助线（如垂线、连接对角线）构造全等或相似三角形。十字架模型从规则图形中的特殊结构出发，通过几何变换和相似性质逐步抽象为通用方法，成为几何证明与计算的重要工具‌。该模型被系统化纳入初中数学教学，用于培养空间推理能力，尤其在解决折叠问题、动态几何题时具有高效性。‌ （2025·广东·模拟预测）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题． (1)【图形认知】如图①，在正方形中，，交于点，则 （填比值）； (2)【探究证明】如图②，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、，求证：； (3)【结论应用】如图③，将矩形沿折叠，使得点和点重合，若，．求折痕的长； (4)【拓展运用】如图④，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，点落在点处，得到四边形，若，，，请求点P到直线的距离． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3) (4) 【分析】（1）由题意知，，，证明，则，进而可得的比值； （2）如图②，过作交于，过作交于，由矩形，可得，，则四边形、均为平行四边形，，，同（1）可得，证明，则，； （3）由矩形的性质可得，由勾股定理得，由（2）可知，，即，计算求解即可； （4）如图④，延长到，过作于，由（2）可知，，即，解得，由勾股定理得，由折叠的性质可得，，，，设，则，在中，结合勾股定理即可解得，即，再证明，则，计算求解的值，进而可得点到直线的距离． 【详解】（1）解：由题意知，， 又∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）证明：如图②，过作交于，过作交于， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形、均为平行四边形， ∴，， 同（1）可得， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：由矩形的性质可得， 由勾股定理得， 由（2）可知，，即，解得， ∴的长． （4）解：如图④，延长到，过作于， 由（2）可知，，即，解得， ∴在中，由勾股定理得， 由折叠的性质可得，，，， 设：，则， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴点到直线的距离为． 【点睛】本题考查了正方形、矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，折叠等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （2025·山东泰安·模拟预测）如图所示，为直角三角形，，为的中点，，垂足为点，的延长线交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义得到，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论； （2）由为的中点，得到，得到，根据相似三角形的性质得到； （3）过作于，由，，，得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ； （2）证明：为的中点， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：过作于， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ． 1）矩形中的十字架模型 条件：如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，结论：. 证明：四边形为矩形，，； DE⊥AC，，，，，. 条件：如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，结论：. 证明：如图，过点F作于点G，则； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ；EF⊥AC，，； ，，，易证：DC=AB，FG=BC，. 条件：如图3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，结论：. 证明：如图：过点N、F作、垂直，； 四边形为矩形，，四边形为矩形，； ∵EF⊥MN，，∴； 又∵（对顶角相等），∴； ∴，，易证：NH=AB，FG=BC，. 2）等边三角形中的斜十字模型 条件：如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE）， 结论：①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③。 证明：如图，在等边中，，， 在与中，，，∴AD=BE，； ，∴AD和BE夹角为60°； ，，，同理： ， 3）直角三角形中的十字模型 1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）： 条件：如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，结论：①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 如图1，过点C作BC的垂线交BF于点H，过点A作AG垂直于CH，∴∠BCH=90°，∴∠CBH+∠CHB=90° ∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABC=90°，∵BF⊥AD，∴∠CBH+∠ADB=90°，∴∠CHB=∠ADB， ∵AB=BC，∴，∴BD=CH，∵D为BC中点，∴BD=DC=CH，∴AB=2CH， 易证：四边形ABCG为正方形，即AB//CG，∴，∴AF：CF=BA：HC=2：1 ∵AB=BC，AB⊥BC，∴∠BCA=45°，∵∠BCH=90°，∴∠BCA=∠GCA=45°， ∵DC=CH，CF=CF，∴，∴∠CHF=∠CDF，∠CFH=∠CFD， ∴∠BDA=∠CDF，∵∠CFH=∠AFB，∴∠AFB=∠CFD， 如图2，过点C作CQ垂直于BF，∴∠BQC=90°， ∵AB⊥BC，∴∠ABD=∠BQC=90°，∴∠ABE+∠QBC=90°，∵AB=BC，∴， ∴CQ=BE，AE=BQ，∵BF⊥AD，CQ⊥BF，易证：，∴EA：QC=AF：CF=2：1。 ∴AE=BQ=BE+EQ=CQ+EQ，∴CQ=EQ，∴QEC为等腰直角三角形，∴∠QEC=45°， ∴∠AEC=135°，。 2）直角三角形中的十字模型： 如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。（全等+相似） 证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。 由于该模型证明主要结合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再详细证明，有兴趣的同学可以自行证明即可。 模型1.矩形中的十字架模型（相似模型） 例1（2024·重庆·模拟预测）如图，矩形，连接，平分交于点E，过点E作交于点F，，，则线段为 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、角平分线的性质定理、相似三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点解题的关键． 根据矩形的性质得到，，利用角平分线的性质得到，利用勾股定理求出，通过证明得到，求出的长，再证明得到，求出的长，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵矩形， ∴，， 又∵平分，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 例2（2024·湖北·三模）数学活动课上，李志刚老师给出如下问题： 【问题提出】如图1，在正方形中，E，F分别是边，上的点．交于点G，求证：； 【思路分析】小勤同学的解题思路：平移线段，使点F与点B重合，构造全等三角形． （1）请根据小勤同学的思路或你自己探究的思路，写出证明过程； 【类比探究】为了进一步让学生体会平移在几何证明或计算中的运用，李老师又提出下列问题： （2）如图2，在菱形中，O为对角线上一点，且，E，F分别是，边上的动点，连接交于点H，若，求的值； 【学以致用】 （3）如图3，在矩形中，，M是边上一点，P是边上一点，交于点E，连接，，若，请直接写出的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）将线段沿平移至，交于点K，证明，即可解答； （2）延长交于点G，再将线段沿平移至，证明，可得，从而得到．在上截取，连接，可证明，，，再结合，可得到，即可求解； （3）将线段沿平移至，可证得，可得到，从而得到，将线段沿平移至MN，连接，，则，根据勾股定理可得，从而得到的最小值为．再结合四边形为平行四边形，可得，即可求解． 【详解】解：（1）将线段沿平移至，交于点K． ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． ∴； （2）延长交于点G，再将线段沿平移至． ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴ ∴． 在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）将线段沿平移至． ∵， ∴． ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 将线段沿平移至MN，连接，，则． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴的最小值为． ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了平移的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理等知识；熟练掌握平移的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，平行四边形的判定及性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 例3（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）【教材呈现】下面是华师版九年级上册数学教材第76页的部分内容. 如图，E是矩形的边上的一点，于点F，，，，证明，并计算点A到直线的距离（结果保留根号）. 结合图①，完成解答过程. （1）在图①的基础上，延长线段交边于点G，如图②，则的长为 ； （2）如图③，E、F是矩形的边、上的点，连结，将矩形沿翻折，使点D的对称点与点B重合，点A的对称点为点.若，，则的长为 . 【答案】[教材呈现]；（1）；（2） 【分析】本题是相似形综合题，考查了矩形性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，证得△ADF∽△DCE是解题的关键． [教材呈现]由四边形是矩形，得到，，，根据勾股定理得到，通过，得到，列方程即可得到结果； （1）证明，得到，求出，由即可求解； （2）作于，在中，根据勾股定理求得，，进而在中求得． 【详解】解：[教材呈现]∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴点A到直线的距离； [拓展] （1）∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴； 故答案为：； （2）如图③，作于， ∵矩形，，， ∴，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 设则， ∵将矩形沿翻折，使点D的对称点与点B重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 在中，根据勾股定理得，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 例4（2025·广东江门·一模）【知识技能】 （1）如图1，在矩形中，点E，F分别在边，上，，垂足为点G．求证：． 【数学理解】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在边，上，，延长到点H，使，连接．求证：． 【拓展探案】 （3）如图3，在菱形中，点E，F分别在边，上，，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3 【分析】（1）由矩形的性质可得，证明，即可得证； （2）由正方形的性质可得，，，证明，得出，证明，得出，由平行线的性质可得，即可得证； （3）延长至点G，使，连接，由菱形的性质可得，，证明，得出，， 证明是等边三角形，得出，即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点H在的延长线上， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如解图，延长至点G，使，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即的长为3． 【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 例5（2025·河南安阳·一模）综合与实践 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做“垂对三等分平行四边形”，垂足叫做“垂三等分点”． (1)理解应用 如图1，在中，于点P，交于点E，若E为的三等分点，则是垂对三等分平行四边形，P是垂三等分点．若，，，则__________；__________． (2)问题探究 如图2，在垂对三等分平行四边形中，P是垂三等分点，且满足．若，试猜想与的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸 如图3，已知四边形是矩形，过点A作于点P，交于点E，，当四边形是垂对三等分平行四边形时，直接写出的长度． 【答案】(1)2； (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查平行四边形与矩形的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由得到，得到，根据相似三角形的性质即可求出．根据勾股定理在中，求出，进而在中求出； （2）由得到，得到，因此，设，则，，在中，根据勾股定理求得，进而有，，即可得到； （3）分两种情况讨论：①若，则由，得到，设，则，，证明，得到，求得，即，在中，根据勾股定理即可求出．②若，同①思路即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴． ∵， ∴在中，， 在中，． 故答案为：2；． （2）解：，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，则，， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：分两种情况讨论： ①如图，若，则 ∵在矩形中，， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴在中，． ②如图，若，则 ∵在矩形中，， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴在中，． 综上所述，的长为或． 模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型） 例1（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，在等边三角形中，点E、F分别在、上，且，那么下列不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，首先证明，推出，再证明，，进而可得，综合判断即可得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ，， ， ， ， ∴，故A选项正确，不符合题意； ， ，， ， ， ， ∴，故D选项正确，不符合题意； ，， ∴， ∴，故C选项正确，不符合题意； 故选项A，C，D正确，不符合题意， 故选：B． 例2（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，在等边三角形中，是的中点，在上，且，连接相交于点，则的 ． 【答案】/ 【分析】取的中点G，连接，由，设，则，然后表示出，进而表示出，利用勾股定理得到，然后证明出，得到，进而表示出，然后代入求解即可． 【详解】解：如图所示，取的中点G，连接 ∵ ∴设，则 ∴ ∵是等边三角形 ∴ ∵是的中点， ∴， ∴ ∵点G是中点 ∴是中位线 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形中位线的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键正确作出辅助线． 例3（24-25九年级上·湖北黄石·期末）如图，在等边三角形的，边上各取一点P，Q，使，，相交于点O．若，，则的长为 ，的长为 ． 【答案】 2 / 【分析】证明，得到，再证，通过对应边成比例即可求得；过点作与交于点G，设，则，在和中，通过勾股定理得到等式，求出，然后代入求解即可． 【详解】∵是等边三角形 ∴， 又∵ ∴ ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴或（舍去） 如图所示，过点作与交于点G， ∵ ∴ ∴ ∴设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得 ∴ 解得或（舍去） ∴， ∵ ∴，即 ∴． 故答案为：2，． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键． 例4（2025九年级上·上海·专题练习）如图，等边三角形的边长为3，点、分别是、上的动点（点、与三角形的顶点不重合），且，、相交于点． (1)设线段为，线段为，求关于的函数解析式，并写出定义域； (2)当的面积是的面积的2倍时，求的长； (3)点、分别在、上移动过程中，和能否互相垂直？如能，请指出点的位置；如不能，请说明理由． 【答案】(1)，； (2) (3)不可能互相垂直，见解析 【分析】（1）作，在直角中，利用勾股定理即可得到关于，的方程，即可写出函数关系式； （2）证，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求解； （3）由，易证得，即可得和不可能互相垂直． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， ∴， 作于 ，， ，，， ，； （2）， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， （舍，， 经检验，是分式方程的解且符合题意， 的长为； （3）， ， ， 是等边三角形， ， 和不可能互相垂直． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解分式方程和一元二次方程等知识． 例5（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质求出，，求出，根据推出全等即可； （2）根据进而得出，结合公共角，即可得证； （3）过点作交于，根据平行线分线段成比例定理得，设，则，根据，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：证明：是等边三角形， ，， ， ， 在与中， ， ； （2）∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴，即 （3）过点作交于， ， 设 ∵ ∴，， ， ， ， ， ， ∴ 解得：，或（舍去） 即． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型） 例1（24-25·合肥·阶段练习）如图，在RtABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，AE是BC边上的中线，过点B作BD⊥AE于点H，交AC于点D，则AD的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作于点， 是的中线，，， 在中，，， 是等腰直角三角形，， 设，则， ，，， 在和中，，， ，即，解得，， ，故选：B． 例2（2025·广东深圳·三模）如图，在中，是角平分线，是中线，，且，垂足为F，G为的中点，连接，．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是角平分线，∴，∵，∴， 又∵∴，故A选项正确，不符合题意； ∵，∴，∵，， ∴，∴，故B选项正确，不符合题意； ∵是中线，∴，∵G为的中点，∴， ∴是中位线，∴，，∴， 又∵，∴，∴，∴是的中位线， ∴，∴，∵，∴，故C选项正确，不符合题意； 在和中，为公共角，但和，和均不一定相等，相应边不成比例， 故和不相似，故D选项错误，符合题意，故选：D． 例3（2025·湖北武汉·校考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，E分别是边BC，AB上的点，∠ADC＝∠EDB，过点E作EF⊥AD，垂足为F，交AC于点G． (1)如图（1），求证：△AGE∽△BDE；(2)如图（2），若点G恰好与顶点C重合，求证：BD＝CD； (3)如图（1），若＝，直接写出的值． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【详解】（1）证明：∵∠ACB＝90°，EF⊥AD， ∴，，∴． ∵，∴．∵AC＝BC，∴，∴； （2）如图，过点B作交CE延长线于点M． ∵，∴，． ∵，∴，∴． ∵，∴．又∵，∴， ∴，．∵， ∴，∴． 又∵AC=CB，∴，∴，∴； （3）如图，过点E作于点T． 设CD=a．∵，∴，． 设DT=x，则．∵，， ∴，∴，即，∴． ∵，∴为等腰直角三角形，∴，， ∴，∴．∵， ∴．∵， ∴，即，∴，∴． 例4（24-25九年级下·四川内江·开学考试）初识图形 （1）如图1，、分别为正方形边和边上的点，连接、，且．则　 　． 类比探究（2）如图2，矩形中，点、分别在边、上，连接、，且，，，则　 　． 拓展应用（3）如图3，中，、分别为、边上的点，，，，连接，交于点．求长．请说明理由． 【答案】（1）1；（2）；（3）． 【详解】解：（1）四边形为正方形， ，，， ，，，； 在与中，，， ，，故答案为：1； （2）如图1，作，交于，交于，， 四边形是矩形，，，，， 四边形是平行四边形，，，同理（1）可得：， ，，故答案为：； （3）如图2，作于，设，，，， ，，，， 由（1）知：，，， ，，， 由得，，，． 1．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． 数学思考：（1）如图1．在矩形中，，，、分别是、上的两点，连接、，于点，则________． 深入探究：（2）如图2，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、．求证：． 拓展延伸：（3）如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交边于点．若，，，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质和勾股定理， （1）根据题意可证得，则有，即可求得答案； （2）过点作于点，过点作于点，且交于点，根据矩形的性质得和，进一步证得，即有结论成立； （3）过点作，延长交于点，利用勾股定理求得，即可得，可证得，求得，进一步证得，有，即可求得． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． （2）过点作于点，过点作于点，且交于点，如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 同理，，， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）过点作，延长交于点，如图， 在中，，，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，在矩形中，是的中点，，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由矩形性质得，进而由平行线的性质得，再由，得出，最后根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明． （2）由（1）的结论可得出，由是矩形，得出，由是的中点得出，由勾股定理得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）由（1）知，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，关键是证明三角形相似． 3．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）【问题呈现】如图，是矩形的边上的一点，于点，，，，证明，并计算点到直线的距离（结果保留根号）．    (1)结合图①，完成解答过程． (2)【拓展探究】在图①的基础上，延长线段交边于点，如图②，求的长． (3)如图③，，是矩形的边，上的点，连接，将矩形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为点．若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析，点到直线的距离为， (2) (3) 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等： （1）利用矩形的性质得到，，则由勾股定理得到，再证明，．即可证明，则，即，即可求出； （2）证明，得，即，求出，则； （3）如图③，作于，设，则，由折叠的性质可得，进而推出，则，勾股定理得，解得，，，近而得到，在中，可由勾股定理得到． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ． ， ，即， ∴， 点到直线的距离为 （2）解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ，得，即， ， ； （3）解：如图③，作于，设，则， 将矩形沿翻折，使点的对称点与点重合， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理得，， ， ，   ，， ， 在中，，． 4．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，矩形中，，，F是线段上一点（不与点C，D重合），作，交线段于点E．    (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质． （1）根据两个角对应相等的两个三角形相似证明结论即可； （2）根据相似三角形的性质得出，即，求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 5．（24-25九年级上·湖南常德·期末）如图，在矩形中，为的中点，交于点． (1)求证：； (2)当时，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质可得，从而得到，即可； （2）根据为的中点和相似三角形的性质可得，再证明，即可求解． 【详解】（1）证明：在矩形中，， ∴， ∴； （2）解：在矩形中，，， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 即， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质是解题的关键． 6．（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有 ． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点A、D处，如图②所示． （1）在图②所示的情况下，你能帮小组成员们证明一下他们的猜想吗？ （2）你能在图①中添加辅助线，并对辅助线进行描述，以方便小组成员继续证明一般性的规律吗？ 【模型应用】 （3）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则 ．（直接写出结果）． 【拓广延伸】 （4）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，则的长度为 ．（直接写出结果） 【答案】（1）能，过程见详解（2）见详解（3）1（4） 【分析】（1）结合矩形的性质，以及直角三角形两个锐角互余得，证明，把，代入，即可作答． （2）分别过作，结合矩形的性质证明四边形是矩形，四边形是矩形，再根据直角三角形两个锐角互余，证明，把，代入，即可作答． （3）先结合正方形的性质得，，再根据角的等量代换得，故证明，结合，则，运用勾股定理列式计算，即可作答． （4）先过点C作，延长，与交于一点，证明四边形是矩形，得，再证明四边形是矩形，运用两个对应角相等的三角形是相似三角形，得，再进行列式代入数值计算，得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）能，过程如下： 如图所示： ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， （2）分别过作，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：1 （4）过点C作，延长，与交于一点，如图所示： ∵在直角梯形中，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 过点N作， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 在中，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形的两个锐角互余，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 7．（24-25九年级上·四川资阳·期中）【基础巩固】 （1）如图，在中，，于点D，求证：． 【尝试应用】 （2）如图，在矩形 中，，点F在 上，，于点E，求的长． 【拓展提高】 （3）如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点C的对称点F在边上，G为 中点，连接交 于点M，，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）由，得到，再由，得到，从而得到，变形即可得到答案； （2）由矩形的性质得，，从而得到，即，由（1）可得，，从而得到，计算即可得到答案； （3）与关于直线对称，得，从而得到，再通过证明得到，由（1）可得，，设，解方程求出的值即可． 【详解】解：（1）证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）∵ ∴ 在矩形中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ 即： ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ； （3）解：在矩形中， ∴ ∵与关于直线对称 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵是的中点 ∴ 由（1）可得： ∴ 设 则 ∴ 解得：或(舍去负根) ∴ 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质是解题的关键． 8．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图，D，E分别是边长为的等边三角形的两边，上的动点，且，与交于点，则点A到点F的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，过作于，连接，，可得，证明，可得，当在上时，最小，，此时，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过作于，连接，， ∴， 是等边三角形， ，，，，， ， ， ， 当在上时，最小，，如图， 此时， ∴， ∴， ∴，即的最小值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的应用，解决本题的关键是得到最小值的位置． 9．（2025·安徽安庆·一模）如图，已知是等边三角形，点D、E分别在、上，且，与相交于点P． (1)求证：； (2)如图2，将沿直线翻折得到对应的，过C作，交射线于点G，与相交于点F，连接． ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②若四边形的面积为，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)①四边形是菱形，理由见解析；②． 【分析】（1）根据证明； （2）①根据（1）中：，得，则，证明，可得，则四边形是菱形； ②作高，设菱形的边长为，根据菱形的面积列式为，即，可得的值，证明，列比例式可得的长． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：①四边形为菱形，理由如下： ∵， ∴， ∴， 由翻折得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴四边形是菱形； ②过作于，设菱形的边长为，如图： ∵是等边三角形， ， ， ∵菱形的面积为， ，即， （负值已舍去）， ， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ，即， ，， ， 解得：或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、平行四边形与菱形的判定和性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 10．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，等边三角形的边长为6，在边上各取一点，连接相交于点，且． (1)求证：，并求的度数； (2)若，试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依据等边三角形的性质得到，，然后由，依据全等三角形的性质可得到，最后，再依据三角形的外角的性质求解即可； （2）先证明，依据相似三角形的性质得到，从而可得到问题的答案， 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵为等边三角形，                  ∴， 在和中，，     ∴， ∴. 又∵， ∴， （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴． 11．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，是边上的中线，，垂足为． (1)求证：； (2)若，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关性质是解答本题的关键． （1）先根据是中线证明，再由同角的余角相等证明，最后结合即可证明； （2）由可证得，设，则，在中，根据勾股定理列出方程求出k的值即可解决问题． 【详解】（1）证明：在中，， 是中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ∵， ， 设，则， 在中，， ， 即． ， ． 12．（24-25九年级上·全国·期末）（1）【问题发现】如图，在中，，，点为的中点，过点作的垂线，垂足为，延长交于点，求的面积．小明发现，过点作的垂线，交的延长线于点，构造出全等三角形，经过推理和计算，能够得到与的数量关系，从而使问题得到解决，请直接填空： ，的面积为 ． （2）【类比探究】如图，将（1）中的条件“点为的中点”改为“点为边上的一点，且满足”，其他条件不变，试求的面积，并写出推理过程． （3）【拓展迁移】如图，在中，，，点为上一点，且满足，为上一点，，延长交于，请直接写出的面积． 【答案】（1）2，；（2）的面积；（3） 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，注意类比思想的运用． （1）过点C作的垂线，交的延长线于点G，证明，得到，证明，求出与的数量关系，得到的面积． （2）过点C作的垂线，交的延长线于点H，类比（1）即可解决． （3）如图3中，作交的延长线于H，于K．证明，求出的面积即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1，过点C作的垂线，交的延长线于点G． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积； （2）如图2，过点C作的垂线，交的延长线于点H． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴的面积； （3）如图3中，作交的延长线于H，于K． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．（24-25九年级下·江苏南京·期末）如图，在中，，是中线，，垂足为． (1)求证； (2)若，则线段的长度为_____． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关性质是解答本题的关键． （1）先根据是中线证明，再由同角的余角相等证明，最后结合即可证明； （2）由可证得，设，则，根据勾股定理列出方程求出k的值即可解决问题． 【详解】（1）证明：在中，， 是中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ∵中，是斜边的中线，， ， 又 ∵， ， 设，则， 在 中，， ， 即． ， ． 14．（24-25九年级下·安徽阜阳·阶段练习）【教材回顾】 （1）如图1，在正方形中，，分别为边，上的点，且，求证：； 【类比探究】 （2）如图2，在中，，，，分别为，上的点，且，交于点，求证：； 【拓展提升】 （3）如图3，在正方形中，对角线与交于点，，分别为边，上的动点，且，连接，，若的最小值为，求正方形的边长． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）正方形的边长为2 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明得出，即可得出结论； （2）过点作，垂足为，连接．证明得出，证明得出，再证明，即可得解； （3）连接．证明得出，即可推出，作点关于的对称点，连接，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）证明：四边形为正方形， ，． 又， ， ， ， ． （2）证明：如图，过点作，垂足为，连接． ， ． 又， ， ． ， ， ， ． ， ， ， ． ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ． （3）解：如图，连接． ，，， ， ，． 作点关于的对称点，连接， 当点落在与的交点处时，最小， 设正方形的边长为，则， 解得， 故正方形的边长为2． 15．（2025·安徽·模拟预测）如图①，在中，，，点为边上的一点，连接，过点作于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)如图②，若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据同角的余角相等得到，证明； （2）过点B作交的延长线于H，根据相似三角形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，进而证明结论； （3）证明，根据相似三角形的性质求出，根据平行线分线段成比例列出比例式，计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图①，过点B作交的延长线于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：在中，，，， 则，， 设，则， 在中，， 则， ∵，， ∴， ∴，即， 解得： (舍去)， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、一元二次方程的解法，掌握相似三角形的判断定理是解题的关键． 16．（2025·湖北襄阳·一模）综合与实践课上，梦班数学学习兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答： (1)操作判断 如图1，在正方形中，点，，，分别在边，，，上，且，若，求的长； (2)迁移探究 如图2，在矩形中，，点，，，分别在边，，，上，且，若，求的长； (3)拓展应用 如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，试证明：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）设交于点O，过点G作于点J，过点E作于点K，利用正方形的性质证明四边形和四边形都是矩形，再利用矩形的性质证明，即可求解； （2）设交于点O，过点E作于点M，过点H作于点N，证明，可得，即可求解； （3）过点C作交的延长线于点F，先证，得到，再证，得到，即可得证． 【详解】（1）解：如图1，设交于点O，过点G作于点J，过点E作于点K， 四边形是正方形， ，， 四边形和四边形都是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 又，， ， ， （2）如图2，设交于点O，过点E作于点M，过点H作于点N， ， 四边形是矩形， ，， 四边形和四边形都是矩形， ，， ，， ， ， 又， ， ， ， ， ， （3）证明：如图3，过点C作交的延长线于点F，则， ， ， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ， ； 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，添加辅助线，构造全等三角形或相似三角形是解题的关键． 17．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，点为的中点，，垂足为点交于点． (1)求证：； (2)求斜边的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上中线等于斜边一半，勾股定理，熟练证明是解题的关键． （1）利用角度的转换得到，即可解答； （2）利用相似三角形的性质，即可解答． 