专题01 切线及公切线的培优专题（考点清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单聚焦切线及公切线培优专题，涵盖知识脑图搭建体系、考点分层突破、素养题型进阶及实战通关四大模块，系统梳理切线方程（点在切线上/外）、公切线方程及6大核心题型（如切线求参、切线条数求参等）。 清单采用分层设计与解题范式提炼，基础层设“新题对点练”夯实切线求法，素养层将切线条数问题归结为“切点方程解的个数”，培养数学思维；关联全国卷真题典例，如2024年新课标Ⅰ卷公切线题，标注“切线平行转化距离最值”等解题关键，助学生用数学眼光发现规律，教师可依托清单精准指导，提升备考效率。

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01切线及公切线的培优专题 目录导航 @知识脑图•核心脉络搭建一一梳理专题框皋，搭建知识体集 @2考点深研知能分层突破一一深挖高频考点，分层突破重唯点 。基础梳理·自主夯基 考点01切线方程 考点02公切线方程 @3素养进阶•答题技法突破一一提炼解题范式，是升卷题素养 高考解密·母题探究 题型O1根据切线求参 题型O2根据切线条数求参 题型01根据切线求参 题型03相切解决距离最值问题 题型02根据切线条数求参 题型04相切解决零点问题 题型05公切线问题 。考点聚焦·解法深研 题型O6根据公切线条数求参 @4优题精练•专题实战通关一一着选优质试题，强化实战应用 -------◆》父◆----- 1/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识脑图核心脉络搭建 已知曲线y=f(x),在点(xo,y)处的切线方程 1.公式 y-yo=f'(xo)(x-xo) ①设切点(x0,yo) 一、切线方程 ②求导得斜率(x) 2.求法 ③代入点与斜率写出切线方程 ④（若涉及参数）联立方程求解 3.分类 点在曲线上：直接用切点坐标和导数 点在曲线外：设切点，利用导数与点的关系求解 ①设两曲线的切点：(x1,y)、(x2,2) 1.求法 ②分别求导得切线斜率 二、公切线方程 ③建立切点坐标间的关系式 ④联立方程求解 若两曲线y=f(x)、y=g(x)有公切线 01知识脑图 2.关键公式 则存在(x1,y)入、(x2,y2),使得 核心脉络搭建 f'(x1)=g'(x2)=k,且y1-kx1=y2-kx2 步骤 ①设切点坐标 三、根据切线求参 ②求导得切线斜率，令其等于已知斜率 ③代入曲线方程和切线方程（两者都满足）】 ④联立方程组解参数 思路 四、根据切线条数求参 切线条数一切点方程实根个数一函数图象交点个数 ·利用导数研究函数单调性 常用方法 ·画图直观判断 ·构造函数，求零点个数 五、相切解决距离最值问题 常见类型 仁腐安的滑眼质 方法 利用相切条件建立函数关系 转化为求函数的最值问题（导数法） 六、相切解决零点问题 1,思路 利用相切条件转化为方程的重根问题 2.方法 构造函数，利用判别式或导数求解 七、公切线条数求参 1.思路 根据公切线的几何意义，建立切点坐标关系式 2.关键 注意切点是否存在。切线斜率是否相等 巾考点深研知能分层突破 基础梳理·自主夯基 一一核心必记 。考点01切线方程 (1)点在切线上，若函数fx)与切点(x,yo),有以下关系： 1、根据点在函数图像上，有yo=fx) 2、根据切线与导数的关系，斜率k=fx 3、利用点斜式写出切线方程y-y=f'(x)·(x-x。 (2)点在切线外，若已知函数f(x)与平面上一点(x,yo),点不在函数图像上 2/10 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1、设切点(x1,y),求导数f'(x),得k=f'(x1): 2、 由切点在函数图像上有y1=f(x1)】 3、写切线方程yoy1=f'(x1小(x,~x1): 【新题对点练】(25-26高二下福建漳州期末)己知曲线y=x+alnx在点(，1)处的切线为 3x-2y-1=0 d= 则() C.2 1 A.2 B.1 D.3 。考点02公切线方程 求公切线方程 已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标， 则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程 具体做法为：设公切线在y=f(x)上的切点P1(x1,f(x1),在y=gx)上的切点P2(x2,gx2), 则f'(x)=g'(,)=f小-g(x X1-X2 【新题对点练】(2026高二·全国专题练习)若曲线y=e在点A(,©)，>0)处的切线也是曲线 2 eb、 y=lnx的切线，则-l的值为， 素养进阶•答题技法突破 高考解密·母题探究一一考法湖源 《。题型01根据切线求参矿 7典例1】2024全国甲卷·高考真题)设函数了()-e+2sin 1+x2, 则曲线y=f()在点(0，)处的切线与两 3/10 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 坐标轴所围成的三角形的面积为() 1 1 A.6 B.3 C. 【典例2】(2025·全国一卷高考真慰)若直线”=2x+ 是曲线少=e+x+ 的一条切线，则Q三 【奥例3】（2024新课标I卷高考真樱)若曲线'=e+r在点0 处的切线也是曲线y=(x+)+a的切 线，则a= 。题型02根据切线条数求参 a,b) 【典例1】(2021·新高考全国I卷·高考真题)若过点 可以作曲线'=ei 的两条切线，则() A.e<a B.e“<b C.0<a<e D.0<b<e 【典例2】(2022新高考全国I卷高考真题)若曲线"=c+ae 有两条过坐标原点的切线，则a的取值 范围是 考点聚焦·解法深研 一一核心归纳 今题型01根据切线求参◇ 悟 解题关健 1. 设切点坐标 (xo,f(xo): 2. 求导得切线斜率k=f(x,),令其等于已知切线斜率； 3. 将切点代入曲线方程和切线方程（两者都满足）； 4.联立方程组解出参数。 【典例1】(2025湖南模拟预测)已知直线1：y=+6与曲线？-+nx相切，则实数b的取值范国是 () A.几，2) B.（∞， c.(0,n2] D.血2，to) 4/10 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y=e3r tan= 【典例2】(2026广西模拟预测)将曲线 绕坐标原点顺时针旋转后第一次与x轴相切，则 (. A.e B.e2 C.3e D.3e2 【变式1)(2026湖北武汉模拟预测)已知函数()=n(x+a(a∈R),直线'=2r+b与曲线 y=f(x 相切，则2a-b= 【变式2】(2026湖北武汉模拟预测)若直线y=r+a与曲线y=lnr+b相切，则a+b的最小值为 令题型02切线条数问题 悟 解题关健 切线条数等价于“切点方程解的个数”。设切点，利用“导数等于斜率”+“切点在切线上”建立关于切 点横坐标的方程，再讨论该方程解的个数。 f(x)=Inx 【典例1】(2026·重庆万州模拟预测)过点 m,1) 有两条直线与 的图象相切，则”的取值范围 是() A.(-,e) B.(0+∞) c.(o,e2) D.(0,e) 【奥例2】(25-26高二下-江苏无锡阶段检测)若过点P1,)录多可作出eN 条直线与函数 f(x)=(x-1)e 的图象相切，则() A.元+n<3 B.当n=2时，九的值不唯一 C.九n可能等于-4 D.当n=1时，九的取值范围是 、4） (0,+0) e 【变式】(25.26高二下旷东广州期末)已知曲线/()-写号+3与直线y=c+行(R)相切， 且满足条件的k的值有且只有3个，则实数α的取值范围是 5/10 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(25-26高二下河南南阳期末)过点(0，m)与曲线y=1 e相切的直线恰有3条，则实数m的 取值范围为() 。题型03相切解决距离最值问题 悟解题关健 求两曲线（或曲线与直线）上点间距离的最值时，若直接求点距困难，可转化为切线平行：当两曲线在 各自点处的切线互相平行（或与己知直线平行）时，两点间距离（或点到直线距离）取得最值。 【典例1】(2026辽宁大连一模)己知a,b,c∈R,be°-a+1=0(其中e是自然对数的底数)，则 (a-c)'+(b-2c 的最小值为() 5 25 A.5 B.5 C.5 D.5 【典例2】(2026宁夏模拟预测)已知函数()= “与函数'=8互为反函数，若卫，Q分别为它们图 像上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为 【变式1】(2026湖南怀化模拟预测)已知点4(G,),B(x,),定义d=:-广+(：-y广为 B的收檬距离若点4,8在自技=G+”上，日的最小自为2，则实致a的内为() A.1-V2 B.1+V2 C.1-22 D.1+22 【变式2】(26-27高三上江苏扬州开学考试)若实数a,b,c,d满足b+a-3血a+(c-d+2=0, 则a2+b+c2+d2-2ac-2bd的最小值为 6/10 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 《。题型04相切解决零点问题◇ 悟解题关健 将零点问题转化为两函数图象交点问题，当两图象相切时，对应零点个数发生变化的临界状态（如由2 个变1个或由1个变0个)。 血x+2-2 x>0 f(x)= 【典例1】(25-26高二下·辽宁沈阳期中)已知函数 2xe,x≤0，若方程 f)=k(x+1)-k>0)有三个根，则实数k的取值范围是() 027 【奥例2】（25-26高二下湖北随州期末)已知函数f=2x+e-“在0，+切 上有两个不同的零点，则 实数a的取值范围为() A.(0,2e) B. (0,4e) C.(2ve,+oo) D.(4ve,+co) -x,x<0 【变式1】（25-26高三上北京阶段检测)己知函数f() Vx,x≥0.若关于x的方程f(x)=a(x+1)的实 数根恰有一个，则实数a的取值范围是 Inx,x>1 【变式2】(25-26高三上天津西青阶段检测)已知定义在R上的函数/)- kx2-,x≤1，若函数 g(x)=f(x)+mx 177 恰有2个零点，则实数的取值范围为 ◇题型05公切线问题◆ 悟 解题关健 公切线是同时与两条曲线相切的直线。设切点分别在两曲线上，利用“切线斜率等于导数”和“切点连 7/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 线的斜率等于公切线斜率”建立方程组。 y=kx+b 【典例1】(26-27高三上山东聊城开学考试)已知直线 与曲线 y=et- 和r+ 均相切，则 k+b=() A.1 B.2 C.e D. e 【典例2】(25-26高三上辽宁开学考试)（多选）已知函数()=血x,8()--a 若存在直线 y=+b与曲线’=f()和y=8( 均相切，则a的值可能为() A.-1 B.0 C.1 D.2 【变式1】(2026河南郑州-模拟预测)若直线：y=ar+b与函数/()=2c和8()=v4+3 的图象均相 切，则实数b的最大值为 【变式2】(25-26高三下湖南长沙阶段检测)设方程e+x+e=0和nx+x+e=0的根分别为P和9，函 数f四=e+(p+gx 则() A)) B.)@ c.() D.}】 《。题型06根据公切线条数求参◇ 悟解题关健 公切线条数由两曲线的相对位置决定，可通过分析两曲线切点方程的解的个数来判断。设公切线分别与 两曲线相切于两点，利用“导数相等”和“切线重合”联立方程组，消元后得到关于某一参数的方程， 该方程解的个数即为公切线条数。 f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=Inx 【典例1】(2025·宁夏石嘴山三模)已知函数 若曲线'=f0与”=g田 8/10 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 有两条公切线，则a的取值范围是() 1 11 1 A.02 B.(2e'2e C.（2e+0) 【典例2】（多选)(25-26高二下·湖北武汉期中)已知 山是函数 =ac与y=nx-h 的图象的两条 00≤0≤ 公切线，记的倾斜角为，2的倾斜角为P,且，2的夹角为 则下列说法正确的有() A.a+B=π 2 B.tana+tanB<2 C.若tanB 4,则a3-2 3 D.1与l,的交点一定在第一象限 【变式1】（多选）(2026陕西怕林二候)已知两曲线y=r与=m2+m>0)有在两条公切线，则 实数m的取值可能是() A.2e B. C.e D.1 【变式2】(25-26高二下江苏无锡期中)已知曲线y=e与y=(-2 恰好存在两条公切线，则实数a 的取值范围为— 优题精练•专题实战通关 1.(2026陕西滑南模拟预测)已知a,b为正实数，且直线y=x-a与曲线'=(x+6)相切，则2ab的最 大值为 2.（2026龙江哈尔资模拟预测已知香数-。g国=”，直线1与和3冈约相切.切 点分别为P,）,）.则年-+2) 3.(2026湖南湘西三模)若直线1：y=ax+b与函数f()=e和8()=Vx+d 4的图象均相切，则实数b 的最大值为 9/10 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4。(2026旷广东东莞模拟预测)设点P在曲线”=r上，点O在直线'=r+3 PO 上，则的最小值为 5。(25-26高=下江西抚州期中)已知点4在函数/儿)=e-2 的图象上，点B在直线：x+y+5=0上， 则A,B两点之间距离的最小值是 1 2 6。（2026高三全国专愿练习)已知函数() 0, 3.直线过点3)且与曲线y=f(x)相切，求满足 条件的直线方程： 7.(25-26高三下T苏无锡阶段检测)已知函数)-2mr+n(m>0),8()=×,若曲线'=与 曲线少8() 存在公切线，则实数的最大值为 8.(25-26高二下·河北沧州期末)已知函数 )=r-12x,若过点 可作曲线”=) 1,) 的3条不同 切线，则的取值范围是() A.（-12,-11) B.11,12) C.（-0,-12)U(11,+0) D.（-o,11)U(12,+0) x4+3x3-2x,x<0 (x)= 9.(25-26高三上江苏·期末)已知 elnx,x>0 ,若函数g(x)=f(x)-mx有两个零点，则正 数m的取值范围是 10,(2526商三下河南安阳阶段检测)已知函数()-3x,若过点P2m）可以作曲线"=0的3 条切线，则实数m的取值范围是 10/10专题01 切线及公切线的培优专题 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01 切线方程 考点02 公切线方程 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶高考解密・母题探究 题型01 根据切线求参 题型02 根据切线条数求参 ▶考点聚焦・解法深研 题型01 根据切线求参 题型02 根据切线条数求参 题型03 相切解决距离最值问题 题型04 相切解决零点问题 题型05 公切线问题 题型06 根据公切线条数求参 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 切线方程 （1）点在切线上，若函数与切点，有以下关系： 1、根据点在函数图像上，有 2、根据切线与导数的关系，斜率 3、利用点斜式写出切线方程 （2）点在切线外，若已知函数与平面上一点，点不在函数图像上 1、 设切点，求导数，得； 2、 由切点在函数图像上有 3、写切线方程； 【新题对点练】（25-26高二下·福建漳州·期末）已知曲线在点处的切线为，则（     ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 又因为切线方程为：，斜率为， 所以，解得. 考点02 公切线方程 求公切线方程 已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程. 具体做法为：设公切线在上的切点，在上的切点， 则 【新题对点练】（2026高二·全国·专题练习）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则的值为________. 【答案】 【分析】求出两曲线的切线后根据公切线定义列方程组将用表示后代入即可求出答案. 【详解】曲线在点处的切线斜率为，因此切线方程为，即, 曲线在点的切线斜率为，因此切线方程为，即; 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则，解得， 所以. 素养进阶·答题技法突破 题型01 根据切线求参 【典例1】2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积. 【详解】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 【典例2】（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的一条切线，则_________. 【答案】 【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解. 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 【典例3】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 【答案】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 题型02 根据切线条数求参 【典例1】（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果； 解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线. 【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 由题意可知，点在直线上，可得， 令，则. 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，， 由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则， 当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：    由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点. 故选：D. 解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.    故选：D. 【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法. 【典例2】（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 【答案】 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 题型01 根据切线求参 1. 设切点坐标 ； 2. 求导得切线斜率 ，令其等于已知切线斜率； 3. 将切点代入曲线方程和切线方程（两者都满足）； 4. 联立方程组解出参数。 【典例1】（2026·湖南·模拟预测）已知直线与曲线相切，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出切线斜率，进而得到切线方程，再结合切线方程与已知直线方程的关系，得到关于的表达式，最后通过求导得出函数的最值即可确定的取值范围. 【详解】由函数，得， 设切点坐标为，则切线的斜率， 所以切线方程为，其中， 即切线方程为. 整理可得， 又因为直线与曲线相切， 所以，. 设，则， 令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 故函数在时取极小值， 且当时，. 综上所述，函数的值域为，所以实数的取值范围. 【典例2】（2026·广西·模拟预测）将曲线绕坐标原点顺时针旋转后第一次与x轴相切，则（    ）． A．e B． C．3e D． 【答案】C 【分析】设直线与曲线相切，且切点为，由导数几何意义得到切线斜率，进而得到方程，求出，切点为，则． 【详解】曲线绕坐标原点顺时针旋转后第一次与x轴相切， 等价于直线与曲线相切， 设切点为，则切线斜率， 又，则， 故，解得，切点为， 则. 【变式1】（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数（），直线与曲线相切，则_________. 【答案】 【分析】利用导数的几何意义得到切点处斜率满足的关系，再结合切点同时在曲线和切线上，代入整理即可求得的值. 【详解】设直线与曲线相切于点， 由，得，则，即， 又因为切点同时在切线上，故，则， 即，则. 【变式2】（2026·湖北武汉·模拟预测）若直线与曲线相切，则的最小值为________． 【答案】 【分析】先利用直线与曲线相切找出间的关系，然后求出的最小值. 【详解】设切点为， ，故切线的斜率，， 所以切线方程为， 又，故切线方程为，即，， . 故当时，的最小值为. 题型02 切线条数问题 切线条数等价于“切点方程解的个数”。设切点，利用“导数等于斜率”+“切点在切线上”建立关于切点横坐标的方程，再讨论该方程解的个数。 【典例1】（2026·重庆万州·模拟预测）过点有两条直线与的图象相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设切点为，，切线斜率. 切线方程：，即. 切线过，代入得：， 整理得：. 由分离参数，得. 令，原题等价于与的图象有两个交点. 求导：，令，得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 故， 当时，，当时，， 作出的大致图象： 由此可知要使得与的图象有两个交点.，需满足 综上所述时，原方程有两个零点. 【典例2】（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）若过点最多可作出条直线与函数的图象相切，则（   ） A． B．当时，的值不唯一 C．可能等于 D．当时，的取值范围是 【答案】AC 【分析】对函数求导，设切点为，利用导数的几何意义，进而求出切线方程，令，问题转化为直线与图象的交点个数，求导，分析函数单调性及极值点，作函数的大致图象，结合图象分析切线条数与的取值范围，再逐一分析判断各选项． 【详解】函数求导得，设切点为， 则切线斜率，切线方程为， 又切线过点，代入切线方程得， 整理得，切线条数等价于方程的不同实根个数， 令，问题转化为直线与图象的交点个数， 求导得，令，解得或， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 则当时，取得极小值，极小值为， 当时，取得极大值，极大值为， 当时，； 当时，； 的大致图象如下图所示： 由图象可知，当时，直线与的图象有0个交点，即过点且与函数的图象相切的切线有0条； 同理，当时，过点且与函数的图象相切的切线有1条，； 当时，过点且与函数的图象相切的切线有3条，； 当时，过点且与函数的图象相切的切线有2条，； 当时，过点且与函数的图象相切的切线有1条，. 选项A：当时，，满足； 当时，，满足； 当时，，满足；故A正确. 选项B：当时，，是唯一值，故B错误. 选项C：若时，，对应，此时，故存在这样的， 故C正确. 选项D：当时，的取值范围是，故D错误． 【变式1】（25-26高二下·广东广州·期末）已知曲线与直线（）相切，且满足条件的的值有且只有个，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】依题意有3个不同值 关于的方程 有3 个不同实根，通过极值异号求解实数a的取值范围. 【详解】设切点横坐标为 ， ， 则，依题意，， 即， 整理得 依题意有3个不同值 关于的方程 有3 个不同实根， 设，则 令，得极值点：， 要使 有 3 个不同实根，需两个极值点处函数值异号， 因，， 由,可得，解得， 则实数a的取值范围是. 【变式2】（25-26高二下·河南南阳·期末）过点与曲线相切的直线恰有3条，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题设及导数的几何意义，将问题化为有3个不同实根，即与有3个交点求参数范围. 【详解】由，则， 设切点为，切线斜率， 切线过点，则，整理得， 问题转化为有3个不同实根， 令，求导得，令，得， 当，，在上单调递增，， 当，，在上单调递减，， 当，，在上单调递增，， 所以极大值，极小值，且时， 所以与有3个交点，即恰有3条切线，此时. 题型03 相切解决距离最值问题 求两曲线（或曲线与直线）上点间距离的最值时，若直接求点距困难，可转化为切线平行：当两曲线在各自点处的切线互相平行（或与已知直线平行）时，两点间距离（或点到直线距离）取得最值。 【典例1】（2026·辽宁大连·一模）已知a，b，，（其中是自然对数的底数），则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把看成两点距离的平方，其最小值可转化为点到直线的距离的平方，利用导数的几何意义求出切点，利用点到直线的距离公式即可求得. 【详解】由，进而， 又在上， 故的最小值可以看成是图像上的点离直线的最近距离的平方， ， 所以图像上离直线的最近的点为斜率为2的切线的切点 令， 即得，令，单调递增且， 所以，即切点横坐标为，切点为， 所以的最小值为. 【典例2】（2026·宁夏·模拟预测）已知函数与函数互为反函数，若P，Q分别为它们图像上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为________. 【答案】 【分析】先判断出与的图像的对称性，然后结合导数与点到直线的距离公式求得最小值. 【详解】由题可得，的反函数为，互为反函数的两函数图像关于对称， 所以P，Q两点最小距离等于其中一个函数图像到直线最小距离的两倍. 设上与平行的切线的切点为，， 所以，， 则切点为， 【变式1】（2026·湖南怀化·模拟预测）已知点，，定义为A，B的“镜像距离”.若点A，B在曲线上，且的最小值为2，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据距离新定义，将问题化为求上的点到曲线上点的距离最小时对应参数值，即可得. 【详解】由函数得，即， 的反函数为. 由点在曲线上，知点在其反函数上， 相当于上的点到曲线上点的距离，即， 利用反函数性质可得与关于对称， 当与垂直时，取得最小值为2， 因此A，两点到的距离都为1. 过点作切线平行于直线，斜率为1， 由，得，可得， 所以，即， 点到的距离，解得. 当时，与相交，不合题意； 当时，与不相交，符合题意. 综上，. 【变式2】（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）若实数a，b，c，d满足，则的最小值为______． 【答案】8 【分析】将变形为，再把看作两点间的距离，问题转化为曲线上动点与直线上动点的距离的最小值，转化为求与直线平行且与曲线相切的直线的切点问题，即可得解. 【详解】由题意得， 欲求的最小值，则先求的最小值， 实数，，，满足， ，． 分别设，． 则对于的最小值， 可看作曲线和直线上的动点与的最小距离， 设直线与曲线相切于点， 则，，解得，， ．点到直线的距离， 即的最小值为， 得到的最小值为8. 题型04 相切解决零点问题 将零点问题转化为两函数图象交点问题，当两图象相切时，对应零点个数发生变化的临界状态（如由2个变1个或由1个变0个）。 【典例1】（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）已知函数，若方程有三个根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当，，则， 因为当，，单调递减； 当，，单调递增；，，， 当，，， 设，则过定点， 当，图像与图像相切时，设切点为，则切线斜率为 ， 切线方程： ，因为切线过点 ，代入得： ， 化简得， 因为在单调递增，当，，所以 ，切线斜率 ，此时图像与图像有两个交点； 当过原点，，因为，此时图像与图像有四个交点； 所以当时，图像与图像有三个交点，从而方程有三个根. 【典例2】（25-26高二下·湖北随州·期末）已知函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用零点与方程的关系，通过分离参变量构造函数，求导研究单调性和取值规律，最终通过数形结合可得参数范围. 【详解】函数在上有两个不同零点， 等价于方程在有两个不同实根， 设，问题转化为求与的交点个数， 对求导，化简得： ， 因为，所以， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以 在处取最小值： ， ​ 且：时，；时，， 则要使与有两个交点，需满足，即. 【变式1】（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数若关于的方程的实数根恰有一个，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【分析】由题意可得直线与函数的图象只有一个交点，对函数求导，求出过的切线的斜率，结合图象求解即可. 【详解】由题意可得直线与函数的图象只有一个交点， 又因为直线过定点， 作出函数的图象，如图所示： 过点作曲线的切线，设切点为， 因为， 所以切线方程为， 代入，得， 解得， 所以切线的斜率， 所以当或时，直线与函数的图象只有一个交点， 又因为当时，也满足题意， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 【变式2】（25-26高三上·天津西青·阶段检测）已知定义在上的函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围为_____________. 【答案】 【分析】把函数恰有2个零点转化为和有两个交点，利用图象法解. 【详解】因为函数恰有2个零点， 所以和有两个交点， 作出函数的图象如图所示： 因为时，和相交，所以只需和再有一个交点， 当时，若与相切，则有的判别式，此时， 当时，若与相切，则有的判别式，此时， 当时，若与相切，设切点为， 由于， 则有，解得： 所以要使函数恰有2个零点， 只需或或，解得：或或， 即时函数恰有两个零点． 故答案为：． 题型05 公切线问题 公切线是同时与两条曲线相切的直线。设切点分别在两曲线上，利用“切线斜率等于导数”和“切点连线的斜率等于公切线斜率”建立方程组。 【典例1】（26-27高三上·山东聊城·开学考试）已知直线与曲线和均相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义，分别设直线与两条曲线的切点，结合切点同时在直线和对应曲线上列方程，求解、的值即可得到结果. 【详解】设直线与的切点为，与的切点为. 对求导得，可知，且切点在切线上，因此， 对求导得，同理得，且切点在切线上，因此， 由得，代入化简得. 由得，代入得. 将代入上式，整理得，解得，代入得，故. 【典例2】（25-26高三上·辽宁·开学考试）（多选）已知函数，，若存在直线与曲线和均相切，则a的值可能为（   ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】ABC 【分析】先分别求两个函数的切线方程，再根据切线相同建立关系，最后将问题转化为值域问题进而求出a的可能值. 【详解】由题意得，，， 又直线与曲线和均相切， 设直线与曲线的切点为，则切线的斜率为， 故切线方程为， 设直线与曲线的切点为， 则切线的斜率为，故切线方程为， 两条切线为同一条直线，，由，可得， 代入，得， 即， 令，则问题转化为存在使得，即求的值域， ，令，解得， 故当时，；当时，， 在单调递增；在单调递减， ，的值域为，即. 故选：ABC． 【变式1】（2026·河南郑州·模拟预测）若直线与函数和的图象均相切，则实数b的最大值为_________． 【答案】2 【分析】利用切点导数相等结合切点在直线上的截距列等式，利用换元法得出参数约束方程及，再利用隐含条件，找到所有零点，再代入比较大小． 【详解】设直线l与的图象相切于点， 直线l与的图象相切于点， 则，，得，得 ，令，则，， ，故， 设，显然为的一个零点，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，故， 而，，， 的两根位于两侧，已知一根为1， 另一根位于区间内， 当时，， ，求导得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，， 的最大值为2． 【变式2】（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）设方程和的根分别为和，函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用与的对称性解出，得到的解析式并求出导函数，分析函数的单调性，并比较和的大小，再构造函数比较与的大小求解. 【详解】已知方程的根为，则，则， 方程的根为，则，则， 因为图象与图象关于对称， 与垂直，交点为， 所以与关于点对称，则， ，，令，即，解得， 当时，， 则，函数单调递减； 当时，，则，函数单调递增， 因为，所以， 令， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，，在上单调递增， 且，所以， 所以，即， 所以. 题型06 根据公切线条数求参 公切线条数由两曲线的相对位置决定，可通过分析两曲线切点方程的解的个数来判断。设公切线分别与两曲线相切于两点，利用“导数相等”和“切线重合”联立方程组，消元后得到关于某一参数的方程，该方程解的个数即为公切线条数。 【典例1】（2025·宁夏石嘴山·三模）已知函数，若曲线与有两条公切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义，结合公切线建立方程组，消元构造函数，利用函数有两个零点，借助导数求出范围. 【详解】设公切线与曲线、曲线相切的切点分别为， 而，依题意，，则，因，则， 消去得，令函数， 由曲线与有两条公切线，得函数有两个不同的正零点， ，当时，；当时，， 函数在上递减，在上递增，， 而当从大于0的方向趋近于0时，，当时，， 则当且仅当，即时，函数有两个不同零点， 所以的取值范围是. 故选：C 【典例2】（多选）（25-26高二下·湖北武汉·期中）已知是函数与的图象的两条公切线，记的倾斜角为的倾斜角为，且的夹角为，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．若，则 D．与的交点一定在第一象限 【答案】ACD 【分析】由已知可得两函数互为反函数，根据对称性即可判断A；根据，结合诱导公式和基本不等式即可判断B；设与两个函数图象分别切于，两点，，根据三角恒等变换可得，由导数的几何意义可得切线方程，即可判断C；结合图象即可判断D. 【详解】如图，因为与互为反函数， 故两函数的图象关于直线对称，则，关于对称， 故，故A正确； 由题意，，均为锐角，，，， 当且仅当，即时取等号，故B错误； 设与两个函数图象分别切于，两点，， 若，即， 解得或（舍去），故， 对于，则，令，解得，所以切点为， 所以曲线的斜率为的切线方程为， 故曲线的斜率为的切线方程为， 同理可得的斜率为的切线方程为， 故曲线的斜率为的切线方程为， 所以， 则，则，故C正确； 由图可知点必在第一象限，故D正确． 【变式1】（多选）（2026·陕西榆林·二模）已知两曲线与存在两条公切线，则实数的取值可能是（    ） A． B． C． D．1 【答案】BCD 【分析】设公切线与两曲线相切于点，进而得切线方程，即得，设，利用导数研究的单调性和极值，进而作出的图像，利用数形结合即可求解. 【详解】设公切线与两曲线与分别相切于， 因为， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 同理可得曲线在点处的切线方程为， 由题意可得，，即， 设，则， 令得．当时，； 当时，在（0，e）单调递增，在单调递减，时， 的图象如图所示： 由题意可知函数的图象与直线有两个交点，因此，解得， 故选：BCD． 【变式2】（25-26高二下·江苏无锡·期中）已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】设切点分别为和，再由导数求得斜率相等，得到，构造函数由导数求得参数的范围． 【详解】的导数的导数为， 设与曲线相切的切点为相切的切点为， 则有公共切线斜率为， 又，即有，即为， 即有， 则有，即为， 恰好存在两条公切线，即有两解， 令，则， 当时，单调递减，当时，单调递增， 即有处取得极大值，也为最大值，且为， 由恰好存在两条公切线可得与有两个交点， 可得实数的取值范围为. 优题精练·专题实战通关 1．（2026·陕西渭南·模拟预测）已知为正实数，且直线与曲线相切，则的最大值为__________. 【答案】/0.5 【分析】利用函数导数与函数在某点处的切线方程，以及基本不等式求解即可. 【详解】由直线与曲线相切， 设切点为，由，且切线的斜率为， 所以， 代入曲线方程中得：， 所以切点为，代入直线方程中得：， 因为，所以. 当时取等号，所以的最大值为.则的最大值为. 2．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，，直线l与和均相切，切点分别为，，则________． 【答案】 【分析】根据切线斜率与切点处导数相等求出切点坐标间的关系即可． 【详解】函数，，有，， 函数的图象在点处的切线方程为，即， 函数的图象在点处的切线方程为，即， 一条直线l与函数和的图象分别相切于点和点， 则有，可得，两边同乘 得：①， 由可得，即，代入①可得 ，即； 又由可知，， 则. 故答案为： 3．（2026·湖南湘西·三模）若直线与函数和的图象均相切，则实数的最大值为___________． 【答案】1 【分析】分别设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，由公切线得到，令，得到，进而构造函数，通过求导，确定零点，进而可求解. 【详解】设直线与的图象相切于点，直线与的图象相切于点， 则，得 得，令， 则， 得， 所以，整理可得． 设，显然为的一个零点，， 当时，单调递增， 当时，单调递减，故， 而， 所以的两根位于两侧， 已知一根为，当时，， 所以另一根位于区间内，由对勾函数单调性可知在单调递增， 此时， 所以当时，取得最大值，该值为1． 4．（2026·广东东莞·模拟预测）设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为_____. 【答案】 【分析】将点的距离转化为平行线间距离，结合导数的几何意义求出参数得到，最后利用平行线间距离公式求解即可. 【详解】设与直线平行并与相切的直线为， 则两平行线间的距离即为的最小值， 因为，所以，设切点为， 则，解得，此时，则切点为， 代入中，可得，解得， 则直线方程为，而可化为， 由平行线间距离公式得平行线间距离为. 5．（25-26高二下·江西抚州·期中）已知点在函数的图象上，点在直线上，则两点之间距离的最小值是___________． 【答案】 【详解】要使得两点之间的距离最小，可使直线与平行，且直线与曲线相切时， 与的距离即两点之间的最小距离， 由，解得． 由得直线的方程为，即， 则与的距离， 即两点之间距离的最小值是． 6．（2026高三·全国·专题练习）已知函数．直线过点且与曲线相切，求满足条件的直线方程； 【答案】 【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义可得切线方程为，代入点可得，即可得结果； 【详解】因为，则， 设切点坐标为，则切线斜率， 切线方程为，即， 代入点可得，解得， 所以直线方程为． 7．（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）已知函数，，若曲线与曲线存在公切线，则实数m的最大值为________． 【答案】/ 【分析】设出公切线在两函数图象上的切点，用两种方式表示出公切线，得到对应等量关系，据此可得答案. 【详解】设公切线在图象上的切点为，结合， 可得公切线方程为：； 设公切线在图象上的切点为，结合， 可得公切线方程还可表示为：. 依题意可得，由②得，即， 代入①，得， 又，，从而. 令，则. 令，则， 则在上单调递减，注意到， 则， 则在上单调递增，在上单调递减， 从而，即实数m的最大值为. 8．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知函数，若过点可作曲线的3条不同切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导数并设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，再构造函数并利用导数求出极值，结合三次函数的特征求出范围. 【详解】函数，设切点坐标为，求导得， 则切线方程为，由切线过点， 得，化简得， “过点可作曲线的3条不同切线”等价于“关于的方程有3个不同的实根”， 即函数的图象与直线有3个不同的交点， 求导得，当或时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，， 所以当时，直线与函数的图象有3个交点，对应3条不同的切线． 9．（25-26高三上·江苏·期末）已知，若函数有两个零点，则正数m的取值范围是________ 【答案】 【分析】由题意得有两个不等实根，时，令，利用导数求得的单调性和极值；当，令，利用导数求得的单调性和极值，作出、与图象，则与和图象一共有两个交点，结合m的范围，分析即可得答案. 【详解】令函数，可得有两个不等实根， 当时，，整理得， 令，则， 令，解得或0（舍）， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的极大值为， 当时，，当时，； 当时，，整理得， 令，则， 令，解得， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的极大值为， 当时，，当时，， 作出、与图象，如下图所示： 因为函数有两个零点，且， 所以与和图象一共有两个交点， 由图象得，则正数m的取值范围是. 故答案为： 10．（25-26高三下·河南安阳·阶段检测）已知函数，若过点可以作曲线的3条切线，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】先求出过点的切线方程，原题等价于有3个不同的实数根，设，求的单调性，极值，列式解不等式即可求出实数的取值范围. 【详解】设切点坐标为，由题可得，所以切线的斜率， 切线方程为，因为切线过点， 所以，即. 原题等价于上述关于的方程有3个不同的实数根， 设，则， 令，得，， 当时，，单调递增，当时，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，当时，， 所以， 解得，所以的取值范围是. $