第1部分 4.模块四 三角形（学用版）-【加速度中考】2025年陕西中考数学精准巧练

模峡四 三角形 第1节线段、角、相交线与平行线 教阿向题改振练 1.人教七上P137例3改编如图，O是直线AB上一点，OD平分∠AOC,OE平 分∠BOC. (1)∠AOD= ∠AOC,∠BOC=∠BOE; (2)∠DOC+∠EOC=,与∠DOC互余的角为 ,与 第1题图 ∠AOD互补的角为 (3)若F是射线OD上一点，点F到射线OC的距离为d1,到射线OA的距离为d2,则d1,d2之间的数 量关系为 (4)若点M是射线OC上一定点，点N是直线AB上一动点，则当 时，线段MN最短. 2.北师七下P44图片素材改编如图，已知直线1分别与直线AB,CD相交. (1)图中是同位角关系的角有 (2)图中是内错角关系的角有 86 (3)图中是同旁内角关系的角有 第2题图 (4)若CD∥AB,请写出图中与∠2相等的角： 真题模拟分点练 一命题点1角及角平分线 4.[2022陕西，2]如图，AB∥CD,BC∥EF.若∠1 1.[2024兰州门若∠A=80°，则∠A的补角是 58°，则∠2的大小为 () A.100° B.80 C.409 D.109 2.[2024北京]如图，直线AB和 CD相交于点O,OE⊥OC.若A ∠AOC=58°，则∠EOB的大 第4题图 D 小为 ( 第2题图 A.120° B.122° C.132°D.148 A.29 B.32 5.[2023陕西，3]如图，l∥AB,∠A=2∠B.若∠1= C.45° D.58 108°，则∠2的度数为 () 一命题点2相交线与平行线 3.[2024陕西，3]如图， B AB∥DC,BC∥DE, ∠B=145°，则∠D 的度数为 () 第3题图 第5题图 A.25° B.35 C.45° D.55° A.36° B.46 C.729 D.82° 38 第2节三角形及其性质 教前问题改辐练 人教八上P8第4题改编如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，AD是角 平分线，AF是BC边上的高： (1)若∠BAC:∠B:∠C=3:1:2,则△ABC是 三角形，∠BAD=; (2)若∠B=30°，∠C=50°，则△ABC是 三角形； (3)若2∠B=2∠C=∠BAC,则△ABC是 三角形； (4)若AB=5,AC=4,则BC边的长度可以是 (写出一个满足条件的值)，∠B ∠C(填“>” 或“<”)； (5)BE= BC,SMABC= S△ABE; (6)若AB=AC,则AE与BC边的位置关系是 (7)在(1)的条件下，∠B °；若AC=2,则BC :AB= .AF= SAABE- △ACE是 三角形 真题模拟分点练 命题点三角形的边、角关系 4.[2024陕西，5]如图，在△ABC中，∠BAC=90°， 1.[2024西安高新一中月考]如果三角形的两条边长分 AD是BC边上的高，E是BC的中点，连接 别为2和7，那么这个三角形的周长可以是( AE,则图中的直角三角形共有 () A.14 B.18 C.15 D.20 2.[2024西交大附中月考]如图，为了使 扇旧木门不变形，木工师傅在木门的 背面加钉了一根木条，这样做的道理 第4题图 是 A.2个●B.3个 C.4个 D.5个 第2题图 A.两点之间，线段最短 5.[2024西安铁-中四模]如图，在△ABC中，AC= B.垂线段最短 8,∠ABC=60°，∠C=45°，AD⊥BC,垂足为 C.三角形具有稳定性 D,∠ABC的平分线交AD于点E,则AE的长 D.两直线平行，内错角相等 为 () 一命题点2三角形中的重要线段 3.[2024西安曲江一中月考]如 图，AD,CE都是△ABC的 D 中线，连接ED,△ABC的 第5题图 面积是10cm,则△BDEB% D 的面积是 第3题图 A.4② 3 B.2√2 A.1.25cm B.2 cm2 C.2.5 cm2 D.5 cm2 C.8② 3 D.3√2 39 第3节全等三角形 教M间题改辐练 冀教八上P48例3改编如图，在△ABC中，D为BC边的中点，F,E分别是AB,AC边的动点，连接DF, ED,AD. (1)结论开放若△ADF≌△DAE,则AF= (写出一个符合题意的答案)， =∠DAE; (2)若DE∥AB,添加下列其中条件中的一个，使△BDF2△DCE,则满足条件的有 (填序号)； ①DF∥AC;②DF=CE;③AF=BF;④AF=DE. (3)若AB=2AC=12,点F从点A沿AB边以2个单位长度/秒的速度向点B运 动，同时点E从点C沿CA边以1个单位长度/秒的速度向点A运动，则经过 秒后，△BDF≌△DCE. 真题模批分点乐 一命题点1全等三角形的识别及判定条件 4.[2024西安铁一中滨河校区月考]如图，已知∠1= C 1.[2024西安铁一中期中]工人师傅常用角尺平分 ∠2，AC=AD,增加下列条 一个任意角（如图），作法：在∠AOB的边OA, 件之一：①AB=AE;②BC= OB上分别取OM=ON,移动角尺，使角尺的两 ED:③∠C=∠D;④∠B= 边相同的刻度分别与M,N重合，得到∠AOB ∠E.其中能使△ABC≌ △AED的条件有() 第4题图 的平分线OP.上述作法中用到三角形全等的判 定方法是 ( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 A.SSS B.SAS C.ASA D.HL 一命题点2全等三角形的判定与性质 5.[2024延安宝塔区期末]如图，在△PAB中，∠A= ∠B,M,N,K分别是PA,PB,AB上的点，且 AM=BK,BN=AK,若∠MKN=44°，则∠P B 的度数为 () 第1题图 第2题图 A.44 B.66° C.88° D.92 2.[2024安康汉滨区期未]如图，已知AB=CD,BC= DA,E,F是AC上的两点，且AE=CF,DE= BF,那么图中全等三角形有 ( ) A.4对 B.3对 C.2对 D.1对 3.[2024西安长安区期末]如图是 第5题图 第6题图 一个4×4的正方形网格.根 6.[2024西工大附中期末]如图，在△ABC中， 据图中标示的各点位置，在下 G ∠BAC=45°，AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点 列三角形中，与△ABC全等的 E,AD和CE交于点F,若AB=7,BE=3,则 第3题图 是 ( ) DF的长为 () A.△ABDB.△ABEC.△ABFD.△ABG A.1 B.12 C.0.8 D.0.6 40 7.解题策略开放[2024陕西，13] 10.[2024西交大附中四模]如图，在△ABC中，D是 如图，在△ABC中，AB=AC, BC边上一点，过点A作AE∥BC,且AE= E是边AB上一点，连接CE,A2 CD,连接DE交AC于点F.求证：AF=CF. 在BC的右侧作BF∥AC,且 第7题图 BF=AE,连接CF.若AC=13,BC=10,则四边 形EBFC的面积为 D 8.[2023陕西，18]如图，在△ABC中，∠B=50°， 第10题图 ∠C=20°.过点A作AE⊥BC,垂足为E,延长 EA至点D,使AD=AC.在边AC上截取AF= AB,连接DF.求证：DF=CB. D B E 11.[2024西安铁一中期末]在△ABC中，∠ACB= 第8题图 90°，AC=BC=BE,AD⊥EC交EC延长线于 点D.求证：CE=2AD. C D 第11题图 速度碧 9.[2022陕西，18]如图，在△ABC中，点D在边BC 上，CD=AB,DE∥AB,∠DCE=∠A.求证： DE=BC. B D 第9题图 41 12.[2024西安高新一中模拟]如图，已知在△ABC14.[2024西安高新二中二模]如图，点E,F在BC 与△ADE中，AB=AC,∠BAC=∠DAE, 上，AF与DE交于点G,AB=DC,GE=GF, BD⊥AB,EC⊥AC,求证：AD=AE. ∠B=∠C.求证：AG=DG. B E D 第14题图 第12题图 13.[2024渭南富平县期未]如图，△ABC和△DEF:15.[2024渭南临渭区期末]为了测量一幢6层高楼 按如图位置放置，点B,F,C,E在一条直线上， 的层高，在旗杆CD与楼之间选定一点P.测得 BF=EC,AB=DE,DF=AC.求证：∠B=∠E 旗杆顶C的视线PC与地面的夹角∠DPC= B F C E 21°，测得楼顶A的视线PA与地面的夹角 ∠APB=69°，量得点P到楼底的距离PB与 旗杆CD的高度都等于12m,量得旗杆与楼之 0 间距离为DB=30m,求每层楼的高度. 第13题图 888888 P B 第15题图 42 第4节相似三角形及其应用（含位似） 教材问题改组练 人教九下P42第4题改编如图，在△ABC中，DE∥BC,EF∥AB,AB=AC,AE=3,CE=2. (1)AB= ,EF= (2)写出图中与△ADE相似的三角形： (3)设△ADE的面积为S1,△ABC的面积为S,则2= (4)若BC=6,则SAcF= ,S四边形DBFE 真题模孤分点练 一命题点1平行线分线段成比例 5.[2023陕西，6]如图，DE是△ABC的中位线，点 1.[2024榆林榆阳区月考]如图，已知AD∥BE∥CF F在DB上，DF=2BF.连接EF并延长，与CB 若AB=2BC,DF=12,则EF的长为 的延长线相交于点M.若BC=6,则线段CM的 A.2 B.4 C.6 D.8 长为 () AD A号 B.7 c号 D.8 B 第1题图 第2题图 2.[2024西安铁一中滨河校区开学考]如图，AB∥EF∥ M B CD,AB=6,CD=4,则EF= 第5题图 第5-1题图 A.2 B.2.4 C.2.5 D.3 5-1.变图形一改变线段位置如图，DE是△ABC 一命题点2相似三角形的判定与性质（含 的中位线，连接BE,∠A=62°.若DE=BD,则 位似) ∠C= () 3.[2024西安长安区期末]如图，在△ABC中，点D A.56 B.58 C.60° D.62 在边AB上，BD=2AD,DE∥BC交AC于点 6.[2024西安铁一中三模]如图，在边长为1的小正方 E,若线段DE=5,则线段BC的长为() 形组成的网格中，点A,B,C,D在小正方形的顶点 A.7.5 B.10 C.15 D.20 处，AC与BD相交于点O,则AO的长等于() E B 第3题图 第4题图 第6题图 4.[2024渭南潼关县一模]如图，在△ABC中， ∠ABC=90°，AC=4,延长CB到点E,使得BC= A.V②9 BV②6 3 2BE,若点D是AB的中点，则DE的长为( C.3 C.v29 A.2 B.1 D.4 2 DV②6 2 43 7.[2024西安铁一中滨河校区二模]如图，D,E分别是 4m到F处，此时M,D,F三点在一直线上. △ABC的边AB,AC上的点，且AD=AB,AE 测量数据两次测量标杆之间的距离AC为 50m,两个标杆的高度均为1.5m,且N,A,E, 号ACCD与BE交于点O则的值为( C,F在同一直线上.请你根据以上测量数据， 帮助兴趣小组求出古塔MN的高度， A.16 B.9 D.3 E A 第7题图 第8题图 第12题图 8.[2024西安临潼区一模]如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，点D在BC上，∠CDA=∠CAB.若 BC=4,iamB=是，则AD的长度为 A号 R号 C. D.4 9.[2024西安爱知中学月考]如图， 在平面直角坐标系中，矩形 OABC的顶点O在坐标原点， 13.解题策略开放[2022陕西，21]小明和小华利 边OA在x轴上，OC在y轴 用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的 上，A,C的坐标分别为(4,0)，O A 高.如图，在某一时刻，他们在阳光下分别测得 (0,6).如果矩形OA'BC与 第9题图 该建筑物OB的影长OC为16m,OA的影长 矩形OABC关于点O位似，且矩形OA'B'C的 OD为20m,小明的影长FG为2.4m,其中 面积是矩形OABC面积的4倍，则点B的对应 O,C,D,F,G五点在同一直线上，A,B,O三点 点B的坐标是 在同一直线上，且AO⊥OD,EF⊥FG.已知小 一命题点3相似多边形的性质 明的身高EF为L.8m,求旗杆AB的高. 10.[2024榆林新区三模]如图，将矩A 形ABCD沿EF对折后，矩形 B ABCD与矩形AEFB相似，若 F AD=2,则AB的长为 第10题图 11.[2024西安西咸新区期末]已知两个相似八边形 而 D C 的相似比为3：5，若较小八边形的面积为18， 第13题图 则较大八边形的面积为 一命题点4相似三角形的实际应用 12.[2024西工大附中三模]某数学兴趣小组在综合 实践活动中测量古塔的高度 测量方案在地面上选一点A,垂直地面竖立 标杆AB,后退2m到E处，此时M,B,E在一直 线上；另选一点C,垂直地面竖立标杆CD,后退 44 14.[2024西安高新一中二模]视力表对我们来说并15.[2024西安铁一中滨河校区六模]小明为了测量 不陌生，它蕴含着一定的数学知识.下面我们 出一深坑的深度，采取如下方案：如图，在深坑 以标准对数视力表为例，来探索视力表中的 左侧用观测仪AB从观测出发点A观测深坑 奥秘 底部P,且观测视线刚好经过深坑边缘点E, 用硬纸板复制视力表中所对应的“E”,并依次 在深坑右侧用观测仪CD从观测出发点C观 编号为①，②，放在水平桌面上.如图所示，将 测深坑底部P,且观测视线恰好经过深坑边缘 ②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点 点F,点B,E,F,D在同一水平线上.已知AB1 O看去，对应顶点P,P2,O在一条直线上为 EF,CD⊥EF,观测仪AB高2m,观测仪CD 止.这时我们说，在D1处用①号“E”测得的视 高1m,BE=1.6m,FD=0.8m,深坑宽度 力与在D2处用②号“E”测得的视力相同. EF=8.8m,请根据以上数据计算深坑的 1求证名- 深度。 (2)若b1=3.2cm,b2=2cm,①号“E”的测量 距离l1=80cm,要使测得的视力相同，求②号 “E”的测量距离l2. D 第15题图 桌面 D 第14题图 加由度考 45 第5节锐角三角函数及其应用 款加问题改振练 1.人教九下P69第6题改编如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=√2，AC=√6，CD是斜边AB上 的高 第1题图 (1)AB= tan B= ∠B= °，∠A= (2)sin A= cos A= sin2A+cos2A= (3)CD= 2.冀教九上P120第1题改编已知BE为水平面，AB为一建筑物，CD与水平面平行，D,A,B三点在同 一铅垂线上. (1)如图①，∠DCA=30°，∠ACB=15°.一架无人机在C处观察建筑物，则此时观察建筑物顶端A的 俯角为 ,从B处观察这架无人机的仰角为 (2)如图②，∠ACB=75°.若从C处观察A的仰角为45°，则从B处观察C的仰角为 .若BD= 10√3m,则此建筑物的高度为 E水平面 B E水平面， 图① 图② 第2题图 真题模拟分点练 一命题点1直角三角形的边角关系 90°，若BC=3,AC=4,则sinB的值为() 1.[2024咸阳秦都区一模]在Rt△ABC中，各边都扩 A号 B c D.号 大为原来的5倍，则锐角A的正切函数值( 3.[2022陕西，5]如图，AD是△ABC的高，若BD= A.不变 2CD=6,tanC=2,则边AB的 B.扩大为原来的5倍 长为 ( C.缩小为原来的 A.3√2 B.3√5 B D D.不能确定 2.[2024西工大附中月考]在Rt△ABC中，∠C C.37 D.6√2 第3题图 46 于命题点2锐角三角函数的实际应用 数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89， 4.[2024陕西，21]如图所示，一座小山顶的水平观 tan26.6°≈0.50). 9 景台的海拔高度为1600m,小明想利用这个观 景台测量对面山顶C点处的海拔高度.他在该 观景台上选定了一点A,在点A处测得C点的 t 仰角∠CAE=42°，再在AE上选一点B,在点B F 处测得C点的仰角a=45°，AB=10m.求山顶C 第5题图 点处的海拔高度（小明身高忽略不计.参考数据： sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90). 第4题图 6.[2024西交大附中六模]如图，为了测量河的南岸 东西方向B,C两点间的距离，某兴趣小组在河 的北岸点C的正北方向观测点A处，测得B在 A的南偏西37°方向上，测量小组沿AB方向行 走96m至观测点D,测得点C在观测点D的南 偏东53°方向上，求河的南岸B,C两点间的距离 (参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80， tan37°≈0.75). 北 东 5.[2023陕西，21]一天晚上，小明和爸爸带着测角 仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可 B 到达)的高AB.如图，当小明爸爸站在点D处 第6题图 时，他在该景观灯照射下的影子长为DF,测得 DF=2.4m;当小明站在爸爸影子的顶端F处 时，测得点A的仰角α为26.6°.已知爸爸的身 高CD=1.8m,小明眼睛到地面的距离EF= 1.6m,点F,D,B在同一条直线上，EF⊥FB, CD⊥FB,AB⊥FB.求该景观灯的高AB(参考 474.BC=BE CE=5.SARr=7CF.BE- 模块四三角形 2BC.DF,号×1X3=号×5Dr,DF=0.6.故 选D. 第1节线段、角、相交线与平行线 7.60【解析】解法1：如答图①，作AD⊥BC于点D,CG⊥ 教材问题改编练 AB于点G,CH⊥BF于点H.,'AB=AC,.△ABC为等 1.2 2(2)90°∠BOE或∠EOC∠DOB 腰三角形，∴.CD=BD=5.在Rt△ACD中，由勾股定理得 AD=12.,AC∥BF,∴.∠ACB=∠CBF.,AC=AB, (3)d,=d2(4)MN⊥AB ∴.∠ACB=∠ABC,.∠ABC=∠CBF,即BC平分 2.(1)∠1与∠2，∠3与∠4，∠5与∠6，∠7与∠8 ∠ABF,.CG=CH.又，AE=BF,.S△Ar=S△aw, (2)∠7与∠2，∠5与∠4 (3)∠5与∠2，∠7与∠4 ∴Sa9=Sar+SaE=Sa度=X10X12=60, (4)∠1，∠7，∠8 解法2：如答图②，作AG⊥BC于点G,FH⊥BC于点H, 真题模拟分点练 EK⊥AG于点K,EM⊥BC于点M,则四边形EKGM为 1.A2.B3.B4.B5.A 矩形，CG=BG=5,EK∥GM由勾股定理得AG=12. 第2节三角形及其性质 .'AC∥BF,∴∠ACB=∠CBF..'AC=AB,∴.∠ACB= 教材问题改编练 ∠ABC,.∠ABC=∠CBF.'EK∥GM,∴.∠AEK= (1)直角 45(2)钝角 (3)等腰直角(4)6（答案不唯 ∠ABC,.∠AEK=∠FBH.又：∠AKE=∠FHB, 62 AE=FB,∴.△AEK≌△FBH(AAS),.AK=FH, 一)< 2(6)AE⊥BC(7)3042√33 ∴.SatB=BC.(FH+KG)=号BC·AG=Sax=60, √5等边 真题模拟分点练 1.C2.C3.C4.C 5.C【解析】，AD⊥BC,∴.∠ADC=∠ADB=90°.在 Rt△ADC中，AC=8,∠C=45°，∴.∠C=∠DAC=45°， ∴.AD=DC=AC·sin45°=4W2.在Rt△ADB中，AD= EG 图① 图② 4√2，∠ABD=60°，∴∠BAD=30°，.BD=AD·tan30°= 第7题答图 4y5.:BE平分∠ABC,∠ABE=∠EBD=30.在 8.证明：在△ABC中，∠B=50°，∠C=20°， 3 .∠CAB=180°-∠B-∠C=110°. RAEBD中，BD=45,∠EBD=30,DE=BD .AEI BC.∴./AEC=90°， ∴.∠DAF=∠AEC+∠C=110°， tan 30-BD-42..AE-AD-DE-8 .故选C, ∴.∠DAF=∠CAB. 3 3 AD-AC. 第3节全等三角形 在△DAF和△CAB中，∠DAF=∠CAB. 教材问题改编练 AF-AB. (1)DE(答案不唯一)∠ADF(2)①③④(3)3 ∴.△DAF≌△CAB(SAS),.DF=CB. 真题模拟分点练 9.证明：，DE∥AB,∠EDC=∠B. 1.A2.B3.C4.C I∠EDC=∠B, AM=BK. 在△CDE和△ABC中，CD=AB, 5.D【解析】在△AMK和△BKN中， ∠A=∠B, ∠DCE=∠A, AK-BN. ∴.△CDE≌△ABC(ASA),∴.DE=BC .△AMK≌△BKN(SAS),.∠AMK=∠BKN. 10.证明：，AE∥BC,.∠E=∠CDF. '∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK, (∠AFE=∠CFD, ∴∠A=∠MKN=44°，∴∠P=180°-∠A-∠B=92°. 在△AEF和△CDF中，{∠E=∠CDF, 故选D. AE=CD. 6.D【解析】如答图，连接BF. ∴.△AEF≌△CDF(AAS),∴AF=CF. ,∠BAC=45°，CE⊥AB,∴.△ACE 11.证明：如答图，过点B作BH⊥CE于点H. 是等腰直角三角形，AE=CE BC=BE.BH CE..'.EH=CH. .AB=7,BE=3,..AE=CE=4 ,∠ACB=∠D=∠BHC=90°， ,AD⊥BC,CE⊥AB,.∠ADB= ∴.∠ACD+∠BCH=∠ACD+∠CAD=90°， ∠BEC=∠AEC=90°，∴.∠ABD+ ∴.∠BCH=∠CAD. ∠BAD=∠ABD+∠BCE=9O°， B D I∠BHC=∠D, ∴.∠BAD=∠BCE,∴.△AEF≌ 第6题答图 在△CBH和△ACD中，∠BCH=∠CAD, ACEB(ASA)..'.EF=EB=3...CF=1..'BE=3.CE= CB=AC. ,.△CBH≌△ACD(AAS), 10 ..CH=AD,.'.EH=CH=AD, √AG+BG=√5，CD=D+Cf=25.:∠AGB= ∴.CE=2AD. ∠CHD=90°，∴.△AGB∽△CHD,.∠BAG=∠DCH. ,AE∥CF,.∠GAC=∠HCA,.∠BAO=∠DCO. B ∠A0B=∠0D.△M0B∽△cOD,∴8-部- E 分 D 3∴A0=0CA0=号ACAC=AE+CE 2 第11题答图 √/29，A0=2四.故选A 12.证明：，∠BAC=∠DAE, 3 .∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, 即∠BAD=∠CAE. BD⊥AB,EC⊥AC, ∴.∠ABD=∠ACE=90° (∠ABD=∠ACE, H 在△ABD与△ACE中，{AB=AC, ∠BAD=∠CAE, ∴.△ABD≌△ACE(ASA),∴.AD=AE. D 13.证明：，BF=EC, 第6题答图 ∴.BF+CF=EC+CF, .BC=EF. D【解折AD=专ABAE-号AC器-A能-子 AB AC3 (BC=EF. 又：∠DAE=∠BAC.△ADEn△ABC,0=合 在△ACB和△DFE中，AB=DE ∠ADE=∠ABC,∴.DE∥BC,∴.△DOE∽△COB, AC=DF. ∴.△ACB≌△DFE(SSS),∴.∠B=∠E. 器-器…=分故选D CB-OB-3SawE 14.证明：，GE=GF, ∴△GEF为等腰三角形， ∴∠GFE=∠GEF 8C【解打C=4,mB=部=是∴AC=-3.AB= '∠AFB=∠DEC, √AC+BC=5.:∠CDA=∠CAB,∠C=∠C, 在△ABF和△DCE中， /B=/C. △ACDn△BCA,小C=鼎=是.∴AD=只故 AB=DC. 选C .△ABF≌△DCE(AAS)...AF=DE .GF=GE, 9.(8,12)或(-8，-12)10.211.50 ∴.AF-GF=DE-GE,即AG=DG 12.解：由题可知，AB⊥FN,MN⊥FN,CD⊥FN, 15.解：由题意得CD⊥DB,AB⊥DB .∴∠N=∠BAE-=∠DCF=90° .∠CDP=∠ABP=90 :∠BEA=∠MEN, :∠APB=69°， ∴△BEAAMEN.-0, ∴.∠PAB=90°-∠APB=21° 2 ∠CPD=21°， 票=0 ∴∠PAB=∠CPD=21 同理可得△FDC△FMN DB=30,PB=12. .'.DP=BD-BP=18. “张-系漂=+4N回 4 ∠PAB=∠CPD, 联立①②，解得AN=50,MN=39, 在△BAP和△DPC中，∠PBA=∠CDP, 答：古塔MN的高度为39m. PB=CD. 13.解：解法1：AD∥EG,∴∠ADO=∠EGF. ∴.△BAP≌△DPC(AAS),∴.AB=PD=18, ,∠AOD=∠EFG=90°，∴.△AOD∽△EFG, 每层楼的离度为智=30m》 器器即8器A015 答：每层楼的高度为3m :AD∥BC,∴△BOC∽△AOD, 第4节相似三角形及其应用（含位似） 教材问题改编练 8-8器即080=12 522△ABC,△EFC(3号4号 144 .'.AB=AO-BO=3(m). 25 答：旗杆AB的高为3m 真题模拟分点练 解法2：如答图，过点C作CM⊥OD于点C,交AD于 1.B2.B3.C4.A5.C5-1.D 点M. 6.A【解析】如答图，连接AB,CD.由网格图可知AG=2, 易证△EGF∽△MDC, BG=1,HD=2,CH=4,8品=器=2，AB= 8膘-兴即296CM-8 .'AM∥BC,MC∥AB, .四边形MCBA为平行四边形， ∴号a-a≥10，解得a≥90， ∴.AB=CM=3(m). .1600+a≈1690(m). 答：旗杆AB的高为3m. 答：山顶C点处的海拔高度约1690m. 5.解：如答图，过点E作EH⊥AB,垂足为H 由题意得EH=FB,EF=BH=1.6. 设EH=FB=x. 在Rt△AEH中，∠AEH=26.6, ∴.AH=EH·tan26.6°≈0.5.x, ∴.AB=AH+BH=0.5.x+1.6. 四 ,CD⊥FB,AB⊥FB, ∴.∠CDF=∠ABF=90° GF D C 又∠CFD=∠AFB,∴△CDF△ABF, 第13题答图 CD-DF.1.8=24 14.(1)证明：，PD∥P2D2,∴.△PDO△P2D2O, AB-BFAB AB=3 3 x…4x=0.5x+1.6, (2)解：么=且6=3.2，=2,4=80， 解得r=6.4AB=子x=48m 器-是6=0tam 答：该景观灯的高AB约4.8m 答：②号“E”的测量距离l2是50cm. 15解：如答图，过点P作 PH⊥EF于点H. C AB⊥EF,PH⊥EF, CD⊥EF, .AB∥HP∥CD, D B ∴.△ABE∽△PHE, 第5题答图 △CDF∽△PHF, D 6.解：如答图，过点D作 DH⊥AC于点H 謂-器鼎 第15题答图 在Rt△ADH中，AD= ∴PH=AB.EH_CD.HE 96,∠A=37°， EB DE ,∴.AH=AD·cos37°≈ 设EH=x,则HF=8.8-x. 76.8. AB=2,BE=1.6,CD=1,DF=0.8,EF=8.8, DH=AD·sin37≈ -侵8 57.6. 0.8 在Rt△CDH中，B ∴x=4.4, ∠CDH=90°-53°=37， 第6题答图 PH==是8=5.5m ∴.CH=DH·an37≈43.2， ..AC=AH+CH=120. 答：深坑的深度为5.5m ,AC⊥BC,DH⊥AC 第5节锐角三角函数及其应用 ..DH∥BC 教材问题改编练 ,'.△ADH∽△ABC. 1.(1)2√2√5 60302号号 1(3) -是- 120 ∴.BC=90(m). 2.(1)30°45°(2)30°10√3+30 答：河的南岸B,C两点间的距离约90m 真题模拟分点练 微专题6几何测量题 1.A2.A3.D 4.解：如答图，过点C作CH⊥AE交AE的延长线于点H. 1.解：，∠CPD=20°，∠APB=70°，∠CDP=∠ABP=90°， 设CH=a. ∴.∠DCP=∠BPA=70°. 在Rt△CBH中，BH= I∠CDP=∠PBA, 在△CPD和△PAB中，CD=PB, CH tan∠CBi=a, ∠DCP=∠BPA, 在Rt△CAH中，AH ∴.△CPD≌△PAB(ASA), CH 10 ∴.DP=AB. tan/CAH≈ga. 第4题答图 .BD=11.2,BP=3, .AH-BH=AB, ∴.PD=BD-BP=8.2,即AB=8.2(m). 答：路灯AB的高度是8.2m. 12 2.解：(1)，∠DCB=100°，∠BEC=15°， ∴.DH=50,∴.BF=DH=50. ∴.∠ABE=∠DCB+∠BEC=115°. 在Rt△EFB中，∠BEF=45°， (2)由题意得∠ADC=∠EBC=180°-∠ABE=65° ∴△EFB是等腰直角三角形， I∠ACD=∠ECB, ∴.EF=BF=50. 在△DCA和△BCE中，CD=CB, ,在Rt△EFC中，tan∠CEF=tan60°=3， N∠ADC=∠EBC, .∴.CF=√/3EF=50w3. ∴△DCA≌△BCE(ASA),∴.CA=CE=32, ∴.BC=BF+CF=50+50√3(m). .∴.AB=AC-BC=27(m). 答：这两个电线塔之间的距离是27m 答：建筑物BC的高度为50+50√3m. 3.解：如答图，作A'F⊥BD于 点F ,AC⊥BD, ∴.∠ACB=∠BFA'=90° A'B⊥AB,∴∠1+∠2=90°，地面 H ∴.∠2=∠3. D 第3题答图 第7题答图 在△ACB和△BFA'中， '∠ACB=∠BFA', 8.解：如答图，过点D作DE⊥AB于点E,过点C作CF⊥ DE于点F,则四边形BCFE是矩形. ∠2=∠3， AB=BA', 由题意得AB=80,ED=40,∠EDA=60°，∠CDF=45°. 在Rt△AED中，∠AED=90°， ,∴.△ACB≌△BFA'(AAS),∴.BC=AF ,AC=AE=1.5,且CD⊥AC,AE⊥DE,CD⊥DE, tm∠EDA-能=m60=5, .四边形ABDE为正方形，.CD=1.5 ∴.BC=BD-CD=1,∴.A'F=1(m). ∴.AE=√3DE=403, 答：A到BD的距离是1m. ∴.EB=AB-AE=80-40√5. 4.解：设AB=x,BF=y ,四边形BCFE是矩形 ,DC⊥EB,AB⊥EB, ∴.CF=EB=80-40√3 .CD∥AB,∴.△ECD△EBA, 在Rt△DFC中，∠DFC=90°，∠CDF=∠FCD=45°， 器能 4 4+2+y① .DF=CF=80-40√5， ∴.BC=EF=DE-DF≈28（米）. :∠DCF=∠ABF=90°，∠DFC=∠AFB, 答：楼BC的高度约28米 △DcF△ABF,S 30 45 7=2,@ x y 联立①②，解得 /x=5.1 y=6. 答：路灯的高度AB为5.1m 4 5.解：由题意得∠BAF=∠CFE=90°，∠CEF=∠BFA, 第8题答图 CFEF :△CEFn△BFA,BA-A 9.解：如答图，延长BC交AD于点E,则四边形BMNC和 四边形BMDE均为矩形. 即=界FA=1.5BA .BC=MN=24,DE=CN=BM=1.6. '∠CFD=∠BAD=90°，∠CDF=∠BDA, ,∠AEC=90°，∠ACE=45°， △CDFABDA.需 ∴.△ACE是等腰直角三角形， ∴.CE=AE. 1 1.58 设AE=CE=x,∴.BE=24十x. 即六-1.58+1.5BA 解得AB≈20(m). :∠ABE=2∴m2=能=20.40， 答：“二将军柏”AB的高度约20m 解得x≈16.0，.AD=AE+ED=17.6(m). 6.解：在Rt△ADC中，∠CAD=30°，AC=80, 答：建筑物的高度AD约17.6m. 则CD=2AC=40, .QB∥CD,∴.∠BCD=∠QBC=37° 在Rt△BDC中，BD=CD·tan∠BCD≈30（海里） 答：还需航行的距离BD的长约30海里. 7.解：如答图，过点D作DH⊥AB于点H,延长DE交BC B-122 于点F,则四边形DHBF是矩形，∴.BF=DH. 在R△MDH中，AD=130,8器- 第9题答图 10.解：(1)由题意得∠PBQ=60°，∠PQB=90°， 13 ∴0-8品=35m. DE=2AC=子 答：路段PQ的长为3√3m. (8)解：四边形MCBN为菱形.证明如下： (2)如答图，过点A作AM⊥QB所在直线于点M,AH⊥ ,MC=MN,.△MCV为等腰三角形. PQ于点H. 又∠MCN=60°，∴.△MCN为等边三角形， 由题意得∠PAH=∠TPA=30°. ∴.MC=MN=NC. 设AM=am,则BM=2√3am. △NCB为等边三角形，∴.NC=CB=NB, ,'∠AHQ=∠HQM=∠AMQ=90°， '.MC=MN=BC=BN,∴.四边形MCBN为菱形. .四边形AHQM是矩形， ∴.AH=QM=3√3+23a,QH=AM=a, ∴.PH=PQ-HQ=9-a. 在R△APH中，a∠PAH=器-9. 即5=。9-a。,解得a=2, 33√/3+2√3a .'.AM-=2.BM=43 .AB=√Af+BF=2√13(m). 答：电子眼区间测速路段AB的长为2√/13m. --7 H B M 第10题答图 主题情境整合练3三角形背景下的综合题 (1)△ACN≌△MCB (2)120° (3)C,D,E,F四点共圆 (4)DE∥AB (5)解：BF=CF+NF.证明 如下： ,△ACN≌△MCB, ∴.∠NAC=∠BMC, A,C,F,M四点共圆， G ∴.∠AFC=∠AMC=60°.同理 答图 可得∠BFC=6O°， ∴∠DFE+∠DCE=180°，∴.C,D,E,F四点共圆. ,∠DFC=60°， ∴.∠CFN=120°，∴.∠CFN+∠CBN=180°， .∴.∠BNF+∠BCF=180° 如答图，将△BNF绕点B逆时针旋转60°得△BCG,则CG= NF,△BFG为等边三角形， .∴.BF=GF,即BF=CF+NF (6)证明：，DE∥AB,∴∠NDE=∠NAC=∠BMC. 又.'∠MDE=∠MCB=∠NCA=∠DEN, .'.△NDEc∽△EMD. (7)解：解方程2-3x+1=0得x=1,x=2, AB=1,BC=号∴C为AB的中点。 ,∠ACD=∠ABN,∴.CD∥BN, .CD为△ABN的中位线，∴.D是AN的中点. 又，DE∥AC, DE为△NAC的中位线， 14