第2部分 练最后一题（学用版）-【加速度中考】2025年陕西中考数学精准巧练

第二部分 练最后一题 探究1与角平分线有关的辅助线作法 一类型1利用角平分线的性质定理解决 学法点拨 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点 1.角平分线的性质定理 D,BC=9,BD=6,则点D到AB的距离是 () 如图①，已知P是∠MAN的平 A.3 B.4 C.5 D.7 分线上一点，作PF⊥AN于点F 作PHLAM 于点H B H M D 第1题图 第2题图 图① 2.[2024咸阳永寿县校级模拟]如图，△ABC的三边AB,BC,CA的 结论：PH=PF,Rt△PFA≌ 长度分别是20,30,40，三个内角的三条角平分线将△ABC分Rt△PHA. 为三个三角形，则S△A0:S△0：S△C0= A.1:1:1 B.1:2:3 C.2:3:4 D.3:4:5 3.[2024咸阳永寿县校级模拟]如图，在四边形ABCD中，AB∥ CD,∠B=90°，∠BAD和∠CDA的平分线AE,DE交BC于 点E.过点E作EF⊥AD于点F.若BC=12,求点E到AD的 距离。 B 第3题图 89 一类型2角平分线十平行 学法点拨 4.[人教八上P12例1改编]如图，在△ABC中，AD是△ABC的 2.角平分线十平行 条角平分线，DE∥AB交AC边于点E.若AB=2AE=4, 如图②，已知点P在∠MAN的 AD=子，则△ADE的周长为 )平分线上 B39 C.8 4 D19 过点P作 N 4 PF∥AM, 交AN于点F M D 图② 结论：AF=PF,△AFP是等腰三 第4题图 第5题图 角形 5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D,E分别是AB,AC的中 3.角平分线十垂直 点，∠ABC的平分线交DE于点F,∠ACB的平分线交DE于 如图③，已知P是∠MAN的平 点G.若AB=8,AC=6,则线段GF的长度为 分线上一点，作FP⊥AP于点P A.1 B号 C.2 D.2 延长FP,交 AM于点H 一类型3含垂直条件 6.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E, S△ABc=24,DE=4,AB=7,则AC= 图③ A.3 B.4 C.5 D.6 结论：△FAH是等腰三角形， FP=HP,Rt△FAP≌Rt△HAP. 4.角平分线十线段相等 如图④，已知P是∠MAN的平 分线上一点，F是射线AN上任意一 第6题图 第7题图 第8题图 点，连接PF. 7.[2024西工大附中八模]如图，四边形ABCD中，AD∥BC,∠C 90°，AB=AD,连接BD,∠BAD的平分线交BD,BC分别于点 在AM上截取 AH-AF O,E.若EC=3,CD=4,则BO的长为 连接PH A.4 B.35 Csv③ D.2w5 H M 图④ 8.如图，BD是△ABC的一条角平分线，作AE⊥BD于点F,交BC 结论：△APF≌△APH. 于点E.若∠ABC=40°，∠C=50°，则∠AED的度数为 () A.35° 5.相关线段比 B.209 C.25 D.30° 如图⑤，AD平分∠BAC,过点C 一类型4构造相等线段 作CE∥AB交AD的延长线于点E. 9.如图，在四边形ABCD中，BC>AB,AD=CD,BD平分 ∠ABC.若∠A=130°，则∠C= A.25 B.40 C.50° D.65 图⑤ ABBD 结论：ACCD 第9题图 第10题图 10.如图，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC.若AB=6, AC=4,则CD=一 90 探究2与中点有关的辅助线作法 一类型1构造中位线 学法点拨 1.如图，在△ABC中，E,F分别为BC,AC的中点，D为AB边 1.构造中位线（如图①） 上一点且DF∥BC.若AB=7,BC=3,则四边形DBEF的周 A 连接 长为 A.10 B.5 C15 D.15 2 图① 结论：DE∥BC,DE=BC. D △ADEO△ABC. 第1题图 第2题图 2.构造中线 2.如图，已知四边形ABCD为矩形，AB=4,BC=6,M为BC边 如图②，已知AB=AC,D为BC 的中点，P为CD边上一动点.若E,F分别为AP,MP的中点， 则线段EF的长为 的中点，利用“三线合一”构造中线 A.5 &号 C.√/13 号 连接AD 3.[2024西安铁-中月考]如图，在△ABC中，AB=9,AC=5,E是 BC的中点.若AD平分∠BAC,CD⊥AD,线段DE的长为() B D C B D C A.1 B.2 C.3 D.4 图② 结论：AD平分∠BAC,AD⊥BC. 如图③，已知Rt△ABC的斜边 E N AB的中点D,构造斜边AB上的 第3题图 第4题图 中线 4.[2024西工大附中月考]如图，在△ABC中，AC=3,BC=4,AB 5,E,F分别为边AC,BC上的点，M,N分别为EF,AB的中 点.若AE=BF=2,则MN的长为 ( A.1.5 B.3 C.3 D.√2 图③ 一类型2含中线 5.[2024安康石泉县模拟]如图，在△ABC中，AB=BC,D,E分别 结论：CD=AB 是边AC,BC的中点，连接BD,ED,若∠C=65°，则∠BDE的 度数是 B 第5题图 A.24 B.25° C.30° D.35° 91 6.如图，在菱形ABCD中，AE=5,E,F分别是BC,CD的中点. 学法点拨 若AE,AF分别垂直平分BC,CD,则AB的长为 3.倍长中线 如图④，已知D为BC的中点，延 长ED到点F,使DF=ED,连接CF B E C 第6题图 倍长ED B 7.如图，已知四边形ABCD为矩形，其中AB=4,AD=2,点A,B 分别在∠MON的两边上，∠MON=90°，则点O到点D的距 图④ 离最大值为 结论：CF=BE,△BED≌△CFD. M 第7题图 8.[北师九（上）P28第16题改编]如图，已知四边形ABCD与四边形 BGFE均为正方形，点E在AB上，AB=6,BE=4.M,N分别是 DC,DF的中点，连接MN,BN,则MN= .BN= G B 第8题图 一类型3倍长中线 9.[人教八上P5图片素材改编]如图，在△ABC中，AB=10,AC 6,则BC边上的中线AD的取值可以是 D 第9题图 A.2 B.4 C.12 D.17 10.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,延长AB至点D,使 BD=AB.若∠ACD=120°，则△ABC的面积为 B D 第10题图 92 探究3利用旋转解决的全等、相似问题 方法突破 问题引入 问题1[北师九（上）P21例1]如图①，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F 为BC延长线上一点，且CE=CF.请分别写出BE与DF之间的数量和位置关 系： 问题探究 图① 问题2如图②，已知△BCD为等腰直角三角形，∠BCD=90°，E为CD边上 点，将△BCE绕点C旋转一定角度得到△FCG,连接BF,GE. (1)问题1中证明BE与DF的数量关系时，△DCF可以看作是△BCE通过 得来的： (2)结论开放写出图②旋转过程中出现的一组相等角： 图② (3)写出图②旋转过程中出现的相似三角形： ;若点E与点D重合，则△BCF 与△ECG 问题3如图③，在△ABC中，D,E分别为AB边，AC边上的点，DE∥BC (1)△ADE与△ABC (2)如图④⑤⑥是将△ADE绕点A旋转过程中的几个状态.根据图④⑤⑥中的信息填空： ①∠DAE= ,∠BAD= ,∠ADB ②写出图中的相似三角形： ③AB AC 图③ 图④① 图⑤ 图⑥ 小几何练方法 L.如图，AC,BD是四边形ABCD的对角线，BD=DC,∠ABD=∠DCB,点E在BC上，连接DE.若 △ABD≌△ECD,则下列线段长度与AB十BE的长度相等的是 () A.BC B.CD C.BD D.AC 第1题图 第2题图 2.如图，C为平面内一点，以C为顶点分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE,连接BE,AD,BE 与AD交于点O,则∠BOD= 93 3.如图，已知△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，点E在△ABC的内部，∠CAE+∠CBE=90°，连 接BE,BF.若BE=1,AE=2,则CE= 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 4.如图，已知Rt△ABC,其中∠ACB=90°，∠A=30°.将△ACB绕点C旋转得到△DCE(点E不与点B 重合)，则当点B在直线DE上时，∠ACD= 0 5.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，P为BC的中点，F为AC上一动点，FP的垂线PE交 AB于点E.设阴影部分的面积为S1,△ABC的面积为S2,则当点F在AC边上运动时，S1,S2之间的 数量关系为 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,E是线段AB上一动点，连接CE,并将线段CE 绕点C逆时针旋转90°至CD,连接BD,则BD的最小值为 7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=6,D是边CB上一动点，连接AD,将线段AD绕点 A顺时针旋转60°，得到线段AP,连接CP,则线段CP的最小值为 0 第7题图 第8题图 第9题图 8.如图，在边长为4的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接CE,将线段CE绕点C 顺时针旋转60°得到CF,连接DF,则在点E运动过程中，DF的最小值为 9.如图，AB⊥BC,AB=BC-4,以AB为直径作半圆O,D是半圆O上一个动点，连接CD,将CD绕点 C逆时针旋转90°到CE,连接AE,则AE的最小值为 10.如图，在等边三角形ABC中，M是AB的中点，N是BC上的一个动点，连接AN,将△ACN绕，点A 顺时针旋转60得到△ABN',连接MN'.若AB=12,则MN'的最小值为 第10题图 第11题图 第12题图 11.如图，在△ABC中，AB=AC=3√13，BC=6,点P在边AC上运动（可与点A,C重合），将线段BP 绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP,连接BD,CD,则CD长的最小值为 12.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,∠B=45°，BC=4,CD=1.将△ADC绕，点D逆时针方向旋转 得到△FDE,点E恰好落在AC上，连接AF,则AF的长为 94 大几何练综合 13.(1)【问题发现】 如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF. ①线段CF与DG的数量关系为 ； ②直线CF与DG所夹锐角的度数为 (2)【拓展探究】 如图②，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，(1)中的结论是否仍然成立，请利用 图②进行证明. (3)【解决问题】 如图③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=10,O为AC的 中点.若点D在直线BC上运动，连接OE,则在点D的运动过程中，求出线段OE的最小值 B D 图① 图② 图3 第13题图 加速度考 95 14.[2023西安铁一中滨河校区二模](1)如图①，在△ABC中，∠B=120°，AB=4,则BC边上的高为 (2)如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，AB=4√3，BC=10,∠C=60°.Rt△AEF 的直角顶点E在边BC上，顶点F在边CD上.若∠AFE=60°，求CF的长； (3)如图③，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，∠BCD=60°，AD=12,CD=16,△AEF的 顶点E,F分别在边BC,CD上.若∠AEF=60°，△ADF的面积是否存在最小值？如果存在，求出最 小值；如果不存在，说明理由 图① 图② 图③ 第14题图 加速度碧 96 15.【问题发现】 (1)如图①，△ABC和△CDE均为等边三角形，直线AD和直线BE交于点F. ①∠AFB= ②线段AD,BE之间的数量关系为 【类比探究】 (2)如图②，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∠ABC=∠DEC=90°，直线AD和直线BE交 于点F.请判断∠AFB的度数及线段AD,BE之间的数量关系，并说明理由； 【解决问题】 (3)如图③，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=5,点D在AB边上，DE⊥AC于点E,AE=3, 将△ADE绕着点A在平面内旋转，请直接写出直线DE经过点B时，点C到直线DE的距离： D B 图① 图② 图③ 第15题图 加速度考 97 探究4代数法解决线段、面积问题 方法突破 利用函数关系解决线段、面积问题的一般步骤： i通过动点的运动时间，确定自变量（根据动点运动的极端位置确定）.若动点在折线上，则需分段 讨论自变量的取值范围； ⅱ.确定所求线段或面积问题中需要用到的几个量； ⅱ.运用特殊几何图形的性质寻找运动时间与这几个量之间的数量关系； v.表示出线段或面积的函数解析式.利用函数的增减性可解决线段或面积的最值问题， 几何练方法 1.[2024广元]如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，点P从点A出发沿A→C→B以1cm/s的速度匀速 运动至点B.图②是点P运动时，△ABP的面积y(cm)随时间x(s)变化的函数图象，则该三角形的 斜边AB的长为 () A.5 B.7 C.3√2 D.23 y/cm 77 x/s 图① 图② B 第1题图 第2题图 2.[2024西安阎良区期末]如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,动点E从点D出发向终点A运动，连接 BE,以BE为边在BE上方作正方形BEFG,在点E运动的过程中，阴影部分的面积最小为 3.[2024渭南富平县期末]如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,P和Q分别为AB边和BC边上的动 点，且满足AP=2BQ,则当△PBQ的面积最大时，AP的值为 D F E 第3题图 第4题图 第5题图 4[2023百安铁-中入模]如图，在△ABC中，AB=4,∠B=90°，anC-,点D,E分别在边AC,BC上， 且BC=DC.若DE将△ABC的面积平分，则DE= 5.如图，在正方形ABCD中，AB=8,P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP=PF,则 △APF的面积的最大值为 98第二部分 练最后一题 探究1与角平分线有关的辅助线作法 .点E到AD的距离是6. 1.A2.C 4.A5.C6.C7.D8.B9.C10.2 3.解：，EF⊥AD于点F,∴∠EFA=∠EFD=90°. 探究2与中点有关的辅助线作法 .'AB∥CD,∠B=90°，∴.∠C=180°-∠B=90°， 1.A2.B3.B ∴.∠B=∠EFA=90°，∠C=∠EFD=90°. 4.D【解析】如答图，连接AF,取 'AE是∠BAD的平分线， AF的中点G,连接MG,NG.在 ∴.EF=EB. △ABC中，AC+BC=AB, 同理可得EF=EC,∴EB=EC=号BC=6, ∴.∠C=90°..M,G分别为 A EF,AF的中点，∴.MG是 ∴.EF=6, 第4题答图 24年三 △AEF的中位线，MG=2AE=1,MG∥AE, 5,Sa=X3X4=X3X3+号×5EH,EH= ∴∠MGF=∠CAR.同理可得NG=号BF=1,NG∥BF, 号∴BD的最小值为是 3 ∴.∠ANG=∠B,.∴∠MGN=∠MGF+∠NGF=∠CAF+ 7.3【解析】如答图，延长AC到点 ∠FAB+∠B=90°，∴.MN=√MG+NG=√2. E,使CE=AC.∠ACB=90°， 5.B6103 ∠ABC=30°，∴.BC垂直平分 3 AE,∠BAE=60°，∴.BA=BE, 7.2十2√2【解析】如答图，取AB的 M ∴△ABE为等边三角形，.AB= 中点P,连接PO,PD,OD.在Rt D AE.将线段AD绕点A顺时针 △A0B中，OP=AP=2AB=2 旋转60°，得到线段AP,AP= AD,∠DAP=60°，.∠PAE= 第7题答图 在Rt△PAD中，PD ∠DAB,∴.△EAP≌△BAD(SAS),∴.∠AEP=∠ABD= √AD+AP=2√2.'OP+ 30°，∴点P在与AE夹角为30的直线上，∴.当CP⊥EP PD≥>OD,∴.当点P在OD上时， 第7题答图 时，CP取得最小值，此时CP=2CE=2AC-3. 点O到，点D的距离最大，最大距离为OP+PD=2十2√2. 8.1【解析】如答图，取AC的中点G, 8./2926【解析】如答图，连接FB,BD,FC.M,N 则CG=CD.由旋转的性质得CE= 分别是DC,DF的中，点，.MN是△DFC的中位线， CF,∠ECF=60°.，△ABC是等边 ∴.MN=号FC:FC=VGB+BC)9+FG=2W29, 三角形，.∴∠ACB=60°，∴.∠DCE ∠GCF,∴.△CDE≌△CGF(SAS), ∴.MN=√/29.“，·四边形ABCD与四边形BGFE均为正方 B4 ∴.∠EDC=∠FGC=90°，.点F在 形，∴∠FBE=∠ABD=45°，∴∠FBD=90°.在Rt△FBD 直线BG上运动.作DH⊥BG于点 中，DF=√/BF十BD=√2BG+2BC=2/26.:N为 H,此时DF的值最小，最小值即为 第8题答图 斜边DF的中点，∴.BN=号DF=√26， DH的长.：BD=BC=2,∠DBH=2∠ABC=30, DH=BD=l,DF的最小值为L 9.27-2【解析】如答图，以AC为M 直角边构造等腰直角三角形ACM, 连接OM,AM,DM,DO.在等腰直角 第8题答图 三角形ABC中，AC=√2AB=4√2. 9.B10.93 在等腰直角三角形ACM中，AM= 探究3 利用旋转解决的全等、相似问题 √2AC=8.:∠MCA=∠DCE=90°， ∠MCD+∠ACD=∠ACE+ 问题1BE=DF,BE⊥DF ∠ACD,.∠MCD=∠ACE.又 第9题答图 问题2(1)旋转 .CM=CA.CD=CE...AMCDACE(SAS)...MD= (2)∠BCF=∠ECG(答案不唯一 AE..∠CAB=∠MAC=45°，∴.∠CAB+∠MAC=90°， (3)△BCF∽△ECG全等 ∴.∠MAO=90°.，OM≤MD十DO,当M,D,O三点共线 问题3(1)相似(2)①∠BAC∠CAE∠AEC 提器 时，DM最小，即AE最小.，OM=√AM+AO= ②△ADE△ABC,△ADB∽△AEC( 217,∴.DM=MO-OD=2√17-2，∴.AE的最小值为 小几何练方法 2√17-2. 1.A2.1203.√64.605.2S=S 10.3√3【解析】在等边三角形ABC中，AB=AC.由旋转 6 【解析】如答图，在AC上截取CH= 的性质得∠NAN'=60°，AN=AN.,∠BAC=60°， ∴.∠BAN'+∠BAN=∠CAN+∠BAN,∴.∠BAN'= BC,连接BH,EH.由旋转的性质得CD= ∠CAN,∴.△ABN≌△ACN(SAS),∴.∠ABN'=∠C= CE,∠ECD=90°=∠BCH,,.∠BCD= 60°，点N在与AB夹角为60°的射线上，.当MN」 ∠ECH.在△BCD和△HCE中， BN时，MN最短，此时∠BMN'=30°.，'M是AB的中 BC=HC. ∠BCD=∠HCE,.∴.△BCD≌△HCE 点，AB=12,BN=2BM=}AB=3,MN= CD=CE, 第6题答图 √62-37=3√3. (SAS),∴.BD=HE.,在旋转过程中，H 为定点，E为AB上的动，点，∴当EH⊥AB时，EH取得 1.15 【解析】如答图，以BC为底边向上作等腰三角 最小值，∴.S△c=SAH十S△BH.:AB=V√AC十BC= 形BQC,使∠BQC=120°，连接PQ.由旋转的性质可得 25 △BQC和△BPD均为顶角为 ∴.∠BAD=∠CAE. 120°的等腰三角形，∴∠QBC= .'AB=AC.AD=AE, ∠PD=30.2=器 ∴.△BAD≌△CAE(SAS), ∴.∠ABD=∠ACE=45°， tm30=号，∠Qx-∠QBD= ∴.∠DCE=90°，点E在与AC夹角为45的直线上，当 OE与该直线垂直时，OE最小. ∠PBD-∠QBD,∴·∠PBQ= 第11题答图 DCAPO△Dc,∴2-2-言iD- ,AC=10,O为AC的中点.∴.OC=5. ∠0c=450E-号00- 2 √PQ.当PQ⊥AC时，PQ取得最小值，此时CD最小 设QP'⊥AC,延长AQ与BC交于点K,此时AK⊥BC, QP为QP的最小值.在△BQC中，∠BQC=120°，BC= 6,BK=3,∠QBK=30°，QK=BS=3.:AB= 图① 图② AC=3√13，KC=3,∴.AK=V√AB-BK=6√5，∴.AQ= 第13题答图 AK-QK=53.:∠APQ=∠AKC=90°，∠QAP'= 14.解：(1)2√3 ∠CK.△A0Pn△ACK.∴8-8器.A (2)如答图①，过点F作FH⊥BC 313 于点H 2gQp-5YcD=or-15里 在Rt△AEF中，∠AFE=60, 13 ∴.AE=√3EF 12.310 B 5 【解析)：BC=4,CD=1,BD=BC-CD=3. .'∠BAE+∠AEB=∠AEB+ ∠HEF, 第14题答图① ,AD⊥BC,∠B=45°，∴.△ABD为等腰直角三角形， ∴∠BAE=∠HEF, ∴.BD=AD=3.在Rt△ACD中，AC=√D+AD= √I0.由旋转的性质得DE=CD=1,DF=AD=3,EF= △ABEAEHF.铝-器-崇=， AC=VIO,∠FDE=∠ADC.,∠ADF+∠ADE ∴.AB=√3EH ∠DE+∠ADE.∠ADF=∠CDE~器-8器 设HF=a,则CH=写。，E=a. }△EO△DA,票=号∠DCE=∠DAF EH-BC-BE-CH=10 3a ,∠DCE+∠CAD=90°，∴.∠DAF+∠CAD=90°，即 ∠EAF=90°.设CE=x,则AF=3x,AE=AC-CE 45=0-),解得a= 21 √/I0-x.在Rt△AEF中，AF+AE=EF2,∴.(3x)2 CF=23 3a=3. （0-z2=(10)2,解得= 5 ,x2=0(不符合题 (3)△ADF的面积存在最小值. 意，含去)，∴AF=3x=3V0 如答图②，将AB绕点A旋转 5 30°，旋转后的AB所在直线与 大几何练综合 CB的延长线交于点G,则 ∠G=60°， G B E 13.解：(1)①CF=√2DG②45 (2)仍然成立.证明如下： ∴.∠GAE+∠AEG=∠AEG+ 第14题答图② 如答图①，连接AF,AC,延长CF交GD于点O. ∠CEF=120°， ,'∠CAD=∠FAG=45°，即∠CAF+∠FAD=∠DAG+ ,.∠GAE=∠CEF. ∠FAD=45°，∴.∠CAF=∠DAG. GAE△CE恶-是 S-荒=E.△CAFADAG. :AD∥BC,∠ABC=90°，.BC=AD+CD·cosC= ∴.CF=√2DG,∠ACF=∠ADG 20,AB=CD:smC=85BG=a品。=8 ∴.∠ADO+∠OCD=45°. :∠CDA=90°， 设BE=a,则GE=8+a,CE=20-a, .∠COD=45 ∴.(1)中的结论仍然成立 (3)如答图②，连接CE. 解得CF= e+a+10 .∠BAC=∠DAE=90°， ∴.∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC, DF=D-C=c-是a+6 26 :Sue=2AD·DF·sin60-35DFr, BC=6,∴AC·BC=12.由图象可知，点P从点A出发沿 A→CB以1cm/s的速度匀速运动至，点B的时间为 ∴.当DF的值最小时，△ADF的面积最小， 7 s,Ep AC+BC=7,..(AC+BC)2=49,..AC+BC+ 3 2AC·BC=49,∴AC+BC=25..AC+BC=AB, 4 ∴.当a= =6时，DF的值最小，最小值为， .AB=5.故选A. 2X16 234 ∴△ADF面积的最小值为3V3X15=45E 4 4 【解析】如答图，过点E作 15.解：(1)①60°②AD=BE EF⊥AC于，点F.在Rt△ABC (2)∠AFB=45°，AD=√2BE.理由如下： ,∠ABC=∠DEC=90°，△ABC和△CDE均为等腰直 中mC--AB=4 角三角形， ∠ACD=45+∠D=∠BE8瓷-瓷-E. .-CD...CD- 第4题答图 ∴.△ACDn△BCE, 总SE=号AB·BC=票.：DE年分△ABC的面 铝-瓷=E,∠CAD=∠CBF,即∠CAF=∠CBR 1 ,∠AFB+∠CBF=∠ACB+∠CAF ∴.∠AFB=∠ACB=45°. 2在RACFE中，tmC-票-是， CF.CF=8 (3)如答图①，当点D在线段BE上时，∠AEB CD-CF=令在R△FDE中，DE=VDF+EF= 3 ∠ACB=90°， 5.16【解析】如答图，过点P作 A MD F E ∴A,B,C,E四点共圆 PM⊥AD于点M.BD是正方 ∴·∠CEB=∠CAB=30°，∠ABD=∠ACE. ∠BAC=∠DAE=30°，∴.∠CAE=∠BAD 形ABCD的对角线，∴.∠ADB ∴.△CAE△BAD, 45°，∴△PDM是等腰直角三角 形，∴.PM=DM.设PM= B 品-S-m0=9C-9DB DM=x,则AM=8-x.,AP= 第5题答图 在Rt△ADE中，AE=3,∠DAE=30°， PF,∴AM=FM=8-x,.AF=2X(8-x).,S△APF= DE=4"=5 号AF,PM5am=号X2X(8-)Xx=--4+ √3 16,∴.当x=4时，S△Pr取得最大值，最大值为16. 在Rt△ABE中，由勾股定理得BE=√AB一AE=4, 大几何练综合 ∴.BD=BE-DE=4-√3， 6.解：(1)如答图①，过点A作AH⊥CD交CD的延长线于 CE-9BD=25-是 点H,过点E作EG⊥DH于点G,则∠H=90°，AH∥EG. ,四边形ABCD是平行四边形，∴.CD=AB=8,AB∥ ∠BEC=30°， CD,∴∠ADH=∠BAD=45° ∴点C到直线DE的距离为CE·sin30°=√3- 在Rt△ADH中，AD=6, ∴.AH=AD·sin∠ADH=3√2. 如答图②，当点D在BE的延长线上时，同理可得BD ,E是AD的中点， E+DE=4+.CE-号BD=25+2, 2 ÷DE=2AD=3, 点C到直线DE的距离为CE·sim30°=5+是. 叉：AH/BG.BG=2AH=39 21 综上所述，点C到直线DE的距离为土是。 .DF=5,∴.FC=CD-DF=3, Snawr-Sawp-SoU-SA-8X3/Z-X5X 3y9-×8x3g-3 4 (2)存在.如答图②，延长AE与CD交于点K,则四边形 ABCK是矩形， 图① 图② 第15题答图 ..AK=BC=1 200 m.CK=AB=800 m. 设AN=xm,则PC=xm,BO=2xm, 探究4代数法解决线段、面积问题 BN=(800-x)m,AM=OC=(1200-2.x)m, 小几何练方法 ..MK=AK-AM=2x m,PK=CK-PC=(800-x)m, 1.A【解析】当点P运动到C处时，S%甲=6，即AC· ∴.SI边形OnN=SE形AK一S△N-一S△DN一S△acP一S△PKM 27 =800×1200- x120-2x)-× =S四边形A0D一S△4BD=20000, ∴.QM=100√2. 2x(800-x)- 1 7x0200-2)-2 QM∥C0..BM-QMBM=1002 BO CO' 2x(800-x) 100√230021 =4(x-350)2+470000. ∴.BM=100 ,4>0,∴.当x=350时，四边形OPMN的面积取得最小 3 ,∴DM=BD-BM=500VE 3 值，S四边v的最小值为470000m2, 在R△MQD中，DQ-VDM+MQ=200区(m. ∴.AM=1200-2.x=1200-2×350=500<900,AN= 3 x=350<600, 答：平分该四边形ABCD的面积的线段长为200，y亚 3 m 存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖 OPMN,四边形OPMN面积的最小值为470000m,此 时点N到点A的距离为350m. H D 图① 图② 图① 图2 第7题答图 第6题答图 8.解：(1)CF,DE,DE 7.解：(1)4 (2)如答图①，连接OP (2)如答图①，连接AC,BD交于点O,过点O作线段 AB是半圆O的直径，PB=2PA,∴.∠APB=90, MN,交AD于点M,交BC于点N 四边形ABCD为平行四边形， ∠A0P-号×180=60，∠ABP=30 ∴.OA=OC,AD∥BC,∴.∠CAD=∠ACB. 同(1)可得四边形PECF是正方形， .∠AOM=∠CON, ∴.PF=CF ∴.△AOM≌△CON(ASA),∴.SA=SAmN 在Rt△APB中，PB=AB·OS∠ABP=4V3. 同理可得△OMD≌△ONB,△AOB≌△COD .SAOMD=SANB,S△B=S△cD, 在Rt△CFB中，BF=, CF tan∠CBF-V3CF ∴.SAM+S△B+SAn=S△oN+S△D十S△D, .PB=PF+BF,∴.PB=CF+BF,即4V3=CF+√3CF, 即MN将□ABCD分成面积相等的两部分. 解得CF=6-2√5. 当MN⊥BC时，MN最短. 过点A作AH⊥BC于点H (3)①，AB为⊙O的直径， 'AD∥BC,∴.MN=AH. ∴.∠ACB=∠ADB=90°. AB=6∠ABH=60°，∴.∠BAH=30°， .CA=CB. ∠ADC=∠BDC,同(I)可得四边形DEPF是正方形， MN=AH=号AB=35, .∴PE=PF,∠APE+∠BPF=90°，∠PEA=∠PFB=90°， 如答图②，将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到 .当MN⊥BC时，线段MN的长度为3√3. △A'PF,PA'=PA. (3)存在. 则A',F,B三点共线，∠APE=∠APF, 如答图②，连接BD,AC交于点O,在BC上取一点Q,过 点Q作QM⊥BD,垂足为M ∠A'PF+∠BPF=90°，即∠A'PB=90°， AB=AD=200,BC=CD=2005. ∴SaE+Sam=Saa=合PN·PB=x(70-x ∴.AC是BD的垂直平分线，∴.QM∥CO 在Rt△ABD中，BD=√2AB=200√2， 在R△ACB中，AC-C-号AB=号 ×70=35√2， ∴.OA=DO=B0=1002. ∴.SAB= 2AC=125, 在Rt△BCO中，OC=√BC-BO=300√2， ∴.Sg边形AD=SABD十S△CD ∴y=SAPA'B十SAXB =2BD.(A0+00)=8000. x(70-x)+1225 1 若DQ将四边形ABCD的面积平分， =-22+35x+125. 1 则S为边形QD=2S边形D=4000. ②当AP=30时，A'P=30,PB=AB-AP=70-30=40. SAABD= zBD·0A=20000, 在Rt△A'PB中，由勾股定理得A'B=√AP+PB= 50.PF=PEAP=24. AB ∴.SAaD= BD.QM-100/QM .S四边形PEF=242=576(m2), 28 ∴.当AP=30m时，室内活动区（四边形PEDF)的面积 .AD∥BC,∴.△ENPp△FQP, 为576m2. 器器即器 ∴.EP=24√5，∴.EF=EP+FP=72√5(m). 综上所述，△ADP的面积存在最小值，最小值为1800m, 此时EF的长度72√5m 图① 图② 第8题答图 探究5面积等分问题（几何法） 类型1利用对称性解决 第5题答图 小几何练方法 类型2利用中线解决 1.2万2.4万3器 小几何练方法 4.1【解法提示】解法1：利用规则图形背景计算出裁切后 1.D 的剩余板材面积，进而得到梯形OFBH的面积，利用梯形 2.解：如答图①②，直线PQ平分梯形ABCD的面积，点Q 的面积公式建立方程求得BH的长，进而得到AH的长， 即为所求 解法2：以BC边，BA边所在直线为坐标轴建立平面直角 坐标系，设正方形CEGF的中心为M,则直线OM与y轴 的交点即为H点.计算直线OM的函数表达式，由其与y 轴交点的坐标可推出AH的长， 大几何练综合 5.解：存在. 图① 图② 如答图，取AC的中点O和OC的中点M,作直线MP交 第2题答图 AD于点N,交BC于点Q. 3.解：(1)如答图①，直线AT即为所求. 线段EF平分□ABCD的面积，.线段EF过点O. (2)如答图②，点E即为所求 '在E,F两点的运动过程中，∠OPC=90°， (3)如答图③，直线DF即为所求。 点P在以M为圆心，OC为直径的⊙M上， 当MN⊥AD时，NP最小，此时△ADP的面积最小 四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB=CD=90. 在Rt△ABC中，AC=√/BC-AB=120, 0C=2AC=60. ∴.PM=CM=30,∴.AM=AC-CM=90. 图① 图② 图③ ,∠ANM=∠ACD=90°，∠NAM=∠CAD, 第3题答图 ∴.△AMNO△ADC, 大几何练综合 光瓷即器=给N=5. 4.解：，O是BD的中点， ∴.OA平分△ABD的面积，OC平分△CBD的面积， ∴.NP=MN-MP=24,AN=√JAf-MN=72, ,.折线A一O一C平分四边形ABCD的面积， ∴△ADP的最小面积为号AD·NP=180(m). 即S动形m=专S形： 1 ,SaD=AB·AC=BC·NQ, AC∥OP,.SAe=S△mc, ∴.NQ=72,∴.MQ=NQ-MN=18,PQ=NQ-PN=48. SANIC+SAOC=SANC+SAPNC, .AD∥BC,'.△ANM∽△CQM, 合-洽即器-路0=4 即S国边形，0D=S西边形AP=之S四边形D: ∴.直线AP平分四边形ABCD的面积. 在Rt△PQC中，CP=√CQ+PQ=24√5. ,∠CPF=90°，∴.∠CPM=90°-∠FCP=∠CFP. 5.解：1)2n 又，∠CQP=∠CPF=90°， (2)如答图①，取AB,CD的中点N,M,连接MN,MN的 △r00 AFQP,8-s 中点为P,连接DP交AB于点Q,则直线DQ平分梯形 ABCD的面积. 即装-部Fp=8后 A(-2,0),B(6,0),C(4,4),∴.P(2,2) 设直线DQ的函数表达式为y=kx+b,将P(2,2),D(0, 29 k=一1 4)代入，得0=·解得b=4,」 探究6与2倍角及其他特殊角有关的图形的构造 小几何练方法 .直线DQ的函数表达式为y=一x十4. 1.4+2√3【解析】如答图，作AC的垂直 (3)存在.如答图②，取CD的中点M,连接AM并延长交 平分线，交AD于点E,连接CE,则 BC的延长线于点N,取BN的中点E,连接AE,则直线 AE=CE.AB=AC,D为BC的中点， AE平分四边形ABCD的面积， AD∥BC,∴.∠DAM=∠N. ADLBC,∠DAC=∠BAC-15 ∠DAM=∠N, ∴.∠DEC=2∠DAC=30°，DE 在△ADM和△NCM中，∠AMD=∠NMC, DM=CM. tan/DEC=23AE=CE=2DC=4. CD B .'.△ADM≌△NCM(AAS), ∴.AD=AE+DE=4十2V3 第1题答图 ∴.S△M=S△NCM,∴.SW边形AD=S△BN, 2.√2-1【解析】如答图，作DE⊥ E是BN的中点， AC于点E.设BD=a,则DE=a. ∴.SAAE=SABN,.S四边形AED=S△A8E. :∠B=90°，BA=BC,∴.∠A= 即AE平分四边形ABCD的面积. 45°，△DAE为等腰直角三角形，D y ∴.AE=DE=a,∴.AD=2DE=2a, DMC ∴.BC=BA=AD+BD=(/2+ B l)a,.tan∠ACD=tan∠BCD= 第2题答图 A ONO B B BD —=2-1. 图① 图② BC (2+1)a 第5题答图 3.45【解析】如答图，将网格补为3× 6.解：(1)25π【解法提示】连接OA,OB,则∠AOB=60°， 3的网格，图中tan∠3=tan∠1= 2∠3=∠1，…∠1+∠2=∠3+ 1 “ACB的长为国周长的哥 (2)存在满足要求的点P和点F ∠2.·AC+BC=AB,AC=BC 如答图，连接DC,取DC的中 ∴.△ABC为等腰直角三角形，且 点M. ∠ACB=90°，.∠3+∠2=45°， ∠DAB+∠ABC=180°， M .∠1+∠2=45°. <3 D 第3题答图 4.解：如答图，∠ADC即为所求」 ∴.DA∥BC 又.DA=BC. ∴.四边形ABCD为平行四边形， ,.过对角线AC的中点E的直线 第6题答图 始终平分四边形ABCD的面积 又·PF平分五边形ABCPD的面积 第4題答图 .PF平分△PDC的面积， 大几何练综合 PF过DC的中点M, 5.解：符合要求.证明如下：由作法得AP=AC ∴F为AB的中点， ,CD=CA,∠CAB=45°，.∴∠ACD=90 .DM=AF=600, 证法1：如答图①，以AC,CD为边，作正方形ACDF,连接 .四边形AFMD为平行四边形， PF,则AF=AC=AP. ∴.∠DMF=∠DAB=∠PFB=60°，MF=AD, ,l是CD的垂直平分线， ∴.∠PMC=∠DMF=60°. ∴.l是AF的垂直平分线，∴.PF=PA, ∠CMP=∠CPD, ∴.△AFP为等边三角形，∠FAP=60°， ∴.△CMP∽△CPD, ∴.∠PAC=30°，.∠BAP=15, 器带 ∴，裁得的△ABP型部件符合要求 证法2：如答图②，过点P作PG⊥AC于点G,则四边形 .CP2=CM·CD=720000, EPGC为矩形. ∴.CP=600√2. .PE是CD的垂直平分线，AC=DC=AP, 作CH⊥PF于点H,则 ∴EC-DE=PG-AP∠PAC-30 HM=CM·cos60°=300，CH=CM·sin60°=300√3， .∠BAC=45°，.∠BAP=45°-30°=15° ∴.PH=√PC-C=300√5， ∴.裁得的△ABP型部件符合要求. ∴.PF=PH+HM+MF=1200+300√5(m) 证法3：如答图③，过点C作CG⊥AP于点G,连接CP,则 答：存在满足要求的点P和点F,此时PF的长为(1200十 ∠GCP=90°-∠GPC,∠PCE=90°-∠ACP. 300√5)m. ,AP=AC,∴.∠GPC=∠ACP,∴.∠GCP=∠ECP 30月 .∠PGC=∠PEC,CP=CP,∴.△GPC≌△EPC(AAS). 腮路器 由GC=EC=2AC可得∠GAC=30°， ..PC= PB.CB.PB-PO.CB .∠BAP=45°-30°=15°， BO BO ∴，裁得的△ABP型部件符合要求. ∴PC= PO·CB 证法4：如答图④，过点A作AG⊥EP交EP的延长线于 BO 点G,GP交AD于点M. PO=PC-OC,OC=BO. 易证△AMG△DME,则∠MAG=∠MDE-∠CAB=45°. .PC-(PC-OC CB(PC-2/10)x12 ,l是CD的垂直平分线， OC 40 .AP=AC=CD=2ED=2AG,.∠GPA=30°， 解得PC=36√O ∴.∠GAP=60°，∴.∠BAP=60°-45°=15°， 13 ∴.裁得的△ABP型部件符合要求. :CD=√CF+DF=3√/0,360<3/o. F 13 点P在CD上， 亠存在满足要求的△BCP,CP的长为36四 13 D 图① 图② E 图① 图② G 第6题答图 M 探究7 与圆有关的最值问题 类型1点圆最值 小几何练方法 1.C2.0.3 B 图③ 图④ 3.8【解析】如答图，取AB的中点 第5题答图 P,连接PO,PN.OA=8,OB= 6.解：(1)∠PBC=2∠PCB 6,∠AOB=90°，∴.AB= (2)如答图①，△PBC即为所求倍角三角形. Vam+OE=100P=号AB= ,△PBC是倍角三角形，∠PBC=2∠PCB, OB平分∠PBC, 5.,P是AB的中点，N是BM的 ∴.∠PBO=∠OBC=∠PCB,∴.OB=OC 中点，∴.PN是△ABM的中位线. 第3题答图 ∠OPB=∠BPC, AM-6..PN-AM-3. △PO△rB8部-邵 OP-PN≤ON≤OP+ON,∴.5-3≤ON≤5+3，∴.2≤ ·BC=4,BP=2.OB-OP ON≤8，∴.线段ON的最大值为8 42 4.√13+5【解析】如答图，连接AC,作 OB=20P,0C-=20P,0P=3CR △ABC的外接圆⊙O,则AC为外接圆 的直径.AH⊥PC,∴.点H在⊙O上 Bp-OP.CP.4-Cp.CP-2. 连接OE,OH,则EH≤OH+OE,∴.当 E,O,H三点共线时，EH取得最大值 (3)存在。 作OF⊥AD于点F,,AB=6,BC=8, 如答图②，作DF⊥BC于点F. ,AD∥BC,∠A=90°，∴.四边形ABFD是矩形， ∴.AC=√AB+BC=10.:F为AD第4题答图 .'.DF=AB=3,BF=AD=3,.BC=12, 的中点，AE=2, ∴.CF=12-3=9. .OF-CD-3.AF-AD-4.+.EF-AF-AE-2. 作BC的垂直平分线交CD于点O,交BC于点E, 在Rt△OEF中，OE=√EF+OF=V/3.在Rt△AHC 则CE=EB=6. OE∥DF,∴.△COE∽△CDF, 中，0H=号AC=5,∴线段EH的最大值为OE+OH= 票-票0E-D-2 CF √/13+5. .OC=OE+CE=40,∴.OC=2√10. 5.√73-3【解析】如答图，设BC的中点为O,以点O为圆 :∠PBC=2∠C,∴∠PBC=2∠PBO, 心，BC长为直径作⊙O,连接OE.,BE⊥CD,BC=6, ∴.∠C=∠PBO. ∴点E在以点O为圆心，半径为3的⊙O上，∴.OE=OB= ,∠OPB=∠BPC,∴.△PBO∽△PCB, 3.:∠ABC=90°，AB=8,∴.AO=√JAB+BO=73. 31 :AE>AO-OE=√73-3，∴.线段AE .OM⊥AB,OP⊥BC,∠B=90°， 的最小值为√73-3. ,∴.四边形OMBP为矩形 6.3【解析】解法1：如答图，延长DC至 ..OP=MB=AB-AM=15-2V3, 点F,使CD=CF,连接FQ.记AB的中 ∴.HP=OP-OH=13-2√3(m). 点为O,以点O为圆心，AB为直径作 答：在步道℃上的行人到供享书柜的最短距离为13一2√3m 圆，连接并延长FO交⊙O于点Q',交 B BC于点G,连接DQ.:∠AQB=90°， 点Q在⊙O上运动.Q是矩形AB- 第5题答图 CD左侧一点，∴点Q在AQB上运动. H CD=CF,.C为DF的中点.E为DQ的中点，CE 为△DQF的中位线，∴.CE=2FQ.连接OQ,则FQ≤ FO十OQ,∴.当F,O,Q三点共线时FQ最长，此时FQ的 第4题答图 值为FQ'的长度.AB=2,∴.OQ=OA=OB=1.:四边 类型3定边定角 形ABCD为矩形，AB=2,BC=4,.AB=CD=2,AD= 小几何练方法 BC=4,AB∥CD,∠ABC=90°，∴.CF=CD=2.:AB∥ 1 288 25 【解析】如答图①，作△ABC的外接圆⊙O,连接 DF△0BnAF0G,e-器-0=号FG OBBC=8,smA=号，点A在优孤BC上运动.当 2OG,CG=2BG.设BG=x,则CG=2x,x十2x=4,解得 点A运动至点A',即A'O⊥BC时，△ABC的面积最大 x=青∴BG=号，CG=号在R△OBG中，由勾股定理 如答图②，作OH⊥BC于点H,则BH=4.,∠BOH= 得0G=VOB+BG=号∴FG=20G=号，∴FQ ∠BAC,∴B0=5,0H=3,AH=8,os∠BOH=号， OQ+OG+FG=6,∴.CE的最大值为7FQ'=3. SAm的最大值为号×8×8=32.：CM⊥AB, 解法2：（取AD的中点M,连接ME,以？AB长为直径作 ..cOs/MAC=AM cos∠BOH= 是.“AH L BC, 圆，使圆与AD相切于点M,利用“解法1”中的思路可知 ∠BNA=∠CMA, CE过圆心时取得最大值.) ∴.AB=AC,在△ANB和△AMC中， ∠NAB=∠MAC, AB=AC. .△ANB≌△AMC(AAS),.AN=AM.'AB=AC, AM=AN,∠MAN=∠BAC,'.△AMN∽△ABC, B3e号，.S238 32 25 第6题答图 类型2线圆最值 小几何练方法 1.相交2.0.7 1卫-3厘3.912 图① 图② 4 第1题答图 大几何练综合 4.解：如答图，连接AO,过点O作OM⊥AB于点M,OP⊥ 2.410【解析】如答图，过点B作 BC于点P交⊙O于点H,则步道BC上的行人到共享书 BD⊥AC于点D.,∠C=45°， 柜的最短距离为HP的长. ∴△BCD为等腰直角三角形， ∠B=90°，AC=2AB,∴.∠C=30°，∴.∠BAC=60° ∴.BD=CD.设BD=CD=a,延长 ⊙O分别与AB,AC相切， AC至点F,使得CF=CD,连接 BF.作△ABF的外接圆⊙O,过点 ∴A0平分∠BAC,∴∠OAM=号∠BAC=30° O作OE⊥AB于点E,连接OA, -- 第2题答图 在Rt△AMO中，OM=2,tan∠OAM= OB,OF.OE⊥AB,AB=AB, AM OA=-OB,m∠AFB-鄂-品-AE= 2AB=2. ∴.AM= OM tan∠OAM-2V3. 32 ∠AOE=∠AFB,tam∠AOE=2,.OE=4,.OA ,AB=BC,∴△ABC为等边三角形. 设AB=2m,则AE=m, AE+OE=25.∴EAC+BC=E(AC+号BC) ∴.CE=√AC-AE=√3m. :∠ADC=∠DAB=∠CEA=90°， √2(AC+CF)=√2AF≤√2(OA+OF),.∴V2AC+BC的最 ∴.四边形AECD为矩形， 大值为√2×4√5=410. ∴.DA=CE=√3m. 3.√2+1【解析】如答图，作△ABC的 在Rt△DAB中，BD=√AB+AD=√7m, 外接圆⊙O,连接OB,OC.:∠A= 45°，∴.∠B0C=2∠A=90°.过，点O ∴.cos∠ADB= AD_V21 BD 7 作OD⊥BC于点D..OB=OC. (3)存在. ∴BD=CD=2BC=1.:∠BOC= 如答图③，连接AC,过点D作DH⊥AC于点H,过点C B D 作CE⊥AB于点E, 90,BD=DC.0D=2BC=1, 第3题答图 .∠DAC=∠HAD,∠CDA=∠DHA=∠CHD=90°， ∴.OB=√OD+BD=√2.，BC=2为定值，∴.BC边上 ∠DCA=∠HCD, 的高越大，△ABC的面积越大，.当点A在DO的延长线 ∴.△CDA△DHA,△ADC∽△DHC, 上时△ABC的面积最大，此时BC边上的高为2十1， 品船鼎-儡 ∴S%m=2×2X2+1D=2+1 .DC=2AD...DH=2AH.CH=2DH. 4.√3【解析】，△ACD与△BCE均 ∴AH= Ac,DH=号AC 为等边三角形，.AC=CD,CB= CE,∠ACD=∠BCE=60°， S=AC·号AC-号AC. ∴∠ACD+∠DCE=∠BCE士 设BE=n,则AE=10一n. ∠DCE,即∠ACE=∠DCB.在 .∠B+∠CAB=90°，∠B+∠BCE=90°， △ACE和△DCB 中 ∴.∠BCE=∠BAC. AC=DC. ∠CEB=∠ACB=90°， ∠ACE=∠DCB,.△ACE≌ ∴.△CEB△ACB, 0 CE=CB. 第4题答图 △DCB(SAS),.∠EAC= 腮-器Bc=A,E ∠BDC,AE=DB.如答图，过点C作CG⊥AE于点G, 在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=AC+BC,即AB= CH⊥BD于点H.'△ACE≌△DCB,.SAE=S△B, AC+AB·BE, 即2AE·CG=BD·CH.:AE=BD,∴CG=CH, .AC+AB·(AB-AE)=AB, ∴.AC=AB·AE=10(10-n), ∴.PC平分∠APB.记CD交AP于点F,∠CDB ∴.AC=/10(10-n), ∠CAE,∠DFP=∠AFC,∴.∠DPA=∠ACD=60, ∴.∠APB=120°，∴.∠APQ=∠BPQ=60°.作△APB的 DH=号AC-号00-可 外接圆⊙O,延长PC交⊙O于点Q.,∠APB=120°是定 值，∠APQ=∠BPQ=60°，∴.QA=QB,点Q是定点， Sax=号AC·DH=210-0. ∴当PQ⊥AB时，PC的长最大，此时PA=PB,∴AC= .∠B+∠ECB=90°，∠ECB+∠ACE=90°， BC=3,∴.PC=AC·tan30°=√3. ∴.∠B=∠ACE. 大儿何练综合 ,∠CEB=∠AEC=90°， 5.解：(1)W3 △CEBn△ABC罡-畏 【解析】如答图①，作△ABC的外接圆⊙O.,AB=2,∠C= .CE2=EB·AE=n(10-n), 60°，∴.点C在以AB为弦的圆孤上运动.作OD⊥AB于 点D,延长DO交圆孤于，点C,当点C位于点C时， ∴.CE=√n(10-n), △ABC的面积最大.：CD⊥AB,∠ACB=60°，.CA= ∴5ae=2AB.CE=5VmI0-D,Sm=5ac十 C'B,AD=BD=2AB,·△ABC'为边长为2的等边三 S△，即S=2(10-n)+5√n(10-n), 角形，∴SAC=5AF=3△ABC面积的最大值 两边平方，整理得 4 292-(330-4S)n+S-40S+400=0, 为√5. △=(330-4S)2-4×29×(S2-40S+400)≥0， (2)如答图②，连接AC,过点C作CE⊥AB于点E. 整理得S-20S-625≤0， ,AB∥DC,∠BAD=90°，∴.∠ADC=90°. 即(S-10)2≤725， ,∠BCD=120°，∴.∠CBA=60° ∴.0<S≤5√29+10， 33