精品解析：福建省莆田市涵江区莆田锦江中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

莆田锦江中学八年级上学期数学第一次数学月考试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 1. 以下列数据为三边长能构成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 14，4，9 D. 7，2，4 2. 如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知各内角的度数和各边的长度．下面是同学们用不同的方法画出的三角形，并将所画三角形的三个元素标出，则所画三角形不一定与全等的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一个平分角的简单仪器，其中，，将点A放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，则就是的平分线．在这个过程中与全等，全等的理由是（ ） A. 边角边 B. 角角边 C. 角边角 D. 边边边 5. 如图，在和中，，，要使得，还需要补充一个条件，则下列错误的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，直线，，则（ ） A. 58° B. 59° C. 60° D. 61° 7. 如图，，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（ ） A. 平分 B. C. D. 8. 如图．等于（   ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 10. 如图，在等腰与等腰中，，，，连接和交于点P，交于点M，交于点N，连接．下列结论： ①； ②； ③PA平分∠BPE； ④若，则． 其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①③ D. ①③④ 二、填空题（本大题共6小题，总分24分） 11. 已知，，，则___________． 12. 直角三角形的一个锐角是，则它的另一个锐角是________. 13. 如图，在中，，，分别为，，的中点，且，则______． 14. 如图，，，则___________． 15. 如图，垂直于的平分线交于点D，交于点E，，若的面积为6， 则的面积为_______． 16. 如图，在四边形中，，，，点E在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段上由点B向点C运动，设运动时间为，当与以B，E，F为顶点的三角形全等时，则点F的运动速度为________． 三、解答题 17. 如图，△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，∠B=70°，∠DAE=19°，求∠C的度数． 18. 如图，已知，，． 求证：（1）； （2）． 19. 如图，已知，，且，，点A在上，求的度数． 20. 如图，已知，点D在边上． （1）求作，使，并满足点E在的延长线上，（请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）根据你的作图方法，说明的理由． 21. 如图，点D在上，． （1）求证：； （2）求证：． 22. 如图，已知的周长是21，，分别平分，，于点，且，求的面积． 23. 鹿邑老子文化广场位于河南省周口市鹿邑县太清宫镇，在太清宫对面，与太清宫相互辉映．广场中央矗立着地标性建筑老子雕像，总高27米，、两点分别为雕像底座的两端（其中、两点均在地面上）．因为、两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可． （1）甲、乙两同学的方案哪个可行？_______（填“甲”或“乙”），并说明方案可行的理由； （2）对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：_______． 24. 如图，中，，D是线段上一点， 连接． （1）当平分时，如图1，作垂足为 E．写出线段与的数量关系，并证明； （2）当D是中点时，如图2，作垂足为F， 交于点E，连接．用等式表示线段的数量关系，并证明． 25. （1）提出问题：如图1，在中，，点正好落在直线上，则、的关系为 　　． （2）探究问题：①如图2，在中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． ②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田锦江中学八年级上学期数学第一次数学月考试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 1. 以下列数据为三边长能构成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 14，4，9 D. 7，2，4 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形三边关系进行判定即可． 【详解】解：A、，不符合三角形三边关系，错误，不符合题意； B、，成立，符合题意； C、，不符合三角形三边关系，错误，不符合题意； D、，不符合三角形三边关系，错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查三角形三边关系，判定形成三角形的标准是两小边之和大于最大边，熟练掌握运用三角形三边关系是解题关键． 2. 如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，角平分线等知识点，根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出的度数，根据补角的定义求出的度数，根据三角形的内角和即可求出的度数，进而即可求出结果，熟练掌握其性质并能灵活运用一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及三角形的内角和为是解决此题的关键． 【详解】解：∵是中的平分线，是的外角的平分线， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3. 如图，已知各内角的度数和各边的长度．下面是同学们用不同的方法画出的三角形，并将所画三角形的三个元素标出，则所画三角形不一定与全等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，理解全等三角形的判定定理是解题关键． 根据全等三角形的判定条件进行逐项分析即可． 【详解】解：A、根据“”可证明与原三角形全等，不符合题意； B、根据“”可证明与原三角形全等，不符合题意； C、根据“”可证明与原三角形全等，不符合题意； D、与原三角形形成三个内角分别相等，两个三角形不一定全等，符合题意； 故选：D． 4. 如图是一个平分角的简单仪器，其中，，将点A放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，则就是的平分线．在这个过程中与全等，全等的理由是（ ） A. 边角边 B. 角角边 C. 角边角 D. 边边边 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据证明即可得解． 【详解】解：在与中， ， ∴， ∴， ∴就是的平分线， 故选：D． 5. 如图，在和中，，，要使得，还需要补充一个条件，则下列错误的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据定理或定理即可得． 【详解】解：在和中，已有， 要使，只需增加一组对应边相等或对应角即可， 即需增加的条件是， 观察四个选项可知，只有选项A符合， 故选择：A． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 6. 如图所示，直线，，则（ ） A. 58° B. 59° C. 60° D. 61° 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形外角的性质求出，再利用两直线平行内错角相等即可求出． 【详解】∵ ， 直线， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，熟练掌握和运用这些性质是解题关键． 7. 如图，，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（ ） A. 平分 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“”）．由于斜边为公共边，则添加一组直角边对应相等即可． 【详解】解：∵， ∴当添加或时，． 故选：C． 8. 如图．等于（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角、三角形内角和的知识，熟练掌握三角形的外角的性质与内角和定理是解题的关键．延长，交于点G，根据三角形外角的性质，得，，再根据三角形内角和的性质计算，即可得到答案． 【详解】如图，延长，交于点G， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 9. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图作角平分线，角平分线的性质. 过点G作于点H，根据题意得，是的角平分线，得，根据三角形面积公式，即可求出的面积． 【详解】解：过点G作于点H， 根据题意得，是的角平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，在等腰与等腰中，，，，连接和交于点P，交于点M，交于点N，连接．下列结论： ①； ②； ③PA平分∠BPE； ④若，则． 其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①③ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据得到得到，证明可以判断①正确；过点A分别作，，垂足分别是M，N，利用三角形全等，得到三角形的面积相等，得到可证③；根据得到，结合继而得到，可以判断②错误；在上截取，证明是等边三角形即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确； 过点A分别作，，垂足分别是G，H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分， 故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 故②错误； 在上截取， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，平分，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 故④正确． 故选D． 二、填空题（本大题共6小题，总分24分） 11. 已知，，，则___________． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．根据全等三角形的性质求出，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 12. 直角三角形的一个锐角是，则它的另一个锐角是________. 【答案】##50度 【解析】 【分析】根据直角三角形两个锐角互余可知另一个锐角为即可 【详解】解：直角三角形两个锐角互余， 当直角三角形的一个锐角是时，则它的另一个锐角是， 故答案为： 【点睛】本题考查直角三角形的性质：直角三角形两锐角互余，熟练掌握互余的概念是解决问题的关键． 13. 如图，在中，，，分别为，，的中点，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的面积与中线的性质，解题的关键是利用“三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分”这一性质逐步推导． 根据三角形中线分面积相等的性质，依次求出、、、、，最后求出． 【详解】解：∵分别为，的中点， ， ， ， ， 故答案为：1． 14. 如图，，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据，可得，再由可得结果． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，垂直于的平分线交于点D，交于点E，，若的面积为6， 则的面积为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定，掌握等高的两个三角形的面积比等于底边长度之比是解题的关键．先证明，从而可得到，然后先求得的面积，可得到的面积． 【详解】解∶平分， ． ， ． 在和中， ． ，的面积为6，， ． 又， 故答案为：1． 16. 如图，在四边形中，，，，点E在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段上由点B向点C运动，设运动时间为，当与以B，E，F为顶点的三角形全等时，则点F的运动速度为________． 【答案】1或 【解析】 【分析】设点的运动速度为，则，，，由于，则当，时，根据“”判断，即，；当，时，根据“”判断，即，，然后分别解方程求出即可． 【详解】解：设点的运动速度为，则，，， ， 当，时，根据“”判断， 即，，解得，； 当，时，根据“”判断， 即，，解得，， 综上所述，点的运动速度为1或． 故答案为：1或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 三、解答题 17. 如图，△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，∠B=70°，∠DAE=19°，求∠C的度数． 【答案】32° 【解析】 【分析】根据高定义求出∠ADB=90°，根据三角形内角和定理求出∠BAD=20°，求出∠BAE=39°，根据角平分线的定义求出∠BAC，再根据三角形内角和定理求出∠C即可． 【详解】解：∵AD是高， ∴∠ADB=90°， ∵∠B=70°， ∴∠BAD=180°-∠ADB-∠B=20°， ∵∠DAE=19°， ∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=39°， ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠BAC=2∠BAE=78°， ∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-70°-78°=32°． 【点睛】本题考查了三角形的高，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识点，能根据知识点求出各个角的度数是解此题的关键． 18. 如图，已知，，． 求证：（1）； （2）． 【答案】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠B=∠C， ∵BE=CF， ∴BE-EF=CF-EF， 即BF=CE， 在△ABF和△DCE中， ∴△ABF≌△DCE（SAS）； （2）证明：∵△ABF≌△DCE， ∴∠AFB=∠DEC， ∴∠AFE=∠DEF， ∴AF∥DE． 【解析】 【分析】（1）先由平行线的性质得∠B=∠C，从而利用SAS判定△ABF≌△DCE； （2）根据全等三角形的性质得∠AFB=∠DEC，由等角的补角相等可得∠AFE=∠DEF，再由平行线的判定可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，属于全等基础知识的考查，难度不大，注意证明过程的规范性． 19. 如图，已知，，且，，点A在上，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定和性质． 根据全等三角形的性质得到，，根据平行线的性质得到，进而证明，可得，进而计算即可． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 20. 如图，已知，点D在边上． （1）求作，使，并满足点E在的延长线上，（请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）根据你的作图方法，说明的理由． 【答案】（1） 如图所示即为所求． ； （2） 证明：根据作图得：，，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了基本的作图方法及全等三角形的判定，熟练掌握基本的作图方法是解题关键． （1）根据题意先作，然后截取，以点D为圆心，长为半径截取，即可得出图形； （2）根据作图方法得出，，，即可证明全等． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，点D在上，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2） 证明：如图： ∵， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据，得到，即可证明； （2）由得到，再进一步得到，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，已知的周长是21，，分别平分，，于点，且，求的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质定理及三角形面积的求解是解题的关键．过点O分别作于点E，于点F，根据角平分线性质定理，可证明，根据，可列出算式，并结合的周长求出面积． 【详解】如图，过点O分别作于点E，于点F， 分别平分，， ， 同理， 的周长是21， ， ． 23. 鹿邑老子文化广场位于河南省周口市鹿邑县太清宫镇，在太清宫对面，与太清宫相互辉映．广场中央矗立着地标性建筑老子雕像，总高27米，、两点分别为雕像底座的两端（其中、两点均在地面上）．因为、两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可． （1）甲、乙两同学的方案哪个可行？_______（填“甲”或“乙”），并说明方案可行的理由； （2）对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：_______． 【答案】（1） 甲同学的方案可行． 理由：由题意得， 在与中， ， ∴， ∴， 故甲同学的方案可行． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用， （1）甲同学作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的； （2）甲根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； 熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ； 理由： ∵， 在与中， ， ∴， ∴． 故答案为：． 24. 如图，中，，D是线段上一点， 连接． （1）当平分时，如图1，作垂足为 E．写出线段与的数量关系，并证明； （2）当D是中点时，如图2，作垂足为F， 交于点E，连接．用等式表示线段的数量关系，并证明． 【答案】（1） ， 延长交的延长线于点F． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中， ∵， ∴． 即． ∵， ∴． 在和中， ∴． ∴． ∴； （2） ， 过点A作交延长线于点H． ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ 在和中 ∴． ∴． ∵D是中点， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴． ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质等知识点，难度较大，解题的关键是正确添加辅助线，构造全等三角形． （1）延长交的延长线于点F，先证明，得到，再证明，则，即 ； （2）过点A作交延长线于点H，先证明．则，再证明，得到．那么． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. （1）提出问题：如图1，在中，，点正好落在直线上，则、的关系为 　　． （2）探究问题：①如图2，在中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． ②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 【答案】（1）； （2）①，理由如下： 直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：； ②成立．证明如下： 如图2， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等角的余角相等、三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）利用平角的定义即可求解； （2）①先证明出，得出，，即可得出结果； ②证明出，得出，，即可得出结论； （3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由，的位置决定，故需要对，的位置分当在上，在上时或当在上，在上时，或当到达，在上时，分别讨论． 【详解】解：（1），， ， 故答案为：； （2）①略 ②略 （3）①当在上，在上时，即， ，， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． ， ， ； ②当在上，在上时，即， ，， ， ， ； ③当到达，在上时，即， ，， ， ， ． 综上所述，当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $