8.3 列联表与独立性检验-【一本】高中数学知识大盘点

8.3列联表与独立性检验5年1考 必备知识 ● 知识点1分类变量【温馨提示 在讨论某些问题时，为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的 珍温馨提示 随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变 ①分类变量的取值一定 量.分类变量的取值可以用实数表示， 是离散的 知识点22×2列联表【名师点棱1← ②分类变量是普遍存在 重点 的，如商品的等级，是否 假设有两个分类变量X和Y,它们的取值分别为{x1,x2}和{y1, 吸烟，性别，是否患有某 y2},其样本频数列联表（也称为2×2列联表）为 种疾病等。 ◆名师点拨 X 合计 y2 2×2列联表与分类变 a b a+b 量间的关系 可以通过2X2列联表 d c+d 合计 a十c b+d a+b+c+d 中、 a千6与千d值的大小 2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数. 粗略地判断分类变量之 知识点3等高堆积条形图【学以致用] 间有无关系.一般其值 相差越大，分类变量有 常用等高堆积条形图（如图）展示列联表中数据的频率特征，直 关系的可能性越大 观地反映出两个分类变量间是否相互影响. ® 1.0 0.9 学以致用 0.8 0.7 根据如图所示的等高堆 0.6 0.5 积条形图可知铅中毒病 0.4 0.3 人与尿棕色素为阳性 0.2 选择性必修第三册 0.1 关系.（填“有” 0.0 或“没有”) 第 等高堆积条形图中有两个高度相同的矩形，每一个矩形中都有 ☐阴性 章 两种颜色，观察下方颜色区域的高度，如果两个高度相差比较明 口阳性 1.0 显，就判断两个分类变量之间有关系， 0.8 0.6 (点拨列联表与等高堆积条形图的优劣 0.4 0.2 成对数据的 判断两个分类变量关系强弱的过程中，利用列联表可以准确掌 0.0 铅中毒病人对照组 握总体中各部分的频率，但是需要计算；利用等高堆积条形图可 答案：有 计分析 以比较各个部分之间的差异，明确展现两个分类变量的关系.以 上两种方法仅能粗略判断，都不能知道两个分类变量有关系的 概率大小 ●455。 知识点，4独立性检验【温譬提示】【知识辮新】◆ 重总 珍温馨提示 1.零假设：设X和Y为定义在2上，取值于{0,1}的成对分类变 独立性检验的一般步骤 量.由于(X=0}和{X=1},Y=0}和Y=1}都是互为对立事 ①提出零假设H:分类 件，故要判断事件{X=1}和Y=1}之间是否有关联，需要判 变量X和Y相互独立； 断假定关系H:P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1)是否成立. ②列2X2列联表； 通常称H。为零假设或原假设， ③计算X:套用X的公 n(ad-bc)2 式求得x的值； 2.X的计算公式：X=(a+b)(c十d)(a+c)(b+d ,其中n= ④查临界值：结合所给 a+b+c+d. 小概率值α查得相应的 3.x独立性检验：利用x的取值推断分类变量X和Y是否独 临界值x。; 立的方法称为x独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称 ⑤下结论：比较X与x 独立性检验 的大小，并作出结论 4,基于小概率值α的检验规则：当x≥x时，我们推断H不成 ◆知识辨析 立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当 反证法原理与独立性检 X<x。时，我们设有充分证据推断H。不成立，可以认为X和 验原理的比较 Y独立.（其中x。为a的临界值）》 反证法原理：在假设H 下，如果推出一个矛盾 x独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值： 结果，就证明了H不 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 成立. 2.7063.841 6.635 7.879 10.828 独立性检验原理：在假 典例在独立性检验中，统计量x2有两个临界值：3.841和 设H下，如果出现一 6.635.当x≥3.841时，至少有95%的把握说明两个事件有 个与H,相矛盾的小概 关；当x≥6.635时，至少有99%的把握说明两个事件有关； 选择性必修第三册 率事件，就推断H不 当×2<3.841时，认为两个事件无关.在一项打鼾与患心脏病 成立，且该推断犯错误 的调查中，共调查了200人，经计算X2=20.87.根据这一数据 的概率不超过这个小 进行分析，我们可认为打鼾与患心脏病之间是 的 概率。 (填“有关”或“无关”) 第 答案有关 高频考点 成对数据 考点1 独立性检验的应用 5年11考 庭中，头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的频 计分析 考向1有关“相关的检验” 率为0.525，其中头胎为女孩且生二孩的家 例1头胎的男女情况可能会影响生 庭数为60. 二孩的意愿，现随机抽取某地200 (1)完成下列2×2列联表： 户家庭进行调查统计.这200户家 。456● 生二孩 不生二孩 合计 同的有6人， 头胎为女孩 60 (1)根据以上数据建立一个2×2列联表； (2)试根据小概率值α=0.01的独立性检验， 头胎为男孩 分析对新课程教学模式的赞同情况与教师的 合计 年龄是否有关系， (2)在犯错误的概率不超过0.05的前提下能 n(ad-bc)2 (其中 否认为是否生二孩与头胎的男女情况有关， 附：X=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) n(ad-bc)2 n=a+b+c+d). 附：X=(a+b)c+da)(a+cb+d (其中 0.15 0.05 0.01 0.001 n=a+b+c+d). 2.072 3.841 6.635 10.828 0.15 0.05 0.01 0.001 解：(1)2X2列联表如下表所示： Ta 2.072 3.841 6.63510.828 对新课程教学模式 解：(1)因为头胎为女孩的频率为0.5，所以 合计 赞同 不赞同 头胎为女孩的家庭数为200×0.5=100. 老教师 10 10 20 因为生二孩的频率为0.525，所以生二孩的 家庭数为200×0.525=105， 青年教师 24 6 30 完成2X2列联表如下表如示： 合计 34 16 50 生二孩 不生二孩 合计 (2)零假设为H。:对新课程教学模式的赞同 头胎为女孩 60 40 100 情况与教师的年龄无关， 由2X2列联表中的数据，得 头胎为男孩 45 55 100 50×(10X6-24×10)2 合计 105 95 200 34×16×20×30 ≈4.963< (2)由2X2列联表中的数据，得 6.635=x0.01. x2= 200×(60×55-45×40)2 600 根据小概率值α=0.01的独立性检验，没有 105×95×100×100 133 ≈ 选择性必 充分证据推断H,不成立，即认为对新课程 4.511>3.841=x0.05. 教学模式的赞同情况与教师的年龄无关， 第三 故在犯错误的概率不超过0.05的前提下能 认为是否生二孩与头胎的男女情况有关 方法提炼独立性检验解决实际问题的主要 考向2有关“无关的检验” 环节 例2某省进行高中新课程改革，为 (I)提出零假设H:X和Y相互独立，并给 章 出在问题中的解释. 了解教师对新课程教学模式的使 (2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算 用情况，某教育机构对某学校的教 师关于新课程教学模式的使用情况进行了问 X的值，并与临界值x。比较 成对数据的 (3)根据检验规则得出推断结论， 卷调查，共调查了50人，其中老教师有20 (4)在X和Y不独立的情况下，根据需要， 计分 人，青年教师有30人.老教师对新课程教学 通过比较相应的频率，分析X和Y之间的 模式赞同的有10人，不赞同的有10人；青年 影响规律。 教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞 。457· 独立性检验与统计、概率的 样本平均数的估计值为10×[(0.025一m)× 考点2 综合应用 55+m×65+0.04×75+0.025×85+ 例3某校为考察学生对紧急避险知 0.01×95]=74.5+100m, 识的掌握情况，从全校学生中随机 显然数据落在区间[80,100]的频率为0.25十 选取200名学生进行紧急避险知识 0.1=0.35,落在区间[70,100]的频率为 测试，其中男生110名，女生90名.已知所有 0.4+0.35=0.75, 学生的测试成绩都在区间[50,100]内，根据 所以样本的中位数在区间(70,80)内，其估计 测试成绩作出的频率分布直方图如图所示. 值为70+10×0.050.025=76.25， 0.04 ,频率 组距 则74.5+100m=76.25,解得m=0.0175, 0.04 所以m的值为0.0175. 0.03 (2)成绩优秀的总人数为200×10×(0.025+ 0.025 0.02 0.01)=70. m 0.01 完成2X2列联表如下表所示： 0 测试成绩 5060708090100成绩/分 合计 优秀 不优秀 (1)若从频率分布直方图中估计出样本的平 男生 45 65 110 均数与中位数相等，求图中m的值： (2)规定测试成绩不低于80分为优秀，已知 女生 25 65 90 共有45名男生的成绩为优秀，请完成下列 合计 70 130 200 2×2列联表，并根据小概率值α=0.05的独 零假设为H:男生和女生的测试成绩优秀率 立性检验，分析男生和女生的测试成绩优秀 没有差异。 率是否有差异 根据列联表中的数据，得X= 选择性 测试成绩 200×(45×65-25×65)2_2600≈3.752< 合计 110×90×70×130 693 优秀 不优秀 修第三 3.841=x0.5.根据小概率值α=0.05的独立 男生 45 性检验，没有充分证据推断H。不成立，因此 女生 可以认为H。成立，即认为男生和女生的测 第 合计 试成绩优秀率没有差异. 附：x2= n(ad-bc)2 方法提炼通过频率分布直方图的统计功能 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) (其中 完善2×2列联表，从而对事件进行独立性 对数据 n=a+b+c+d). 检验，准确读取频率分布直方图中的数据， a 0.1 0.05 0.01 进行分组统计是解题的关键.解决独立性检 2.706 3.841 6.635 验的问题要注意明确两类主体，明确研究的 计分析 两类问题，准确列出2×2列联表，准确计算 解：(1)依题意，得频率分布直方图中左起第 X.在写2X2列联表中a,b,c,d的值时，注 一个小矩形的高为0.1一m-0.04-0.025 意一定要按顺序填写 0.01=0.025-m, 。458·