第四单元 走进动物园——简易方程（知识清单）数学青岛版五年级上册

第四单元 简易方程 单元知识清单讲义 知识点一：方程的意义 1．方程的定义：含有未知数的等式，叫作方程； 2．方程与算式的区别：方程必须同时满足“含有未知数”和“是等式”两个条件。 知识点二：等式与方程的关系 1．包含关系：所有的方程都是等式，但等式不一定都是方程； 2．判断方法：判断一个等式是否为方程，关键看是否含有未知数。 知识点三：等式的性质 1．性质一：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立； 2．性质二：等式两边同时乘或除以同一个数（0不作除数），等式仍然成立； 3．应用：等式的性质是解方程的依据。 知识点四：解方程 1．基本方法：利用等式的性质，通过变形求出未知数的值； 2．示例： 2x + 1 = 11 解：2x + 1 – 1 = 11 – 1    2x = 10    2x ÷ 2 = 10 ÷ 2    x = 5 3．注意：解方程后要进行检验，确保结果正确。 知识点五：列方程解决实际问题 1．步骤： （1）找出已知量和未知量，写出等量关系式； （2）设未知数为 x ，列出方程； （3）解方程，求出 x ； （4）检验并写出答语。 2．关键：准确分析数量关系，正确列出方程。 题型一：方程的意义与判断 【例1】下面的式子是方程的有（    ）个。 8－2m＝4    96－36＝60    5＋x＞32    50＋x＋2x＝180    y＋2    240÷b＝8    0.49÷x＝7    6a＋24＝42    100＋n＜50    y－2.6＝5 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】含有未知数的等式，叫作方程。根据定义做出选择即可。 【详解】因为含有未知数的等式，叫作方程，所以8－2m＝4，50＋x＋2x＝180，240÷b＝8，0.49÷x＝7，6a＋24＝42，y－2.6＝5是方程，共有6个。 故答案为：C 【练1】下面式子中，( )是等式，( )是方程。 ①3x＋5＞6；②4n＝15；③7t－18；④5y－12＝0；⑤12×0.7＝8.4；⑥12m－n；⑦15t＜12；⑧6p＞15×0.8 【答案】 ②④⑤ ②④ 【分析】含有等号的式子叫做等式。含有未知数的等式叫做方程。方程一定是等式，等式不一定是方程。 【详解】①3x＋5＞6，既不是等式，也不是方程； ②4n＝15，既是等式，又是方程； ③7t－18，既不是等式，也不是方程； ④5y－12＝0，既是等式，又是方程； ⑤12×0.7＝8.4，是等式，但不含未知数，所以不是方程； ⑥12m－n，既不是等式，也不是方程； ⑦15t＜12，既不是等式，也不是方程； ⑧6p＞15×0.8，既不是等式，也不是方程； 所以，②④⑤是等式，②④是方程。 题型二：等式与方程的关系 【例2】所有的方程都是等式，所有的等式也一定是方程。( ) 【答案】× 【分析】含有“＝”的式子是等式；含有未知数的等式就是方程；据此举例判断即可。 【详解】所有的方程都是等式，此句正确； 但所有的等式就不一定是方程，如：2＋3＝5，只是等式，不是方程，因为只有含未知数的等式才是方程。 故答案为：× 【练2】方程和等式的关系可以用（    ）表示。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】含有未知数的等式叫做方程，方程一定是等式，但等式不一定是方程，等式包含方程。例如：33＋8＝28＋13是等式但不是方程。 【详解】 方程和等式的关系可以用表示。故答案为：B 【例3】在①x＋7.9＜16，②0.23m＝4.6，③55＞m÷0.4，④15×2.4＝36，⑤66－x＝38中，等式有( )，方程有( )。（填序号） 【答案】 ②④⑤ ②⑤ 【分析】方程是指含有未知数的等式。所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式。由此进行选择。 【详解】①x＋7.9＜16，含有未知数，但不是等式，所以不是方程；②0.23m＝4.6，含有未知数且是等式，所以是方程；③55＞m÷0.4，含有未知数，但不是等式，所以不是方程；④15×2.4＝36，是等式，但不含有未知数，所以不是方程；⑤66－x＝38，含有未知数且是等式，所以是方程；则等式有②④⑤，方程有②⑤。 【练3-1】下面的式子中，（    ）是方程。 A．15×6＝2X B．2X＋8＜16 C．9.5＝5×1.9 【答案】A 【分析】方程必须具备两个条件，必须是等式，必须含有未知数。据此分析各选项，进而确定正确答案。 【详解】A．15×6＝2X，既含有未知数X，又是等式，符合方程的定义。 B．2X＋8＜16，虽然含有未知数X，但它是不等式，不是等式，所以不是方程。 C．9.5＝5×1.9，是等式，但不含有未知数，所以不是方程。 只有选项A中的式子是方程。 故答案为：A 【练3-2】17－2＝9中没有未知数，所以它不是方程。( ) 【答案】× 【分析】含有未知数的等式叫做方程；据此判断。 【详解】17－2＝9中有未知数，又是等式，所以它是方程。 原题说法错误。 故答案为：× 【练3-3】是方程。( ) 【答案】√ 【分析】方程是含有未知数的等式，等式是含有等号的式子；据此进行判断即可。 【详解】根据分析可知， y＝0是方程，这种说法是正确的。 故答案为：√ 【点睛】正确理解等式、方程的意义，是解答此题的关键。 【练3-4】一个等式中如果有未知数就是方程． 【答案】√ 【详解】略 【练3-5】含有字母的式子一定是方程。( ) 【答案】× 【分析】根据方程的两个条件可知：含有未知数、等式，二者缺一不可，据此判断。 【详解】例如4x＋6是含有未知数的式子，4＋5＝9是等式，可它们都不是方程，而5＋x＝9就是方程。 故答案为：× 题型三：列简易方程 【例4】“一个长方形游泳池长50米，宽x米，占地面积1500平方米。”下面的方程中，（    ）能表示其中的等量关系。 A．50x＝1500 B．x＋50＝1500 C．x－50＝1500 D．2（50＋x）＝1500 【答案】A 【分析】题中设定宽的长度是未知数，根据“长方形的面积＝长×宽”这一公式，列出方程进行判断即可。 【详解】根据长方形的面积公式可列方程：50×x＝1500即50x＝1500。 “一个长方形游泳池长50米，宽x米，占地面积1500平方米。”方程50x＝1500能表示其中的等量关系。故答案为：A 【练4】一条毛巾的价格是9.8元，是一盒牙膏价格的2.5倍，这盒牙膏多少元？（先写出等量关系式，再列方程解答） 【答案】一盒牙膏的价格×2.5＝一条毛巾的价格；3.92元 【分析】一条毛巾的价格是9.8元，是一盒牙膏价格的2.5倍，即一盒牙膏的价格×2.5＝一条毛巾的价格。设一盒牙膏的价格为元，根据等量关系式列方程，然后根据等式性质2解答即可。等式性质2：等式两边同时乘或除以不是0的数，等式仍然成立。 【详解】一盒牙膏的价格×2.5＝一条毛巾的价格 解：设这盒牙膏元。 答：这盒牙膏3.92元。 题型四：等式的性质 【例5】我们在解方程6＋x＝12时，等号两边同时减去6，这是运用了（    ）。 A．数量关系 B．等式的性质 C．四则运算的性质 【答案】B 【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去一个相同的数，等式仍成立；等式的性质2：等式两边同时乘上或除以一个相同的数（0除外），等式仍成立。据此解答。 【详解】由题意得，解方程6＋x＝12时，等号两边同时减去6，等式仍成立，这运用了等式的性质1。 故答案为：B 【练5-1】在方程的两边同时加上一个数，等式仍然成立。( ) 【答案】× 【分析】根据等式的性质，可知方程的左、右两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等，等式仍然成立；据此即可解答。 【详解】由分析可得：在方程的两边同时加上一个相同的数，等式仍然成立，原题说法没强调加的是同一个数，故错误。 故答案为：× 【点睛】此题考查等式的性质。 【练5-2】等式两边同时加上或减去同一个数、同时乘或除以同一个数（0不能作除数），等式仍然成立。( ) 【答案】√ 【分析】根据等式的性质对本题进行判断即可。 【详解】含有等号的式子叫等式，等式有如下的性质： （1）等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立； （2）等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。 据此可知，“等式两边同时加上或减去同一个数、同时乘或除以同一个数（0不能作除数），等式仍然成立”的说法正确。 故答案为：√ 【例6】已知x＝y，根据等式性质填空。 x－( )＝y－b    x÷( )＝y÷2.5 【答案】 b 2.5 【分析】等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等；等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。据此解答。 【详解】因为x＝y，所以x－b＝y－b； 因为x＝y，所以x÷2.5＝y÷2.5。 【点睛】熟练掌握等式的基本性质是解题的关键。 【练6-1】观察下面两组等式，先填空，再回答下面问题。 27＋8＝35                              40×3＝120 27＋8－5＝35 ( )       40×3×4＝120 ( ) 27＋8＋10＝35 ( )       40×3÷2＝120 ( ) 通过以上两组等式，我想到的数学结论： 。 【答案】 － 5 × 4 ＋ 10 ÷ 2 等式的两边同时加或减去同一个数，等式仍然成立；等式的两边同时乘或除以同一个数（0除外），等式仍然成立。 【分析】根据等式的性质1，在算式27＋8＝35的两边同时加上10或减去5，等式仍然成立；根据等式的性质2，在算式40×3＝120的两边同时乘4或除以2，等式仍然成立。再结合等式的性质的定义解答即可。 【详解】27＋8＝35                         40×3＝120 27＋8－5＝35－5                      40×3×4＝120×4 27＋8＋10＝35＋10                    40×3÷2＝120÷2 通过以上两组等式，我想到的数学结论：在等式的两边同时加或减去同一个数，等式仍然成立；等式的两边同时乘或除以同一个数（0除外），等式仍然成立。 【练6-2】如果a＝b，根据等式的性质填空：a＋5＝ ， ＝7b。 【答案】 b＋5 7a 【分析】等式的性质：等式的左右两边同时加上或减去同一个数，同时乘或除以同一个非0数，等式两边仍然相等。 【详解】如果a＝b，根据等式的性质填空：a＋5＝b＋5，7a＝7b。 【点睛】本题考查等式的性质，解答本题的关键是掌握等式的性质。 【练6-3】如果3A＝B，那么3A÷( )＝B÷1.5。 【答案】1.5 【分析】根据等式的性质2，等式两边同时乘或除以一个不为0的数，左右两边仍然相等，据此解答。 【详解】根据分析可知，3A＝B，所以3A÷1.5＝B÷1.5 如果3A＝B，那么3A÷1.5＝B÷1.5。 【练6-4】下图中两架天平均处于平衡状态，物体a与物体c的质量关系是（    ）。 A．2a＝3c B．4a＝9c C．a＝2c 【答案】B 【分析】观察题意可知，天平平衡，说明天平两边相等，2a＝3b，2b＝3c，据此判断即可。 【详解】2a＝3b 解：2a÷2＝3b÷2 a＝1.5b 2b＝3c 解：2b÷2＝3c÷2 b＝1.5c A．a ＝1.5b ＝1.5×1.5c ＝2.25c 2a＝2.25c×3 2a＝6.75c 所以2a≠3c B．因为a＝2.25c 4a＝2.25c×4 所以4a＝9c C．a ＝1.5b ＝1.5×1.5c ＝2.25c 所以a≠2c 故答案为：B 题型五：解方程 【例7】解方程。 5.4x＝8.1     x－40＝25     x÷1.7＝2.37 【答案】x＝1.5；x＝65；x＝4.029 【分析】5.4x＝8.1，根据等式的性质2，两边同时除以5.4解答即可。 x－40＝25，根据等式的性质1，两边同时加40解答即可。 x÷1.7＝2.37，根据等式的性质2，两边同时乘1.7解答即可。 【详解】5.4x＝8.1 解：5.4x÷5.4＝8.1÷5.4 x＝1.5 x－40＝25 解：x－40＋40＝25＋40 x＝65 x÷1.7＝2.37 解：x÷1.7×1.7＝2.37×1.7 x＝4.029 【练7】解方程。   x           x        3x－1.5＝2.7 【答案】x＝2.2；x＝1；x＝1.4 【分析】x＋6.4＝8.6，根据等式的性质1，两边同时减6.4解答即可。 x÷0.4＝2.5，根据等式的性质2，两边同时乘0.4解答即可。 3x－1.5＝2.7，根据等式的性质1和2，两边先同时加1.5，计算后再同时除以3解答即可。 【详解】x＋6.4＝8.6 解：x＋6.4－6.4＝8.6－6.4 x＝2.2 x÷0.4＝2.5 解：x÷0.4×0.4＝2.5×0.4 x＝1 3x－1.5＝2.7 解：3x－1.5＋1.5＝2.7＋1.5 3x＝4.2 3x÷3＝4.2÷3 x＝1.4 【例8】写出数量关系，再根据数量关系列出方程。 一套课桌椅共140元，课桌x元，椅子50元。 数量关系： 方程： 【答案】 课桌单价＋椅子单价＝一套课桌椅价格 x＋50＝140 【分析】根据题意可知，课桌单价＋椅子单价＝一套课桌椅价格，据此代入数据列方程即可。 【详解】数量关系：课桌单价＋椅子单价＝一套课桌椅价格 方程：x＋50＝140 解：x＋50－50＝140－50 x＝90 【练8】小明买了一个书包160元，付了x元，找回40元。 数量关系： 方程： 【答案】 付的钱数－找回的钱数＝一个书包的钱数 x－40＝160 【分析】用方程解决问题的关键是找到等量关系。本题给出的条件有书包钱数，付的钱数和找回的钱数，根据付的钱数－找回的钱数＝一个书包的钱数，即可列出方程。 （因为等量关系不唯一，列出的方程也均不唯一） 【详解】数量关系：付的钱数－找回的钱数＝一个书包的钱数 方程：x－40＝160 解：x－40＋40＝160＋40 x＝200 题型六：列方程解决实际问题 【例9】实验小学的同学们去参观科技馆。四、五年级一共去了260人，五年级去的人数是四年级的1.6倍，两个年级各去了多少人？ 【答案】四年级去了100人；五年级去了160人 【分析】设四年级去了x人，则五年级去了1.6x人，根据等量关系：“四年级去的人数＋五年级去的人数＝260人”，列方程解答求出四年级去的人数，再用四年级的人数乘1.6求出五年级去的人数。 【详解】解：设四年级去了x人。 x＋1.6x＝260 2.6x＝260 x＝260÷2.6 x＝100 100×1.6＝160（人）答：四年级去了100人，五年级去了160人。 【练9】核心舱是整个空间站最基础的部分，除了包括全套的生命维持装置之外，还负担了宇航员初期驻留以及科研所需的全部物质条件。中国空间站天和核心舱全长约16.6米，比和平号空间站核心舱长度的2倍少9.6米。和平号空间站核心舱全长约多少米？（列方程解答） 【答案】13.1米 【分析】求一个数的几倍是多少用乘法，比一个数少几就减几，设和平号空间站核心舱全长约x米，根据和平号空间站核心舱全长×2－9.6米＝中国空间站天和核心舱全长，列出方程解答即可。 【详解】解：设和平号空间站核心舱全长约x米。 2x－9.6＝16.6 2x－9.6＋9.6＝16.6＋9.6 2x＝26.2 2x÷2＝26.2÷2 x＝13.1 答：和平号空间站核心舱全长约13.1米。 1．小明家的四个鱼缸中一共有90条孔雀鱼。第二个鱼缸比第一个鱼缸多1条孔雀鱼；第三个鱼缸比第二个鱼缸多2条孔雀鱼，第四个鱼缸比第三个鱼缸多3条孔雀鱼。那么，第四个鱼缸中有（    ）条孔雀鱼。 A．25 B．26 C．27 D．28 【答案】B 【分析】可以通过设未知数来解答。设第一个鱼缸有x条孔雀鱼，因为第二个鱼缸比第一个鱼缸多1条，所以第二个鱼缸有（x＋1）条。第三个鱼缸比第二个鱼缸多2条，所以第三个鱼缸有（x＋1＋2）条。第四个鱼缸比第三个鱼缸多3条，所以第四个鱼缸有（x＋1＋2＋3）条。四个鱼缸鱼的总数是90条，可列方程：x＋（x＋1）＋（x＋1＋2）＋（x＋3＋3）＝90。然后解方程即可。 【详解】解：设第一个鱼缸有x条孔雀鱼。 x＋（x＋1）＋（x＋1＋2）＋（x＋1＋2＋3）＝90 x＋x＋1＋x＋1＋2＋x＋1＋2＋3＝90 4x＋10＝90 4x＋10－10＝90－10 4x＝80 4x÷4＝80÷4 x＝20 20＋3＋3＝26（条）所以第四个鱼缸中有26条孔雀鱼。故答案为：B 2．下面式子中，（    ）是方程。 A．x＋5 B．8－n＝6 C．2x＋5＞10 【答案】B 【分析】方程必须具备两个条件：（1）必须是等式；（2）必须含有未知数。 【详解】A．x＋5，不是等式，所以不是方程； B．8－n＝6，是等式，有未知数，是方程； C．2x＋5＞10，不是等式，所以不是方程。 8－n＝6是方程。故答案为：B 3．如果⚪是❀的15倍，下列关系式正确的是（    ）。 A．❀×15＝⚪ B．❀÷15＝⚪ C．❀÷⚪＝15 【答案】A 【分析】求一个数的几倍是多少，用乘法，据此用❀×15＝⚪列出关系式；根据乘与除的互逆关系，用积除以一个因数等于另一个因数，即用⚪÷15＝❀或⚪÷❀＝15。 【详解】由分析可知：关系式正确的是❀×15＝⚪。故答案为：A 4．玲玲和爸爸、妈妈准备到水上乐园游玩，她在网上购买了3张门票，______，共花了500元。每张成人票多少元？ 解：设每张成人票元。如果用方程“2＋130＝500”来解题，还需要知道的信息是（    ）。 A．每张学生票130元 B．成人票价是学生票价的2倍 C．每张成人票比学生票贵130元 D．每张成人票130元 【答案】A 【分析】根据“单价×数量＝总价”可得出等量关系式：成人票的单价×人数＋1张学生票的价钱＝买门票一共花的钱数，每张成人票的价格未知，设为元，张数为2张，成人票的总价用字母来表示是2元，将方程与数量关系对照，即可得出1张学生票的价钱是130元。 【详解】等量关系：成人票的单价×人数＋1张学生票的价钱＝买门票一共花的钱数 解：设每张成人票元。 列方程：2＋130＝500 方程与等量关系一一对应，可知需要补充的信息是：1张学生票的价钱，即每张学生票130元。故答案为：A 5．如果（a、b都不等于0），那么（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】根据题意，可令＝6，求得和b的值或取值范围，从而比较a和b的大小。 【详解】令，则：＝6÷6＝1 当一个数乘一个大于1的数，所得的积比这个数大，由此可知： 因5.999﹤6，所以b一定大于1。 故答案为：A 6．与方程3.5x＝10.5的解相同的方程是（    ）。 A．3x－6＝6 B．3x＝4.5 C．18÷x＝3 D．2x＋8＝14 【答案】D 【分析】根据等式的基本性质，方程3.5x＝10.5两边同时除以3.5，求出3.5x＝10.5的解，再把方程3.5x＝10.5的解代入各选项中的方程，能使方程左边等于右边，就是该方程的解，否则不是。 【详解】3.5x＝10.5 解：3.5x÷3.5＝10.5÷3.5 x＝3 A．把x＝3代入方程3x－6＝6，得：3×3－6＝9－6＝3≠方程右边，所以A选项与方程3.5x＝10.5的解不相同； B．把x＝3代入3x＝4.5，得：3×3＝9≠方程右边，所以B选项与方程3.5x＝10.5的解不相同； C．把x＝3代入方程18÷x＝3，得：18÷3＝6≠方程右边，所以C选项与方程3.5x＝10.5的解不相同； D．把x＝3代入方程2x＋8＝14，得：3×2＋8＝14＝方程右边，所以D选项与方程3.5x＝10.5的解相同。故答案为：D。 7．下列说法正确的是（    ）。 A．600÷x＝6不是方程 B．3.3333333是循环小数 C．平移和旋转只改变图形的位置，不改变图形的大小 【答案】C 【分析】（1）含有未知数的等式叫做方程； （2）循环小数是无限小数，小数位数确定的是有限小数； （3）平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，平移不改变图形的形状和大小，只是改变位置；把一个图形绕着某一点转动一定角度的图形变换叫做旋转，旋转时图形位置发生变化，大小不变，形状不变。 【详解】A．600÷x＝6是含有未知数的等式，是方程，说法错误； B．3.3333333是一个有限小数，不是循环小数，说法错误； C．平移和旋转只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状，此说法正确。 故答案为：C 8．学校文艺小组有女生人数30人，女生人数比男生人数的2倍多4人，男生有多少人？如果设男生有人，可以列方程为（    ）。 A．2＋4＝30 B．2－4＝30 C．2（＋4）＝30 【答案】A 【分析】根据“女生人数比男生人数的2倍多4人”可得出等量关系：男生人数×2＋4＝女生人数，据此列出方程即可。 【详解】等量关系：男生人数×2＋4＝女生人数 如果设男生有人，可以列方程为：2＋4＝30。故答案为：A 9．东东和乐乐一起去买弹珠，东东买了18个，乐乐买了14个，东东比乐乐多花了2.4元，每个弹珠多少钱？设每个弹珠元，列方程正确的是（    ）。 A．18－14＝2.4 B．18＋14＝2.4 C．14－18＝2.4 【答案】A 【分析】根据“单价×数量＝总价”可得出等量关系：每个弹珠的价钱×东东买的数量－每个弹珠的价钱×乐乐买的数量＝东东比乐乐多花的钱数；据此列出方程。 【详解】A．18－14＝2.4，其中18表示东东买弹珠花的钱数，14表示乐乐买弹珠花的钱数，2.4表示东东比乐乐多花的钱数，方程正确； B．18＋14＝2.4，其中18表示东东买弹珠花的钱数，14表示乐乐买弹珠的数量，两者相加没有意义，方程错误； C．14－18＝2.4，表示乐乐比东东多花了2.4元，不符合题意，方程错误。 故答案为：A 10．一支钢笔的售价是16元，比一支圆珠笔售价的2倍还多2.6元，求一只圆珠笔的售价。设一支圆珠笔的售价是元，那么下列方程中错误的是（    ）。 A．2＋2.6＝16 B．2＝16－2.6 C．16－2＝2.6 D．2－2.6＝16 【答案】D 【分析】根据题意可得出等量关系：①一支圆珠笔的售价×2＋2.6＝一支钢笔的售价；②一支圆珠笔的售价×2＝一支钢笔的售价－2.6；③一支钢笔的售价－一支圆珠笔的售价×2＝一支钢笔的售价比一支圆珠笔售价的2倍还多的钱数；据此解答。 【详解】A．2＋2.6＝16，表示一支钢笔的售价比一支圆珠笔售价的2倍还多2.6元，符合题意，方程正确； B．2＝16－2.6，表示一支圆珠笔售价的2倍比一支钢笔的售价还少2.6元，符合题意，方程正确； C．16－2＝2.6，表示一支钢笔的售价比一支圆珠笔售价的2倍还多2.6元，符合题意，方程正确； D．2－2.6＝16，表示一支钢笔的售价比一支圆珠笔售价的2倍还少2.6元，不符合题意，方程错误。 故答案为：D 【点睛】本题考查列方程解决问题，明确同一道题可以得出不同的等量关系，列出不同的方程。 11．买5支铅笔和5本练习本共用去5.5元，每本练习本0.65元，每支铅笔多少元？设每支铅笔x元，正确的方程是（    ）。 A．（x＋0.65）×5＝5.5 B．（x＋0.65）×（5＋5）＝5.5 C．x＋0.65×5＝5.5 【答案】A 【分析】由题意可知，买铅笔和练习本的数量是相同的，根据单价×数量＝总价，再根据等量关系：一支铅笔和一本练习本的价钱×5＝5.5，据此列方程解答即可。 【详解】（x＋0.65）×5＝5.5 解：5x＋0.65×5＝5.5 5x＋3.25＝5.5 5x＋3.25－3.25＝5.5－3.25 5x＝2.25 5x÷5＝2.25÷5 x＝0.45 则每支铅笔0.45元。 故答案为：A 【点睛】本题考查用方程解决实际问题，明确等量关系是解题的关键。 12．方程 x＋8＝13与mx＝1有相同的解，那么x＝( )，m＝ ( )。 【答案】 5 0.2 【分析】先利用等式的性质1解出x的值，再将x的值代入mx＝1中，再利用等式的性质2求出m的值。 【详解】x＋8＝13 解：x＋8－8＝13－8 x＝5 m×5＝1 解：m×5÷5＝1÷5 m＝0.2 x＝5，m＝0.2 13．王朋家里买了150斤大米和100斤面粉，吃了一个月后，发现吃的米和面一样多，而且剩的米刚好是面的6倍，则米剩 斤。 【答案】60 【分析】设吃了x斤米和x斤面，则米剩下（150－x）斤，面剩下（100－x）斤；根据“剩的米刚好是面的6倍”列方程：150－x ＝ 6×（100－x），计算得150－x＝600－6x，左右两边同时加上6x，减去150，得5x＝450，两边同时除以5解得x＝90，即吃了90斤米，用总的大米重量减去吃了的重量计算出剩下的重量。 【详解】解：设吃了x斤米和x斤面。 150－x＝6×（100－x） 150－x＝6×100－6x 150－x＝600－6x 150－x＋6x＝600－6x＋6x 150＋5x＝600 150＋5x－150＝600－150 5x＝450 5x÷5＝450÷5 x＝90 150－90＝60（斤）所以米剩60斤。 14．陕西秦兵马俑被称为“世界八大奇迹”之一，共出土陶俑约7500件，陶俑总数比步兵俑的4倍少1400件，要求步兵俑有多少件，设步兵俑有x件，列方程式是( )，本题等量关系式是( )。 【答案】 4x－1400＝7500 步兵俑件数×4－1400件＝陶俑总数 【分析】根据题意可知，陶俑总数比步兵俑的4倍少1400件，所以步兵俑件数×4－1400件＝陶俑总数，设步兵俑有x件，根据等量关系式列方程即可解答。 【详解】解：设步兵俑有x件。 4x－1400＝7500 4x－1400＋1400＝7500＋1400 4x＝8900 4x÷4＝8900÷4 x＝2225 15．自“双减”政策实施以来，光明小学将社团活动与课后延时服务融合在一起，极大地增加了学生个性化学习的选择性。其中选择创客课程的人数和校园剪纸课程人数的关系如下图，求选择剪纸课程的有多少人。 参考上图线段图，列出等量关系式：( ) 列方程：( ) 【答案】 剪纸的人数＋创客课程的人数＝80 【分析】由线段图可知，创客课程的人数是剪纸课程人数的3倍，即创客课程的人数＝剪纸课程人数×3，再根据数量关系式：剪纸的人数＋创客课程的人数＝80，列出方程。 【详解】则列出等量关系式：剪纸的人数＋创客课程的人数＝80 列方程： 解： 16．昆虫爱好者发现某地的蟋蟀每分钟叫的次数与气温之间有如下近似关系：h＝t÷7＋3（h表示摄氏温度，t表示每分钟叫的次数）。当气温达到30℃时，蟋蟀每分钟大约叫( )次；当蟋蟀每分钟叫91次，气温是( )℃。 【答案】 189 16 【分析】由题意得，蟋蟀每分钟叫的次数与气温之间的关系为：h＝t÷7＋3（h表示摄氏温度，t表示每分钟叫的次数）。当气温达到30℃时，即t÷7＋3＝30，然后根据等式的性质1和等式的性质2来解方程即可；当蟋蟀每分钟叫91次，即h＝91÷7＋3，直接计算即可算出h的值。 【详解】当气温达到30℃时： t÷7＋3＝30 解：t÷7＋3－3＝30－3 t÷7＝27 t÷7×7＝27×7 t＝189当蟋蟀每分钟叫91次时： h＝91÷7＋3 ＝13＋3 ＝16 当气温达到30℃时，蟋蟀每分钟大约叫189次；当蟋蟀每分钟叫91次，气温是16℃。 17．解方程。                          【答案】x＝；x＝2.5；x＝20； 【分析】x－＝， 根据等式的性质1，两边同时加上； 3.4＋1.6x＝7.4；先根据等式的性质1，两边同时减去3.4，再根据等式的性质2，两边同时除以1.6； x－10＝10，根据等式的性质1，两边同时加上10；据此解答。 【详解】x－＝ 解：x－＋＝ x＝ 3.4＋1.6x＝7.4 解：3.4－3.4＋1.6x＝7.4－3.4 1.6x＝4 x＝2.5 x－10＝10 解：x－10＋10＝10＋10 x＝20 18．看图列方程。 （1） 【答案】0.95千克 【分析】由图可知，每个球重x千克，有3个球，公仔重2.15千克，3个球的重量加上公仔的重量等于5千克，据此解答列式求出每个球的重量。 【详解】2.15＋3x＝5 解：2.15＋3x－2.15＝5－2.15 3x＝2.85 3x÷3＝2.85÷3 x＝0.95 每个球0.95千克。 （2） 方程：　 　。 【答案】x＋3x＝36 【分析】根据题干，设孔雀有x只，则猴子就有3x只，根据等量关系：孔雀的只数＋猴子的只数＝36只，据此列出方程即可解答问题。 【详解】解：设设孔雀有x只，则猴子就有3x只。 x＋3x＝36 4x＝36 4x÷4＝36÷4 x＝9 9×3＝27（只） 则孔雀有9只，则猴子就有27只。 （3） 【答案】x＝13 【分析】观察线段图可知，女生有x人，男生的人数是女生的3倍多6人，男生有45人，根据等量关系：女生的人数×3＋6＝男生的人数，据此列方程解答即可。 【详解】3x＋6＝45 解：3x＋6－6＝45－6 3x＝39 3x÷3＝39÷3 x＝13 （4） 数量关系：________________ 解方程： 【答案】苹果的质量×3－26千克＝香蕉的质量；x＝55 【分析】由图可知，香蕉有139千克，苹果有x千克，香蕉的质量比苹果质量的3倍少26千克，据此列出方程并根据等式的性质解方程即可。 【详解】数量关系：苹果的质量×3－26千克＝香蕉的质量 3x－26＝139 解：3x－26＋26＝139＋26 3x＝165 3x÷3＝165÷3 x＝55 故苹果有55千克。 19．两组学生进行跳绳比赛，平均每人跳152下．甲组有6人，平均每人跳140下，乙组平均每人跳160下．乙组有多少人？ 【答案】9人 【详解】解：设：乙组有x人． 6×140＋160x=152（x＋6） X=9 答：乙组有9人. 20．剧烈运动后心跳会加速，周末小明晨跑后心跳为每分钟180下，比晨跑前每分钟心跳的2倍还多20下。晨跑前每分钟心跳多少次？（写出等量关系式，再列方程解答） 【答案】等量关系见详解；80次 【分析】由题意可知，设晨跑前每分钟心跳x次，再根据等量关系：晨跑前每分钟心跳的次数×2＋20＝晨跑后心跳每分钟的次数，据此列方程解答即可。 【详解】晨跑前每分钟心跳的次数×2＋20＝晨跑后心跳每分钟的次数 解：设晨跑前每分钟心跳x次。 2x＋20＝180 2x＋20－20＝180－20 2x＝160 2x÷2＝160÷2 x＝80 答：晨跑前每分钟心跳80次。 21．近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活。某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送。若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件。该分派站现有包裹多少件？快递员多少名？ 【答案】快递员：6名；包裹：66件 【分析】根据题意可知，无论按哪种派送方法，包裹的总件数是一定的。若每个快递员派送10件，还剩6件，则包裹的总件数是10×快递员的人数＋6；若每个快递员派送12件，还差6件，则包裹的总件数是12×快递员的人数－6。所以此题的等量关系为“10×快递员的人数＋6＝12×快递员的人数－6”。设快递员x名，则可列出方程10x＋6＝12x－6，解方程即可求出快递员的人数；再用10×快递员的人数＋6可求出包裹的件数。 【详解】解：设快递员x名。 10x＋6＝12x－6 10x＋6＋6＝12x－6＋6 10x＋12＝12x 10x＋12－10x＝12x－10x 12＝2x 2x＝12 2x÷2＝12÷2 x＝6 10×6＋6 ＝60＋6 ＝66（件） 答：该分派站现有包裹66件，快递员6名。 【点睛】此题考查了运用抓不变量法列方程解决问题。根据包裹的总件数不变建立等量关系是解答此题的关键。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第四单元简易方程单元知识清单讲义 单元知识框架 方程的意义 含有未知数的等 式，叫作方程。 等式与方程 所有的方程都是等式但等式不一定都 是方程。 性质1：等式两边同时加上或减去同 一个数等式仍然成立 等式的性质 性质2：等式两边同时乘或除以同 一个数(0除外)，等式仍然成立。 使方程左右两边相等的未知数的值，叫作 方程的解。 方程的解与解方程： 简易方程 求方程的解的过程叫作解方程 把未知数的值带入原方程，看等号左边的值是否等于等号 解方程 检验： 右边的值。如果相等，所求未知数的值就是原方程的解； 否则不是 2x+1=11 解：2x+1-1=11-1 举例： 2x=10 2x-2=10+2 x=5 1.找出已知量和未知量，写出等量关系式 二二二二二二二二二二二二二二二二 2.设出未知数x,列出方程 解决实际问题 3.解方程，求出x 4检验井写出答语 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 单元知识点梳理 知识点一：方程的意义 1.方程的定义：含有未知数的等式，叫作方程； 2.方程与算式的区别：方程必须同时满足“含有未知数”和“是等式”两个条件。 知识点二：等式与方程的关系 1.包含关系：所有的方程都是等式，但等式不一定都是方程； 2.判断方法：判断一个等式是否为方程，关键看是否含有未知数。 知识点三：等式的性质 1.性质一：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立； 2.性质二：等式两边同时乘或除以同一个数(0不作除数)，等式仍然成立； 3,应用：等式的性质是解方程的依据。 知识点四：解方程 1.基本方法：利用等式的性质，通过变形求出未知数的值； 2.示例： 2x+1=11 解：2x+1-1=11-1 2x=10 2x÷2=10÷2 X=5 3.注意：解方程后要进行检验，确保结果正确。 知识点五：列方程解快实际问题 1.步骤： (1)找出已知量和未知量，写出等量关系式： (2)设未知数为x,列出方程； (3)解方程，求出x; (4)检验并写出答语。 2.关键：准确分析数量关系，正确列出方程。 2/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 重难点题型精讲 题型一：方程的意义与判断 【例1】下面的式子是方程的有( )个。 8-2m=496-36=605+x>3250+x+2x=180y+2 240÷b=80.49÷x=76a+24=42100+n<50y-2.6=5 A.4 B.5 C.6 D.7 【练1】下面式子中，( )是等式，( )是方程。 ①3x+5>6:②4n=15:③7t-18:④5y-12=0:⑤12×0.7=8.4：⑥12m-n:⑦15t< 12;⑧6p>15×0.8 题型二：等式与方程的关系 【例2】所有的方程都是等式，所有的等式也一定是方程。() 【练2】方程和等式的关系可以用( )表示。 A 方程 等式 B 等式（方程 C 等式○方程 D 等式（方程 【例3】在①x+7.9<16,②0.23m=4.6,③55>m0.4,④15×2.4=36，⑤66-x=38中， 等式有()，方程有( )。(填序号) 【练3-1】下面的式子中，( )是方程。 A.15×6=2X B.2X+8<16 C.9.5=5×1.9 【练3-2】17一2y=9中没有未知数x,所以它不是方程。() 3/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【练3-3】y=0是方程。() 【练3-4】一个等式中如果有未知数就是方程： 【练3-5】含有字母的式子一定是方程。() 题型三：列简易方程 【例4】“一个长方形游泳池长50米，宽x米，占地面积1500平方米。”下面的方程中，( )能表示其中的等量关系。 A.50x=1500 B.x+50=1500 C.x-50=1500 D.2(50+x)=1500 【练4】一条毛巾的价格是9.8元，是一盒牙膏价格的2.5倍，这盒牙膏多少元？（先写出等 量关系式，再列方程解答) 题型四：等式的性质 【例5】我们在解方程6十x=12时，等号两边同时减去6，这是运用了( )。 A.数量关系 B.等式的性质 C.四则运算的性质 【练5-1】在方程的两边同时加上一个数，等式仍然成立。() 【练5-2】等式两边同时加上或减去同一个数、同时乘或除以同一个数(0不能作除数)，等 式仍然成立。() 【例6】已知x=y,根据等式性质填空。 x-()=y-bx÷()=y÷2.5 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【练6-1】观察下面两组等式，先填空，再回答下面问题。 27+8=35 40×3=120 27+8-5=35_()40×3×4=120_() 27+8+10=35()40×3÷2=120() 通过以上两组等式，我想到的数学结论： 【练6-2】如果a=b,根据等式的性质填空：a十5= =7b。 【练6-3】如果3A=B,那么3A()=B÷1.5。 【练6-4】下图中两架天平均处于平衡状态，物体a与物体c的质量关系是（ aa bb6 Lbb AA△ A.2a=3c B.4a-9c C.a=2c 题型五：解方程 【例7】解方程。 5.4x=8.1 x-40=25 x÷1.7=2.37 【练7】解方程。 x+6.4=8.6 x÷0.4=2.5 3x-1.5=2.7 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【例8】写出数量关系，再根据数量关系列出方程。 一套课桌椅共140元，课桌x元，椅子50元。 数量关系： 方程： 【练8】小明买了一个书包160元，付了x元，找回40元。 数量关系： 方程： 题型六：列方程解快实标问题 【例9】实验小学的同学们去参观科技馆。四、五年级一共去了260人，五年级去的人数是四 年级的1.6倍，两个年级各去了多少人？ 【练9】核心舱是整个空间站最基础的部分，除了包括全套的生命维持装置之外，还负担了 宇航员初期驻留以及科研所需的全部物质条件。中国空间站天和核心舱全长约16.6米，比和 平号空间站核心舱长度的2倍少9.6米。和平号空间站核心舱全长约多少米？（列方程解答） 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式训练巩固 1.小明家的四个鱼缸中一共有90条孔雀鱼。第二个鱼缸比第一个鱼缸多1条孔雀鱼：第三 个鱼缸比第二个鱼缸多2条孔雀鱼，第四个鱼缸比第三个鱼缸多3条孔雀鱼。那么，第四个 鱼缸中有( )条孔雀鱼。 A.25 B.26 C.27 D.28 2.下面式子中，( )是方程。 A.x+5 B.8-n=6 C.2x+5>10 3.如果o是的15倍，下列关系式正确的是( A.0×15=0 B.0÷15=0 C.0÷O=15 4.玲玲和爸爸、妈妈准备到水上乐园游玩，她在网上购买了3张门票，，共花了500 元。每张成人票多少元？ 解：设每张成人票x元。如果用方程“2x+130=500”来解题，还需要知道的信息是 ( ）。 A.每张学生票130元 B.成人票价是学生票价的2倍 C.每张成人票比学生票贵130元D.每张成人票130元 5.如果a×6=b×5.99999(a、b都不等于0)，那么( )。 A.a<b B.a=b C.axb 6.与方程3.5x=10.5的解相同的方程是( ）。 A.3x-6=6B.3x=4.5 C.18÷x=3 D.2x+8=14 7.下列说法正确的是( )。 A.600÷x=6不是方程 B.3.3333333是循环小数 C.平移和旋转只改变图形的位置，不改变图形的大小 8.学校文艺小组有女生人数30人，女生人数比男生人数的2倍多4人，男生有多少人？如 果设男生有x人，可以列方程为( )。 A.2x+4=30 B.2x-4=30 C.2(x+4)=30 9.东东和乐乐一起去买弹珠，东东买了18个，乐乐买了14个，东东比乐乐多花了2.4元， 每个弹珠多少钱？设每个弹珠x元，列方程正确的是( )。 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.18x-14x=2.4B.18x+14=2.4 C.14x-18x=2.4 10.一支钢笔的售价是16元，比一支圆珠笔售价的2倍还多2.6元，求一只圆珠笔的售价。 设一支圆珠笔的售价是x元，那么下列方程中错误的是( ）。 A.2x+2.6=16 B.2x=16-2.6C.16-2x=2.6D.2x-2.6=16 11.买5支铅笔和5本练习本共用去5.5元，每本练习本0.65元，每支铅笔多少元？设每支铅 笔x元，正确的方程是( )。 A.(x+0.65)×5=5.5 B.(x+0.65)×(5+5)=5.5 C.x+0.65×5=5.5 12.方程x+8=13与mx=1有相同的解，那么x=(),m=()。 13.王朋家里买了150斤大米和100斤面粉，吃了一个月后，发现吃的米和面一样多，而且 剩的米刚好是面的6倍，则米剩 斤。 14.陕西秦兵马俑被称为“世界八大奇迹”之一，共出土陶俑约7500件，陶俑总数比步兵俑 的4倍少1400件，要求步兵俑有多少件，设步兵俑有x件，列方程式是()，本题等量关 系式是()。 15.自“双减”政策实施以来，光明小学将社团活动与课后延时服务融合在一起，极大地增 加了学生个性化学习的选择性。其中选择创客课程的人数和校园剪纸课程人数的关系如下图， 求选择剪纸课程的有多少人。 剪纸课程： 80人 创客课程：1 参考上图线段图，列出等量关系式：( ) 列方程：( 16.昆虫爱好者发现某地的蟋蟀每分钟叫的次数与气温之间有如下近似关系：h=÷7+3(h 表示摄氏温度，t表示每分钟叫的次数)。当气温达到30℃时，蟋蟀每分钟大约叫()次； 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当蟋蟀每分钟叫91次，气温是( )Co 17.解方程。 x-127 2020 3.4+1.6x=7.4 x-10=10 18.看图列方程。 2.15千克 5千克 8每个球x千克 (1) x只 (2) 孔雀：二 女生：人 36只 多6人 猴子： 男生： 45人 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x千克 苹果： 26千克 (4)香蕉： 139千克 数量关系： 解方程： 19.两组学生进行跳绳比赛，平均每人跳152下.甲组有6人，平均每人跳140下，乙组平 均每人跳160下.乙组有多少人？ 20.剧烈运动后心跳会加速，周末小明晨跑后心跳为每分钟180下，比晨跑前每分钟心跳的2 倍还多20下。晨跑前每分钟心跳多少次？（写出等量关系式，再列方程解答） 21.近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活。某快递分派站现有包裹若干件需快递员派 送。若每个快递员派送10件，还剩6件：若每个快递员派送12件，还差6件。该分派站现有 包裹多少件？快递员多少名？ 10/10