5.2 三角函数的概念-【一本】高中数学知识大盘点

方法提炼表示区域角的三个步骤 小扇形的孤长为否×2=晋， (1)按逆时针方向找到区域的起始和终止 .S1= 2×5×2=5,4=2×2+5 1 边界； 3 修第 (2)由小到大分别标出起始和终止边界对应 的在一360°到360°范围内的角α和B,并将 4+ 册 该范围内的区域角表示为{xa<x<β}（不 方案二：由题意，得∠A=30°，OA=2, 第 含边界)或{x|a≤x≤}（含边界），其中 ∴.扇形的半径为1. 章 B-a<360°； (3)起始、终止边界对应的角a,B再加上 ·∠AOB=120°=2红 3 角 360°的整数倍，即得区域角的范围。 数 ·扇形的孤长为经×1=贸 3 扇形的弧长与面积公式 考点4 的应用 5年2考 S2= 2××1=,4=2×1+经 例5如图，用两种方案将一块顶角 为120°，腰长为2的等腰三角形钢 2+2x 板OAB裁剪成扇形，设方案一、二 中扇形（阴影部分）的面积分别为S,S2,周 S=S=54-4=2-5>0, 长分别为1,2，则 ∴.S1=S2,l1>l2. 答案A D 方法提炼涉及扇形的半径、周长、弧长、圆 方案 方案 A.S1=S2,l1>l2 B.S1=S2,l1<l2 心角、面积等的计算问题，关键是分析题目 C.S1>S2,l1=l2 D.S1<S2,l1=L2 中已知哪些量，求哪些量，然后灵活运用扇 形的弧长公式、面积公式直接求解或列方程 解析方案一：由题意，得∠A=30°= 6 (组)求解. OA=2, 5.2 三角函数的概念6年8考 必备知识 知识点，1三角函数的两种定义 ◆温馨提示 1.利用单位圆定义【温馨提示】 ①三角函数的记号是一 如图，设α是一个任意角，α∈R,它的终边OP与单位圆相交 个整体，离开“a”的“sin” 于点P(x,y). “cos”“tan”是无意义 的.如sina表示的是一 P(x,y) 个整体而不是“sin”与 A(1.0)x “a”的积. 。100。 (I)把点P的纵坐标y叫做a的正弦函数，记作sina&,即y= sin a; ②三角函数值是比值， (2)把点P的横坐标x叫做a的余弦函数，记作cosa,即x= 是一个实数，这个实数 cos a; 的大小和点P(x,y)在 修第 (3)把点P的纵坐标与横坐标的比值义叫做α的正切，记作 终边上的位置无关，只 与角α的终边位置有 册 tana,即义=tana(c≠0)，把以角为自变量，以此比值为函数 关.对于确定的角a,其 第 终边的位置也随之 值的函数称为正切函数 确定 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常 国 角 将它们记为正弦函数y=sinx,x∈R;余弦函数y=cosx, 到学以致用 数 x∈R;正切函数y=tanx,x∈ {zz≠受+km(∈ZD 若P(2,-2W3)是角a 终边上的一点，则角a 2.利用终边上的点的坐标定义【学以致用] 的终边与单位圆的交点 如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点 坐标是 () O重合)的坐标是(x,y),点P与原点的距离是r(r三 A.(1,-√3) √x2+y2>0). B.(-1,√3) y a的终边 a的终边P P(x,y) P(x.y) c(分-9) P(x,y) P(x,y) a的终边 a的终边 n(-,) (1)比值义叫做a的正弦函数，记作sina,即sina=y 答案：C @◆初高衔接 (2)比值叫做a的余弦函数，记作cosa,即cosa= 正弦、余弦、正切 如图，在Rt△ABC中， (3)比值y叫做a的正切函数，记作tan,即tana=y(x≠ ∠A的正弦为对边与斜 0).【初高衔接】 边的比：sinA=名；∠A 3.特殊角的三角函数值 的余弦为邻边与斜边的 a 0 3 4 6 2 比：c0sA=b ∠A的正 sin a 0 1 3 -1 2 2 2 2 0 切为对边与邻边的比： cos a 3 √2 1 2 0 -1 2 2 2 2 0 2 tan A=a b tan a 0 3 不存在一√3 3 0 不存在 3 3 斜边 a∠A的对边 知识点2三角函数值在各象限的符号[学以致用] 6 C ∠A的邻边 根据三角函数的定义，知正弦函数值的符号取决于纵坐标y的 符号；余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号；正切函数值的 。101。 符号是由x,y的符号共同决定的，即x,y同号为正，异号为负. 学以致用 ++ 必 ①（多选）下列选项中， sin a cos a tan a 三角函数值的符号为负 记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦.在第一象限中，各三 册 的是 ) 角函数值均为正；在第二象限中，只有正弦值为正；在第三象限 第 A.sin(-100) 中，只有正切值为正；在第四象限中，只有余弦值为正， 章 B.cos(-220) 知识点3公式一【深入解读】，也称“诱导公式一” C.tan 10 三 D.cos 由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的 数 ②已知sin0cos0<0,且 值相等.由此得到一组公式（公式一）： |cos0=-cos0,则角0 角的终边每绕原点旋转一周，三角函数值将重复出现 的终边在 sin(a十k·2r)=sina, ③若点P(tana,sina) c0s(a十k·2r)=c0sa, 在第三象限，则角a的 tan(a十k·2π)=tana,其中k∈Z. 终边在 这组公式可以统一概括为f(α十k·2π)=f(a)(k∈Z)的 答案：①ABD ②第二 形式.【学以致用 象限③第四象限 知识点4同角三角函数的基本关系 重点 ◆深入解读 1.同角三角函数的基本关系 ①公式一的作用 (1)平方关系：sina+cos2a=1,即同一个角a的正弦、余弦的 把求任意角的三角函数 平方和等于1. 值转化为求0~2π（或 0°~360)角的三角函 (2)商数关系：ng=tana(a≠受十km,k∈Z),即同-个角a cos a 数值. 的正弦、余弦的商等于角α的正切. ②给定一个三角函数值 (点拔(1)这里应充分理解“同角”两字，“同角”有两层含义： 有无数多个角与之对 一是“角相同”；二是对于“任意一个角”，关系式都成立.如 1 应.如sina=2,则a= sinr十cos24=1,sin22a+cos22a=1,而sina+cosp=1不 2kx十灭或a=2kx+ 5π 一定成立 6 6 (2)sina是(sina)2的简写，不能将sina写成sina2,两者是 (k∈Z). 不同的， m 学以致用 2.同角三角函数的基本关系的常见变形 ①cos(- 300) sin2a=1-cos2a-sin a- 1-c0s2a, (1) ； cos2a=1-sin2a-cos a=v1-sin2a. 15π ②tan4 根号前的符号由角α终边所在的象限确定， sin a=tan acos a, 答案：①号 ②-1 (2) cosa-{a≠经，k∈Z. tan a 。102· (拓展(1)(sina-cosa)2-1-2 sin acos;【学以致用J (2)(sin a++cos a)2=1+2sin acos a; @ 学以致用 (3)v1-2sin acos a=|sin a-cos al 已知sin acos a= (4)1+2sin acos a=|sin a+cos al 8且 修第 (5)(sin a+cos a)2+(sin a-cos a)2=2; <a<受，则cosa 册 sin a1-cos a; (6)1十cosa sin a sin a cos a-1-sin a 第五章 (7)1十sina cos a 答案： 三角 高频考点 数 ●●●● 利用定义求任意角的三角 考向2已知角的终边上一点的坐标，求其 考点1 函数值 三角函数值 考向1 已知角的大小，求其三角函数值 例2(1)已知角a的终边经过点 例1求角不的正弦、余弦和正切值。 P(x,√3)，且tana= 2°，则sina 解：如图，在平面直角坐标系中作 的值为 () ∠AOB=,其终边交单位围于点P,过点 A.10 B.、√10 C.15 D.-15 5 5 5 5 P作PD⊥x轴于点D,则∠POD=T 4 (2)(多选)已知角a的终边经过点P(一4m, 3m)(m≠0)，则2sina十cosa的值可能为 7元 A号 B.-3 c号 D.-2 易求得点P的坐标为（受，一号》 解析(1)由三角函数的定义，得tana= 2 6 所以sin 7π=-2 ,cOs 7π=2 2,tan 7π ,解得x=-2,即P(-2,3), -1. 所以sina 3 -√15 √(-√2)2+(W3)2 5 方法提炼已知角的大小求其三角函数值的 (2)已知角a的终边经过点P(-4m,3m) 步骤 (m≠0)， (1)在平面直角坐标系中作出角； 所以sina= 3m 3m (2)求出角的终边和单位圆的交点坐标； √(-4m)2+(3m)2 5m' (3)利用三角函数的定义求值， -4m -4m cos a- √/(-4m)2+(3m)2 5m 。103● 3 当m>0时，sina=号，cosa=- 2sa B.cos 2a<0 C.sin 2a0 cosa=2×+(-)=号： D.sin 2a<0 修第 当m<0时，sina=- osa= 3 (2)确定下列各式的符号： ①cos2-sin2; 册 2sina十cosa 2x(-)+- ②sin3cos4tan5. 第 五 综上所这，2sina十c0sa的值可能为号或 解：)：a为第四象限角，2x十多<a< 2kπ十2π，k∈Z,∴.4kπ+3π≤2a≤4kπ十4π， k∈Z,∴.sin2a<0.故选D. 答案(1)C(2)CD 角2a的终边在第三、四象限或y轴的非正半轴上 数 方法提炼已知角a的终边上一点P(x,y) (2)①受<2<，2是第二象限角， x≠0，求出r=+y,则sina=￥， ∴.cos2<0,sin2>0.故cos2-sin2<0. cosa=手，ana=义，若点P的坐标含参数， ②西<3<π，3是第二象限角， 2 x 则需对参数进行分类讨论， ∴.sin3>0. 考向3已知角的终边在一条直线上，求其 “4<受4是第三象限角， 三角函数值 ∴.cos4<0. 例3已知角a的终边在直线5x一 12y=0上，求sina,cosa,tana 5<2元，5是第四象限角 的值 .tan5<0. 解：在角a的终边上任取一，点P(12a,5a) 故sin3cos4tan5>0. (a≠0)，则r=√(12a)2+(5a)z=13a. 方法提炼判断三角函数值的符号的两个 当a>0时，r=13a,sinQ设=3，cosa了 步骤 1品最m品8： 12a=12 (1)定象限：确定角的终边所在的象限； (2)定符号：借助“一全正、二正弦、三正切、 当a<0时，r=-13a,sina= 5a 四余弦”来判断符号 -13a 13' 12a cos a- 12 5a_5 -13a ,tana=12a-12 考点3利用公式一化简求值 例5计算： 易错点拨角的终边是射线，所以角的终边 (1)tan405°-sin450°+cos750°； 落在直线上有两种情况，解答时应对这两种 情况进行分类讨论。 (2)sincos(-2)十 三角函数值的符号 tan(-15)cos1 考点2判断 5年1考 解：(1)原式=tan(360°+45)-sin(360°+90)+ 例4(1)（全国Ⅱ卷）若a为第四象 cos(2×360°+30)=tan45°-sin90°+ 限角，则 A.cos 2a0 os30=1-1+9-9 。104。 (2)原式=sin(2m+号)os(-4r+)+ (1)3sin a+2cos a sin a-4cos a tan(-4r+T)cos(4r+5)=sin吾cos看十 (2)2sin2a+3sin acos a-cos a. 解：(1)：tana=-3 1ams晋=号×号+1x是 原式=3tana十2 3×(-)+2 修第 方法提炼借助公式一把任意角转化为0~ tan a-4 19 册 2π（或0°~360）范围内的角，达到“负化正， 大化小”的目的. (2).tana=- 3 4 第五章 利用同角三角函数的基本 ∴原式=2sin2a+3 Ssin acos&-cos'a 考点4关系求值 sin2a++cos2a 5年7考 角 2tan'a+3tan a-1 考向1已知某个三角函数值，求其余三角 tan2a-+1 数 函数值 2×(-+3x仁)-1 例6已知cosa= 1 3,求sina, tana的值. 是 34 5 解：，'cosa= 方法提炼 ∴α可能是第二或第三象限角 1.关于sina,cosa的齐次式求值问题，可以 当a是第二象限角时，sina>0,tana<0, 通过分子、分母同除以cosa或cos2a转化为 6 .sina=√1-cosa=i3, 关于tana的式子后再求值. 2.假如代数式中不含分母，可以视分母为1， .'.tan a=sin a= 5 利用1=sina十cos2a进行代换后，再同除以 coS a 129 cos2a,构造出关于tana的代数式，进而 求值 当a是第三象限角时，sina<0,tana>0, 考向3利用sina士cosa与sin acos a之间 .sina=-√1-cos2a= 5 13' 的关系求值 .'tan a=sin a= 5 cos a 12' 例8已知-<<0，sinx十c0sx 方法提炼已知某个三角函数值求其余三角 合，求下列各式的值， 函数值的步骤 (1)sin xcos x; (2)sin x-cos x; (1)由已知三角函数值的符号，确定角的终 1 边所在的象限； (3) cos2x-sin2x' (2)依据角的终边所在象限进行分类讨论； 解：(1sinx十cosx=号 (3)利用同角三角函数的基本关系式及其变 形公式，求出其余三角函数值. ∴(nx十=(号），即1+2 in 0 24 考向2齐次式的求值问题 2方2sin20sx= 2 ,∴.sin xcos x= 例7已知tana=一 ,求下列各式 25 的值. (2)由(1)，知sin xcos x= 12 25 。105 .(sin x-cos x)2=sin2x-2sin xcos x+ ∴原式=Ym10+c0s10+2sin10cos10_ os-1-2sn0as1+2结碧 cos10°+√/sin210 必 -<z<0,sinx<0,cosx>0, v9+7-1+品8-L cos10°+sin109 (2).180°<a<270°，∴.sina<0, ∴.sinx-cosx<0,∴.sinx-cosx= 7 册 原式= (1+cos a)2 (1-cos a)2 第 (3)'.'sin x+cosx= 5,sin x-cos x=- 5 1-cos2a 1-cos2a 1+cos a1-cos a 2 2 章 1 1 cos'x-sin'x (cos xsin x)(cos x-sin x) sin a sin a sin a sin a 三 1 25 角 .7 7 方法提炼三角函数式的化简技巧 数 (1)对于含有根号的，常把根号下的数（式） 化成完全平方数（式），然后去根号，达到化 方法提炼sin0士cos0的符号的判断方法 (1)sin0-cos0的符号的判断方法：由三角 简的目的； 函数的定义，知当角0的终边落在直线y=x (2)化切为弦，从而减少函数种类，达到化简 上时，sin0=cos0,即sin0-cos0=0;当角0 的目的； 的终边落在直线y=x的上半平面区域内 (3)对于含高次的三角函数式，往往借助于 时，sin0>cos0,即sin0-cos0>0;当角0 因式分解或构造sina十cos2a=1的形式，以 的终边落在直线y=x的下半平面区域内 降低次数，达到化简的目的， 时，sin0<cos0,即sin0-cos0<0.如图1 所示。 y y=-x y 考点6利用同角三角函数证明 sin 0-cos -0 y=X sin 0+cos 0>0 (sin0-cos<0 考向个一般恒等式的证明 例10证明： 1-2sin xcos x 1-tan x sin 0+cos 0<0 cos x-sinx 1tan x 图1 图2 证明：方法1：左边 (2)sin0十cos0的符号的判断方法：由三角 cos'z+sin'z-2sin xcos x 函数的定义，知当角0的终边落在直线y= cos2x-sin2x -x上时，sin0=-cos0,即sin0+cos0= (sin x-cos x)2 0;当角0的终边落在直线y=一x的上半平 (cos x-sin x)(cos x+sin x) 面区域内时，sin0>-cos0,即sin0+ cos x-sin x cos>0;当角0的终边落在直线y=一x的 cos x+sin x 下半平面区域内时，sin0<-cos0,即sin0+ 1-tan x cos<0.如图2所示. 1+tan x =右边， 考点5 利用同角三角函数关系化简 原式成立 例9化简： (1)√1+2sin10cos10 方法2：由方法1，知左边=cosx一sinx cos xsin x c0s10°+√1-c0s2103 1-sin x /1+cos a 1-cose(180°<a<270). 右边= cos xcos x-sin x (2)1-cosa 1+cos a 1+sin x cos x+sin x' coS x 解：(1)，cos10>sin10>0, 左边=右边，原式成立 。106● .'sinxcos2y+cosxsin2y=sin2ycos2y, 方法提炼证明三角恒等式的常用方法 .'sin'x (1-sin2y)+(1-sin2x)2sin2y= (1)从左向右推导或从右向左推导，一般由 繁到简； sin2y(1-sin2y), (2)左、右归一法，即证明左、右两边都等于 p sin'x-sin'xsin2y+sin2y-2sin2xsin2y+ 修第 同一个式子（或数）； sin'xsin2y=sin2y-siny. 册 (3)化异为同法，即针对题设与结论间的差 整理，得sinx-2 sinxsin2y+sin4y=0, 异，有针对性地变形，以消除差异； .'(sin2x-sin2y)2=0,.'.sin2x=sin2y, 五章 (④)变更命题法，如要证明号-台，可证ad- 即1-cos2x=1-c0s2y,∴.cos2x=cos2y, bc或证号-台等 ."sin'yt cos'y sin'x cos'x =sin2x+ 角 sin2x cos x sinx cos2x 数 (5)比较法，即设法证明“左边一右边=0”或 c0s2x=1. 左边=1（右边≠0）”. 右 方法提炼条件恒等式的证明方法 (1)直推法：从条件直推到结论； 考向2条件恒等式的证明 (2)代入法：将条件代入到结论中，转化为三 例11已知+os-1,求证： sin2y'cos2y 角恒等式的证明； sin'y cosy-1. (3)换元法：根据条件或结论的特征，恰当选 sin x cos x 择变量设元代换，转化为关于新变量的恒等 证明：sin+os2-1, 式证明. sin2y cos2y 5.3 诱导公式5年考 必备知识 知识点 三角函数的诱导公式[深入解读】◆ 珍深入解读 sin(a+k·2r)=sina,cos(a十k·2r)=cosa, 公式一 诱导公式的作用 tan(a十k·2r)=tana(其中k∈Z) 公式一：将任意角转化 sin(π十a)=-sina,cos(π十a)=-cosa,tan(π+a) 公式二 为0~2π的角. tan a 公式二：将π~2π的角 公式三 sin(-a)=-sin a,cos(-a)=cos a,tan(-a)=-tan a 转化为0一π的角. sin(π-a)=sina,cos(π-a)=-cosa,tan(π-a)= 公式三：将负角转化为 公式四 -tan a 正角. 公式五 sin(-a)-cos a,cos(-a)-sin a 公式四：将受 ~元的角 公式六 sin(+a)-cos a.cos(+a)--sin a 转化为0~艺的角。 。1070