5.3 诱导公式-【一本】高中数学知识大盘点

.'sinxcos2y+cosxsin2y=sin2ycos2y, 方法提炼证明三角恒等式的常用方法 .'sin'x (1-sin2y)+(1-sin2x)2sin2y= (1)从左向右推导或从右向左推导，一般由 繁到简； sin2y(1-sin2y), (2)左、右归一法，即证明左、右两边都等于 p sin'x-sin'xsin2y+sin2y-2sin2xsin2y+ 修第 同一个式子（或数）； sin'xsin2y=sin2y-siny. 册 (3)化异为同法，即针对题设与结论间的差 整理，得sinx-2 sinxsin2y+sin4y=0, 异，有针对性地变形，以消除差异； .'(sin2x-sin2y)2=0,.'.sin2x=sin2y, 五章 (④)变更命题法，如要证明号-台，可证ad- 即1-cos2x=1-c0s2y,∴.cos2x=cos2y, bc或证号-台等 ."sin'yt cos'y sin'x cos'x =sin2x+ 角 sin2x cos x sinx cos2x 数 (5)比较法，即设法证明“左边一右边=0”或 c0s2x=1. 左边=1（右边≠0）”. 右 方法提炼条件恒等式的证明方法 (1)直推法：从条件直推到结论； 考向2条件恒等式的证明 (2)代入法：将条件代入到结论中，转化为三 例11已知+os-1,求证： sin2y'cos2y 角恒等式的证明； sin'y cosy-1. (3)换元法：根据条件或结论的特征，恰当选 sin x cos x 择变量设元代换，转化为关于新变量的恒等 证明：sin+os2-1, 式证明. sin2y cos2y 5.3 诱导公式5年考 必备知识 知识点 三角函数的诱导公式[深入解读】◆ 珍深入解读 sin(a+k·2r)=sina,cos(a十k·2r)=cosa, 公式一 诱导公式的作用 tan(a十k·2r)=tana(其中k∈Z) 公式一：将任意角转化 sin(π十a)=-sina,cos(π十a)=-cosa,tan(π+a) 公式二 为0~2π的角. tan a 公式二：将π~2π的角 公式三 sin(-a)=-sin a,cos(-a)=cos a,tan(-a)=-tan a 转化为0一π的角. sin(π-a)=sina,cos(π-a)=-cosa,tan(π-a)= 公式三：将负角转化为 公式四 -tan a 正角. 公式五 sin(-a)-cos a,cos(-a)-sin a 公式四：将受 ~元的角 公式六 sin(+a)-cos a.cos(+a)--sin a 转化为0~艺的角。 。1070 公式一~公式六都叫做诱导公式.它们都是α的三角函数与k· 公式五和公式六：实现 正弦与余弦的相互 转化 臣士a(便∈Z)的三角函数之间的转化.【学以最用 ® 修第 (口诀奇变偶不变，符号看象限」 学以致用 (广东卷改编)已知 奇变偶不变：奇偶是指的奇偶，变与不变是指三角函数名称的 册 sm(受+)= 那么 1 变化，若变，则是正弦变余弦，余弦变正弦 第五章 cos a= 符号看象限：把a看成锐角，观察·士a(k∈Z)的终边所在的 2 答案： 象限，并判断函数值的符号 三角函 高频考点 考点1利用诱导公式求值 考向2给值求值 考向1给角求值 例2(1已知os(答+0)=号，则 例1求下列三角函数值： (1)c0s65 47 sin(3-)的值是 (2)sn(-7), A号 R号 c-9 D.-2 (3)tan(-855). (2)已知a是第三象限角，且tana+2tana 4sin(π+a) 解：①ms名=or(8x—君)=as君- 3=0, cos(5+a)-cos(-a） (②)sn(-g）=-sn=-sn(2a+) 解析(：cos(音+)-号， 2 ∴sim(5-)=cos[5-(3-0)]=cos(g十 (3)tan(-855)=-tan855°=-tan(2X 360°+135)=-tan135°=-tan(180° )=2 45°)=tan45°=1. (2)由tana+2tana-3=0,得 (tan a-1)(tan a+3)=0, 方法提炼给角求值问题的解题思路 解得tana=1或tana=一3. 任意负角的 用公式任意正角的 三角函数 三或一 三角函数 又a是第三象限角，∴tana=l, 用公式 4sin(π十a） -4sin a 锐角的三角 用公式 0~2π的角 -sin a-cos a 函数 二或四 的三角函数 cos(5+a)-cos(-a） 利用诱导公式把求解任意角的三角函数值 4sin a 4tan&=4X1=2. sin a+cos a tan a+11+1 转化为求解锐角的三角函数值. 答案(1)B(2)2 。108。 方法提炼给值求值问题的解题思路 √2sinR. 