精品解析：辽宁省东北育才学校2025-2026学年高三上学期高中学段联合考试数学试卷

2025——2026学年度上学期高中学段 高三联合考试数学科试卷 答题时间:120分钟 满分:150分 命题人 校对人:庞德艳 张欣 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项分布的期望值公式，即可求得结果. 【详解】因为，所以，解得. 故选：A. 2. 设集合，，且，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值不等式及一元二次不等式求解集合，结合集合即可得出答案． 【详解】由题意得，，， 因为且，所以. 故选：D． 3. 已知随机变量服从正态分布，有下列四个命题： 甲：； 乙：； 丙：； 丁： 如果只有一个假命题，则该命题为（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态曲线的对称性可判定乙､丙一定都正确，继而根据正态曲线的对称性可判断甲和丁，即得答案. 【详解】因为只有一个假命题，故乙､丙只要有一个错，另一个一定错，不合题意， 所以乙､丙一定都正确，则， 故甲正确， 根据正态曲线的对称性可得，故丁错. 故选：D. 4. 下列条件中，使成立的必要而不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据不等式的性质和必要不充分条件的定义判断． 【详解】是假命题，不是必要而不充分条件； 是正确的，但不能得出，是必要而不充分条件； 与之间不能相互推出，不是必要而不充分条件，也不充分； ，是充要条件． 故选：B． 5. 已知是定义域为的偶函数，对，都有当时，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性与所给等式推出函数的周期，再利用函数的周期性与奇偶性将与转化为已知区间内的函数值，最后代入相应解析式进行计算. 【详解】根据题意，是定义域为的偶函数，对，都有， 则有，即函数是周期为的周期函数， 则有，， 又由当时，， 则. 故选：B. 6. 柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】变形给定等式可得，再将目标式化为并利用二维柯西不等式求出最大值. 【详解】由，得，即， 由，得，则， 由，，得， 由柯西不等式得， 因此，当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 7. 已知数列满足对任意正整数恒有，且，，则的前30项的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，令，可得，结合求得，可得是等比数列，求出，再利用裂项相消法求和. 【详解】由，得， 令，，得，可得， 所以，得， 所以是首项为2，公比为2的等比数列， 故，，所以， 所以的前30项的和为. 故选：D. 8. 已知函数，若，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数奇偶性和单调性性质，再利用性质求解不等式.将化为，由奇偶性把化为，再根据单调性得，解此不等式取交集得范围. 【详解】显然的定义域为， 因为，所以为偶函数． 又， 令，令，，则，且在上单调递增， 当时，，又在单调递增，所以在单调递增； 当时，，又在单调递减，所以在上单调递减， （也可利用定义求证单调性） 又在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减． 又，为偶函数， 所以等价于， 所以，故，则，即或， 得或. 综上，m的取值范围为. 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为保护环境，我国近几年大力发展新能源汽车，新能源汽车的产销量迅速位居全球第一．我国某省2024年9月份至2025年1月份这5个月新能源汽车月销量（单位：千辆）与月份代码的数据如表所示： 月份 2024年9月 2024年10月 2024年11月 2024年12月 2025年1月 月份代码 1 2 3 4 5 月销量/千辆 21 52 109 若与线性相关，且经验回归方程为，则（ ） A. B. 样本相关系数在内 C. 相对于点的残差为 D. 2025年2月份的销量一定为13.42万辆 【答案】AB 【解析】 【分析】先根据样本中心点的计算方法求出和，再利用样本中心点在经验回归直线上求出的值；然后根据经验回归方程的性质判断样本相关系数的范围；接着根据残差的定义计算相对于点的残差；最后根据经验回归方程的预测性质判断2025年2月份的销量情况. 【详解】根据题意得，， 又必过样本中心点，所以，解得，故A正确； 因为，具有较强的线性相关关系，且经验回归方程为， 所以，具有较强的正相关关系，故样本相关系数在内，故B正确； 当时，，故残差为，故C错误； 当时，， 故2025年2月份的销量约为13.42万辆，故D错误． 故选：AB． 10. 已知函数其中若，，则下列结论正确的是（    ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 过点的直线与的图象一定有公共点 D. 在上单调递减 【答案】ACD 【解析】 【分析】先将函数化简，再根据已知条件确定的值，最后逐一分析选项. 【详解】解：由题意知的最小正周期为， ，，即当时，取得最大值， 所以为图象的一条对称轴， 又，所以，故A正确； 因为，等于的个最小正周期，则， 所以的图象不关于直线对称，故B错误； 因为，所以点在两条直线与之间， 所以过点的直线与的图象一定有公共点，故C正确； 因为当时，取得最大值，， 为的个最小正周期，所以在上单调递减，故D正确. 故选：ACD. 11. 记、分别为函数、的导函数，若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”，则下列说法正确的为（ ） A. 函数与存在唯一“点” B. 函数与存在两个“点” C. 函数与不存在“点” D. 若函数与存在“点”，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，求出，利用“点”的定义逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】令. 对于A选项，，则， 由可得，由可得， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，所以，， 此时，函数与存在唯一“点”，A对； 对于B选项，，则， 函数的定义域为，令可得，且， 所以，函数与不存在“点”，B错； 对于C选项，，则， 令可得，解得或，但，， 此时，函数与不存在“点”，C对； 对于D选项，，其中，则， 若函数与存在“点”，记为， 则，解得，D对. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等比数列中，是函数的极值点，则______ 【答案】4 【解析】 【分析】由题意可得是方程的两根，再利用韦达定理求出，结合等比数列的性质即可得解. 【详解】， 因为是函数的极值点， 所以是方程的两根， 由韦达定理可得，所以都是正数， 在等比数列中，同号，且， 所以. 故答案为：. 13. 已知，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据正切二倍角公式得，进而根据和差角公式求解，即可根据二倍角公式求解. 【详解】由， ， 有， 可得． 故答案为： 14. 已知集合，集合满足：①每个集合都恰有8个元素，②集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的和为__________． 【答案】150 【解析】 【分析】判断集合的元素中的最小值与最大值的和的可能情况，然后按照定义求解即可． 【详解】集合，由集合满足： 每个集合都恰有个元素，，则集合两两交集为空集. 设集合中元素的最大值与最小值分别为和，则. 由集合两两交集为空集，故两两不同且两两不同. 先求的最小值： 要使取到最小值，和同时取得最小值. 由于，且两两不同，所以当时，. 因为24是集合中除外的元素中的最大元素，一定是三个集合之一的元素，不妨设集合含有24，然后将紧随其后的23，22，21，，18这6个数放入集合中，不会增加，但却可以使得变小，所以为使最小，必然集合中的元素是含有24，23，22，21，，18这7个元素；这时中剩余元素的最大值17必是或的最大元素，不妨设集合含有17，同上，为使最小，集合中的元素含有17，16，15，，11这7个元素；于是集合含有10，9，8，7，，4这7个元素，. 则的最小值为. 再求的最大值： 要使取到最大值，应当和同时取得最大值. 由于且两两不相等，所以当时. 中的剩余元素最小的是1，不妨设，即.将放入不会改变的值，却可以使其它两个集合中的最小元素变大，因此为使最大，集合中必含有；这时8是集合中剩余元素的最小元素，设，同理可知中含有；中含有.所以. 则的最大值为； 所以的最大值与最小值的和为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数， （1）的最小正周期是，求，并求在区间的解集； （2）已知，，，求的值域和单调区间． 【答案】（1）， （2），单调增区间为，单调减区间为 【解析】 【分析】（1）利用函数的周期求出的值，进而求出的关系式，然后根据余弦函数的性质求出的解； （2）根据正余弦函数的倍角公式以及辅助角公式化简，然后根据正弦函数的性质即可求解． 【小问1详解】 由题知，解得， 令， 故或， 整理得或，，又， 故解集为； 【小问2详解】 由于，所以， 所以 ， 由于，所以，， 故，所以函数的值域为； 令，得，所以单调增区间为， 令，得，所以单调减区间为 ， 综上，单调增区间为，单调减区间为． 16. 等差数列的首项，公差，前项和满足 （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先利用等差数列的前项和的公式将改写为和的式子，解出用表示的式子，再利用求出的范围，根据求出，再求出，使用等差数列的通项公式求出 （2）先求出，再利用错位相减法求出. 【小问1详解】 解：，，得， ，， 又，，， 【小问2详解】 ， …………….① …………….② ① ②，得 ， 得. 17. 时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下： 直播带货评级 合计 优秀 良 主播的学历层次 本科及以上 60 40 100 专科及以下 30 70 100 合计 90 110 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联？ （2）统计学中常用表示在事件条件下事件发生的优势，称为似然比，当时，我们认为事件条件下发生有优势.现从这200人中任选1人，表示“选到的主播带货良好”.表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计的值，并判断事件条件下发生是否有优势： （3）现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人参加主播培训，求这3人中，主播带货优秀的人数的概率分布和数学期望. 附：，. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联 （2），认为事件条件下发生有优势 （3）的分布列为： 1 2 3 【解析】 【分析】（1）计算出卡方，即可判断； （2）根据所给的公式，结合条件概率公式可得，结合表中数据即可求解； （3）根据分层抽样得带货优秀的有3人，直播带货良好的有2人，即可利用超几何分布的概率公式求解概率，由期望公式求解即可， 【小问1详解】 零假设为：直播带货的评级与主播的学历无关， 由题意得， 所以根据小概率值的独立性检验， 可推断不成立，认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联； 【小问2详解】 因为， 因为， 所以认为事件条件下发生有优势； 【小问3详解】 按照分层抽样，直播带货优秀的有人，直播带货良好的有人，随机变量的可能取值为1，2，3， 则， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 所以数学期望. 18. 已知. （1）若，，求； （2）设，，证明：； （3）在（2）的条件下，若，证明数列为等比数列并求的通项公式. 【答案】（1） （2）证明: ，， 则， 故 ，. （3）证明: 由（2）得：， 时，有 ，， 则， 又，， 所以是以为首项，为公比的等比数列； 同理， 又，， 所以是以为首项，为公比的等比数列； 结合等比数列的通项公式，可得： ，， 两式作差，得， 故 . 【解析】 【分析】（1）利用完全平方与平方关系，由求出，解出，再求即可； （2）利用完全平方与平方关系，由表示出，再将进行拆分，变形，表示为所求形式即可； （3）由（2）的结论代入，根据提示进行变形，得出，再求出其首项不为0即可证其为等比数列；同时证明为等比数列，分别求出通项，做差即可解得. 【小问1详解】 由题意可得，① 则， 所以，， 所以， ② 联立①②解得， 所以. 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略. 19. 已知函数（，且）. （1）当时，证明：为增函数； （2）若存在两个极值点，. （i）求的取值范围； （ii）设的极大值为，求的取值范围. 【答案】（1）依题意，， 设，则， 当时，单调递减，当时，单调递增， 故，即，单调递增. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用导数证得为增函数. （2）（i）先换元设，然后利用多次求导的方法，对进行分类讨论，根据极值点个数来求得的取值范围. （ii）根据（i），通过换元以及构造函数，结合导数来求得的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）设，则， 则. 设，则，即在上单减，在上单增， 当时，令，由，且在上单调递增， 故仅有一个零点，不符合题意； 当时，， ①当时，则，此时，，单调递增，不符合题意； ②当时，则，此时存在两个零点， 当时，；当时，，； 当时，，，存在两个极值点，符合题意. 综上可知，. （i i）由（i）可知，且，满足， 故， 设，则， 设，则， 故单调递减，且，则， 即. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法： 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025——2026学年度上学期高中学段 高三联合考试数学科试卷 答题时间:120分钟 满分:150分 命题人 校对人:庞德艳 张欣 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，且，则集合（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量服从正态分布，有下列四个命题： 甲：； 乙：； 丙：； 丁： 如果只有一个假命题，则该命题为（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 下列条件中，使成立的必要而不充分条件是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是定义域为的偶函数，对，都有当时，则=（ ） A. B. C. D. 6. 柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为（    ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足对任意正整数恒有，且，，则的前30项的和为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为保护环境，我国近几年大力发展新能源汽车，新能源汽车的产销量迅速位居全球第一．我国某省2024年9月份至2025年1月份这5个月新能源汽车月销量（单位：千辆）与月份代码的数据如表所示： 月份 2024年9月 2024年10月 2024年11月 2024年12月 2025年1月 月份代码 1 2 3 4 5 月销量/千辆 21 52 109 若与线性相关，且经验回归方程为，则（ ） A. B. 样本相关系数在内 C. 相对于点的残差为 D. 2025年2月份的销量一定为13.42万辆 10. 已知函数其中若，，则下列结论正确的是（    ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 过点的直线与的图象一定有公共点 D. 在上单调递减 11. 记、分别为函数、的导函数，若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”，则下列说法正确的为（ ） A. 函数与存在唯一“点” B. 函数与存在两个“点” C. 函数与不存在“点” D. 若函数与存在“点”，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等比数列中，是函数的极值点，则______ 13. 已知，则_____． 14. 已知集合，集合满足：①每个集合都恰有8个元素，②集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的和为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数， （1）的最小正周期是，求，并求在区间的解集； （2）已知，，，求的值域和单调区间． 16. 等差数列的首项，公差，前项和满足 （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求. 17. 时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下： 直播带货评级 合计 优秀 良 主播的学历层次 本科及以上 60 40 100 专科及以下 30 70 100 合计 90 110 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联？ （2）统计学中常用表示在事件条件下事件发生的优势，称为似然比，当时，我们认为事件条件下发生有优势.现从这200人中任选1人，表示“选到的主播带货良好”.表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计的值，并判断事件条件下发生是否有优势： （3）现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人参加主播培训，求这3人中，主播带货优秀的人数的概率分布和数学期望. 附：，. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 18. 已知. （1）若，，求； （2）设，，证明：； （3）在（2）的条件下，若，证明数列为等比数列并求的通项公式. 19. 已知函数（，且）. （1）当时，证明：为增函数； （2）若存在两个极值点，. （i）求的取值范围； （ii）设的极大值为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $