精品解析：湖北省腾云联盟2025-2026学年高三上学期10月联考数学试卷

数学试卷 考试时间：2025年10月15日 15:00-17:00 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则其共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的运算及共轭复数的概念，即可求解. 【详解】，所以， 故选：A. 2. 已知实数集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两个集合中的元素完全相同，结合集合中元素的互异性来确定、的值，进而求出的值. 【详解】因为，所以集合与集合中的元素完全相同， 已知，，由于在两个集合中都有，那么就有两种情况： 情况一：， 情况二：， 求解情况一： 由，可得或， 当时，集合，不满足集合中元素的互异性，所以舍去， 当时，将代入，得到，即，解得， 此时，，满足； 求解情况二： 由和，将代入中，得到，即，解得， 当时，集合，不满足集合中元素的互异性，所以舍去这种情况； ​所以，，所以. 故选：A. 3. 已知抛物线恰好经过圆的圆心，则抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的圆心在抛物线上，可求解抛物线方程，即可得焦点坐标. 【详解】由已知，圆的圆心为， 因为点在抛物线上， 所以，解得， 所以抛物线的方程为，焦点在轴正半轴上，且， 所以焦点坐标为. 故选：B 4. 在等比数列中，，是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，由条件可得，，由此可判断，再判断的符号，结合等比数列性质得到结论即可. 【详解】设等比数列的公比为，， 因为，是方程的两个实数根， 所以，且，所以，， 又数列为等比数列，所以，由等比数列性质可得， 所以. 故选：D. 5. 已知向量满足，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量的定义列式，结合题设求得，根据两向量的夹角范围即可求得该角. 【详解】因向量在向量上的投影向量为， 由题意，，即， 因，则. 故选：A. 6. 已知，是样本空间中的随机事件，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对立事件的概率公式及条件概率公式求解即可. 【详解】设，则， 而，则， 因为， 所以，解得，即. 故选：B 7. 如图，在扇形中，半径，弧长为，点是弧上的动点，点，分别是半径，上的动点，则周长的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用点关于线的对称，将的周长的最小值转化为线段，再利用余弦定理求解即可. 【详解】如图， 连接，作点关于直线的对称点，关于直线的对称点，连接，分别交，于点，连接，如图所示，则，此时的周长取得最小值，其最小值为的长度.由题意可得,根据对称性可知，在中，由余弦定理可得，所以，即周长的最小值为. 故选：C 8. 已知随机变量，设函数，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，判断函数的对称性，可排除AC；求的值，可排除D.即可得到正确答案. 【详解】随机变量，， 因为， 因为，所以根据对称性可知， 所以函数的图象关于对称，故排除AC； 当时，，所以排除D． 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例判断AC；利用基本不等式判断B；作差法比较大小判断D. 【详解】A选项，当时，，此时，A错误； B选项，因为，不等式两边同时加上得 ，两边同时除以4得，， 两边开方得，当且仅当时，等号成立，B正确； C选项，当时，，不满足，C错误； D选项，， 因为，所以， 故，D正确. 故选：BD 10. 已知函数，则（ ） A. 是的一个周期 B. 在区间上单调递减 C. 是偶函数 D. 若在区间内有两个根，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由可判定A正确；根据余弦函数单调性可判定B不正确；由为偶函数，可判定C正确；由余弦函数的性质可得，，代入求值即可判定D正确. 【详解】对于函数， 对于A中， ， 所以是的一个周期，所以A正确； 对于B中，由，可得， 根据函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以B不正确； 对于C中，，为偶函数， 所以C正确； 对于D中，得，可得或， 所以或， 又，则或，不妨，可得，， 所以，所以D正确. 故选：ACD. 11. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一.设曲线与轴交于，两点，与轴交于，两点，点是上一个动点，以下说法正确的是（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 曲线恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C. 面积的最大值为 D. 满足的点有且只有2个 【答案】ABD 【解析】 【分析】曲线上的任意点，其关于轴的对称点为，代入曲线方程验证判断即可判断A；由方程取求点的坐标，取求坐标，求直线与曲线的交点，即可判断C；根据方程易知，均在曲线上，即可判断B；求出坐标平面内到定点，的距离和为的点的轨迹方程，求该轨迹与曲线的交点即可判断D. 【详解】曲线上的任意点，其关于轴的对称点为， 代入曲线方程，，即点也在曲线上， 所以曲线关于轴对称，故A正确； 取可得，所以，，所以， 由曲线可得， 所以，即. 由，所以. 当，此时，代入曲线的方程成立， 所以直线与曲线的交点坐标为， 所以点的纵坐标的绝对值的最大值为， 所以面积的最大值为， 故C错误； 由选项C可知，，， 取，可得，所以，， 取，可得，所以直线与曲线交于点， 直线与曲线交于点， 所以曲线经过点，，，，故B正确； 坐标平面内到定点，的距离和为的点的轨迹为以，为焦点，长轴长为的椭圆， 设椭圆方程为，由已知可得，又，， 所以，所以椭圆方程为， 联立，所以， 所以，所以，所以， 故椭圆与曲线的交点为，， 故满足的点有且只有2个，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中项的系数为______（用数字作答） 【答案】80 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项即可求解. 【详解】的通项为， 令，则， 故项的系数为. 故答案为：80 13. 若是函数的极值点，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】由题意得即可求解，再代入即可求解. 【详解】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以. 故答案为：. 14. 如图，圆台形容器内放进半径分别为2和4的两个球，小球与容器下底面、容器壁均相切，大球与小球、容器壁、容器上底面均相切，则该容器的体积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】通过轴截面来分析解决圆台的上下底面半径及高，求得圆台的体积. 【详解】作几何体的轴截面图如图，分别是大球和小球的球心， 是圆台的轴截面等腰梯形两腰和的延长线的交点. 分别是球和球与圆台侧面的切点，分别是与圆台上下底面的切点． 则，且，，． 过点作交于，显然，所以四边形为矩形， 且， 所以在直角三角形中，， 由同角三角函数关系式得． 又由，所以，所以． 在直角三角形中，，得，所以． 又在直角三角形中，． 同理在直角三角形中，,． 所以圆台的上底面半径，下底面半径，高． 所以圆台的体积． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，为数列的前项和． （1）求的通项公式； （2）记数列的前项和为，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据数列前项和与通项公式的关系，通过求出的通项公式； （2）对函数求导得出，再利用裂项相消法求出． 【小问1详解】 函数，为数列的前项和， 的前项和， 当时，， 当时，， 满足， 的通项公式为． 【小问2详解】 函数求导得， ， ， ． 16. 如图，已知，，，动圆与轴相切于点，过，两点分别作圆的非轴的两条切线，这两条切线的交点为. （1）求证：为定值，并写出点的轨迹方程； （2）记点的轨迹为，过点的直线与交于，两点，为坐标原点，且的面积为，求直线的斜率. 【答案】（1）设过点的直线与圆相切于点，过点的直线与圆相切于点， 由切线长相等，可得，，， 则， （2） 【解析】 【分析】（1）设过点的直线与圆相切于点，过点的直线与圆相切于点，根据切线长相等，得到，，，求得，结合椭圆的定义，即可求解. （2）设直线，联立方程组，得到，，结合，列出方程，求得的值，即可求解. 【小问1详解】 由椭圆的定义知，点在以为焦点的椭圆上，且，， 故点的轨迹方程为. 【小问2详解】 由题意，直线的斜率不为0，设直线，且，， 联立方程组，可得， 则，， 故，解得， 所以直线的斜率为. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，. （1）证明：平面平面； （2）若，，，且，，，在同一个球面上，球心为. （i）为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （ii）设球的表面与线段交于点（异于点），求的值. 【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以， 又，平面，平面，， 所以平面，又平面，所以平面平面. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明结论； （2）（i）解法1（坐标法）：建立空间直角坐标系，利用向量即可求得线面夹角的正弦值；解法2（几何法）：利用几何法先证明，再证明，然后过作于点，连接，，可证得即为与平面所成角，即可求解； （ii）解法1 设，再结合题意得，即可求解；解法2 设，由，从而可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）解法1（坐标法）：在四边形中，因为，，， 故， 又，，，所以 则，所以，结合，则， 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ， 平面的一个法向量为， ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 解法2（几何法）：在四边形中，因为，，， 故； 又，，，所以 则，所以， 又因为平面，平面，所以， 而平面， 故平面，而平面，所以， 过作于点，连接，， 因为平面，面，所以， 又，，平面，则面， 则即为与平面所成角，，所以. （ii）由（1）知平面，平面，故， 因为，，，在同一个球面上，且，为直角， 即可得的中点到，，，的距离均相等，故为外接球直径，则球心为的中点. 解法1 设， ， 为外接球直径，且在球的表面上 ，， ，，得，所以，. 解法2 设， 由，，得， ，解得或， 由于点异于点，所以舍去， 所以，进一步可得. 18. 某企业的生产设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. （1）若，当时， （i）求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望； （ii）求； （2）讨论与的大小关系. 【答案】（1）（i）的分布列为： 0 1 2 3 ，2；（ii） （2） 当时，， 当时，， 当时，， 【解析】 【分析】（1）（i）由题可得正常工作的元件个数的可能取值为0，1，2，3，且符合二项分布，即可求出分布列及期望；（ii）； （2）由表示系统在原来个元件增加2个元件，则至少要有个元件正常工作，可正常工作的元件个数为，然后分原系统中至少有个正常工作、恰好有个新增2个元件中至少有1个正常工作、恰好有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作共三种情况讨论，从而可求解. 【小问1详解】 （1）（i）因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为0，1，2，3，因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为，所以. 所以，， ，. 所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为： 0 1 2 3 控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为. （ii）. 【小问2详解】 由表示系统在原来个元件增加2个元件，则至少要有个元件正常工作，设备才能正常工作的概率，设原系统中正常工作的元件个数为， 第一类：原系统中至少有个元件正常工作， 其概率为； 第二类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作， 其概率为； 第三类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作， 其概率为. 所以 所以， 所以当时，， 当时，， 当时，， 19. 定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数. （1）证明：； （2）若直线与函数和的图象共有三个交点，这三个交点的横坐标分别为，，，求的取值范围； （3）证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题目所给的概念，以及基本初等函数导数和导数运算法则，求出复合函数导数； （2）根据函数的单调性，判断函数与直线交点的个数，进而根据基本不等式以及函数性质，求出结果. （3）方法一：根据题干不等式，对其进行化简，根据化简结果，构造函数，进而根据函数导数和函数单调性得关系，求出函数最小值，证明不等式. 方法二：根据函数的奇偶性，构造函数，进而根据函数导数和函数单调性得关系，求出函数最小值，证明不等式. 【小问1详解】 注意到，， . 【小问2详解】 因为直线与函数和的图象共有三个交点， 在上单调递增，即直线与函数只有一个交点， 所以直线与函数有两个交点， 因为为偶函数且在上单调递增，， 当且仅当时，等号成立， 所以，即，解得， 所以，则， 【小问3详解】 方法1：， 等价于， 等价于， 等价于， 等价于， 等价于， 令，则且， 即证， 令，， 因为， 令，， 则， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增，则， 即在单调递增，且， 所以时，，时，， 即在且时恒成立， 故. 方法2：，且为奇函数，为偶函数， 则与都为偶函数， 则要证，只需证当时，即可. 当时即证 令， 由于， 所以 因为，则，，， 则，所以在单调递增，则，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 考试时间：2025年10月15日 15:00-17:00 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则其共轭复数（ ） A. B. C. D. 2. 已知实数集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线恰好经过圆的圆心，则抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 在等比数列中，，是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 5. 已知向量满足，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是样本空间中的随机事件，，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在扇形中，半径，弧长为，点是弧上的动点，点，分别是半径，上的动点，则周长的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 8. 已知随机变量，设函数，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 是的一个周期 B. 在区间上单调递减 C. 是偶函数 D. 若在区间内有两个根，，则 11. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一.设曲线与轴交于，两点，与轴交于，两点，点是上一个动点，以下说法正确的是（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 曲线恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C. 面积的最大值为 D. 满足的点有且只有2个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中项的系数为______（用数字作答） 13. 若是函数的极值点，则___________ 14. 如图，圆台形容器内放进半径分别为2和4的两个球，小球与容器下底面、容器壁均相切，大球与小球、容器壁、容器上底面均相切，则该容器的体积为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，为数列的前项和． （1）求的通项公式； （2）记数列的前项和为，证明：． 16. 如图，已知，，，动圆与轴相切于点，过，两点分别作圆的非轴的两条切线，这两条切线的交点为. （1）求证：为定值，并写出点的轨迹方程； （2）记点的轨迹为，过点的直线与交于，两点，为坐标原点，且的面积为，求直线的斜率. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，. （1）证明：平面平面； （2）若，，，且，，，在同一个球面上，球心为. （i）为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （ii）设球的表面与线段交于点（异于点），求的值. 18. 某企业的生产设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立.当控制系统有不少于个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率，表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）. （1）若，当时， （i）求控制系统中正常工作的元件个数的分布列和数学期望； （ii）求； （2）讨论与的大小关系. 19. 定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数. （1）证明：； （2）若直线与函数和的图象共有三个交点，这三个交点的横坐标分别为，，，求的取值范围； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $