第1部分 6.模块六 圆（学用版）-【加速度中考】2025年陕西中考数学精准巧练

模块六圆 第1节圆的基本性质 教材问题改编练 (1)90 90°(2)120°30° (3)140° (4)22.5° 67.5 (5)△AEC△CDE (6)AD⊥BC ∠BAD=∠CAD (7)6 35 真题模拟分点练 1.B2.B3.A4.265.A6.C7.55 8.909.90 10.3/10 11.(1)证明：如答图，连接DC 则∠BDC=∠BAC=45. .BD⊥BC,∴.∠DBC=90°， ∴.∠BCD=90°-∠BDC=45°， ∴.∠BDC=∠BCD,∴.BD=BC (2)解：∠DBC=90°，.CD为 ⊙O的直径， B ∴.CD=2r=6,∴.BC=CD·sin 第11题答图 ∠BDC=3√2， ∴.EC=/BE+BC=3√6. ,BF⊥AC, ∴.∠BMC=∠EBC=90°. :∠BCM=∠ECB, ∴.△BCM△ECB, BC BM CM ·EC EB CB' ∴BM=CEB-25,CM=C=6. 5.(1)证明：，直线1与⊙O相切于点A,AB是⊙O的直径， EC ,∴.AB⊥CD,,∴.∠BAC=∠BAD=90°， 如答图，连接CF, ,∴.∠CDB+∠ABD=90 则∠F=∠BDC=45°，∴.∠MCF=45, AB是⊙O的直径，∴.∠AFB=90°， ∴.MF=MC=√6， ∴.∠BAF+∠ABD=90°， ..BF=BM+MF=2√3+6 ∴.∠BAF=∠CDB. 12.A13.B14.130°15.60° (2)解：解法1：如答图①，连接AE. 16.解：(1)∠BAC=∠ADB,∠BAC=∠CDB, ,AB=2r=12=AC,BA⊥CD, ∠ADB=∠CDB.∴AB=CB. ∴.∠C=∠CBA=45. :BD平分∠ABC,∴.∠ABD=∠CBD ,AB为⊙O的直径，∴.∠BAE=90°-∠ABE=45°， ∴.AD=CD,∴.BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°. :BE-号AB=6反 (2)AD=CD,∴.AD=CD. :∠BEF=∠BAF,∠BAF=∠CDB, .AC=AD,..AC=CD=AD, ∴.∠BEF=∠CDB,∴.△BEF∽△BDC, ∴.△ACD是等边三角形 ∴·∠ACD=∠CAD=60°， 器腮 .∠ABD=∠CBD=60°，∴.∠FBC=60°. 由勾股定理得BD=√AB+AD=15, :CF∥AD,∴∠F+∠BAD=180°， ∴∠F=90°，∴∠BCF=30° 普贾解得F-纪 5 BF=2,∴.BC=2BF=4. ∠BCD=90°，∴∠BDC=30°， 解法2：如答图②，连接AE,过点B作BH⊥EF于点H. AB=2r=12=AC,BA⊥CD. ∴.BD=2BC=8,.⊙O的半径长为4. ∴.∠C=∠CBA=459 微专题8圆的性质考查题 ,AB为⊙O的直径， 1.D2.A3.B4.B5.C6.B7.B8.C9.B ∴∠BAE=90°-∠ABE=45 第2节与圆有关的位置关系 教材问题改编练 BE=号AB=6E,∠BFE=∠BAE=45, (1)25相切TU⊥U(2)5060(3)VU=VW ∴.HF=BH 真题模拟分点练 ,'∠BEF=∠BAF,∠BAF=∠CDB, 1.D2.A3.105 ∴an∠BEF=tan∠CDB= 開器 4.(1)证明：如答图，连接CO. AB为⊙O的直径， .EH-3 BE-18/2.HF-BH-24 5 ∴∠ACB=90°，∴.∠ACO+ ∠BCO=90°. ·EF=42② 5 CD是⊙O的切线， R ∠OCD=90°， .∠OCB+∠DCB=90°，∴. 第4题答图 ∠ACO=∠DCB. .OC=OA,∴.∠A=∠AC0,∴∠BCD=∠A (2解：amA=是瓷- D 图① 图② 设BC=3x,AC=4x, 第5题答图 ..AB=AC+BC=5x. 解法3：如答图③，连接OE, :∠BCD=∠A,∠D=∠D, 过点E作EH⊥CD于点H, △ADn△CBD品-品=青 则∠EOA=2∠EBO= ∠EHA=∠OAH=90 设CD=3a,则AD=4a,∴.AB=4a-6, .四边形EHAO为矩形. 0C=0A=2AB=2a-3. 又，OE=OA, H A D ∴.四边形EHAO为正方形， 第5题答图③ ∠OCD=90°，∴.OC+CD=OD, ∴.AH=EH=OE=6. .(2a-3)2+(3a)2=(2a-3+6)2, 过点F作FG⊥EH于点G,交AB于点M,则四边形 解得a=号a=0(不符合题意，舍去)， EOMG为矩形， 7 ∴.GM=EO=6,GE=OM,FM⊥AB. .0C=2a-3=3, 由勾股定理得BD=√/AB+AD=15, ∴⊙0的半径为子 ∴AF=AB·AD_36 BD 5 17 由(I)得∠BAF=∠CDB,∴BF=AF·tan∠CDB=4S, 6.25√2-25【解析】解法1：如答B 5 ∴MF=BF·AF=144 图，连接OD.,四边形OCDE为正 25· 方形，O℃=5，.∴.∠E0D=∠C0D= AB FM FM 108 45°，∴.OA=OD=5√2，∴.Sm影e= ∴.AM tan∠FAM tan,∠BDA-25, GF-MF+GM-294 S8a0-5m=-空&nm4 25 SE衫0FE一SAD一S角影，XD=25√2- 第6题答图 EG=OM=AO-AM= 25 25-25r,·.Sm影=Sm影mE十 4 由勾股定理得EF=√EC+GF=422 Sm影EA=25√2-25. 5 解法2：同解法1，，'四边形OCDE为正方形，∴∠BOD= 6.(1)证明：，AM是⊙O的切线，∴∠BAM=90° :CD⊥AB,∴.∠CEA=90°，∴AM∥CD, ∠COD=45°，.OA=OD=OB=5√2，∴.S角mD= ∴∠CDB=∠APB. S角形D.又：S△m=S△，∴阴影部分面积与矩形AC :∠CAB=∠CDB,∴.∠CAB=∠APB. DF的面积相等，即Sm影=S雌影mF=25√2-25. (2)解：如答图，连接AD. 微专题9圆的相关证明与计算 :AB是⊙O的直径，.∠CDB+∠ADC=90. 1.(1)解：如答图①，过点O作OH⊥BC于点H. ,∠CAB+∠C=90°，∠CDB=∠CAB, .OC=OB.OH BC. ∴.∠ADC=∠C,AD=AC=8. ∴.∠COH=∠BOH,CH=BH. AB=10,∴BD=6. ,∠BOC=2∠BCE. :∠BAD+∠DAP=90°，∠PAD+∠APD=90 ∴.∠BOH=∠BCE, ∠APB=∠DAB. :∠BOH+∠OBH=90°， “∠BDA=∠BAP:△AD△PAB带-器 ∴.∠BCE+∠OBH=90°，∴.∠CEB=90°， ∴.BC=EC+EB=√6， PB=混-碧PD= 3 .CH-BH6 PM ,'cos∠OBH= BH_EB OB BC ⑥ D 2 1 B ∴0弗 .OB=3, 第6题答图 ∴.⊙0的半径为3. 7.A8.C9.6210.D11.8元 (2)证明：如答图②，过点O作OK⊥BD于点K,则BK=DK 12.解：(1)如答图，在CD取一点P, BD=2OE,∴.OE=BK 连接BP,AP,FP,FO 证法1：，'∠CEO=∠OKB=90°，OC=OB :六边形ABCDEF是正六B .Rt△OEC≌Rt△BKO(HL). 边形， ∴∠COE=∠OBK,.BD∥OC AF=AB,∠AOF=360° 6=60, 证法2：cos∠C0E=0黑 OC,cos∠OBK=B OB· C D ∴∠APF=∠AOF=30 OC=OB. 第12题答图 ∴.cos∠COE=cos∠OBK, ,AF=AB,∴.∠APB=∠APF=30, ∴.∠COE=∠OBK,.BD∥OC ∴.∠BPF=∠APB+∠APF=60. (2)正六边形ABCDEF内接于⊙O, ∴.AD是⊙O的直径，∴.∠AFD=90°. :∠AOF=60°，AO=F0, ∴·△AOF是等边三角形，·∠DAF=60°， D DF-/3AF,SA-AF.DF-5AF-25. 2 图① 图② ∴.AF=2(负值已舍)，即⊙O的半径为2， 第1题答图 ∴.⊙0的面积为π×2=4π 2.解：(1)∠BAC=∠BCD,∠B=∠B, 第3节弧长、扇形面积的相关计算 △BACABCD..品- 真题模拟分点练 :AB=4√2，D为AB的中点， 1.B2.53108455.C ∴.BD=AD=2√2， 18午 .BC=BD·BA=16,∴.BC=4(负值已舍). ∴.∠PCA+∠OCA=90°，∴.OC⊥PC, (2)如答图，过点A作AE⊥CD于点E,连接CO并延长 ∴.PC是⊙O的切线 交⊙O于点F,连接AF. (2)解：设AD=x. 在R△AED中，os∠EDA=DE=2,AD=22, 在Rt△ACB中，CD⊥AB, AD 4 ∴.∠CDA=∠BDC=∠BCA=90°， ∴DE=1,AE=√AD-DE=√7. ∴.∠CAD+∠DCA=∠CAD+∠B, △BACARCD,S-常-E .∠DCA=∠B, ∴.△ADC△CDB. 设CD=x,则AC=√2x,CE=x-1. 在Rt△ACE中，AC=CE+AE, 需品 ∴.CD=AD·BD=6x. ∴.(W2x)2=(x-1)2+(W7)2, 解得x=2,x2=-4(舍去)， :∠P=∠P,∠PCA=∠B, ∴.CD=2,AC=2√2 △PACAPCB.0-s, :∠AFC与∠ADC都是AC所对的圆周角， ∴.PC=PA·PB=4(4+6+x). ∴.∠AFC=∠ADC 在Rt△PCD中，由勾股定理得PD+CD=PC, ,CF为⊙O的直径，∴∠CAF=90 即(4十x)2+6.x=4(4+6+x), 解得x=2,x2=一12（舍去）， 4 .AD=2. CF-8,即⊙0的鲜径为 5.(1)证明：如答图，连接AC交OD于 点H. ,AB是⊙O的直径，∴.AC⊥BC ,OD平分∠AOC, .∠AOD=∠COD, ∴.AD=CD,∴.OD LAC ∴.OD∥BC 第2题答图 (2)解：如答图，，OE∥BC, 3.(1)证明：如答图，连接OD. ∴.△OEFP△BCF, 第5题答图 AC=BC,∠ACB=90°， 隈器- ∴△ACB为等腰直角三角形， 设OE=5.x,则BC=6x ∴∠CAB=45°，∴.∠COD=2 ,AO=OB,OH∥BC. ∠CAB=90° ∴.AH=CH,∴.OH是△ABC的中位线， DE∥CF,∴.∠COD+ ∠EDO=180°， 第3题答图 .OH-BC-3 ∴.∠EDO=90°，∴.DE为⊙O的切线， ,PB是⊙O的切线， (2)解：如答图，过点C作CH⊥AB于点H. ∴.∠OBP=90°，∴.∠PBO=∠AHO ,△ACB为等腰直角三角形，AC=4, :∠BOP=∠HOA,.△POBn△AOH, G=A-号Ac-22 00册+1- ..PO_OB 5x 3x CH tam∠CFD-S0=2,aFH=2. 解得4-品=0舍去 在R△CFH中，由勾股定理得CF=CP+FP, ∴.CF=√I0(负值已舍. ∴0E=号，即⊙0的半径为受 'tan∠CFD=OD= OD OD 6.(1)证明：如答图，连接OC. OFCF-Oc√1o-OD =2 :CE切⊙O于点C,∴.OC⊥CE. 0D=2,即⊙0的半径为2 ,C是BD的中点， 3 3 ∴.∠CAD=∠BAC 4.(1)证明：如答图，连接OC .OC=OA,∴.∠ACO=∠BAC, ,AB是⊙O的直径， ∴.∠CAD=∠ACO,∴.CO∥AE, ∴.∠ACB=90°， ∴.CE⊥AE. ∴.∠BCO+∠OCA=90°. O D (2)解：记OC与BD交于点H. 第6题答图 .OB=OC. ,AB是⊙O的直径， ∴∠B=∠BCO ∴∠ACB=90°，∠ADB=90°. ∠PCA=∠B, 第4题答图 BC=6,AC=8, ∴.∠PCA=∠BCO, ∴.AB=√AC+BC=10,∴.OB=5. 19 OC∥AE,BD⊥AD, ∴.S影=SAF十S△m一S扇形D ∴.OC⊥BD,.BD=2BH. 设CH=x =号X5Dx5vE+号×5x5-90x 360 .BH=BC-CH=OB-OH. .62-x2=52-(5-x)2, x=3.6,.CH=3.6, 主题情境整合练5圆的综合探究 ∴.BH=VBC-C=4.8, 1.(1)解：，AB为⊙O的直径，∴.∠ACB=90° .BD=2BH=9.6. 又，CD⊥AB, 7.(1)证明：，AC切⊙O于点A, ∴.∠DCB+∠B=∠DCB+∠ACD=90°， .AC⊥AB, ∴.∠B=∠ACD, ∴.∠EAB+∠CAF=90° mB=mACD,即品-品 AB是⊙O的直径， ∴∠E=∠BAC=90°， ∴月把解得AD=9, ∴∠EBD+∠EFB=90° ∴.AB=AD+BD=13, AC=CF,.∠CFA=∠CAF ∴.⊙0的直径为13. ∠CFA=∠EFB,∴∠EFB=∠CAF, (2)解：∵AC⊥BC,OM∥BC, ∴.∠EBD=∠EAB. ∴.OM⊥AC,∠AOQ=∠B. (2)解：：∠BAC=90°，AB=4,AC=CF=3, ∴.BC=√AB+AC=5, tn∠A0Q=mB.即8-品=受 ∴.BF=BC-CF=2. ∠EBF=∠EAB,∠BEF=∠AEB. :AB=13dA0=号设0Q=2a,则AQ-3a ∴△EBFD△EAB, 在Rt△AOQ中，AO=QO+AQ, 嚣累器 即（受）=(2a)+(3a),解得a=(负值已会， 2 ∴EF=2EB,EA=2EB ÷00=1MQ-0M-0Q=-vE. :'AB=√EA+EB=√(2EB)+EB=√5EB=4, (3)证明：，BE平分∠ABC, ∴.∠ABE=∠CBE,.AE=CE EB=45,EF=25,EA=85 5 5 5 (4)证明：①.BE平分∠ABC,∴.∠ABE=∠CBE. ∴AF=EA-EF=65 ∠CBE=∠CAE,∴.∠FAE=∠GBD. 5 又∠AEF=∠BDG=90°，△AEF∽△BDG 8.(1)证明：如答图，连接CD, ②△AEF∽△BDG,∴∠AFE=∠BGD, BC为⊙O的直径， ∴.∠CFG=∠CGF,∴.CF=CG ∴.∠BAC=∠BDC=90° (5)解：，∠CEB=40°，∴.∠CAB=40°， D为BC的中点， ,.∠ABC=90°-∠CAB=50 ÷∠BAD=∠CAD-2∠BAC-45 BE平分∠ABC.∠ABEZ∠ABC=25, ∴.∠DBC=∠CAD=45° ∴.∠ACE=∠ABE=25 BE平分∠ABC, 2.(1)证明：如答图，连接OC ∴∠ABE=∠CBE. 第8题答图 AB为⊙O的直径， :'∠DEB=∠EAB+∠ABE=45°+∠ABE,∠DBE= ∴.∠ACB=90°. OC=OB,∴.∠OCB=∠OBC ∠DBC+∠CBE=45°+∠CBE. ,∠DCA=∠ABC, ∠DEB=∠DBE,DB=DE ∴.∠DCA=∠OCB, (2)解：如答图，连接OD. ∴.∠DCA+∠ACO=∠OCB+ 第2题答图 D为BC的中点，.OD⊥BC, ∠ACO=90°， ∴△OBD和△OCD均为等腰直角三角形 ∴∠DC0=90°. ,DB=DE=5√2， OC是⊙O的半径，DC是⊙O的切线. ∴.DC=5V2,OC=OD=5. (2)证明：，BE⊥DC,.∠BCE+∠CBE=90° FC为⊙O的切线，∴.FC⊥BC, :∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°， ∴.∠BCF=90°，∴.∠F=90°-∠DBC=45°，∠DCF= ∴.∠ACD=∠CBE. 90°-∠BCD=45°， 又：∠DCA=∠ABC,∴.∠ABC=∠CBE, '△DCF为等腰直角三角形， ∴.BC平分∠DBE. (3)证明：由(2)得BC平分∠DBE. ∴.DF=DC=5V2, 20 .∠CAB=60°，∠ACB=90°， ∴.∠CFB=120°，∠ABC=30, ∴.∠CFE=60°，∠ABE=2∠ABC=60°， ∴.∠CFE=∠ABE,∴.CF∥AB. (4)证明：由(2)得∠ACD=∠CBE,∠ABC=∠CBF, ,∴.AC=CF. ,'∠CAB=60°，∠ACD=∠ABC=30°， .∠D=∠CAB-∠ACD=30°， .∠D=∠ACD, ∴.AC=AD,∴.AD=CF (5)解：如答图，由(1)得DC是⊙O的切线， .OC⊥DC. BELC0C/BE品- .0A=2·0A OD3AD ≥2 ..OA=OC=2AD...DO=3AD.DB=5AD. ∴A824解得AD=品 ·5AD3 (6)解：.∠DCA=∠ABC --AS-∠DCA=号 AC ,'∠BCA=∠E,∠CBA=∠EBC AABC△CBE80- C BE 设AC=3a,则AB=5a. 在Rt△ABC中，AB=AC+BC,BC=4a, ∴光-铝，解得a=只 4a 81 AB=5a=75 8 00的半径为票模峡六圆 第1节 圆的基本性质 教阿问题改振练 北师九下P84第2题改编如图，△ABC的顶点均在⊙O上，AD是⊙O的直径，AD与BC交于点E,连接 CD,BD,OB (1)∠ACD= ,∠ABD= (2)若∠ACB=60°，则∠AOB= ,∠BAD= (3)若∠BAC=40°，则∠BDC (4)若AC=3DC,则∠DAC ,∠ABC= (5)图中与△BED相似的三角形是 与△ABE相似的三角形是 (6)若D为BC的中点，则线段AD与线段BC的位置关系为 ,∠BAD与∠CAD的数量关 系为 (7)若OB=5,AB=8,则BD ,作OH⊥AB于点H,则cos∠AOH= 真题膜拟分点练 一命题点1垂径定理及其推论 的一个“老碗”（图①）的形状示意图.AB是⊙O 1.[2024西工大附中九模]如图， 的一部分，D是AB的中点，连接OD,与弦AB AB是⊙O的直径，CD是 交于点C,连接OA,OB.已知AB=24cm,碗深 A ⊙O的弦，AB⊥CD于点 CD=8cm,则⊙O的半径OA为 () E,连接BC.若∠B=22.5°， CD=4,则⊙O的半径的长 第1题图 为 A.2 B.2√2 C.4 D.4√2 图① 图② 2.[2024通辽（有改动）]如图，圆形拱 第3题图 门最下端AB在地面上，D为AB A.13 cm B.16 cm 的中点，C为拱门最高点，线段 C.17 cm D.26 cm CD经过拱门所在圆的圆心，若 A D B 4.[2024西安铁一中滨河校区九模]一块圆形玻璃镜 AB=1m,CD=2.5m,则拱门所 第2题图 面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB 在圆的半径为 ( 长20cm,弓形高CD为2cm,则镜面半径 A.1.25m B.1.3m 为 cm. C.1.4m D.1.45m D 3.[2023陕西，7]陕西饮食文化源远流长，“老碗面” A-- B 是陕西地方特色美食之一.图②是从正面看到 第4题图 61 命题点2圆周角定理及其推论 10.[2024牡丹江]如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于 5.[2022陕西，7]如图，△ABC内接于⊙O,∠C= 点E,CD=6,BE=1,则弦AC的长为· 46°，连接OA,则∠OAB= B 第10题图 第5题图 11.[2023陕西，24]如图，△ABC内接于⊙O,∠BAC= A.44° B.45 C.54° D.67° 45°，过点B作BC的垂线，交⊙O于点D,并与 6.[2024西安高新三中六模]如图，A,B是以CD为直 CA的延长线交于点E,作BF⊥AC,垂足为 径的⊙O上的两个点，连接AC,若∠ACB=45°， M,交⊙O于点F. BC=√2，AC=√3+1，则∠D的大小为( (1)求证：BD=BC; (2)若⊙O的半径r=3,BE=6,求线段BF 的长 第6题图 M A.65 B.70° C.75 D.80° B 7.[2024北京]如图，⊙O的直径AB平分弦CD(不 第11题图 是直径).若∠D=35°，则∠C D C 度 第7题图 8.[2024陕西，11]如图，BC是⊙O的弦，连接OB, OC,∠A是BC所对的圆周角，则∠A与∠OBC 的和的度数是 第8题图 第9题图 9.[2024连云港]如图，AB是圆的直径，∠1，∠2， ∠3，∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1， ∠4的一边分别经过点A,B,则∠1十∠2十∠3十 ∠4= 62 命题点3圆内接四边形 16.[2024西安逸翠园中学十七模]如图，⊙O的内接 12.[2024广元]如图，已知四边形ABCD是⊙O的 四边形ABCD的对角线AC,BD交于点E, 内接四边形，E为AD延长线上一点，∠AOC= BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADB. 128°，则∠CDE等于 ( (1)求∠BAD的度数； (2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点 F,若AC=AD,BF=2,求⊙O的半径长 E 第12题图 A.64° B.60 C.54° D.52 第16题图 13.[2024牡丹江]如图，四边形ABCD是⊙O的内 接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC=20° 则∠ADC的度数为 第13题图 A.100°B.110 C.120° D.130 14.[2024青海]如图，四边形ABCD是⊙O的内接 四边形，∠A=50°，则∠C的度数是 度雪 0 第14题图 15.[2024巴中]如图，四边形ABCD为⊙O的内接 四边形.若四边形ABCO为菱形，则∠ADC的 大小为 第15题图 63 微专题8圆的性质考查题 考向1圆周角定理 考向2垂径定理 1.[2024临夏州门如图，AB是⊙O的直径，∠E=35°，6.[2024长沙]如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O 则∠BOD= ( 到AB的距离OE=4,则⊙O的半径长为() A.80° B.100 C.120° D.110° A.4 B.4√2 C.5 D.5√2 D 第1题图 第2题图 第6题图 第7题图 2.[2024泰安]如图，AB是⊙O的直径，C,D是⊙O7.[2024新疆]如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O 上两点，BA平分∠CBD,若∠AOD=50°，则 的弦，AB⊥CD,垂足为E.若CD=8,OD=5,则 ∠A的度数为 BE的长为 () A.65° B.55° C.50°D.75 A.1 B.2 C.3 D.4 3.[2024云南]如图，CD是⊙O的直径，点A,B在 8.[2024凉山州门数学活动课上，同学们要测一个如 ⊙O上.若AC=BC,∠AOC=36°，则∠D=( 图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方 A.9° B.18 C.36 D.45 案是：在工件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作 D AB的垂直平分线CD交AB于点D,交AB于点 C,测出AB=40cm,CD=10cm,则圆形工件的 半径为 () B 第3题图 第4题图 4.[2024西安高新一中九模]如图，AB为⊙O的直 第8题图 径，点C,D,E在⊙O上，且AD=CD,∠E= A.50 cm B.35 cm C.25 cm D.20 cm 70°，则∠ABC的度数为 ( ) 9.[2024西安铁一中陆港校区一模]“圆材埋壁”是我 A.30° B.40° C.35 D.50° 国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今 5.[2024陕师大附中二模]如图，已知AB是⊙O的 有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一 直径，弦CD⊥AB,垂足为E,∠ACD=22.5°， 寸，锯道长一尺.问：径几何？”转化为数学语言： AB=4,则CD的长为 如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD,垂足为 E,CE=1寸，AB=10寸，直径CD的长是() B 第5题图 第9题图 A.√2 B.2 C.2√2 D.4√2 A.13寸B.26寸C.28寸D.30寸 64月 第2节与圆有关的位置关系 教阿问题改娠练 人教九上P101第3题改编一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是25cm (1)V形架上点U,W恰好与钢管相接触，则TU=TW= cm,射线VU和VW与钢 管截面的位置关系均为 ,TU与VU的位置关系为 (2)若∠UVT=30°，则TV= cm,∠UTV= (3)线段VU与VW的数量关系为 真题模拟分点练 一命题点1与切线有关的证明与计算 4[2024西安高新-中五模]如图，AB为⊙0的直 1.[2024山西]如图，已知△ABC,以AB为直径的 径，C为⊙O上一点，连接AC,BC,过点C作 ⊙O交BC于点D,与AC相切于点A,连接 ⊙O的切线交AB延长线于点D. OD.若∠AOD=80°，则∠C的度数为 ( (1)求证：∠BCD=∠A: (2)若tanA=3,BD=6,求⊙0的半径. 第1题图 A.30° B.40° C.45°D.50° 第4题图 2.[2024福建]如图，已知点A,B在⊙0上，∠AOB 72°，直线MN与⊙O相切，切点为C,且C为AB 的中点，则∠ACM等于 第2题图 A.18° B.30° C.36° D.72 3.[2024包头]如图，四边形 D ABCD是⊙O的内接四边 形，点O在四边形ABCD 内部，过点C作⊙O的切 线交AB的延长线于点 第3题图 P,连接OA,OB.若∠AOB=140°，∠BCP= 35°，则∠ADC的度数为 65 5.[2024陕西，24]如图，直线1与⊙O相切于点A,6.[2022陕西，24幻如图，AB是⊙O的直径，AM是 AB是⊙O的直径，点C,D在l上，且位于点A ⊙O的切线，AC,CD是⊙O的弦，且CD⊥AB, 两侧，连接BC,BD,分别与⊙O交于点E,F,连 垂足为E,连接BD并延长，交AM于点P. 接EF,AF. (1)求证：∠CAB=∠APB; (1)求证：∠BAF=∠CDB; (2)若⊙O的半径r=5,AC=8,求线段PD (2)解题策略开放若⊙O的半径r=6,AD 的长 9,AC=12,求EF的长， PM B A 第6题图 第5题图 加使度 66 一命题点2三角形的内心与外心 一命题点3正多边形与圆 7.数学文化[2024滨州改编]刘徽（今山东滨州 10.[2024济宁]如图，边长为2的正六边形ABC 人)是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数 DEF内接于⊙O,则它的内切圆半径为( 学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰 A.1 B.2 C.√2 D.√3 斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多 解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的 推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式.如图， Rt△ABC中，∠C=90°，AB,BC,CA的长分别为c, a,b,则可以用含c,a,b的式子表示出△ABC的内 第10题图 第11题图 切圆直径d,下列表达式正确的是 11.[2024苏州门铁艺花窗是园林设计中常见的装饰 元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六 条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个 正六边形，中心为点O,AB所在圆的圆心C恰好 是△ABO的内心，若AB=2√3，则花窗的周长 第7题图 (图中实线部分的长度) (结果保留π). A.d=a+b-c B.d=atb+c 12.[2024西安高新一中一模]如图，正六边形ABC 2 DEF内接于⊙O. C.d-atb-c 2 D.d-ajbte (I)若P是CD上的动点，连接BP,FP,求 8.[2024河南]如图，⊙O是边长为4√3的等边三角 ∠BPF的度数： 形ABC的外接圆，D是BC的中点，连接BD, (2)已知△ADF的面积为23，求⊙O的面积， CD.以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画 弧，则阴影部分的面积为 第12题图 D 第8题图 A B.4π c. D.16π 9.[2024苏州门如图，△ABC是⊙O的内接三角形， 若∠OBC=28°，则∠A 第9题图 67 第3节弧长、扇形面积的相关计算 真题模拟分点练 一命题点1弧长的相关计算 BD,剪如图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则 1.[2024包头]如图，在扇形AOB中，∠AOB=80°， 这个圆锥的底面半径为 半径OA=3,C是AB上一点，连接OC,D是OC 上一点，且OD=DC,连接BD.若BD⊥OC,则 AC的长为 第4题图 一命题点2与扇形面积有关的计算 5.传统文化[2024东营]习近平总书记强调，中 华优秀传统文化是中华民族的根和魂.东营市 第1题图 某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活 A.晋 B.5 c D.元 动，小慧同学制作了一把扇形纸扇.如图，OA= 2.[2024宿迁]如图，已知正六边形ABCDEF的边 20cm,OB=5cm,纸扇完全打开后，外侧两竹条 长为2，以点E为圆心，EF长为半径作圆，则该 (竹条宽度忽略不计)的夹角∠AOC=120°，现 圆被正六边形截得的DF的长为 需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面 的面积为 () B 第2题图 第5题图 3.传统文化[2024兰州门“轮动发石车”是我国 425 元cm B.75πcm 古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛 C.125πcm D.150πcm 应用，图①是陈列在展览馆的仿真模型.图②是 6.解题策略开放[苏科九上P93第15题改编]如 模型驱动部分的示意图，其中⊙M,⊙N的半径 图，扇形OAB的圆心角为直角，边长为5的正 分别是1cm和10cm,当⊙M顺时针转动3周 方形OCDE的顶点C,D,E分别在OA,AB,OB 时，⊙N上的点P随之旋转n°，则n 上，AF⊥ED,交ED的延长线于点F.则图中阴 影部分的面积为 M D E 图① 图② 第3题图 4.[2024烟台]如图，在边长为6的正六边形ABC DEF中，以点F为圆心，以FB的长为半径作 第6题图 68 微专题9 圆的相关证明与计算 考向1圆的基本性质综合题 2.[2024苏州门如图，在△ABC中，AB=4√2，D为 1.[2024包头]如图，AB是⊙O的直径，BC,BD是 AB的中点，∠BAC=∠BCD,cOs∠ADC=2, 4 ⊙O的两条弦，点C与点D在AB的两侧，E是 OB上一点(OE>BE),连接OC,CE,且∠BOC= ⊙O是△ACD的外接圆. 2∠BCE. (1)求BC的长； (2)求⊙O的半径. (1)如图①，若BE=1,CE=√5，求⊙O的半径； (2)解题策略开放如图②，若BD=2OE,求 证：BD∥OC(请用两种证法解答). 第2题图 图① 图② 第1题图 速度碧 69 考向2与切线有关的证明和计算 4.[2024雅安节选]如图，AB是⊙O的直径，C是 3.[2024广元]如图，在△ABC中，AC=BC, ⊙O上的一点，P是BA延长线上的一点，连接 ∠ACB=90°，⊙O经过A,C两点，交AB于点 AC,∠PCA=∠B. D,CO的延长线交AB于点F,DE∥CF交BC (1)求证：PC是⊙O的切线； 于点E (2)若CD⊥AB于点D,PA=4,BD=6,求AD (1)求证：DE为⊙O的切线； 的长 (2)若AC=4,tan∠CFD=2,求⊙O的半径， 第4题图 第3题图 速度碧 70—