确定已知角和所求角之间的关系（常见的 综上所述，a=至9-否 寻关系 互余关系有号-a与君+a等；常见的互补 关系有骨-a与5+a等》 方法提炼给值求角问题的解题思路 修第 选公式【依据两角之间的关系选择合适的诱导公式 (1)化简题目中的条件，求出所求角的某一 册 得结果 根据选择的诱导公式，得到已知式和所求 个三角函数值. 式之间的关系，从而得到结果 (2)结合特殊角的三角函数值逆向求角，表 第五章 考向3给值求角 示出符合条件的角 (3)依据题目条件中的角的对应范围，求得 例3已知sin(3m-a)=√2cos(受- 角 相应角的值. 数 B),3cos(-a)=-2cos(x+B), 考点2 利用诱导公式化简 5年1考 a∈(-5，）8e(0,),求aR 例4化简： sina=W2sinB,① (1)sin(540+a)cos(-a) 解：由题意，得 tan(a-180) √3cosa=√2cosB.② ①2+②2，得sina+3cos2a=2. tan(2r-o)sin(-2s-a)sin+a) (2) '.'sin2a+cos2a=1, sina-xcos(3-a】 六cosa=,即c0s= 解：(1)原式=si血(360°+180°+a)cos& 2 tan a a(-受，)， sin acos a--cos2a. tan a (2)原式= a=平或a=一 41 tan(-a)sin(-a)sinx+(Z+a) 当a=开时，代入√3cosa=√2cosB,得cosB sin[-(x-a)]cos_x+(2-a) 2· -tan a(-sin a)-sin(a) 又3∈(0，π)， sin(r-a)-cos(-a】 ÷g-否，此时也符合等式sina=V2sinR tan asin a(-cosa）= tan asin acos a= sin a(-sin a) sin asin a 当a=-至时，代入5cosa=2cosB,得 -tana·cosg- sin a.cos a=-1. sin a cos a sin a cos 2· 方法提炼利用诱导公式化简，要遵循“负化 又B∈(0，π)， 正、大化小”的原则，化简结果要保证角尽量 “B=否，显然此时不符合等式sina 少，函数名尽量少，次数尽量低。 。109 考点3利用诱导公式证明三角恒等式、 sin(a+罗)+3cos(a+）tan(a+牙)+3 例5(1)求证： sin(a+）十cos(a+） tan(a+)十l 必 tan(2n-a)sin(-2x-a)cos(6x-a)_ sin(a)cos( m十3=右边，原等式成立. m+1 -tan a; 册 第 (2)设tam(e+） 方法提炼三角恒等式的证明策略 =m,求证： 对于三角恒等式的证明，应遵循化繁为简的 章 sin(+e+3cos(。- 13 原则，从左边推到右边或从右边推到左边， m十3 也可以用左右归一的方法 sin(29r-a）-cos(a+2到） m+1' 利用诱导公式解决与三角形 数 证明：(1)，左边= 考点4有关的问题 tan(-a)sin(-a)cos(-a) 例6在△ABC 中，已知 sin[2x-(受-a)]cos[2r-(受-a] sinA+B-C=sinA-B+C,试判 -tan a(-sin a)cos a 2 2 sin-(受-a)]os-(号-a] 断△ABC的形状. 解：A十B+C=π， sin2a sina -sin(2-a)cos(2-a) cos asin a ∴.A十B-C=π-2C,A-B+C=π-2B, .sin A+B-C-sin A-B+C sine=一tana=右边， 2 cos a …sinr2 =sin x2B 原等式成立 2 (2)方法1：.左边 ∴.sin(段-C)=sin(2-B), sin[x+(a+89)]+3cos[(a+8）)-3π] ∴.cosC=cosB. sin[4x-(a+8)]-cos_2r+(a+85)] 又B,C为△ABC的内角， ∴.C=B,故△ABC为等腰三角形. sine+8）-3cos(a+8） --sin(+8）一cos(a+8 方法提陈在涉及三角形问题时，一定要注 意先根据三角形的内角和A十B十C=π以 tan(a+8)+3 及题目中的具体条件进行适当变形，再化简 tan(a+9）+1 m+3=右边，原等式 m+1 求值 在△ABC中，常用到以下结论： 成立 sin(A+B)=sin(-C)=sin C; 方法2：由tamn(a+）=m,得tam(a+牙)=m cos(A十B)=cos(π-C)=-cosC; tan(A十B)=tan(π-C)=-tanC; …左边= sm(A生9)=sm(受9)=os号 sinm2x+(a+)]+3cos[(a+）-2x】 sin[3m-(a+)]-cos[3x+(e+)】 。110。