【详解】（1）解：点为的中点， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ，即， 解得（负值舍去）， ． 18．（24-25九年级上·河南洛阳·期末）小明在学习中发现，当垂直线段出现在四边形中间时，通常有比较简明的结论．下面是他的发现过程，请补充并完成其中的问题． (1)如图1，在正方形中，为上一点，连结，过点作于点，交于点，则与的数量关系是_________． (2)①如图2，在矩形中，，为上的点，连结，过点作于点，交于点．小明发现，过点作于点，可以得到与的数量关系．这个数量关系是什么?请说明理由． ②填空；由①可得，顶点分别在矩形的每一组对边（或延长线）上互相垂直的两条线段的比，等于__________． ③应用上述结论解决问题；如图3，在中，，点是的中点，连结，过点作的垂线，交直线于点，垂足是点，直接写出的长度． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②矩形的两邻边之比；③ 【分析】（1）根据正方形，垂直的定义可得，运用角边角证明，由此即可求解； （2）①根据矩形，垂直的定义可得四边形是矩形，根据相似三角形的判定可得，由此即可求解； ②结合①的证明即可求解； ③如图所示，延长至点，使，可得四边形是平行四边形，结合，由矩形的判定方法可得平行四边形是矩形，根据上述证明可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①，理由如下， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②矩形的两邻边之比． ③． 证明：如图所示，延长至点，使， ∵点是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即, ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，垂直的定义，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合，掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 19．（24-25九年级下·河南周口·阶段练习）综合与实践课上，某数学小组对“图形中两条互相垂直的线段间的关系”进行探究，请你参与． (1)观察发现 如图，在正方形中，点、、、分别在边、、、上，且．过点作于，过点作于，则________；和的数量关系是________； (2)迁移探究 将正方形换成矩形继续进行探究： 如图，在矩形中，．点、、、分别在边、、、上，且．（）中和的数量关系是否仍然成立？并说明理由． (3)拓展应用 如图，在中，，，点、分别在边、上，且．若，直接写出的长． 【答案】(1)，； (2)不成立，理由见解析； (3)． 【分析】本题考查了正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设与交于点，由四边形是正方形，，，则，，再证明，然后根据全等三角形的性质即可求解； （）过点作于，过点作于，设与交于点，由四边形是矩形，，，则，然后通过同角的余角相等得出，从而可证明，最后由相似三角形的性质即可求解； （）过，交延长线于点，则，证明，通过性质可证明，然后判定，由相似三角形的性质可得，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：如图，设与交于点， ∵四边形是正方形，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：不成立，理由如下， 如图，过点作于，过点作于，设与交于点， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过，交延长线于点，则， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 20．（2025·山东济南·模拟预测）综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． (1)操作判断 ①如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． ②如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． (2)迁移探究 如图（3），在中，，点D，E分别在边AC，BC上，且，试证明：． (3)拓展应用 如图（4），在矩形中，，平分交于点E，点F为上一点，交于点H，交矩形的边于点G，当F为的三等分点时，请直接写出的长． 【答案】(1)①5；②4 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）①过点E作于点P，过点H作于点Q，则，证得四边形是矩形，设交于点O，则，证明，即可解答； ②过点E作于点P，过点H作于点Q，则，证明是矩形，设交于点O，则，证明，列出比例式，即可解答； （2）过点C作交的延长线于点F，证明，，列出比例式，即可得证； （3）根据题意得到，分情况讨论，当时，如图，点G在上，利用勾股定理求出，证明，列出比例式求解即可解答；当时，如图，点G在上，利用勾股定理求出，证明，列出比例式求解即可解答． 【详解】（1）解：①如图，过点E作于点P，过点H作于点Q，则， 四边形是矩形， ， 设交于点O，则， ， 又， ， ； 故答案为：5； ②如图，过点E作于点P，过点H作于点Q，则， 四边形是矩形， ， 设交于点O，则， ， 又， ， ， ； 故答案为：4； （2）证明：如图，过点C作交的延长线于点F， ， ． 又， ， ， ， ， ， 又， ， （3）解：或3． 在矩形中，平分，， ， ， 当时，如图，点G在上， ， ， ， ， ； 当时，如图，点G在上， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查相似形综合应用，主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握分类讨论的思想方法是解题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $