5.1 任意角和弧度制-【一本】高中数学知识大盘点

必修第一册 第五章 三角函数 1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化， 2.理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能画出这些三角函数的图象，了解三角函数的周 期性、单调性、奇偶性、最大（小）值；利用定义推导出诱导公式；借助图象理解正弦、余弦函 课 数在[0,2x]上，正切函数在（一受，受）上的性质；了解y=Asin(ax+p)的实际意义；理解 标 参数w,P,A的意义，了解参数变化对函数图象的影响. 要 点 3.理解同角三角函数的基本关系式：sin2a+cos2a=l,sing=tana. cos a 4.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、 正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换 5.会用三角函数解决简单的实际问题，利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型， 思维导图 角的有关概念：终边相同的角、象限角和轴线角 任意角和弧度制 角度与弧度的换算一180°=πrad 同角三角函数 平方关系：sin2a+cos2a=1 的基本关系 任意角的三角函数 商数关系：&anaa≠受+k红k∈Z☑ 2 诱导公式一公式一一公式六记忆口诀.奇变偶 不变，符号看象限 三角函数的图象与性质 定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、对称性 -cos(a±B)=cos acos B千sin asin B 三角函数 两角和与差公式 sin(a±B)=sin acos B±cos asin B tan(a±p)=tana±tanB I干tan a tan B sin 2a=2sin acos a 三角恒等变换 二倍角公式 cos 2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 2tan a tan 2a= 1-tan2a 辅助角公式 asinx+bcos x=、a+Fsin(r+p),其中ano=名 图象变换法一先平移，后伸缩：先伸缩，后平移 函数y=Asin(ox+p) 五点法 相关概念 振幅、周期、频率、相位、初相 三角函数的应用 简单应用 。093● 5.1 任意角和弧度制5年2考 必备知识 修第 知识点1 任意角 册 ◆初高衔接 1.角的定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的 ①角的定义：由有公共 图形.〔初高衔接」 章 端，点的两条射线组成的 2.角的表示：如图，射线OA为始边，射线OB为B 图形叫做角，这个公共 终边，点O为角的顶点.“角α”或“∠a”可简记 端点是角的顶点，这两 为“a”. 数 条射线是角的两条边。 3.角的分类[学以致用」 ②角的范围：0°~360°. 按旋转的方向，角可以分为三类： 名称 定义 图形 一条射线绕其端点按逆时针方向 B 学以致用 正角 旋转形成的角 时钟的分针经过15分 01 钟旋转所形成的角为 条射线绕其端点按顺时针方向 B 负角 旋转形成的角 A.15° B.90° 一条射线没有做任何旋转形成 C.-15 D.-90° 零角 的角[温馨提示J A(B) 答案：D 这样，我们就把角的概念推广到了任意角， 4.角的运算 ◆温馨提示 (1)相等角、相反角 始边与终边重合的角不 ①相等角：设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角3由射线 一定是零角，如360°， OA'绕端点O'旋转而成.如果它们的旋转方向相同且旋转量 一720°角的始边与终边 相等，那么就称a=B. 也是重合的.只有始边 ②相反角：把射线OA绕端，点O按不同方向旋转相同的量所 没做任何旅转的角才是 成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为一α. 零角 (2)角的加法、减法 ①角的加法：设a,3是任意两个角，把角α的终边旋转角3，这 时终边所对应的角是α+3，如图1. y=a+B y=a-b 图1 图2 ②角的减法：像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相 反数”一样，我们有α一B=a十（一）.这样，角的减法可以转化 为角的加法，如图2. 。094● 知识点2终边相同的角一重点 不能漏掉k∈Z. 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S三 到 学以致用 {33一a十k·360°，k∈Z,即任一与角α终边相同的角，都可以 ①（多选）与一457°角终 表示成角α与整数个周角的和.【学从致用] 边相同的角的集合是 修第 如图，一32°角、一392°角和328°角都是以射线 y -392° 册 OB为终边的角，它们是终边相同的角， 3289 A.{a|a=k·360° (点拨(1)集合中“·360”与“a”之间用“+” -329x 457°，k∈Z 喜 连接，如k·360°-45°应看成k·360°+ B B.{aa=k·360°+97°， (一45°)，表示与一45°角终边相同的角 k∈Z (2)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同 C.{a|a=k·360°+ 数 的角不一定相等；终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数 263°，k∈Z 倍；终边不同，则表示的角一定不同 D.{aa=k·360° (3)终边相同的角的表示方式不唯一，如集合A={xx=k· 263°，k∈Z 360°+45°，k∈Z},集合B={xx=k·360°-315°，k∈Z},集合 ②与2024°角终边相同 A与B表示的角相同. 的最小正角是 ,与2024°角 知识点3象限角和轴线角← 重点 终边相同的最大负角 1.象限角、轴线角的定义 是 (1)象限角：在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合， 答案：①AC ②224° 角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象 -136° 限，便称此角为第几象限角 ® 到学以致用 如图，30°角、一120°角分别是第一象限角和第三象限角， 下列说法正确的是 130° ∠120° A.锐角是第一象限角 B.小于90°的角一定在 (2)轴线角：在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合， 第一象限 角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在坐标轴上，那么 C.第二象限角一定大于 就认为这个角不属于任何一个象限，这种角称为轴 第一象限角 线角.【学以致用] D.三角形的内角一定 2.象限角的集合表示 是第一象限角或第 象限角 象限角a的集合表示 二象限角 答案：A 第一象限角 {ak·360°<a<k·360°+90°，k∈Z 第二象限角 {ak·360°+90°<a<k·360°+180°，k∈Z} 第三象限角 {ak·360°+180°<a<k·360°+270°，k∈Z 第四象限角 {ak·360°+270°<a<k·360°+360°，k∈Z 。095● 3.轴线角的集合表示 角a终边的位置 角a的集合表示 特点 学以致用 必 在x轴的非负半轴上 (多选)有一个小于360 {aa=k·360°，k∈Z 【学以致用] 的正角α，这个角的6倍 册 的终边与x轴的非负半 {aa=k·360°+180°， 在x轴的非正半轴上 k∈Z 每个集合中角之 第 轴重合，则这个角可以 间的差都为360 章 为 {aa=k·360°+90°， 在y轴的非负半轴上 的整数倍 A.60° B.90° k∈Z} C.120 D.300° {aa=k·360°+270°， 在y轴的非正半轴上 数 提示：由题意，知6a= k∈Z k·360°且k∈Z,则a= 在x轴上 {aa=k·180°，k∈Z 每个集合中角之 k·60°.0°<a<360°， {ala=k·180°+90°， 间的差都为180° .当k=1时，a=60°；当 在y轴上 k∈Z 的整数倍 k=2时，a=120°；当k= 3时，a=180°；当k=4 集合中角之间的 在坐标轴上 {aa=k·90°，k∈Z 时，a=240°；当k=5时， 差为90°的整数倍 a=300° 知识点4角度制、弧度制的定义 答案：ACD 1.角度制：用度作为单位来度量角的单位制.规定1度的角等于 ◆温馨提示 ①用孤度为单位表示角 周角的 的大小时，“孤度”或 2.弧度制 “rad”可以略去不写，只 (1)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角. 写这个角对应的孤度数 (2)弧度制：用弧度作为单位来度量角的单 位制.弧度单位用符号rad表示，读作弧度. rad 即可，如a=3rad可以 半径为1的圆叫做单位圆.如图，在单位圆 写成a=3.而用度为单 O中，AB的长等于1，∠AOB就是1弧度 位表示角的大小时， 的角。【温馨提示】 “度”或“”不可以省略， (拓展建立弧度制的意义 如β=3°≠3. 角的概念推广后，在孤度制下，角的集合与实数集R之间建 ②在表示角时，孤度制 立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数（等于这 与角度制不能混用，即 个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的 不能出现α=2kπ十30° 一个角（即孤度数等于这个实数的角）与它对应（如图）. (k∈Z)这样的形式. 正角 正实数 零角 0 负角 负实数 这样角度就可以在数轴上表示出来，为后续学习三角函数做 了铺垫. 。096● 3.弧度数公式：在半径为x的圆中，弧长为1的弧所对的圆心角 为arad,那么a-子 ® 学以致用 知识点5角度与弧度的换算 把下列角度与孤度进行 互化. 修第 1.换算公式〔学以致用] ①72°；②-300°； 册 角度化弧度 弧度化角度 ⑧2,0- 360°-2πrad 2πrad-360° 五章 答案：0 ②5π 核心 180°=πrad πrad=180° (9 三角 ④-40° 数 ◆拓展延伸 1°= 180rad0.01745rad 1rad-180) ≈57.30°=57°18 在弧度制下，轴线角的 角度数×0=孤度数 (9) 集合 弧度数× =角度数 在x轴的非负半轴上角 2.常用特殊角的度数与弧度数的对应关系 的集合为{a|a=2kπ， 度 0°30° 45 60° 90° 120°135°150°1801 225°270360 k∈Z; 弧度 0 π 2π 3π 5π 5π 3π 在x轴的非正半轴上角 6 4 3 3 4 6 2 的集合为{&|a=π十 3.用弧度表示终边相同的角：用弧度表示与角α终边相同的角的 2kπ，k∈Z; 一般形式为B=a十2kπ(k∈Z).这些角所组成的集合为{βB= 在y轴的非负半轴上角 α十2kπ，k∈Z}.在弧度制下，[拓展延伸] 的集合为{aa=受+ 第一象限角的集合为a2kπ<a<受十2kπ，k∈乙； 2kx,k∈Z; 第二象限角的集合为Q受十+2kπ<a<元+2kπ，k∈Z: 在y轴的非正半轴上角 第三象限角的集合为ax+2km<a<经+2km,k∈Z: 的集合为口。-经+ 2kπ，k∈Z 第四象限角的集合为a经+2kx<a<2x十2kx,k∈Z. 知识点6扇形的弧长公式和面积公式[学以致用】 学以致用 设扇形的半径为R,弧长为1，圆心角为n°（α为其圆心角的弧度 扇形AOB的面积是1， 数)，则 它的孤长是2，则扇形 角度制 弧度制 的圆心角α的孤度数为 弧长公式 1=πR 180 l-aR ;弦AB的长 为 面积公式 S=n元R2 S- 1 360 答案：22sin1 。097。 高频考点 修第 考点1 终边相同的角的表示 方法提炼求终边在某条射线或直线上的角 考向1 在给定范围内找与给定角α终边相 的集合的方法 册 同的角 (1)若角B的终边在某条射线上，a(0°≤a< 例1已知a1=-570°，a2=750°， 360)是终边在该射线上的一个角，则有{β 章 月=120°，B2=-60°. B=a十k·360°，k∈Z; 三 (1)指出a1,a2各自终边所在的 (2)若角B的终边在某条直线上，a(0°≤a< 象限； 180)是终边在该直线上的一个角，则有{β 数 (2)在一720°~0°范围内找出与B,32终边相 B=a+k·180°，k∈Z. 同的所有角. 考点2象限角的判断 解：(1)a1=一570°=一2×360°+150°，终边 例3已知角α的终边在第四象限， 在第二象限； 确定下列各角的终边所在的象限： a2=750°=2X360°十30°，终边在第一象限. (2)与B=120°终边相同的角为k·360°十 (1)%;(2)2a:(3)3 120°，k∈Z.取k=一1，一2，所以在-720° 解：(1)方法1：a为第四象限角， 0°范围内与3终边相同的所有角有一240°， 3r+2kx<a<2x+2kπ，k∈Z, -600°. 与32=一60°终边相同的角为·360°一60°， :3F+kx<号<r十k,k∈Z 4 k∈Z.取k=一1，所以在一720°0°范围内与 B终边相同的所有角有一420° 当k=2n时，+2mm<号<x十2，n∈Z, 其终边在第二象限； 方法提炼一般地，先写出与角α终边相同的 角k·360°十a,k∈Z,再根据所给范围，对k 当及=2n十1时，7+2mm<号<2x+2mx, 进行赋值，求出具体的角. n∈Z,其终边在第四象限. 考向2求终边在某条射线或直线上的角 综上，角号的终边在第二或第四象限。 例2求终边在直线y=一x上的角 方法2：如图，将各象限分成两 V 的集合 等份，从x轴非负半轴的上方 解：.在0°~360°范围内满足条件 起，按逆时针方向依次将各区 的角为135°和315°，∴.终边在直线y=-x 域标上1,2,3,4，则标有4的 上的角的集合是{aa=k·360°+135°，k∈ Z}U{aa=k·360°+315°，k∈Z}={aa= 区域（不含边界）即为角号的终边所在的区 2k·180°+135°，k∈Z}U{aa=(2k+1)· 域，故角号的终边在第二或第四象限 180°+135°，k∈Z}={aa=n·180°+135°， (2)由(1)，得3π+4kπ<2a<4π+4kπ，k∈Z, n∈Z. 。098● '.角2α的终边在第三或第四象限，也可能在 y轴的负半轴上 如图，当。是第一象限角时，角号（图中阴影 (3)由1，得5+·<号<+… 部分)的终边所在的象限是第一、第二或第 3 三象限 k∈Z. 修第 当质=n时，受+2x<号<管+2m,m∈Z 册 其终边在第二象限； 五章 当k=3凯十1时，否+2n元<号<暂+2m, n∈Z,其终边在第三象限； 考点3 区域角的表示 三角 当k=3m+2时，1号+2m<号<2x+2, 数 方法指导介于两个角之间的角的集合叫做 n∈Z,其终边在第四象限。 区间角，如{a60°<a<90°}；介于两个角终 综上，角号的终边在第二、第三或第四象限。 边之间的角的集合叫做区域角.显然区域角 包括无数个区间角. 方法提炼 1.角α所在象限的判断方法 例4如图，阴影部分表示角α的终 根据终边相同的角的概念，把角α转化到 边所在的位置，试写出角α的集合， 0°~360°范围内，则转化后的角的终边落在 E,60° 第几象限，角α就是第几象限角. 1509 2.角na所在象限的判断方法 先由角a的范围求出角a的范围，再利用 .309 终边相同的角所在象限的判断方法进行判 330° 包括边界 不包括边界 断即可. (1) （2) 注意：不要忽略na为轴线角的情况. 注意实线边界与虚线边界的差异， 3.角&(n≠0)所在象限的判断方法 解：(1)终边落在直线OM上的角的集合为 n (I)分类讨论法：先根据角α的范围（用含k {βB=一30°十·180°，k∈Z},终边落在直 的式子表示)把角。的范围表示出来，再对 线ON上的角的集合为{y|y=k·180°，k∈ 进行分类讨论，从而判断角号的终边所在 Z},终边落在阴影部分的角的集合为{α| -30°+k·180°≤a≤k·180°，k∈Z: 象限 (2)几何法 (2)终边落在射线OE上的角的集合为{B ①等分：将坐标系每个象限n等分.②标号： B=60°+k·360°，∈Z},终边落在射线OF 从x轴的非负半轴起，按逆时针方向依次循 上的角的集合为{yy=一30°+k·360°，k∈ 环标注1,2,3,4.③定域：与角α所在象限标 号一致的区域即为角。的终边所在区域。 Z},终边落在阴影部分的角的集合为{a -30°+k·360°<a<60°+k·360°，k∈Z. 。099 方法提炼表示区域角的三个步骤 小扇形的孤长为否×2=晋， (1)按逆时针方向找到区域的起始和终止 .S1= 2×5×2=5,4=2×2+5 1 边界； 3 修第 (2)由小到大分别标出起始和终止边界对应 的在一360°到360°范围内的角α和B,并将 4+ 册 该范围内的区域角表示为{xa<x<β}（不 方案二：由题意，得∠A=30°，OA=2, 第 含边界)或{x|a≤x≤}（含边界），其中 ∴.扇形的半径为1. 章 B-a<360°； (3)起始、终止边界对应的角a,B再加上 ·∠AOB=120°=2红 3 角 360°的整数倍，即得区域角的范围。 数 ·扇形的孤长为经×1=贸 3 扇形的弧长与面积公式 考点4 的应用 5年2考 S2= 2××1=,4=2×1+经 例5如图，用两种方案将一块顶角 为120°，腰长为2的等腰三角形钢 2+2x 板OAB裁剪成扇形，设方案一、二 中扇形（阴影部分）的面积分别为S,S2,周 S=S=54-4=2-5>0, 长分别为1,2，则 ∴.S1=S2,l1>l2. 答案A D 方法提炼涉及扇形的半径、周长、弧长、圆 方案 方案 A.S1=S2,l1>l2 B.S1=S2,l1<l2 心角、面积等的计算问题，关键是分析题目 C.S1>S2,l1=l2 D.S1<S2,l1=L2 中已知哪些量，求哪些量，然后灵活运用扇 形的弧长公式、面积公式直接求解或列方程 解析方案一：由题意，得∠A=30°= 6 (组)求解. OA=2, 5.2 三角函数的概念6年8考 必备知识 知识点，1三角函数的两种定义 ◆温馨提示 1.利用单位圆定义【温馨提示】 ①三角函数的记号是一 如图，设α是一个任意角，α∈R,它的终边OP与单位圆相交 个整体，离开“a”的“sin” 于点P(x,y). “cos”“tan”是无意义 的.如sina表示的是一 P(x,y) 个整体而不是“sin”与 A(1.0)x “a”的积. 。100。