考前必背（Word同步练习）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（湘教版）

该高中数学考前必背清单系统梳理了数列、平面解析几何、圆锥曲线与方程、计数原理四大核心模块。从数列的定义公式到解析几何的直线圆方程，再到圆锥曲线的性质及计数原理的方法，形成连贯的知识学习支架。 知识链路通过对比表格（如等差与等比数列）、公式系统梳理（如直线与圆锥曲线方程）、性质归纳（如位置关系）呈现。以数学思维构建逻辑联系，用数学语言精确表达符号与公式，帮助学生建立完整知识网络，提升推理与应用能力。

考 前 必 背 一、数列 等差数列 等比数列 定义 an+1-an=d(n∈N+) =q(n∈N+) 通项 公式 an=a1+(n-1)d an=a1qn-1(q≠0) 判定 方法 (1)定义法; (2)等差中项法: 2an=an-1+an+1(n≥2,n∈N+)⇔{an}为等差数列; (3)通项公式法:an=pn+q(p,q为常数,p≠0)⇔{an}为等差数列; (4)前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A,B为常数且A≠0)⇔{an}为等差数列 (1)定义法; (2)等比中项法: =an-1·an+1(n≥2,n∈N+,an≠0)⇔{an}为等比数列; (3)通项公式法:an=c·qn(c,q均是不为0的常数,n∈N+)⇔{an}为等比数列 性质 (1)若m,n,p,q∈N+,且m+n=p+q=2k,则am+an=ap+aq=2ak; (2)an=am+(n-m)d; (3)ak,ak+m,ak+2m,…仍为等差数列 (1)若m,n,p,q∈N+,且m+n=p+q=2k,则aman=apaq=; (2)an=amqn-m; (3)ak,ak+m,ak+2m,…仍为等比数列 前n项 和公式 Sn==na1+d q=1时,Sn=na1; q≠1时,Sn== 前n项 和公式 的性质 (1)若等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则=(bn≠0,T2n-1≠0); (2)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍成等差数列 当k为奇数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数列; 当q≠-1且k为偶数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数列 二、平面解析几何初步 1.直线的斜率 直线l的倾斜角为α(α∈[0,π)),若A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)是直线l上两个不同的点,则直线l的斜率k=tan α=. 2.直线的方程 名称 方程 适用条件 点斜式 y-y0=k(x-x0) 不垂直于x轴的直线 斜截式 y=kx+b 两点式 =(x2≠x1且y2≠y1) 不平行于x轴和y轴的直线 截距式 +=1(ab≠0) 不平行于x轴和y轴,且不过原点的直线 一般式 Ax+By+C=0(A,B不同时为0) 任何位置的直线 3.两条直线的位置关系(l1,l2不重合) l1:y=k1x+b1, l2:y=k2x+b2 l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0 平行 k1=k2且b1≠b2 A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0) 垂直 k1·k2=-1 A1A2+B1B2=0 4.两条直线的交点坐标 设两条直线的方程分别为l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.则 方程组 的解的情况 一组解 无解 无数 组解 直线l1,l2的公共点个数 一个 零个 无数个 直线l1,l2的位置关系 相交 平行 重合 5.距离公式 (1)平面内任意两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离|AB|=. (2)点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=. (3)两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0间的距离d=. 6.圆的方程 (1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2. (2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0). 7.直线与圆、圆与圆的位置关系 (1)判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 ①几何法:利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系判断; ②代数法:将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,利用判别式Δ判断. 位置关系 公共点个数 几何法 代数法 相交 2 d<r Δ>0 相切 1 d=r Δ=0 相离 0 d>r Δ<0 (2)圆与圆的位置关系 设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=(r1>0),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=(r2>0). 位置 关系 几何法:根据圆心距d=|O1O2|与r1+r2或|r1-r2|的大小关系进行判断 代数法:根据两圆方程组成的方程组解的组数进行判断 外离 d>r1+r2 无解 外切 d=r1+r2 一组实数解 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 两组不同 的实数解 内切 d=|r1-r2|(r1≠r2) 一组实数解 内含 0≤d<|r1-r2|(r1≠r2) 无解 三、圆锥曲线与方程 1.椭圆及其简单几何性质 定义 平面上到两个定点F1,F2的距离之和为常数(大于|F1F2|)的点的轨迹 标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 图形 性 质 范围 -a≤x≤a, -b≤y≤b -b≤x≤b, -a≤y≤a 对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点 顶点 坐标 A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为2a,a为长半轴长; 短轴B1B2的长为2b,b为短半轴长 焦距 |F1F2|=2c 离心率 e=,e∈(0,1) a,b,c的关系 a2=b2+c2 2.双曲线及其简单几何性质 定义 平面上到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值为正常数(小于|F1F2|)的点的轨迹 标准方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0) 图形 性 质 范围 x≤-a或x≥a,y∈R x∈R,y≤-a或y≥a 对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) 渐近线 y=±x y=±x 离心率 e=,e∈(1,+∞) 轴 实轴A1A2的长为2a,a为实半轴长; 虚轴B1B2的长为2b,b为虚半轴长 a,b,c的关系 c2=a2+b2 3.抛物线及其简单几何性质 定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹 图形 标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) p的几何意义:焦点F到准线l的距离 性 质 顶点 O(0,0) 对称 轴 x轴 y轴 焦点 坐标 离心 率 e=1 准线 方程 x=- x= y=- y= 范围 x≥0, y∈R x≤0, y∈R y≥0, x∈R y≤0, x∈R 开口 方向 向右 向左 向上 向下 4.曲线的方程与方程的曲线 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解, (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点, 此时,这个方程叫作曲线的方程,这条曲线叫作方程的曲线. 5.圆锥曲线的统一定义 平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹. 当0<e<1时,它表示椭圆; 当e>1时,它表示双曲线; 当e=1时,它表示抛物线. 其中e是圆锥曲线的离心率,定点F是圆锥曲线的焦点,定直线l是圆锥曲线的准线. 四、计数原理 1.两个计数原理 (1)分类加法计数原理:N=m1+m2+…+mn. (2)分步乘法计数原理:N=m1×m2×…×mn. 2.排列与组合 (1)排列数公式:=n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1)=. (2)组合数公式:===. 3.二项式定理 (1)二项式定理:(a+b)n=an+an-1b+…+an-rbr+…+bn(0≤r≤n,r∈N,n∈N+). (2)通项:Tr+1=an-rbr. (3)二项式系数的性质 ①=. ②当r<时,>;当r>时,<,即当n为偶数时,二项式系数中最大;当n为奇数时,二项式系数中和相等且最大. ③+++…+=2n. ④+++…=+++…=2n-1. 7 学科网（北京）股份有限公司 $